Kvantitativne metodeI i II nedelja MATRINI RAUN

Dr Olivera Nikoli, docent1

MATRINI RAUN

Osnovni pojmovi: matrice i determinante Operacije sa matricama Primeri matrinog rauna

2

Osnovni pojmoviTuristike agencije S1 S2 30 28 32 26 Turistike ponude S3 40 40 40 42 S4 50 45 50 52 S5 60 61 60 61

U istraivanjima svaku tabelu moemo prikazati u obliku pravougaone eme podataka poznate pod nazivom matrica, u oznaci:

D1 D2 D3 D4

20 22 19 18

a11 a A = 21 ... am1

a12 a22 ... am 2

... a1n ... a2 n ... ... ... amn

3

Krai prikaz matriceMatricu moemo krae napisati:

A = aij gde jeaij opti lan

mxn

(i=1,2,...,m

j=1,2,...,n)

m broj vrsta n broj kolona4

Osnovni pojmovi: MATRICARed (tip) matrice oznaava broj kolona i vrsta matrice. Na primer, matrica A je tipa 3x2:1 2 A = 5 - 9 3 - 2 x2 3

Matrica B je tipa 2x3:

2 -1 6 B = 1 1 -1 2 x 35

Neke vrste matricaKvadratne Jedinine Matrica vrsta Matrica kolona Nulta matrica Transponovana matrica6

Kvadratne matriceMatrica koja ima isti broj elemenata u vrsti i koloni naziva se kvadratna matrica i to je matrica tipa nxn. U okviru kvadratne matrice mogu se uoiti glavna i sporedna dijagonala matrice. Elementi a11 , a22 ,..., ann , ine glavnu dijagonalu matrice, a elementi a , a ,..., a sporednu dijagonalu matrice.1n 2 n -1 n17

Jedinine matriceKvadratna matrica kod koje su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki 0 ( za i j , aij = 0) , a elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1 ( za i = j , aij = 1) , naziva se jedinina matrica i obeleava se simbolom I n x n gde je n broj vrsta i kolona. Jedinina matrica tipa n n :1 0 ... 0 0 ... 0 1 ... 0 ... ... ... 0 ... 1

8

Matrica vrstaMatrica koja ima samo jednu vrstu naziva se matrica vrsta i to je matrica tipa 1 n . Na primer:

A1x 4 = [0

2

1

4]9

Matrica kolonaMatrica koja ima samo jednu kolonu naziva se matrica kolona i to je matrica tipa: m1 Na primer:

1 A3 x1 = 2 2

10

Nulta matricaMatrica koja ima sve elemente jednake 0 naziva se nula matrica i obeleava se simbolom 0.

0 0 0 = 0 0

ili

0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0

11

Transponovana matricaTransponovana matrica AT ili A matrice A se dobija tako to se kolone matrice A smatraju za vrste matrice AT. Ako je matrica A tipa mxn, onda je transponovana matrica AT tipa nxm

12

Primer

1 2 1 3 = 3 4 2 4

T

13

Operacije sa matricamaJednakost matrica A = B Sabiranje (oduzimanje) matrica A B Mnoenje matrica realnim brojem r A Mnoenje matrica

14

Jednakost matricaDve matrice su jednake ako su istog tipa i ako su im odgovarajui elementi meusobno jednaki.A = aij mxn

B = bij

mxn

aij = bij i = 1, m j = 1, n

15

PrimerDa li su jednake matrice? 1 0 A = 2 1 3 2

i

1 2 3 B= 0 1 2

Nisu jer nisu istog tipa.16

Sabiranje matricaZbir dve matrice istog tipa je matrica, takoe istog tipa iji je svaki element jednak zbiru elemenata obe matrice sa iste pozicije. a11 a 21 ... am1 a12 a22 ... am 2 ... a1n b11 b12 b ... a2 n + 21 b22 ... ... ... ... ... amn mxn bm1 bm 2 ... b1n ... b2 n ... ... ... bmn mxn .

