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Cargas de Flambagem e Freqüências de Vibração de Vigas
2014.2 CIV2106 - Instabilidade das Estruturas - Parte II Raul Rosas e Silva Introdução
Aqui é apresentada uma metodologia para cálculo de cargas críticas de flambagem e freqüênciasde vibração de vigas esbeltas (i.e., satisfazendo a aproximação clássica de Euler-Bernoulli). Esteprocedimento pode ser empregado na análise de pórticos planos (com elementos de vigas). Aplanilha é usada para mostrar o cálculo de cargas críticas de flambagem de forma estática edinâmica. Na modelagem do elemento de viga, utilizam-se funções cúbicas convencionais básicas,enriquecidas por um número N de funções adicionais que combinam polinomiais e trigonométricas.Essas funções adicionais satisfazem as condições de contorno nulas em deslocamentos erotações.
Dados iniciais da viga básica (podem assumir outros valores na planilha; podemindicar magnitude de distribuição variável):
E 1 Módulo de elasticidade longitudinal do material [F]/[L]2
M 1 Massa /unidade de comprimento . [M/L]
[L]4I 1 Momento de Inércia da seção transversal
[L]L 1 Comprimento
[F]P 1 Magnitude da Carga Axial
kbase 0 Constante da base elástica
[F]/[L]2
1 3
2 4
Número de funções adicionais: N 3
Geração das funções cúbicas básicas da viga e suas derivadas
Estas funções wP correspondem a deslocamentos unitários em cada um dos 4 graus deliberdade do elemento de viga indicados na figura.
dwP x L( )
6x
L2 6
x2
L3
1 4xL 3
x2
L2
6x
L2 6
x2
L3
2xL 3
x2
L2
wP x L( )
1 3x2
L2 2
x3
L3
x 2x2
L
x3
L2
3x2
L2 2
x3
L3
x2L
x3
L2
ddwP x L( )
6
L212
x
L3
4L
6x
L2
6
L212
x
L3
2L
6x
L2
Gráficos das Funções Básicas das Vigas:
x 0 0.05 1
0 0.2 0.4 0.6 0.80
0.20.40.60.8
1
wP x 1( )1
x0 0.2 0.4 0.6 0.8
00.20.40.60.8
1
wP x 1( )3
x0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
0.05
0.1
0.15
wP x 1( )2
x0 0.2 0.4 0.6 0.8
0.15
0.1
0.05
0
wP x 1( )4
x
Geração das funções adicionais
Estas funções wT são a soma de funções cúbicas com a função seno, com a propriedade de valoresnulos das funções e suas primeiras derivadas nas extremidades x=0 e x=L. Desta forma, as funçõesadicionais permitem um refinamento hierárquico, não sendo afetadas pelas condições de contornoessenciais do elemento (deslocamentos e rotações nodais). Para melhorar a aproximação, bastaespecificar um número maior de funções adicionais (as funções básicas permanecem sempre asmesmas).Notar que outras famílias de funções (polinômios de grau maior que 3, p.e.) poderiam ser usadas;basta impor as condições de deslocamentos e rotações nulas nas extremidades para tais funções.Para evitar problemas numéricos com uso de várias funções, pode-se utilizar uma família de funçõesortogonais com respeito à energia de deformação V1.
n 1 N
wT x n L( )n πL
xn π
L22 1( )n x2
n π
L31 1( )n x3
sinn π x
L
dwT x n L( ) nπ
L 2 n π
2 1( )n L2
x 3 n π1 1( )n
L3 x2
cos nπ
L x
nπ
L
ddwT x n L( ) 2 n π2 1( )n
L2 6 n π
1 1( )n L3
x sin nπ
L x
n2
π2
L2
Gráficos das Funções Adicionais:
0 0.2 0.4 0.6 0.8432101
wT x 3 1( )
x
x 0 0.05 1
Integração ao Longo da Barra para Obtenção das Matrizes de Rigidez Elástica, Massa e Rigidez Geométrica
Notar que:
1) as matrizes de rigidez elástica KE (no caso, apenas com energia de flexão), rigidezgeométrica (das tensões) KG ou KS, e massa M, podem ser obtidas, respectivamente, dasenergias V1 (de deformação), proporcional à integral de w"^2, V3 ( das tensões para carga de direção constante = trabalho das cargas),proporcional à integral de w1'^2, e VC (cinética), proporcional à integral de w^2;
2) quando as cargas são conservativas, mas não permanecem de direção e magnitudeconstante no processo de flambagem, é necessário acrescentar a matriz de rigidez (quetambém as vezes é chamada de "geométrica adicional") das cargas KL, associada à energiaV4 (i.e., trabalho das cargas, além do já computado em V3);
3) quando as cargas não são conservativas, é possível gerar a correspondente matriz derigidez das cargas (não-simétrica) com uso de considerações de equílíbrio ou do trabalhoincremental das cargas -dV4 = dW (aqui não é possível integrar, pois não há função deenergia no caso não-conservativo).
