ЕРӨНХИЙ БОЛОВСРОЛЫН СУРГУУЛИЙН X …œАТЕМАТИК...7 бичигдсэн тоон дээр үйлдэл гүйцэтгэх Үйл тоонуудыг

1

2

ЕРӨНХИЙ БОЛОВСРОЛЫН СУРГУУЛИЙН X АНГИЙН

МАТЕМАТИКИЙН СУРГАЛТЫН ХӨТӨЛБӨРИЙГ ХЭРЭГЖҮҮЛЭХ СУРАЛЦАХУЙН УДИРДАМЖ

Улаанбаатар 2019

БОЛОВСРОЛЫН

ХҮРЭЭЛЭН

3

МАТЕМАТИКИЙН СУРГАЛТЫН ХӨТӨЛБӨРИЙГ ХЭРЭГЖҮҮЛЭХ

СУРАЛЦАХУЙН УДИРДАМЖ

X АНГИ

Бүрэн дунд боловсролын математикийн сургалтын хөтөлбөрийг хэрэгжүүлэх суралцахуйн удирдамж нь сургалтын хөтөлбөрийг хэрэгжүүлэхэд багш нарт арга зүйн дэмжлэг болох бөгөөд хөтөлбөрийн агуулгыг суралцахуйн зорилтууд буюу сурагчдын эзэмших мэдлэг, чадвараар тодорхойлсон онцлогтой. Өөрөөр хэлбэл сургалтын хөтөлбөрийн агуулга нь анги дээшлэх тутам өргөсөн гүнзгийрч байгаа ялгааг суралцахуйн зорилтуудаар тодорхойлсон нь сурагчдын чадварын ахицыг илрүүлэх, үнэлэх боломжийг олгож байна. Багш нар тухайн бүлэг сэдвийн хүрээнд ямар суралцахуйн зорилтыг хэрэгжүүлж байгаагаа сайтар ойлгож, анги хоорондын ялгааг мэдсэн байх шаардлагатай.

Математикийн хичээлээр эзэмшсэн байх мэдлэг, чадвар буюу суралцахуйн зорилтуудыг:

1. Тоо ба үсэгт илэрхийлэл, түүн дээрх үйлдэл 2. Алгебрийн илэрхийлэл, томъёо 3. Функц ба график 4. Матриц 5. Тэгшитгэл ,тэнцэтгэл биш 6. Олонлог 7. Тойрог ба олон өнцөгт 8. Координатын геометр 9. Хавтгай дээрх вектор 10. Пифагорын теором ба тригонометр 11. Геометр хувиргалт 12. Хэмжигдэхүүн 13. Өгөгдлийн шинжилгээ 14. Комбинаторик 15. Магадлал гэсэн бүлэг сэдвээр тодорхойлсон.

Суралцахуйн зорилт бүрээр хийгдэх үндсэн үйл ажиллагаа, багшийн анхаарах зүйл, хэрэглэгдэхүүнийг тайлбарлаж орууллаа. Бүлэг сэдвийн үр дүнгийн үнэлгээг хийхдээ тухайн бүлэг сэдвийн хүрээнд суралцахуйн зорилтуудаар тодорхойлсон мэдлэг, чадварыг илрүүлэх зорилгоор Багшийн ном, Статистикийн арга зүйн гарын авлага болон Сурах бичгийн “Бүлгийн нэмэлт даалгавар”-аас сонгон хэрэглэх боломжтой.

X ангийн суралцахуйн зорилтуудыг хэрэгжүүлэх үлгэрчилсэн төлөвлөгөө

Бүлэг сэдэв Суралцахуйн зорилтууд Хэрэгжүүлэх цаг

10.1.Тоо ба үсэгт илэрхийлэл

10.1а. Рационал илтгэгчтэй зэргийн чанарыг мэдэх, хэрэглэх 10.1б.Зэргийн чанарыг мэдэх, хэрэглэх 10.1в.Стандарт дүрсээр бичигдсэн тоон дээр үйлдэл гүйцэтгэх 10.1г. Бодит тооны үйлдлийн чанаруудыг тайлбарлах

5 цаг

10.2.Алгебрийн илэрхийлэл, томъёо

10.2а. Рационал илтгэгчтэй алгебрийн илэрхийллийг хялбарчлах 10.2б. Алгебрийн илэрхийллийг үржигдэхүүн болгон задлах 10.2в. Алгебрийн бутархайг үржүүлэх, хуваах 10.2г. Хуваарь нь шугаман эсвэл квадрат олон гишүүнт байх алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах

5 цаг

10.2д*. Олон гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон задлах, томьёо хэрэглэх (кубийн томьёо)

5 цаг

Бүлэг сэдвийн үр дүнгийн үнэлгээ 1. 1 цаг

10.3.Функц ба график

10.3а. Функц, функцийн тодорхойлогдох ба утгын муж, дүрийн талаар ойлголттой болох

9 цаг

4

10.3б. Квадрат функцийн графикийг утгын хүснэгт ашиглан байгуулах, шилжүүлэх, оройн цэг ба ОХ тэнхлэгийг огтлох цэгүүдээр графикийг тоймлон зурах

10.3в. 𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 хэлбэрийн функцийн графикийг утгын хүснэгт ашиглан байгуулах, энд 𝑎-рационал тоо ба 𝑛 = −2,−1,0,1,2,3

10.3г. 𝑦 = 𝑎𝑥 хэлбэрийн функцийн графикийг утгын хүснэгт ашиглан байгуулах, энд 𝑎-эерэг тоо

10.3д*. 𝑦 = 𝑘𝑎𝑥 хэлбэрийн функцийн графикийг утгын

хүснэгт ашиглан байгуулах, энд 𝑎-эерэг тоо 10.3е*. Муруйн шүргэгчийг зурж, налалтыг ойролцоогоор тооцоолох

6 цаг

10.4.Матриц

10.4а. Мэдээллийг матриц хэлбэрээр илэрхийлэх 10.4б. Матрицын нэмэх, хасах, тоогоор үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх 10.4в. Матрицыг матрицаар үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх 10.4г. Тэг болон нэгж матрицын талаар ойлголттой болох 10.4д. 2×2 хэмжээстэй матрицын тодорхойлогчийг олох 10.4е. 2×2 хэмжээстэй матрицын урвуу матрицыг олох, хэрэглэх

10 цаг


10.5.Тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш

10.5а. Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл биш, тэнцэтгэл бишийн системийг бодох 10.5б. Квадрат тэгшитгэлийг бүтэн квадрат ялгах аргаар бодох, ерѳнхий томьёо гаргах, шийдийг шинжлэх 10.5в. Квадрат тэгшитгэлд шилждэг биквадрат болон рационал тэгшитгэл бодох, хэрэглэх 10.5г. Хоёр хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл биш зохиох, тэнцэтгэл бишийн системийг бодох, шийдийг координатын хавтгайд дүрслэх 10.5д. Илтгэгч тэгшитгэлийг графикийн болон орлуулах аргаар бодох

11 цаг

10.5е*. Квадрат тэгшитгэлд шилждэг тэгшитгэлийг бодох, хэрэглэх 10.5ж*. Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем бодох, хэрэглэх

7 цаг

10.6.Олонлог 10.6а. Тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш, тэдгээрийн системийн шийдийг бичихэд логик ба геометр дүрслэл хэрэглэх

2 цаг

10.6б.* Олонлогууд дээрх үйлдэл, тэдгээрийг тэмдэглэх, хэрэглэх 10.6в.*Комбинаторикийн үржвэрийн зарчмыг мэдэх, хэрэглэх 10.6г.*Комбинаторикийн нийлбэрийн зарчмыг мэдэх, хэрэглэх

8 цаг


10.7.Тойрог ба олон өнцөгт

10.7а.Тойргийн хөвч, шүргэгч, огтлогчийн чанаруудыг хэрэглэх 10.7б.Тойрогт багтсан өнцгийн чанар хэрэглэх 10.7в.Тойрогт багтсан ба тойргийг багтаасан олон өнцөгтийн чанарыг мэдэх, хэрэглэх (гурвалжин, дөрвөн өнцөгт, зөв олон өнцөгт) 10.7г. Цэгийн геометр байрыг олох, тодорхойлох

8 цаг

10.8.Координатын геометр

10.8а. Хавтгайн тэгш өнцөгт координатын систем, цэгийн координатыг тодорхойлох 10.8б Хавтгайн тэгш өнцөгт координатын системд хоёр цэгийн хоорондох зай , хэрчмийн дундаж цэгийн координатыг олох 10.8в Координат нь өгсөн хоёр цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл бичих, шулууны налалтыг олох 10.8г. Шулууны тэгшитгэлийг 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 хэлбэрт бичих, хэрэглэх

6 цаг

5

10.8д. Координатын эх дээр төвтэй тойргийн тэгшитгэл бичих

Бүлэг сэдвийн үр дүнгийн үнэлгээ 4 1 цаг

10.9.Хавтгай дахь вектор

10.9а. Векторыг нэмэх, хасах, тоогоор үржүүлэх, коллинеар векторыг таних 10.9б. Векторыг өгсөн хоёр шулууны дагуу векторуудын нийлбэрт задлах 10.9в. Координатын хавтгай дахь векторын координатыг тодорхойлох, тэмдэглэх, векторын уртыг олох, векторыг суурь вектороор задлах 10.9г. Векторын үйлдлийг координатаар илэрхийлэх 10.9д. Хоёр векторын скаляр үржвэрийг олох

9 цаг

10.9е*.Хоёр вектор коллинеар, перпендикуляр байх нөхцөлийг мэдэх, хэрэглэх

3 цаг

10.10. Тригонометр

10.10а. 0-180 хүртэлх өнцгийн тригонометр харьцааг олох, хэрэглэх (өнцгийг градусаар, харьцааг тохирох нарийвчлалтай тоймлох) 10.10б. Тригонометр харьцаа хэрэглэн гурвалжны талбайг олох, хэрэглэх 10.10в. Косинус, синусын теоремыг мэдэх, хэрэглэх

8 цаг

10.10г*. Тригонометр харьцааг хэрэглэх (огторгуйн биет) 3 цаг


10.11.Геометр хувиргалт

10.11а. Координатын хавтгайд хувиргалт хийх, координатын хувиргалтын томьёог бичих, хувиргалтын матриц, түүнийг хэрэглэх 10.11б. Координатын хавтгай дахь дүрсийг тэгш хэмээр (цэгийн, тэнхлэгийн) хувиргах, хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх 10.11в.Координатын хавтгай дахь дүрсийг параллел зөөлтөөр хувиргах, хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх 10.11г. Координатын хавтгай дахь дүрсийг эргүүлэлтээр хувиргах, хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх 10.11д. Координатын хавтгай дахь дүрсийг гомотетоор хувиргах, хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх

9 цаг

10.11е*. Дараалсан хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх 10.11ж*. Хувиргалтуудыг таних, тодорхойлох

6 цаг

10.12. Хэмжигдэхүүн

10.12а. Тойргийн нумын урт болон дугуйн сектор, сегментийн талбайг олох 10.12б. Пирамид, цилиндр, призм, бөмбөрцөг, конусын гадаргуун талбай, эзлэхүүнийг олох томьёог мэдэх, хэрэглэх 10.12в. Биетүүдийн хавтгай огтлол байгуулах, огтлолын талбайг тооцоолох (диагональ огтлол, тэнхлэг огтлол, суурьтай параллел огтлол)

6 цаг


10.13.Өгөгдлийн шинжилгээ

10.13а. Бүлэглэсэн өгөгдлийн моод бүлэг, медиан, арифметик дунджийг тооцоолох (тэнцүү, тэнцүү биш завсраар бүлэглэсэн) 11.13б. Гистограмм унших, байгуулах (тэнцүү, тэнцүү биш завсраар бүлэглэсэн) 10.13в. Цэгэн диаграмм, түүний хандлагын шулууныг баримжаалан зурах, корреляцыг таних, тайлбарлах (эерэг, сөрөг, тэг) 10.13г. Хуримтлагдсан давтамжийн график байгуулах, хэрэглэх, медианыг олох 10.13д. Квартил, квартил хоорондын далайцыг үнэлэх, тайлбарлах

8 цаг

10.13е.* Хуримтлагдсан давтамжийн график ашиглан хоёр түүврийг харьцуулах

5 цаг

Бүлэг сэдвийн үнэлгээ 7 1 цаг

10.14. Комбинаторик*

10.14а*. Факториалын томьёог мэдэх, хэрэглэх 10.14б*. Сэлгэмэл, хэсэглэлийн томьёог мэдэх, хэрэглэх

3 цаг

6

10.15. Магадлал

10.15а. Нийцтэй ба нийцгүй үзэгдлүүдийн ялгааг мэдэх,

нийцгүй үзэгдлүүдийн магадлалыг нийлбэрийн 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) томьёо хэрэглэн олох, нийцтэй үзэгдлийн

магадлалыг 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) томьёо хэрэглэн олох 10.15.б. Нийлмэл үзэгдлийн ( хамаарах, үл хамаарах үзэгдэл) магадлалыг тооцоолоход модны схем, үр дүнгийн хүснэгт, Эйлер-Веннийн диаграмм хэрэглэх

5 цаг


Суралцахуйн зорилтын тоо

Заавал судлах – 56 100

Сонгон судлах - 15 46

Бүлгийн үнэлгээ 8

Нөөц цаг 21

Нэг суралцахуйн зорилтод ногдох дундаж цаг 2.5 цаг

Багш нар тухайн орон нутаг, сургуулийн орчин, нөхцөл, сурагчдын түвшинд тохируулан, дээрх агуулгын төлөвлөлтийг өөрчлөх боломжтой.

I БҮЛЭГ. ТОО БА ҮСЭГТ ИЛЭРХИЙЛЭЛ

Хүрэх үр дүн. Тооны рационал илтгэгчтэй зэргийг ойлгох, зэргийн чанаруудыг хэрэглэх, стандарт дүрсээр бичигдсэн тооны үйлдлийг гүйцэтгэх, бодит тооны чанаруудыг ойлгон хэрэглэх чадвартай болно.

Суралцахуйн зорилт

Суралцахуйн үйл ажиллагаа Хэрэглэгдэхүүн

10.1а. Рационал

илтгэгчтэй зэргийн

тодорхойлолтыг мэдэх, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа. Рационал илтгэгчтэй зэргийн тодорхойлолтыг мэдэх, хэрэглэх n зэргийн язгуурыг зэрэг дүрстэй бичнэ.

Жишээ 1.а. √3 = 31

2 б.√а35 = а

3

5

Рационал илтгэгчтэй зэргийн утгыг олно.

Жишээ 2. а. 322

5 = (322)1

5 = (321

5)2

= 22 = 4

б. 27−4

3 = (27−4)1

3 = (271

3)−4

= 3−4 =1

81

Рационал илтгэгчтэй зэргийг квадрат болон куб зэрэг хэлбэрт бичнэ.

Жишээ 3.а.𝑥2

3 = (𝑥1

3)2

б.51

5 = (51

15)3

Багшийн анхаарах зүйл. Рационал илтгэгчтэй зэргийг квадрат болон куб зэрэг хэлбэрт бичих чадварыг эзэмшүүлэхэд илүү анхаарна.

a0 = 1

a−n =1

an

√𝑎𝑘𝑛= 𝑎

𝑘𝑛

10.1б. Зэргийн чанарыг мэдэх, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа. Зэргийн чанарыг хэрэглэж, илэрхийллийг хувиргах Зэргийн үндсэн чанарууд хэрэглэн рационал илтгэгчтэй илэрхийллийг хялбарчилж, хувиргана. Жишээ 4.

а. 𝑦1

3 ∙ 𝑦4

3 = 𝑦1

3+

4

3 = 𝑦5

3 б. 314

3−

12

= 31

4+

1

2 = 33

4

в. (𝑦−4

5)−3

= 𝑦12

5 г. (𝑥1

3 ∙ 𝑦2

3)3

= (𝑥1

3)3

(𝑦2

3)3

= 𝑥𝑦2

Багшийн анхаарах зүйл. Өмнөх ангиудад натурал болон бүхэл илтгэгчтэй зэргийн утгыг олох, зэргийн чанар хэрэглэх чадвартай болсон. 10 дугаар ангид эдгээр чадвараа бататгаад, рационал илтгэгчтэй зэргийн талаар судална.

Зэргийн чанарууд

10.1в. Стандарт дүрсээр

Үйл ажиллагаа 1. Тооны стандарт дүрстэй бичлэгийг ахуй амьдралын бодит жишээгээр сэргээн бататгах

Стандарт дүрстэй тооны

7

бичигдсэн тоон дээр үйлдэл гүйцэтгэх

Физикийн шинжлэх ухаанд протоны массыг 1.67 ×10−27кг, электроны массыг 9.1 × 10−31кг , гэрлийн хурдыг

ойролцоогоор 2.99 × 108 м/с гэх мэт Үйл ажиллагаа 2. Стандарт дүрсээр бичигдсэн тоонуудыг нэмэх ба хасах. - 10 суурьтай зэргийн илтгэгч нь ижил байх стандарт

дүрстэй хоёр тоог нэмэх ба хасах үйлдэл гүйцэтгэнэ. Жишээ 5.

а. 3.2×1010 + 2.45×1010 =

б. 6.25×108 − 4.95×108 =

- 10 суурьтай зэргийн илтгэгч нь ижил биш стандарт дүрстэй тоонуудыг нэмэх ба хасах үйлдэл гүйцэтгэнэ.

Жишээ 6.

а.1.25×10−8 + 2.5×10−9 =

б.5.7 × 103 − 3.45 × 104 =

Үйл ажиллагаа 3. Стандарт дүрсээр өгсөн хоёр тоог үржүүлэх Жишээ 7.

а.2.45×109 × 1.8×10-13 =

б.2.5 × 10−2 × 4.025 × 10−3 = Үйл ажиллагаа 2. Стандарт дүрсээр өгсөн хоёр тоог хуваах Жишээ 8.

а.2.75× 103 ÷ (5.5 × 105) =

б.7.88× 10−15 ÷ (1.6 × 10−18) = Багшийн анхаарах зүйл. 9 дүгээр ангид тооны стандарт дүрсийн талаар ойлголттой болж, маш их тоо болон маш бага тоог 10-ын бүхэл илтгэгчтэй зэрэг хэрэглэн стандарт дүрсэд бичих чадвартай болсон. 10 дугаар ангид эдгээр чадварыг бататгаад стандарт дүрстэй тоонуудыг нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах чадвар эзэмшүүлнэ.

сонирхолтой жишээнүүд: Дэлхийгээс нар хүртэлх зай, атомын масс

гэх мэт

10.1г. Бодит тооны үйлдлийн чанаруудыг тайлбарлах

Үйл ажиллагаа 1. Бодит тоог тодорхойлох, энгийн бутархайг төгсгөлгүй үет аравтын бутархайгаар илэрхийлэх Тодорхой жишээ хэрэглэж, иррационал тооны тухай ойлголт өгнө, өөрсдөө иррационал тоо зохиож болно,

Тухайлбал: 4.10110011100011110000… −22,353335333335… гэх мэт

Жишээ 9. √2 √53

𝜋 = 3.14… е = 2.71… Энгийн бутархайг төгсгөлгүй үет аравтын бутархайгаар, үет аравтын бутархайг энгийн бутархайгаар илэрхийлнэ. Жишээ 10.

а.8

9 = б. 1

5

6 = в. 2.2(15) = г. 0.(36) =

Рационал болон иррационал тоонуудыг нийтэд нь бодит тоо гэж нэрлэнэ. Үйл ажиллагаа 2. Бодит тооны үйлдлийн чанаруудыг мэдэх Бүхэл болон рационал тоон дээрх нэмэх ба үржүүлэх үйлдлийн бүх чанар бодит тоон дээр биелэхийг мэддэг болно. Багшийн анхаарах зүйл. Рационал ба иррационал тооны талаар сэргээн сануулж, энгийн бутархайг төгсгөлгүй үет аравтын бутархайгаар илэрхийлэх, үет аравтын бутархайг энгийн бутархайгаар илэрхийлэх чадвар эзэмшүүлэх нь чухал.

Иррацсионал тооны сонирхолтой жишээнүүд: Алтан харьцаа

𝜑 =1 + √5

2= 1.618033 . . ..

гэх мэт.

8

II БҮЛЭГ. АЛГЕБРИЙН ИЛЭРХИЙЛЭЛ , ТОМЬЁО

Хүрэх үр дүн. Рационал илтгэгчтэй зэрэг бүхий алгебрийн илэрхийллийг хувиргах, хялбарчлах, үржигдэхүүн болгон задлах, алгебрийн бутархай илэрхийллийн үйлдлийг гүйцэтгэх чадвартай болно.



