Capítulo 4: Amplitude (Linear) Modulation

4.1 Baseband and Carrier CommunicationEn el espacio libre las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de la luz.1 Frecuencia, velocidad de propagación y largo de onda está relacionadas por la siguiente fórmula.

c = f dondec = velocidad de la luz = 3 x 108 metros/secf = frecuencia en Hz = largo de onda2

Para que la transmisión sea eficiente desde el punto de vista de uso de la energía disponible se requiere que la antena sea por lo menos 1/10 del largo de onda. Si tratáramos de transmitir, sin modular, un tono de audio

de 1 k Hz3 entonces el largo de onda sería = c/f = 3 x 108metros /sec103 Hz = 3 x

105 metros = 300,000 metros y el largo mínimo de la antena debería ser de /10 = 30,000 metros = 30 kM, lo cual es un absurdo!

La solución a este problema consiste en transmitir un carrier, onda portadora o sinusoide de alta frecuencia4 cuya amplitud, frecuencia o fase es modulada por la señal. Esto es, las variaciones de la señal

1 Esto se desprende de las ecuaciones de Maxwell que junto a las condiciones de contorno definen todo el actual conocimiento humano sobre electricidad y magnetismo.2 Una onda es una función de dos variables, tiempo y distancia. En una onda el largo de onda se obtiene midiendo la distancia en metros entre picos consecutivos manteniendo la variable de tiempo fija o constante.3 1 kHz es la frecuencia que nosotros los humanos mejor escuchamos. El sistema de audición de los humanos puede ser modelado como un filtro pasa baja (i.e. low pass filter o LPF) cuyo máximo ocurre en la vecindad de 1 kHz. 4 La frecuencia del carrier deberá ser mucho mayor que la frecuencia de la señal de modulación.

2

producen variaciones en la amplitud, frecuencia o fase del carrier u onda portadora. Por ejemplo, dado el siguiente sinusoide

V(t) = A sin(2fc t + ) voltiosdonde

A = amplitud en voltiosfc = frecuencia en Hz2fc = frecuencia angular en rad/segt = tiempo en segundos = desfasamiento en radianes

Variando A obtenemos amplitud modulada (AM para el caso análogo, ASK para el caso digital). Variando f obtenemos frecuencia modulada (FM para el caso análogo, FSK para el caso digital). Variando obtenemos modulación de fase (PM para el caso análogo, PSK para el caso digital).

Tipos de modulación:Análoga AM FM PM

| | |V(t) = A sin(c t + ) = A sin(2fc t + )

| | |Digital ASK FSK PSK

\ / QAM

dondeAM = amplitud moduladaFM = frecuencia moduladaPM = phase modulation o modulación de faseASK = amplitude shift keyingFSK = frequency shift keyingPSK = phase shift keying

3

Para efectos de la transmisión electromagnética y de los cómputos del largo de la antena, la frecuencia a considerar es la del carrier, no la de la señal de modulación. Por supuesto que no hay almuerzo gratis. Hay un precio a pagar. Será necesario construir un modulador en el transmisor, y un demodulador en el receiver que invierta la operación realizada por el modulador en el transmisor. Esto es, el demodulador observará el carrier modulado recibido, detectará los cambios en amplitud, frecuencia o fase, y recuperará la señal. El receiver siempre termina descartando el carrier una vez detecta la señal.

Diagrama de Bloque para un Típico Sistema Análogo de Telecomunicaciones

Podemos mejorar el anterior diagram añadiéndole ruido al canal.

El término baseband es utilizado para designar la banda de frecuencias de la señal transmitida por la fuente. Por ejemplo, en telefonía baseband es el audio que ocupa la banda de frecuencias desde 0 a 3.5 k Hz. Cuando usamos comunicación baseband las señales son transmitidas sin

4

modular, esto es, sin desplazar el rango de frecuencias de la señal original.

Como las señales baseband cuentan con la mayor parte de su potencia a potencias bajas, no pueden ser transmitidas a través de un canal inalámbrico. Sin embargo, sí pueden transmitirse usando pares de cables, cables coaxiales o fibra óptica.

En este momento conviene aclarar que las señales basadas en las modulaciones de pulsos como pulse amplitude modulation (PAM), pulse width modulation (PWM), pulse position modulation (PPM), pulse code modulation (PCM) y delta modulation (DM) son señales baseband, aunque estén acompañadas del término modulación.

Un concepto bien importante del cual estaremos hablando durante todo el curso es el del ancho de banda. La forma más sencilla de definir ancho de banda es como la gama de frecuencias que ocupa una señal. Sin embargo, podemos ser más específicos. Usemos la siguiente figura como modelo.

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a) El absolute bandwidth es el intervalo más pequeño f2 – f1 para el cual el espectro es cero fuera de dicho intervalo.

b) El 3 dB o half power bandwidth queda definido por las frecuencias de corte en donde la potencia es la mitad de la potencia máxima. Como P = V2/R, el decir que la potencia es la mitad del máximo es equivalente a decir que el voltaje es 1/√2= 0.707.

c) El null-to-null bandwidth queda definido por la diferencia en frecuencia entre los dos ceros más cercanos a la frecuencia fundamental fo.

d) El power bandwidth queda definido por la gama de frecuencias donde se encuentra el 99% de la potencia total de la señal.

Aunque como acabamos de ver hay varias formas en que podemos definir el concepto de lo que es el ancho de banda, el 3 dB o half power bandwidth es la forma más común. De ahora en adelante, a menos que se indique lo contrario, cada vez que hablemos del ancho de banda en realidad nos referiremos al 3 dB half power bandwidth.

4.2 Amplitude Modulation: Double Sideband (DSB)Cuando usamos amplitud modulada la amplitud A del carrier u onda portadora A cos(ct + ) varía en forma proporcional a la señal baseband m(t), la señal de modulación. Como tan solo representa un desfasamiento el cual depende de los ejes de referencia, por conveniencia podemos asumir que = 0.

Sea M(f) la transformada de Fourier de m(t).

M(f) = F{m(t)} = ∫−∞

∞

m( t ) e− j 2π ft dt

6

m(t) es una función de tiempo y M(f) es una función de frecuencia. Integrando el producto m(t)e-j2ft sobre todos los posibles valores de tiempo, desde menos infinito hasta infinito, obtenemos M(f).

En el caso general M(f) es una función compleja que podemos representar en forma polar. Esto es,

M(f) = | M(f) | ej arg M(f)

La amplitud del espectro de m(t) está dada por una gráfica de | M(f) | vs. frecuencia y la fase del espectro de m(t) está dada por el ángulo o argumento de M(f) vs. frecuencia.

Si a m(t) le aplicamos la transformada de Fourier obtenemos M(f). Si a M(f) le aplicamos la transformada inversa de Fourier, obtenemos m(t). Esto es,

F-1{M(f)} = m(t) = ∫−∞

∞

M ( f ) e j2 π ft df

Si integramos el producto M(f) ej2ft para todos los posibles valores de frecuencia, desde menos infinito hasta infinito obtenemos la función m(t).

Podemos decir que m(t) y M(f) forman un Fourier transform pair el cual se denota de la siguiente manera.

m(t) <--> M(f)

7

Por convención, las funciones o señales en el dominio del tiempo las denotaremos con letra minúscula y las funciones o señales en el dominio de frecuencia las denotaremos con letra mayúscula.

