Embed Size (px)
Citation preview
Основы математического анализаЛектор — Александр Петрович Ульянов
1-й семестр
Неформальное введение в анализ
Предпосылки возникновения математического анализа. Операциинад функциями. Элементарные функции. Правила дифференцирова-ния. Производные основных элементарных функций. Исследованиефункций и построение графиков.
Таблица простейших интегралов. Начальные приёмы интегриро-вания. Интегрирование как способ введения новых функций. Постро-ение трансцендентных элементарных функций.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.Комплексные числа. Комплексная экспонента, формула Эйлера. Диф-ференциальные уравнения свободных колебаний. Характеристиче-ское уравнение, общее решение. Начальные условия, частное решение.
Приближение функций полиномами Тейлора.
Фундамент классического анализа
Логическая символика: высказывания, связки, кванторы.Основные понятия и обозначения теории множеств. Операции с
множествами. Отображения, образы и прообразы, композиция. Отно-шения: эквивалентность, порядок.
Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.Биномиальная теорема. Принцип математической индукции.
Полнота множества вещественных чисел. Десятичные дроби итеорема Дедекинда о сечении. Принцип вложенных отрезков. Ниж-ние и верхние грани числового множества. Ограниченные множества.Супремум и инфимум числового множества.
Предел числовой последовательности. Арифметические свойствапредела. Бесконечный предел последовательности. Порядковые свой-ства предела. Предел зажатой последовательности. Теорема Вейер-штрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности.Число e как предел последовательности. Фундаментальные последо-вательности и критерий Коши сходимости. Множество вещественныхчисел как пополнение множества рациональных чисел.
4
Подпоследовательности и частичные пределы. Верхний и нижнийпределы, их совпадение как критерий существования предела. Теоре-ма Больцано — Вейерштрасса о точке сгущения последовательности.Теорема Гейне — Бореля о покрытии отрезка интервалами.
Числовые ряды. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимыйпризнак сходимости. Теорема сравнения положительных рядов. При-знак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак Маклорена.Абсолютно сходящиеся и условно сходящиеся знакопеременные ряды.Признак Лейбница.
Предел функции и непрерывность
Определения предела функции. Бесконечные пределы и пределына бесконечности. Односторонние пределы. Арифметические и поряд-ковые свойства предела функции. Замена переменной в предельномпереходе.
Предел зажатой функции. Замечательные пределы. Односторон-ние пределы монотонной функции. Условие Коши и критерий Кошисуществования предела функции.
Определения непрерывности функции. Арифметические операциинад непрерывными функциями. Типы точек разрыва.
Непрерывность функции на отрезке. Теорема Больцано о проме-жуточных значениях. Теорема Вейерштрасса о максимуме и миниму-ме. Липшицевы функции. Равномерная непрерывность.
Бесконечно малые величины и o-символика. Бесконечно большиевеличины. Эквивалентные величины.
Дифференцируемые функции
Определение дифференцируемой функции. Непрерывность диф-ференцируемой функции. Доказательство правил дифференцирова-ния. Локальные экстремумы. Теорема Ферма о производной функциив точке локального экстремума. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа осреднем. Теорема Коши о среднем.
Участки монотонности функции и знак её производной. Достаточ-ные условия экстремума. Участки выпуклости функции и знак её вто-рой производной. Точки перегиба. Неравенство Иенсена.
5
Дифференциал функции. Инвариантность формы первого диффе-ренциала. Высшие дифференциалы. Доказательство формулы Тейло-ра. Оценка остатка в форме Лагранжа. Формула Тейлора через диф-ференциалы. Ряд Тейлора. Операции над асимптотическими разло-жениями.
Раскрытие неопределённостей. Правила Бернулли — Лопиталя.Интерполяция. Полином Лагранжа. Разностные отношения и по-
лином Ньютона.
Интегрирование по промежуткам
Первообразные и неопределённый интеграл. Площадь под графи-ком как первообразная. Определённый интеграл и формула Ньюто-на — Лейбница. Линейность, аддитивность и монотонность интегра-ла. Интегральная теорема о среднем. Взвешенное среднее. Геометри-ческие приложения интеграла: длина линии, площадь поверхности иобъём тела вращения.
Интегрирование по Риману. Суммы Дарбу. Интегрируемостьнепрерывной функции. Пример неинтегрируемой функции.
Интегрирование рациональных функций. Специальные иррацио-нальные и тригонометрические подстановки.
Определение и свойства несобственных интегралов. Признаки схо-димости: зажатость, критерий Коши. Интегрирование степенных осо-бенностей. Гамма-функция Эйлера. Бета-функция Эйлера.
Топология эвклидова пространства
Эвклидово пространство Rn. Неравенство Коши. Нормы, шарикии кубики. Предел и непрерывность функции многих переменных.
Внутренность, замыкание, граница множества в Rn. Открытые изамкнутые множества. Теорема о пересечениях и объединениях. Де-картово произведение открытых либо замкнутых множеств. Прообра-зы открытых и замкнутых множеств при непрерывном отображении.Множества, заданные неравенствами.
Ограниченные множества. Теорема Больцано — Вейерштрассаоб ограниченной последовательности в Rn. Компактные множества.Критерий компактности. Объединения и декартовы произведения.Теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функ-ции на компакте. Эквивалентность всех норм на Rn.
Линейно связные множества, их непрерывные образы.
6
Гладкие функции и отображения
Частные производные. Производная по направлению. Дифферен-цируемые функции нескольких переменных. Полный дифференциалфункции. Градиент функции нескольких переменных. Геометриче-ский смысл градиента. Теорема о среднем.
Гладкие функции. Дифференцируемость гладкой функции. Диф-ференцирование сложной функции. Инвариантность формы первогодифференциала. Дважды гладкие функции. Теорема о смешанныхчастных производных. Высшие производные и дифференциалы. Мно-гомерная формула Тейлора.
Локальные экстремумы функции нескольких переменных. Первоеи второе необходимые условия локального экстремума. Достаточноеусловие локального экстремума.
Гладкие отображения. Матрица Якоби, её поведение при компози-ции и обращении отображений. Гомеоморфизмы и диффеоморфизмы.Якобианы, их поведение при композиции и обращении отображений.Геометрический смысл якобиана.
Литература
1. Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления.2. Зельдович Я. Б., Высшая математика для начинающих и её прило-жения к физике.3. Зельдович Я. Б., Яглом И. М., Высшая математика для начинаю-щих физиков и техников.4. Смирнов В. И., Курс высшей математики.5. Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального ис-числения.6. Фихтенгольц Г. М., Основы математического анализа.7. Кудрявцев Л. Д., Курс математического анализа.8. Босс В., Лекции по математике. Анализ.9. Демидович Б. П., Сборник задач и упражнений по математическо-му анализу.10. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И.,Сборник задач по математическому анализу.
7
Задания по основам математического анализа
Свежие задания доступны в электронном виде на сайте лектораhttp://www.phys.nsu.ru/ulyanov/omatan.html
Задание 1
1. Построить график функции y = 3x+22x−3 .
2. Построить график функции y = 6 cos 2x+ 8 sin 2x.
3. Найти производную функции ln tg x.
4. Найти производную функции x arcsinx+√
1− x2.
5. Вычислить значение ∫ 1
−1
||1 + 2x| − |1− 2x|| dx.
6. Найти ∫dx
x lnx.
7. Найти ∫arccosx dx.
8. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бакнепрерывно подаётся вода — 5 л в минуту — и смесь вытекает с тойже скоростью. Сколько будет соли в баке через час?
9. Найти решение дифференциального уравнения y′′ + 2y′ + 5y = 0,удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0, y′(0) = 1.
