000052 Ejercicios Resueltos Electricidad Potencial Electrico

7/15/2019 000052 Ejercicios Resueltos Electricidad Potencial Electrico

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Mayo 2006 2006ko Maiatza 191

SIGMA

28ADAPTACIN DE UN PLANISFERIO A

OTRAS LATITUDES DISTINTAS A LA NUESTRA

Jorge Barrio Gmez de Agero (*)

RESUMEN

La utilidad de los mapas celestes puede extenderse mucho ms all del simple uso como loca-lizador o buscador de estrellas. Podemos emplearlo para resolver sencillas cuestiones astron-micas como las horas de orto y ocaso del Sol u otros astros en cualquier fecha del ao, horasde Sol que tendremos cualquier da, la visibilidad de los planetas, etc. Pero tambin puedeconvertirse en una entretenida herramienta en las clases de Trigonometra, en Matemticas,para averiguar las longitudes de las sombras de objetos al medioda en cualquier fecha del aoy comparar as dichas longitudes en invierno y verano. Puede usarse tambin para el diseode relojes de Sol.

Los fenmenos que hemos descrito son, no obstante, fenmenos locales que dependen de lalatitud del observador. Sin embargo, podemos hacer volar nuestra imaginacin y trasladarnosal norte de Finlandia, Suecia o Noruega y preguntarnos: cuntas horas de Sol tienen all unda determinado de invierno? O qu es el Sol de medianoche? Estas preguntas podremos ana-lizarlas y responderlas si adquirimos un planisferio de aquellas latitudes o, mejor an y muchoms econmico, si conseguimos adaptar el que tenemos a la latitud deseada.

1. INTRODUCCIN

El planisferio es, sin duda, una de las herramientas astronmicas a las que ms jugo e informa-cin podemos sacar en el aula. Tiene la virtud de permitirnos contemplar y analizar diversosfenmenos astronmicos, tanto diurnos como nocturnos, incluso en das nublados o lluviosos.Podemos deducir el nmero de horas de sol que tendremos tal da como hoy, sin ms que leeren el planisferio las horas de orto y ocaso solares. Podemos comprobar cules son las cons-telaciones que tendremos a la vista tal noche de observacin, una vez comprobada la horade puesta de Sol e incluso qu planetas sern observables en esa noche y si sus condicionesde observacin son apropiadas (segn su proximidad a la lnea de horizonte).

Con el planisferio tambin podemos determinar la altura del Sol al medioda en cualquierfecha del ao y as utilizar esta informacin en aras a calcular longitudes de sombras o disear

relojes-calendario solares. En fin, para no aburrir con todas las posibles utilidades de un pla-nisferio, al final del artculo podis encontrar diversas cuestiones o pequeos problemas quepueden ser resueltos con su simple uso.

Sin embargo, el objetivo final de este artculo no es ensear los posibles usos del planisferio,sino ms bien aprender a transformar nuestro planisferio a cualquier otra latitud de nuestrohemisferio (o bien del hemisferio Sur si usamos el mapa estelar correspondiente). De ese modopodremos trasladarnos instantneamente a otras latitudes y analizar los fenmenos astronmi-cos locales que all acontecen. Se trata de un buen ejercicio que viene muy bien para rompercon esos estereotipos tan locales como el Sol sale por el este y se oculta por el Oeste.

(*) Profesor de Fsica y Qumica y Astronoma del I. E. S.. Vega del Jarama. San Fernando de Henares (Madrid).


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Si nos trasladamos al crculo polar rtico en el solsticio de verano, veremos que el Sol salepor el Norte y trata de ocultarse tambin por el Norte (en realidad, en esas fechas no se oculta,dando lugar al conocido fenmeno y reclamo turstico del Sol de medianoche). Podemos

incluso viajar ms al norte, hasta el mismsimo Polo Norte y comprobar la constancia de sucielo durante todo el ao, as como la ausencia de ortos y ocasos estelares; las estrellas semueven en paralelo al horizonte. Igualmente, podemos comprobar que el Sol en el equinocciode primavera se mueve dando una vuelta completa a ras de horizonte en el transcurso del da.Y todo ello con la ventaja de volver con la Visa indemne de tan fantstico viaje.

DESCRIPCIN DEL PLANISFERIO CELESTE

Es de suponer que una gran mayora de los lectores de esta revista sabe utilizar el mapaceleste, al menos como buscador de estrellas para un da y hora determinados. Sin embargo,en atencin a aquellas personas que no hayan tenido nunca contacto con un planisferio,empezaremos por repasar lo bsico: qu es, cmo se maneja y para qu sirve. A partir de ah,pasaremos a ver cmo transformar el planisferio para otras latitudes. Si ya se tiene experienciaen los usos bsicos del planisferio, se puede pasar directamente al apartado 5 del artculo, enel que se aborda ya la transformacin del planisferio.

El planisferio celeste consta de dos partes: una parte fija y unaparte mvilque gira. Vamos adescribir la informacin que contiene cada una de las partes.

a) Parte mvil: La parte mvil o giratoria es de plstico y en ella podemos distinguir una zonatransparente (ventana de visibilidad) que nos indicar la porcin de cielo visible a la latitudcorrespondiente a la que nos encontramos (en la pennsula, 40 grados de latitud media) yuna zona blanca que delimita la lnea de horizonte a esa latitud, con los puntos cardinales.En la zona transparente est dibujada la lnea Norte-Sur y el punto medio de esa recta es el

cenit, que es el punto del cielo que se encuentra en la vertical de nuestra cabeza. As pues, lasestrellas que aparezcan en el planisferio cerca del cenit sern las que veamos sobre nuestrascabezas en el cielo.