Es importante recordar la fórmula de Euler. Esto es,

e-j2ft = cos(2ft) – j sin(2ft)

ej2ft = cos(2ft) + j sin(2ft)

Por lo tanto, los términos e-j2ft y ej2ft pueden interpretarse como sinusoides expresados en forma compleja. Esto nos permite dar una interpretación intuitiva de lo que es la transformada de Fourier. Por ejemplo, en la ecuación

F-1{M(f)} = m(t) = ∫−∞

∞

M ( f ) e j2 π ft df

podemos visualizar a m(t) como la sumatoria5 desde menos infinito a infinito de sinusoides de frecuencia f cuyo peso relativo es determinado por M(f). Esto es, si sumamos todos los componentes de frecuencia con su correspondiente amplitud relativa obtenemos la señal original en el dominio del tiempo.

Si M(f) = F{m(t)}, entonces

F{m(t) cos(2fct)} = F{m(t) e

j2 πf c t+ e

− j 2πf c t

2 }

= ∫−∞

∞

m( t )[e

j2 πf c t+ e

− j 2πf c t

2 ] e-j2ft dt

=12 ∫

−∞

∞

m( t )(e-j2f – fc)t + e-j2f + fc)t) dt

5 Un integral representa una sumatoria infinita.

8

= 12 M(f – fc) +

12 M(f + fc)

M(f – fc) corresponde al espectro original de m(t) desplazado hacia la derecha fc Hz, y M(f + fc) corresponde al espectro original de m(t) desplazado hacia la izquierda fc Hz.

Si el ancho de banda de m(t) es B Hz, entonces, el ancho de banda del carrier modulado es 2B Hz.

El espectro centralizado en fc consiste de dos componentes, un componente que aparece a la derecha de fc, el cual llamaremos el upper sideband, y otro componente que aparece a la izquierda de fc, el cual llamaremos el lower sideband. De forma similar, el espectro

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centralizado en –fc también cuenta con un upper y con un lower sideband.

Hemos visto que el espectro de la señal modulada consiste de dos sidebands y no incluye el carrier. Por dicho motivo a este tipo de modulación se le conoce como double sideband suppressed carrier (DSB-SC).

Consideremos ahora el proceso de demodular la señal DSB-SC. Parar recuperar el espectro original de la señal a partir del espectro del DSB-SC es necesario desplazar tanto el espectro centralizado en fc como el espectro centralizado en –fc a cero. Para lograr ese efecto, tomemos la señal modulada m(t) cos(ct) y multipliquémosla otra vez por cos(ct). Llamemos a ese producto e(t).

e(t) = m(t) cos(ct) cos(ct) = m(t) cos2(ct)

e(t) = m(t) 1+cos(2 ωc t )

2

e(t) = 12 m(t) +

12 m(t) cos(2ct)

Para obtener el espectro de e(t) calculemos la transformada de Fourier de e(t). Recordemos que la transformada de Fourier de una suma es la suma de las transformadas de cada término en dicha suma.

E(f) = F{e(t)} = 12 M(f) +

14 M(f – 2fc) +

14 M(f + 2fc)

10

Para recuperar el espectro de la señal original tan sólo basta pasar la señal por un low pass filter (LPF) que elimine los componentes centralizados en fc y en –fc. Tal y como muestra la siguiente figura, el

resultado final es 12 m(t).

Si en realidad lo que deseamos obtener a la salida del demodulador es

m(t) y no 12 m(t) podemos usar como carrier 2 cos(ct) en vez de

cos(ct), o sencillamente usar un amplificador de ganancia dos a la salida del low pass filter.

A este método para recuperar la señal baseband se le conoce como synchronous detection o coherent detection en donde necesitamos contar con un carrier con la misma frecuencia y fase que el carrier usado en el transmisor. Más adelante veremos cómo podemos generar en el receiver un carrier a la misma frecuencia y la misma fase del carrier en

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el transmisor. Sabemos que jamás tendremos dos osciladores distintos a exactamente la misma frecuencia y la misma fase.6

Veamos un ejemplo sencillo de modulación DSB-SC. Asumamos que la señal de modulación es un tono, esto es, m(t) = cos(mt).

M(f) = F{m(t)} = F{cos(mt)} = 12 (f – fm) +

12 (f + fm)

El espectro de m(t) consiste de dos impulsos, uno en fm y otro en –fm.

El espectro de la señal DSB-SC es el mismo espectro de m(t) pero desplazado a fc y a –fc, y dividido entre dos. Esto es,

F{cos(2fmt) cos(2fct)} = F{ cos(fmt) e

j2 πf c t+ e

− j 2 πf c t

2 }

= ∫−∞

∞

cos(2πf m t )[e

j2 πf c t+ e

− j 2 πf c t

2 ] e-j2ft dt

=12 ∫

−∞

∞e

j2 πf m t+ e

− j 2 πf m t

2 (e-j2f – fc)t + e-j2f + fc)t) dt

=14 (f – (fc + fm)) +

14 (f – (fc - fm)) +

14 (f + (fc + fm)) +

14 (f + (fc - fm))

6 Aún usando dos osciladores atómicos de cesio a un costo de por lo menos $6,000 cada uno no seríamos capaces de obtener exactamente la misma frecuencia y la misma fase.

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Sea (t)DSB-SC(t) la señal DSB-SC en el dominio del tiempo.

(t)DSB-SC(t) = cos(2fmt) cos(2fct)

(t)DSB-SC(t) = 12 cos(2(fc + fm)t) +

12 cos(2(fc - fm)t)

Esta última ecuación nos demuestra que cuando la señal es un sinusoide de frecuencia fm la señal modulada consiste de dos sinusoide, uno a la frecuencia fc + fm y otro a la frecuencia fc - fm. No hay sinusoide alguno a la frecuencia fc. Por eso es suppressed-carrier.

Calculemos ahora para este ejemplo, la señal demodulada.

e(t) = [cos(2fmt) cos(2fct)] cos(2fct)

e(t) = cos(2fmt) cos2(2fct)

e(t) = 12 cos(2fmt) (1 + cos(4fct))

e(t) = 12 cos(2fmt) +

12 cos(2fmt) cos(4fct)

e(t) = 12 cos(2fmt) +

14 cos(4fc + fm)t) +

14 cos(4fc - fm)t)

13

Si pasamos e(t) por un low pass filter obtenemos 12 cos(2fmt), esto es,

una versión atenuada, por un factor de dos, de la señal original.

Examinemos ahora cómo podemos construir un modulador DSB-SC en donde dos inputs o entradas son multiplicados.

Consideremos un circuito no-lineal con input x(t) y output y(t). Dicho circuito no-lineal podría ser un diodo, un transistor, un tubo, un FET, etc. Como el comportamiento es no-lineal, puede ser descrito, al menos aproximadamente, por la siguiente ecuación.

y(t) = a x(t) + b x2(t)

Consideremos ahora dos circuitos no-lineales (NL) idénticos conectados tal y como muestra la siguiente figura.

14

x1(t) = cosct + m(t)

x2(t) = cosct – m(t)

y1(t) = a x1(t) + b x12(t)

y2(t) = a x2(t) + b x22(t)

z(t) = y1(t) – y2(t)

z(t) = a x1(t) + b x12(t) – (a x2(t) + b x2

2(t))

z(t) = a(x1(t) – x2(t)) + b(x12(t) - b x2

2(t))

z(t) = 2 a m(t) + 4 b m(t) cos(ct)

El espectro de m(t) está centralizado en 0 Hz mientras que el espectro de m(t) cos(ct) está centralizado en +/- fc. Por lo tanto, el filtro pasa banda tan solo deja pasar el término 4 b m(t) cos(ct). En el diagrama de bloque del modulador DSB-SC no-lineal el carrier presente en uno de los dos inputs es cancelado y no aparece en la salida. A los circuitos con dicha propiedad se les conoce como circuitos balanceados, o el modulador DSB-SC no-lineal es un modulador balanceado. El circuito está balanceado con respecto a tan solo uno de los dos inputs, el carrier,

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pues el otro input m(t) aparece en la salida (aunque desplazado en frecuencia).