KE, KG, M para funções usuais de viga esbelta (polinô
KEusual E I L( )
12 E I
L3
6 E I
L2
12 E I
L3
6 E I
L2
6 E I
L2
4 E IL
6 E I
L2
2 E IL
12 E I
L3
6 E I
L2
12 E I
L3
6 E I
L2
6 E I
L2
2 E IL
6 E I
L2
4 E I
Tomando apenas funções polinomiais básicas wP: Musual E I L M( )M L420
156
22 L
54
13 L
22 L
4 L2
13 L
3 L2
54
13 L
156
22 L
13 L
3 L2
22 L
4 L2
KGusual P L( )
PL
65
110
L
65
110
L
110
L
215
L2
110
L
130
L2
65
110
L
65
110
L
110
L
130
L2
110
L
215
L2
i 1 4 j 1 4 d L
Energia cinética VC -> matriz de massa: MCpi j0
dxM wP x d( )i wP x d( )j
d
Energia da força axial V3 -> matriz geométrica: KGpi j0
dxdwP x d( )i dwP x d( )j
d
KGp
1.2
0.1
1.2
0.1
0.1
0.13333
0.1
0.03333
1.2
0.1
1.2
0.1
0.1
0.03333
0.1
0.13333
Energia de deformação V1 -> matriz de rigidez elástica:KEpi j
0
dxE I ddwP x d( )i ddwP x d( )j
d
Interação entre as funções básicas e as funções adicionais:
i 1 4 j 1 N KEp
12
6
12
6
6
4
6
2
12
6
12
6
6
2
6
4
Massa: MCpti j0
dxM wP x d( )i wT x j d( )
d MCtp MCptT
Rigidez Geométrica: KGpti j0
dxdwP x d( )i dwT x j d( )
d KGtp KGptT
MCp
0.37143
0.05238
0.12857
0.03095
0.05238
9.52381 10 3
0.03095
7.14286 10 3
0.12857
0.03095
0.37143
0.05238
0.03095
7.14286 10 3
0.05238
9.52381 10 3
Rigidez elástica:
KEpti j0
dxE I ddwP x d( )i ddwT x j d( )
d KEtp KEptT
Funções Adicionais
i 1 N j 1 N
Massa: MCti j 0
dxM wT x i d( ) wT x j d( )
d
Rigidez Geométrica: KGti j 0
dxdwT x i d( ) dwT x j d( )
d
Rigidez elástica: KEti j 0
dxE I ddwT x i d( ) ddwT x j d( )
d
Formação das matrizes completas a partir das submatrizes
Massa: Mc augment MCp MCpt Aux augment MCtp MCt Mc stack Mc Aux
Geométrica: Kg augment KGp KGpt Aux augment KGtp KGt Kg stack Kg Aux
Rigidez elástica: KE augment KEp KEpt Aux augment KEtp KEt
KE stack KE Aux Exemplos diversos1o Caso) Viga Engastada e Livre
Condições de apoio:cmola3 0 1020
[F]/[L]
cmola1 1 1020 [F]/[L]
cmola4 0 1020 [F][L]
cmola2 1 1020 [F][L]
Optamos por resolver o problema de autovalores para as freqüencias. Notar que k é a relação entre acarga axial aplicada e a carga crítica da viga: k = 0 corresponde a vibração livre e k = 1 a vibração deuma viga na situação crítica.
