evolymmom.files.wordpress.com€¦ · Web viewMakna istilah sample dan populasi dalam statistik sangat penting, dan ini akan menjadi dasar dalam melakukan analisis data. Definisi

1.1 Sample dan PopulasiMakna istilah sample dan populasi dalam statistik sangat penting, dan ini akan

menjadi dasar dalam melakukan analisis data. Definisi :Populasi adalah suatu set data yang menjadi target inferensia Sample adalah suatu subset data yang diambil (dipilih) dari populasi.

Beberapa alasan melakukan sampling (untuk memperoleh sample) adalah bahwa pengamatan terhadap obyek untuk memperoleh data, akan menyebabkan beberapa kemungkinan berikut :

a. obyek menjadi rusakb. perlu biaya besarc. perlu waktu yang banyak

Sebagai contoh misalkan kita ingin mempelajari : waktu tunggu sebuah job sebelum diproses. Maka dalam hal ini kita mempelajari segugus besar data mengenai waktu tunggu sebuah job, yang tentunya ini hanya ada dalam pikiran kita saja. Guna mempelajari perilaku waktu tunggu ini yang kita lakukan adalah dengan memberikan suatu job yang di jalankan n kali, dan mengamati waktu tunggu setiap kali running. Dari set yang terdiri dari n data ini kita melakukan inferensi terhadap sifat-sifat atau perilaku waktu tunggu. Dalam hal ini sebagai populasi adalah waktu tunggu suatu job hingga diproses.

1.2 Tipe DataSecara umum data dapat dikelompokkan menjadi dua tipe, yaitu : Kualitative

dan kuantitave. Sebagai contoh waktu tunggu sebuah job untuk diproses adalah data kuantitative, sedangkan data mengenai jenis pekerjaan berkaitan dengan tingkat pendidikan adalah contoh data dengan tipe kualitative.

Definisi :Data Kuantitatif adalah data yang merepresentasikan jumlah atau ukuran suatu

obyek.Data Kualitatif adalah data yang tidak mempunyai makna kuantitaif dan hanya

merupakan klasifikasi obyek sesuai kategori tertentu.Sebagai contoh terhadap suatu obyek dicatat beberapa peubah berikut :

Tinggi obyek (dalam cm), berat (dalam gram), konsentrasi DDT (dalam ppm), lokasi obyek, serta species.

Topik Eksplorasi Data 1-1

Maka bisa dikatakan bahwa : tinggi, berat, dan konsentrasi adalah data kuantitatif, sedangkan lokasi dan species adalah data kualitatif.

Secara garis besar, pembagian tipe data adalah seperti dalam diagram berikut :


Metode Grafik untuk Data KualitatifSeperti telah diketahui bahwa melalui statistik kita ingin mengekstrak data

yang sudah diperoleh menjadi informasi-informasi yang mudah dimengerti. Salah satu metode untuk ini adalah dengan menyajikan ringkasan data dalam bentuk grafik. Beberapa grafik yang dapat dipakai untuk penyajian data kualitatif diantaranya adalah dengan menggunakan diagram batang (bar chart) dari frekuensi ataupun dengan diagram lingkaran (pie chart) dari frekuensi relatif. Frekuensi suatu kategori adalah banyaknya obseravi yang termasuk kategori tersebut. Sedangkan Frekuensi relatif adalah proporsi dari observasi yang termasuk dalam kategori tersebut. Berikut adalah contoh bar chart maupun pie chart dari data berikut :

Data berikut adalah survey terhadap perushaan yang menggunakan PC tertentu untuk operasional office-nya.

Perush. Perancang

PC

% Perush pengguna PC

Apple 8

AT&T 4Compaq 6

IBM 70NEC 7

Other 5


Tipe data

Kuantitatif

Kualitatif

Intervall

Rasio

ordinal

Nominal data

Metode Grafik untuk Data KuantitatifBeberapa metode grafik untuk menampilkan ringkasan data diantaranya

adalah histogram, diagram dahan daun dan box plot. Tahapan membuat histogram : Berikut adalah tahapan untuk menyusun histogram dari frekuensi relatif :1. hitung range, yaitu range=data terbesar – data terkecil2. hitung lebar selang (interval), yaitu range dibagi dengan banyaknya selang

yang akan dibuat (biasanya bervariasi antara 5 hingga 20 kelas). 3. untuk setiap kelas, hitung banyaknya observasi yang masuk ke dalam kelas

tersebut.4. hitung frekuensi relatif untuk masing-masing kelas, yaitu banyaknya

observasi yang masuk dibagi dengan total observasi5. buat histogramnya

Contoh :Data mengenai waktu CPU untuk melaksanakan suatu job (dalam detik) :

1.17, 1.23, 0.15, 0.19, 0.92, 1.61, 3.76, 2.41, 0.82, 0.75, 1.16, 1.94, 0.71, 0.47, 2.59, 1.38, 0.96, 0.02, 2.16, 3.07, 3.53, 4.75, 1.59, 2.01, 1.40


01020304050607080

Apple AT&T Compaq IBM NEC Other

Perush Perancang

0 20 40 60 80

Apple

AT&T

Compaq

IBM

NEC

Other

84

6

70

75

AppleAT&TCompaqIBMNECOther

Tabel frekuensinya

kelas Interval kelas

Tabulasi data

Frekuensi kelas

Frekuensi relatif kelas

1 0.015 – 0.715

|||| 5 0.2

2 0.715 – 1.415

|||| |||| 9 0.36

3 1.415 – 2.115

|||| 4 0.16

4 2.115 – 2.815

||| 3 0.12

5 2.815 – 3.515

| 1 0.04

6 3.515 – 4.215

|| 2 0.08

7 4.215 – 4.915

| 1 0.04

Total n=25 Total : 1.00

Histogramnya adalah :

Tahapan membuat Diagram Dahan Daun : Berikut adalah tahapan untuk menyusun diagram dahan daun :

1. Bagilah setiap data menjadi dua bagian, yaitu dahan dan daun., misalkan 2.4, maka sebagai dahan adalah 2, dan daun adalah 4.