10.2а.Рационал илтгэгчтэй алгебрийн илэрхийллийг хялбарчлах

Үйл ажиллагаа 1. Алгебрийн илэрхийллийг хялбарчлах,үржигдэхүүн болгон задлах, хураах Өмнөх ангиудад судалсан бүхэл илтгэгчтэй алгебрийн илэрхийллийг хялбарчлах, бутархайг хураах чадварыг сэргээн бататгана. Жишээ 1. Алгебрийн илэрхийллийг хаалт задалж

хялбарчил.

а.−4𝑥(3𝑥 − 4𝑦) + 5𝑥(7𝑥 − 9𝑦) =

б.(7𝑚2 − 5𝑛3)(7𝑚2 + 5𝑛3) = Жишээ 2. Алгебрийн илэрхийллийг үржигдэхүүн болгон задал.

а.9𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 4𝑦2 =

б. 𝑎2 − 10𝑎 − 39 = Алгебрийн бутархайг үржигдэхүүн болгон задалж , хураах үйлдлийг гүйцэтгэнэ. Жишээ 3.

а.2𝑐+8

𝑐2−16= б.

𝑥2−3𝑥+2

𝑥2−4𝑥+4 =

Үйл ажиллагаа 2. Рационал илтгэгчтэй зэрэг бүхий

алгебрийн илэрхийллийг хялбарчлах Жишээ 3. Төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэж, хялбарчил.

а. 𝟑х𝟏

𝟒 + 𝟓х𝟏

𝟒 − 𝟔х𝟏

𝟒 = б.m0.5 − 4m0.5 − 2m0.5 =

в.4√2 + 5√2 − 11√2 = Рационал илтгэгчтэй зэрэг бүхий алгебрийн илэрхийллийг хаалт задлах болон томьёо хэрэглэн хялбарчилна. Жишээ 4.

а.(𝑦1

2 − 1) (𝑦1

2 + 1) = б. (2𝑎1

3 + 3)2

=

в.(√𝑐 − √𝑑)(√𝑐 + √𝑑) =

г.2𝑎1

3 (𝑎2

3 + 𝑎1

3) − 5𝑎1

3 (𝑎2

3 − 𝑎1

3) =

Үйл ажиллагаа 3. Рационал илтгэгчтэй зэрэг бүхий

алгебрийн бутархайг хураах болон хуваарийг иррационалиас чөлөөлөх Бутархайн хуваарь, хүртвэрийг үржигдэхүүн болгон задалж хураана. Жишээ 5.

а.𝑥−𝑦

𝑥12−𝑦

12

= б.√𝑏+√2

𝑏−2 = в.

𝑎+𝑎0.5

𝑎0.5+1 =

Бутархайн хуваарийг хосмогоор үржүүлж, язгуураас чөлөөлнө. Жишээ 6.

а.√𝑥+√𝑦

√𝑥−√𝑦 б.

7

2+√3 =

Багшийн анхаарах зүйл. Рационал илтгэгчтэй алгебрийн илэрхийллийн үйлдэл хавсарсан даалгаврыг сонгон судлах цагаар бодуулах нь чухал.

Нэмэлт даалгаврууд бэлтгэх

9

10.2б.Алгебрийн илэрхийллийг үржигдэхүүн болгон задлах

Үйл ажиллагаа 1. Квадратуудын ялгаврын томьёо

ашиглан алгебрийн илэрхийллийг үржигдэхүүн болгон задлах Рационал илтгэгчтэй зэрэг бүхий алгебрийн илэрхийллийг квадратуудын ялгаврын томьёо ашиглан үржигдэхүүн болгон задална. Жишээ 7.

а.2х0.5 − 𝑦0.5 = б.√𝑎23− 3 =

Үйл ажиллагаа 2. Алгебрийн илэрхийллийг бүлэглэх

аргаар үржигдэхүүн болгон задлах Рационал илтгэгчтэй зэрэг бүхий алгебрийн илэрхийллийг бүлэглэх аргаар үржигдэхүүн болгон задална. Жишээ 8.

а.m+𝑚0.5 − 2 = б.x−3√𝑥 + 2 =

в.𝑥2 + 3𝑥 − 4𝑥√𝑦 − 12√𝑦 =

Багшийн анхаарах зүйл.9 дүгээр ангид судалсан квадрат гурван гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон задлах турших аргыг хэрэглэж болно.


10.2в. Алгебрийн бутархайг үржүүлэх, хуваах

Үйл ажиллагаа. Алгебрийн бутархайг үржүүлэх Алгебрийн бутархайг үржүүлэх дүрмийг хэрэглэн үйлдэл гүйцэтгэж, бутархайг хураах чадвараа бататгана

Жишээ 9. Үйлдлийг гүйцэтгэ. 𝑥2−4𝑥+4

√𝑥−3∙𝑥−9

𝑥−2 =

Үйл ажиллагаа 2. Алгебрийн бутархайг хуваах Алгебрийн бутархайг хуваах дүрмийг хэрэглэн үйлдэл гүйцэтгэж, бутархайг хураах чадвараа бататгана.

Жишээ 10. Үйлдлийг гүйцэтгэ. 𝑥2+4𝑥+4

𝑥2−4𝑥+4÷

2𝑥+4

𝑥−2=


10.2г. Хуваарь

нь шугаман эсвэл квадрат олон гишүүнт байх алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах

Үйл ажиллагаа 1. Хуваарь нь шугаман хэлбэртэй

алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах Алгебрийн бутархайнуудын ерөнхий хуваарийг олж, нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэнэ. Жишээ 11. Үйлдлийг гүйцэтгэ.

а..𝑥2

𝑥−𝑦+

𝑦2

𝑦¬𝑥= б.4x+3 −

2𝑥−1

𝑥+4 = в.

5

𝑥−1−

3

𝑥+1 =

Үйл ажиллагаа 2. Хуваарь нь шугаман болон

квадрат олон гишүүнт байх хэлбэртэй алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах Алгебрийн бутархайнуудын ерөнхий хуваарийг олж, нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэнэ. Жишээ 12. Үйлдлийг гүйцэтгэ.

а.𝑥

2𝑦−𝑥+

𝑦2−3𝑥𝑦

4𝑦2−𝑥2 = б.5

𝑥−2−

3𝑥−11

𝑥2−5𝑥+6 =


10

10.2д.*Олон

гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон задлах,томьёо хэрэглэх (кубийн томьёо )

Үйл ажиллагаа 1. Өмнөх мэдлэгийг сэргээн бататгах

Нийлбэр, ялгаврын квадрат, квадратуудын ялгаврын томьёог сэргээн бататгаж, алгебрийн бутархайг хураах даалгавар өгнө. Жишээ 13. Үйлдлийг гүйцэтгэ.

а.𝑥2+4𝑥+4

𝑥−3∙𝑥2−9

𝑥+2 б.

𝑥2−6𝑥+9

𝑥−1∙𝑥2−1

𝑥−3

б.𝑥2−𝑧2

14𝑥2𝑧4 ÷𝑥2+2𝑥𝑧+𝑧2

3𝑥𝑧3

Үйл ажиллагаа 2. Кубүүдийн нийлбэр, ялгаврын томьёог мэдэх, хэрэглэх

𝑎 талтай квадратын нэг булангаас 𝑏 талтай квадратыг огтолж авахад үлдэх дүрсийн талбайг

𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏) (𝑎 – 𝑏) гэж олж байсныг сэргээн сануулна. Энэ бодлогыг өргөтгөн 𝑎 ирмэгтэй куб-ээс 𝑏 ирмэгтэй куб-ийг тасалж авахад үлдэх биетийн эзлэхүүнийг олох асуудал дэвшүүлнэ, Бодолт:

Нэг талаас үүссэн биетийн эзлэхүүн нь 𝑉 = 𝑎3 − 𝑏3 байна.

Нөгөө талаас 𝑎 ирмэгтэй кубээс 𝑏 ирмэгтэй кубийг тасалж авахад үлдэх биетийг 3 тэгш өнцөгт паралеллепипед болгон хувааж болно гэдгийг гаргуулна, тэгвэл энэ биетийн эзлэхүүн нь эдгээр 3 тэгш өнцөгт паралеллепипедийн эзлэхүүнүүдийн нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг IX ангидаа судалсан. Иймд:

(𝑎 − 𝑏), 𝑎, 𝑎 ирмэгүүдтэй тэгш өнцөгт паралеллепипед (𝑎 − 𝑏), 𝑎, 𝑏 ирмэгүүдтэй тэгш өнцөгт паралеллепипед

(𝑎 − 𝑏), 𝑏, 𝑏 ирмэгүүдтэй тэгш өнцөгт паралеллепипед болно. Эдгээрийн эзлэхүүнүүдийн нийлбэрийг олбол 𝑉 = (𝑎 − 𝑏) × 𝑎 × 𝑎 + (𝑎 − 𝑏) × 𝑎 × 𝑏 + (𝑎 − 𝑏) × 𝑏 × 𝑏 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) болно. Эндээс

𝑉 = 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) болно. Үүнтэй адилаар кубүүдийн нийлбэр,ялгаврын томьёог хэрэглэх даалгавруудыг өгнө. Жишээ 14.

а.27𝑐3 + 0.008𝑑3 =

б.(√73

− √53

)(√493

+ √353

− √253

) =

в.𝑥 +1

𝑥= −1 бол 𝑥3 +

1

𝑥3 илэрхийллийн утгыг ол.

а.a3-8b3= б.(a-4b)(a2+4ab+16b2)= в.763-213= г.-x3+y3= д.216a9-125b6=

е.y= 1

2 бол 2y3+9-(y-1)(y2+y+1)=

Багшийн анхаарах зүйл: Өмнөх ангиудад нийлбэр, ялгаврын квадрат, квадратуудын ялгаврын томьёо хэрэглэн квадрат 3 гишүүнтийг үржигдэхүүн болгон задлах талаар судалсан. Эдгээрийг бататгаад 10 дугаар ангид шинээр кубын томьёонуудын гаргалгааг хийх, томьёонуудыг хэрэглэх чадвар эзэмшүүлнэ.

Багшийн ном X – XII

11

III БҮЛЭГ. ФУНКЦ БА ГРАФИК

Хүрэх үр дүн. Функц, түүний тодорхойлогдох ба утгын муж, дүрийн талаар ойлголттой болох, функцийн графикийг утгын хүснэгт ашиглан байгуулах, муруйн шүргэгчийг зурах, налалтыг ойролцоогоор тооцоолох, асуудал шийдвэрлэх чадвартай болно.



10.3а. Функц,

функцийн тодорхойлогдох ба утгын муж, дүрийн талаар ойлголттой болох

Үйл ажиллагаа 1. Функцийг харгалзаагаар дүрслэх

Зургаар өгсөн харгалзаануудаас аль нь функц болохыг тогтоох, функцийн тодорхойлогдох ба утгын муж, дүрийн талаар ойлголттой болж, функцийн тэмдэглэгээ хэрэглэн бичих чадвартай болно. Үйл ажиллагаа 2. Функц өгөх аргуудыг мэдэх а.Хүснэгт б.Томъёо в.График Багшийн анхаарах зүйл.Функц өгөгдөх 3 аргыг сурагчдаар гаргуулахаар ажлын хуудсыг шугаман функцийн жишээгээр бэлдэх хэрэгтэй.

Төрөл бүрийн функцийн жишээ, харгалзаа

10.3б. Квадрат

функцийн графикийг утгын хүснэгт ашиглан байгуулах, шилжүүлэх, оройн цэг ба ОХ тэнхлэгийг огтлох цэгүүдээр графикийг тоймлон зурах

Үйл ажиллагаа 1. 𝑦 = 𝑎𝑥2 хэлбэрийн квадрат функцийн график байгуулах

𝑦 = 𝑎𝑥2 хэлбэрийн квадрат функцийн график байгуулж, тодорхойлогдох ба утгын муж, дүрийг олно.

Үйл ажиллагаа 2 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑞 хэлбэрийн квадрат функцийн график байгуулах, тоймлон зурах

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑞 хэлбэрийн квадрат функцийн график байгуулж, тодорхойлогдох ба утгын муж, дүрийг олно. Жишээ нь,

𝑦 = −𝑥2 − 1

Үйл ажиллагаа 3. 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 хэлбэрийн квадрат функцийн график байгуулах, тоймлон зурах

𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 хэлбэрийн квадрат функцийн график байгуулж, тодорхойлогдох ба утгын муж, дүрийг олно. Жишээ нь,

𝑦 = (𝑥 − 1)2 , 𝑦 = −(𝑥 + 1)2 гэх мэт.

Үйл ажиллагаа 4. 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞 хэлбэрийн квадрат функцийн график байгуулах, тоймлон зурах

𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞 хэлбэрийн квадрат функцийн график байгуулж, тодорхойлогдох ба утгын муж, дүрийг олно. Жишээ

нь, 𝑦 = (𝑥 + 1)2 − 4 , 𝑦 = −(𝑥 − 2)2 + 1 гэх мэт.

Үйл ажиллагаа 5. 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 хэлбэрийн квадрат функцийн график байгуулах, тоймлон зурах

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 хэлбэрийн квадрат функцийн график байгуулж, тодорхойлогдох ба утгын муж, дүрийг олно. Жишээ

нь, 𝑦 = 2𝑥2 + 𝑥 − 3 , 𝑦 = −2𝑥2 + 3𝑥 − 1 гэх мэт. Квадрат функцийн графикийг тоймлон зурахдаа:

- 𝑥2-ийн өмнөх коэффициентийн тэмдгээр параболын салаа дээш эсвэл доош харах эсэхийг тогтооно.

- Бүтэн квадрат ялгах аргаар оройн цэгийн координатыг олно.

- ОХ тэнхлэгийг огтлох цэгүүдийн координатыг олно. - Тэгш хэмийн тэнхлэгийг байгуулна.

Параболын тэгш хэмийн тэнхлэг нь оройн цэгийг дайрсан, ОУ тэнхлэгтэй параллел шулуун байхыг анхааруулна.

Багшийн анхаарах зүйл.Квадрат функцийн графикийг утгын хүснэгтээр байгуулах, шилжилт хийх замаар өгсөн хэлбэрийн функцийн графикийг тоймлон зурах чадварыг эзэмшүүлэхэд анхаарна.

Квадрат функцийн графикийн жишээ GeoGebra ашиглан хэрэглэгдэхүүн бэлтгэх

12

10.3в.

𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 хэлбэрийн функцийн графикийг утгын хүснэгт ашиглан байгуулах

Үйл ажиллагаа 1. Зэрэгт функцийн графикийг 𝑛 = −1 үед байгуулж дүгнэлт гаргах

𝑦 =𝑎

𝑥 хэлбэрийн функцийн графикийг утгын хүснэгт

ашиглан байгуулж, дүгнэлт гаргана.

Жишээ 1.𝒚 =𝟏

𝒙 ба 𝒚 = −

𝟏

𝒙 функцийн графикийг утгын

хүснэгт ашиглан байгуулна. - Функцийн дүрийг олно. - Функцийн график координатын тэнхлэгүүдтэй

огтлолцох эсэхийг тогтооно. - Функцийн график аль мөчид байхыг тодорхойлно. - Функцийн график тэгш хэмтэй эсэхийг тодорхойлно.

Үйл ажиллагаа 2. Зэрэгт функцийн графикийг a=1 , 𝑛 = −2 үед байгуулж дүгнэлт гаргах

Жишээ 2. 𝑦 =1

𝑥2 ба 𝑦 = −1

𝑥2 функцийн графикийг утгын

хүснэгт ашиглан байгуулна. - Тодорхойлогдох мужийг олно. - Функцийн дүрийг олно. - График нь координатын тэнхлэгүүдийг огтлолцох

эсэхийг тодорхойлно. - Функцийн график тэгш хэмтэй эсэхийг тодорхойлно.

GeoGebra ашиглан хэрэглэгдэхүүн бэлтгэх

10.3г. 𝑦 = 𝑎𝑥 хэлбэрийн функцийн графикийг утгын хүснэгт ашиглан байгуулах

Үйл ажиллагаа.

Илтгэгч функцийн графикийг утгын хүснэгт ашиглан байгуулна.

- Функцийн дүрийг олно. - Функцийн график координатын тэнхлэгүүдтэй

огтлолцох эсэхийг тогтооно. - Функцийн график а- ийн утгаас хэрхэн хамаарч

байгааг тодорхойлно Жишээ 3. Функцийн графикийг байгуул.

а. 𝑦 = 2𝑥 б. 𝑦 = 0.5𝑥 в.𝑦 = 3𝑥 г.𝑦 = (1

3)𝑥


10.3д.

𝑦 = 𝑘𝑎𝑥 хэлбэрийн функцийн графикийг утгын хүснэгт ашиглан байгуулах


y = ax функцийн графикийг утгын хүснэгт ашиглан байгуулж, k-ийн утгаас хэрхэн хамаарч байгааг ажиглуулна. Жишээ 4.

а. 𝑦 = 3 ∙ 2𝑥 б. 𝑦 = − (1

3)𝑥

Тодорхойлогдох муж нь өгсөн завсарт байх функцийн дүрийг олж, графикийг байгуулна. Жишээ 5.

а. 𝑦 = −3 ∙ 0.5𝑥 {𝑥|−1 ≤ 𝑥 ≤ 1}

б.𝑦 =1

2∙ 3𝑥 {𝑥|−1 ≤ 𝑥 < 0}

Багшийн анхаарах зүйл.Функцийн график k ба a-ийн утгуудаас хэрхэн хамаарах талаар сурагчдаар дүгнэлт гаргуулна.


10.3е. Муруйн

шүргэгчийг зурж, налалтыг ойролцоогоор тооцоолох


Муруйн өгсөн цэг дээрх шүргэгч шулууныг баримжаалан зурж, налалтыг тооцоолно.

- Өгсөн функцийн график ба өгсөн цэг дээрх муруйн шүргэгч шулууныг баримжаалан зурна.

- Уул шулуун дээр дурын цэг авч, тэгш өнцөгт гурвалжин байгуулна.

- Тэгш өнцөгт гурвалжны өгсөн цэг дээрх шүргэгч шулууны налалтыг олно.

Жишээ 6.

а. 𝑦 = (𝑥 − 1)2 + 1 , A(2, 2)

б. 𝑦 =1

𝑥2 ба A(−2, 0.25)

в. 𝑦 = 2𝑥 ба A(1, 2)


13

IV БҮЛЭГ. МАТРИЦ

Хүрэх үр дүн. Матрицын элемент, хэмжээсийг мэдэх, олох, матрицыг нэмэх, тоогоор үржүүлэх, матрицыг матрицаар үржүүлэх үйлдлүүдийг гүйцэтгэх, матрицын тодорхойлогч, урвуу матрицыг олох, хэрэглэх чадвартай болно.



10.4а.

Мэдээллийг матриц хэлбэрээр илэрхийлэх

Үйл ажиллагаа .Тоон мэдээллийг матрицаар илэрхийлж,

матрицын элемент, хэмжээсийг тодорхойлж, тэмдэглэж чаддаг болно. Хүснэгтэн мэдээллийг матрицаар илэрхийлж бичнэ. Жишээ 1.

Хѳвгүүд Охид

10а 27 18

10б 23 11

10в 23 16

(27 1823 1123 16

)

Өгсөн матрицын хэмжээсийг олно. - Мөрийн тоог олно. - Баганын тоог олно. - Матрицын хэмжээсийг бичнэ.

Жишээ 2.

(1 1 −23 0 2

)

Энэ матриц нь 2 мѳр 3 баганатай учир хэмжээс нь 2 × 3 болно. Жишээ 3. (1, 2) гэсэн вектор нь (1 2) гэсэн матрицтай ижил юм. Жишээ 4. Матрицуудын хэмжээсийг бич.

(2 10 3

), (1 2 3), (31), (

2 1 01 −1 2

−2 0 3) , (

3 32 31 2

)

Багшийн анхаарах зүйл.Матрицын мөр болон баганыг ялгах, матрицын хэмжээсийг олох чадварыг сайн эзэмшүүлэх нь матрицын үйлдлийг гүйцэтгэхэд илүү дөхөм болно гэдгийг санаарай.

Ахуй амьдралын жишээнүүд

10.4б.

Матрицыг нэмэх, хасах, тоогоор үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх

Үйл ажиллагаа 1. Хүснэгтэн мэдээллийг матрицаар

илэрхийлж, дүгнэлт гаргах Жишээ 5. Салбар дэлгүүрүүдэд 3 ѳдрийн турш зарагдсан

хоёр тѳрлийн барааны нийт тоог хэрхэн олж болохыг ярилцаарай.