10. Разложить функцию f(x) = xex−1 по степеням x до x4 включительно.
11. Найти sin 1◦ с точностью до 10−9.
12. Доказать, что для любых множеств A и B существует единственноерешение X уравнения
(A ∪X) \ (A ∩X) = B.
Найти формулу, явно выражающую X через A и B.
8
13. Методом математической индукции доказать равенство
13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 = (1 + 2 + 3 + · · ·+ n)2
для всякого положительного целого числа n.
14. Доказать равенство с биномиальными коэффициентами:
∑06k6n
(n
k
)2
=(
2nn
).
Задание 2
1. Доказать, что сходящаяся числовая последовательность ограниче-на и достигает либо своей точной верхней грани, либо своей точнойнижней грани, либо и той, и другой. Привести примеры последова-тельностей всех трёх типов.
2. Доказать, что limn→∞
n4qn = 0 при |q| < 1.
3. Доказать, что limn→∞
n√xn + yn = max{x, y}.
4. Известно, что последовательность yn =(1 + 1
n
)n+1 убывает. Найтиеё предел и доказать неравенство
1n+ 1
< ln(n+ 1)− lnn <1n.
5. Доказать, что последовательность гармонических чисел
hn = 1 +12
+13
+ · · ·+ 1n
расходится, а последовательность cn = hn − lnn сходится.
6. Найти все частичные пределы, а также верхний и нижний пределыпоследовательности
xn =n− 1n+ 1
cos2πn3.
9
7. Сформулировать неравенствами два случая предела функции по Ко-ши и отрицание ещё одного, на выбор преподавателя из 15 случаев,получающихся из пяти вариантов стремления x → x0, x → x0 + 0,x → x0 − 0, x → +∞, x → −∞, и трёх вариантов стремленияf(x) → a, f(x) → +∞, f(x) → −∞.
8. Доказать, что при x → 0 функция f(x) = 1x cos 1
x не ограничена, ноне бесконечно большая.
9. Найти limx→π
sinmxsinnx
для целых чисел m и n > 0.
10. Найти limx→0
(1 + αx)β − (1 + βx)α
x2.
11. Найти все асимптоты функции f(x) =x2 − |x|x+ 1
.
12. Построить эскиз графика функции Римана
f(x) =
{1n , если x = m
n , причём m и n взаимно просты,0, если x иррационально.
Доказать, что f(x) разрывна при каждом рациональном x и непре-рывна при каждом иррациональном x.
Задание 3
1. Установить, сходится ли ряд ∑n>1
n!nn.
2. Установить, сходится ли ряд ∑n>1
e−√
n.
3. Найти уравнения касательной и нормали в произвольной точке t = τк циклоиде, заданной параметрически:{
x(t) = t− sin t,y(t) = 1− cos t.
10
4. Доказать неравенство
b− a
b< ln
b
a<b− a
a
для всех a > 0 и b > a.
5. Исследовать функцию
f(x) =x2 − 3x+ 2x2 + 2x+ 1
и построить её график, указав характерные точки и промежутки.Преподаватель может заменить функцию на аналогичную.
6. Исследовать функцию
f(x) = arctg1 + x
1− x
и построить её график, указав характерные точки и промежутки.
7. Доказать неравенство
x lnx+ y ln y + z ln zx+ y + z
> lnx+ y + z
3
для всех x, y, z > 0.
8. Найти производную порядка n от функции f(x) = e−x sinx. Препо-даватель может заменить функцию на аналогичную.
9. Функция f(x) дифференцируема везде достаточное число раз. Вы-разить с помощью её производных и явных функций от x высшиедифференциалы d2y, d3y от y = f(lnx). Видна ли формула для dny?
10. Найти такие числа a, b, что
ctg x =1x· 1 + ax2
1 + bx2+O(x5) при x→ 0.
11. Найти предел
limx→∞
x2 + 1x
(1− x2 + 1
xlnx2 + x+ 1x2 + 1
).
11
12. Найти предел функции (tg x)tg 2x при x→ π4 .
Задание 4
1. Разлагая рациональную функцию в сумму простейших дробей, найтиинтеграл ∫
x2 + 5x+ 4x4 + 5x2 + 4
dx.
Преподаватель может заменить функцию на аналогичную.
2. Найти интеграл ∫dx
3√
tg x,
подходящей заменой сводя его к интегралу от рациональной функ-ции.
3. Найти длину астроиды, задаваемой в декартовых координатах урав-нением x2/3 + y2/3 = 1.
4. Найти объём и площадь поверхности тора, полученного вращениемдиска (x− 3)2 + (y + 4)2 6 4 вокруг оси абсцисс.
5. Стержень, плотность которого монотонно изменяется вдоль его дли-ны, распилили прямо по центру тяжести. Доказать, что короткая егочасть массивнее длинной.
6. Вычислить значение несобственного интеграла∫ β
α
dx√(β − x)(x− α)
.
7. Выяснить, при каких значениях параметров p и q сходится несоб-ственный интеграл ∫ ∞
0
dx
xp + xq.
Ответ нарисовать на плоскости с декартовыми координатами p и q.
12
8. Определить область существования интеграла∫ 1
0
lnγ(1/x) dx
и выразить его через гамма-функцию.
9. Определить область существования интеграла∫ π/2
0
sinα x cosβ x dx
и выразить его через гамма-функцию.
Задание 5
1. Выяснить, при каких значениях положительных параметров a и bпересечение множеств{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣∣ x2
4+y2
96 1}
и{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣∣ x2
a2+y2
b2< 1}
на плоскости открыто, замкнуто, компактно, связно. Для случаев от-крытого и замкнутого ответ нарисовать на плоскости с декартовымикоординатами a и b.
2. Показать, что для функции f(x, y) = x−yx+y имеем
limx→0
limy→0
f(x, y) = 1, limy→0
limx→0
f(x, y) = −1,
а предел f(x, y) в точке (0, 0) не существует.
3. Показать, что функция f(x, y) =√|xy| в точке (0, 0) непрерывна,
имеет обе частные производные, но не является дифференцируемой.
4. Найти производную функции z = x2 − xy + y2 в точке M(1, 1) внаправлении, составляющем угол α с положительным направлениемоси Ox.
5. Доказать, что два семейства гипербол x2− y2 = a и xy = b образуютна плоскости ортогональную сеть в том смысле, что гиперболы изразных семейств пересекаются под прямым углом.
13
6. На эллипсоидеx2
a2+y2
b2+z2
c2= 1
найти все точки, в которых нормаль к поверхности образует равныеуглы с осями координат. Записать уравнения касательных плоско-стей к эллипсоиду в этих точках.
7. Найти y′ и y′′ для функции y(x), заданной условием
ln√x2 + y2 = arctg
y
x.
8. Даны две дважды гладкие функции ϕ(x) и ψ(x). Доказать, что дляc = const функция u(x, t) = ϕ(x− ct) + ψ(x+ ct) является решениемодномерного волнового уравнения
∂2u
∂t2= c2
∂2u
∂x2.
9. Оператор Лапласа ∆ переводит каждую дважды гладкую функциюu(x, y, z) в новую функцию
∆u =∂2u
∂x2+∂2u
∂y2+∂2u
∂z2.
Найти все сферически симметричные функции u = f(r), где r =√x2 + y2 + z2, удовлетворяющие уравнению Лапласа ∆u = 0.
10. Найти второй дифференциал d2r функции r =√x2 + y2 + z2 и опре-
делить, в каких точках пространства R3 он является положительноопределённой квадратичной формой.
11. Найти все локальные экстремумы функции
u(x, y) = 2x4 + y4 − x2 − 2y2.
Программу и заданияпо основам математического анализасоставил доцент А.П. Ульянов, Ph.D.