=

b11 + a11 b12 + a12 b + a 21 21 b22 + a22 ... ... bm1 + am1 bm 2 + am 2

... b1n + a1n ... b2 n + a2 n ... ... ... bmn + amn mxn

17

Primer 2 1 2 0 0 1 + 5 0 3 2 0 1 2 + 2 1 + 0 0 1 = 0+5 1 + 0 = 5 1 3 + 0 2 + ( 1) 3 1 18

Mnoenje matrica realnim brojemMatrica se mnoi realnim brojem tako to se svaki element matrice pomnoi datim realnim brojem.

a11 a r 21 ... am1

a12 a22 ... am 2

... a1n ra11 ... a2 n ra21 = ... ... ... ... amn ram1

ra12 ra22 ... ram 2

... ra1n ... ra2 n ... ... . ... ramn

19

Primer

2 3 3 0 1 1 5

2 6 0 = 0 1 3

9 3 15

6 0 3

20

Mnoenje matricaProizvod dve matrice, gde je broj kolona jedne matrice jednak broju vrsta druge matrice, je matrica iji je broj vrsta jednak broju vrsta prve matrice, broj kolona je jednak broju kolona druge matrice, a elemeni cij nove matrice se izraunavaju

cij = aik bkjk =121

n

Mnoenje matrica a11 a 21 ... am1 a12 a22 ... am 2 ... a1n b11 b12 b b ... a2 n 21 22 ... ... ... ... ... amn mxn bn1 bn 2 ... b1q ... b2 q ... ... ... bnq nxq

... c1q ... c2 q ... ... ... cmq c11 = a11b11 + a12b21 + ... + a1n bn1 cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ain bnj

c11 c12 c 21 c22 = ... ... cm1 cm 2

.

22

PrimerIzraunati proizvod matrica 1 0 2 5 i B = 2 0 3 A= 1 1 0 0 3

Proizvod matrica je definisan jer je matrica A tipa 3x2 a matrica B tipa 2x3( 1) 2 + 0 1 1 0 2 5 2 0 3 = 2 2 + 5 1 A B = 1 1 0 0 2 + 3 1 0 3

( 1) 0 + 0 ( 1) ( 1) 3 + 0 0 2 0 + 5 ( 1) 23 + 50 0 0 + 3 ( 1) 0 3 + 30

2 0 3 A B = 9 5 6 3 3 0

23

NapomenaMnoenje matrica nije komutativno

A B B A

24

DeterminanteSvaka kvadratna matrica A ima svoju determinantu D = det A koju obeleavamo sa:a11 D = det A = a21 ... an1 a12 a22 ... a1n ... a2 n

... ... ... an 2 ... ann

25

Osobine determinantiDeterminanta ima svoju vrednost koju moemo izraunati na vie naina Posmatrajmo determinantu:

D1x1 = a11 = a11

26

Determinante drugog redaVrednost determinante drugog reda, jednaka je razlici proizvoda lanova determinante na glavnoj dijagonali i lanova determinante na sporednoj dijagonali.

D2 x 2 =

a11 a12 a21 a22

D = a11a22 a21a12

27

Determinante treeg redaU sluaju determinante treeg reda, njena vrednost se moe izraunati tako to sa desne strane dopisujemo prve dve kolone. Vrednost determinante se dobija tako to se od sume proizvoda lanova na glavnim dijagonalama oduzme suma proizvoda lanova na sporednim dijagonalama

a11 D3 x 3 = a21 a31

a12 a22 a32

a13 a11 a12 a23 a21 a22 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 a31 a32 a13 a22 a31 a11a23 a32 a12 a21a3328

Primer1 A= 2 2 1 D= 2 2 2 3 2 4 1 5 1 4 1 2 3 5

3 1 2 5 1 2

=1(3)(1) +(2)12 + 425 2 (3)4) 115 (1)2(2) = 3 4 + 40 + 24 5 4 = 67 13 = 5429

Teorema o razvijanju determinanteDeterminanta kvadratne matrice je jednaka zbiru proizvoda elemenata bilo koje kolone, odnosno vrste, sa determinantom matrice koja se dobija iz polazne matrice brisanjem kolone i vrste koje sadre element sa kojim se mnoi. Opisani princip izraunavanja determinante odreene matrice se naziva i Laplasov razvoj.a11 a12 a22 ... a1n ... a2 n

D = det A =

a21 ... an1

... ... ... an 2 ... anni+2

det A = ( 1)

i +1

ai1 Ai1 + ( 1)

ai 2 Ai 2 + ... + ( 1)

i+n

ain Ain

30

PrimerVrednost determinante matrice 1 2 1 A = 2 5 1 1 1 2

5 1 2 1 2 5 (1) (1) det A =1 + 2 + 1 2 1 2 1 1

= 10 1 2 ( 4 + 1) ( 2 + 5) = 8

31

Inverzna matricaKvadratna matrica ima svoju inverznu matricu ako je detA razliita od 0. Inverzna matrica neke kvadratne matrice je ona matrica iji proizvod sa posmatranom kvadratnom matricom je jedinina matrica A A-1 = A-1 A=I. Sa A-1 je oznaena inverzna matrica. Matrica koja ima svoju inverznu matricu naziva se regularnom matricom.32