I салбар Зурагт Хѳргѳгч

I ѳдѳр 3 5

II ѳдѳр 2 3

III ѳдѳр 5 4

II салбар Зурагт Хѳргѳгч

I ѳдѳр 4 3

II ѳдѳр 5 3

III ѳдѳр 3 4

2 салбар нийлээд

Зураг Хѳргѳгч

I ѳдѳр 7 8

II ѳдѳр 7 6

III ѳдѳр 8 8

14

(3 52 35 4

) + (4 35 33 4

) = (7 87 68 8

) болно

(2 5 45 3 2

) − (1 2 24 4 3

) = (1 3 21 −1 −1

)

. Үйл ажиллагаа 2. Матрицуудын нэмэх үйлдлийг гүйцэтгэх Ижил элементтэй матрицуудыг нэмэх үйлдлийг гүйцэтгэх зүй тогтлыг ажиглан , үржвэр хэлбэрт бичнэ. Жишээ 6.

а.(2 1 33 2 4

) + (2 1 33 2 4

) = (4 2 66 4 8

)

б. (2 13 2

) + (2 13 2

) + (2 13 2

) = (6 39 6

),

а. 2∙ (2 1 33 2 4

) = (4 2 66 4 8

)

б. 3 ∙ (2 13 2

) = (6 39 6

),

Санамж. Матрицуудыг нэмэхэд хэмжээс нь ижил байх нь чухал.

10.4в.Матриц

ыг матрицаар үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх

Үйл ажиллагаа 1. Матрицуудын үржүүлэх үйлдлийг

гүйцэтгэж болох эсэхийг мэдэх Өгсөн матрицын хэмжээсийг олж, үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэж болох эсэхийг тогтооно. Жишээ 7.

а.(2 1 33 2 4

) ∙ (3 52 35 4

) = б. (2 13 2

) ∙ (6 39 6

) =

в. (3 2) ∙ (21) = г.(

1 31 2

) ∙ (2 11 44 2

) = гэх

мэт жишээнүүд дээр ярилцана. Үйл ажиллагаа 2. Матрицуудын үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх Матрицын үржүүлэх үйлдлийг мөр баганыг хэрэглэн, зааврын дагуу гүйцэтгэнэ.

- Эхний матрицын 1 дүгээр мөрийн элементүүдийг дараагийн матрицын 1 дүгээр баганын элементүүдээр харгалзуулан үржүүлж хооронд нь нэмээд гарсан тоог 1 дүгээр мөрийн 1 дүгээр багананд бичнэ.

- Эхний матрицын 1 дүгээр мөрийн элементүүдийг дараагийн матрицын 2 дугаар баганын элементүүдээр харгалзуулан үржүүлж хооронд нь нэмээд гарсан тоог 1 дүгээр мөрийн 2 дугаар багананд бичнэ.....

Жишээ 8.

а.(2 1 33 2 4

) ∙ (3 52 35 4

) = б. (2 13 2

) ∙ (6 39 6

) =

в. (3 2) ∙ (21) =

Багшийн анхаарах зүйл. Матрицуудыг үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх даалгавруудыг оновчтой сонгож,сурагчдаар дүгнэлт гаргуулах хэрэгтэй.

15

10.4г.Тэг

болон нэгж матрицын талаар ойлголттой болох

Үйл ажиллагаа 1.Тэг матрицын талаар ойлголттой

болох Дараах тэнцэтгэл үнэн эсэхийг шалгаж, тэг матрицын талаар ойлголттой болно. Жишээ 9.

а. (2 13 2

) + (0 00 0

) = (2 13 2

)

б. (1 22 33 4

) + (0 00 00 0

) = (1 22 33 4

)

Тэг матрицын талаар ойлголт өгнө. Матриц дээр түүнтэй ижил хэмжээстэй дан тэгээс тогтох матрицыг нэмбэл анхны матриц гарах ба уг матрицыг тэг матриц гэнэ. Үйл ажиллагаа 2. Нэгж матрицын талаар ойлголттой болох Дараах тэнцэтгэл үнэн эсэхийг матрицыг үржүүлэх үйлдлийг хэрэглэн тогтоож, нэгж матрицыг тэмдэглэж сурна. Жишээ 10.

а. (1 31 2

) ∙ (1 00 1

) = (1 31 2

)

б. (2 11 44 2

) (1 00 1

) = (2 11 44 2

)

в. (1 0 00 1 00 0 1

)(2 11 44 2

) = (2 11 44 2

)

E= (1 00 1

) нэгж

матриц

10.4д.2 × 2 хэмжээст матрицын тодорхойлогчийг олох

Үйл ажиллагаа 1. 2 × 2 хэмжээст матрицын тодорхойлогчийг олох дүрмийг мэдэх, хэрэглэх Матрицын тодорхойлогчийг олох зааврыг хэрэглэнэ.

- Өгсөн матрицын тодорхойлогчийг тэмдэглэнэ. - 1 дүгээр мөрийн 1 дүгээр элементийг 2 дугаар

мөрийн 2 дугаар элементээр үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ.

- 1 дүгээр мөрийн 2 дугаар элементийг 2 дугаар мөрийн 1 дүгээр элементээр үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ. Эхний үржвэрээс дараагийн үржвэрийг хасна.

Жишээ 11.

а.|2 31 2

| = 2 ∙ 2 − 1 ∙ 3 = 1

б. |−3 7−5 13

| = −3 ∙ 13 + 7 ∙ 5 = −4

Үйл ажиллагаа 2. Матрицын тодорхойлогчийн

чанаруудыг мэдэх, хэрэглэх

𝐴𝐵, 𝐵𝐴 матрицуудын тодорхойлогчийг олж, дүгнэлт

гаргана.

Жишээ 12.

𝐴 = (2 −1

−3 4) 𝐵 = (

−2 3−5 1

)

Жишээ 13.

𝐴 = (1 −13 1

) 𝐵 = (4 −1−3 1

) 𝐶 = (−3 −42 1

)

матрицууд өгөгджээ.

а. 𝐴 + 𝐵 б. 𝐵 − 𝐶 в.2𝐴 − 3𝐵 г. 3𝐵 + 2𝐶 матрицуудын тодорхойлогчийг ол.

Тодорхойлогч олох дүрэм:

А = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

)

|А| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

16

V БҮЛЭГ.ТЭГШИТГЭЛ, ТЭНЦЭТГЭЛ БИШ

Хүрэх үр дүн. Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл биш, тэнцэтгэл бишийн системийг бодох, шийдийг дүрслэх, квадрат тэгшитгэл, квадрат тэгшитгэлд шилждэг биквадрат болон рационал тэгшитгэл, илтгэгч тэгшитгэл бодох, шийдийг шинжлэх, хоёр хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл бишийн системийн шийдийг координатын хавтгайд дүрслэх чадвартай болно.



10.5а.Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл биш, тэнцэтгэл бишийн системийг бодох

Үйл ажиллагаа 1. Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл бишийг бодох, шийдийг дүрслэх Өгсөн тэнцэтгэл бишийн ерөнхий хуваарийг олж, хувирган нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл бишид шилжүүлэн бодож, шийдийг дүрсэлнэ. Жишээ 1.

а.2𝑥−3

4−

𝑥+1

3>

1

2−

3−𝑥

5

б. 2x−3

4−

x+1

5>

2x

5− 1

в. 3−2x

4−

2−x

3> −2

г. 3x−5

9+

2x−5

2>

8x+7

6

д.(x − 3)(x + 2) − (x − 3)2 < 15𝑥 − 10

е. (x − 2)(x + 1) − (x − 2)2 < 6𝑥 + 9 Үйл ажиллагаа 2. Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл бишийн системийг бодох, шийдийг дүрслэх Өгүүлбэртэй бодлогын нөхцөлд тохируулан нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл бишийн систем зохиож бодно. Жишээ 2. Яст мэлхийн насны тоог 3-аар үржүүлж 250-ийг хасвал 500-аас их гардаг бөгөөд 60-ыг хасвал 240-өөс бага байдаг бол яст мэлхий хэд насалдаг вэ?

{3𝑥 − 250 > 500𝑥 − 60 < 240

{3𝑥 > 750𝑥 < 300

{𝑥 > 250𝑥 < 300

Хариу: 250 < 𝑥 < 300 Давхар тэнцэтгэл биш болон шугаман тэнцэтгэл бишийн системийг бодож, шийдийг бичнэ. Жишээ 3.

а. 2≤ 2𝑥 + 1 < 3 б. −2≤ 3 − 2𝑥 < 5

в. {37𝑥 + 11 > −1113𝑥 − 1 < −9

г. {𝑥 + 1 ≥ 3𝑥

2+

𝑥

2≥

3

2

д. {1 − 2𝑦 < 3 1

5(2 + 3𝑦) −

1

3(5 + 𝑦) <

1

15

е. {2𝑦 + 1 ≤ 8 3

4(1 + 2𝑦) −

1

2(2 + 𝑦) > 1

Багшийн анхаарах зүйл.Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл биш, тэнцэтгэл бишийн системийг бодоход тоон тэнцэтгэл бишийн чанаруудыг хэрэглэх чадвар эзэмшүүлнэ.

10.5б.Квадрат тэгшитгэлийг бүтэн квадрат ялгах аргаар бодох, ерөнхий томъёо гаргах,

Үйл ажиллагаа 1. Гүйцэд биш квадрат тэгшитгэл бодох Өгсөн тэгшитгэлийг үржигдэхүүн болгон бодож, шийдтэй эсэхийг тогтооно. Жишээ 4.

17

шийдийг шинжлэх

а.𝑥2 + 2𝑥 = 0

б. 𝑥2 = 1 хоёр бүхэл тоон шийдтэй.

в. 𝑥2 = 2 тэгшитгэл хоёр иррационал шийдтэй.

г. 𝑥2 = 0 тэгшитгэл тэг гэсэн давхардсан хоёр шийдтэй.

д. 𝑥2 = −1 тэгшитгэл шийдгүй. Үйл ажиллагаа 2. Бүтэн квадрат ялгах аргаар

квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох Нийлбэрийн болон ялгаврын квадратын томьёо хэрэглэн бодож, шийдийн олонлогийг дүрсэлнэ. Жишээ 5.

а.𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 б. 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0; в. 4𝑥2 − 𝑥 − 3 = 0 гэх мэт рационал шийдтэй тэгшитгэлүүд бодно. Үйл ажиллагаа 3. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг томьёо ашиглан бодох, шийдийг шинжлэх

- Тэгшитгэлийн дискриминантыг дараах томъёогоор олно.

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 - Дискриминантыг шинжилж, шийдийг олно.

𝐷 > 0 үед хоёр шийдтэй. - Шийдийг дараах томьёогоор олно.

𝑥1 =−𝑏+√𝐷

2𝑎 𝑥2 =

−𝑏−√𝐷

2𝑎

Жишээ 6.

а.3𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0 б.9𝑥2 − 4𝑥 + 5 = 0

в.9𝑦2 + 6𝑦 + 1 = 0 г.7𝑎2 + 2𝑎 − 1 = 0 Багшийн анхаарах зүйл:9 дүгээр ангид квадрат тэгшитгэлийг үржигдэхүүн болгон задлах, бүтэн квадратыг ялгах хялбар тохиолдолд судалсан бол 10 дугаар ангид эдгээр чадваруудыг бататган, гүнзгийрүүлж, шийдийг томьёо ашиглан олох, квадрат тэгшитгэлийн дискриминантыг олж шинжлэх, шийдтэй, шийдгүй, хэдэн шийдтэйг тогтоох чадвар эзэмшүүлнэ.

10.5в.Квадрат тэгшитгэлд шилждэг биквадрат болон рационал тэгшитгэл бодох, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Квадрат тэгшитгэлд шилжих хялбар рационал тэгшитгэл бодох Тэгшитгэлийн ерөнхий хуваарийг олж, бутархай хэлбэрээс чөлөөлж, квадрат тэгшитгэлд шилжүүлж бодно. Жишээ 7.

а. 1

𝑥−1+

1

𝑥+1=

4

3 б.

1

𝑥−1− 1 =

𝑥

𝑥2−1

в. 1

(𝑥+1)2+

1

𝑥+1= 6 г.

𝑥

𝑥−1=

2𝑥2

𝑥2−2𝑥+1− 1

д. 𝑥

𝑥+1−

2

𝑥−1=

4

1−𝑥2 е. 2

𝑥2+𝑥−2+

1

𝑥+1=

3

𝑥2−1.

Квадрат тэгшитгэл рүү шилжүүлэн асуудал шийдвэрлэх даалгаврууд дээр ажиллана. Үйл ажиллагаа 2. Биквадрат тэгшитгэл бодох

𝑎𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 (a≠ 0) биквадрат тэгшитгэлийг x2 =y орлуулгаар квадрат тэгшитгэл рүү шилжүүлэн бодно. Жишээ 8.

а. 𝑥4 − 5𝑥2 + 6 = 0

б.(𝑥 + 2)4 + 2(𝑥 + 2)2 − 3 = 0.

в.𝑥4 −8𝑥2 + 16 = 0

г. 2𝑥4−7𝑥2 = 4

д.√𝑥4

+ √𝑥8

− 2 = 0

10.5г.Хоёр

хувьсагчтай шугаман

Үйл ажиллагаа 1. Хоёр хувьсагчтай шугаман

тэнцэтгэл биш зохиох Дараах хэллэгүүдээр тэнцэтгэл биш зохионо.

18

тэнцэтгэл биш зохиох, тэнцэтгэл бишийн системийг бодох, шийдийг координатын хавтгайд дүрслэх

Жишээ 9.

а.х ба y тоонуудын нийлбэр 3 аас их б.2х ба у тоонуудын ялгавар 1 ээс багагүй

в. 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 ,0 ≤ 𝑦 ≤ 10 нэгж бүхий тэнхлэгүүдтэй хавтгай зурж тэнцэтгэл бишүүдийн шийдийг графикаар дүрсэл. гэх мэт. Ахуй амьдралаас урган гарсан жишээнүүдийг сонгон авна. Үйл ажиллагаа 2. Хоёр хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл бишийн шийдийг график хэрэглэн олж, шийдийн мужийг координатын хавтгайд дүрслэх Өгсөн шулууныг байгуулж, тэнцэтгэл бишийн шийдийг мужийг олно. Жишээ 10.

а .𝑥 + 𝑦 ≥ 2 б.3𝑥 − 𝑦 < 4 в.2𝑥 + 3𝑦 > 1

г.𝑥 ≤ 3 д.𝑦 > −2 е.𝑥 > 0

ж.𝑦 ≤ 0 з.𝑦 > −𝑥 и.y≤ 𝑥

к.𝑦 < 3𝑥 л. 𝒚 ≥ −𝟏

𝟒x

Үйл ажиллагаа 3.

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл бишийн системийн шийдийн мужийг координатын хавтгайд дүрслэх Өгсөн шулуунуудыг байгуулж, тэнцэтгэл бишийн системийн шийдийн мужийг дүрсэлнэ. Жишээ 11.

а.{𝑥 < 2𝑦 < 1

б.{𝑥 ≤ 𝑦

𝑦 ≥ 4 − 𝑥 в.{

𝑦 − 𝑥 ≤ 2𝑦 ≥ 1𝑥 ≤ 3

г.{𝑦 ≤

1

3𝑥 + 2

𝑦 + 𝑥 ≥ 2𝑦 + 2 ≥ 𝑥

Багшийн анхаарах зүйл.Өгсөн шулууныг байгуулах, тэнцэтгэл бишийн системийн шийдийн мужийг олох чадвар эзэмшүүлнэ.

10.5д. Илтгэгч

тэгшитгэлийг графикийн болон орлуулгын аргаар бодох

Үйл ажиллагаа 1. Илтгэгч тэгшитгэлийг ижил

суурьтай болгон, шугаман тэгшитгэлд шилжүүлж бодох Жишээ 12.

а.23𝑥−2 = 82𝑥+3 б.2𝑥2+𝑥 = 4

в. 3𝑥2−5 = 81 г.(0.25)4𝑥+2=64 Үйл ажиллагаа 2. Илтгэгч тэгшитгэлийн шийдийг ойролцоогоор олох Өгсөн илтгэгч функцийн графикийг хэрэглэн тэгшитгэлийн шийдийг 0.1 нарийвчлалтай олж, шийдийг тэмдэглэнэ. Жишээ 13.

а. 2𝑥 = 5 б.(0.5)𝑥 = 3 в. 2𝑥 =x+2 г. 3𝑥 − 5 = −1 − 𝑥 Үйл ажиллагаа 3. Илтгэгч тэгшитгэлийг зэргийн чанар хэрэглэн бодох Ижил суурьтай зэргүүдийг үржүүлэх чанар болон зэргийн утга ашиглан бодно.

Жишээ 14. а.3𝑥+2 + 3𝑥 = 90 б. 2𝑥−2 − 2𝑥 = −96

10.5е*.

Квадрат тэгшитгэлд шилждэг тэгшитгэлийг бодох, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Илтгэгч тэгшитгэлийг орлуулгын

аргаар бодох Шинэ хувьсагч хэрэглэн, квадрат тэгшитгэлд шилжүүлэн бодож,шийдийн олонлогийг бичнэ. Жишээ 15.

а.9𝑥 − 4 ∙ 3𝑥 = 45 б.21+𝑥 − 21−𝑥 = 15

в.64 ∙ 9x − 84 ∙ 12x + 27 ∙ 16x = 0


19

Үйл ажиллагаа 2. Гурав ба дөрвөн зэргийн буцах

тэгшитгэлийг таних, шийдийг олох Өгсөн 3 зэргийн буцах тэгшитгэлийг бүлэглэх аргаар үржигдэхүүн болгон задалж бодно. Жишээ 16.

2𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0

Өгсөн 4 зэргийн буцах тэгшитгэлийг x +1

3x= y

орлуулга хэрэглэн бодно. Жишээ 17.

9𝑥4 − 6𝑥3 − 18𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0

10.5ж*. Гурван

хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем бодох, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1.Өмнөх мэдлэгийг сэргээн бататгах Жишээ 18. Шугаман тэгшитгэлийн системийг бод.

а.{2𝑥 + 3𝑦 = 95𝑥 − 𝑦 = 14

(нэмэх арга)

б. {7𝑥 + 5𝑦 = 17

𝑥 − 3𝑦 = −5 (орлуулах арга)

Өмнөх ангид хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх, орлуулах, графикийн аргаар бодох аргуудыг судалсан, энэ чадварыг бататгана. Үйл ажиллагаа 2. Гурван хувьсагчтай шугаман

тэгшитгэлийн системийг бодох Гурван хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийг Гауссын арга хэрэглэн бодно.

- Эхний тэгшитгэлийг хэвээр бичнэ. - Нэг ба хоёрдугаар тэгшитгэлийн х хувьсагчийг

зайлуулан, хоёрдугаар тэгшитгэлийг y,z хувьсагчтай тэгшитгэлд шилжүүлнэ.

- Нэг ба гуравдугаар тэгшитгэлийн х хувьсагчийг зайлуулан, гуравдугаар тэгшитгэлийг y,z хувьсагчтай тэгшитгэлд шилжүүлнэ.

- Үүссэн хоёр ба гуравдугаар тэгшитгэлийн y хувьсагчийг зайлуулан, гуравдугаар тэгшитгэлээс z хувьсагчийн утгыг олно.

- z хувьсагчийн утгыг ашиглан , хоёрдугаар тэгшитгэлээс y хувьсагчийн утгыг олно.

- y ба z хувьсагчийн утгыг ашиглан нэгдүгээр тэгшитгэлээс x хувьсагчийн утгыг олж, системийн шийдийг бичнэ.

Жишээ 19.

{

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 9

𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = −1 (Гауссын арга)

Гурван хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийг орлуулгын аргаар бодно. Нэгдүгээр тэгшитгэлээс аль нэг хувьсагчийг олж, нөгөө хоёр тэгшитгэлд орлуулан хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системд шилжүүлж бодно. Жишээ 20.

{ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0

8𝐴 + 4𝐵 + 6𝐶 = 815𝐴 + 3𝐵 + 𝐶 = 0

(орлуулах арга)


20

VI БҮЛЭГ. ОЛОНЛОГ

Хүрэх үр дүн. Тоон олонлог өгөх аргуудыг мэдэх, тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш, тэдгээрийн системийн шийдийг дүрслэх, Эйлер-Веннийн диаграммаар загварчлах, комбинаторикийн нийлбэр ба үржвэрийн зарчмыг хэрэглэн асуудал шийдвэрлэх чадвартай болно.



10.6а. Тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш, тэдгээрийн системийн шийдийг бичихэд логик ба геометр дүрслэл хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Тоон олонлог өгөх аргуудыг мэдэх, хэрэглэх Олонлогийн элементийг тоочиж өгсөн жишээн дээр ажиллана. Жишээ 1.

dcbaA ,,,

dcbaB ,...,,,

,...,, cbaC

Элементийн шинж чанарыг математик хэллэг болон математик бичиглэлээр илэрхийлсэн жишээн дээр ажиллана. Жишээ 2.