14
Основы математического анализаЛектор — Александр Петрович Ульянов
2-й семестр
Неявные функции и гладкие многообразия
Способы задания фигур уравнениями. Теорема о неявной функ-ции: одна функция, две функции, несколько функций. Теорема обобратном отображении. Дифференцирование неявных функций.
Гладкие линии, поверхности и многообразия в Rn. Касательноепространство гладкого многообразия. Условные экстремумы функциина гладком многообразии и методы их поиска: исключение дифферен-циалов, множители Лагранжа.
Интегрирование в Rn
Геометрическая и механическая мотивация понятия интеграла:вычисление объёмов, масс, моментов. Основные свойства интеграла.Элементы объёма в важнейших системах координат.
Суммы Дарбу и определение двойного интеграла Римана. МераЖордана. Интегрирование почти непрерывных функций на измери-мом компакте. Доказательство основных свойств двойного интеграла.Сведение двойного интеграла к повторному. Формула замены пере-менных в двойном интеграле.
Определение тройного интеграла. Сведение тройного интеграла кповторному. Многократные интегралы. Вычисление некоторых мно-гомерных объёмов: симплекс, шар, сфера, конус.
Зависимость интеграла от параметра: непрерывность, дифферен-цирование, формула Лейбница. Вычисление интеграла Дирихле.
Несобственные кратные интегралы. Связь между бета-функциейи гамма-функцией. Вычисление многомерного интеграла Эйлера —Пуассона. Объём шара и площадь сферы в Rn. Многомерные степен-ные особенности.
Криволинейные интегралы первого рода. Спрямление линии. При-мер неспрямляемой линии. Поверхностные интегралы первого рода.Сапог Шварца.
15
Векторный анализ на плоскости
Векторные поля: простейшие примеры, операции. Силовое полепротяжённого источника.
Криволинейные интегралы второго рода. Работа и поток плоскоговекторного поля. Выражение площади плоской области криволиней-ным интегралом. Формула Грина. Доказательство формулы заменыпеременных в двойном интеграле.
Потенциальные поля и формула Ньютона — Лейбница. Точные изамкнутые формы. Стягиваемые и односвязные области. Необходимоеи достаточное условия потенциальности.
Приложения формулы Грина: приращение угла и интеграл Гаус-са; циркуляция поля вокруг дыр и периоды; потенциал скорости ифункция тока.
Векторный анализ в пространстве
Ориентирование множеств в пространстве. Работа векторного по-ля вдоль линии и его поток через поверхность. Форма работы поля,форма потока поля и форма объёма.
Дивергенция векторного поля, её выражение в декартовых коор-динатах. Формула Остроградского — Гаусса. Электростатическая тео-рема Гаусса. Ротор векторного поля, его выражение в декартовых ко-ординатах. Формула Стокса. Трубки тока и вихревые трубки. Роторградиента и дивергенция ротора. Оператор Гамильтона. Оператор Ла-пласа и классические уравнения математической физики.
Ортогональные криволинейные координаты. Параметры Ламе.Выражение градиента, дивергенции, ротора и лапласиана в ортого-нальных координатах.
Потенциальные и безвихревые векторные поля. Скалярный потен-циал. Соленоидальные и бездивергентные векторные поля. Вектор-ный потенциал. Разложение Гельмгольца.
Дифференциальные формы.
Функциональные последовательности и ряды
Равномерная сходимость последовательности функций, равномер-ная норма, критерий Коши. Непрерывность предельной функции. Ин-тегрирование и дифференцирование предельной функции.
16
Равномерная сходимость функционального ряда. Мажорантныйпризнак Вейерштрасса. Приближение непрерывных функций поли-номами. Примеры нигде не дифференцируемых функций.
Комплексные степенные ряды и первая теорема Абеля. Равномер-ная сходимость внутри круга. Формулы для радиуса сходимости сте-пенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенного ря-да. Вторая теорема Абеля. Признаки сходимости Дирихле и Абеля:для числовых рядов, для функциональных рядов, для несобственныхинтегралов.
Ортогональные ряды.
Обзор теории Лебега
Элементарные и измеримые множества по Лебегу. Некоторыесвойства меры Лебега. Пренебрежимые множества. Измеримые функ-ции. Теоремы Егорова и Лузина.
Построение интеграла Лебега. Основные свойства интеграла Лебе-га. Канторово множество и канторова лестница. Абсолютная непре-рывность интеграла Лебега и формула Ньютона — Лейбница. Теоре-мы Лебега о сходимости и зависимость интеграла от параметра.
Функциональные пространства Лебега.
Литература
1. Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления.2. Зельдович Я. Б., Высшая математика для начинающих и её прило-жения к физике.3. Зельдович Я. Б., Яглом И. М., Высшая математика для начинаю-щих физиков и техников.4. Смирнов В. И., Курс высшей математики.5. Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального ис-числения.6. Фихтенгольц Г. М., Основы математического анализа.7. Кудрявцев Л. Д., Курс математического анализа.8. Босс В., Лекции по математике. Анализ.9. Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисле-ния.
17
10. Романовский П. И., Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические испециальные функции. Преобразование Лапласа.11. Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д., Элементы прикладной матема-тики.12. Демидович Б. П., Сборник задач и упражнений по математиче-скому анализу.13. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И.,Сборник задач по математическому анализу.
Задания по основам математического анализа
Свежие задания доступны в электронном виде на сайте лектораhttp://www.phys.nsu.ru/ulyanov/omatan.html
Задание 6
1. Переменные связаны уравнением F (x, y, z) = c, где c — фиксиро-ванная постоянная, а F — гладкая функция, у которой все частныепроизводные первого порядка отличны от нуля. Доказать тождество
∂x
∂y· ∂y∂z
· ∂z∂x
= −1.
2. Найти производные первого и второго порядка гладких функций x(z)и y(z) в точке z = 2, если
2x2 + 2y2 = z2, x+ y + z = 2,
причём x(2) = −1 и y(2) = 1.
3. Для гладких функций u(x, y) и v(x, y) в точке x = 0, y = 0 выполненыусловия: u = 0, v = 0,
∂u
∂x= 1,
∂u
∂y= 2,
∂v
∂x= 3,
∂v
∂y= 4.
Доказать, что вблизи точки u = 0, v = 0 определены гладкие функ-ции x(u, v) и y(u, v), и найти их первые частные производные в этойточке.
18
4. На плоскости Oxy найти все точки, вблизи которых из уравнений
u = x+x
x2 + y2, v = y − y
x2 + y2
нельзя выразить x, y как гладкие функции от u и v.
5. Найти условие, при котором функция z(x, y) вблизи некоторой точкиопределяется уравнением F (x+z, y+z) = 0. Выразить dz и d2z черезdx, dy и частные производные данной дважды гладкой функции F .
6. Найти ∂z∂x и ∂z
∂y в точке, соответствующей u = 1 и v = 0, если
x = u− v2, y = u2 + uv + v, z = 2v + lnu.
7. Преобразовать уравнение
y∂2z
∂y2+ 2
∂z
∂y=
2x,
принимая за новые переменные u = x и v = x/y, а за новую функциюw = xz − y.
8. Доказать, что уравнения
x2 − y2 − z2 − 1 = 0, x2 + z2 − u2 + 9 = 0
определяют гладкое двумерное многообразие в четырёхмерном про-странстве. Найти на нём точки экстремума функции u− x. Описатькасательные плоскости к многообразию в этих точках.
9. Выяснить, какие точки поверхности
x2 + 2y2 + 4z2 − 8z − 4 = 0
наиболее удалены от точки (0, 0, 4) и на какое расстояние.
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+2y2−6xна круге x2 + y2 6 25.
11. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле∫ 1
−1
dx
∫ 1−x2
−√
1−x2f(x, y) dy.
19
12. Вычислить повторный интеграл∫ 0
a
dϕ
∫ ϕ
0
ρ dρ
двумя способами: напрямую и поменяв порядок интегрирования,подразумевая, что (ρ, ϕ) это полярные координаты. Нарисовать об-ласть интегрирования.
Задание 7
1. В единичном круге наугад выбрана точка. Найти вероятность, чтоона окажется внутри цветочка, ограниченного линией ρ = |cos 3ϕ|.
2. Найти момент инерции относительно оси Oy однородной пластиныединичной плотности, ограниченной линиями
xy = 1/2, xy = 2, y = x/2, y = 2x.
3. Вычислить тройной интеграл∫∫∫T
√1− x2
a2− y2
b2− z2
c2dx dy dz
по всей области определения подынтегральной функции.
4. Пара длинных круговых цилиндров диаметра 1 касаются вдоль об-разующих, проходящих через центр единичного шара. Найти объёмчасти шара, находящейся снаружи цилиндров.
5. Вычислить моменты инерции относительно координатных осей од-нородного тела единичной плотности, ограниченного поверхностью(x2 + y2 + z2)3 = z.
6. Вывести формулу∫∫∫T
xa−1yb−1zc−1 dx dy dz =Γ(a)Γ(b)Γ(c)
Γ(a+ b+ c+ 1),
где T есть симплекс
x > 0, y > 0, z > 0, x+ y + z 6 1.
20
7. Найти объём n-мерного конуса
x21 + x2
2 + · · ·+ x2n−1 6 x2
n, 0 6 xn 6 1.
8. Вычислить интеграл∫ π/2
0
ln(a2 cos2 x+ b2 sin2 x) dx,
применяя дифференцирование по параметру.
9. Вычислить несобственный интеграл∫ ∞
0
cos ax− cos bxx2
dx,
представив подынтегральную функцию в виде интеграла.
10. Исследовать сходимость двойного несобственного интеграла∫∫R2
sin(x2 + y2) dx dy.
11. Исследовать сходимость двойного несобственного интеграла∫ 1
0
∫ 1
0
dx dy
(x+ y)p.
12. Исследовать сходимость тройного несобственного интеграла∫∫∫D
dx dy dz
|x|a + |y|b + |z|c,
где D есть дополнение к единичному шару с центром в начале ко-ординат. Указание: обобщённая сферическая замена; однако прощепервой заменой привести знаменатель к u2 + v2 + w2, затем деталивторой, сферической замены окажутся несущественны.
Задание 8
1. Найти координаты центра масс однородной линии
x = e−t cos t, y = e−t sin t, z = e−t, 0 6 t <∞.
21
2. Найти момент инерции относительно оси Oz части однородного ги-перболического параболоида z = xy внутри цилиндра x2 + y2 = 1.
3. Описать векторные линии векторного поля r× (i + j + k).
4. Найти потенциал
U(r0) =∫∫
Σ
% dS
|r− r0|простого слоя, распределённого по сфере x2 + y2 + z2 = R2 с посто-янной плотностью %.
5. Окружность радиуса r катится без проскальзывания, касаясь изнут-ри неподвижной окружности радиуса nr, где число n целое. Тогдаотмеченная точка на подвижной окружности пробегает замкнутыйконтур γ. Найти площадь области, ограниченной γ.
6. Вычислить криволинейный интеграл∮γ
x dy + y dx
x2 + y2
по окружности (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1, пробегаемой против часовойстрелки.
7. Ограниченная плоская область D в первом квадранте x, y > 0 имееткусочно-гладкую границу. Доказать, что значение интеграла
2π∮
∂D
xy dy
равно объёму тела, образованного вращениемD вокруг одной из осейкоординат.
8. Функция u(x, y) гармонична на ограниченной плоской области D,включая границу. Найти поток градиента u через границу ∂D.
9. Вычислить криволинейный интеграл второго рода∫γ
x dx+ y dy + z dz√x2 + y2 + z2
по линии, концы которой находятся на расстояниях a и b от началакоординат.
22
10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода∮γ
y2 dx+ z2 dy + x2 dz
по линии пересечения полусферы x2 + y2 + z2 = 1, z > 0 и цилиндраx2 + y2 = x, пробегаемой против часовой стрелки, если смотреть изначала координат.
11. Найти поток векторного поля r через кусок |z| 6 a однополостногогиперболоида
x = chu cos v, y = chu sin v, z = shu.
12. Вычислить поверхностный интеграл второго рода∫∫Σ
dx ∧ dyz
по внешней стороне эллипсоидаx2
a2+y2
b2+z2
c2= 1.
Задание 9
1. Найти напряжённость электрического поля, создаваемого равномер-но заряженными: шаровым слоем a 6 r 6 b; бесконечной трубойa 6 ρ 6 b.
2. Найти поток поля f = xyz i + y2z j + yz2 k через часть сферы
x2 + y2 + z2 = R2, x > 0, y > 0, z > 0.
3. Найти циркуляцию поля f = zx i + xy j + yz k вдоль контура
γ = {y2 + z2 = 1, x+ y + z = 1}
по часовой стрелке при взгляде из начала координат.
4. Доказать, что всякое центральное поле потенциально, и найти егоскалярный потенциал. Описать бездивергентные центральные поля.
23
5. Даны скалярные поля u и v. Для поля ∇u×∇v найти дивергенциюи векторный потенциал.
6. Твёрдое тело вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью.Найти дивергенцию и ротор поля скоростей и поля ускорений.
7. Проверить, потенциально и/или соленоидально ли поле
(cosϕ)eρ − (sinϕ)eϕ + ez,
где координаты цилиндрические.
8. Преобразованием Кельвина функции u(x, y, z) называют функцию
v(x, y, z) =1ru( xr2,y
r2,z
r2
).
Докажите, что оно переводит каждую гармоническую функцию вгармоническую. Указание: используйте сферические координаты.
9. Доказать, что дзета-функция Римана
ζ(x) =∑n>1
n−x
непрерывна в области x > 1 и даже имеет на ней непрерывные про-изводные всех порядков.
10. Исследовать сходимость ряда∑n>1
sinnxnp
.
11. Определить область сходимости степенного ряда∑n>0
(n!)2
(2n)!zn.
12. Применяя дифференцирование, найти сумму степенного ряда∑n>0
x3n
(3n)!.
Программу и заданияпо основам математического анализасоставил доцент А.П. Ульянов, Ph.D.
24
Линейная алгебра и геометрияЛектор — Ирина Александровна Долгунцева
1-й семестр
1. Векторная алгебра
Вектор как направленный отрезок. Длина вектора. Нулевой век-тор. Точка приложения вектора. Равенство двух векторов.
Линейные операции над векторами: сложение векторов, умноже-ние на число. Свойства линейных операций.
Линейная комбинация векторов. Коллинеарные и компланарныевекторы. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова си-стема координат. Преобразование координат вектора. Матрицы, умно-жение матриц.
Скалярное произведение. Алгебраические свойства скалярного про-изведения. Ортонормированный базис, направляющие косинусы век-тора. Представление скалярного произведения в координатах. Выра-жение длины и угла между векторами через скалярное произведение.Проекция вектора на ось.
Ориентация прямой, плоскости, пространства. Площадь ориенти-рованного параллелограмма и объем ориентированного параллелепи-педа.
Смешанное произведение как объем ориентированного паралле-лепипеда. Алгебраические свойства. Связь скалярного и смешанногопроизведения. Векторное произведение двух векторов. Алгебраиче-ские свойства векторного произведения.