2. Urutkan dahan mulai dari yang terkecil hingga terbesar3. Tempatkan setiap daun ke dahan yang sesuai.

Contoh :Data mengenai waktu CPU untuk melaksanakan suatu job (dalam detik) :

1.17, 1.23, 0.15, 0.19, 0.92, 1.61, 3.76, 2.41, 0.82, 0.75, 1.16, 1.94, 0.71, 0.47, 2.59, 1.38, 0.96, 0.02, 2.16, 3.07, 3.53, 4.75, 1.59, 2.01, 1.40

Diagram dahan daunnya adalah :

Tahapan membuat Box Plot : Berikut adalah tahapan untuk menyusun Box Plot :

1. Hitung Kuartil 1, Kuartil 2, Kuartil 3, serta Jarak antar kuartil.2. Buat kotak dengan ujung-ujung kuartil 1 dan kuartil 3. 3. Buat garis pada kuartil 2, sehingga kotak terbagi menjadi 2.


4. Buat garis dari ujung dengan nilai kecil hingga 1.5 kali jarak antar kuartil5. Buat garis dari ujung dengan nilai besar hingga 1.5 kali jarak antar

kuartil.

1.3 Berbagai Ukuran untuk Mendeskripsikan DataSeperti telah kita ketahui bahwa segugus data mempunyai distribusi tertentu.

Apa yang akan dilakukan disini adalah menghitung berbagai nilai yang memberikan cirri dari distribusi data dari segugus data tersebut. Secara umum ada 3 ciri, yaitu : pemusatan, penyebaran, dan posisi relatif suatu observasi disbanding observasi di dalam distribusi datanya.

Dalam bagian ini ditetapkan ada n data, dengan item data : y1, y2, y3, …, yn

Ukuran Pemusatan DataAda beberapa ukuran pemusatan data yang sering dipergunakan, yaitu :

a. Rataan( ) :

b. Median (Md) : adalah data, sehingga ada 50% obeservasi di bawahnya, serta 50% observasi di atasnyaJika ada n data, maka median adalah data pada posisi ke (n+1)/2

c. Modus(Mo) : observasi yang paling sering muncul. Dalam segugus data, modus mungkin saja lebih dari satu.

Contoh :Data 4, 6, 1, 2, 3 , 5

Rataan =Median =Modus =

Data 4, 1, 3, 3


Modus

Frek

uens

i Rel

atif

Rataan (mean)

Frek

uens

i Rel

atif

50%

Median

Frek

uens

i Rel

atif

50%

Rataan =Median =Modus =

Data 4, 2, 2, 3, 1, 3, 5Rataan =Median =Modus =


Ukuran PenyebaranAda beberapa ukuran penyebaran data yang sering dipergunakan, yaitu :

a. Range (R) : R=observasi terbesar-observasi terkecilb. Ragam/variance (s2) : Ragam sering juga dikenal dikenal dengan

variance. Ragam dirumuskan sebagai :

c. Simpangan baku (s) : Simpangan baku adalah akar dari ragam,

Contoh Data 4, 2, 5, 3, 1, 8, 5

Range=Ragam=Simpangan baku=

Posisi Relatif Observasi Posisi relatif suatu observasi disbanding observasi lainnya di dalam distribusi data dapat dinyatakan dengan pesentil.

Definisi : Persentil ke p suatu observasi adalah suatu nilai y, sehingga 100p % area dari kurva distribusi frekuensi relatif terletak disebelah kiri dari y, dan (100(1-p) % area terletak di sebelah kanan y.

Data mengenai waktu CPU untuk melaksanakan suatu job (dalam detik) : 1.17, 1.23, 0.15, 0.19, 0.92, 1.61, 3.76, 2.41, 0.82, 0.75, 1.16, 1.94, 0.71, 0.47, 2.59, 1.38, 0.96, 0.02, 2.16, 3.07, 3.53, 4.75, 1.59, 2.01, 1.40persentil ke 10 adalah : persentil ke 25 adalah :persentil ke 60 adalah :

Sebagai catatan adalah bahwa :a. Kuartil 1 (Q1) : adalah persentil ke 25b. Median (Md) : adalah persentil ke 50, disebut juga kuartil 2c. Kuartil 3 (Q3) : adalah persentil ke 75

Untuk data di atas, maka : Kuartil 1 = Kuartil 2 =


Kuartil 3 =

Selain dengan persentil, posisi suatu observasi dalam distribusi frekuensi data adalah dinyatakan dengan apa yang disebut z-score. Z-score ini mengukur berapa kali dari simpangan baku posisi observasi dari pusat data (pusat distribusi), apakah di atas atau di bawah dari pusat data.