Hay otro tipo de modulador balanceado conocido como el double balanced modulator en donde ambos inputs son eliminados. La siguiente figura nos muestra una posible implementación de un double balanced modulator.

Durante el ciclo positivo del carrier los diodos D1 y D3 conducen, y los diodos D2 y D4 están en circuito abierto. Si descartamos la pequeña caída en voltaje a través de los diodos que conducen, podemos decir que

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el punto c está conectado al punto a, y el punto b al punto d. Durante el ciclo negativo del carrier los diodos D2 y D4 conducen mientras que los diodos D1 y D3 permanecen en circuito abierto. Durante el ciclo positivo del carrier entre los puntos c y d tendremos un voltaje proporcional a +m(t). Durante el ciclo negativo del carrier entre los puntos c y d tendremos un voltaje proporcional a –m(t). Por tal razón podemos decir que entre los puntos c y d tenemos un voltaje definido por la expresión m(t) multiplicada por la onda cuadrada wo(t). Como la onda cuadrada wo(t) es periódica, entonces puede ser expandida en una serie de Fourier.

wo(t) = 4π (cos(ct) -

13 cos(3ct) +

15 cos(5ct) - . . .)

En la secundaria del transformador obtenemos vi(t).

vi(t) = m(t) wo(t)

vi(t) = 4π (m(t) cos(ct) -

13 m(t) cos(3ct) +

15 m(t) cos(5ct) - . . .)

El término m(t) cos(ct) representa el espectro de m(t) trasladado a una nueva gama de frecuencias centralizadas en fc. El filtro pasa banda dejará pasar el término m(t) cos(ct). Sin embargo, los restantes

términos que componen vi(t), esto es, - 13 m(t) cos(3ct) +

15 m(t)

cos(5ct) - . . . , serán atenuados por el filtro pasa banda. De esta forma logramos multiplicar m(t) por cos(ct).

Hemos visto que podemos sintetizar un modulador DSB-SC de dos formas distintas: 1) usando dos circuitos no-lineales idénticos, o 2)

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usando un double balanced modulator. Lamentablemente, ambos enfoques presentan limitaciones. Por ejemplo, aunque podemos encontrar dos circuitos no-lineales parecidos, jamás encontraremos dos circuitos no-lineales idénticos. El double balanced modulator requiere de dos transformadores, los cuales ocupan espacio, pesan, y son costosos pues requieren de un core ferromagnético y dos embobinados.7 Por suerte hay una alternativa más costo efectiva, y es el modulador de conmutación. Veamos cómo opera.

Sea (t) una señal periódica con la misma frecuencia fc del carrier. Como (t) es periódica, la podemos expandir en una serie de Fourier.

(t) = ao + 2 ∑n=1

∞

( an cos (ωn t )+bn sin (ωn t ) ) = ao + 2

∑n=1

∞

cn cos (ωn t+θn )

donde n = n c y cn = √an2+bn

2

El término ao representa el componente DC, el cual asumiremos que es cero.

(t) = 2 ∑n=1

∞

cncos (ωn t+θn )

Definamos Cn = 2 cn.

(t) = ∑n=1

∞

Cn cos (ωn t +θn ) =

∑n=1

∞

Cn cos (nωc t+θn )

Por lo tanto,

7 El cobre está carísimo!!!!!

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m(t) (t) = ∑n=1

∞

Cn m( t )cos (nωc t+θn)

Si interpretamos este último resultado podemos concluir que en el dominio de frecuencia m(t) (t) consiste de la suma de los espectros de m(t) desplazados y centralizados en fc, 2fc, 3fc, 4fc, etc. Usando un filtro pasa banda nos quedamos con el espectro centralizado en fc y descartamos las otras copias del espectro de m(t). Por lo tanto, hemos multiplicado m(t) por cos(ct).

Demodulación de Señales DSB-SCLa demodulación de señales DSB-SC es igual a la modulación. En el receiver multiplicamos la señal recibida m(t) cos(ct) por un carrier de la misma frecuencia y fase, esto es, cos(ct), y la salida la pasamos por un filtro pasa baja. Lo que hacemos es un down conversion. Por lo tanto, todos los anteriores moduladores de DSB-SC también pueden funcionar como demoduladores. Lo único que hay que hacer es reemplazar los filtros pasa banda por filtros pasa baja.

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Amplitud Modulada (AM)

Aunque quizás nos pareció sencillo, la demodulación de señales DSB-SC presenta un problema muy complejo. Dicha demodulación requiere que el receiver sintetice o genere localmente un carrier a la misma frecuencia y fase que la frecuencia y la fase de un carrier generado en el transmisor, el cual puede encontrarse a cientos o miles de millas de distancia. Lograr esto requiere de un receiver bastante sofisticado y costoso. La alternativa más sencilla para resolver este problema es haciendo que el transmisor además de transmitir el término m(t) cos(ct) también transmita un carrier A cos(ct). Así no habrá que generarlo localmente en el receiver. El precio a pagar es que se va a requerir más potencia, pues además de transmitir el término que tiene la información, también se requerirá transmitir un carrier que no lleva ninguna información pero cuyo objetivo es simplificarle la labor al receiver de forma que éste pueda ser más barato. En un sistema de telecomunicaciones punto a punto en donde para cada transmisor hay un receiver, posiblemente sale más barato diseñar un receiver más sofisticado que gastar el dinero que se requeriría para aumentar la potencia en el transmisor. En cambio, en broadcasting (i.e. radiodifusión) en donde un solo transmisor le envía una señal a un número grande de receivers, hace más sentido que el receiver sea lo más sencillo y barato posible, aunque se tenga que aumentar la potencia del transmisor. De lo contrario, el precio subiría exponencialmente con el aumento en el número de receivers. En virtud de esta consideración es que surgió la amplitud modulada (AM) en donde la señal transmitida AM(t) está dada por la siguiente ecuación.

AM(t) = A cos(ct) + m(t) cos(ct)

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AM(t) = (A + m(t)) cos(ct)

Como la transformada de Fourier de una suma es la suma de las transformadas de Fourier,

F{AM(t)} = F{A cos(ct)} + F{m(t) cos(ct)}

F{AM(t)} = 12 (f – fc) +

12 (f + fc) +

12 M(f – fc) +

12 M(f + fc)

El espectro de AM(t) es igual al espectro de m(t) cos(ct) excepto por dos impulsos adicionales, uno en fc y otro en –fc.

Podemos visualizar AM como una señal DSB-SC pero en donde la señal de modulación no es m(t) si no A + m(t), en donde A es positivo. Esto es, tendremos un carrier de alta frecuencia oscilando entre A + m(t) y –(A + m(t)). Tal y como muestra la siguiente figura, si A + m(t) > 0 entonces la envolvente representa la señal. En cambio, si A + m(t) < 0 entonces la envolvente sufre distorsión. Como la envolvente representa la señal, la detección del carrier modulado de AM no necesita del carrier, simplificando así el receiver.

