פונקציות בסל במסמך זה נסקור בקצרה את השימוש שאנו עושים בפונקציות בסל בפרויקט

שלנו. זה חלק מעט תאורטי )אם כי כולל את הנוסחאות שהשתמשנו בהםבפרויקט באופן מעשי(, אך הוא יהיה חשוב לכתיבה הסופית של ספר הפרויקט.

על פי המקור הבא – [6] J.W. Goodman, "Introduction to Fourier Optics", Third Edition, Roberts and Company, 2005.

אנו יכולים לראות את ההסברים המדויקים לעובדות שנציג להלן. במערכת דימות אופטית כלשהי אנו מתייחסים לעצמים כמקורות שמשדרים אור,

כאשר הצורה הגיאומטרית שלהן )או המפתח שלהן( היא חשובה. כל נקודה במפתח מתנהגת כמקור אור נקודתי, ועל פי עקרון הסופרפוזיציה השדה הנוצר

מכולן הוא סכום )רציף, כלומר אינטגרל מרחבי( של כל השדות הנוצרים מכל מקור נקודתי. בשדה הרחוק מתקבלת עקיפת פראונהופר, לפיה השדה

פרופורציוני להתמרת פורייה של המפתח )התמרת פורייה מרחבית של המפתח(. שימוש בעדשה, בקונפיגורציות מסוימות )למשל מיקום העצם מיד לפני העדשה או מרחק מוקד לפני העדשה(, מביא את השדה הרחוק הנ"ל למרחק המוקד

של העדשה. שני הקונפיגורציות שתיארנו מביאות לאותה התוצאה, עד כדיאיברים המשנים רק את פאזת השדה.

גלאי שקולט את השדה מניב תוצאה שהיא פרופורציונית אך ורק לעצמת השדה,כלומר לריבוע הערך המוחלט שלו. לכן לאיברי הפאזה האלו שום חשיבות.

ניתן לקרב את החלקיקים שאנו עוקבים אחריהם כאל מפתחים עגולים, בהם עצמת האור היא קבועה )חלקיקים נקודתיים כמעט, אך עם גודל סופי שגורם להם להניב תוצאות כמו של מפתחים עגולים(. עבור מפתח עגול שכזה, נניח

. שרדיוסו הוא השדה שמתקבל במישור המוקד של העדשה הינו –

1

הוא רדיוס המפתח )או, 1 היא פונקצית בסל הראשונה מסדר כאשר הוא אורך הגל של האור הוא מרחק המוקד של העדשה ו-רדיוס החלקיק(,

הוא מרחק פיזי במישור ההדמיה, כלומר על החיישן. איתו מבצעים הדמיה. אצלנו המרחק תמיד נמדד בפיקסלים, אך כיול פשוט של האורך הפיזי על.החיישן שהופך לפיקסל אחד בתמונת ההדמיה ייתן לנו את המרחק הפיזי

נגדיר –

אוCoherent Point Spread Functionונקבל את הצורה הסטנדרטית לשדה, שנקראת PSF – בקיצור

)מרחק המוקד(באופן כללי המרחק של העדשה מהחיישן לא חייב להיות (.והוא יוחלף בנוסחאות במרחק האמיתי )מסומן לרוב ב-

מכיוון שבחיישן נקלטת רק עצמת השדה, הפונקציות האופייניות שנראה בסרטיםשלנו הן מהצורה –

סה"כ, על סמך כל זאת, הניתוח הממוחשב שלנו יכול לספק את רדיוס החלקיק, שהמערכת שלנו תיתן, והנוסחא למעלה.לפי הערך המשוערך ל-

כדי לשרטט את הפונקציותהמערכת תשערך גם את האמפליטודה המתקבלות, אולם מציאת המשמעות הפיזיקלית של גודל זה ושערוך פרמטרים של מערכת הדימוי לפי גודל זה הם מעבר להיקף הפרויקט הנ"ל )קשור לעומק

החלקיקים, מקדמי ההחזרה שלהם ושל הנוזל הפולימרי וכו'(.

נסקור את התכונות של הפונקציה הנ"ל. תבנית ההתאבכות של העצמה הנ"ל , והיא לרוב תהיה קטומה בשל הרוויה של חיישני העצמה.Airyנקראת תבנית

למשל –

2

002

0406

08

002

0406

0851.0-

1.0-

50.0-

0

50.0

1.0

51.0

2.0

x

)r(U

y

ytis

netn

i

002

0406

08

002

0406

080

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

x

)r(I

y

ytis

netn

i

nrettap noitcarffiD

.אכן אלו תמונות ההתאבכות שאנו רואים לרוב בסרטים שלנו

. נמצא1 אינה מנורמלת, כלומר המקסימום שלה הוא לא הפונקציה את המקסימום –

משיקולי סימטריה ברור כי המקסימום צריך להתקבל במרכז )כל הגלים מכל הנקודות במפתח העגול יוצרים התאבכות בונה אחד עם השני(. אולם מתקיים,

לפי המקור – [7] C.A. Balanis, "Antenna Theory: Analysis and Design". 3rd Ed. Wiley, 2005.

מקיימת כי – כי הפונקציה

כלומר הפונקציה היא אי זוגית, ולכן מקיימת –

לכן את הערך בראשית נחשב לפי הגבול הבא –

3

נשתמש במשפט לופיטל. מתקיימת הזהות – מכיוון שהגבול הוא מסוג

חייב להיות קיים וסופי, שכן לא יכול להיות שהעצמהכמו כן הגבול האלקטרומגנטית של האור תתבדר במרחב חופשי, ללא משטחים חדים, כמו

מישור המיקוד של העדשה. – לכן נקבל כי

. לכן סה"כ – וזאת מכיוון ש-

ולכן הפונקציה המנורמלת היא –

האפסים של הפונקציה מחושבים באופן נומרי. להלן טבלה המתארת את - האפסים ונקודות המקסימום המקומיות של הפונקציה

Max/Min

Max10Min01.22Max0.01751.635Min02.233Max0.00422.679Min03.238Max0.00163.699Min04.241

אזי נקבל כי – של הפונקציה הנ"ל ב-אם נסמן את האפס מספר

4

, שנסמנם ניתן לקבל מהרדיוסים בהם התקבל האפס מספר את הפרמטר , באופן הבא – ב-

, אך כאשר אנו לאכמובן שבאופן כללי מספיק רדיוס אחד כדי לחשב את יודעים אם הפונקציה לפנינו אכן מהווה פונקצית בסל )למשל כאשר מתבצעת

התאמה לפונקצית בסל( ניתן להשתמש בנוסחא זו עבור כל הרדיוסים בהם כממוצע של כל התוצאותהפונקציה הנתונה מתאפסת, ולחשב את

שהתקבלו.

5