Data 4, 2, 5, 3, 1, 8, 5z-score untuk observasi y=10 adalah

1.4 OutlierOutlier dari suatu distribusi adalah merupakan suatu data yang tidak lazim

untuk muncul dari distribusi tersebut. Jika ada outlier, maka beberapa hal yang bisa dilakukan, cek apakah terjadi salah pengetikan atau kesalahan-kesalahan lain yang bersifat teknis. Jika tidak, dalam artian bahwa data tersebut memang benar apa adanya, maka obyek dengan data tersebut berkemungkinan besar merupakan obyek dengan karakteristik yang relatif berbeda disbanding obyek-obyek lain dalam distribusi tersebut.

Beberapa metode eksploratif untuk mendeteksi outlier adalah dengan Box plot. Tahapan membuat Box Plot telah kita bahas di atas. Satu ukuran yang akan dipakai untuk membuat Box Plot adalah Jarak Antar Kuartil, biasa disimbolkan dengan IQR. Definisi :

IQR=Q3-Q1Pendeteksian outlier dengan Box Plot adalah sesuai gambar berikut :

Data yang terletak di antara pagar dalam dan pagar luar perlu dicurigai sebagai outlier. Sedangkan yang diluar pagar luar sangat dicurigai sebagai outlier. Biasanya ditandai dengan titik tebal..

Contoh Data mengenai waktu CPU untuk melaksanakan suatu job (dalam detik) :

1.17, 1.23, 0.15, 0.19, 0.92, 1.61, 3.76, 2.41, 0.82, 0.75, 1.16, 1.94, 0.71, 0.47, 2.59, 1.38, 0.96, 0.02, 2.16, 3.07, 3.53, 4.75, 1.59, 2.01, 1.40, 5.02, 10.01

Box Plot data tersebut adalah :


Q1 Q2 Q3

Pagar dalam bawah

Pagar luar bawah

Pagar luar atas

Pagar dalam atas

Q1-3*IQR Q3+1.5*IQRQ1-1.5*IQR Q3+3*IQR


1.5 Statistik dan ParameterStatistik maupun parameter adalah ukuran yang dihitung untuk

mendeskripsikan segugus data. Dalam hal ini, statistik dihitung dari sample, sedangkan parameter dihitung dari populasi. Penyimbolan yang digunakan biasanya juga berbeda.

Ukuran Sample (disebut static)

Populasi (disebut parameter)

Mean

Simpangan baku

s

Ragam s2 2

Cara menghitung untuk mean, baik pada statistik maupun pada parameter sama. Sedangkan untuk ragam ataupun simpangan baku, untuk parameter sebagai pembagi adalah n, yaitu banyaknya data (bukan n-1).

1.6 Ukuran Keterkaitan Dua VariabelPada bagian di atas kita mengfokuskan pada distribusi dari peubah tunggal.

Dalam praktek, seringkali kita berhadapan dengan multivariable. Untuk perlu dibahas suatu ukuran yang menyatakan keterkaitan antara dua peubah. Ada beberapa ukuran yang dapat dipakai, diantaranya adalah Korelasi antar dua peubah dan juga kovariance antar dua peubah.

Definisi :Kovariance antara peubah X dengan Y disimbolkan sebagai Cov(X,Y), yang

dirumuskan sebaga :

Korelasi antara dua peubah X dengan Y biasa disimbolkan dengan X,Y, yang dirumuskan sebagai :

Dari konsep ini dikenal matriks kovariance (atau matriks koragam), dan juga matriks korelasi. Matriks covariance disimbolkan dengan S untuk sample, dan untuk populasi. Sedangkan matriks korelasi disimbolkan dengan R. Ordo matriks kovariance maupun matriks korelasi adalah pxp, dengan p adalah banyaknya peubah yang terlibat.


Contoh :


Perhatikan data berikut :

Perush. Perancang

PC

% Perush pengguna

PC (x1)

Daya tahan (x2)

Harga (x3)

Apple 10 7 30

AT&T 5 3 50

Compaq 6 5 10

IBM 64 20 5

NEC 15 15 5

a. Hitung korelasi antara peubah x1 dengan peubah x2b. Hitung matriks kovariance dari data tersebutc. Hitung matrinks korelasi dari data tersebut

1.7 Konsep Distribusi Peubah acakTerminologi Dasar

Sebelum kita membahas lebih jauh mengenai konsep distribusi, berikut akan disajikan beberapa definisi yang mendasari pengembangan teori peluang. Percobaan : Istilah percobaan sering dikenal juga dengan eksperimen. Dalam

bahasan ini istilah percobaan didefinisikan sebagai suatu tindakan atau proses untuk menghasilkan suatu observasi. Dari satu percobaan akan muncul satu (dan hanya satu) outcome dari sejumlah outcome yang mungkin muncul. Suatu outcome yang tidak dapat diuraikan menjadi outcome-outcome lain disebut sebagai kejadian sederhana.

Kejadian sederhana : merupakan outcome dari suatu percobaan yang tidak dapat didekomposisi lagi.

Ruang contoh : Dari suatu percobaan (eskperimen), ada beberapa kejadian sederhana yang dapat muncul. Himpunan yang berisi semua kejadian sederhana dari suatu percobaan adalah ruang contoh percobaan tersebut.