En el contorno de la parte mvil hay una numeracin del 0 al 23 ordenada en sentido contra-rio a las agujas del reloj; es la escala horaria con la que fijaremos la hora correspondiente alaspecto del cielo que deseamos observar. Hay que tener en cuenta que dicha escala corres-ponde a T. U. (tiempo universal) con lo que habr que restar a la oficial una o dos horas segnla poca que sea correspondiente al horario de invierno o verano (para transformaciones msprecisas a la hora oficial, deber usarse la ecuacin del tiempo).

b) Parte fija: La parte fija suele ser de cartn rgido y coloreada de negro, como el cielo nocturno.El clsico planisferio es una proyeccin acimutal equidistante polar del hemisferio norte celeste (1).

Sobre ella estn dibujadas las constelaciones, estrellas y otros objetos celestes que pueden verse alo largo de un ao en el hemisferio norte. Es decir, aparecen dibujados aquellos objetos celestesque tienen una posicin fija en el cielo y caracterizada por sus coordenadas ecuatoriales. El nom-bre de las constelaciones suele venir en maysculas y en minsculas el de las estrellas principales.Las estrellas aparecen dibujadas como puntos blancos cuyo dimetro es relativo a su brillo. As,las estrellas ms brillantes del cielo aparecen en el planisferio como puntos blancos ms grandes.Aparecen tambin, dibujados como asteriscos, algunos objetos del catlogo de Messier (precedi-dos por su M) y algunos otros objetos de los denominados de cielo profundo.

En el centro de esta parte fija est el polo norte celeste (muy aproximadamente, la Polar). Esel punto central del planisferio en el que convergen 24 lneas radiales que son los meridianoscelestes. A su vez es el centro de un conjunto de crculos concntricos y equidistantes, que

son losparalelos celestes.

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Jorge Barrio Gmez de Agero

SIGMA N 28 SIGMA 28 zk.


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Adaptacin de un planisferio a otras latitudes distintas a la nuestra

Asimismo, al igual que un punto geogrfico terrestre se localiza mediante las coordenadaslatitud y longitud (midindose la latitud a lo largo de los meridianos y la longitud a lo largode los paralelos), un punto celeste se localiza mediante dos coordenadas equivalentes a las

terrestres y que son la declinacin (equivalente a la latitud) y la ascensin recta (equivalentea la longitud). Al igual que hacemos con el ecuador y el polo norte terrestre (de latitudes 0 y90 respectivamente), el ecuador y el polo norte celestes tienen 0 y 90 de declinacin res-pectivamente. Los distintos paralelos del planisferio suelen trazarse de 15 en 15 grados. Losdistintos valores de declinacin suelen aparecer marcados sobre el meridiano cero.

En la periferia de la parte fija aparece una numeracin que va desde 0 hasta 360 (al cabo deuna vuelta completa) y que se corresponde con otra que va desde 0 hasta 24. Ambas escalasmiden la ascensin recta, en un caso en grados (el menos frecuente) y en otro en horas, minu-tos y segundos (estos ltimos imposibles de medir con el planisferio). La razn de medirlo ases porque el cielo efecta, segn sabemos, una rotacin aparente completa (360 grados) en24 horas, o lo que es lo mismo, gira 15 grados cada hora. Por eso puede apreciarse en el pla-

nisferio que 1 hora de ascensin recta equivale a 15 grados. El cero de A.R. (ascensin recta)corresponde al meridiano celeste que pasa por el punto Aries del equinoccio de primaveraboreal (uno de los dos puntos de corte de la eclptica con el ecuador celeste).

Debajo de la escala de A. R. aparecen los meses con sus das. Cada rayita corresponde a un da delmes. Podis comprobar que la divisin de 1 hora de A.R. se corresponde con 15 rayitas de das,con lo que podemos precisar ms nuestras medidas en A.R. teniendo en cuenta que cada rayitacorrespondiente a un da del mes sern 4 minutos en A.R. ( pues 4 x 15 = 60 minutos o 1 hora).

Recordemos ahora las principales utilidades del planisferio.

2. ALGUNAS DE SUS UTILIDADES

Como ya se coment al principio, son muchas las utilidades de un simple planisferio celeste.Dado que el objetivo final del artculo no es precisamente instruir sobre su uso, nos centra-remos solo en aquellas utilidades cuyo anlisis para distintas latitudes pueda tener un intersprctico en el aula; desde el simple reconocimiento del cielo en cualquier fecha y la simula-cin del movimiento diurno aparente de la bveda celeste, pasando por la determinacin delorto y ocaso solar de cualquier da, la determinacin de su altura mxima al medioda o ladiferencia entre da solar y sidreo.

2.1. Reconocimiento del cielo observable y movimiento diurno aparente

Supongamos que deseamos conocer el aspecto que presentar el cielo el da 4 de julio a las

doce de la noche hora oficial (es decir, aproximadamente 22 h T. U.). El mecanismo a seguirser el siguiente:

Se hace coincidir el 22 de la parte mvil con la rayita correspondiente al da 4 de julio.