Izraunavanje inverzne matrice1 A* A = det A1

A* je adjungovana matrica matrice A M 11 1 1 A = M 12 det A M 13 M 21 M 22 M 23 M 31 M 32 , M ij = (1)i+ j Aij M 33 33

PrimerOdrediti inverznu matricu matrice Determinanta matrice je2 1 A= 2 5

det A = 1

pa ova matrica ima inverznu. Sada emo odrediti elemente adjungovane matriceA11 = 5 A12 = 2 A21 = 2 A22 = 1

1 -5 A = 1 21

-2 1 34

PrimerOdrediti inverznu matricu matrice Determinanta matrice je

det A = 4

1 2 1 A = 2 5 2 1 1 3

pa ova matrica ima inverznu. Sada emo odrediti elemente adjungovane matriceA11 = (1)1+1 5 2 2 2 2 5 = 13 A12 = (1)1+2 = 8 A13 = (1)1+3 =7 1 3 1 3 1 1 2 1 1 1 1 2 = 5 A22 = (1)2+2 = 4 A23 = (1)2+3 = 3 1 3 1 3 1 1

A21 = (1)2+1 A31 = (1)3+1

2 1 1 2 3+2 1 3+3 1 = 1 A32 = (1) = 0 A33 = (1) = 1 5 2 2 2 2 535

PrimerKonano

13 5 1 1 1 A = 8 4 0 4 7 3 1

36

Rang matriceRang matrice je jednak najveem prirodnom broju (redu), za koji postoji minor razliit od 0, i svi minori vieg reda posmatrane matrice su jednaki nuli Rang matrice se obeleava sa rang(A)

37

Teorema o rangu ekvivalentnih matricaAko su dve matrice ekvivalentne, tada su rangovi ovih matrica jednaki Rang matrice moe se koristiti pri analizi i pri reavanju sistema linearnih jednaina

38

PrimerOdrediti rang matrice

1 2 3 2 A = 2 3 5 1 1 3 4 5

Koristiemo elementarne transformacije matrice A

1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 A = 2 3 5 1 0 1 1 3 0 1 1 3 1 3 4 5 0 1 1 3 0 0 0 3 Najpre smo prvu vrstu mnoili sa (-2) i sabrali sa drugom a zatim prvu vrstu pomnoili sa (-1) i sabrali sa treom. U drugom koraku smo sabrali drugu i treu vrstu. Podmatrica

1 2 0 1

ima determinantu jednaku -1, a sve podmatrice reda 3, imaju determinante jednake 0, pa je rang A=2.

39

NEKE PRIMENE MATRINOG RAUNA

40

Reavanje sistema linearnih jednaina

Upoznaemo neke metode: MATRINI METOD KRAMEROV METOD KRONEKER-KAPELIJEVA TEOREMA REAVANJE HOMOGENIH SISTEMA41

Sistem tri jednaine sa tri nepoznateNeka je dat sistem:a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 S3 x 3 : a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

42

MATRINI METODSistem se moe predstaviti matrinom jednainom:A X = B gde je a11 a12 a13 x1 A = a21 a22 a23 X = x2 a a a x 3 31 32 33 b1 B = b2 b 343

MATRINI METODOva metoda se moe koristiti u sluaju da matrica sistema A ima svoju inverznu matricu (det A 0)X =A-1 B x1 M 11 1 x2 = M 12 det A x M 13 3 M 21 M 22 M 23 M 31 b1 M 32 b2 M 33 b3 44

PrimerReiti sistem matrinim metodom:

x+ y+z =6 2x y + z = 3 x 2 y + 2z = 3

Reenje:

1 A = 2 1

1 1 2

1 1 , 2

x 6 X = y i B = 3 z 3

X = A1 B

0 1 X = 3 6 3

4 1 3

2 6 6 1 3 = 1 12 = 2 1 6 18 3 3 3

Reenje naeg sistema je trojka brojeva (1,2,3)

45

KRAMEROV METODOvaj metod se moe koristiti u sluaju da je determinanta matrice A razliita od nule (det A) 0 Tada polazni sistem jednaina ima jedinstveno reenje dato Kramerovim formulama:

1 x1 = (b1M 11 + b2 M 21 + b3 M 31 ) det A 1 x2 = (b1M 12 + b2 M 22 + b3 M 32 ) det A 1 x3 = (b1M 13 + b2 M 23 + b3 M 33 ) det A46