Peluang suatu kejadian sederhana : peluang suatu kejadian sederhana adalah suatu bilangan yang mengukur kemungkinan kemunculan kejadian tersebut kalau percobaan dilakukan. Untuk suatu kejadian sederhana E, maka peluang kemunculan kejadian E ditulis sebagai P(E). Berikut adalah aturan untuk nilai peluang suatu kedian sederhana E1, E2, …, Ek, dari suatu percobaan :1. Peluang semua kejadian sederhana harus terletak dari 0 hingga 1.

0P(Ei)1, untuk i=1, 2, 3, …, k.2. Jumlah dari semua peluang di atas adalah 1.

Kejadian : kumpulan beberapa kejadian dasar dengan sifat tertentu.


Peluang suatu kejadian : Peluang dari suatu kejadian A adalah jumlah dari semua peluang kejadian sederhana yang membentuk kejadian A.

Dua kejadian terpisah : Dua kejadian A dengan B dikatakan terpisah (mutually exclusive) jika irisan dua kejadian tersebut adalah himpunan kosong

AB=

Dua kejadian saling bebas : dua kejadian dikatakan saling bebas (independence) jika memenuhi

P(AB)=P(A).P(B)

Operasi Peluang untuk kejadian majemuk : P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(Ac)=1-P(A)P(S)=1 S adalah ruang contoh..P(B)

Peluang bersyarat : Peluang bersyarat A denga syarat B telah diketahui muncul ditulis sebagai P(A|B). Informasi mengenai B muncul ini munkin akan meningkatkan peluang munculnya A, mungkin juga menurunkan, atau mungkin juga tidak berpengaruh. P(A|B) dirumuskan sebagai :

Kaidah Bayes : Jika ruang contoh gabungan dari k kejadian yang terpisah yaitu A1, A2, A3, …, Ak, serta E merupakan kejadian di dalam ruang contoh, maka peluang munculnya suatu kejadian Ai dengan syarat kejadian E muncul dirumuskan sebagai :

1.8 Peubah Acak dan Distribusi PeluangnyaDalam statistik hasil pengukuran/pengamatan didasarkan dari hasil yang muncul dari suatu percobaan. Seringkali hasil suatu percobaan dipetakan ke suatu nilai tertentu, sesuai dengan konteks permasalahannya. Definisi :

Peubah acak (random variable) merupakan fungsi bernilai real yang nilainya ditentukan oleh untur-unsur dalam ruang contoh. Peubah acak diskret adalah peubah acak yang nilai-nilainya dapat dicacah. Atau dengan kata lain, nilai-nilainya dapat dipadankan dengan bilangan asli. Pada pertemuan sekarang ini yang dimaksud dengan peubah acak adalah peubah acak diskret.Peluang peubah acak Y bernilai y ditulis sebagai P(Y=y), dengan sifat

1. 0P(Y=y)1,


2.

Distribusi peluang suatu peubah acak diskret Y merupakan suatu tabel atau formula atau grafik yang menyajikan nilai-nilai peluang untuk setiap nilai dari peubah acak Y ini. Distribusi peluang peubah acak diskret Y ini sering disebut juga dengan fungsi massa peluang (Probability Mass Function), dan biasa ditulis sebagai P(Y=y) atau PY(y).

1.9 Nilai Harapan dan Ragam Suatu Peubah AcakSeperti telah disebutkan diatas bahwa nilai-nilai suatu peubah acak mempunyai

“cara” kemunculan tertentu, sesuai dengan fungsi distribusi peluangnya. Dua nilai yang sering dipakai untuk mewakili distribusi kemunculan nilai peubah acak ini adalah nilai harapan (expected value) dan ragam (variance). Nilai HarapanNilai harapan (expected value atau mean) suatu peubah acak Y biasa ditulis sebagai E(Y) atau X. Nilai harapan ini dirumuskan sebagai :

Jika g(Y) adalah suatu fungsi dari dari Y, maka nilai harapan dari g(Y) dirumuskan sebagai :

Ragam

Ragam (variance) peubah acak Y ditulis sebagai Var(Y) atau . Ragam peubah acak Y ini dirumuskan sebagai :

Var(Y)=E[(y-E(Y))2]

Beberapa Teorema1. E(c)=c, c adalah konstanta2. E(cY)=cE(Y)3. E(g1(Y)+g2(Y)+…+gk(Y))=E(g1(Y))+E(g2(Y))+…+E(gk(Y))4. Var(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2

1.10 Beberapa Contoh Peubah Acak Diskret Beberapa contoh peubah acak diskret yang perlu diketahui adalah :Peubah Acak Bernoulli

Peubah acak Bernoulli didasarkan pada satu kali percobaan, dan hanya ada dua kemungkinan hasil, yaitu sukses atau gagal. Peluang munculnya sukses adalah p, maka peluang munculnya gagal adalah (1-p). Jika peubah acak Y didefinisikan sebagai :


Bila yang muncul adalah suksesBila yang muncul adalah gagal

01

Y

Maka dikatakan bahwa Y adalah peubah acak Bernoulli.Dari definisi tersebut kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi peluangnya adalah :

Peubah Acak BinomPeubah acak binom didasarkan pada percobaan Bernoulli yang diulang n kali.