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Se sita el planisferio por encima de nuestra cabeza y se orienta el norte cardinal delplanisferio hacia la Polar en el cielo. Una vez hecho esto, el planisferio muestra el aspectodel cielo que estaremos observando en ese momento, por lo que podremos reconocer las

estrellas y las constelaciones.La siguiente imagen recoge el aspecto que presenta el cielo el 4 de julio a las doce de la nochehora oficial, para un observador peninsular (40 de latitud norte, como se indica).

Figura 1. El aspecto del cielo para un observador peninsular el da 4 de julio a las 12 h de la noche (oficial)

Hecho esto, si procedemos a girar la parte mvil en el sentido de las agujas del reloj, estare-mos simulando el movimiento diurno aparente de la bveda celeste, comprobando la exis-tencia de ortos y ocasos de los astros en nuestras latitudes y con qu inclinacin tienen lugarcon respecto al horizonte.

2.2. Orto y ocaso solar; horas de sol en un da cualquiera

Para localizar el Sol en el planisferio en un da determinado, se procede de la siguiente

manera: desde la rayita correspondiente a esa fecha se traza una recta imaginaria hasta elcentro del planisferio. El punto de corte de esa recta con la lnea de trazos que representa laeclptica (rbita aparente del Sol por el cielo) nos da la posicin del Sol en el cielo ese da.

Una vez situado el Sol podemos averiguar su hora de salida (orto) y su hora de ocultacin(ocaso) del siguiente modo: supongamos que queremos averiguar el orto y el ocaso del Solel da 4 de julio. Localizaremos el Sol como ya hemos explicado. A continuacin giraremosla parte mvil hasta que la lnea de horizonte Este coincida con la posicin del Sol (de estemodo simulamos la salida del Sol por el horizonte Este, como se aprecia en la fig. 2). Leemosen la parte mvil la hora que coincide con la rayita del 4 de julio recordando que, en caso deno coincidir una hora exacta, cada rayita correspondiente a un da equivale a 4 minutos. Deeste modo, podis observar que el orto tendr lugar aproximadamente a las 4 h 44 min T.U.

(6 h 44 min hora oficial sin correccin local).


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Para determinar el ocaso haremos lo mismo pero en este caso haciendo coincidir la lnea

Oeste con la posicin del Sol (fig. 3). Leemos la hora debajo del 4 de julio y observaremos

que el ocaso tendr lugar a las 19 h 20 min T.U. aproximadamente (21 h 20 min hora oficial

sin correccin local).

De este modo, restando ambas horas obtendremos las horas de sol de ese da; es decir, 14

horas y 36 minutos de sol. Resultar ilustrativo comparar este resultado con las horas de sol

de un da de finales de diciembre.

Actividad de grupo para el aula: Elaborar un grfico anual, semana a semana, de la evolucinde horas de Sol. Formando 12 grupos, cada grupo calcular con el planisferio las horas de Sol

de un mismo da (p. ej. mircoles) de las cuatro semanas del mes.

Figura 2. Simulacin del orto solar Figura 3. Simulacin del ocaso solarel da 4 de julio. El sol sale a las 4:43 T.U. el da 4 de julio. El Sol se pone a las 19:18 h T.U.

2.3. Altura del Sol al medioda sobre el horizonte

Una vez situado el Sol como se ha indicado en el epgrafe anterior, la determinacin de

su altura sobre el horizonte al medioda puede determinarse con bastante precisin en el

planisferio. Giramos la parte mvil hasta que la lnea que representa el meridiano del lugar

(Lnea Norte Sur) en la que viene marcado el cenit, coincida con la posicin del Sol del da

elegido. Puesto que la proyeccin usada en este tipo de planisferios es acimutal equidistante,

la distancia entre paralelos es siempre la misma. Midiendo con una regla la distancia entre

dos paralelos consecutivos, establecemos la escala correspondiente a 15. Si ahora medimos

con la regla la distancia del cenit al Sol (punto de corte de la lnea N-S con la eclptica) y la

transformamos a grados en la correspondiente escala, habremos medido z (distancia cenital;

una de las coordenadas horizontales de un astro). De ese modo, la altura h del Sol al medioda

en la fecha elegida ser:

h = 90 z

Actividad de grupo en el aula: Hacer la medicin sobre el planisferio de las alturas del Sol almedioda en las fechas elegidas de la actividad anterior y tratar de dar una explicacin de la

relacin entre ambas grficas


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2.4. Localizacin y visibilidad de los planetas

Los planetas no ocupan posiciones fijas en el cielo; por esa

razn no pueden aparecer explcitamente en un planisfe-rio. En las revistas mensuales de astronoma, tales comoAstronoma y Espacio (en castellano) o Sky & Telescopeo Astronomy (en ingls), as como, por supuesto, en losanuarios de efemrides astronmicas, podemos encontrar lascoordenadas en A. R. y declinacin de todos los planetas delsistema solar en las distintas fechas. Por tanto, a partir de esosdatos nos resultar sencillo situar los planetas en el planisfe-rio. Nos daremos cuenta enseguida que prcticamente todosellos se mueven muy aproximadamente sobre la eclptica, loque significa que el movimiento de la mayora de los planetasse produce aproximadamente en el mismo plano.