Определители второго и третьего порядков. Выражение векторно-го и смешанного произведений в координатах. Условия коллинеарно-сти (компланарности) векторов. Свойства ориентированного паралле-лограмма. Формула двойного векторного произведения.
2. Прямые и плоскости
Уравнения прямых и плоскостей. Направляющий вектор прямой,плоскости. Параметрические уравнения прямой и плоскости. Нормаль
25
к прямой, плоскости. Нормальные уравнения прямой и плоскости. Об-щее уравнение прямой, плоскости. Другие способы задания прямой иплоскости.
Расстояние от точки до прямой, плоскости. Расстояние между пря-мыми. Проекции и перпендикуляры. Взаимное расположение прямых,плоскостей.
3. Кривые второго порядка
Кривые второго порядка как конические сечения. Полярная систе-ма координат. Полярные уравнения кривых второго порядка: эллип-са, гиперболы, параболы. Фокусы и директрисы, эксцентриситет. Ка-нонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы. Исследованиеформы кривой: симметрии, вершины, полуоси, асимптоты. Фокаль-ные и оптические свойства.
Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение общего урав-нения кривой второго порядка к каноническому виду. Классы повер-хостей второго порядка.
4. Комплексные числа. Многочлены
Геометрическое определение комплексных чисел. Алгебраическаяи тригонометрическая форма записи комплексного числа. Алгебра-ические операции. Сопряжение. Комплексная экспонента и формулаЭйлера. Возведение в целую степень и формула Муавра. Тригономет-рические и гиперболические функции. Извлечение корня из комплекс-ного числа, корни из единицы.
Корни многочлена. Кратность корня. Существование комплексно-го корня многочлена (без доказательства). Алгоритм деления с остат-ком.
5. Системы линейных уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная формазаписи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные,определенные и неопределенные системы. Эквивалентные системы.Элементарные преобразования строк. Ступенчатый вид. Метод по-следовательного исключения неизвестных. Ранг матрицы. Критерийсовместности системы.
26
6. Линейные пространства
Линейные пространства строк и столбцов. Аксиомы линейного про-странства. Линейные комбинации, линейная оболочка. Линейная за-висимость, независимость. Свойства линейной зависимости. Базис ли-нейного пространства. Размерность линейного пространства. Коорди-наты вектора в некотором базисе. Матрица перехода от одного базисак другому. Ранг матрицы по строкам и по стобцам. Равенство столб-цового и строчного рангов матриц.
Однородные системы линейных уравнений. Пространство реше-ний. Неоднородная система линейных уравнений. Многообразие ре-шений. Критерий совместности системы линейных уравнений.
Пространство матриц. Матричные единицы. Транспонирование.Матрицы специального вида: скалярные, диагональные. Симметрич-ные и кососимметричные матрицы.
7. Определители
Геометрическая мотивировка. Подстановки и перестановки. Ин-версии, четность перестановки, подстановки. Комбинаторное опреде-ление определителя. Свойства определителей. Миноры и алгебраиче-ские дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу.Определитель (блочной) треугольной матрицы. Определитель произ-ведения матриц.
Полилинейность и кососимметричность определителя. Характери-зация его этими свойствами (без доказательства).
Критерий невырожденности матрицы. Обратная матрица. Форму-лы Крамера.
Ранг матрицы по минорам, эквивалентность с прежними опреде-лениями.
8. Квадратичные формы и поверхности второго порядка
Билинейные формы. Симметрические и кососимметрические фор-мы. Квадратичные формы. Поляризация. Матрица билинейной фор-мы. Закон изменения матрицы билинейной формы при смене базиса.Конгруэнтность матриц. Метод Лагранжа приведения квадратичнойформы к каноническому виду.
27
Нормальный вид квадратичных форм над C и R. Закон инерциидля вещественных квадратичных форм. Индексы инерции, сигнату-ра. Положительно и отрицательно определенные квадратичные фор-мы. Неотрицательно и неположительно полуопределенные квадратич-ные формы. Главные миноры. Метод Якоби определения сигнатурыформы. Положительно определенные квадратичные формы. Крите-рий Сильвестра.
Поверхности второго порядка: вид и канонические уравнения.
Литература
1. Ульянов А. П. Конспект лекций по алгебре и геометрии.2. Александрова Н. А. Семинары по высшей алгебре и аналитиче-
ской геометрии.3. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры.4. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгеб-
ра.5. Курош В. Г. Курс высшей алгебры.6. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры.7. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре.8. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.9. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.10. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия.11. Погорелов А. В. Аналитическая геометрия.12. Моденов П. С. Аналитическая геометрия.13. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия.14. Кострикин А. И. Сборник задач по алгебре.15. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.16. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей
алгебре.17. Бахвалов С. В., Моденов П. С., Пархоменко А. С. Сборник
задач по аналитической геометрии.18. Беклемишева Л. А., Петрович А. Ю., Чубаров И. А. Сборник
задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.
План семинаров
1. Матрицы, умножение матриц. Вычисление определителей вто-рого и третьего порядка. (1 час)
28
2. Векторная алгебра. (3 часа)3. Прямые и плоскости. (4 часа)4. Преобразование системы координат. (1 час)5. Кривые второго порядка. (2 часа)6. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к кано-
ническому виду. (2 часа)7. Комплексные числа. (2 часа)8. Многочлены и их корни. (2 часа)9. Системы линейных уравнений. Метод исключения неизвестных.
Ранг матрицы. (2 часа)10. Пространство решений, фундаментальные решения. Многооб-
разие решений. (2 часа)11. Обратная матрица. Матричное уравнение AX = B. (1 час)12. Свойства определителей. Методы вычисления определителей и
их приложения. (4 часа)13. Квадратичные формы. Метод Лагранжа. (2 часа)14. Вещественные квадратичные формы. (2 часа)15. Поверхности второго порядка. (2 часа)16. Контрольные работы, зачет. (2 часа)
Задания по линейной алгебреи геометрии
Задания, помеченные звездочкой, не являются обязательнымидля получения допуска к экзамену, однако приносят дополни-тельные баллы. Вычислительные задачи являются лишь об-разцами, в соответствии с ними преподаватели выдадут сту-дентам индивидуальные задания.
Задание 1 (сдать к 2 октября)
1. Вершины (непрямоугольного) треугольника ABC и точка H пе-ресечения его высот заданы радиус-векторами a, b, c и h. До-казать, что
h =a tgA+ b tgB + c tgC
tgA+ tgB + tgC.
29
2. Выразить площадь проекции параллелограмма на векторах v иw на плоскость с единичной нормалью n простейшим образомчерез данные векторы.
3. Для всех векторов ai, bi пространства R3 доказать тождество
(a1 × a2) · (b1 × b2) =∣∣∣∣ a1 · b1 a1 · b2
a2 · b1 a2 · b2
∣∣∣∣ .4. (a) Записать уравнение прямой, проходящей через точку с
радиус-вектором r0 и параллельной проекции вектора v наплоскость с единичной нормалью n.
(b) Задать эту прямую параметрически для конкретных векто-ров.
5. Точки A, B, C и D являются вершинами тетраэдра. Располо-жить семь плоскостей так, чтобы каждая из них была равно-удалена от всех четырех точек. Выбрав две такие плоскости,записать общее уравнение одной плоскости и параметрическоеуравнение другой.
6. (a) Записать векторную формулу для нахождения точки пере-сечения прямой r = r1 + ta и плоскости r = r2 + ub + vc.
(b) Найти эту точку для конкретных прямой и плоскости.
7. В пространстве даны прямые
x
1=y
a=z
1и
{x− ay + a− 1 = 0,x− z + a2 − 4a+ 3 = 0.
(a) Определить, при каких значениях параметра a эти прямыесовпадают, параллельны, пересекаются, скрещиваются.