тоонатуралньxxD : cmxyyxE :, bxaxF :

Үйл ажиллагаа 2.Тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш,

тэнцэтгэл бишийн системийн шийдийн олонлогийг дүрслэх Шийдийг координатын хавтгай эсвэл тоон шулуун дээр дүрсэлнэ. Жишээ 3.

а.(𝑥 − 6)(𝑥 + 5) = 0 б. (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) > 0

в.2𝑥 − 1 < 5 ба 4𝑥 − 2 ≥ 2 гэсэн хоёр тэнцэтгэл бишийг нэгэн зэрэг болон ядаж нэгийг нь хангах бодит тооны олонлогийг олж, тоон шулуун дээр дүрсэл. Багшийн анхаарах зүйл.Тэнцэтгэл бишийн шийдийг нэгэн зэрэг болон ядаж нэгийг хангах гэсэн хэллэгүүдийг олонлогийн үйлдлээр илэрхийлэх чадвар эзэмшүүлнэ.

10.6б.*

Олонлогууд дээрх үйлдэл, тэдгээрийг тэмдэглэх, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа .Тоон олонлог дээр үйлдэл хийх, Эйлер-

Веннийн диаграмм ашиглан олонлогийн үйлдлийг дүрслэх A олонлогийн гүйцээлт - A’

Хоосон олонлог ∅ Универсал олонлог Ω

A нь B-ийн дэд олонлог A⊆ B

A нь B-ийн жинхэнэ дэд олонлог A⊂ B A ба B-ийн нэгдэл A∪B A ба B-ийн огтлолцол A∩B гэж тэмдэглэнэ. Олонлогийг үйлдлийг хэрэглэн бодно. Жишээ 4.Амар, Болд,Даш, Гэрэл, Цэлмэг нар А

хамтлагийг байгуулжээ.Харин Болд, Гэрэл, Цэлмэг, Шижир, Ядам нар В хамтлаг байгуулжээ. а.А ба В хамтлагийн ерөнхий гишүүдийг нэрлээрэй. б.Дараа нь хоёр хамтлаг нэгдэж С хамтлаг болжээ.С

хамтлаг хэдэн гишүүнтэй вэ? Жишээ 5.

𝑀 = {𝑚1;𝑚2;𝑚3} олонлог өгчээ. М олонлог хичнээн дэд олнлогтой вэ? Жишээ 6.


21

1-20 хүртэлх тоонууд өгөгджээ. Хэрэв А- анхны тоонуудын олонлог , В- сондгой тоонуудын олонлог бол

𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵,𝐴′ ∪ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵′, 𝐴′ ∩ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵′, 𝐴′ ∪ 𝐵′ ба A'∩B' олонлогийг Эйлер-Веннийн диаграммаар дүрслээрэй. Багшийн анхаарах зүйл. Өмнөх ангиудад судалсан олонлогийн нэгдэл, огтлолцол, гүйцээлт, дэд олонлогийн талаарх ойлголт, тэмдэглэгээг бататгаж, даалгаврын хүрээг өргөтгөх, асуудал шийдвэрлэх, сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлэхэд чиглэнэ.

10.6в*.

Комбинаторикийн үржвэрийн зарчмыг мэдэх, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа . Эрэмбэлэгдсэн хосууд ба

эрэмбэлэгдсэн гуравтуудыг мэдэх, элементийн тоог олох, комбинаторикийн үржвэрийн зарчмыг хэрэглэх Үржвэрийн зарчим хэрэглэн боломжийг тооцоолно. Жишээ 7.

а.1, 2, 3 цифрүүдийг хэрэглэн хоёр оронтой тоо хэчнээнийг зохиож болох вэ? б.Гурван оронтой цифрүүд нь бүгд ялгаатай хэчнээн тоо байх вэ? в.A,B,C гурван малгайтай, хар ба цагаан хоёр цувтай хүн аль ч малгай цув хоёрыг өмсөхөд таатай байдаг бол малгай цувыг хэдэн янзаар хослуулж болох вэ? г.Тогтолцоо гэсэн үгийн ялгаатай 4 үсгийг хэрэглэн хичнээн 4 үсэгтэй үг зохиож болох вэ? д.52 модтой хөзрөөс 4-ийг сугалахад 4 өөр өнгийн, 4 өөр тоотой хөзөр таарах хичнээн боломж байх вэ?


10.6г*. Комбинаторикийн нийлбэрийн зарчмыг мэдэх, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа . Хоёр болон гурван олонлогийн нэгдлийн чадал, комбинаторикийн нийлбэрийн зарчмыг мэдэх, хэрэглэх Жишээ 8.

а.𝐴 = {1,2,4,5,7} 𝐵 = {1,4,5} 𝐶 = {2; 4; 6; 8}бол |𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶| =? б.Зөвхөн 1 ба 3 цифрээр бичигдэх 1000 аас бага тоо хэчнээн байх вэ?


VII БҮЛЭГ.ТОЙРОГ БА ОЛОН ӨНЦӨГТ

Хүрэх үр дүн.Тойргийн тэгш хэмт чанарууд, тойрогт багтсан өнцгийн чанарыг хэрэглэх, тойрогт багтсан болон тойргийг багтаасан олон өнцөгтийн чанар, тойргийн хөвч, шүргэгч, огтлогчийн чанаруудыг мэдэх, хэрэглэх, цэгийн геометр байрыг тодорхойлох, асуудал шийдвэрлэх чадвартай болно.



10.7а. Тойргийн хөвч, шүргэгч, огтлогчийн чанаруудыг хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1.Тойргийн шүргэгч, хөвч ба шүргэгчийн хоорондох өнцгийн чанарыг мэдэх, хэрэглэх - Тойргийн гадна орших цэгээс тойрогт татсан

шүргэгчүүд тэнцүү.

- Тойргийн AB хөвч болон A цэгт татсан шүргэгч шулууны хоорондох өнцөг нь AB нумд тулсан багтсан өнцөгтэй тэнцүү.

Жишээ 1.

а.O цэгт төвтэй тойргийн гадна орших A цэгээс уул тойрогт AC,AB хоёр шүргэгч татжээ.Хэрэв AC=6см, тойргийн радиус 3 см бол AB,AO хэрчмийн уртыг олоорой. б.A,B,C нь тойргийн цэгүүд бөгөөд A,B цэгийг дайруулан

шүргэгч татав.Хэрэв AD=18см,ACB өнцөг 450 бол AB хөвчийн уртыг олоорой. в.A,B,C цэгүүд тойрог дээр орших бөгөөд, тойргийн төв О,

BCE өнцөг 650 , FE нь C цэгт татсан шүргэгч бол ABC гурвалжны өнцгийг олоорой.

Слайд, проектор

22

г.Тойргийн гадна орших P цэгээс O цэгт төвтэй, 8см радиустай тойрогт PQ шүргэгч татжээ. Хэрэв PO=12 см, OQ=10см бол POQ гурвалжны талбайг олоорой. Үйл ажиллагаа 2.Тойргийн хөвч, огтлолцсон хөвч, тойргийн огтлогч, шүргэгчийн чанарыг хэрэглэх -Тойргийн AB ба CD хоёр хөвчийн огтлолцлын цэг P бол

PA∙PB=PC∙ PD байна. -Тойргийн гадна орших P цэгээс татсан хоёр шулуун

тойргийг A,B,C,D цэгээр огтолж байвал PA∙PB=PC∙ PD байна. -Тойргийн гадна орших P цэгээс татсан PB огтлогч, PK

шүргэгчийн хувьд 𝑃𝐾2 = PA∙PB байна.(A- PB огтлогчийн тойргийг огтлох цэг ) Жишээ 2. а. AB ба CD хоёр хөвчийн огтлолцлын цэг P тойргийн

дотор оршино.PA= 5 , PC= 6, CD=8 бол AB хөвчийн уртыг олоорой. б.AP нь тойргийн огтлогч, PK тойргийн шүргэгч, AB=6, PK=4 бол PA хэрчмийн уртыг олоорой. Багшийн анхаарах зүйл. Тойргийн хөвч, шүргэгчийн чанаруудыг 9 дүгээр ангид судалсан бөгөөд эдгээрийг хэрэглэх, шүргэгч ба огтлогчийн чанарыг хэрэглэн асуудал шийдвэрлэх даалгавраар сурагчдыг хөгжүүлнэ.

10.7б. Тойрогт багтсан өнцгийн чанар хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Тойрогт багтсан өнцөг ба төв өнцгийн хамаарлыг тогтоох. а.ВАС өнцгийн нэг тал дээр тойргийн төв орших бол АВС ба ВОС өнцгийн хамаарлыг тогтоогоорой. Гурвалжны гадаад өнцөг нь хамар биш дотоод хоёр өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү тул

BOC BAO ABС болно.

BAO ABС тул 22

BOC BAС

болно.

б.Тойргийн төв ВАС өнцгийн талуудын хооронд орших бол АВС ба ВОС өнцгийн хамаарлыг тогтоох.

O

A

BC

D

23

2 2

2

BOD CODABC BAD CAD

22

BOC BAС

болно

в.Тойргийн төв ВАС өнцгийн гадна орших үед АВС ба ВОС өнцгийн хамаарлыг тогтооно.

2 2

2

BOD CODABC BAD CAD

Үйл ажиллагаа 2. Тойрогт багтсан өнцгийн чанаруудыг

мэдэх, хэрэглэх Доорх чанаруудыг хэрэглэн өгсөн бодлогыг бодно. а.Тойрогт багтсан өнцөг нь тулсан нумынхаа хагастай тэнцүү. б.Нэг нумд тулсан багтсан өнцгүүд тэнцүү.

Жишээ 3.

а.Тойргийн нэг ижил нумд тулсан багтсан ба төв өнцөг өгөгджээ. Хэрэв ABC багтсан

өнцөг нь 780 бол AOC төв өнцгийг олоорой. б.Тойрогт багтсан BCA өнцөг

340 бөгөөд CA нь тойргийн диаметр бол ABC өнцгийг олоорой.

Geogebra программ дээр үзүүлбэл тохиромжтой. Багшийн анхаарах зүйл. Тойрогт багтсан өнцгийн чанарыг өмнөх ангиудад судалсан бөгөөд эдгээрийг бататган, хэрэглэх, асуудал шийдвэрлэх түвшний даалгавраар сурагчдыг хөгжүүлэхэд чиглэгдэнэ.

10.7в.

Тойрогт багтсан ба тойргийг багтаасан олон өнцөгтийн чанарыг мэдэх, хэрэглэх (гурвалжин, дөрвөн өнцөгт, зөв олон өнцөгт )

Үйл ажиллагаа 1. Гурвалжинд багтсан тойрог байгуулах

Дадлага ажил хийнэ. - Гурвалжны гурван өнцгийн биссектрис байгуулна. - Биссектрисүүдийн огтлолцол нь тойргийн төв болно. - Тойргийн төвөөс гурвалжны талууд руу перпендикуляр

буулгана. - Перпендикулярын урт нь тойргийн радиус болно. - Тойргийг байгуулна. Жишээ 4.

а.3 см талтай зөв гурвалжинд багтсан тойргийн радиусыг ол. б. Адил хажуут гурвалжны хажуу тал 2 см, оройн өнцөг нь

1200 бол гурвалжинд багтсан дугуйн талбайг олоорой. Үйл ажиллагаа 2. Гурвалжныг багтаасан тойрог

байгуулах Дээрхтэй ижил, дадлага ажлаар байгуулна.

Слайд, проектор

A

B

E

D

C

24

Жишээ 5.

а. а талтай зөв гурвалжныг багтаасан тойргийн радиусыг олоорой. б.Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд 2:3 харьцаатай, гурвалжныг багтаасан тойргийн радиус 6.5 см бол түүний периметрийг олоорой. в.Нэг тойрогт багтсан зөв гурвалжин болон квадратын талбайн харьцааг олоорой. Үйл ажиллагаа 3. Тойрогт багтсан дөрвөн өнцөгтийн

чанарыг мэдэх, хэрэглэх Жишээ 6. а.9 см, 21 см сууриудтай, 8см өндөртэй адил хажуут трапецыг багтаасан тойргийн радиусыг олоорой.

б. ABCD тэгш өнцөгт трапецын талбай 25 см2, сууриуд нь 4см, 6см бол түүний хажуу талыг олоорой. Энэ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтах эсэхийг тогтоогоорой Үйл ажиллагаа 4. Тойрог багтаасан дөрвөн өнцөгтийн чанарыг мэдэх, хэрэглэх Жишээ 7. а. 3 см радиустай тойрог ромбод багтжээ. Хэрэв ромбын

мохоо өнцөг 1200 бол талбайг олоорой. б.Тойрог багтаасан адил хажуут трапецын талбай 12.5

кв.нэгж, түүний суурь дахь өнцөг 300бол хажуу талыг олоорой. Үйл ажиллагаа 5. Тойрогт багтсан болон тойрог багтаасан зөв олон өнцөгтийн чанарыг мэдэх, хэрэглэх Жишээ 8. Зөв зургаан өнцөгтийн тал 6см бол: а. Багтсан ба багтаасан тойргийн радиусыг олоорой. б. Багтсан ба багтаасан тойргийн талбайн харьцааг олоорой.

10.7г.Цэгийн

геометр байрыг олох, тодорхойлох

Үйл ажиллагаа 1.Монгол ахуйн жишээгээр цэгийн

геометр байрыг мэдэх Жишээ 9. Морийг гадаснаас 12 м урттай аргамжаагаар

аргамжжээ. Морины идээшлэх газрыг будаж үзүүлээрэй. Үйл ажиллагаа 2. Өгсөн нөхцөлийг хангах цэгийн

геометр байрыг олох а. Өгсөн цэгээс ижил зайд орших цэгийн геометр байр б.Огтлолцсон хоёр шулуунаас ижил зайд орших цэгийн геометр байрыг сурагчидтай хамтран ажиллаж гаргана. Жишээ 10. а.M цэг авч, энэ цэгээс 2.5 см зайд орших цэгийн геометр байрыг олоорой. б.A,B хоёр цэг авч , эдгээрээс ижил зайд орших цэгийн геометр байрыг олоорой. в.Шулуун зурж, энэ шулуунаас 2.3 см зайд орших цэгийн геометр байрыг олоорой. г.Параллел хоёр шулуунаас ижил зайд орших цэгийн геометр байрыг олоорой.

25

VIII БҮЛЭГ. КООРДИНАТЫН ГЕОМЕТР

Хүрэх үр дүн. Хавтгайн тэгш өнцөгт координатын системийг тодорхойлох, хоёр цэгийн хоорондох зай, хэрчмийн дундаж цэгийн координат олох, өгсөн хоёр цэгийг дайрсан шулууны налалтыг тооцоолох, өгсөн нөхцөлд шулууны тэгшитгэл бичих, координатын эх дээр төвтэй, өгсөн радиустай тойргийн тэгшитгэл бичих, асуудал шийдвэрлэх чадвартай болно.



10.8а.Хавтгайн тэгш өнцөгт координатын систем, цэгийн координатыг тодорхойлох

Үйл ажиллагаа 1. Хавтгайн тэгш өнцөгт координатын систем тодорхойлох

- Тоон шулуун - Цэгийн координат - Хавтгайн ТӨКС-ийг тодорхойлно.

Үйл ажиллагаа 2. Координатын хавтгай дахь цэгийн

координат олох, өгсөн координатттай цэг тэмдэглэх

- Координатын хавтгай дахь цэгийн координатыг олох

- Өгсөн координаттай цэгийг координатын хавтгайд тэмдэглэх

- Өгсөн координаттай цэгийг координатын хавтгайд байгуулж, тэгш хэмээр хувиргахад үүсэх цэгийн координатыг олох

- Тэгш өнцөгт координатын системд цэг байгуулж, үүссэн дүрсийн талбайг олох

Жишээ 1.

а.Тэгш өнцөгт координатын системд 𝐴(−2.5; 3) цэг байгуулж, координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргахад үүссэн цэгийн координатыг олоорой.

б. Тэгш өнцөгт координатын системд 𝐷(−0.5;−5) цэг байгуулж, абсцисс тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргахад үүссэн цэгийн координатыг олоорой.

в. Тэгш өнцөгт координатын системд 𝐶(1; 4.5) цэг байгуулж, ординат тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргахад үүссэн цэгийн координатыг олоорой.

г.(−2;−2)(1; 3) (6; −2) цэгүүдэд оройтой гурвалжныг

байгуулж, талбайг ол.

д. (−2; 0)(−2; 6) (3; 0) цэгүүд тэгш өнцөгтийн гурван

орой бол дөрөв дэх оройн координатыг ол.

Миллиметрийн хуваарьтай цаас, гортиг, транспортир шугам, тооны машин

10.8б.Хавтгайн

тэгш өнцөгт координатын системд хоёр цэгийн хоорондох зай, хэрчмийн дундаж цэгийн координатыг олох

Үйл ажиллагаа 1.Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох

Өгсөн цэгүүдийг тэгш өнцөгт координатын системд байгуулж, гуравдахь оройн координатыг олох замаар тэгш өнцөгт гурвалжин болгон гүйцээж талуудын уртыг олж болно. Жишээ 2.

а.(2; 7), (−4,−1) координаттай цэгүүдийн хоорондох

зайг олоорой. - Өгсөн цэгүүдийг тэгш өнцөгт координатын

системд байгуулна. - Өгсөн цэгүүдээс перпендикуляр татаж,

перпендикуляруудын огтлолцлын цэгийг тэмдэглэнэ.

- Үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг олно.

б. 2,3,5,6 BA координаттай цэгүүдийн хоорондох

зайг олоорой.


26

- |𝑥2 − 𝑥1| –ийг олно.

- |𝑦2 − 𝑦1|-ийг олно. - A ба B цэгийн хоорондох зайг томьёогоор олно.

- |𝐴𝐵| = √(𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)

2 Үйл ажиллагаа 2. Хоёр цэгийн координат өгсөн

хэрчмийн дундаж цэгийн координатыг олох Сурагчдаар хэрчмийн дундаж цэгийг олох дадлага ажил зааврын дагуу хийлгэж, дүгнэлт гаргуулна. Дадлага ажил 1.Хуудас цаасны төвийг хэмжихгүйгээр, үзгээр тэмдэглэхгүйгээр олоорой.

- Сурагчид цаасаа урт, өргөнөөр нь хагаслан хувааж, огтлолцлын цэгийг нь олно.

- Төв цэгийг хэрхэн олж байгааг математикаар тайлбарлаарай.

Хэрчмийн дундаж нь уг хэрчмийг хагаслан хуваасан цэг байна гэсэн дүгнэлтэнд хүрнэ.

Жишээ 3.

а.(−1; 3), (−8; 5)цэгүүдэд төгсгөлтэй хэрчмийн дундаж цэгийн координатыг олоорой.

б.𝑀(3;−5)нь 𝐴(1; −8), 𝐵(𝑥; 𝑦) цэгүүдийг холбосон хэрчмийн дундаж цэг бол x,y –ийн утгыг олоорой.

в.(−1; 3), (3; 5) хоёр цэгт төгсгөлтэй хэрчмийн дундаж

цэгээс (4; 6) (−2; −10) цэгт төгсгөлтэй хэрчмийн дундаж цэг хүртэлх зайг олоорой.

г.𝑀(−2;−5),𝑁(−1;−8), 𝑃(2; −9), 𝑄(4; −3) байх MNPQ дөрвөн өнцөгтийн MQ,QP талын дундаж цэгүүд харгалзан R,S бол NSR гурвалжин адил хажуут гэж батал.

д.ABC гурвалжны AB,BC,AC талуудын дундаж цэгүүдийн координат харгалзан

(−3; 0), (2; −4), (−5; 10) бол гурван оройн координатыг олоорой.

Багшийн анхаарах зүйл.Өмнөх ангиудад судалсан хэрчмийн дундаж цэгийн координат олох, хэрчмийн төгсгөлийн цэгийн координатаар хэрчмийн уртыг олох чадварыг бататгаад, хэрэглэх, асуудал шийдвэрлэх түвшний даалгавраар сурагчдыг хөгжүүлэхэд чиглэгдэнэ.

10.8в. Координат нь өгсөн хоёр цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл, налалтыг олох

Үйл ажиллагаа 1. Координат нь өгсөн хоёр цэгийг дайрсан шулууны налалтыг олох Координатын хавтгайд өгсөн хоёр цэгийг дайрсан шулууны налалтыг Оy тэнхлэгийн дагуух өөрчлөлт, Оx тэнхлэгийн дагуух шилжилтийг хэрэглэн олно.