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Para evitar la distorsión se requiere que para todo posible valor de t, A+ m(t) > 0.

Aunque la señal de modulación generalmente es una señal de audio, podemos simplificar el análisis asumiendo que la señal será un tono a la frecuencia fm en donde fm << fc, y amplitud E. Después de todo podemos visualizar una típica señal de audio como la sumatoria y la superposición de una serie de tonos a distintas frecuencias y de distintas duraciones.

m(t) = E cos(mt)

En este caso la envolvente de AM(t) = (A + m(t)) cos(ct) es |A + m(t)| = | A + E cos(mt) |. Por lo tanto, si deseamos garantizar que no habrá distorsión, entonces se requiere que:

22

1. fm << fc

2. A + E cos(mt) > 0 => E < A

Definamos la amplitud de la señal de modulación dividida por la amplitud del carrier como el índice de modulación .

= EA

Para evitar la distorsión necesitamos que E < A, o lo que es equivalente, La próxima figura muestra las señales moduladas correspondientes a índices de modulación de 0.5 y 1.0.

Hemos visto que contrario a DSB-SC en el caso de AM el problema de detección en el receiver se simplificó y ya no necesitamos estar sincronizados al carrier. Sin embargo, la lógica nos dice que “no hay almuerzo gratis”. Tiene que haber algún costo, y lo hay.

Asumiendo que la señal de modulación es un tono de la forma m(t) = E cos(mt) analicemos las potencias envueltas y el ancho de banda ocupado,

AM(t) = A cos(ct) + m(t) cos(ct)

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AM(t) = A cos(ct) + E cos(mt) cos(ct)

AM(t) = A cos(ct) + E2 cos((c + m)t) +

E2 cos((c - m)t)

Para un índice de modulación = EA

AM(t) = A cos(ct) + μA2 cos((c + m)t) +

μA2 cos((c - m)t)

AM(t) tiene dos componentes, el carrier, y los dos sidebands. Sabemos que para una señal sinusoidal de amplitud A la potencia promedio está data por el cuadrado del voltaje RMS dividido por la resistencia, y que

VRMS = A√2 . Por lo tanto, la potencia del carrier está dada por la

siguiente ecuación.

Pc = A2

2

El power spectrum de e(t) consiste de un carrier a frecuencia fc, y dos sidebands. Uno de los sidebands, el upper sideband, es un carrier a una frecuencia fc + fm. El lower sideband es un carrier a una frecuencia fc - fm.

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Observando el power spectrum podemos concluir interesantes observaciones sobre el ancho de banda y la potencia requerida.

El ancho de banda es (fc + fm) - (fc - fm) = 2 fm

Esto implica que un carrier de AM modulado por un sinusoide requiere del doble del ancho de banda de la señal. O sea, que en AM se desperdicia ancho de banda!!!!!!!!!!!!!

Desde el punto de vista de eficiencia en la utilización del espectro, AM es pésimo.

La FCC ha asignado un ancho de banda de 10 k Hz a cada estación comercial de AM. Eso quiere decir, que cada sideband tan sólo cuenta con 5 k Hz de ancho de banda. No en balde en AM los tonos altos se escuchan tan mal!!!!!!!!!!

Ahora, asumiendo resistencia unitaria, examinemos la potencia requerida.

La potencia del carrier a frecuencia fc es (A/√2)2 = A2

2 = PC

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La potencia del upper sideband (USB) es (E/(2√2))2 = E2

8 = ( μA )2

8 = μ2 A2

8 = PUSB

La potencia del lower sideband (LSB) es (E/(2√2))2 = E2

8 = ( μA )2

8 = μ2 A2

8 = PLSB

Sea Ptotal la potencia total.

Ptotal = PC + PUSB + PLSB

Ptotal = A2

2 + μ2 A2

8 + μ2 A2

8

Ptotal = A2

2 + μ2 A2

4

Ptotal = A2

2 (1 + μ2

2 )

Ptotal = PC (1 + μ2

2 )

Dado que

Ptotal = PC ( 1 + μ2

2 )

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y que para evitar distorsión y aumento en el ancho de banda requerido 0 < < 1, entonces

max( Ptotal ) = PC ( 1 +

12 ) =

32 PC

¿Qué por ciento de la potencia total es utilizado para transmitir el carrier?

% =

PC

P total x 100 =

PC

3 PC

2 x 100 =

23 x 100 = 66.66 %

Como normalmente se opera con m < 1, entonces siempre emplearemos por lo menos 2/3 de la potencia total transmitiendo un carrier que después de todo, no lleva ninguna información!!!!!

¿Qué por ciento de la potencia total en realidad va a ser utilizada por el receiver para detectar la señal?

Si 66.66 % de la potencia total es utilizada para transmitir un carrier, esto nos deja un 33.33 % para transmitir los dos sidebands.

Si AM es tan ineficiente, tanto en la utilización de ancho de banda como en la utilización de la potencia, entonces, ¿cómo es tan popular? ¿A qué se debe su desarrollo y amplio uso?

Se debe a que el detector de AM implementado en los receivers es bien barato. Cuando examinemos los circuitos de recepción veremos que un diodo, una resistencia y un condensador son suficientes para implementar un detector de AM.

Ejemplo numérico:Si tenemos un carrier de AM con amplitud de 30 V y un índice de modulación de 66.7%, entonces calcule la potencia de los dos sidebands,

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la potencia del carrier y la potencia total. Asuma una impedancia de 50 .Solución:

A = 30 voltios

= EA = 0.667 => E = 30 x 0.667 = 20 voltios

PC = (A/√2)2 / 50

PC = (30 / √2)2 / 50 = 9 W

Ptotal = PC ( 1 + μ2

2 )

Ptotal = 9( 1 + 0 .6672

2 ) = 11 W

PUSB + PLSB = 11 – 9 = 2 W

Generación de señales AMEn principio, la generación de AM es idéntica a la generación de DSB-SC excepto por un carrier de la forma A cos(ct) que se le añade a la señal DSB-SC.

Demodulación de señales AMAl igual que las señales DSB-SC, las señales AM pueden ser demoduladas usando demodulación coherente o sincrónica en donde en el receiver se usa un carrier a la misma frecuencia y fase que en el transmisor. Sin embargo, este enfoque derrotaría el propósito de AM, el cual era un receiver sencillo en donde no se tuviera que sintetizar un carrier sincronizado con el carrier del transmisor. Tal y como hemos

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visto, cuando el índice de modulación es menor de uno, la envolvente del carrier de AM contiene la información.La forma más sencilla de demodular una señal de AM es usando un detector de envolvente. La siguiente figura muestra un circuito típico que funciona como detector de envolvente.

Durante el ciclo positivo de la señal la entrada aumenta y excede el voltaje del condensador, haciendo que éste se cargue rápidamente a través de la pequeña resistencia interna del diodo. El condensador se carga al voltaje máximo de la señal de entrada. Una vez el voltaje de entrada cae por debajo del voltaje del condensador, el diodo queda en circuito abierto y el condensador se descarga lentamente a través de la resistencia R. El voltaje a través del condensador vC(t) sigue la trayectoria de la envolvente de la señal. Como entre cada dos picos consecutivos de la señal el condensador se descarga lentamente, se forma un voltaje de ripple de frecuencia fc, la frecuencia del carrier. Podemos reducir el voltaje de ripple escogiendo valores más grandes de

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R y de C de forma que la constante de tiempo RC sea todavía mayor. Mientras más grande sea la constante de tiempo de un circuito, éste será más lento en reaccionar, y en nuestro caso, reducirá el voltaje de ripple. Por otro lado, si la constante de tiempo es demasiado grande, el circuito podría llegar a ser tan y tan lento que no fuera capaz de seguir la trayectoria de la señal cuando ésta comienza a disminuir. Como la velocidad máxima con la que decae la señal dependerá del ancho de banda B (en Hz) de la señal, entonces podemos establecer límites en los posibles valores de la constante RC.