k 0.00 P3.14159212
4
E I
L2 k
P 0ωsquare eigenvals Mc 1 KE2 P Kg
ω sort ωsquare
ω
3.51604
22.03971
62.00156
121.95637
466.79795
3.29511 1010
1.6051 1012
2o Caso) Viga Simplesmente Apoiada
Condições de apoio:
cmola1 1 1020 [F]/[L]
cmola2 0 1020 [F][L]
cmola3 1 1020 [F]/[L]
cmola4 0 1020 [F][L]
Imposição das Condições de Apoio:
KE2 KE
i 1 4
KE2i iKEi i
cmolai
Resolvendo o Problema de Autovalores para as freqüencias: Pπ
2 E I
L2k
ωsquare eigenvals Mc1 KE2 P Kg
ω sort ωsquare
ω
9.86941
39.47842
88.82641
240.74345
398.13398
6.23148 1010
6.99828 1010
355.30
π2
35.99942
Nota-se que as freqüências devem se anular para cargas novalor crítico, k = 1. (Por que não é exatamente zero a primeirafrequência nestes exemplos?) Isto fornece um método indiretopara calcular a carga crítica. Um método mais direto para calcular cargas críticas, no casoconservativo, consiste em resolver o problema de autovalorespara Ke2 + P.Kg (i.e., zera-se a contribuição do efeito dinâmico,o que equivale a anular a freqüência).
3o Caso) Viga com diferentes condições de apoio - Cálculo de carga crítica
Condições de apoio:
cmola1 1 1020 [F]/[L]
cmola2 0 1020 [F][L]
cmola3 1 1020 [F]/[L]
cmola4 0 1020 [F][L]
Imposição das Condições de Apoio:
KE2 KE
i 1 4
KE2i iKEi i
cmolai
Resolvendo o Problema de Autovalores para a carga crítica (novamente, ressalte-se que éeliminada a matriz de massa, pois o problema é estático, já que a primeira frequência é nula):
InvPcritico eigenvals KE21
Kg
Pcritico sort InvPcritico 1
Pcritico
9.8696
39.47842
88.82644
309.28057
518.75058
5.99539 1017
1 1020
Notar que para simp. apoiada:d 1
i 1 8
PEulerii π( )2 E I
d2
Para outras condições, uarar comp. de flamb.:
Lfl 1 d PEulerπ
2 E I
Lfl2
PEuler 9.8696
PEuler
9.8696
39.47842
88.82644
157.91367
246.74011
355.30576
483.61062
631.65468
Erro 100Pcritico1
PEuler PEuler
Erro 5.39948 10 14
(em %)
5o Caso) Viga Apoiada em molas - Cálculo de carga crítica
Condições de apoio (molas arbitradas):
cmola112000 E I
d3
[F]/[L]
cmola24 E I
d [F][L]
cmola3 cmola1 [F]/[L]
cmola4 cmola2 [F][L]
Imposição das Condições de Apoio:
KE2 KE
i 1 4
KE2i iKEi i
cmolai
Resolvendo o Problema de Autovalores para a carga crítica (novamente, o problema é estático):
InvPcritico eigenvals KE21
Kg
Pcritico sort InvPcritico 1
Pcritico
20.95873
51.64459
103.67151
393.81751
627.91003
6.00814 103
1.4515 1018
Inclusão de base elástica
Para incluir o efeito de uma base elástica, basta incorporar a energia correspondente, seja comoexterna ou como interna (incluindo na energia de deformação). Tomando k como sendo a constante dabase, obtém-se uma matriz de rigidez já acrescida desse efeito, como mostrado abaixo.
dL1
(parte apoiada na base)kbase 200 π
4 E
I
L4 kbase 0
kbase =0 é usado paracomparações.
Integração ao Longo da Barra
Funções Básicas:
i 1 4 j 1 4
Matriz de rigidez associada à energia de deformação da base: KEkpi j0
dxkbase wP x d( )i wP x d( )j
d
Interação entre as funções básicas e as funções adicionais
i 1 4 j 1 N
Matriz de rigidez associada à energia de deformação da base:
KEkpti j0
dxkbase wP x d( )i wT x j d( )
d KEktp KEkptT
Funções Adicionais i 1 N j 1 N
Matriz de rigidez associada à energia de Deformação da base: KEkti j 0
dxkbase wT x i d( ) wT x j d( )
d
Soma na matriz de rigidez:
KEp KEp KEkp KEpt KEpt KEkpt KEtp KEtp KEktp KEt KEt KEkt
Montagem das Matrizes oriundas das diversas energias
Notar que não foi considerado o efeito geométrico na base. Além disso, foi desprezada a massa dabase elástica. Entretanto, as matrizes Mc e Kg são re-geradas abaixo, mostrando que seria possívelconsiderar a massa da base elástica (relevante, em muitos casos) e o efeito geométrico na base(que parece menos importante).