Una vez localizados en el planisferio, podremos ver quplanetas sern observables en el cielo nocturno de hoy, porejemplo. Bastar saber a qu hora anochece y si a esa hora yposteriores el planeta queda en la parte transparente del pla-nisferio (es decir, en la porcin de cielo observable). Tambinpodremos conocer, siguiendo el mtodo explicado para elSol, las horas de sus ortos y ocasos y compararlas con losdatos que vienen en las revistas.

Los planetas Mercurio y Venus son, por este orden, los msprximos al Sol. Eso quiere decir que los veremos siemprecomo fieles acompaantes del Sol en su aparente movimientodiurno. Dado que durante el da la luz del Sol nos impedirverlos, slo podremos observarlos al amanecer (es decir,poco antes de que salga el Sol) o al atardecer (poco despusde la puesta de sol). Mercurio siempre se ver muy bajo en elhorizonte en esas circunstancias por ser el ms prximo al Sol, mientras que Venus ser msfavorable en muchas circunstancias, pudiendo llegar a verse hasta tres horas antes o despusde la salida o puesta del Sol (el famoso lucero del alba o del crepsculo). Para saber con elplanisferio si, a da de hoy, sern visibles al amanecer o al atardecer o si, por el contrario, nosern visibles por estar en conjuncin u oposicin al Sol, procederemos del siguiente modo:

Situamos el Sol a da de hoy como se ha explicado en el apartado anterior.

A continuacin y segn sus coordenadas, situamos Mercurio o Venus. Giramos la parte mvil del planisferio en el sentido de las agujas del reloj y observamos

quin aparece antes por el horizonte Este. Si el primero que aparece es el planeta, quesale por tanto antes que el Sol, significa que ser visible al amanecer. Si segus girandoveris que, en esas circunstancias, el planeta se oculta por el horizonte Oeste antes que elSol. Si, por el contrario, es el Sol el que aparece antes que el planeta, tambin se ocultarantes que l, por lo que, en esas condiciones, el planeta ser visible al atardecer.

2.5. Diferencia entre da solar y da sidreo

Una vez que hemos aprendido a leer las horas de orto y ocaso del Sol o de los astros en gene-

ral (el procedimiento es el mismo), podemos verificar con el propio planisferio la diferencia

Figura 4. Procedimiento paradeterminar la distancia cenital

del Sol


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entre el da solar y el sidreo. Dado que la escala horaria de la parte mvil se mide en tiemposolar, si procedemos a determinar el orto de una misma estrella en dos das consecutivos,comprobaremos que al segundo da su orto se ha adelantado en 4 minutos. Ello nos permite

verificar que el da sidreo corresponde muy aproximadamente a 23 h 56 minutos solares, loque, de paso, nos explica la variacin estacional del cielo nocturno.

3. LAS COORDENADAS CELESTES

En Astronoma se utilizan distintos sistemas de coordenadas para la localizacin de los astros ycuerpos celestes segn cul sea el plano de referencia elegido y el punto de origen del sistema.As, se distinguen esencialmente dos tipos de sistemas:

Sistema horizontal: el plano de referen-cia es el horizonte verdadero del lugar(N-E-S-O) y los puntos de referencia

elegidos son el cenit Z como origenpara la determinacin de las distan-cias cenitales z (o las complementariasalturas h) y el punto cardinal S comoorigen del acimut A del astro (en elsistema astronmico, a diferencia delgeodsico que utiliza el N como ori-gen de acimut).

Se denomina distancia cenital de unastro X al arco del crculo vertical ZXentre el cenit y el astro. El arco comple-mentario XH (hasta el punto de cortecon el horizonte verdadero) determinala altura h del astro.

A su vez, el acimut A del astro X queda determinado por el arco del crculo horizontalSH entre el punto cardinal Sur S y el punto de corte H del crculo vertical del astro conel horizonte. El acimut se mide en el sentido de las agujas del reloj (S-O-N-E) de 0 hasta360 o bien de 0 a +180 para acimutes occidentales y de 0 a 180 para los orientales.Como se desprende de las definiciones, las coordenadas horizontales son locales y varia-bles en el tiempo.

Sistemas ecuatoriales: el plano de referencia es el ecuador celeste. En estos sistemas, elmovimiento diurno aparente de los astros trascurre sobre paralelos celestes fijos (excepto

el Sol y los planetas, que lo hacen sobre la eclptica). Segn cul sea el punto de origenelegido, se distinguen dos tipos de sistemas ecuatoriales:

a) primer sistema ecuatorial: utiliza como punto de origen el punto Q de corte del meri-diano celeste del lugar NPZS con el ecuador celeste. Dicho punto Q es, en nuestrohemisferio, el punto del ecuador celeste del crculo vertical sobre el punto cardinal SurS. En este sistema se definen dos coordenadas:

- Declinacindel astro: es el arco medido sobre el meridiano del astro (PXP) o cr-culo horario, desde el ecuador celeste hasta la posicin del astro. Todos los puntosde un mismo paralelo tienen la misma declinacin. Los valores de declinacin estncomprendidos entre 0 (para cualquier punto del ecuador celeste) y +90 (para el polonorte celeste). Las declinaciones negativas corresponden al hemisferio sur celeste,

siendo -90 para el polo sur celeste.

Figura 5. Coordenadas horizontales de un astro


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- ngulo horario t del astro: esel arco de ecuador celeste entreel punto Q del meridiano celeste

del lugar NPZS y el meridiano ocrculo horario del astro. El ngulohorario ser cero cuando el astroculmine en el meridiano celestedel lugar NPZS.