12 yy нь OY тэнхлэгийн дагуух өөрчлөлт (дээрээс

доошоо чиглэлтэй)

12 xx нь OX тэнхлэгийн дагуух шилжилт (зүүнээс

баруун тийш чиглэлтэй)

11

12

12 xxxx

yym


27

Жишээ 4.

а. (−2, 1), (3, 4) цэгүүдийг дайрсан шулууны налалтыг олж, тэгшитгэл бич. б. Нэг шулуун дээр орших

𝐴(3, 1) 𝐵(−1, −1) 𝐶(−3,−2) цэг ба уг шулуун дээр үл орших

𝐷(2, 3 )цэгийн хувьд AB,AC,AD шулууны налалтыг ол.

в. −1

4 налалттай шулуун дээр орших цэгүүдийн

координат (−3𝑡, 7) , (−5𝑡, 9) бол t-ийн утгыг ол. Үйл ажиллагаа 2. Параллел шулууны налалтыг олох Координатын тэнхлэгүүдтэй параллел шулууны налалтыг зураг болон налалтын томьёо хэрэглэн гаргана.

- ОХ тэнхлэгтэй параллел бол налалтыг олох

𝑚 =𝑦−𝑦

𝑥2−𝑥1=

0

𝑥2−𝑥1= 0

- ОУ тэнхлэгтэй параллел шулууны налалтыг олох

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥 − 𝑥=

𝑦2 − 𝑦1

0

Жишээ 5.

а. 𝑦 − 𝑥 = 0 , 𝑦 − 2𝑥 = 0 , 𝑦 − 3𝑥 = 0 тэгшитгэл бүхий

гурван шулууныг нэг координатын системд байгуулж, тус бүрийн налалтыг олоорой.

б. 𝑦 + 𝑥 = 0 , 𝑦 + 2𝑥 = 0 , 𝑦 + 3𝑥 = 0 тэгшитгэл бүхий гурван шулууныг нэг координатын системд байгуулж, тус бүрийн налалтыг олоорой. в.Шулууны налалт өсөхөд (буурахад) шулууны байрлал хэрхэн өөрчлөгдөх талаар дүгнэлт гаргуулна. Үйл ажиллагаа 3. Координатын хавтгай дахь А(x1, y1) ба

B(x2, y2) цэгүүдийг дайрсан шулууны тэгшитгэлийг бичих

Энд (𝑥1; 𝑦1) нь шулуун дээрх дурын цэг, m нь тэр шулууны налалт байна. Уг шулуун дээр орших M(x, y) цэг авч үзье. Тэгвэл AB, AM шулуунуудын налалт тэнцүү тул шулууны тэгшитгэлийг:

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)хэлбэртэй бичнэ.

Жишээ 6. а. 𝐴(−3; 4) 𝐵(7; −6) хоёр цэгийг дайрсан

шулууны тэгшитгэлийг бич.

б. (5; −2) цэгийг дайрсан −3 налалттай шулууны

тэгшитгэлийг бич.

в. 5𝑥 + 2𝑦 + 8 = 0 шулууны налалтыг ол.

Багшийн анхаарах зүйл.8 - 9 дүгээр ангид судалсан, шулууны хоёр цэгийн, координатаар шулууны

налалтыг олох, шулууны тэгшитгэлийг y kx b

хэлбэрт бичих чадварыг бататгаад, шулууны

28

тэгшитгэлийг 1 1( )y y k x x хэлбэрт бичих,

тайлбарлах чадвар эзэмшүүлнэ. Шулууны налалт ашиглан асуудал шийдвэрлэх даалгавруудыг боловсруулан бататгал хийнэ.

10.8г. Шулууны

тэгшитгэлийг

𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐

хэлбэрт бичих, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Өгсөн нөхцөлөөр шулууны

тэгшитгэл бичих Жишээ 7.

а.(−2, 𝑎) цэг 3y−5𝑥 + 8 = 0 шулуун дээр орших бол a-ийн утгыг ол.

б.(2,−3) , (0, 5 ) хоёр цэгийг дайрсан шулууны

тэгшитгэлийг 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 хэлбэрт бич.

в. 4𝑥 − 5𝑦 + 20 = 0 шулуун OX тэнхлэгтэй А цэгээр, ОY тэнхлэгтэй В цэгээр огтлолцоно. OAB гурвалжны O оройгоос татсан медианыг агуулсан шулууны тэгшитгэлийг бич. Багшийн анхаарах зүйл. 8 - 9 дүгээр ангид

Ax By C хэлбэрээр өгсөн шулууны тэгшитгэлийг

y kx b хэлбэрт оруулан график байгуулах

чадвартай болсон бол 10 дугаар ангид шулууны

тэгшитгэлийн Ax By C ерөнхий хэлбэрээр нь Ох,

Оу тэнхлэг огтлолыг олж, график байгуулах чадвар эзэмшүүлнэ.


10.8.д. Координатын эх дээр төвтэй тойргийн тэгшитгэл бичих

Үйл ажиллагаа. Координатын эх дээр төвтэй нэгж радиустай тойрог байгуулж, Пифагорын теорем хэрэглэн , тойргийн тэгшитгэлийг бичнэ. Жишээ 8.

а. Координатын эх дээр төвтэй √23 радиустай тойргийн тэгшитгэл бич.

б.4𝑥2 + 4𝑦2 = 5 тэгшитгэлээс тойргийн радиусыг ол.

в.𝐴(2√2,−1) 𝐵(−2√2, 1) байх AB диаметртэй

тойргийн тэгшитгэл бич.

IX БҮЛЭГ. ХАВТГАЙ ДАХЬ ВЕКТОР

Хүрэх үр дүн. Векторыг чиглэлт хэрчмээр дүрслэх, векторын урт ба чиглэл, тэнцүү болон эсрэг векторыг мэдэх, векторыг нэмэх, тоогоор үржүүлэх, скаляр үржвэрийг олох, асуудал шийдвэрлэх чадвартай болно.



10.9а. Векторыг

нэмэх, хасах, тоогоор үржүүлэх, коллинеар векторыг таних

Үйл ажиллагаа 1. Өмнөх мэдлэгийг сэргээн бататгах

Бодит жишээ ашиглан, чиглэлт хэрчмээр төсөөлөн дүрслэх даалгавар гүйцэтгүүлж, векторыг тэмдэглэж, векторын урт ба чиглэлийг олно. Үйл ажиллагаа 2. Параллелограммын чанарыг хэрэглэн

тэнцүү болон эсрэг векторыг мэдэх, тэмдэглэх Жишээ 1.

B C

A D Зурагт ABCD параллелограмм өгчээ.Дараах хос вектор ямар хамааралтай болохыг тогтоогоорой.

а.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ , 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ б.𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ , 𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ Үйл ажиллагаа 3.Хоёр векторыг нэмэх гурвалжны

дүрмийг мэдэх, хэрэглэх

𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ Жишээ 2.

29

ABCDEF зөв зургаан өнцөгт, диагоналиудын огтлолцлын

цэг О болон 𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑎 , 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = �⃗� , 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑐 вектороор дараах векторыг илэрхийл.

а.𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ б. 𝐹𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗ в. 𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ г. 𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ Үйл ажиллагаа 2. Параллелограммын дүрмийг мэдэх,

хэрэглэх Ерөнхий эхтэй хоёр векторыг нэмэх параллелограммын дүрмийг зураг ашиглан гаргаж, хэрэглэж бодлого бодно. Үйл ажиллагаа 3. Векторыг нэмэх, тоогоор үржүүлэх

�⃗� векторыг хэрэглэн давтагдсан нийлбэрийг олж, тоогоор үржүүлэх дүрмийг координат хэрэглэн олж, тайлбарлана. Векторыг тоогоор үржүүлэх үйлдэл дээр тулгуурлан ижил болон эсрэг чиглэлтэй векторыг олно. Жишээ 3. Үйлдлийг гүйцэтгэ.

а.𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = б.(−𝑎 ) + (−𝑎 ) =

в.4(3𝑎 + �⃗� ) − 2(𝑎 − 2�⃗� ) Жишээ 4. Өгсөн векторууд ижил болон эсрэг чиглэлтэй

аль нь болохыг тогтоо.

а.𝑐 = (−2, 8) 𝑑 = (6, −24)

б. 𝑎 = (5, −2) �⃗� = (2.5, −1)

10.9б.Векторыг

өгсөн хоёр шулууны дагуу векторуудын нийлбэрт задлах

Үйл ажиллагаа 1. Векторын хасах үйлдлийг хэрэглэн

векторыг хоёр векторын нийлбэрт задлах Жишээ 5.

OPQ гурвалжны PQ талын дундаж цэг нь М байв. 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ векторыг 𝑝 , 𝑞 вектороор илэрхийл. Багшийн анхаарах зүйл: 9 дүгээр ангид судалсан

векторыг чиглэлт хэрчмээр дүрслэх, векторын координат, нэгж вектор, эсрэг вектор, векторын уртыг олох талаарх ойлголтыг бататгаад шинээр векторыг координатын хавтгайн нэгж векторуудаар задлах, хэрэглээний чадвар эзэмшүүлнэ.

10.9в. Координатын хавтгай дээрх вектор,түүний координатыг тодорхойлох,тэмдэглэх, векторын уртыг координатаар олох, векторыг суурь вектороор задлах

Үйл ажиллагаа 1. Векторын координатыг олох, тэмдэглэх Координатын эх дээр эхлэлтэй вектортой тэнцүү векторыг байгуулах замаар радиус векторыг байгуулж, тэмдэглэнэ, координатыг олно.

а.ТӨКС-д 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑎 ба 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥1, 𝑦1) байх 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ векторыг

байгуулж, радиус вектороор дүрсэлж болно. б.Радиус векторын уртыг олно.

|𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √𝑥12 + 𝑦1

2

Үйл ажиллагаа 2. Суурь векторыг мэдэх, векторыг

суурь вектороор задлах

- ТӨКС-ийн эх дээр эхлэлтэй 𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑎 байх

𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ векторыг байгуулна. - A цэгээс координатын тэнхлэгүүд рүү буулгасан

перпендикулярын суурь 𝐶(𝑥, 0), 𝐷(0, 𝑦) байна.

- 𝑀(1,0),𝑁(0,1) цэгт төгсгөлтэй 𝑖 = 𝑂𝑀⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ба 𝑗 = 𝑂𝑁 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ байх суурь нэгж вектор байгуулна.

- Өгсөн координаттай векторыг суурь векторуудаар задална.

𝑎 =x 𝑖 + 𝑦 𝑗 (𝑎 = (𝑥, 𝑦))

Жишээ 6.

а. 𝑎 вектор OX тэнхлэгийн эерэг чиглэлд 3 нэгж, Oy тэнхлэгийн эерэг чиглэлд 5 нэгж шилжсэн бол суурь

вектороор задал. Бодолт: 𝑎 = (3,5 ) координаттай тул 𝑎 =3 𝑖 + 5 𝑗

б. 𝐴(0,1),𝐵(1,0) .𝐶(1,2), 𝐷(2,1) цэгүүд өгчээ. 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ векторуу тэнцүү болохыг батал.

30

в. 𝑎 = (2,4 ) �⃗� = (1,2 ) 𝑐⃗⃗ ⃗ = (1,−2 )

𝑑 = (−2,−4 ) вектор өгчээ. Коллинеар хос векторыг ол.

10.9г. Векторын үйлдлийг координатаар илэрхийлэх

Үйл ажиллагаа 1. Векторын уртыг олох Векторын координатыг эхлэл, төгсгөлийн координатаар илэрхийлж, векторын уртыг олно.

а. 𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2) цэгүүдийн координатын ашиглан 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ векторын координатыг олно.

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥2 − 𝑥1; 𝑦2 − 𝑦1)

б. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ векторын уртыг координатаар нь олно.

|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

Жишээ 7. 𝐴(3,−1) , 𝐵(5,1) байх 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ векторын координат ба уртыг олоорой. Үйл ажиллагаа 2. Нийлбэр векторын координатыг олох Жишээ 8.

а. 𝑎 = (2,−3 ) �⃗� = (−4,−1 ) бол 3𝑎⃗⃗⃗⃗ +2�⃗� нийлбэр векторын координатыг ол. б.Ижил талууд бүхий параллелограммыг нийлүүлсэн OITJ

параллелограмм өгчээ.OQ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ векторыг хоёр векторын нийлбэрээр илэрхийл.

10.9д.Хоёр векторын скаляр үржвэрийг олох


a , b векторын скаляр үржвэрийг a b эсвэл ,a b гэж

тэмдэглэнэ.

Векторуудын координатууд 1 2

1 2

,x x

a by y

бол

скаляр үржвэрийг хоёр аргаар олно.

а. 1 2 1 2a b x x y y

б. cosa b a b ,cosa b

a b

Жишээ 9.

а. 𝑎 = (3, 4) , 𝑏 = (−2, 8) бол 𝑎 , �⃗� хоёр векторын скаляр үржвэрийг ол.

б. |𝑎 | = 4, |�⃗� | = 3, хоёр векторын хоорондох өнцөг 300 бол

скаляр үржвэрийг ол. в.Адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжны катетын урт 4 нэгж,

ACB өнцөг 900 бол 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐶𝐻⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐶𝐻⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ скаляр үржвэрийг ол.

г. 𝑎 = (2, 3) , 𝑏 = (2, 1) бол хоёр векторын хоорондох өнцгийн косинусыг ол.

д. Хоёр векторын урт 4 ба 3 бөгөөд скаляр үржвэр нь 6√3 бол хоорондох өнцгийг ол.

10.9е.Хоёр вектор коллинеар, перпендикуляр байх нөхцөлийг мэдэх, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Хоёр вектор перпендикуляр байх нөхцөлийг мэдэх, хэрэглэх Хоёр векторын скаляр үржвэрийг хэрэглэн перпендикуляр байх нөхцөлийг гаргаж, хэрэглэнэ. Хоёр вектор перпендикуляр байх нөхцөл:

0a b 1 2 1 2 0x x y y буюу

cos𝛼 = 0 , 𝛼 = 900 болно. Жишээ 10.

а. 𝑎 = (−2, 4), 𝑏 = (6, 3) векторууд перпендикуляр байх эсэхийг скаляр үржвэр хэрэглэн ол.

б. 𝑚 = (−3, 2), 𝑛 = (𝑘, 3) векторууд перпендикуляр бол k-ийн утгыг ол. Үйл ажиллагаа 2. Хоёр вектор коллинеар байх

нөхцөлийг мэдэх, хэрэглэх

31

Векторыг тоогоор үржүүлэх үйлдлийг хэрэглэн коллинеар байх нөхцөлийг гаргаж, хэрэглэнэ. Хоёр вектор коллинеар байх нөхцөл:

1 2

1 2

,x x

a by y

бол 1 1

2 2

x y

x y байна, тэмдэглэгээ

хэрэглэн бичнэ. Жишээ 11.

а. 𝑎 = (8, −6), 𝑏 = (4,−3) векторууд коллинеар байх эсэхийг векторыг тоогоор үржүүлэх үйлдлийг хэрэглэн ол.

б.𝑎 = (2, −1) , �⃗� = (2, 𝑥) векторууд коллинеар бол x-ийг ол.

в. 𝑎 = (2, 𝑥 − 1) , �⃗� = (𝑥 + 1, 𝑥) векторууд коллинеар бол x-ийг ол.

X БҮЛЭГ.ТРИГОНОМЕТР

Хүрэх үр дүн. 00- 1800 өнцгийн синус, косинусын утга олох, косинус, синусын теоремыг мэдэх, хэрэглэх, гурвалжны талбай олох, тригонометрийн харьцааг хэрэглэх чадвартай болно.



10.10а. 00-

1800 өнцгийн тригонометр харьцааг олох, хэрэглэх олох (өнцгийг градусаар, харьцааг тохирох нарийвчлалтай тоймлох)

Үйл ажиллагаа 1. Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгүүд (00, 300, 450, 600, 900)-ийн синус, косинусын утгыг олох 9 дүгээр ангид судалсан тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн тригонометр харьцааг олох чадварыг сэргээн бататгана. Үйл ажиллагаа 2. Нэгж радиустай хагас тойрог

хэрэглэн 00- 1800 өнцгийг хэмжих Координатын эх дээр төвтэй, нэгж радиустай хагас тойрог байгуулж, уг тойрог дээр байрлах дурын цэгийн координатууд ямар тэмдэгтэй байх, тэр цэгийг координатын эхтэй холбосон хэрчим ба Ох тэнхлэгийн хооронд цагийн зүүний эсрэг чиглэлд үүсэх өнцөг ямар хэмжээтэй байх талаар ярилцана.

Үйл ажиллагаа 3. 00- 1800 өнцгийн синус ба косинусын утгыг тооцоолж олох Координатын эх дээр төвтэй, нэгж радиустай хагас тойрог дээр дурын цэг тэмдэглэж, өмнө үзсэн хурц өнцгийн тригонометрийн харьцааг ашиглан өнцгийн синус,

косинусыг xy cos,sin гэж тодорхойлж

болохыг тайлбарлана.

Сурагчдаар ажиглалт хийлгэж, хэрэв өнцөг хурц (0-

900) өнцөг бол тойрог дээрх цэгийн координатууд хоёул эерэг, өнцөг мохоо (90-1800) өнцөг бол тойрог дээрх

цэгийн ординат нь эерэг, абсцисс нь сөрөг байхыг гаргуулна.

Слайд, проектор, миллиметрийн хуваарьтай цаас, шугам, гортиг, харандаа, транспортер, математикийн функцтэй тооны машин

32

Жишээ 1. sin400-ын утгыг ол.

Бодолт: Ох тэнхлэгтэй 400-ын өнцөг үүсгэх цацрагийн тойрогтой огтлолцох цэгийн y координатыг 0.1 нарийвчлалтай олно. Тооны машинаар олсон синус, косинусын утгаа координатын хавтгайд цэгээр тэмдэглэн, хооронд нь холбох даалгавар хийлгээрэй. Ингэснээр синус ба косинусын муруйг мэдэх болно. Байгуулсан муруйгаа ашиглан синус, косинусын утга нь мэдэгдэж байхад өнцгийг олох даалгавар хийлгэх боломжтой.

Жишээ 2. Синусын муруйг ашиглаад, 5.0sin байх

өнцгийг ол.

Синус нь 0.5 байх өнцгийг олохын тулд Оу тэнхлэгийн

0.5-ыг дайрсан, абсцисс тэнхлэгтэй параллел шулуун татна. Уг шулууны синусын муруйтай огтлолцсон

цэгүүдийн x координатыг олно. Энэ нь ( 30 , 0.5),

( 150 , 0.5)

гэсэн хоёр цэгээр огтолж буйг харна. Иймд синус нь 0.5 байх өнцөг

30 ;

150 байна. Хэрэв өнцгийн утгыг ойролцоогоор

олсон бол тооны

машинаар шалгах үйлийг хийлгэнэ.

Өөрөөр хэлбэл, хурц, мохоо хоёр өөр өнцгийн хувьд синусын утга нь тэнцүү байна. Багшийн анхаарах зүйл. Өнцгийн синус ба косинусын утгыг тооны машинаар олох боломжтой. 2 аргаар олсон синус болон косинусын утгуудыг харгалзуулан харьцуулах, синусын утгууд нь тэнцүү байх өнцгүүдийг, косинусын утгууд нь тэнцүү байх өнцгүүдийг тус тус ажиглуулан ярилцаарай. 9 дүгээр ангид судалсан хурц өнцгийн тригонометр харьцаа олох, үүнийгээ хэрэглэн тэгш өнцөгт гурвалжны аль нэг тал, өнцгийг олох чадварыг өргөтгөн 0-ээс 180 градусын өнцгийн тригонометр функцийн утгыг олох, хэрэглэх чадвар эзэмшүүлнэ.

10.10б.Гурвал

жны талбайг олоход тригонометрийн харьцаа хэрэглэх, асуудал шийдвэрлэх

Үйл ажиллагаа 1. Гурвалжны талбайг олох аргуудыг

сэргээн бататгах Жишээ 2.

а.Гурвалжны талууд 4,5,6 нэгж урттай бол талбайг ол. б.Гурвалжны нэг тал 10см , тэр талд буусан өндөр 7 см бол талбайг ол. Үйл ажиллагаа 2. Тригонометр харьцааг хэрэглэн

гурвалжны талбайг олох Жишээ 3. АВС гурвалжны хоёр тал , тэдгээрийн

хоорондох өнцөг нь өгөгджээ. Гурвалжны талбайг ол. а. AD өндрийн уртыг олоорой. б. Өндөр ба суурийн уртыг ашиглан талбайн хэмжээг ол.