Oleh karena itu setiap percobaan hanya ada dua kemungkinan hasil, yaitu gagal atau sukses, serta peluang sukses adalah konstan sebesar p. Peubah acak binom didefinikan sebagai : banyaknya sukses dari n percobaan tersebut. Oleh karena itu, nilai-nilai yang mungkin dari peubah acak Binom adalah 0, 1, 2, 3, …, n. Fungsi peluang dari peubah acak binom adalah :

Peubah Acak GeometrikPeubah acak ini berkaitan dengan banyaknya percobaan yang harus dilakukan untuk memperoleh suatu hasil yang diinginkan. Oleh karena itu Y dikatakan peubah acak Geometrik jika didefinisikan sebagai : banyaknya percobaan yang harus dilakukan sampai pertama kali muncul hasil yang diinginkan. Oleh karena itu, nilai yang mungkin bagi peubah acak Y ini adalah 1, 2, 3, ….Fungsi peluang dari peubah acak geometric adalah :

Peubah Acak Binom NegatifPeubah acak binom negatif hampir sama dengan geometric. Kalau pada geometric, percobaan berhenti setelah mncul hasil yang diinginkan. Sedangkan pada peubah acak binom negatif, maka percobaan berhenti setelah muncul hasil yang diinginkan sebanyak k kali. Peubah acak binom negatif didefinisikan sebagai banyaknya percobaan yang dilakukan sehingga muncul hasil yang diinginkan sebanyak k kali. Oleh karena itu nilai dari peubah acak binom negatif ini adalah k, k+1, k+2, …


Untuk y=0 atau y=1Untuk y lainnya

0)1(

)(1 yy pp

yYP

Untuk y=0, 1, 2, …, n

Untuk y lainnya

0

)1()(yny pp

yn

yYP

Untuk y=1, 2, …Untuk y lainnya

0)1(

)(1ypp

yYP

Peubah Acak PoissonPeubah acak poisson biasanya untuk memodelkan banyaknya kejadian yang muncul dalam suatu unit waktu tertentu, area tertentu, volume tertentu, atau yang lainnya. Sebetulnya peubah acak poisson ini merupakan peubah acak binom untuk n yang sangat besar dengan p sangat kecil. Jika rata-rata banyaknya kejadian dalam satu unit waktu ini adalah , maka fungsi peluang peubah acak poisson adalah :

1.11 Peubah Acak Kontinyu Dalam kehidupan real, banyak ditemui kasus dimana nilai nilai pengamatan

tidaklah dapat dicacah (uncountable). Sebagai contoh misalnya waktu tunggu suatu job hingga diproses sampai selesai, waktu hidup suatu komponen hardware (misal CPU, RAM, Hardisk, dsb.), waktu antar ditemukannya kesalahan oleh suatu sofware sistem. Peubah-peubah acak dengan nilai seperti di atas disebut sebagai peubah acak kontinyu. Nilai-nilai peubah acak kontinyu adalah dalam domain bialngan real.

Pembahasan mengenai peubah acak kontinyu akan dimulai dari konsep mengenai fungsi distribusi.Definisi :

Fungsi distribusi kumulatif (Cumulative Distribution Function) suatu peubah acak Y adalah F(Y=y), yang dirumuskan sebagai :

F(Y=y) = P(Yy)Dari definisi di atas, maka untuk peubah acak diskret dan kontinyu dapat dituliskan menjadi :

a. peubah acak diskret :

b. peubah acak kontinyu :

Oleh karena itu bentuk fungsi distribusi untuk peubah acak diskret dan kontinyu berbeda. Untuk peubah acak diskret bentuknya adalah seperti tangga, sedangkan untuk peubah acak kontinyu adalah beruapa kurva mulus. Dalam hal ini f(y) disebut sebagai fungsi kepekatan peluang (probability density function) atau fungsi peluang saja. Pada beberapa buku


Untuk y=k, k+1, k+2, ……Untuk y lainnya

0

)1(11

)(kyk pp

ky

yYP

Untuk y=0, 1, 2, …

Untuk y lainnya

0!)( y

eyYP

y

kadang-kadang ditulis sebagai fY(y) yang berarti fungsi kepekatan peluang peubah acak Y. Perbedaan mendasar dari kedua jenis peubah tersebut adalah bahwa nilai peluang peubah acak diskret untuk suatu titik tertentu dapat saja tidak nol. Sedangkan untuk peubah acak kontinyu, peluang munculnya suatu titik pasti nol. Hal ini dikarenakan nilai peluang diartikan sebagai luas aderah dibawah kurva fungsi kepekatan peluangnya.

Definisi :Jika F(Y=y) adalah fungsi distribusi kumulatif (Cumulative Distribution Function) peubah acak Y, maka fungsi kepekatan peluang dari peubah acak Y tersebut adalah fY(y) yang dirumuskan sebagai :

Sifat dari fungsi kepekatan peluang adalah :

1.

2.

Contoh :Gambarkan fungsi distribusi dari peubah acak X dengan gfungsi peluang sebagai berikut :

Definisi :Jika Y adalah peubah acak kontinyu dengan fungsi kepekatan peluang f(y), maka nilai harapan (expected value) dan variance (ragam) dari y didefinisikan sebagai :

Contoh-contoh fungsi peluang kontinyu :……..