En este primer sistema, la coorde-nada del astro permanece inva-riable, mientras que la coorde-nada t vara continuamente conel movimiento del astro.

b) Segundo sistema ecuatorial: En

este sistema el punto de origen esel llamado punto vernal Aries oequinoccial de primavera boreal,que es uno de los dos puntos de corte del ecuador celeste con la eclptica; aquelque corresponde al momento del trnsito del Sol desde declinaciones negativas haciadeclinaciones positivas. Como resulta evidente, dicho punto participa de la rotacinaparente de la esfera celeste, por lo que las posiciones relativas de los astros respectode dicho punto son fijas. Las coordenadas en este sistema son:

- Declinacindel astro: igual queen sistema anterior.

- Ascensin recta del astro: es

el arco del ecuador celeste entreel punto equinoccial y el meri-diano o crculo horario del astro.Las ascensiones rectas se midenen sentido contrario a la rotacinaparente de la esfera celeste, de0 a 360, o ms comnmenteen medida horaria de 0 h a 24 h.A su vez, las horas de ascensinrecta se subdividen en minutos(min) y segundos. Una hora de A.R. (60 min) corresponden a 15,

por lo que 1 corresponde a 4min de A. R.

4.TRANSFORMACIN DEL PLANISFERIO A OTRAS LATITUDESDISTINTAS A LA NUESTRA

La transformacin del planisferio a otra latitud del hemisferio norte requiere simplementecambiar el trazado de la lnea de horizonte para obtener la ventana de visibilidad correspon-diente a la latitud deseada. La cuestin es cmo hacerlo. Veremos que se trata de un problemade transformacin de coordenadas horizontales a ecuatoriales; ms en concreto, se tratarde averiguar la declinacin de los puntos del horizonte del lugar. Para ello y antes de abordar

Figura 6. ngulo horario ydeclinacin de un astro

Figura 7. Ascensin recta ydeclinacin de un astro


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definitivamente el trazado de dicha ventana, vamos a recordar algunas cuestiones bsicassobre la localizacin del ecuador celeste y su situacin relativa respecto del horizonte de unobservador a cualquier latitud.

4.1. Situacin relativa del ecuador celeste en funcin de la latitud

Analizaremos en primer lugar las caractersticas bsicas del aspecto del cielo y la localizacinde algunos puntos esenciales en l, comprobando cmo varan al cambiar la latitud. Nosinteresar especialmente ver cul es la posicin relativa de los puntos cardinales del horizonterespecto del ecuador celeste, en aras a trazar posteriormente la ventana de visibilidad en elplanisferio.

El cielo del observador peninsular medio (latitud 40 N)

Como puede observarse en la figura, para este observador el polo norte celeste (apx. laPolar) se eleva 40 sobre el horizonte norte, lo cual nos da la conocida pauta de deter-minar la latitud de un lugar del hemisferio Norte por la altura de la Polar sobre el hori-zonte. Pero a su vez comprobamos que el ecuador celeste se eleva 50 sobre el puntocardinal Sur del horizonte del observador (y queda 50 por debajo del punto cardinalNorte). Es decir, la colatitud (complementario de la latitud) nos permite localizar lospuntos cardinales Norte y Sur de la lnea de horizonte del observador de cualquier lati-tud. Considerando la definicin de declinacin que hemos dado en el apartado 4, esosignifica que la declinacin del punto cardinal Sur ser de 50, mientras que la del puntocardinal Norte ser +50. De este modo ya tenemos dos puntos esenciales de la ventanade visibilidad del planisferio de cualquier latitud.

Figura 8. Elementos del horizonte para un observador peninsular medio

Por otra parte, si trazamos la lnea Norte Sur en la parte de plstico del planisferio y,posteriormente, trazamos una perpendicular que pase por la Polar, los puntos de corte deesta ltima recta con el ecuador celeste del planisferio nos darn los puntos cardinales

Este y Oeste. Al ser puntos de corte de la lnea de horizonte con el ecuador celeste, sus


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declinaciones, obviamente, sern 0. As pues, ya tenemos localizados los cuatro puntoscardinales de la lnea del horizonte para cualquier latitud.

El cielo del observador de otras latitudes

Si aplicamos las ideas anteriores a cualquier otra latitud, vemos cmo vara la posicinrelativa del ecuador celeste respecto del horizonte del lugar. As, por ejemplo, para unobservador canario de 28 N de latitud, el ecuador celeste se elevar 62 sobre el puntocardinal Sur. Por tanto, la declinacin de su punto cardinal Sur h a de ser 62 , mientrasque la de su punto cardinal Norte ser +62.

Para un observador nrdico de 70 N las declinaciones de sus puntos cardinales S y Nsern, respectivamente, de 20 y +20, mientras que para un observador polar (90 N),como puede observarse en la figura, todos sus puntos del horizonte tienen declinacin 0.

En las siguientes figuras podemos observar lo que ocurre para observadores de distintaslatitudes.

Figura 9. Elementos del horizonte paraun observador canario (latitud 28 N)

Figura 10. Elementos del horizonte paraun observador nrdico (latitud 70 N)

Figura 11. Elementos del horizonte paraun observador polar (latitud 90 N)


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4.2. La transformacin de coordenadas; un problema de trigonometra esfrica

Las frmulas de la trigonometra plana de poco nos

sirven cuando trabajamos sobre elementos de la esferaceleste. Obsrvese que todas las definiciones dadas delas coordenadas de un astro, tanto en el sistema hori-zontal como en el ecuatorial, se refieren a arcos, porlo que encontrar la relacin de unas coordenadas conotras requiere resolver tringulos formados por arcos,es decir, tringulos esfricos.