Шугам, харандаа

33

CAD гурвалжны хувьд хурц өнцгийн тригонометрийн харьцаа бичиж өндрийг олбол:

sin sinAD

C AD AC CAC

АВС гурвалжны талбайг олбол:

sin

2 2

BC AD BC AC CS

болно.

Эндээс гурвалжны хоёр тал хоорондох өнцгөөр талбайг

олох томьёог гаргана, сурагчдаар тайлбарлуулна.

𝑆𝐴𝐵𝐶 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶

Жишээ 4. а. Гурвалжны талууд13,14,15 нэгж урттай бол хамгийн богино өндрийг ол. б.Гурвалжны талууд 4,6,8 нэгж урттай бол хамгийн урт өндрийг ол. в.Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд 8см, 15см бол багтаасан тойргийн радиусыг ол. г. Гурвалжны талууд 12 см,7см бөгөөд хоорондоо

600 өнцөг үүсгэх бол талбайг ол. д. Гурвалжны талууд 6см, 9см бөгөөд хоорондоо

300 өнцөг үүсгэх бол талбайг ол. е. Багшийн анхаарах зүйл.Өмнөх ангиудад гурвалжны талбайг олохдоо суурийг өндрөөр үржүүлэх аргыг

хэрэглэж байсан бол энэ ангид шинээр1

sin2

a b

томьёог мэдэх, хэрэглэх чадвар эзэмшүүлнэ.

10.10в.

Косинус, синусын теоремыг мэдэх, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Косинусын теоремыг гаргах

Дараах дадлага ажлыг хийж, косинусын теоремыг томьёолно.

ABC гурвалжны 𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐴𝐵 = 𝑐 ба A орой дахь өнцөг

𝛼 гэж өгчээ. а. BD өндрийг татаж, BD өндрийн уртыг ол. б. AD хэрчмийн уртыг олоорой. в. CD хэрчмийн уртыг олоорой. г. BC талын уртыг олоорой. Жишээ 5.

а.Гурвалжны талууд 5 ба √8 бөгөөд хоорондоо 450өнцөг үүсгэх бол гуравдахь талын уртыг олоорой.

б. Гурвалжны талууд 15 ба 5√3 бөгөөд хоорондоо

1500 өнцөг үүсгэх бол гуравдахь талын уртыг олоорой. в. Гурвалжны талууд 9см , 10см бөгөөд хоорондоо

300 өнцөг үүсгэх бол гуравдахь талын уртыг олоорой.

A

BC

A

BC Da

b

34

г.11см,13см,17см талуудтай гурвалжны хамгийн бага

өнцгийг олоорой. д. 4см,7см,9 см талуудтай гурвалжны хамгийн их

өнцгийг олоорой. е.Хөл бөмбөгийн хаалга 5м өргөнтэй,хаалганы нэг

шонгоос 21м, нөгөө шонгоос 19 м зайд байгаа тоглогч хаалга руу бөмбөг өшиглөв.Тоглогчид хаалга ямар өнцгөөр харагдах вэ? Үйл ажиллагаа 2. Синусын теоремыг гаргах

ABC гурвалжны BC=a, CA=b, AB=c, 𝐵𝐴�̂� = 𝛼, 𝐴𝐵�̂� = 𝛽 ба

𝐵𝐶�̂� = 𝛾 гэж өгчээ.

а. ABC гурвалжны талбай 𝑆𝐴𝐵𝐶 -г ол.

б. 𝑆𝐴𝐵𝐶 -г гурван янзаар илэрхийлэгдэж байгааг ярилцаарай.

в. 𝑎

sin𝛼=

𝑏

sin𝛽=

𝑐

sin𝛾 болохыг ажиглана.

Жишээ 6. а.Гурвалжны хоёр талын урт харгалзан 20м,21м бөгөөд хоорондох өнцгийн синус нь 0.6 бол гуравдахь талын уртыг олоорой. б.Гурвалжны талууд 12 ба 8 нэгж урттай , харин түүний

нэг өнцөг 600 бол гуравдахь тал болон үлдсэн хоёр өнцгийг олоорой. в. Гурвалжны талууд 9 ба 17 нэгж урттай , харин түүний

нэг өнцөг 950 бол гуравдахь тал болон үлдсэн хоёр өнцгийг олоорой. г. Гурвалжны талууд 12 ба 5 нэгж урттай , харин түүний

нэг өнцөг 1200 бол гуравдахь тал болон үлдсэн хоёр өнцгийг олоорой. д. Гурвалжны талууд 24 ба 18 нэгж урттай , харин түүний

нэг өнцөг 150 бол гуравдахь тал болон үлдсэн хоёр өнцгийг олоорой. е.2см,3см,4см талуудтай гурвалжны өнцгүүдийг олоорой

10.10г*. Тригонометр харьцааг хэрэглэх (огторгуйн биет)

Үйл ажиллагаа. Пифагорын теорем болон тригонометрийн харьцаа хэрэглэх Огторгуйн геометрийн зарим бодлого бодно. ABCDEFGH параллелепипедийн a. AC, AG хэрчмийн уртыг ол. б. ABCD талс ба AG-ийн хоорондох өнцгийг ол.

а. 2 2 2 29 4 97AC AB BC

2 2 97 36 133AG AC CG

б. 6

sin133

GC

AG

Жишээ 7. а.Тэгш өнцөгт параллелопипедийн диагональ хажуу

ирмэгтэй 450, суурийн ирмэгүүдтэй ижил өнцөг үүсгэдэг бол энэ өнцгийн хэмжээг олоорой. б.Гурвалжин пирамидын суурийн талууд харгалзан 26,28,30 нэгж урттай ба хажуу талсууд нь суурийн

хавтгайтай ижил 600 өнцөг үүсгэнэ.Пирамидын бүтэн гадаргуугийн талбайг олоорой. в. Гурвалжин пирамидын суурийн талууд харгалзан 11,25,30 нэгж урттай ба хажуу талсууд нь суурийн хавтгайтай ижил өнцөг үүсгэнэ.Пирамидын өндөр 12 нэгж бол суурийн ирмэг дэх хоёр талст өнцгийн хэмжээг олоорой.


35

XI БҮЛЭГ. ГЕОМЕТР ХУВИРГАЛТ

Хүрэх үр дүн. Координатын хавтгай дахь дүрсийг тэгш хэм, параллел зөөлт, эргүүлэлт, гомотетоор хувиргах, хувиргалтын томъёог олох, хувиргалтын матрицыг зохиох, хэрэглэх чадвартай болно.



10.11а. Координатын хавтгайд хувиргалт хийх, координатын хувиргалтын томъёо олох, хувиргалтын матриц, түүнийг хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Координатын хавтгайд хувиргалт хийж, хувиргалтын томьёо бичих Координатын хавтгай дахь дүрсийг эргүүлэлтээр хувиргах жишээн дээр хувиргалтын томъёог олъё.

Жишээ 1.(2, 1 ) 𝐵(1, 2) 𝐶(4, 2) цэгүүдэд оройтой гурвалжныг координатын эх дээр төвтэй цагийн зүүний

эсрэг 900 өнцгийн эргүүлэлтээр хувиргаж, гарах дүрийг зурж, хувиргалтын томъёог бич. Бодолт: Координатын хавтгайд өгсөн цэгт оройтой гурвалжныг эргүүлэлтээр хувиргаж, дүрийн координатыг олно. Эндээс дараах ерөнхий тохиолдолд томьёог гаргах боломжтой. (𝑥, 𝑦) цэгийг (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦, 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦) цэгт шилжүүлэх хувиргалтын томъёо нь:

𝑥′ =ax+𝑏𝑦

𝑦′ =cx+𝑑𝑦 байна. Үйл ажиллагаа 2. Хувиргалтын матрицыг олох Дээрх жишээн дээрх хувиргалтын томъёог ашиглан хувиргалтын матриц зохионо.

(𝑥′

𝑦′) = (

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) (𝑥

𝑦)

Багшийн анхаарах зүйл. Цаашид зөвхөн дараах тохиолдолд хувиргалтын матрицыг хэрэглэнэ.

- Координатын эхийн хувь дахь тэгш хэм - Координатын тэнхлэгийн хувь дэхь тэгш хэм - Координатын эх дээр төвтэй цагийн зүүний

дагуу болон эсрэг чиглэлд 90, 180 градусаар эргүүлэх

- Координатын эх дээр төвтэй эерэг коэффициенттэй гомотет

Багш эдгээр хувиргалтыг Geogebra дээр бэлтгэн үзүүлэх боломжтой.

Слайд, миллиметрийн хуваарьтай цаас,проектор, шугам, харандаа Координатын хавтгайн загвар Видео бичлэг Geogebra дээр бэлтгэсэн үзүүлэн

10.11б.

Координатын хавтгай дахь дүрсийг тэгш хэмээр (цэгийн, тэнхлэгийн) хувиргах, хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх

Үйл ажиллагаа 1.Тэгш хэмийн хувиргалтыг сэргээн

бататгах Жишээ 2. 𝐴(5, 1 ) 𝐵(−3, 1) 𝐶(1,−2) цэгүүдэд оройтой гурвалжин байгуулж: а. Oy тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй хувирга. б. Ox тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй хувирга. в. Координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй хувирга. Үйл ажиллагаа 2. Тэгш хэмийн хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх Жишээ 3. Дараах төрлийн бодлогууд бодно. а. Координатын системд өгсөн цэг, хэрчим, дүрсийг координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргаж,хувиргалтыг матрицаар илэрхийлнэ.

б. Координатын системд өгсөн цэг, хэрчим, дүрсийг координатын тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргаж, хувиргалтыг матрицаар илэрхийлнэ.

в. Координатын системд өгсөн цэг, хэрчим, дүрсийг 𝑦 = 𝑎,𝑥 = 𝑏, 𝑦 = 𝑥 шулууны хувьд тэгш хэмтэй хувиргаж, дүрийн оройн координатыг бичнэ. (Гортиг хэрэглэхгүй)

г. Төвийн тэгш хэмтэй дүрсийг тодорхойлж бичнэ.

Координатын хавтгайн загвар Видео бичлэг Geogebra дээр бэлтгэсэн үзүүлэн

36

д. Зураг ашиглан хоёр дүрсийн нэгийг нөгөөд х = 𝑎, 𝑥 =𝑏, 𝑦 = 𝑥 шулууны хувьд тэгш хэмтэй хувиргасан бол хувиргалтын томьёог олно. (Координатаар өгсөн үед)

10.11в. Координатын хавтгай дахь дүрсийг параллел зөөлтөөр хувиргах, хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх

Үйл ажиллагаа 1. .Координатын хавтгай дахь дүрсийг параллел зөөлтөөр хувиргах

Жишээ 3. Өгсөн вектор

(2−5

) ба А (1, 4) өгөгджээ.

(2−5

) вектороор (1, 4) цэгийг

зөөхөд (2+1, -5+4)=(3, -1) цэгт шилжинэ. Векторын координатыг багана хэлбэрт, цэгийн координатыг мөр хэлбэрт бичиж тэмдэглэхэд анхаарна. Цаашид дүрсийг

тэгээс ялгаатай 𝑣 = (𝑎𝑏)

вектороор зөөх хувиргалтыг 𝑣 векторын дагуух параллел

зөөлт гэж нэрлээд, 𝐓�⃗⃗� гэж тэмдэглэнэ. 𝐓�⃗⃗� параллел

зөөлтөөр А цэг A* цэгт шилжих бол 𝐓�⃗⃗� (A) = A* бичнэ. A*

цэгийг 𝐓�⃗⃗� параллел зөөлтөөр А цэгийн дүр гэж нэрлэнэ.

𝐓�⃗⃗� параллел зөөлтөөр (x, y) цэгийн дүр 𝐓�⃗⃗� (x;y) нь 𝐓�⃗⃗� (x,y)= (a+x,b+y) координаттай цэг байна.

Жишээ 4. 𝑣 1=(−31

) ба 𝑣 2=(14) байг.

а. 𝐓�⃗⃗� 𝟏(2, −1)=? 𝐓�⃗⃗� 𝟐(2, −1) =? 𝐓�⃗⃗� 𝟏(3, 7) =?

𝐓�⃗⃗� 𝟐(−5, 2) =?

б. 𝐓�⃗⃗� 𝟏(2, −1) ба 𝐓�⃗⃗� 𝟐(2, −1)-г координатын хавтгайд

дүрсэлж, тайлбарлана. Жишээ 5. а. A(2, 3) цэгийг B(2;3) цэгт зөөх векторыг ол.

б. P(5, 1) цэгийг Q(3, 2) цэгт харгалзуулах параллел зөөлтийг ол.


10.11г. Координатын хавтгай дахь дүрсийг эргүүлэлтээр хувиргах, хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх

Үйл ажиллагаа 1. Дүрсийг эргүүлэлтээр хувиргах Өмнөх ангиудад эзэмшсэн мэдлэг, чадварыг сэргээн бататгана. Жишээ 6. Координатын хавтгай дээрх ABC гурвалжныг

(гурвалжныг зургаар өгөх) өгсөн чиглэлд:

а. (0, 0) дээр төвтэй 900-ын эргүүлэлтийн дүрийг ол.

б. (0, 0) дээр төвтэй 1800-ын эргүүлэлтийн дүрийг ол.

в. P цэг дээр төвтэй 900-ын эргүүлэлтийн дүрийг ол.

г. (0;0) дээр төвтэй −900-ын эргүүлэлтийн дүрийг ол. д. P цэг дээр төвтэй −900-ын эргүүлэлтийн дүрийг ол. Заавар: а-г даалгаврыг калькан цаас хэрэглэн хийвэл эргүүлэлтийг алдаагүй зөв гүйцэтгэнэ. Жишээлбэл а тохиолдолд дээрх зураг дээр калькан цаасаа тавиад, координатын тэнхлэгүүд болон ABC гурвалжныг зурна. (0, 0) цэг дээр үзгээрээ дарж, калькан

цаасаа 900 эргүүлэн, калькан цаасан дээр байгаа гурвалжны оройнуудыг үзгээрээ хатгаж дэвтэртээ тэмдэглэнэ. Калькан цаасаа авсны дараа тэмдэглэсэн цэгүүдээ холбон гурвалжныг зурна. Энэ гурвалжин бол

ABC гурвалжны (0, 0) дээр төвтэй 900-ын эргүүлэлтийн дүр юм.

Үүнтэй адилаар б, в-г хийнэ. г, д даалгаврын хувьд −900-ын эргүүлэлт бол эргүүлэлтийн төвийг тойруулан цагийн

зүүний эсрэг 900-ын өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлт юм. Үйл ажиллагаа 2. Хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх


37

Жишээ 7. Дараах төрлийн даалгавруудаар сурагчдыг

хөгжүүлэх боломжтой. а. Цэг, хэрчим, дүрсийг өгсөн цэгт төвтэй дурын өнцгөөр эргүүлж зурах.

б. Дүрсийг, түүний аль нэг тал дээрх цэг дээр төвтэй дурын өнцгөөр эргүүлж зурах.

в. Координатын системд өгсөн цэг, хэрчим, дүрсийг өгсөн

цэгт төвтэй 900, 1800 , −900 -ын эргүүлэлтээр хувиргаж, дүрийн оройн цэгийн координатыг бичих. (Энд гортиг хэрэглэхгүй)

г. Зургаар өгсөн хоёр дүрсийн нэгийг нь нөгөөд нь хувиргасан эргүүлэлтийн томьёог олох (Координатаар өгсөн үед)

Харин (0, 0) координатын эх дээр төвтэй 900, −900, 1800-ын өнцгийн эргүүлэлтийн хувьд хувиргалтын матрицыг бичнэ.

10.11д. Координатын хавтгай дахь дүрсийг гомотетоор хувиргах, хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх

Үйл ажиллагаа 1. Дүрсийг эерэг коэффициенттэй гомотетоор хувиргах Жишээ 8. ABC гурвалжныг (Координатын хавтгайд зургаар өгсөн) а. О цэгт төвтэй, k=2 коэффициенттэй гомотетоор хувиргана. б. О цэгт төвтэй, k=1/2 коэффициенттэй гомотетоор хувиргана. Заавар: Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа О (координатын эх дээр) цэгт төвтэй, k коэффициенттэй гомотетоор цэг, түүний координатыг k тоогоор үржсэн координаттай цэгт хувирч байгааг ажиглаж, дүгнэлт хийнэ. Үйл ажиллагаа 2. Хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх Жишээ 9. Дараах төрлийн даалгавруудаар сурагчдыг хөгжүүлнэ. а. Цэг, хэрчим, дүрсийг өгсөн цэгт төвтэй эерэг коэффициенттэй гомотетоор хувиргах. б. Координатын системд өгсөн цэг, хэрчим, дүрсийг өгсөн цэгт төвтэй эерэг тоон коэффициенттэй гомотетоор хувиргаж, оройн координатыг бичих. в. Зургаар өгсөн хоёр дүрсийн нэгийг нь нөгөөд нь хувиргах гомотетын төв ба коэффициентыг олох, гомотет хувиргалтын томьёог олох (Координатаар өгсөн үед) Харин координатын эх дээр төвтэй эерэг тоон коэффициенттэй гомотетийн хувьд хувиргалтын матрицыг олно. Багшийн анхаарах зүйл.Өмнөх ангиудад судалсан

дүрсийг тэгш хэм, эргүүлэлт, параллел зөөлт, гомотетээр хувиргах, хувиргуултуудын инвариант чанар, координатын хавтгай дээрх хялбар хувиргалтуудын томьёо бичих чадваруудыг бататгаад шинээр эдгээр хувиргалтуудыг хялбар тохиолдолд матрицаар илэрхийлэх чадвар эзэмшүүлнэ

Слайд, проектор, Координатын хавтгайн загвар Видео бичлэг Geogebra дээр бэлтгэсэн үзүүлэн

10.11е*. Дараалсан хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх

Үйл ажиллагаа 1. Дараалсан хувиргалт хийх Жишээ 10. Зурагт A дүрс өгсөн байг.

а. A дүрс 𝑅𝑂900

хувиргалтаар 𝐴1-д буудаг ба 𝐴1 дүрс 𝑀𝑦=0

хувиргалтаар 𝐴2-д буудаг бол 𝐴1 ба 𝐴2 дүрсийг координатын хавтгайд зур.

б. A дүрсийг 𝐴2-д буулгах нэг хувиргалтыг тодорхойлж бич.

Заавар: 𝑅𝑂900

- О цэгт төвтэй цагийн зүүний дагуу 900- аар эргүүлэх хувиргалт 𝑀𝑦=0- 𝑦 = 0 шулууны хувьд тэгш хэмтэй хувиргалт

Координатын хавтгайн загвар Видео бичлэг Geogebra дээр бэлтгэсэн үзүүлэн Багшийн ном X – XII

38

а.𝑅𝑂900

(𝐴) = 𝐴1 ба 𝑀𝑦=0(𝐴1) = 𝐴2 болохыг мэднэ.

Иймд өгсөн А дүрсийг эхлээд координатын эх дээр төвтэй

цагийн зүүний дагуу 900- аар эргүүлээд гарсан дүрийг

𝑦 = 0 шулууны хувьд тэгш хэмтэй хувиргаж, үүссэн дүрийг зурна. Үйл ажиллагаа 2. Хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх Дээрх жишээн дээрх хувиргалтын матрицыг олъё.

𝑅𝑂900

= (0 −11 0

) болно. A дүрсийн оройн координатыг

матрицаар бичвэл (4 3 32 3 4

24 2 3 31 1 2

) болно.

(0 −11 0

) (4 3 32 3 4

24 2 3 31 1 2

)=

(−2 −3 −44 3 3

−42

−1 −1 −22 3 3

) буюу

𝐴1 дүрийн оройн координат нь:

(−2,4), (−3,3), (−4, 3), (−4,2), (−1,2), (−1,3), (−2,3)

𝑀𝑦=0 = (1 00 −1

) гэдгийг ашиглан 𝐴2 дүрсийн оройн

координатыг тодорхойлж болно.

б. 𝑅𝑂900

= (0 −11 0

) ба 𝑀𝑦=0 = (1 00 −1

) байна. 𝐴 дүрсийг

эхлээд 𝑅𝑂900

, дараа нь 𝑀𝑦=0 хувиргалтаар хувиргахад

гарах дүрийг 𝑀𝑦=0(𝑅𝑂900

(𝐴)) гэж тэмдэглэе. Тэгвэл

𝑀𝑦=0(𝑅𝑂900

(𝐴))=𝐴2.