(b) При a = 2 найти основания общего перпендикуляра к этимпрямым.
8. Доказать, что половина абсолютной величины числа∣∣∣∣∣∣x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1
∣∣∣∣∣∣равна площади треугольника с вершинами (xi, yi), i = 1, 2, 3.
30
9. Найти в векторной форме решение r системы трех уравнений
r · ai = ci, i = 1, 2, 3,
где ai некомпланарны.
10*. (Формула Родрига) Единичный вектор u ∈ R3 и число θ ∈ Rзадают поворот пространства на угол θ вокруг оси, проходящейчерез u. Доказать, что произвольный вектор v преобразуется ввектор
v cos θ + u(u · v)(1− cos θ)± u× v sin θ.
Знак выбирается согласно направлению поворота.
Задание 2 (сдать к 6 ноября)
1. Найти геометрическое место центров окружностей, проходящихчерез данную точку и касающихся: (a) данной прямой; (b) дан-ной окружности.
2. Эллипс, гипербола или парабола задана своим каноническимуравнением. Из точки (x0, y0) вне этой линии к ней проведеныдве касательные. Найти уравнение прямой, проходящей черезобе точки касания.
3. Доказать, что сумма обратных величин отрезков, на которыефокус данной параболы делит проходящую через него хорду,постоянна.
4. Найти формулы преобразования прямоугольных координат впространстве, если начала двух систем различны, а концы еди-ничных базисных векторов совпадают.
5. Найти канонические прямоугольные координаты, каноническоеуравнение, тип, фокусы, директрисы и асимптоты кривых вто-рого порядка:
(a) x2 − 4xy + 4y2 − 7x+ 9y + 16 = 0;
(b) x2 − 4xy + 4y2 − 5x+ 10y + 16 = 0;
(c) 2x2 + 3xy − 2y2 + 5y + 2 = 0;
(d) 2x2 + 3xy − 2y2 + 5y − 2 = 0.
31
6. Найти тригонометрическую форму записи чисел, где α ∈ R:
1 + i tgα1− i tgα
; (1 + cosα+ i sinα)27;
(1 + i
√3
1− i
)18
; 8
√1− i
i+√
3.
7. Используя комплексную экспоненту, выразить sin5 x через пер-вые степени синуса аргументов, кратных x.
8. Применяя комплексные числа, доказать равенство
∑16k6n
sin kx =sin nx
2 sin (n+1)x2
sin x2
при x 6= 2kπ, где k ∈ Z.
9. Доказать, что многочлен x3m + x3n+1 + x3p+2 делится на много-член x2 + x+ 1 при всех m,n, p ∈ Z>0.
10*. Комплексные переменные z и w связаны соотношением z+z−1 =2w. Определить, какую кривую пробегает w, когда z пробегает
(a) окружность {z | |z| = ρ};(b) луч {z | arg z = ϕ}.
Задание 3 (сдать к 4 декабря)
1. Доказать, что если матрицы A и B обе кососимметричные, тоих коммутатор [A,B] = AB−BA — кососимметричная матрица.
2. В зависимости от параметра λ решить систему уравненийλx1 + x2 + x3 = 3,x1 + λx2 + x3 = 3,x1 + x2 + λx3 = 3.
3. Приведением к ступенчатому виду решить систему линейныхуравнений
2x1 + 3x2 − 5x3 + 4x4 = 2,4x1 + 6x2 − 4x3 + 3x4 = 3,6x1 + 9x2 − 3x3 + 2x4 = 4;
7x1 − 4x2 + x3 + 3x4 = 5,5x1 + 7x2 − 4x3 − 6x4 = 3,3x1 − 5x2 + 2x3 + 4x4 = 2.
32
4. Найти какой-нибудь базис системы векторов {a1, . . . ,a5} и всеостальные векторы выразить через него для
a1 = [2,−1, 1, 0]>, a2 = [1, 2,−3, 1]>, a3 = [2, 5,−2, 6]>
a4 = [5,−2, 0, 3]>, a5 = [2,−3, 2, 2]>.
5. Найти систему линейных уравнений, решения которой — эле-менты линейного многообразия
{[0, 1, 2, 3]> + α[1, 0,−1, 2]> + β[3, 2, 1, 0]>}.
6. Найти обратные к матрицам1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1
,
2 −1 0 0−1 2 −1 0
0 −1 2 −10 0 −1 2
,
2 0 0 00 0 1 10 0 1 00 3 3 0
.7. Решить матричное уравнение 1 3 0
4 −3 33 −1 2
·X ·
0 0 10 1 01 0 0
=
7 5 77 11 17 9 3
.8. Найти значения m и k, при которых определитель det [aij ] со-
держит мономa47a63a1ka55a7ma24a31
со знаком минус.
9. Для всех ai, bi ∈ R3 доказать тождество
(a1,a2,a3) · (b1,b2,b3) =
∣∣∣∣∣∣a1 · b1 a1 · b2 a1 · b3
a2 · b1 a2 · b2 a2 · b3
a3 · b1 a3 · b2 a3 · b3
∣∣∣∣∣∣ .10*. Записать в виде определителя уравнение сферы, проходящей че-
рез точки (xi, yi, zi) для i = 1, 2, 3, 4. Указать, каким образом внем присутствует условие, что четыре данные точки не лежат водной плоскости.
33
Задание 4 (сдать к 30 декабря)
1. Вычислить определитель∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 −z −z . . . −zz 0 −z . . . −zz z 0 . . . −z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .z z z . . . 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
2. Вычислить определитель∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
z z 0 0 . . . 0z z z 0 . . . 00 z z z . . . 00 0 z z . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
3. Методом Лагранжа найти канонический вид квадратичных форм
(a) x21 − 2x2
2 + x23 − 4x1x2 + 8x1x3 − 4x2x3;
(b) x1x2 + x1x3 + x2x3.
4. Найти нормальный вид над R и сигнатуру квадратичных форм
(a) 3x21 − x2
3 + 6x1x2 − 2x1x3 + 2x2x3;
(b) x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4.
5. При каких значениях λ
(a) квадратичная форма 2x21 + x2
2 + 3x23 + 2λx1x2 + 2x1x3 поло-
жительно определена?
(b) квадратичная форма −x21 + λx2
2 − x23 + 4x1x2 + 8x2x3 отри-
цательно определена?
6. Найти число классов эквивалентности над C и над R квадратич-ных форм от n переменных.
7. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух дан-ных скрещивающихся прямых.
34
(a) Рассмотрите случай скрещивающихся прямых r(t) = (t, 0, 1)и r(t) = (0, t,−1).
(b) Рассмотрите общий случай, выбирая систему координат так,чтобы прямые располагались наиболее простым и симмет-ричным образом.
8*. Доказать, что плоскость, касательная к однополостному гипер-болоиду, пересекает его по двум прямым.
9*. Эллипсоид вращается вокруг своего центра так, что все времякасается неподвижной плоскости. Найти геометрическое местоточек касания на эллипсоиде.
10*. Найти условие, при котором среди плоских сечений конуса
x2
a2+y2
b2− z2
c2= 0
имеются равносторонние гиперболы.
Программу и заданияпо линейной алгебре и геометриисоставила к.ф.-м.н. И.А. Долгунцева
35
Линейная алгебра и геометрияЛектор — Ирина Александровна Долгунцева
2-й семестр
1. Линейные отображения
Линейные отображения пространства столбцов Rn, биекция с мат-рицами. Образы и прообразы подпространств. Ядро и образ линейно-го отображения, теорема о сумме их размерностей. Композиция ли-нейных отображений. Ассоциативность умножения матриц. Ранг про-изведения матриц.