Keterkaitan distribusi :

Casella … hal 630


Untuk 0y2Untuk hal lainnya

0

)2()(

ycyf

1.12 Momen dan Fungsi Pembangkit MomentMoment ke k dari peubah acak X adalah :

k(X)=E(Xk)Sedangkan fungsi pembangkit moment bagi peubah acak X adalah :

MX(t)=E(etX)=

Dari sini terlihat bahwa moment ke k adalah turunan ke k dari fungsi pembangkit moment pada saat t=0, atau ditulis :

k(X)=


Topik Eksplorasi Data

Trial : proses untuk

membangkitkan observasi

Outcome : Kemunculan dari setiap

kali dilakukan tindakan/trial

Ruang Contoh (S) : Himpunan yang berisi semua kemungkinan

outcome

Medan Borel : ØЄβIf AЄβ then A’ЄβIf A1, A2, A3, … Єβ

Then

Fungsi peluang: P(A)≥0, AЄβP(S)=1If A1, A2, A3, … Єβ dan saling terpisah,

maka

Peubah acak (PA)/Random Variable:

Fungsi dari ruang contoh ke bilangan real

Fungsi distribusi suatu PA X:

FX(x)=PX(X≤x)

Probability density function (pdf)/fungsi kepekatan peluang or probability mass fumction (pmf)/fungsi massa peluang:

fX(x)

Nilai harapan/rata-rata PA Y: Diskret : Kontinyu :

Variance PA X: Diskret : Kontinyu :

Fungsi pembangkit moment/moment generating function:

PA X kontinyu: PA X diskret: Moment ke k :

1-20

Notation and parameters

pmf or pdf mean variance MGF

BinomialX~BIN(n,p)

0≤p≤1x=0, 1, 2, ..., n

np np(1-p) (pet+(1-p))n

BernoulliX~BIN(1,p)

0≤p≤1x=0 atau 1

p p(1-p) (pet+(1-p))

Negative BinomialX~NB(r,p)

0≤p≤1 r=1, 2, 3, ... x=r, r+1, r+2, ...

r/p r(1-p)/p2

GeometricX~GEO(p)

0≤p≤1 x=1, 2, 3, ...

1/p (1-p)/p2

HypergeometricX~HYP(n,M,N)

n=1, 2, ..., NM=0, 1, 2, ..., N

x=0, 1, 2, ..., n

nM/N *

PoissonX~POI(μ)

μ>0x=0, 1, 2, ...

μ μ

Discrete uniformX~DU(N)

N=1, 2, 3, ...

1/Nx=1, 2, 3, ...N

(N+1)/2

UniformX~UNIF(a,b)

a<b

1/(b-a)a<x<b

(a+b)/2

NormalX~N(μσ2)

σ2>0

μ σ2


GammaX~GAM(θ,κ)

0< θ0<κ 0<x

κθ κθ2

Chi-squareX~GAM(2,ν/2)

X~χ2(ν)

ν 2ν

WeibullX~WEI (θ,β)

θ>0,β>0ExponentialX~EXP(θ)

0< θ 0<x

θ θ2

Two-Parameter ExponentialX~EXP(θ,η)

0< θ η<x

η +θ θ2

Double-ExponentialX~DE(θ,η)

0< θ

η 2θ2

LogNormalX~LOGN(μσ2)

BetaX~BETA(a,b)

0<a, 0<b0<x<1

*

t-studentX~t(ν)

0 ν/(ν-2) *


Distribusi F (Snedecor’s F)

X~F (ν1,ν2)

*



Geometrik (p)

Discrete uniform

Beta-binomial

binomial (n,p)

Hipergeometrik

Bernoulli (p)

Negative-binomial

Poisson (λ)

Normal(μ,σ2)

Beta (α,β)

Lognormal

Gamma(r,λ)

Uniform

Normal(0,1)

Chi-squared(ν)

Exponential (λ)

Cauchy

Double Exponentia

l

F (ν1,ν2)

Weibulll(γ,λ)

t-student (ν)

Min Xi

n=1

λ=n(1-p)n→~

p=α/(α+β)α+β→~

α=β=1

λ=npn→~

p=M/N,n=KN→~

∑Xi

∑Xi

n=1

∑Xi

λ=σ2

λ→~ПXi

ex

Log X

∑Xi

(X-μ)/σ μ+σX

X1/X2

∑Xi

∑Xi

∑Xi

X1-X2

Min Xi

1/X

ν=1ν→~

X2

ν1Xν2→~

e-X/λ -λlogX

|X|

γ=1

α=β=1

α=β→~μ=rλ

σ2=rλ2

r→~

μ=np σ2=np(1-p)

r=1

ν=2λ=2

r=ν/2λ=2

X1/γ

Rayleigh(λ)

γ=2

1-24

1.4. Distribusi bersama, Marjinal, Distribusi bersyaratBeberapa istilah yang perlu dipahami dalam membahas peubah acak ganda adalah : fungsi

peluang bersama (joint probability density function), fungsi peluang marjinal (marginal density function), juga fungsi peluang bersyarat (conditional density function).

Fungsi peluang bersama : untuk peubah acak diskret ini sering disebut dengan nama distribusi peluang bersama (joint probability distribution). Sedangkan untuk kontinyu sering disebut dengan nama fungsi kepekatan peluang bersama (joint probability density function).

joint probability distribution : disimbolkan dengan p(y1,y2) adalah suatu tabel atau grafik atau formula yang menyajikan nilai-nilai p(y1,y2) untuk setiap kombinasi nilai y1 serta y2.

joint probability density function : disimbolkan dengan f(y1,y2) adalah fungsi yang memenuhi

1. untuk setiap nilai y1 dan y2

2.