En la figura 12 se representa el tringulo esfrico ABCcuyos lados son los arcos a, b y c. Si desde el punto Ade la superficie de la esfera trazamos sendas tangentesa los lados b y c hasta su corte con las prolongacionesde los radios de los puntos B y C, obtenemos el tringulo plano ADE, adems del tringuloODE. Estos dos tringulos comparten el lado DE. Aplicando el teorema del coseno a estos dostringulos planos, se obtiene:

Restando ambas igualdades y despejando el ltimo trmino de la segunda igualdad, obtenemos:

Si tenemos en cuenta que los lados AD y AE son perpendiculares a r, encontramos las siguien-tes relaciones:

Relaciones que sustituidas en la anterior igualdad y eliminando factores comunes, conducena esta otra:

Que podemos simplificar como sigue:

Obteniendo as una de las frmulas fundamentales del tringulo esfrico, que es con la quefinalmente nosotros vamos a trabajar en la transformacin de nuestro planisferio:

Es decir, el coseno de un lado cualquiera del tringulo esfrico es igual al producto de loscosenos de los otros lados ms el producto de los senos de dichos lados por el coseno delngulo que forman.

Figura 12. Tringulo esfrico


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Para la deduccin de esta frmula hemos utilizado un tringulo esfrico cualquiera. Competeahora aplicarla a un tringulo esfrico celeste y analizar las relaciones que podemos obtenerentre las distintas coordenadas que hemos expuesto.

4.3.Aplicacin a un tringulo paralctico; relacin entre la distancia cenital, ladeclinacin y el ngulo horario para una determinada latitud

Consideremos ahora un tringulo esfrico celeste formado por la interseccin del meridianoceleste del lugar (PZ), el meridiano o crculo horario de un astro (PS) y el arco correspondientea la distancia cenital z del astro. Tal tringulo PZS as formado se denomina comnmente

tringulo paralctico (fig. 13).

Figura 13. Tringulo paralctico para un astro en el hemisferio norte occidental

En la figura se representa la situacin correspondiente a una latitud . De ese modo, el arco PZ(polo norte celeste cenit) valdr 90 . A su vez, si es la declinacin del astro, entoncesel arco PS ser 90 , mientras que el arco ZS corresponde a la distancia cenital z del astro.Como se aprecia en la figura, los ngulos del tringulo son t(ngulo horario), 180 A (siendo

A el acimut del astro) y q, denominado ngulo paralctico del astro.

Si aplicamos la frmula fundamental deducida en el apartado anterior a nuestro tringuloparalctico en funcin del lado z, se obtiene:

cos z = cos (90 - ) cos (90 - ) + sen (90 - ) sen (90 - ) cos t

O, lo que es lo mismo:

cos z = sen sen + cos cos cos t

Expresin que constituye una de las relaciones fundamentales de transformacin entre coor-denadas ecuatoriales y horizontales. La expresin anterior nos permite averiguar la distanciacenital de un astro de declinacin en el momento en que su ngulo horario vale t, vistodesde un horizonte de latitud . Pero, qu importancia puede tener esta expresin para loscometidos de trazar la ventana de visibilidad del planisferio a cualquier latitud? Como vamosa ver a continuacin, esta es precisamente la frmula que nos va a disear la ventana de visi-

bilidad de nuestro planisferio a cualquier latitud.


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4.4. Y por fin... aprendemos a trazar la ventana de visibilidad del planisferio

El problema del trazado de la ventana de visibilidad se antoja bastante simple una vez que

hemos comprendido el significado de la ecuacin anterior. La ventana de visibilidad estdelimitada por los puntos de la lnea de horizonte y todos los puntos del horizonte, como seaprecia en la figura 14, cumplen la condicin de que su distancia cenital z es igual a 90. Portanto, todos los puntos del horizonte cumplen la condicin:

sen sen + cos cos cos t= 0

En los planisferios vienen representados los 24 meridianos correspondientes a cada ascensinrecta, es decir, cada 15. A su vez, los paralelos del planisferio corresponden a un valor deter-minado de declinacin (tambin de 15 en 15 grados). Se trata, por tanto, de hallar cul es ladeclinacin de los puntos que satisfacen la anterior ecuacin (los puntos del horizonte), parauna latitud deseada. Si despejamos la declinacin de la ecuacin anterior, obtenemos la rela-cin que nos da la declinacin de los puntos del horizonte en funcin de la latitud, asignando

valores al ngulo horario t. Dicha relacin es:tg = -cotg cos t

Para ello, daremos valores al ngulo horario t de 15 en 15 grados y obtendremos la declina-cin del punto del horizonte correspondiente a cada meridiano del planisferio.

Figura 14. Tringulo paralctico para un punto del horizonte

4.5. Y ahora, transforma tu planisferio a cualquier otra latitud

Finalmente, despus de la fase matemtica, entramos en la fase de bricolage. Hagmonoscon un planisferio y quitmosle la parte mvil de plstico. A partir de aqu, sigamos elsiguiente procedimiento:

Usando un plstico transparente rgido y superponindolo a la parte fija del planisferio,dibujamos el contorno circular que recortaremos; nos servimos para ello de uno de loscrculos ms externos que aparezcan dibujados en la parte fija. Debemos acordarnos dedejar cuatro pestaas que doblaremos para que hagan de gua durante el giro de la partemvil. Ensambla esta nueva parte mvil a la fija usando el remache central del anterior

planisferio (o un remache nuevo).