1ωc << RC <

12 πB

Veamos algunos valores típicos. Sabemos que para AM comercial B = 5 kHz. La banda de AM se encuentra entre los 540 kHz y los 1,700 kHz. Por lo tanto,

12 π (540 x103 ) << RC <

12π (5 x103 )

2.95 x 10-7 << RC < 3.18 x 10-5

Un diseño “razonable” podría ser RC = 1 x 10-5. Como tenemos más opciones a la hora de escoger entre los distintos valores comercialmente disponibles de resistencias que de condensadores, escojamos un condensador de 0.1 F = 10-7 F. En dicho caso, un valor apropiado para la resistencia sería de 100

Como la salida del detector de envolvente generalmente alimenta un amplificador de audio, generalmente se conecta un condensador a la salida del detector para remover cualquier componente DC.8

8 No hace sentido amplificar DC. Normalmente amplificamos los componentes AC. Un componente DC no lleva información alguna y si se lo inyectamos a un amplificador, podemos terminar saturando el amplificador.

30

4.4 Bandwidth-Efficient Amplitude Modulations

Hemos visto que el espectro de AM como el de DSB-SC cuentan con dos sidebands, el upper sideband (USB) y el lower sideband (LSB), cada sideband conteniendo toda la información de la señal m(t). Por lo tanto, si la señal ocupa un ancho de banda de B Hz, entonces AM y DSB-SC ocupan 2B, el doble del ancho de banda de la señal, lo cual no es nada eficiente.

Para mejorar la eficiencia con la cual se usa el ancho de banda, hay dos técnicas:

1) Single-sideband (SSB) que remueve o el USB o el LSB utilizando así B Hz de ancho de banda.

2) Quadrature amplitude modulation (QAM) que envía dos mensajes en el mismo ancho de banda de 2B Hz.

Amplitude Modulation: Single Sideband (SSB)Tal y como muestra la próxima figura, usando filtros pasa banda tanto el USB como el LSB pueden ser suprimidos del DSB produciendo así la señal SSB.

31

Cuando suprimimos uno de los dos sidebands del DSB obtenemos single sideband (SSB), el cual requiere la mitad del ancho de banda que requiere DSB.

Al igual que una señal DSB-SC, una señal SSB puede ser demodulada en forma coherente o sincrónica. Por ejemplo, si multiplicamos el USB de una señal por cos(ct), el espectro se desplaza fc Hz hacia la izquierda y fc Hz hacia la derecha. Tal y como muestra la anterior figura, con un filtro pasa baja centralizado en 0 Hz podemos recuperar el espectro original. Obtenemos el mismo resultado si usamos el LSB en vez del USB.

Como la demodulación de las señales SSB es idéntica a la demodulación de las señales DSB-SC, los transmisores SSB ahora pueden utilizar la

32

mitad del ancho de banda que utilizan los transmisores DSB-SC, sin afectar en nada al receiver. Como las señales SSB no son acompañadas por carrier alguno, se les conoce como SSB-SC (single sideband suppressed carrier).

Transformada HilbertUna herramienta que nos va a ayudar a describir el espectro de las señales SSB es la transformada Hilbert.

Sea xh(t) = H{x(t)} la transformada Hilbert de la señal x(t). Esto es,

xh(t) = H{x(t)} = x(t) *

1π t =

1π ∫

−∞

∞ x( α )t−α

dα

Tal y como vimos en el curso de Análisis de Señales y Sistemas, el asterisco ‘*’ representa la convolución de dos señales.

Repasemos las propiedades de la función sgn(t).

En virtud de la anterior definición de sgn(t), podemos expresar sgn(t) en términos de la función u(t) o función salto unitario.

sgn(t) = 2 u(t) – 1

Si fuéramos a calcular la transformada de Fourier de sgn(t) no podríamos usar el integral de Fourier pues sgn(t) no es absolutamente integrable. Sin embargo, podemos usar las propiedades de la transformada de Fourier.

33

d sgn( t )dt = 2 (t)

Ahora usemos la siguiente propiedad de la transformada de Fourier.

Si F{x(t)} = X(f), entonces

F{d x ( t )

dt } = j 2 f F{x(t)}

Esto es, diferenciar en el dominio del tiempo es equivalente a multiplicar por j 2 f en el dominio de frecuencia. Por lo tanto,

F{d sgn( t )

dt } = j 2 f F{sgn(t)} = F{2 (t)} = 2

F{sgn(t)} =

2j 2πf =

1jπf = -j

1πf

Recordemos la propiedad de dualidad que posee la transformada de Fourier. Esto es,

Si F{x(t)} = X(f), entonces

F{X(t)} = x(-f)

Por lo tanto,

1π t <-> -j sgn(f)

Como convolución en el dominio del tiempo es equivalente a multiplicación de los espectros en el dominio de frecuencia,

34

xh(t) = H{x(t)} = x(t) *

1π t <-> -j X(f) sgn(f)

Este último resultado es muy importante pues nos indica que si la señal m(t) pasa por un filtro con función de transferencia H(f) = -j sgn(f) entonces obtenemos mh(t), o la transformada Hilbert de m(t).

Examinemos las propiedades del filtro H(f) = -j sgn(f).

H(f) = -j sgn(f)

De la última ecuación podemos concluir que nuestro filtro tiene una magnitud de uno, y un desfasamiento de +/- /2 radianes.

35

Usando la transformada Hilbert como herramienta, ahora podemos representar cada sideband de una señal SSB en el dominio del tiempo. Usemos el siguiente diagrama como referencia.

M+(f) representa la mitad derecha del espectro de m(t), y M_(f) representa la mitad izquierda del espectro de m(t).

M+(f) = M(f) u(f) = M(f)

12 [1 + sgn(f)] =

12 [M(f) + jMh(f)]

36

M_(f) = M(f) u(-f) = M(f)

12 [1 - sgn(f)] =

12 [M(f) - jMh(f)]

Sea USB(f) el espectro USB de m(t).

USB(f) = M+(f - fc) + M_(f + fc)

USB(f) =

12 [M(f - fc) + jMh(f - fc)] +

12 [M(f + fc) - jMh(f + fc)]

USB(f) =

12 [M(f - fc) + M(f + fc)] -

12 j [Mh(f - fc) - Mh(f + fc)]

Si a la anterior ecuación le aplicamos la transformada inversa de Fourier, obtenemos el siguiente resultado.

USB(t) = m(t) cos(ct) – mh(t) sin(ct)

Siguiendo el mismo procedimiento es posible probar que

LSB(t) = m(t) cos(ct) + mh(t) sin(ct)

En general, para cualquier señal SSB, ya sea USB o LSB,

SSB(t) = m(t) cos(ct) -/+ mh(t) sin(ct)

En la demodulación coherente multiplicamos SSB(t) por cos(ct) obteniendo el siguiente resultado.