En. Cinética: Mc augment MCp MCpt Aux augment MCtp MCt Mc stack Mc Aux
En. da Força Axial: Kg augment KGp KGpt Aux augment KGtp KGt Kg stack Kg Aux
En, de Deformação: KE augment KEp KEpt Aux augment KEtp KEt KE stack KE Aux
A seguir, continua-se a apresentação de exemplos.
6o. Caso) Viga Simplesmente Apoiada, sobre base elástica - Cálculo de carga crítica
Condições de apoio:
cmola1 1 1010 [F]/[L]
cmola2 0 1010 [F][L]
cmola3 1 1010 [F]/[L]
cmola4 0 1010 [F][L]
Imposição das Condições de Apoio:
KE2 KE
i 1 4
KE2i iKEi i
cmolai
Resolvendo o Problema de Autovalores para a carga crítica (problema é estático):
InvPcritico eigenvals KE21
Kg
Pcritico sort InvPcritico 1
Pcritico
9.8696
39.47842
88.82644
309.28057
518.75058
5 109
2.36532 1018
Notar que i 1 8
Panaliticoii2 kbase
L4
i2 π4
E I
π2
EI
L2
Panalitico
9.8696
39.47842
88.82644
157.91367
246.74011
355.30576
483.61062
631.65468
Deve-se observar que no caso da base elástica surgem problemasnuméricos com mais facilidade devido ao modo de translação rígidainteragir com a base elástica.
7o. Caso) Viga em balanço, carga dirigida para o apoio - Cálculo de carga crítica
Condições de apoio:
cmola1 1 1010 [F]/[L]
cmola2 1 1010 [F][L]
cmola3 0 1010 [F]/[L]
KE2 KEcmola4 0 1010 [F][L]
i 1 4
KE2i iKEi i
cmolaiImposição das Condições de Apoio:
Resolvendo para a carga crítica de direção constante (problema é estático):
InvPcritico eigenvals KE21
Kg
Pcritico sort InvPcritico 1
Pcritico
2.46741
22.21443
61.95801
132.83458
410.41774
2.99917 1011
5.09313 1042
Notar que
i 1 8 Panaliticoi2 i 1( )2 π
2 E I
4 L2
Panalitico
2.4674
22.20661
61.68503
120.90265
199.85949
298.55553
416.99079
555.16525
Matriz de rigidez da carga dirigida para ponto a distância c (4 graus de liberdade convencionais):c L (se dirigida para o apoio)
Matriz geométrica corrigida:Kcarga
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1c
0
0
0
0
0
i 1 4 j 1 4
Kgi jKgi j
Kcargai j
Resolvendo para a carga crítica (notar que o problema é estático, Kcarga é simétrica):
InvPcritico eigenvals KE21
Kg
Pcritico sort InvPcritico 1
Pcritico
9.8696
39.47842
88.82644
309.28047
518.75024
3.00251 1011
3.33056 108
Notar que a carga crítica é 4 vezes maior que no caso anterior.Se o sinal de Kcarga é invertido, observa-se que Pcritico = -1.35853
8o. Caso) Viga em balanço, carga tangente ("follower" ) - Cálculo de carga crítica
Condições de apoio:
cmola1 1 1015 [F]/[L]
cmola2 1 1015 [F][L]
cmola3 0 1010 [F]/[L]
KE2 KEcmola4 0 1010
[F][L]i 1 4
Imposição das Condições de Apoio: KE2i iKEi i
cmolai
Retirada da matriz geométrica do caso anterior:i 1 4 j 1 4
Kgi jKgi j
Kcargai j
Matriz de "rigidez" da carga tangente ou seguidora (4 graus de liberdade convencionais):
Matriz geométrica corrigida:
i 1 4 j 1 4Kcarga
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
Kgi j
Kgi jKcargai j
Resolvendo como se fosse estático o problema:
InvPcritico eigenvals KE21
Kg
Pcritico sort InvPcritico 1
Pcritico
48.01316 78.33998i
48.01316 78.33998i
5.70126 1018
6.40948 1016
26.08427 52.71762i
26.08427 52.71762i
50.27425
Este resultado confirma o resultado da análise da equação diferencial estática, que indica não existir carga crítica finita real. Abaixo, fazemos o cálculo dinâmico que mostra a existênciade carga crítica de flutter.