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Fijamos la latitud a la que deseamos transformar el planisferio. El punto del horizonteque corresponde al ngulo horario t= 0 ser el punto cardinal Sur, como se desprendede la definicin del ngulo horario. Obtenemos la declinacin de dicho punto con la

ecuacin anterior y la marcamos con rotulador indeleble en el nuevo plstico, sobre unmeridiano cualquiera. Fijamos con celo la parte mvil a la fija para que no se muevadurante el proceso de marcado de los puntos.

Vamos ahora dando valores a tde 15 en 15 grados, en sentido antihorario, obteniendodistintos valores de la declinacin de los puntos del horizonte que iremos marcando sobreel plstico encima de cada meridiano. Seguimos el procedimiento hasta 345.

Unimos finalmente todos los puntos que constituyen la nueva lnea de horizonte de lalatitud deseada, marcando sobre ella los puntos cardinales Norte, Sur, este y Oeste (estosdos ltimos son los puntos de corte de la lnea de horizonte con el ecuador celeste).Pintamos de blanco la parte del plstico que queda por fuera de la lnea del horizonte,quedando en transparente la ventana de visibilidad de esa latitud.

Trazamos con rotulador indeleble de color (rojo o blanco) la lnea Norte-Sur del meridianoceleste del lugar. Dicha lnea pasa por el polo norte celeste. El punto medio de dicha lneaes el cenit del lugar, que marcaremos con una pequea cruz blanca y titularemos.

Hecho todo lo anterior, finalmente marcamos las horas T.U. en la parte mvil sobre elcontorno coincidente con las rayitas de das de la parte fija. El 0 se traza donde el puntocardinal Norte. A partir de ah, vamos marcando las horas en sentido antihorario sobrecada uno de los meridianos de ascensin recta. Como es lgico, la hora que correspondeal punto cardinal Sur ser 12 h, momento de la culminacin solar al medioda sobredicho punto cardinal en nuestro hemisferio. Cuando hayamos completado todas lashoras, ya tenemos el planisferio listo para funcionar en la latitud deseada. Conviene quetitulemos la latitud en la parte blanca de la parte mvil.

En las siguientes tablas se dan los valores que se obtendran de declinacin de los puntos delhorizonte segn el ngulo tpara distintas latitudes.

GRAN CANARIA (= 28 N)( cotg = 1,88 )

ngulo t declinacin

0 (sur) -62

15 345 -61,2

30 330 -58,4

45 315 -53

60 300 -43,2

75 285 -26

90 (oeste) 270 (este) 0

105 255 26

120 240 43,2

135 225 53

150 210 58,4

165 195 61,2

180 (norte) 62


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CRCULO POLAR RTICO ( 66,5 N)( cotg = 0,435 )

ngulo t declinacin

0 (sur) -23,5

15 345 -22,8

30 330 -20,6

45 315 -17,1

60 300 -12,3

75 285 -6,4

90 (oeste) 270 (este) 0

105 255 6,4

120 240 12,3

135 225 17,1

150 210 20,6

165 195 22,8

180 (norte) 23,5

COPENHAGUE ( 55 N)( cotg = 0,7 )

ngulo t declinacin

0 (sur) -35

15 345 -34,1

30 330 -31,2

45 315 -26,3

60 300 -19,3

75 285 -10,3

90 (oeste) 270 (este) 0

105 255 10,3

120 240 19,3

135 225 26,3

150 210 31,2

165 195 34,1

180 (norte) 35

Puede comprobarse cmo aplicando la ecuacin del trazado de la ventana a la latitud delobservador polar ( = 90), los valores de declinacin de todos los puntos del horizonte resul-tan ser = 0, que es la situacin que se aprecia en la figura 11. En ese caso, basta dibujarsobre la parte transparente mvil un crculo coincidente con el ecuador celeste para obtenerla ventana de visibilidad. Hecho eso, resulta muy ilustrativo comprobar cmo para esa latitudno hay ortos ni ocasos estelares (las estrellas se mueven en paralelos al ecuador celeste y, por

tanto, al horizonte de ese lugar) y cmo el Sol se mantiene oculto bajo el horizonte durante


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seis meses para, a partir del equinoccio de primavera, mantenerse siempre visible duranteotros seis meses.

Igualmente, si construimos el planisferio para la latitud del crculo polar rtico valindonos de

los datos de la tabla 2, podemos analizar en el aula los interesantsimos fenmenos astron-micos que acontecen en esas latitudes y que comentamos a continuacin.

5. ALGUNAS UTILIDADES PARA EL AULA

Nuestros alumnos y, por qu no decirlo, la mayora de la gente, tienen una percepcin muylocal de los fenmenos astronmicos. A ello contribuyen no pocos libros, sobre todo de etapastempranas, en los que se afirma aquello de que el Sol sale por el Este y se pone por el Oestesin la apostilla conveniente de la latitud del lugar. De hecho, es bien conocido que en nuestraslatitudes el punto de orto del Sol se desplaza anualmente en una horquilla NE-SE y realmenteslo sale por el punto cardinal Este dos veces al ao (en los equinoccios). Por ello, puederesultar muy clarificador trabajar con un planisferio de otra latitud y simular los fenmenosastronmicos que all acontecen.