SSB(t) cos(ct) = (m(t) cos(ct) -/+ mh(t) sin(ct)) cos(ct)

SSB(t) cos(ct) = m(t) cos2(ct) -/+ mh(t) sin(ct) cos(ct)

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SSB(t) cos(ct) =

12 m(t) (1 + cos(2ct)) -/+

12 mh(t) sin(2ct)

Si pasamos SSB(t) cos(ct) por un filtro pasa baja obtenemos la señal original m(t) multiplicada por un factor de ½.

Gracias a la transformada Hilbert hemos demostrado que una señal SSB, ya sea USB o LSB, puede ser domudulada en forma coherente, esto es, multiplicando la señal SSB recibida por cos(ct).

Modulador SSBLa ecuación SSB(t) = m(t) cos(ct) -/+ mh(t) sin(ct) nos muestra un posible método para construir un modulador SSB. El siguiente diagrama de bloque está basado en dicha ecuación. A este método para generar señales SSB se le conoce como el phase shift method.

El bloque marcado -/2 con input m(t) y output mh(t) es en realidad un filtro ideal que aplica la transformada Hilbert. Es ideal, pues el filtro introduce un cambio abrupto de fase de radianes (de -/2 a /2, o viceversa) en f = 0 Hz, lo cual no es realizable. Sin embargo, si la señal m(t) no tiene ni componente DC ni componentes importantes en la

38

vecindad de 0 Hz cualquier implementación que represente una aproximación a un filtro que implementa la transformada Hilbert logrará el efecto deseado. El otro bloque marcado -/2 no es un filtro ideal que aplica la transformada Hilbert. Es un circuito que produce desfasamiento constante.

Otro método aún más popular que el anterior que es utilizado para generar señales SSB consiste en generar una señal DSB-SC y luego pasarla por un filtro cuya amplitud decaiga rápidamente asemejando un filtro ideal pasa banda. Por suerte, el espectro de la voz humana no contiene mucha potencia por debajo de los 300 Hz, por lo que es posible filtrar dichos componentes sin afectar significativamente la calidad de la señal.

Detección de Señales SSB con un Carrier (SSB+C)Hay veces que para simplificar el receiver, a la señal SSB se le añade un carrier o piloto. Veamos cómo se simplifica el receiver en dicho caso.

Sea SSB+C(t) una señal SSB a la que se le ha añadido un carrier o piloto.

SSB+C(t) = A cos(ct) + m(t) cos(ct) + mh(t) sin(ct)

SSB+C(t) = [A + m(t)] cos(ct) + mh(t) sin(ct)

Del curso de pre-cálculo sabemos que

a cos(ct) + b sin(ct) = c cos(ct +

donde

c = √a2+b2

- tan-1(b/a)

39

Por lo tanto, para el caso SSB+C(t) = [A + m(t)] cos(ct) + mh(t) sin(ct) podemos concluir que

SSB+C(t) = E(t) cos(ct +

donde

E(t) = √( A+m( t ))2+mh2

E(t) = √ A2+2 Am( t )+m2( t )+mh2

E(t) = √ A2(1+2m(t )

A +m2

A2 +mh

2

A2 )

E(t) = A√1+2m( t )

A +m2

A2 +mh

2

A2

Si A >> |m(t)|, entonces para la mayor parte de los posibles valores de t, A >> |mh(t)| y

E(t) ¿ A√1+2 m( t )A

Ahora usemos conceptos básicos de expansión en serie. Para una

función f(x) = √ x = x1/2

f(x) ¿ f(1) + df ( x )

dx |x=1 (x – 1)

f(x) ¿ 1 +

12 (1)-1/2 (x – 1)

40

Sea x = 1 + 2 m( t )

A

√1+2 m( t )A ¿ 1 +

12 (1 + 2

m( t )A - 1)

√1+2 m( t )A ¿ 1 +

m( t )A

E(t) ¿ A (1 + m( t )

A )

E(t) ¿ A + m(t)

La anterior ecuación demuestra que la envolvente contiene la señal m(t). Por lo tanto, un detector de envolvente puede funcionar para extraer la señal de SSB+C siempre y cuando A >> |m(t)|. Como en AM el requisito era que A > |m(t)|, en SSB+C se requiere un carrier todavía más grande que en AM, haciéndolo todavía menos eficiente.

Quadrature Amplitude Modulation (QAM)Dado las dificultades al generar SSB-SC, como por ejemplo, el tener que sintetizar filtros cuya amplitud decaiga rápidamente, QAM ofrece una mejor alternativa pues no tiene las limitaciones de SSB-SC pero al igual que SSB-SC, economiza ancho de banda.

QAM transmite simultáneamente dos señales DSB usando carriers a la misma frecuencia, pero en cuadratura. Cuadratura es lo mismo que perpendicular u ortogonal. Al igual que dos vectores ortogonales no interfieren entre sí, dos carrier ortogonales tampoco interfieren entre sí, aunque tengan la misma frecuencia.

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El siguiente diagrama de bloque muestra cómo implementar un sistema de QAM.

QAM(t) consiste de la suma de dos señales DSB, m1(t) y m2(t).

QAM(t) = m1(t) cos(ct) + m2(t) sin(ct)

Tomando como input QAM(t) y un carrier localmente generado pero sincronizado en frecuencia y en fase con el carrier del transmisor, el demodulador genera las señales x1(t) y x2(t).

x1(t) = 2 QAM(t) cos(ct)

x1(t) = 2 (m1(t) cos(ct) + m2(t) sin(ct)) cos(ct)

x1(t) = 2 m1(t) cos2(ct) + 2 m2(t) sin(ct) cos(ct)

x1(t) = m1(t) (1 + cos(2ct)) + m2(t) sin(2ct)

x1(t) = m1(t) + m1(t) cos(2ct)) + m2(t) sin(2ct)

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Los últimos dos términos de x1(t) corresponden a señales pasa banda centralizadas en la frecuencia 2 fc los cuales son eliminados por el filtro pasa baja (low pass filter) pero dejando pasar la señal m1(t).

De forma similar,x2(t) = 2 QAM(t) sin(ct)

x2(t) = 2 (m1(t) cos(ct) + m2(t) sin(ct)) sin(ct)

x2(t) = 2 m1(t) cos(ct) sin(ct) + 2 m2(t) sin2(ct)

x2(t) = m1(t) sin(2ct) + m2(t) (1 – cos(2ct))

x2(t) = m1(t) sin(2ct) + m2(t) – m2(t) cos(2ct)

Al igual que en el caso anterior, el filtro pasa baja tan sólo deja pasar el término m2(t).

Hemos visto que dos señales baseband, cada una con ancho de banda de B Hz, pueden ser transmitidas simultáneamente ocupando un ancho de banda de 2B Hz usando transmisión DSB y multiplexing en cuadratura.

Al canal superior se le conoce como el canal en fase, y al canal inferior se le conoce como el canal en cuadratura. Las señales m1(t) y m2(t) pueden ser demoduladas en forma separada.

La demodulación de las señales QAM tiene que ser sincrónica. Veamos el impacto que tendría un error en la fase del carrier localmente sintetizado en el receiver.

x1(t) = 2 (m1(t) cos(ct) + m2(t) sin(ct)) cos(ct + )

x1(t) = 2 m1(t) cos(ct) cos(ct + ) + 2 m2(t) sin(ct) cos(ct + )

x1(t) = m1(t) cos(2ct + ) + m1(t) cos( + m2(t) sin(2ct + ) -

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m2(t) sin(

A la salida del canal en fase tendríamos m1(t) cos( - m2(t) sin(

Como aparece un término con m2(t) tendríamos cochannel interference degradando la señal demodulada. Si hacemos un análisis con x2(t) obtendríamos un resultado similar.