Primerx+ y+z =6 2x y + z = 3 x 2 y + 2z = 3Reenje: D = det6 1 Dx = det A1 = 3 1 3 2

A =61 Dy = det A2 = 2 1 6 3 3 1 1 1 =12 Dz = det A3 = 2 1 21 1 2 6 3 =18 3

1 1 =6 2

Konano:

Dx x= =1 D

y=

Dy D

=2

i

Dz z= =3 D

47

KRONEKER-KAPELIJEVA TEOREMAPotrebno je uvesti i pomonu matricu Ap Matrica Ap proirena matrica sistema dobija se tako to se matrica koeficijenata sistema proiri sa kolonom slobodnih lanova:

a11 a12 a13b1 Ap = a21 a22 a23b2 a31 a32 a33b3 48

Reenja sistema linearnih jednaina na osnovu Kroneker-Kapelijeve teoreme

Ako je rang(A) < rang(Ap) sistem jednaina nema reenja Ako je rang(A) = rang(Ap) sistem je saglasan i u zavisnosti od relacije sa brojem n (u naem sluaju n=3) mogu nastupiti dva sluaja: - rang (A) = rang (Ap) = n=3, tada sistem ima jedinstveno reenje - rang (A) = rang (Ap) < 3, sistem ima beskonano mnogo reenja49

Primer2x + y z = 7Reiti sistem jednaina:2 A = 5 7 2 Ap = 5 7 1 1 2 1 4 7 19 3 3 6 19 3 1 1 7 2 4 7 1 19 3 6 8 19

5x 4 y + 7 z = 1 7x 3y + 6z = 8

1 2 1 1 0 19 3 0 0 0 0 0 1 1 7 2 1 1 7 3 0 50 19 3 0 50 3 0 50 0 0 0 0

Znai rang (A)=rang (Ap)=2 pa je sistem saglasan, ali nema jedinstveno reenje. Iz prve dve jednaine dobijamo sistem2x + y = 7 + z 5x 4 y = 1 7 z

y=

19 z + 33 13

x=

29 3 z 13

x=

29 3 z , 13

y=

19 z + 33 , 13

z = z,

z R.

50

Homogeni sistem jednainaSistem jednaina kod koga su slobodni lanovi 0, zove se homogen sistem jednaina.

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = 0 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = 0 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = 051

REAVANJE HOMOGENIH SISTEMAAko je posmatrani sistem linernih jednaina homogen i vai rang rang(A) = 3, Sistem ima trivijalna jedinstvena reenja sistema (0,0,0) Ako je pak rang(A)< 3, tada osim trivijalnog reenja postoji beskonano mnogo reenja52

REAVANJE HOMOGENIH SISTEMADakle, ako je:

a11 a12 a13b1 D = det A = a21 a22 a23b2 0 a31 a32 a33b3 Ako je D = det A = 0 sistem se transformie u sistem a11 x1 + a12 x2 =a13 x3 S2 x 2 i njega reavamo Kramerovim metodom. a21 x1 + a22 x2 =a23 x3 sistem ima samo trivijalna reenja (0,0,0)

53

Primerx1 x2 + 2 x3 = 0Sistem:

x1 + 2 x2 x3 = 0 2 x1 + x2 + x3 = 01 1 2 det A = 1 2 1 = 0 2 1 1

ima i netrivijalna reenja jer je

Opte reenje ( x1 , x2 , x3 ).

je:

2 x3 1 2 x3 x1 = , 1 1 1 2 x1 =x3 ,

1 2 x3 1 x3 x2 = , 1 1 1 2 x2 = x3 ,

x3 = x3

( x1 , x2 , x3 ) = (x3 , x3 , x3 )54

x3 = x3

TEST1. Izraunati A-1 za matricu

2 3 2 A = 6 6 4 1 2 1

4. Reiti sistem koristei Kramerove formule:

2. Izraunati

A2 2 A + 2 I

ako je

1 A = 1

1 1

x+ y+z =2 x 2 y 3 z = 4 2x + y + z = 35. Reiti sistem Matrinim metodom:

3. Reiti matrinu jednainu:

x+ y+z =2 2 x y + 3 z = 1 3 x + 2 y 2 z = 56. Reiti sistem:4x y + 2z = 0 7 y + 8z = 0 x + 2 y + 3z = 055

0 1 2 a) AX - A = 2 X + I gde je A = 2 3 4 1 0 1