Fungsi peluang marjinal : untuk peubah acak diskret ini sering disebut dengan nama distribusi peluang marjinal (marginal probability distribution). Sedangkan untuk kontinyu sering disebut dengan nama fungsi kepekatan peluang marjinal (marjinal probability density function).

Marginal probability distribution : Jika p(y1,y2) adalah fungsi peluang bersama peubah acak y1 dengan y2, maka fungsi peluang marjinal untuk y1 dan y2 masing-masing adalah

dan

Marginal probability density function : Jika f(y1,y2) adalah fungsi kepekatan bersama, maka fungsi peluang marjinal untuk y1 dan untuk y2 adalah :

1. untuk y1

2. untuk y2

Fungsi peluang bersyarat : untuk peubah acak diskret ini sering disebut dengan nama distribusi peluang bersyarat (conditional probability distribution). Sedangkan untuk kontinyu sering disebut dengan nama fungsi kepekatan peluang bersyarat (conditional probability density function).

Conditional probability distribution : Jika p(y1,y2) adalah fungsi peluang bersama peubah acak y1 dengan y2, maka fungsi peluang bersyarat untuk y1 dengan syarat y2 dan fungsi peluang bersyarat untuk y2 dengan syarat y1, adalah

1. untuk y1

2. untuk y2

Conditional probability density function : Jika f(y1,y2) adalah fungsi kepekatan bersama, maka fungsi peluang marjinal untuk y1 dan untuk y2 adalah :


1. untuk y1

2. untuk y2

LATIHAN 31. From a group of three data-processing managers, two senior system analysts, and two

quality control engineers, three people are to randomly selected to form a committee that will study the feasibility of adding computer graphics at a consulting firm. Let y1 denote the number of data-processing managers and y2 the number of senior systems analysts selected for the committee.

a. find the joint probability distribution of y1 and y2.

b. Find the marjinal distribution of y1

c. Find the conditional distribution of y2 given y1=1

2. Jika fungsi peluang bersama dari y1 and y2 adalah

untuk 0y1y2 dan 0y21

Tentukan :

d. Nilai c

e. Fungsi marjinal masing-masing peubaha acak

f. Fungsi bersyarat dan

g. Hitung P(y11 dan y21)

3. Manajemen suatu bank ingin menerapkan suatu system pendukung keputusan yang mampu melakukan analisis kredit. Hasil dari analisis ini akan menentukan apakah seorang yang mengajukan kredit diterima atau ditolak. Misalkan peubah acak X1 adalah banyaknya keputusan yang tepat, serta X2 adalah masa hidup (dalam tahun) dari system pendukung keputusan ini. Fungsi peluang bersama dari X1 dan X2 adalah sesuai table berikut :

X120 50 80

X21 0.125 0.295 0.090

3 0.025 0.180 0.1505 0.020 0.110 0.005

a. Tentukan fungsi peluang marjinal masing-masing peubah acak !b. Jika keputusan yang benar akan memberikan keuntungan sebesar 50 ribu dollar, maka

berapa rata-rata dan simpangan baku dari keuntungan bank dengan menggunakan system ini ?

1.5. Kebebasan, Nilai harapan, dan Matriks covarianceKebebasan : Dua peubah acak y1 dan y2 dikatakan saling bebas (independence) jika dipenuhi


a. Diskret :

b. Kontinyu :

Nilai harapan : Nilai harapan atau expected value suatu fungsi dari peubah acak y1 dengan y2, yaitu g(y1,y2) yang dinotasikan

Covariance : Kovariance menunjukkan keeratan linear antara dua peubah acak. Dalam hal ini ada dua jenis keeratan, yaitu positif dan negatif. Jika dua peubah acak saling bebas, maka nilai kovariancenya nol. Nilai kovariance ini berkisar dari - hingga . Oleh karena itu seringkali kali nilai ini dibagi dengan simpangan baku masing-masing peubah acak, sehingga nilai menjadi berkisar dari –1 hingga 1. Ukuran ini disebut sebagai korelasi antara dua peubah acak tersebut. Jika nilai korelasi –1, maka terdapat keeratan linear yang sangat kuat dalam arah negatif. Sedangkan jika korelasi 1, terjadi keeratan linear sangat kuat dalam arah positif. Sedangkan jika nol, maka tidak terdapat hubungan linear antara dua peubah acak tersebut.

LATIHAN 41. From a group of three data-processing managers, two senior system analysts, and two

quality control engineers, three people are to randomly selected to form a committee that will study the feasibility of adding computer graphics at a consulting firm. Let y1 denote the number of data-processing managers and y2 the number of senior systems analysts selected for the committee.

a. Determine whether y1 and y2 are independent

b. Find E(y1-2y2)

c. Find the covariance of the random variable y1 and y2.

d. Find the varianve of y1 and also the variance of y2

e. Find the correlation of the random variable y1 and y2

f. Find the covariance matrix of the random variable y1 and y2

g. Find the correlation matrix of the random variable y1 and y2

2. Berikut adalah fungsi peluang gabungan peubah acak Y1 dengan Y2 :


Y1

Y2 -1 0 1

-1 1/12 2/12 1/120 2/12 0 2/12

1 1/12 2/12 1/12

Serta : X1 = 2 Y1 - 4Y2 dan X2 = -Y1 + Y2a. Dapatkan fungsi peluang masing-masing Y1 serta Y2 !b. Apakah keduanya saling bebas ?c. Hitung matriks kovariance dua peubah acak tersebut !d. Tentukan fungsi peluang, rataan dan ragam dari X1 !e. Tentukan fungsi peluang bersama X1 dan X2 !f. Tentukan covarian(X1,X2) !