Si en vez de tener error en la fase, tuviéramos error en la frecuencia, tendríamos problemas similares en el demodulador.

Vestigial Sideband (VSB)Tal y como mencionamos anteriormente, para poder generar señales SSB que no se distorsionen se necesita que la señal m(t) sea cero en la vecindad de los 0 Hz. El circuito desfasdor de /2 radianes no es realizable. Tan solo podemos realizar o implementar una aproximación a dicho comportamiento. Por otro lado, las señales DSB son más fáciles de generar que SSB, pero ocupan el doble del ancho de banda. Como un compromiso entre DSB y SSB surgió el vestigial sideband (VSB). VSB tiene las ventajas de DSB y de SSB pero evita sus desventajas pagando un pequeño costo. Las señales VSB son relativamente fáciles de generar y el ancho de banda requerido tan solo es como un 25% mayor que el de SSB.

En VSB en vez de completamente rechazar un sideband, como se hace en SSB, uno de los sidebands es atenuado gradualmente. La siguiente figura nos da una idea.

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La señal baseband puede ser exactamente recuperada por un detector sincrónico en conjunto con un filtro ecualizador Ho(f) a la salida del receiver. Si con la señal VSB incluimos un carrier suficientemente grande, entonces no necesitamos la detección sincrónica pues con un detector de envolvente podemos recuperar la señal.

Si el filtro que produce el VSB tiene la función de transferencia H i(f), entonces el espectro de la señal VSB queda definido por la siguiente ecuación.

vsb(f) = [ M(f + fc) + M(f – fc) ] Hi(f)

El filtro Hi(f) deja pasar uno de los dos sidebands y suprime gradualmente el otro sideband. El precio a pagar es que el ancho de banda será de un 25 a un 33% mayor que en el caso de SSB.

Se requiere que en el receiver utilizando demodulación sincrónica podamos recuperar la señal m(t). Esto se logra multiplicando VSB(t) por 2 cos(ct).

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Sea e(t) la señal detectada por el receiver.

e(t) = 2 VSB(t) cos(ct)

Sabemos que multiplicar una señal por cos(ct) equivale a desplazar dicha señal fc Hz a la derecha y fc Hz a la izquierda, y multiplicar su amplitud por ½.

e(t) = 2 VSB(t) cos(ct) <-> vsb(f + fc) + vsb(f - fc)

e(t) luego pasa por filtro ecualizador pasa baja con función de transferencia Ho(f) para finalmente obtener la señal original m(t) <-> M(f).

M(f) = [ vsb(f + fc) + vsb(f - fc) ] Ho(f)

Como vsb(f) = [ M(f + fc) + M(f – fc) ] Hi(f),

M(f)=[(M(f + 2fc) + M(f)) Hi(f + fc)+ (M(f) + M(f – 2fc)) Hi(f - fc)] Ho(f)

Como Ho(f) es un filtro pasa baja,

M(f) = [M(f) Hi(f + fc) + M(f) Hi(f - fc)] Ho(f)

M(f) = M(f) [ Hi(f + fc) + Hi(f - fc) ] Ho(f)

Si escogemos

Ho(f) =

1H i( f + f c ) +H i( f − f c ) para | f | < B

entonces podemos recuperar m(t). Como Hi(f) es un filtro pasa banda, Hi(f + fc) + Hi(f - fc) es un filtro pasa baja.

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Local Carrier SynchronizationEn sistemas de transmisión como DSB-SC, SSB-SC y VSB-SC se requiere que para detección coherente el receiver genere localmente un carrier a la misma frecuencia y fase que el carrier en el transmisor. Cualquier desviación, ya sea en fase o en frecuencia, que exhiba el carrier local en el receiver se traducirá en distorsión de la señal demodulada. Veamos cómo se genera dicha distorsión.

Consideremos una señal SSB-SC que fue transmitida y es captada por el receiver, pero que en su travesía a través del canal sufrió atraso por la propagación y cambios en su frecuencia por el efecto doppler9.

m(t) cos[(c + )t + ] – mh(t) sin [(c + )t + ]

donde representa el atraso producido por la propagación de la señal a través del medio, y representa el cambio en frecuencia producido por el efecto Doppler.

Asumamos que el carrier local permanece en su valor nominal, esto es, 2 cos(ct). El producto de la señal recibida y el carrier localmente generado en el receiver es e(t).

e(t) = (m(t) cos[(c + )t + ] – mh(t) sin[(c + )t + ]) 2 cos(ct)

e(t)=2m(t)cos[(c+)t+] cos(ct)–2 mh(t) sin[(c+)t+]) cos(ct)e(t) = m(t) cos[(2c + )t + ] + m(t) cos[( t + ] -

9 Esto ocurre cuando existe movimiento relativo entre el transmisor y el receiver.

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mh(t) sin[(2c + )t + ]) - mh(t) sin[()t + ])

e(t) = m(t) cos[( t + ] - mh(t) sin[()t + ]) +

m(t) cos[(2c + )t + ] - mh(t) sin[(2c + )t + ])

Los componente de e(t) centralizados en 2fc son filtrados por el filtro pasa baja del receiver haciendo que la salida eo(t) esté dada por la siguiente ecuación.

eo(t) = m(t) cos[( t + ] - mh(t) sin[()t + ])

Podemos corroborar nuestros resultados asignando = = 0. En dicho caso, eo(t) = m(t), tal y como esperábamos.

Si la onda electromagnética recorre d metros viajando a la velocidad de la luz (c = 3 x 108 m/sec), y recordando que distancia entre velocidad es tiempo, entonces podemos calcular el desfasamiento en radianes.

= -(c + ) d/c

Si la velocidad relativa entre el transmisor y el receiver es ve metros/sec entonces el cambio máximo en frecuencia producido por el efecto Doppler es

fmax = ve

c fc

Para las señales de audio si |fmax| es de menos de 30 Hz, la degradación en la calidad es mínima. Como ve << c, a menos que la frecuencia del carrier sea bien alta, es fácil cumplir con el requisito |fmax| < 30 Hz.

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En general, hay dos formas de recuperar el carrier en el receiver. Una forma es haciendo que el transmisor incluya un pequeño sinusoide, o piloto, que puede ser a la misma frecuencia del carrier o el carrier dividido por un número entero, junto con la señal modulada. En este caso el receiver contaría con un filtro pasa banda bien selectivo para detectar el sinusoide, y luego lo amplificaría y utilizaría para sincronizar el oscilador local. La segunda forma de hacerlo es usando un circuito no-lineal en el receiver que en la ausencia de piloto alguno y utilizando filtros pasa banda bien selectivos logra sintetizar un carrier. El filtro pasa banda deberá adaptarse a cualquier cambio en la frecuencia, ya sea por temperatura, edad, o Doppler. El típico filtro pasa banda con capacidad de adaptación es el phase locked loop (PLL).

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Frequency Division Multiplexing (FDM)La técnica de FDM nos permite simultáneamente transmitir varias señales a través del mismo canal. Esto se logra haciendo que cada señal ocupe una banda de frecuencias dentro de la gama de frecuencias del canal, y que no interfiera con las bandas de frecuencias asignadas a las otras señales.

Cada señal está modulada por un carrier a una frecuencia distinta. Estos carriers, o subcarriers como muchas veces se les conoce, para evitar interferencia deberán contar con unos guard bands entre los subcarriers vecinos. Cada señal hasta puede utilizar un método distinto de modulación.