Абстрактное линейное пространство. Подпространство линейногопространства. Сумма и пересечение подпространств. Формула размер-ностей Грассмана. Прямая сумма подпространств. Дополнение к под-пространству. Фактор-пространство.
Выбор базиса как изоморфизм между абстрактным линейным про-странством и координатным пространством. Матрица линейного отоб-ражения в базисах. Изменение матрицы линейного отображения присмене базисов. Элементарные матрицы и структура линейного отоб-ражения.
2. Линейные операторы
Пространство линейных операторов. Ранг и дефект линейного опе-ратора. Примеры линейных операторов: масштабирование, проекти-рование, дифференцирование.
Инвариантные подпространства. Разложение оператора в прямуюсумму. Диагонализируемые линейные операторы. Примеры недиаго-нализируемых линейных операторов.
Подобные матрицы. Характеристический многочлен матрицы. Соб-ственные векторы и собственные значения линейного оператора. Ха-рактеристический многочлен линейного оператора. Теорема Гамиль-тона-Кэли (без доказательства). Собственные и корневые подпростран-ства. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного зна-чения (корня). Спектр оператора. Прямая сумма собственных под-пространств. Критерий диагонализируемости линейного оператора.
36
3. Жорданова форма линейного оператора
Характеристический многочлен нильпотентного оператора. Разло-жение пространства в прямую сумму ядра и образа некоторой степенилинейного оператора. Свойства корневых подпространств. Корневоеразложение линейного оператора.
Ниль-цепи и жордановы таблицы. Линейная независимость жор-дановой системы. Отыскание жорданова базиса нильпотентного опе-ратора. Жорданова нормальная форма матрицы. Функции от матриц.Матричная экспонента.
4. Геометрия евклидовых пространств
Евклидово пространство Rn, стандартное скалярное произведениев нем. Ортогональные матрицы и ортогональные базисы. Метод ор-тогонализации. Диагонализация симметрической матрицы. QR-раз-ложение. Теорема Пифагора. Равенство Парсеваля. Неравенство Бес-селя. Ортогональное дополнение к подпространству.
Эрмитово пространство Cn, стандартное скалярное произведениев нем. Ортонормированные базисы и унитарные матрицы. ТеоремаШура. Эрмитовы и симметричные матрицы, спектральная теорема.Косоэрмитовы и унитарные матрицы, спектральная теорема для них.
Общее определение евклидова и эрмитова пространства. Стандарт-ное скалярное произведение. Матрица Грама. Изменение матрицыГрама при смене базиса. Свойства матрицы Грама. Неравенство Ко-ши, понятие угла в евклидовом (эрмитовом) пространстве. Неравен-ство треугольника. Объемы и расстояния.
5. Линейные операторы на евклидовых пространствах
Сопряженный оператор. Свойства сопряженного оператора. Нор-мальный оператор, спектральная теорема. Спектральные портреты.Канонический вид ортогонального и кососимметричного операторов.Диагонализация коммутирующих самосопряженных операторов.
Эрмитово разложение оператора. Алгебраические структуры налинейных операторах.
Полярное разложение оператора. Сингулярные числа оператора иотображения, сингулярные базисы. Сингулярное разложение матри-цы.
Спектральное разложение нормального оператора.
37
6. Тензорная алгебра
Известные примеры тензоров. Определение ортогонального тен-зора. Обратный тензорный признак. Симметричные и антисиммет-ричные тензоры. Тензор Леви-Чивиты и символ Кронекера. Линей-ные операции над тензорами. Произведение тензоров, свертка тензо-ра. Симметризация и альтернирование. Псевдотензор. Инвариантныетензоры и псевдотензоры. Инварианты тензоров.
Определение сопряженного пространства. Базис сопряженного про-странства. Координаты ковектора. Преобразование координат ковек-тора при замене базиса исходного пространства. Пространство, со-пряженное с евклидовым пространством. Ковариантные и контрава-риантные компоненты вектора, связь между ними. Определение тен-зора.
7. Элементы абстрактной алгебры
Понятие поля. Примеры числовых полей. Примеры конечных по-лей. Характеристика поля.
Понятие группы. Циклические группы, группа подстановок. Груп-па поворотов плоскости. Таблица умножения в группе. Группы, по-рожденные отражениями. Группы сдвигов. Решетки. Кристаллогра-фические группы.
Классические группы матриц. Обобщенные ортогональные груп-пы: группа Лоренца, симплектические группы.
Морфизмы групп, изоморфизм групп. Действие группы на мно-жестве. Орбиты и стабилизаторы.
Классические матричные алгебры Ли.
Литература
1. Ульянов А. П. Конспект лекций по алгебре и геометрии.2. Александрова Н. А. Семинары по высшей алгебре и аналитиче-
ской геометрии.3. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры.4. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгеб-
ра.5. Курош В. Г. Курс высшей алгебры.6. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре.7. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.
38
8. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.10. Коренев Г. В. Тензорное исчисление.11. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложе-
ниями к геометрии, механике и физике.12. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная
геометрия. Методы и приложения.13. Кострикин А. И. Сборник задач по алгебре.14. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.15. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей
алгебре.16. Беклемишева Л. А., Петрович А. Ю., Чубаров И. А. Сборник
задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.
План семинаров
1. Абстрактное линейное пространство. Подпространства линей-ного пространства. Базис суммы и пересечения подпространств. (2часа)
2. Линейное отображение, линейный оператор. Ядро и образ ли-нейного отображения. (2 часа)
3. Инвариантные подпространства. Собственные числа и собствен-ные векторы. Диагонализация линейного оператора. (2 часа)
4. Корневое разложение линейного оператора. (2 часа)5. Жорданова нормальная форма матрицы. Функции от матриц.
(4 часа)6. Геометрия евклидовых пространств (2 часа)7. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Канони-
ческий вид матрицы самосопряженного оператора. (2 часа)8. Ортогональный и кососимметричный оператор. Канонический
вид матриц операторов. (2 часа)9. Сингулярное разложение. Полярное разложение. Приведение
пары форм к каноническому виду. (2 часа)10. Тензорная алгебра. (4 часа)11. Элементы абстрактной алгебры. (4 часа)12. Контрольные работы, зачет. (4 часа)
39
Задания по линейной алгебреи геометрии
Задания, помеченные звездочкой, не являются обязательнымидля получения допуска к экзамену, однако приносят дополни-тельные баллы. Вычислительные задачи являются лишь об-разцами, в соответствии с ними преподаватели выдадут сту-дентам индивидуальные задания.
Задание 1 (сдать к 13 марта)
1. Найти матрицу перехода от базиса {a1,a2,a3} к базису{b1,b2,b3}:
a1 = [1, 2, 0]>, a2 = [0, 1,−1]>, a3 = [−1, 1, 3]>;
b1 = [2, 3, 1]>, b2 = [2, 1,−3]>, b3 = [−2, 6, 8]>.
2. Векторы ak, bk заданы своими координатами в базисе {e1, e2, e3}:
a1 = [2, 3, 5]>, a2 = [0, 1, 2]>, a3 = [1, 0, 0]>;
b1 = [1, 1, 1]>, b2 = [1, 1,−1]>, b3 = [2, 1, 2]>.
Найти матрицы линейного оператора, переводящего ak в соот-ветствующие bk, в базисе {e1, e2, e3} и в базисе {e3, e2 + e3, e1 +e2 + e3}.
3. Найти базисы суммы и пересечения линейных оболочек
L1 =⟨[1, 0, 0, 1]>, [0, 1, 2,−1]>, [2,−1,−1, 0]>
⟩;
L2 =⟨[1, 0, 1, 0]>, [0, 1,−1, 3]>, [4,−1,−1, 1]>
⟩.