Resolvendo repetidamente para as freqüencias, com P crescente:
k 0.99999P 20.051775E I
L2 k
ωsquare eigenvals Mc1 KE2 P Kg
ω
9.86941
39.47842
88.82641
240.74345
398.13398
6.23148 1010
6.99828 1010
ω sort ωsquare
Com o crescimento da carga, a primeira e a segunda freqüênciasse aproximam (valores para P=0: 3.52 e 22.0), coincidem ao seatingir a carga crítica e a seguir passam a ter uma parcelaimaginária, o que indica uma vibração de amplitude crescente(com frequência aproximadamente 3.1 vezes a primeirafreq.natural, no caso de n).
Video de flutter da PUC: https://www.youtube.com/watch?v=dVSSSsWDlt4&feature=youtu.be&t=1m7s
Comparação entre matrizes de rigidez e geométricas com interpolação cúbica e as oriundas da solução analítica da equação diferencial da viga-coluna
KE E I L( )
12 E I
L3
6 E I
L2
12 E I
L3
6 E I
L2
6 E I
L2
4 E IL
6 E I
L2
2 E IL
12 E I
L3
6 E I
L2
12 E I
L3
6 E I
L2
6 E I
L2
2 E IL
6 E I
L2
4 E I
KG P L( )PL
65
110
L
65
110
L
110
L
215
L2
110
L
130
L2
65
110
L
65
110
L
110
L
130
L2
110
L
215
L2
A solução analítica da eq. diferencial homogênea da viga-coluna (P é positivo quando de tração) émostrada abaixo. Notar que no caso de tração surgem funções hiperbólicas, e no caso decompressão surgem funções trigonométricas.
w x( ) A B x C exp k x( ) D exp k x( )=
dw x( ) B C k exp k x( ) D k exp k x( )=
onde k
PE I
= (de maneira a ter P < 0 para compressão)
Com base na solução acima, podemos obter a matriz de rigidez aplicando deslocamentos unitários nascoordenadas convencionais e computando as forças nodais correspondentes (refs.: Weaver e Gere,Matrix Analysis of Structures, 3rd. ed.; Livesley, Matrix Methods of Structural Analysis, 2nd. ed.; Bazant eCedolin, Stability of Structures). A matriz de rigidez também poderia ser obtida com o uso de funções de forma, que seriam obtidas pelatransformação dos parâmetros A, B, C, D para os graus de liberdade w(0), w'(0), w(L), w'(L), umprocedimento simples mas levando a matrizes um tanto complicadas, como indicado abaixo.
q1
q2
q3
q4
w 0( )
dw 0( )
w L( )
dw L( )
=
1
0
1
0
0
1
L
1
1
k
exp k L( )
k exp k L( )
1
k
exp k L( )
k exp k L( )
A
B
C
D
=
Por qualquer método, a matriz deve resultar como indicado abaixo (Weaver e Gere, p. 429).
Εc 2 2 cos k L( ) k L sin k L( )=
K2 E I
L3
6 s1
3 L s2
6 s1
3 L s2
3 L s2
2 L2 s3
3 L s2
L2 s4
6 s1
3 L s2
6 s1
3 L s2
3 L s2
L2 s4
3 L s2
2 L2 s3
=
com
s1k L( )3 sin k L( )
12 Εc=
s2k L( )2 1 cos k L( )( )
6 Εc=
As expressões ao lado valem para força decompressão (P<0). Para tração, invertem-se ossinais de s2, s3 e s4, substituem-se as funções sin ecos por sinh e cosh, e toma-se
s3k L sin k L( ) k L cos k L( )( )
4 Εc= Expandindo em série a matriz K, em torno de k=0,
obtemos como primeiro termo a matriz de rigidezelástica convencional, e como segundo termo a matrizgeométrica para interpolação cúbica. Termos de ordemsuperior podem ser usados para montar matrizesgeométricas melhoradas para quando se desejamodelar a viga-coluna por um único elemento (isto teriavantagens discutíveis). Por exemplo, no caso de K11obtemos o resultado abaixo.
s4k L k L sin k L( )( )
2 Εc=
Εt 2 2 cos k L( ) k L sin k L( )=
zP L2E I
=
s1z
32 sin z
12 2 2 cos z z sin z = 1
110
z1
8400z2
1756000
z3 O z4 =
Logo, K1112 E I
L31
110
P L2E I
...