Энэ дараалсан хувиргалтын матриц нь

𝑀𝑦=0𝑅𝑂900

=(1 00 −1

) (0 −11 0

) =

(0 −1−1 0

) болно. (0 −1

−1 0) нь A

дүрсийг 𝐴2-д буулгах нэг хувиргалтын матриц болно. Жишээ 11. 𝑀𝑥=3 ба 𝑀𝑦=6

хувиргалтын матрицыг ол. а.Хувиргалтын матрицыг ол.

𝑀𝑥=0𝑅𝑂900

, 𝑀𝑥=0𝑅𝑂−900

, 𝑅𝑂1800

𝑀𝑦=𝑥

𝑀𝑦=−𝑥𝑅𝑂900

б.Хувиргалтын матрицыг ол.

𝑀𝑥=02 , 𝑀𝑦=𝑥𝑅𝑂

900, 𝑀𝑦=0𝑀𝑥=0, 𝑅𝑂

900𝑅𝑂

−900

в. R0900

, R0−900

, R01800

,𝑀𝑥=𝑎 ,𝑀𝑦=𝑏 ,𝑀𝑦=𝑥 хувиргалтуудын

дурын хоёрын үржвэр хувиргалтыг матрицаар тодорхойлно. г. Үржвэр хувиргалтаар цэг, хэрчим, дүрсийн дүрийг олох.

д. 𝐴(𝑎, 𝑏) ба 𝑣𝑖⃗⃗⃗ = (𝑥𝑖

𝑦𝑖) , 𝑖 = 1,2 өгсөн байг. 𝑇�⃗� 1𝑇�⃗� 2(𝐴),

𝑇�⃗� 1𝑀𝑦=𝑥(𝐴), 𝑀𝑦=0𝑇�⃗� 1(𝐴),

𝑀𝑦=0𝑅𝑂−900

(𝐴), 𝑀𝑦=𝑥𝑅𝑂1800

(𝐴) ол.

е. 𝑀𝑥=𝑎 ба 𝑀𝑦=𝑏 хувиргалтын матрицыг ол.

39

ё. 𝐸 нь О цэгт төвтэй, k=0,5 коэффициенттэй гомотет хувиргалт бол дараах хувиргалтын матрицыг ол.

𝐸𝑀𝑦=𝑥, 𝑀𝑦=0𝐸, 𝐸𝑅𝑂−900

, 𝑅𝑂1800

𝐸

11ж*.Хувирга

лтуудыг таних, тодорхойлох

Үйл ажиллагаа. Зургаар өгсөн хоёр дүрсийн нэгийг нь

нөгөөд нь буулгах хувиргалтыг тодорхойлох Дараах төрлийн даалгавруудаар сурагчдыг хөгжүүлэх боломжтой. а. Нэг дүрсийг нөгөөд гомотетоор хувиргаж, хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх, хариугаа шалгах б. Нэг дүрсийг нөгөөд сунгах, агшаах хувиргалтаар хувиргаж, хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх, шалгах. в. Нэг дүрсийг нөгөөд трансвекц хувиргалтаар хувиргаж, хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх, хариугаа шалгах

Координатын хавтгайн загвар Видео бичлэг Geogebra дээр бэлтгэсэн үзүүлэн Багшийн ном X – XII

XII БҮЛЭГ. ХЭМЖИГДЭХҮҮН

Хүрэх үр дүн.Тойргийн нумын урт болон дугуйн сектор,сегментийн талбай, пирамид, цилиндр, призм, бөмбөрцөг, конусын гадаргуун талбай, эзлэхүүн олох, тэдгээрийн зарим хялбар хавтгай огтлолыг байгуулах, огтлолын талбайг тооцоолох, нийлмэл биетийн гадаргуун талбай, эзлэхүүнийг тооцоолох чадвартай болно.



10.12а. Тойргийн нумын урт болон дугуйн сектор, сегментийн талбайг олох

Үйл ажиллагаа 1. Дугуйг тэнцүү хэсэгт хувааж тооцоолж болох өнцгүүдийн хувьд үүссэн дүрсийн талбай, периметрийг олох Дурын радиустай дугуйнууд өгнө. Дугуйг дөрөв хувааж, дөрөвний нэг, дөрөвний хоёр, дөрөвний гурав хэсгийн периметр болон талбайг олуулна. Сурагчид дугуйн дөрөвний нэг, дөрөвний хоёр, дөрөвний гурван хэсгийн периметр болон талбайг төвөггүй тооцоолох боломжтой. Үйл ажиллагаа 2. Дугуйн секторын талбай болон нумын уртыг олох

Секторын талбай =секторын өнцөг

360°× 𝜋𝑟2

Нумын урт =секторын өнцөг × 2𝜋𝑟

360°

Жишээ 1. 3 нэгж радиустай дугуйн 𝛼 өнцөгт харгалзах

секторын талбай 2𝜋 бол 𝛼 өнцгийг ол. Үйл ажиллагаа 3. Сегментийн талбайг олох Жишээ 2. 10 см радиустай, 1000-ийн өнцөгтэй секторын

үүсгэж буй сегментийн талбайг ол. Бодолт: Зургийг зурж, сегментийн талбайг зурааслаж, харуулна.

Слайд, проектор, шугам, харандаа, гортиг Geogebra дээр бэлтгэсэн үзүүлэн

40

- Секторын талбайг олно. - Гурвалжны талбайг олно. - Секторын талбайгаас гурвалжны талбайг хасаж,

сегментийн талбайг олно. Жишээ 3. 550 өнцөгтэй, 15 см радиустай OAB сектор өгчээ. Секторын талбайг ойролцоогоор 108 см2 гэж харуулаарай. Хариуг 0.001 нарийвчлалтай тоймло. Багшийн анхаарах зүйл. Өмнөх ангиудад судалсан

тойргийн урт, дугуйн талбай, секторын талбай олох чадваруудыг өргөтгөн, нумын урт, сегментийн талбай олох чадвар эзэмшүүлнэ.

10.12б.

Пирамид, цилиндр, призм , бөмбөрцөг, конусын гадаргуун талбай, эзлэхүүнийг олох томьёог мэдэх,

хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1.Призм, цилиндрийн гадаргуун талбай,

эзлэхүүнийг олох Гурвалжин болон дөрвөн өнцөгт, зөв олон өнцөгт суурьтай призм, цилиндрийн гадаргуун талбайг дэлгээсээр нь олох, эзлэхүүнийг олох чадваруудыг сэргээн бататгана.

Үйл ажиллагаа 2. Пирамид, конус, бөмбөрцгийн гадаргуун талбай, эзэлхүүнийг олох Зөв зургаан өнцөгт суурьтай пирамид, конусын гадаргуун талбайг дэлгээсээр нь тооцоолж олно.

Бөмбөрцгийн гадаргуун талбай, пирамид, конус, бөмбөрцгийн эзлэхүүн олох томьёог гаргаж, төрөл бүрийн бодлого бодно. Багшийн анхаарах зүйл. 8 - 9 дүгээр ангид судалсан призм,

цилиндрийн гадаргуун талбай, эзлэхүүн олох чадварыг бататгаад шинээр пирамид, конус, бөмбөрцгийн гадаргуун талбай болон эзлэхүүнийг олох чадвар эзэмшүүлнэ.

Слайд, проектор, шугам, харандаа, биет үзүүлэн Geogebra дээр бэлтгэсэн үзүүлэн

10.12в. Биетүүдийн хавтгай огтлол байгуулах, огтлолын талбайг тооцоолох (диагонал огтлол, тэнхлэг огтлол, суурьтай параллел огтлол)

Үйл ажиллагаа 1. Хялбар огтлол байгуулах Куб,тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагонал огтлол, конус, пирамид, цилиндрийн тэнхлэг огтлол, суурьтай параллел хавтгайгаар огтлоход үүсэх хялбар огтлолыг байгуулна.

Слайд, проектор, шугам,

харандаа, Geogebra дээр бэлтгэсэн үзүүлэн

41

Үйл ажиллагаа 2. Хялбар огтлолын талбайг олох

Дээрх хэлбэрийн хялбар огтлолын хувьд шаардлагатай хэмжээс өгөгдсөн тохиолдолд огтлолын талбайг олох, зураг өгч бодлого зохиолгох төрлийн даалгаврууд өгнө. Багшийн анхаарах зүйл. 9 дүгээр ангид судалсан призм, цилиндрийн хавтгай огтлолыг таних, байгуулах, хялбар огтлолын талбайг олох чадварыг бататгаад шинээр пирамид, конус, бөмбөрцгийн хавтгай огтлол байгуулах,

хялбар огтлолын талбайг олох чадвар зэмшүүлнэ. Огторгуйн геометрийн биетүүдийн огтлолыг бодитоор үзүүлэх, GeoGebra ашиглан харуулах нь сурагчдын сонирхлыг татаж, ойлголтыг бататгана гэдгийг анхаарна.

10.12г*. Төсөөтэй дүрсүүдийн талбай, төсөөтэй биетүүдийн эзлэхүүний хамаарлыг мэдэх, хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Хоёр гурвалжны төсөөгийн шинжийг

сэргээн бататгах

𝐴𝐵𝐶, 𝐴1𝐵1𝐶1 гурвалжнууд төсөөтэй бөгөөд төсөөгийн

коэффициет нь 𝑘, ∠BAC = ∠𝐵1𝐴1𝐶1 байх үед ABC, 𝐴1𝐵1𝐶1 гурвалжны талбайг хоёр тал хоорондох өнцгөөр олж

𝑆𝐴𝐵𝐶

𝑆𝐴1𝐵1𝐶1

=𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 × sin 𝐴

𝐴1𝐵1 × 𝐴1𝐶1 × sin 𝐴1= 𝑘2

болохыг гаргуулж, төрөл бүрийн асуудал шийдвэрлэх бодлого сонгож бодуулна Үйл ажиллагаа 2. Биетүүдийн эзлэхүүний хамаарлыг

гаргах Төсөөтэй хоёр биетийн эзлэхүүнүүдийн харьцаа нь тэдгээрийн харгалзсан шугаман хэмжээсүүдийн кубүүдийн харьцаатай тэнцүү гэдгийг тодорхой жишээн дээр гаргана. Жишээ 4. Пирамидын өндрийн дунджийг дайруулан

суурьтай нь параллел хавтгайгаар огтолжээ. Пирамидын эзлэхүүнийг энэ хавтгай ямар харьцаатай хуваах вэ? Бодолт. Ийм хавтгайгаар огтлоход пирамид төсөөтэй хоёр пирамидад хуваагддаг.

Төсөөгийн коэффициент өндрийн харьцаатай буюу 1

2 –тэй

тэнцүү, пирамидын эзэлхүүнүүд (1

2)3 : 1 гэж харьцаатай

байна. Иймээс пирамидыг уг хавтгай эзлэхүүн нь 1

8: (1 −

1

8) = 1: 7 байх хэсгүүдэд хуваана.

Жишээ 5.

Жижиг пирамидын өндөр 6 см, том пирамидын өндөр 10 см бөгөөд гадаргуун талбай нь 600см2, эдгээр биетүүд төсөөтэй бол жижиг пирамидын гадаргуун талбайг олоорой гэсэн асуудал дэвшүүлж, шийдвэрлүүлнэ. Багшийн анхаарах зүйл. 8 - 9 дүгээр ангид судалсан төсөөтэй гурвалжнуудын талбайн харьцааг хэрэглэх,


42

төсөөтэй биетүүдийн эзлэхүүний харьцааг гаргах, хэрэглэх, асуудал шийдвэрлэх чадвар эзэмшүүлнэ.

10.12д*.

Нийлмэл биетийн гадаргуун талбай, эзлэхүүнийг тооцоолох

Үйл ажиллагаа 1. Нийлмэл биетийн гадаргуун талбайг

олох Нийлмэл биетийг ажиглан ямар биетүүдээс бүрдсэн болохыг олох ,нийлмэл биетийн гадаргуун талбайг тооцоолох, бидний эргэн тойронд буй нийлмэл биетээс бүрдсэн биет болох байшингийн шал,тааз, дээвэр, хананд орох материалыг тооцоолох төрлийн даалгаврууд байж болно.

Мөн дээрх хэлбэрийн ахуй, амьдралаас урган гарсан асуудлын хүрээнд нийлмэл биетүүд өгч, эдгээр нь ямар биетүүдээс тогтож байгааг тодорхойлж, тухайн биетүүдийн хувьд ямар хэмжээс өгөгдвөл гадаргуун талбайг олж болох

талаар ярилцлаж, талбайг нь олуулна. Үйл ажиллагаа 2. Нийлмэл биетийн эзлэхүүнийг олох Түгээмэл биетүүдээс бүрдсэн нийлмэл биетүүд өгч, талбай, эзлэхүүнийг нь олуулах даалгавар өгнө.

- Куб, дөрвөн өнцөгт пирамид - Куб, гурвалжин призм, - Тэгш өнцөгт параллелепипед, гурвалжин призм - Тэгш өнцөгт параллелепипед, дөрвөн өнцөгт призм - Цилиндр, конус - Хоёр конус - Куб, цилиндр - Параллелепипед, хагас цилиндрээс бүтсэн нийлмэл

дүрсийн гадаргуун талбай, зарим тохиолдолд эзлэхүүнийг тооцоолж чадна.

Жишээ 6.

а.25 м байгуулагчтай, 5м радиустай цилиндр,5м радиустай ,12м өндөртэй, 13м байгуулагчтай конусаас бүрдсэн нийлмэл биетийн гадаргуун талбай , эзлэхүүнийг олоорой. б.Хагас бөмбөрцөг болон конусаас тогтсон нийлмэл биетийн конусын байгуулагч 10см, өндөр нь 8 см, радиус 6 см бол биетийн гадаргуун талбай , эзлэхүүнийг олоорой. Багшийн анхаарах зүйл.Өмнөх ангиудад судалсан ТӨП, призм, цилиндрээс тогтсон зарим нийлмэл биетийн гадаргуун талбай, эзлэхүүнийг олох чадварыг бататгаад шинээр пирамид, конус оролцсон нийлмэл биетийн гадаргуун талбайг олох, зарим хялбар тохиолдолд эзлэхүүнийг олох чадвар эзэмшүүлнэ.

Слайд, проектор, шугам, харандаа Багшийн ном X – XII

XIII БҮЛЭГ.ӨГӨГДЛИЙН ШИНЖИЛГЭЭ

Хүрэх үр дүн. Өгөгдлийг тэнцүү болон тэнцүү бус завсарт бүлэглэж, гистограмм байгуулах, моод бүлэг, арифметик дунджийг тооцоолох, хэрэглэх чадвартай болно.



10.13а. Бүлэглэсэн өгөгдлийн моод бүлэг, медиан, арифметик дунджийг тооцоолох

Үйл ажиллагаа 1.Өгөгдлийг хэрэглэн давтамжийн хүснэгт байгуулах Жишээ 1. Театрт 1 хөгжмөөр тоглодог 11, 2 хөгжмөөр тоглодог 10, 3 хөгжмөөр тоглодог 5, 4 хөгжмөөр тоглодог 3, 5 хөгжмөөр тоглодог 1 хөгжимчин байв.

Статистикийн арга зүйн гарын авлага Нэмэлт даалгаврууд бэлтгэх

43

(тэнцүү, тэнцүү биш завсраар бүлэглэсэн)

Хөгжмийн зэвсгийн тоо ( x )

1 2 3 4 5

Давтамж ( )f 11 10 5 3 1

Үйл ажиллагаа 2. Давтамжийн тархалтыг ашиглан

арифметик дунджийг олох Өгөгдлийн давтамжийн тархалт өгөгдсөн үед арифметик дунджийг олохдоо

1 1 2 2 3 3

1 2 3

...

...

x f x f x fx

f f f

томьёогоор бодно.

x Нийт тоглодог хөгжлийн зэвсэг

Нийт хүний тоо

1 1 2 2 3 3

1 2 3

...

...

632.1

30

x f x f x f

f f f

Үйл ажиллагаа 3. Тэнцүү завсраар бүлэглэсэн

өгөгдлийн моод бүлэг, арифметик дунджийг олох. Жишээ 2.

Сум дундуур өнгөрөн гарсан 120 тээврийн хэрэгслийн хурдыг хүснэгтээр өгчээ.

Хурд ( x

км/ц)

21-25 26 -30 31 - 35 36 -45 46-60

Давтамж

( )f 22 48 25 16 9

Өмнөх жишээнээс ялгаатай нь тээврийн хэрэгсэл тутмын хурд өгөгдөөгүй, харин хурдны өгсөн завсар дахь давтамжийг заасан байна. Өөрөөр хэлбэл

1 1 2 2 3 3

1 2 3

...

...

x f x f x fx

f f f

томьёоны 𝑓𝑖 тоонуудын

утга тодорхойгүй байна гэсэн үг. Энэ үед 𝑓𝑖 тоонуудын утгыг завсар бүрт адил авахаас өөр аргагүй болно. Тэр нь тухайн завсрын дундаж утга болно. Өгөгдөл бүлэглэсэн хэлбэрт байгаа үед моод бүлгийг олох боломжтой. Өгөгдлийн хамгийн их давтамжтай завсрыг моод бүлэг гэнэ. Энэ жишээнд моод бүлэг нь хамгийн их 48 гэсэн давтамжтай 26 - 30 завсар байна. Үйл ажиллагаа 4. Бүлэглэсэн өгөгдлийн тархалтын дунджийг завсрын дундаж утгаар тооцоолох а. 21 – 25 завсрын дундаж утгыг олбол,

Доод хил = 20.5 Дээд хил = 25.5

x f x f

1 2 3 4 5

11 10 5 3 1

11 20 15 12 5

30f 63xf

44

Завсрын дундаж утга = 1

2 (Дээд хил + Доод хил)

1(20.5 25.5) 23

2

Хурд ( км/ц )

Интервалын дундаж утга

( x )

( )f x f

21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 45 46 – 60

23 28 33 40.5 53

22 48 25 16 9

506 1344 825 648 477

120f 3800xf

1 1 2 2 3 3

1 2 3

... 380031.7

... 120

x f x f x fx

f f f

км/ц

Багшийн анхаарах зүйл. Өмнөх ангиудад судалсан өгөгдлийг тэнцүү завсруудад бүлэглэж, моод бүлгийг олох, арифметик дунджийг олох чадварыг бататгаад өгөгдлийг тэнцүү бус завсруудад хуваан моод бүлэг, арифметик дундаж олох чадвар эзэмшүүлнэ.

10.13б. Гистограмм унших, байгуулах (тэнцүү ,тэнцүү биш завсраар)

Үйл ажиллагаа 1. Бүлэглэсэн өгөгдлийн давтамжийн нягтыг олох Тасралтгүй өгөгдлийг тодорхой завсруудад бүлэглэж өгөгдлийг гистограммаар дүрсэлнэ. Гистограмм баганан графиктай ижил төстэй боловч хоёр ялгаа бий. Баганын өргөнийг харгалзах завсрын урттай тэнцүү байхаар байгуулна.. Баганын талбай нь давтамжийг илэрхийлнэ. Талбай = Өндөр Завсрын урт = Давтамж Өндрийг давтамжийн нягт гэнэ.

Давтамжийн нягт = Давтамж

Завсрын урт

Нэг баганын талбай уг завсар дахь давтамжтай тэнцүү байна. Нийт талбай нь бүх давтамжийн нийлбэртэй тэнцүү. Жишээ 3. Автобусны зорчигчдын насны мэдээллийг хүснэгтээр өгчээ.

Зорчиг-чийн нас

0 20t 20 40t 40 50t 50 70t 70 100t

Давтамж 4 44 36 28 6

Гистограммыг байгуулья. Үүний тулд давтамжийн нягтыг олно.

Зорчиг- чийн нас 0 20t 20 40t 40 50t 50 70t 70 100t

Давтамж 4 44 36 28 6

Давтам-жийн нягт

0.2 2.2 3.6 1.4 0.2

Харгалзах гистограммыг байгуулна. Жишээ 4. Суудлын нэг вагонд зорчиж яваа хүмүүсийн

насыг өгчээ.

6 70 5 32 19 44 25 18 56 24

30 54 57 21 43 54 35 36 47 33


Энэ баганын утгуудын нийлбэрийг олохгүй

45

33 48 25 20 32 35 29 54 69 42

21 49 63 52 47 28 48 24 54 39 Өгөгдлийг насны бүлгээр ангилсан.

Насны бүлгээр 0-18 18-25 25-35 35-50 50-60 60-70

Давтамж 2 7 9 12 7 3

Энд завсрын урт, давтамжийн нягт гэсэн хоёр мөр нэмнэ.

Насны бүлгээр 0-18 18-25 25-35 35-50 50-60 60-70

Давтамж 2 7 9 12 7 3

Завсрын урт 18 7 10 15 10 10

Давтам-жийн нягт 0.1 1 0.9 0.8 0.7 0.3

Завсрын урт нь: 18-0=18,25-18=7, 35-25=10, 50-35=15, 60-50=10, 70-60=10 болно. Харин давтамжийн нягтыг дараах томьёогоор олно

ДавтамжДавтамжийнНягт

ЗавсрынУрт .