Cuando todas las señales han sido moduladas y añadidas obtenemos una señal compuesta que es considerada una señal baseband que va a modular otro carrier de radio frecuencia para ser transmitida.

El receiver se encarga de extraer la señal compuesta del carrier de radio frecuencia recibido. Luego, con filtros pasa banda el receiver separa cada señal. Usando un subcarrier cada señal modulada es demodulada en forma separada para recuperar todas y cada una de las señales transmitidas.

La siguiente figura muestra un ejemplo de FDM. Este ejemplo consiste en la jerarquía análoga para transmisión de múltiples señales telefónicas usando modulación SSB. Cada canal de voz es modulado usando SSB+C. Doce canales de voz forman un grupo ocupando el ancho de banda comprendido entre los 60 y los 108 kHz. Cada usuario del canal usa el LSB y la separación entre los carriers es de 4 kHz. Usando FDM otra vez, cinco grupos forman un supergrupo. Diez supergrupos forman un mastergrupo, otra vez usando FDM. Finalmente, seis mastergrupos forman un jumbogrupo. La señal multiplexeada se convierte en el baseband input para un sistema de microondas o de transmisión vía cable coaxial.

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Phase-Locked Loop (PLL)El PLL es un circuito muy importante que se usa, entre otras cosas, para seguir la trayectoria de la fase y la frecuencia del componente del carrier en una señal de entrada. Por lo tanto, es un dispositivo muy útil para la demodulación sincrónica de señales AM con un carrier suprimido o con un pequeño carrier o piloto.

El PLL también pude usarse para demodular señales con modulación de ángulo, especialmente bajo condiciones de bajos signal to noise ratio (SNR).

Otro uso del PLL es en los circuitos de clock recovery de los receivers digitales.

Un PLL tiene tres componentes básicos:1. Un voltage controlled oscillator (VCO)2. Un detector o comparador de fase3. Un filtro

La siguiente figura muestra un diagrama de bloque para un PLL.

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Operación Básica del PLLUn PLL es un sistema de control de lazo cerrado con retroalimentación negativa, o como se diría en inglés, es un closed loop negative feedback control system.

El PLL tiene los siguientes componentes: comparador de fase, filtro pasa baja con función de transferencia H(s), y voltage controlled oscillator (VCO).

El comparador de fase compara la fase de la señal de entrada con la fase de la salida del VCO, y genera un voltaje proporcional a dicho error. El voltaje de error es filtrado por el filtro con función de transferencia H(s) y retroalimentado al comparador de fase pasando por el VCO. El VCO convierte el voltaje de error (filtrado) en una nueva frecuencia que tratará de llevar a cero el error a la salida del comparador de fase. De

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esta forma, el PLL trata de seguir los cambios en fase y en frecuencia de la entrada.

Tanto el comparador de fase como el VCO son circuitos no-lineales y por eso es tan difícil el análisis de los circuitos con PLL’s. Sin embargo, si los inputs al comparador de fase y al VCO se encuentran dentro de ciertos límites entonces es posible modelarlos como circuitos lineales, y el análisis se simplifica enormemente.

Una vez el PLL logra sincronizarse a la señal el voltage controlled oscillator (VCO) y opera en la región lineal, su frecuencia de salida queda definida por la siguiente ecuación.

(t) = c + c eo(t)

donde c es una constante del VCO, c es la frecuencia de free-running, esto es, la frecuencia cuando el error es cero, y eo(t) es el error filtrado que se convierte en el input al VCO.

Si el output del VCO es B cos(ct + o(t)), entonces la frecuencia

instantánea a la salida del VCO es c + dθo ( t )

dt .

Generalización del Comportamiento del PLLCuando la frecuencia del input al PLL coincide con la frecuencia de salida del PLL decimos que las dos señales son mutuamente coherentes en fase o están en phase lock. En dicho caso el VCO sigue los cambios en fase y en frecuencia de la entrada siempre y cuando éstos no excedan cierto límite el cual se conoce como el hold-in o lock range. Ahora, si inicialmente existe una diferencia en frecuencia entre el input al PLL y

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el output del VCO entonces a la diferencia máxima de frecuencia entre éstos a la cual es posible puedan llegar a sincronizarse se le conoce como el pull-in o capture range. Si la diferencia en frecuencia entre el input al PLL y el output del VCO excede el pull-in o capture range, el PLL jamás podrá sincronizarse a dicho input.

Si el input al PLL es un sinusoide con ruido, el PLL puede seguir dicho sinusoide y limpiar parte del ruido. El PLL también puede usarse como un demodulador de FM y como un sintetizador de frecuencias. Otros usos de los PLL’s incluyen multiplicadores y divisores de frecuencia. En fin, el PLL es uno de los circuitos más extensamente estudiados en el mundo y del que más se ha escrito (i.e. libros, tesis de maestría, tesis doctorales, publicaciones, etc.)

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Adquisición del Carrier en DSB-SCAhora presentaremos un método para regenerar el carrier en el receiver de DSB-SC. El método es el Costas loop.

Costas LoopEl siguiente diagrama de bloque describe el Costas loop para recuperar el carrier.

La señal de entrada es m(t) cos(ct + i). En el receiver el VCO genera localmente el carrier cos(ct + o). El error en fase entre la señal de entrada y el carrier localmente generado es ei - o

Consideremos ahora el producto de m(t) cos(ct + i) y 2 cos(ct + o).

[m(t) cos(ct + i)] [2 cos(ct + o)] = m(t) cos(2ct + i + o) + m(t) cos(i - o)

El filtro pasa baja elimina el término m(t) cos(2ct + i + o). La salida del primer filtro pasa baja es m(t) cos(i - o) = m(t) cos(e.Consideremos ahora el producto de m(t) cos(ct + i) y 2 sin(ct + o).

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[m(t) cos(ct + i)] [2 sin(ct + o)] = m(t) sin(2ct + i + o) +m(t) sin(o - i)

El filtro pasa baja elimina el término m(t) sin(2ct + i + o). La salida del primer filtro pasa baja es m(t) sin(o - i) = m(t) sin(-e) =-m(t) sin(e). El diagrama del Costas loop le hace falta un invertidor que convierta -m(t) sin(e) en m(t) sin(e).

Consideremos ahora el producto m(t) cos(e y m(t) sin(e.

m(t) cos(e m(t) sin(e = 12 m2(t) sin(2e

Cuando 12 m2(t) sin(2epasa por el filtro pasa baja de banda estrecha

obtenemos R sin(2edonde R es el componente DC de 12 m2(t). Si

i > o, entonces ey R sin(2easumiendo que el error sea pequeñon dicho caso como el voltaje de entrada al VCO es positivo, aumenta la frecuencia de salida del VCO haciendo que aumente o y que disminuya el error e

En cambio, si i < o, entonces ey R sin(2e, asumiendo que el error sea pequeñon dicho caso como el voltaje de entrada al VCO es negativo, disminuye la frecuencia de salida del VCO haciendo que disminuya o y que disminuya el error e

El Costas loop genera el término 2 cos(ct + o) en donde si el error tiende a cero, o converge a i. Esto es, gracias al Costas loop el receiver DSB-SC es capaz de sintetizar un carrier sincronizado con la frecuencia

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del carrier en el transmisor y con un desfasamiento, ya sea causado por propagación o por el efecto Doppler, corregido.