= 12 E I
L365
PL ...=
Uma observação semelhante pode ser feita com relação à matriz de massa. Quando se utilizam asfunções convencionais cúbicas, obtêm-se uma aproximação da matriz "exata" para análise devibrações ('chamada por Clough e Penzien de "rigidez dinâmica" - mas cuidado com essa formulação, pois há problemas de singularidade envolvidos - caso de freqüências correspondendoa modos internos).
Matriz geométrica de uma barra de treliça ou segmento de cabo
No caso de uma barra sujeita apenas a alongamento/encurtamento (barra de treliça ou segmento decabo), o campo de deslocamentos convencional é uma função linear dos deslocamentos nodais.
A 1 Área da seção transversal da barra
uP x L( )
1xL
0
xL
0
duP x L( )
1L
0
1L
0
wP x L( )
0
1xL
0
xL
dwP x L( )
0
1L
0
1L
A energia de deformação V1 agora provém apenas da deformação axial ( derivada do deslocamentou, associado aos deslocamentos nodais 1 e 3). Já a energia V3 (de segunda ordem), associada aoefeito da força axial, está associada às mudanças de ângulo (derivada do deslocamento w, associadoaos deslocamentos 2 e 4). Não há necessidade de funções adicionais para o cálculo da matrizgeométrica da barra de treliça. Tais funções seriam necessárias, no entanto, para o estudo devibrações longitudinais. Naturalmente, existe ainda interesse prático no comportamento à flexão dasbarras, o que exigiria inclusão de deslocamentos transversais de viga.
Integração ao Longo da Barra
Funções Básicas:
i 1 4 j 1 4 d 1
Energia Cinética: MCpi j0
dxM wP x d( )i wP x d( )j uP x d( )i uP x d( )j
d
Energia da Carga Axial: KGpi j0
dxdwP x d( )i dwP x d( )j
d
Energia de Deformação:KEpi j
0
dxE A duP x d( )i duP x d( )j
d
Montagem das Matrizes
Energia Cinética: Mc MCp
Energia da Carga Axial: Kg KGp
Energia de Deformação: KE KEp
Kg
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
KE
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
Mc
0.33333
0
0.16667
0
0
0.33333
0
0.16667
0.16667
0
0.33333
0
0
0.16667
0
0.33333
Em forma literal, obtemos as expressões abaixo.
KEE AL
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
=Mcρ A L
6
2
0
1
0
0
2
0
1
1
0
2
0
0
1
0
2
= KgPL
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
=
É importante observar que uma carga do tipo "dirigida para um ponto " corresponde a uma barra detreliça ou cabo, sujeita a uma força axial, ligada aos pontos de aplicação e origem da carga. Assim,uma energia do tipo V4 (associada ao efeito de segunda ordem carregamento) pode ser consideradaequivalente a uma do tipo V3 (seg. ordem, interna, associada às tensões), e vice-versa. Na literaturahá diversos resultados contraditórios, devido a desatenção com este aspecto.
Tópicos adicionais
Variação de Inércia ou propriedades do material ao longa da viga: tomamos EI = função de x nasintegrais acima.Variação de carga: tomamos P(x) = p multiplicado por função de x. Entrando com p unitário nasintegrais da energia V3, o resultado para o autovalor será a magnitude crítica da carga.Vigas não-esbeltas: é necessário introduzir graus de liberdade correspondendo ao cisalhamentoou adotar rotações da seção independentes das translações, e adicionar a energiacorrespondente ao cisalhamento (pode ser suficiente tomar como primeira aproximação desseefeito apenas a contribuição em V1).Não-linearidade do material, em primeira aproximação: podemos tomar E como função de umparâmetro de carga p, e admitir Etang = dE/dp. Se houver uma aproximação linear para Etang,então haverá uma matriz elástica adicional, proporcional a p, a ser introduzida no problema deautovalor. Isto acontece pois a energia V1 passa a ter uma contribuição de 2a. ordem, similar àgeométrica.Não-linearidades do material ou do comportamento da carga: no caso de uma aproximaçãoquadrática da energia (ou seja, linear das matrizes envolvidas na formulação tangente) não sersuficiente, pode-se resolver incrementalmente o problema não-linear de autovalor. Ou seja,atualizam-se as matrizes e verificam-se os pivôs da decomposição de Gauss a cada passo decarga.
ômio cúbico, vide literatura)