3. The management of a bank must decide whether to install a commercial loan decision-support system (an on-line management information system) to aid its analysts in making commercial loan decisions. Pat experience shows that y1, the additional number (per year) of correct loan decisions – accepting good loan applications and rejecting those that would eventually be defaulted – attributable to the decision-support system, and y2, the lifetime (in years) of the decision-support system, have the joint probability distribution shown in the table :

Y2

Y1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

1 0.001 0.002 0.002 0.025 0.040 0.025 0.005 0.005 0 0

2 0.005 0.005 0.010 0.075 0.100 0.075 0.050 0.030 0.030 0.025

3 0 0 0 0.025 0.050 0.080 0.050 0.080 0.040 0.030

4 0 0.001 0.002 0.005 0.010 0.025 0.010 0.003 0.001 0.001

5 0 0.002 0.005 0.005 0.020 0.030 0.015 0 0 0a. find the marginal probability distribution of y1 and also y2.

b. Find the probability distribution p1(y1|y2)

c. Given the decision-support system is in its third year of operation, find the probability that at least 40 additional correct loan decisions will be made

d. Find the expected lifetime of the decision-support system, i.e., find E(y2)

e. Are y1 and y2 correlated? Are y1 and y2 independent?f. Each correct loan decision contributes approximately $25,000 to the bank’s profit. Com-

pute the mean and standars deviation of the additional profit attributable to the decision-support system.

4. Perhatikan tiga peubah acak, Y1, Y2, dan Y3 dengan rataan dan ragamnya adalah sesuai tabel berikut :

Peubah Rataan RagamY1 0 2

Y2 -1 3Y3 5 9

Jika cov(Y1,Y2)=1, cov(Y1,Y3)=4 dan cov(Y2,Y3)=-2,

a. Buat matriks korelasinya !


b. Jika X=1/2 Y1 -Y2 + 2 Y3, tentukan rataan dan ragam dari X !

5. Jika fungsi kepekatan peluang bersama dari peubah acak X dan Y adalah :

Tentukan :

a. Buktikan bahwa dia adalah fungsi peluangb. fungsi peluang bagi X !c. fungsi peluang bagi Y !d. fungsi peluang bersyarat X dengan syarat Y !e. nilai harapan X dengan syarat Y!f. nilai harapan dan ragam bagi X dan Yg. covariance antara X dan Y


Transformasi Peubah Acak

a. Permasalahan transformasi

Suatu pa X yang mempunyai pmf atau pdf fX(x) serta cdf FX(x) dengan χ={x| fX(x)>0}, didefinisikan suatu transformasi Y=g(X) adalah suatu fungsi pada χ, maa yang diinginkan adalah fungsi distribusi dari pa Y=g(x). Untuk lebih memperjelas, perhatikan sema berikut :

Dalam hal ini :

P(YЄA)=P[XЄg-1(A)]

Untuk pa X diskret :

dengan yЄY

Untuk ps X kontinyu :

FY(y)=P(Y≤y)=P[g(X)≤y]=P[{xЄχ|g(x)≤y}]=FX(x≤g-1(y))=

Contoh 11. jika , untuk x=0, 1, 2, 3, 4, 5, maka tentukan fungsi massa peluang untuk pa

baru Y=g(X)=(X-2)2

Contoh 12. jika , untuk xЄ[0,5], maka tentukan fungsi massa peluang untuk pa baru Y=g(X)=(X-2)2


S χ YX:Sχ g:χY

y

A

g-1(A)g-1(y)

1-30

b. Transformasi Monoton

Dalam hal ini ada dua jenis, yaitu monoton naik dan monoton turun. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut :

Namun karena untuk monoton naik, turunan g-1(y) terhadap y adalah positif dan untuk monoton turun, nilainya selalu negatif, maka baik untuk monoton naik maupun turun berlaku :

Contoh 13. jika , untuk xЄ[0,2], maka tentukan fungsi massa peluang untuk pa baru Y=g(X), dengan :

a. Y=g(X)=2Xb. Y=g(X)=4-2X

c.

Contoh 14. jika X~N(0,1) dan , tentukan fungsi kepekatan peluang dari Y

Contoh 15 : jika fX(x)=x2/3, untuk -1<x<2, tentukan pdf dari Y=X2

Contoh 16. jika X~N(μσ2), maka tentukan pdf dari Y=eX


g-1(y)

y

Y=g(X)

X

Y

g-1(y)

y

Y=g(X)

X

Y

FY(y)=P(Y≤y)=P[X≤g-1(y)]=FX[g-1(y)]

Sama-sama diturunkan terhadap y:

Dengan aturan berantai :

FY(y)=P(Y≤y)=P[X≥g-1(y)]=1- P[X≤g-1(y)]

= 1- FX[g-1(y)]

Sama-sama diturunkan terhadap y:

Dengan aturan berantai :

1-31

Documents

evolymmom.files.wordpress.com€¦ · Web viewMakna istilah sample dan populasi dalam statistik sangat penting, dan ini akan menjadi dasar dalam melakukan analisis data. Definisi