Kære Jacob og Louise

Trigonometri betyder ganske enkelt trekantberegning, og med formlerne inden for trigonometri kan vi beregne længden på siderne og størrelsen på vinklerne i en retvinklet trekant. OBS: Vi taler her om retvinklede trekanter og kun dem.

Den længste side i en retvinklet trekant kaldes hypotenusen, og den ligger altid over for den rette vinkel. De to andre sider kaldes kateder – de ”hænger fast” på den rette vinkel – og vi taler om den modstående og den hosliggende katete. Det er vigtigt at have fat i de begreber, så se lige på denne tegning

I retvinklede trekanter bruger man sinus, cosinus og tangens til at beregne sidelængder og vinkler. Det lyder mere svært, end det i virkeligheden er. Det hele handler om at bruge 1 ud af 3 forskellige formler, hvor man indsætter 2 oplysninger for at finde den tredje oplysning.

Der er 3 grundformler, som du skal kende

Læg mærke til, at i alle formlerne er der 3 oplysninger, og matematikopgaverne går ALTID ud på at finde en af de tre oplysninger, når man kender de to andre oplysninger i formlen. Når du har prøvet det et par gange, er det ganske enkelt.

A. BEREGN DE UKENDTE SIDER

EKSEMPEL 1: Vi har en retvinklet trekant, hvor vi kan se, at hypotenusen er 7 cm, og en af vinklerne (ud over den rette) er 37 grader.

Vi har altså 2 oplysninger og du skal finde længden på den modstående katete, den kalder vi X. Her er opskriften:

1. Du vælger den formel, der indeholder de tre oplysninger, du skal arbejde med – og hvoraf du kender de to. I dette eksempel skal du finde den modstående katete og kender en vinkel og hypotenusen – altså skal du bruge sinus-formlen!

2. Du indsætter de kendte tal i sinus-formlen: a. Sin(37) = X/7 b. Sin(37) * 7 = X c. På lommeregneren finder du værdien af sin(37) og indsætter det i ligningen d. 0,6018 * 7 = X e. 4,21 = X.

Svaret på opgaven er altså, at den modstående katete er 4,21 cm.

ALTSÅ: NÅR MAN ARBEJDER MED EN VINKEL SAMT DEN MODSTÅENDE KATETE OG HYPOTENUSEN, SÅ BRUGER MAN SINUS-FORMLEN.

- - - O0O - - -

EKSEMPEL 2:

Her kender vi den hosliggende katete samt en vinkel og skal finde hypotenusen Vi har altså ligesom sidst 2 oplysninger og skal finde den tredje. Opskriften er den samme som sidst:

1. Du vælger den formel, der indeholder de tre oplysninger, du skal arbejde med – og hvoraf du kender de to. I dette eksempel skal du finde hypotenusen og du kender en vinkel og den hosliggende - altså skal du bruge cosinus-formlen!

2. Du indsætter de kendte tal i cosinus-formlen: a. cos(53) = 4,1/X b. X = 4,1/cos(53) c. På lommeregneren finder du værdien af cos(53) og indsætter det i ligningen d. X = 4,1/0,6018 e. X = 6,81 cm.

Svaret på opgaven er altså, at hypotenusen er 6,81 cm.

ALTSÅ: NÅR MAN ARBEJDER MED EN VINKEL SAMT DEN HOSLIGGENDE KATETE OG HYPOTENUSEN BRUGER MAN COSINUS-FORMLEN.

- - O0O - -

EKSEMPEL 3: Nu kan du godt regne ud, at hvis vi i trekanten i cosinus-eksemplet kendte den hosliggende katete samt vinklen på 53 grader, så kan vi finde længden af den modstående katete ved at bruge tangens-formlen.

Prøv om du kan løse den opgave! Det rigtige svar er, at den modstående katete er 4,91 cm.

- - o0o - -

B. BEREGN DE UKENDTE VINKLER

Når vi skal finde en ukendt vinkel i en retvinklet trekant, så gør vi det ved hjælp af invers sinus, invers cosinus og invers tangens.

Her kender vi den modstående katete samt hypotenusen og skal finde vinklen V. Fuldstændig ligesom sidst har vi 2 oplysninger og skal finde den tredje. Opskriften er den samme:

1. Du vælger den formel, der indeholder de tre oplysninger, du skal arbejde med – og hvoraf du kender de to. Kig på de tre formler – du skal bruge sinus-formlen!

2. Du indsætter de kendte tal i sinus-formlen: a. sin(V) = 4,5/7,7 b. sin (V) = 0,5844 c. V = sin-1 (0,5844) brug lommeregneren d. V = 35, 76 grader

Svaret på opgaven er altså, at Vinkel V er 35,76 grader.

På fuldstændig samme måde finder vi vinkel V – ved hjælp af cosinusformlen, hvis vi kender den hosliggende katete og hypotenusen Ved hjælp af tangensformlen, hvis vi kender den modstående og den hosliggende

katete.

B. IKKE RETVINKLEDE TREKANTER

Når vi har at gøre med trekanter, der IKKE er retvinklede, så bruger vi de såkaldte sinusrelationer.

Sammenhængen mellem siderne og sinus til vinklerne i en sådan trekant kalder vi for sinusrelationerne. De ser sådan ud:

asin A ¿

bsinB

=¿ csinC

Hvis vi fx har en trekant, hvor vi får oplyst størrelsen af vinklerne A og B til hhv. 75 og 40 grader og længden af liniestykket b (modstående til vinklen B) til 6 cm, så kan vi nemt beregne længden af liniestykket a (modstående til vinklen A) ved at vælge den relevante formel.

asin A ¿

bsinB

asin 75 ¿

6sin 40

a0,97 ¿

60,64

a = 6∗0,970,64 ¿ 9 cm. OSV