Насны бүлгээр 0-18 18-25 25-35 35-50 50-60 60-70

Давтам-жийн нягт 0.1 1 0.9 0.8 0.7 0.3

Одоо насны бүлэг, давтамжийн нягт хоёроор гистограмм байгуулна. Жишээ 5. Зургаар өгсөн гистограммыг уншиж,

давтамжийн хүснэгт зохиож, асуултад хариулах, моод бүлгийг олох даалгавар өгнө. Багшийн анхаарах зүйл. Өмнөх ангиудад судалсан өгөгдлийг тэнцүү завсруудад бүлэглэж, гистограмм байгуулах чадварыг бататгаад өгөгдлийг тэнцүү бус завсруудад хуваан гистограмм байгуулах чадвар эзэмшүүлнэ.

10.13в. Цэгэн

диаграмм, түүний хандлагын шулууныг баримжаалан зурах, корреляцыг ойлгох, тайлбарлах (эерэг, сөрөг, тэг)

Үйл ажиллагаа 1. Цэгэн диаграмм байгуулах

Анги олон сурагчтай бол нэг багт 8 – 10 сурагч байхаар багт хувааж багийн гишүүн бүрийн өндөр ба жингийн хамаарлыг харуулсан цэгэн диаграмм зурах даалгавар өгч, баг тус бүрийн ажлын үр дүнг хэлэлцүүлж, нэгдсэн дүгнэлт гаргана. Мөн цэгэн диаграмм байгуулах аргачлалтай танилцаж, тохиромжтой ( эерэг, сөрөг корреляцтай байх) жишээнүүдийг сонгож, сурагчдаар ажиллуулна. (цэгэн диаграмм уншиж, асуултад хариулах гэх мэт) Үйл ажиллагаа 2 . Хандлагын шулууныг баримжаалан

зурах Дээр дурдсан цэгэн диаграммуудын жишээн дээр тулгуурлан хандлагын шулууныг баримжаалан зурах, хандлагын шулуун ашиглан зарим нэмэлт утгуудыг олох, боломжтой бол шулууны тэгшитгэл бичих гэх мэт даалгавар өгнө.


46

Үйл ажиллагаа 3. Корреляцыг ойлгох, тайлбарлах

(эерэг, сөрөг, тэг)

-Сурагч амжилттай сурахад юу хамгийн их нөлөөлөх вэ?

гэдэг асуултаар сэдэлжүүлж болно. Эндээс хичээлээ давтах нь хамгийн сайн хамааралтай гэж сурагчид хэлэх байх. Дараа нь хамгийн их сөрөг хамааралтай аль вэ? гэсэн асуултаар чиглүүлж болох юм. Олон цаг тоглох, унтах, гэрийн даалгавар хийхгүй байх гэх мэт. Харин дээрх асуулттай хамааралгүй нь бороонд алхах гэсэн таамаглалын шинжтэй хариултыг авснаар хичээлээ эхлэж болох юм. Өмнөх ангид судалсан эерэг, сөрөг, тэг корреляцын талаарх мэдлэг, чалварыг бататгаад эерэг хүчтэй, эерэг сул, сөрөг хүчтэй, сөрөг сул, хамааралгүй байх тохиолдол тус бүрд сурагчдаар жишээ гаргуулах нь чухал, үүнийг гэрийн даалгаварт өгөөд, хичээлийн эхэнд асууж, ярилцах замаар хичээлээ зохион байгуулах боломжтой. Багшийн анхаарах зүйл. Өмнөх ангиудад судалсан хоёр хэмжигдэхүүний ямар хамааралтайг (корреляц нь эерэг, сөрөг, 0, хамааралгүй байх) тогтоох чадваруудыг өргөтгөн эерэг хүчтэй, эерэг сул, сөрөг хүчтэй, сөрөг сул зэрэг хамаарлуудыг тогтоох,

хэрэглэх чадвар эзэмшүүлнэ. 10.13г.

Хуримтлагдсан давтамжийн график байгуулах, хэрэглэх, медианыг олох

Үйл ажиллагаа 1. Хуримтлагдсан давтамжийг сэргээн

сануулах Дараах жишээгээр давтамжийн хүснэгт байгуулж, хуримтлагдсан давтамжийг олно. Жишээ 6.

30 сурагч тус бүр 20 бодлого бодох даалгавар авчээ. Сурагч бүрийн бодсон бодлогын тооны өгөгдлийг харуулав. 0,3,4,5,5,5,7,8,9,9,9,10,10,11,11,12,12,12,13,13,14,14,15, 16,16,17,17,17,18,19

- Өгөгдлийг тоолж, давтамжийг хүснэгтээр харуулна.

- Тухайн утгаас бага утгатай давтамжуудын нийлбэрийг олно.

Үйл ажиллагаа 2. Хуримтлагдсан давтамжийн хүснэгт

хэрэглэн график байгуулах Жишээ 7.

Математикийн олимпиадад оролцсон 10 оролцогчийн онооны дүнг давтамжийн хүснэгтээр харуулав.

Оноо 0 2 4 6 8 10

Давтамж 1 0 1 2 2 4

Хур.давтамж

Хуримтлагдсан давтамжаас нийлбэр дүнг олох, графикаас хуримтлагдсан давтамж олоход анхаарна. Хуримтлагдсан давтамжийн график байгуулах дадлага ажил хийх явцад квартилийн тусламжтай дүгнэлт хийх санааг ойлгуулах, медианыг олох нь чухал. Багшийн анхаарах зүйл. 9 дүгээр ангид судалсан

хуримтлагдсан давтамжийн график байгуулах ойлголтыг гүнзгийрүүлэн, график байгуулах, график ашиглан медианыг олох, тайлбарлах, хоёр түүврийг харьцуулах чадвар эзэмшүүлнэ.


10.13д. Квартил, квартил хоорондын

Үйл ажиллагаа 1.Өгөгдлийн медианыг олох аргыг сэргээн санах Медиан гэж юу вэ? гэсэн асуултыг сурагчдаас асуух.

Статистикийн арга зүйн гарын авлага

47

далайцыг үнэлэх, тайлбарлах

Медиан гэдгийн гол санаа нь юмыг тэнцүү хэсэгт хуваах юм. Жишээ 6. Компанийн ажилтнууд 500, 600, 620, 625, 700,

850, 920 мянга, ,захирал 4 сая төгрөгийн цалинтай байв. Хэрэв энэ компанид ажилд орвол дунджаар хэдэн төгрөгийн цалин авахыг тооцоорой.

- Өгөгдлийн арифметик дунджийг олно. - Медианыг олно. - Доод хагас өгөгдлийн медианыг олно. - Дээд хагас өгөгдлийн медианыг олно, эдгээрийг

харьцуулан аль нь хамгийн тохиромжтой дундаж болох талаар дүгнэлт гаргана.

Үйл ажиллагаа 2. Өгөгдлийн дээд болон доод квартил,

квартил хоорондын далйацыг олох, тэмдэглэх

Доод хагас өгөгдлийн медианыг доод квартил гээд 𝑄1-ээр тэмдэглэнэ.

Дээд хагас өгөгдлийн медианыг дээд квартил гээд 𝑄3 аар тэмдэглэнэ. Квартил гэдэг нь дөрвөн тэнцүү хэсэг хуваах гэсэн утгатай. Иймд эрэмбэлэгдсэн өгөгдлийн хувьд дөрвөн тэнцүү хэсэг хувааж доод, дунд, дээд хэсгүүдийг харгалзах квартилууд гэдэг. Мөн томьёогоор хэрхэн олохыг мэднэ. Квартил хоорондын далайц нь нийтлэгийг (олонхийг) төлөөлж чадах яг дунд нь байрлах хагас (буюу 50%) гэсэн үг болохыг тайлбарлана. Дээд квартил, доод квартилын зөрөөг квартил хоорондын далайц гэнэ.

𝑄3 −𝑄1 Жишээ 7.Дараах өгөгдлийн арифметик дундаж,медиан, моод, квартил, квартил хоорондын далайцыг олоорой. а.Хөл бөмбөгийн баг 15 удаа тоглож дараах оноог авчээ. 1,0,2,4,0,1,1,1,2,5,3,0,1,2,2 б.Хоёр шоог 20 удаа орхиход буусан нүднүүдийн нийлбэр өгөгдөв. 7,4,5,7,3,2,8,6,8,7,6,5,11,9,7,3,8,7,6,5 в.Сурагчдын ирцийн бүртгэлийн нэг сараар түүвэрлэн авчээ. 28,24,25,28,23,28,27,26,27,25,28,28,28,26,25,26,28,27,28,25,27,26 Жишээ 8. а.16,25,16,12,17,15,28,18,21,23 өгөгдлийн медианыг олоорой. б.6,2,2,3,3,6,3,5,6,2,3,1,4,5,1 өгөгдлийн квартилууд ба квартил хоорондын далайцыг олоорой. в.60 сурагчаас 30 даалгавартай шалгалт авсан дүнг бүлэглэсэн хэлбэрээр өгчээ.

Бод лого

0-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Сурагч 6 3 1 24 17 9

Моод бүлгийг олоорой. 10-аас олонгүй бодлого бодсон сурагчийн тоо хэд вэ? Багшийн анхаарах зүйл. Сурагчдад сонирхолтой сэдвийг сонгон авч, ажиллуулах нь чухал. Мөн персентил гэдэг нь юмыг 100 тэнцүү хэсэг хуваана гэсэн үг. Өмнөх ангид судалсан мэдлэг, чадварыг бататгаж, сурагчдын мэдлэгийг гүнзгийрүүлэн хөгжүүлнэ.


10.13е*.

Хуримтлагдсан давтамжийн график

Ахуй амьдралын жишээн дээр суурилсан сурагчдад сонирхолтой харьцуулж, дүгнэлт гаргах боломжтой хоёр түүврийн жишээнүүдийг олж, сурагчдаар ажиллуулна.

Статистикийн арга зүйн гарын авлага

48

ашиглан хоёр түүврийг харьцуулах

Багшийн анхаарах зүйл.Ижил тооны өгөгдөлтэй хоёр түүврийн медиан,квартилуудыг олуулах замаар харьцуулалт хийх хэрэгтэй. Багшийн ном X-XII 25 дугаар хуудас


XIV БҮЛЭГ. КОМБИНАТОРИК

Хүрэх үр дүн. Факториалыг мэдэх, томъёогоор олох, сэлгэмэл болон хэсэглэлийн тоог томъёо хэрэглэн тооцоолох чадвартай болно.



10.14а*.

Факториалын томъёог хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Ялгаатай зүйлийг нэг эгнээнд

жагсаан байрлуулах боломжийг тооцоолох Жишээ 1. Боломжийн тоог ол.

а.Ялгаатай 4 номыг нэг эгнээнд хичнээн янзаар байрлуулах вэ? б.Ангийн 5 сурагчийг нэг эгнээнд хэдэн янзаар жагсааж болох вэ? Гэх мэт төрөл бүрийн даалгавар өгнө. Үйл ажиллагаа 2. n ширхэг ялгаатай зүйлийг нэг эгнээнд жагсаан байрлуулах боломжийг үржвэрийн зарчмаар олох, тэмдэглэх, хэрэглэх

n∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ (𝑛 − 3) ∙….∙ 2 ∙ 1 =n! Жишээ 2. Тооцоолж ол.

а.12!

10!= б.

25!

10∙24!= в.

6!+4!

3!=

г.𝑛!

(𝑛+1)!= д.

(𝑛−2)!

(𝑛−4)!=


10.14б*. Сэлгэмэл, хэсэглэлийг ойлгох, томъёо хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Ялгаатай зүйлээс сонгон авч нэг эгнээнд жагсаан байрлуулах боломжийг тооцоолох Жишээ 3. Боломжийн тоог ол. а.Ялгаатай 5 номноос гурван ном сонгон авч тавиур дээр өрөх боломжийг олоорой. б. Ялгаатай 5 номноос гурван ном сонгох боломжийг олоорой. Үйл ажиллагаа 2. n ширхэг ялгаатай зүйлээс m

ширхэгийг сонгож нэг эгнээнд жагсаан байрлуулах Боломжийн тоог үржвэрийн зарчмаар олж, факториалын тэмдэг хэрэглэн бичиж, уншина.

𝐴𝑛𝑚 =

𝑛!

(𝑛 − 𝑚)!

Үйл ажиллагаа 3. Сэлгэмлийн тоог томъёо хэрэглэн тооцоолох Жишээ 4. Тооцоолж ол. а.7 өөр цэцэгнээс 5 цэцгийг сонгон авч хэдэн янзаар байрлуулах вэ? б.6 номноос 4 ийг сонгон авч тавиур дээр хичнээн янзаар өрөх вэ? Үйл ажиллагаа 4. Хэсэглэлийг мэдэх, хэсэглэлийн тоог

олох

𝐶𝑛𝑚 =

𝑛!

𝑚! ∙ (𝑛 − 𝑚)!

Жишээ 5. Тооцоолж ол. а.10 сурагчаас 3 сурагчтай багийг хэдэн янзаар сонгох вэ? б.6 цэрэг, 3 офицероос 1 офицер, 2 цэрэгтэй харуулын багийг хэдэн янзаар сонгох вэ? в.Сургуулийн математикийн 8, физикийн 4, монгол хэлний 10 багшаас нэг ангид орох математикийн , физикийн , монгол хэлний багшийг хэдэн янзаар сонгох вэ? г.Гүдгэр 20 өнцөгт хичнээн диагональтай вэ?


49

XV БҮЛЭГ.МАГАДЛАЛ

Хүрэх үр дүн. Нийцтэй ба нийцгүй, хамаарах болон үл хамаарах үзэгдлүүдийг мэдэх, магадлалын нийлбэрийн болон үржвэрийн дүрмийг хэрэглэн төрөл бүрийн бодлого бодох чадвартай болно.



10.15а.

Нийцтэй ба нийцгүй үзэгдлүүдийн ялгааг мэдэх, нийцгүй үзэгдлүүдийн магадлалыг нийлбэрийн

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) томьёо хэрэглэн олох, нийцтэй үзэгдлийн магадлалыг 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) −𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) томьёо хэрэглэн олох

Үйл ажиллагаа 1.Нийцтэй болон нийцгүй үзэгдлийг

туршилт хэрэглэн тайлбарлах Жишээ 1. Шоо орхих туршилтын хувьд:

а. Тэгш тоогоор буух б. Сондгой тоогоор буух в. Анхны тоогоор буух г. Гуравт хуваагдах тоогоор буух үзэгдлүүд нийцтэй эсэхийг тогтоо. Үйл ажиллагаа 2. Нийцгүй болон нийцтэй үзэгдлийн

магадлалын нийлбэрийн дүрмийг мэдэх, хэрэглэх

а. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) б. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) Жишээ 2. а.Шоог нэг удаа орхиход тэгш тоотой нүдээр буух ба анхны тоотой нүдээр буух үзэгдлүүд нийцтэй юу? Эдгээр үзэгдлийн ядаж нэг нь илрэх магадлалыг олоорой. б.Анги 25 сурагчтай бөгөөд 15 сурагч сагсан бөмбөг, 12 сурагч хөл бөмбөг сонирхдог байв. Хэрэв эдгээр спортоос өөр спорт сонирхдог 5 сурагч байсан бол таамгаар сонгосон нэг сурагч энэ спортыг хоёуланг нь сонирхдог байх үзэгдлийн магадлалыг олоорой. Багшийн анхаарах зүйл. Өмнөх ангиудад судалсан үл хамаарах, нийцтэй, нийцгүй үзэгдлүүдийн ялгааг ойлгох, хэрэглэх, хамаарах үзэгдлийн магадлалыг томьёогоор олох чадвар эзэмшүүлнэ.

10.15б.

Нийлмэл үзэгдлийн магадлалыг тооцоолоход модны схем, үр дүнгийн хүснэгт,Эйлер-Веннийн диаграмм хэрэглэх

Үйл ажиллагаа 1. Зоос ба шоог зэрэг орхисон туршилт

дээр хамаарах болон үл хамаарах үзэгдлийг тайлбарлах Нэг үзэгдэл явагдах нь нөгөө үзэгдэл явагдахад нөлөөлөхгүй бол А ба В үзэгдлийг хамааралгүй (үл хамаарах) үзэгдэл гэнэ. Жишээ 3. Бат байг онох магадлал 0.2 байв. Тэр 3 сум харвахад: а. Эхний харвалтаар оносон бусдад нь алдсан байх б. Эхний хоёр харвалтаар оносон бусдад нь алдсан байх в. Яг нэг оносон байх үзэгдлүүд үл хамаарах үзэгдлүүд гэдгийг харуулж, тайлбарла. Жишээ 4. Хайрцагт 4 цагаан, 6 хар бөмбөг байв. Түүнээс дараалан 4 бөмбөг авахад эхний гурав нь цагаан, сүүлийнх нь хар байх үзэгдлүүд хамаарах үзэгдлүүд болно. Үйл ажиллагаа 2. Үл хамаарах үзэгдлийн магадлалын үржвэрийн дүрмийг мэдэх, хэрэглэх

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶) Жишээ 5. Хайрцагт 4 цагаан, 6 хар бөмбөг байв. Түүнээс 2 бөмбөг дараалан авахад:

а.хоёулаа цагаан б.хоёулаа хар в.хоёулаа ялгаатай өнгөтэй байх үзэгдлүүдийн магадлалыг ол.

Үйл ажиллагаа 3. Нэг шоог хоёр удаа орхиход эсвэл ялгаатай хоёр шоог нэг удаа орхиход илрэх эгэл үзэгдлүүдээр нийлмэл үзэгдлийг мэдэх Жишээ 6.

50

а.Нэг зоосыг хоёр удаа орхиход эсвэл ялгаатай хоёр зоосыг нэг удаа орхиход илрэх үзэгдлүүд:. ТТ, ТС, СТ, СС

б.Зоос, шоо хоёрыг зэрэг орхих

в.Пирамид, шоо хоёрыг орхих Үйл ажиллагаа 4. Нийлмэл үзэгдлийн магадлалыг доорх

хүснэгт ашиглан олох Жишээ 7.

Орой тус бүр дээр 1, 2, 3, 4 тоотой зөв гурвалжин пирамид, шоо хоёрыг нэгэн зэрэг орхиход илрэх эгэл үзэгдлүүдийг хүснэгтээр харуулбал:

1 2 3 4 5 6

1 11 21 31 41 51 61

2 12 22 32 42 52 62

3 13 23 33 43 53 63

4 14 24 34 44 54 64

Энэ хүснэгтийг ашиглаад магадлалыг олж болох олон бодлогыг сурагчдаар зохиолгож бодуулна. Үйл ажиллагаа 5. Модны схем ашиглан нийлмэл үзэгдлийн магадлалыг олох. Жишээ 8. Ойрын өдрүүдэд салхитай байх магадлал 1/3, тундастай байх магадлал 1/10, дулаан байх магадлал 1/6, нартай байх магадлал 2/5 бол маргааш салхигүй, тунадасгүй, нарлаг, дулаан өдөр болох магадлалыг олоорой. Харгалзах “мод”-ны бидэнд хэрэгцээтэй хэсгийг зурвал

Схемээс маргааш салхигүй, тунадасгүй, нарлаг, дулаан өдөр болох магадлал нь зурагт харуулсан улаан зураасын дагуу тааралдах магадлалуудын үржвэртэй тэнцүү

2 9 2 1 13 10 5 6 25 байна.

Багшийн анхаарах зүйл. 9 дүгээр ангид судалсан үл хамаарах үзэгдлийн (огтлолцол нь хоосон) магадлалыг модны схемээр олох чадварыг бататгаад хамаарах үзэгдлийн магадлал олох чадварыг эзэмшүүлнэ. Эгэл үзэгдлүүд адил боломжтой байгаа тохиолдолд магадлалыг олоход боломжийн хүснэгт ашиглах нь тохиромжтой. Харин эгэл үзэгдэл тус бүрийн магадлалууд ялгаатай (адил байсан ч болно) үед модны схемийг ашиглах нь тохиромжтой юм гэсэн дүгнэлтэд хүргэнэ

салхитай

салхигүй

1/3

2/3 тунадастай

тунадасгүй

1/10

9/10 нартай

бүрхэг

2/5

3/5

дулаан

сэрүүн

1/6

5/6

Documents

ЕРӨНХИЙ БОЛОВСРОЛЫН СУРГУУЛИЙН X …œАТЕМАТИК...7 бичигдсэн тоон дээр үйлдэл гүйцэтгэх Үйл тоонуудыг