4. В пространстве R4 задана линейная оболочка L трех столбцов
a1 = [1, 2, 3, 4]>, a2 = [3, 4, 5, 6]>, a3 = [5, 6, 7, 8]>.
Найти такое подпространство M, что R4 = L ⊕M.
5. Пусть S, A и L — подпространства всех симметрических, ко-сосимметрических и нижнетреугольных матриц в пространствеMn(R). Доказать, что A⊕ S = A⊕ L.
40
6. Найти базис ядра и образа линейного оператора, заданного мат-рицей
0 −2 −3 21 1 1 −10 0 2 01 −1 0 1
.7. Если возможно, переходя к новому базису над R и над C, при-
вести к диагональному виду матрицы 4 −4 17 5 9
−5 0 −4
;
4 6 52 4 3
−5 −9 −7
.8*. Пусть α — комплексный корень многочлена p ∈ Q[x], неприводи-
мого над Q. Найти размерность над Q линейного пространстваQ[α], состоящего из чисел вида f(α), где f ∈ Q[x].
9*. Пусть R[x]6n — подпространство многочленов степени не болееn в R[x].
(a) Доказать, что ddx является линейным оператором на R[x]n,
что он нильпотентен и представить его матрицей в каком-нибудь базисе.
(b) Найти собственные числа и векторы оператора x ddx на R[x]n.
10*. Доказать линейную независимость над R систем функций
(a) {sinx, sin 2x, . . . , sinnx};(b) {ek1x, ek2x, . . . , eknx}, где ki 6= kj при i 6= j.
Задание 2 (сдать к 22 апреля)
1. Привести к жордановой нормальной форме матрицы1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1
;
3 −4 −2 22 −3 −2 2
−1 0 4 −5−1 0 3 −4
.Выписать все двумерные инвариантные подпространства дляоператора, заданного в некотором базисе каждой из матриц.
41
2. Найти жорданову форму матрицы A и выяснить геометрическийсмысл соответствующего ей линейного оператора, если:(a) A2 = E; (b) A2 = A.
3. Найти exp(Aπ) для матрицы−1 1 0 0−4 −1 0 0
0 0 −1 −40 0 1 −1
.4. Дополнить список векторов⟨
[1, 2,−1, 1]>, [2,−2,−1, 1]>⟩
до ортогонального базиса евклидова пространства R4.
5. Найти ортогональную проекцию вектора x = [4,−1,−3, 4]> налинейную оболочку
⟨[1, 1, 1, 1]>, [1, 2, 2,−1]>, [1, 0, 0, 3]>
⟩.
6. В пространстве вещественных многочленов R[x]63 степени неболее 3 со скалярным произведением
(f, g) =∫ 1
0
f(x)g(x)dx
найти: (a) объем параллелепипеда на векторах 1, x, x2; (b) рас-стояние от x3 до подпространства многочленов степени не более2.
7. На комплексном пространстве матриц M2(C) определено ска-лярное произведение Гильберта-Шмидта
(A,B) = tr(A†B).
Найти ортогональное дополнение к множествам:
(a) всех верхнетреугольных матриц;
(b) всех косоэрмитовых матриц;
(c) всех эрмитовых матриц.
42
8. В обычном трехмерном пространстве выбран вектор a. ОператорA сопоставляет каждому вектору x векторное произведение a×x.Найти сопряженный оператор A∗.
9*. Матрица A есть жорданова клетка размера n с корнем λ. Найтижорданову форму матрицы A2.
10*. (a) Доказать, что определитель Грама обладает свойством
g(a1,a2,b1,b2) 6 g(a1,a2)g(b1,b2).
Указание: изучите сначала случай трех векторов.
(b) При каких условиях это неравенство становится равенством?
(c) Пояснить геометрический смысл величины
g(a1,a2,b1,b2)g(a1,a2)g(b1,b2)
.
(d) Что можно сказать для большего количества векторов?
Задание 3 (сдать к 31 мая)
1. Доказать, что если матрица H эрмитова, то для каждого t ∈ Rматрица exp(iHt) унитарна.
2. На эрмитовом пространстве дан такой нормальный оператор A,что A2 = −E. Доказать, что A∗ = −A.
3. Два оператора заданы матрицами в стандартном ОНБ:
A =
2 2 −42 5 2
−4 2 2
; B =
−1 −4 2−4 −1 2
2 2 2
.4. Привести к каноническому виду ортогональные операторы, за-
данные в стандартном ОНБ матрицами:
13
2 2 −12 −1 2
−1 2 2
;13
2 −1 22 2 −1
−1 2 2
.
43
5. Представить матрицу [2− i −1 + 2i2 + i −1− 2i
]в виде произведения неотрицательной эрмитовой и унитарнойматриц.
6. Для матрицы [2 −12 −1
]найти сингулярное и оба полярных разложения.
7. Найти невырожденное линейное преобразование переменных,приводящее пару форм f и g к диагональному виду:
f = x21 − 15x2
2 + 4x1x2 − 2x1x3 + 6x2x3,
g = x21 + 17x2
2 + 3x23 + 4x1x2 − 2x1x3 − 14x2x3.
8*. Доказать, что для каждой положительной эрмитовой матрицыA найдется такая матрица B, что A = B†B.
9*. Доказать, что линейный оператор A евклидовом или эрмитовомпространстве V нормален тогда и только тогда, когда ‖Ax‖ =‖A∗x‖.
10*. Для произвольного оператора A доказать, что:
(a) для всех векторов x 6= 0 отношение ‖Ax‖/‖x‖ заключеномежду минимальным и максимальным сингулярными чис-лами A;
(b) все собственные числа A лежат в круговом кольце
{z ∈ C | σn(A) 6 |z| 6 σ1(A)}.
Программу и заданияпо линейной алгебре и геометриисоставила к.ф.-м.н. И.А. Долгунцева
44
Возникновение и развитиеосновных математических понятий
Лектор — Татьяна Юрьевна Михайлова
Спецкурс, 1-й семестр
Основными целями спецкурса являются:а) повышение общей математической культуры слушателей;б) помощь в преодолении барьера между «школьной» и «высшей»
математикой;в) развитие интереса к математике у слушателей.
Темы лекций:
1. Как возникают понятия? Что такое число? Пифагорейская шко-ла. Иррациональные числа и неосоизмеримые отрезки.
2. Бесконечные множества. Теория множеств Кантора. Счётныемножества и множества мощности континуум.
3. Канторово множество. Равномощность отрезка и квадрата. Ал-гебраические и трансцендентные числа.
4. Различные «конструкции» действительных чисел. Сечения Де-декинда. Аксиома выбора.
5. Что такое логарифмы? Как они возникли и какую роль сыгралив развитии естествознания? Как Ньютон считал площадь под кривойy = 1
x?6. Последовательности, бесконечные суммы. Парадокс Зенона.
Можно ли научиться говорить на «языке ε – δ»?7. Что такое число e? Как можно ввести функцию ex? Тождество
Эйлера.8. Комплексные и геперкомплексные числа. Кватернионы. Вектор
как мнимая часть кватерниона.9. Аналитический метод Декарта. Линейные пространства. Акси-
оматическое введение математических понятий.10. Возникновение дифференциального и интегрального исчисле-
ний. Философия Ньютона и Лейбница.11. Развитие математики в 18–19 веках. Кризис математики и его
преодоление.
45
12. Структура математических утверждений. Теорема и критерий.Ценность контрпримера.
13. Классификация физических величин. Путь от скаляра к спи-нору.
14. Основы теории катастроф. Современные математические тео-рии.
Программу спецкурса«Возникновение и развитиеосновных математических понятий»составила доцент Т. Ю. Михайлова
46