Construyamos, por ejemplo, un planisferio para el crculo polar rtico. Usando los datos de latabla 2, el aspecto final que presentar se puede apreciar en la siguiente figura.

Figura 15. Aspecto final de un planisferio para la latitud del crculo polar

En la figura puede observarse la posicin del Sol el da 21 de junio (solsticio de verano boreal)en el momento de su ocultacin por el horizonte. Podemos comprobar que el punto cardinalpor donde se oculta es el punto cardinal Norte (y no el Oeste). Pero, adems, si procedemosa girar la parte mvil del planisferio, simulando el movimiento aparente de la bveda celeste,veremos que el Sol no llega a ocultarse, sino que vuelve a elevarse sobre el horizonte dando

lugar al famoso fenmeno del Sol de medianoche.


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Figura 16. Sol de medianoche

Veamos el fenmeno del sol de medianoche en la secuencia siguiente. La figura 17 muestra

la posicin del Sol sobre el horizonte a las 21 h T.U. del da 21 de junio. La siguiente figura

(fig. 18) corresponde a las 0 h T.U. El Sol parece que va a ocultarse por el punto cardinal Norte.Sin embargo, la fig. 19 muestra que el Sol, tres horas despus (a las 3 h T.U.) se ha elevado ya de

nuevo sobre el horizonte. Simulamos as el fenmeno que se aprecia en la fotografa (fig. 16)

Figura 17. Sol a las 21 h T.U. del 21 de junio en la latitud 66,5 N

Igualmente, podemos ahora utilizar este planisferio para calcular cuntas horas de Sol tienen

en esas latitudes cualquier da del ao e imaginar la dureza de las condiciones cuando, por

ejemplo, el 18 de enero el Sol asoma por el horizonte (cerca del punto cardinal Sur) a las

11 h T.U. para volverse a ocultar a las 13:30 h T.U., dando lugar a tan solo dos horas y media

de tenue claridad de alborada.

Figura 18. Sol a las 0 h T.U. del Figura 19. Sol a las 3 h T.U. del

22 de junio en la latitud 66,5 N 22 de junio en la latitud 66,5 N


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SIGMA N 28 SIGMA 28 zk

Es un buen ejercicio de abstraccin para hacer volar la imaginacin y viajar a cualquier latitud,con la gran ventaja de tener garantizados siempre los cielos despejados, sin contaminacinlumnica, la VISA intacta y no tener que arrastrar maletas e infinidad de bolsas en nuestro viajeimaginario a travs del planisferio. Eso s, no despreciemos la oportunidad de hacer realidaden cualquier ocasin nuestros viajes imaginarios.

5.1. Algunas propuestas para el diseo de actividades

En cada caso se adaptarn a la latitud que previamente se haya convenido, habiendo cons-truido el planisferio correspondiente. Las preguntas que pueden resolverse pueden versarsobre los siguientes temas:

Ortos y ocasos de astros, planetas o Sol en cualquier fecha del ao.

Altura del Sol al medioda en cualquier fecha y latitud. Estudio de su variacin anual.

Variacin de la longitud de la sombra de un mismo objeto (o gnomon) en cualquier fecha ylatitud. Aplicacin de esta idea para la construccin o diseo de relojes-calendario solares.

Astros que se apreciarn en el cenit a una hora determinada de cualquier fecha y latitud. Dando el dato del orto de un planeta en tal fecha y latitud, determinar sus coordena-

das ecuatoriales (A.R. y declinacin), as como la hora de su ocultacin (excluiremos aPlutn, cuyo movimiento se aparta bastante de la eclptica).

Determinacin de las coordenadas ecuatoriales y horizontales del Sol en los cuatropuntos caractersticos de su rbita aparente anual (solsticios y equinoccios) en cualquierlatitud al medioda.

Etc.

NOTAS

(1): Ibez Torres, Ral. Lo que Euler dijo al cartgrafo (1 parte). Sigma Revista de Matemticas, n 27. Bilbao, 2005.

MS INFORMACIN...

Bakulin, P. I.; Kononovich, E. V. y Moroz, V. I., 1987: Curso de astronoma general.Editorial Mir Mosc.

Vorontsov-Veliamnov, B. A., 1985: Problemas y ejercicios prcticos de astronoma.Editorial Mir Mosc.

Franolic, P. y Visekruna, Z., 1997: Introduccin a la navegacin astronmica. AlianzaEditorial. Madrid.

Seeds,M. A., 1989: Fundamentos de astronoma. Ediciones Omega. Barcelona.

Robbins, R. R.; Jefferys, W. H. y Shawl, S. J., 1995: Discovering Astronomy. John Wiley& Sons, Inc. New York.

Herrmann, J., 1987:Atlas de astronoma. Alianza Atlas. Alianza Editorial.

Ibez Torres, Ral, 2005: Lo que Euler dijo al cartgrafo (1 parte). Sigma Revista deMatemticas, n 27. Bilbao.

Y EN LA WEB...

http://www.observatorio.unal.edu.co/miembros/docentes/grek/elem/coor.pdf

(Pgina muy clarita donde podemos encontrar informacin muy til sobre los distintos tipos

de coordenadas. All encontraris otros enlaces y referencias).

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