Periodicne Uplate - Racun Uloga

1

PERIODIČNE UPLATE –RAČUN ULOGA

http://www.efsa.unsa.ba/

Nakon ovog časa moći ćete...

• Izračunati konačnu vrijednost za jednake uloge gdje

je period ulaganja jednak periodu obračuna kamate

• Izračunati konačnu vrijednost za jednake uloge gdje

je period uplate češći/rjeđi od obračuna kamate

• Izračunati konačnu vrijednost za varijabilne uloge

• Izračunati iznos uloga, kamatnu stopu i broj

periodičnih uplataKMF

2

Pretpostavke

• Uplate

– u jednakim vremenskim razmacima,

– u jednakim iznosima ili

– u iznosima koji se mijenjaju po nekoj matematičkoj

zakonitosti

KMF

Konačna vrijednost periodičnih uplata (uloga)

• Ulozi jednaki

• Period uplata i obračuna kamata isti:

– anticipativni ulozi

– dekurzivni ulozi

KMF

3

Anticipativni ulozi

Ulog Konačna vrijednost

1. rn ili

2. rn-1 ili

3. rn-2 ili

… …

n-2. r3 ili

n-1. r2 ili

n. r ili

KMF

npI

1npI −

2npI −

3pI

2pI

1pI

Anticipativni ulozi cont’d

• Konačna ukamaćena vrijednost

• ukoliko oduzmemo prvu jednačinu od druge

KMF

2 3 2 1

2 3 4 1 1

... /

...

n n nn

n n nn

S r r r r r r r

S r r r r r r r

− −

− +

= + + + + + +

= + + + + + +

1

( 1) ( 1)

( 1)

( 1)

nn n

nn

n

n

S r S r r

S r r r

r rS

r

+− = −

− = −

−=−

4


• Izraženo preko faktora I tablice dobija se

KMF

( )

1 2 3 2 1...

1

1

n n nn p p p p p p

nn p

n

np

S I I I I I I

S III

r rIII

r

− −= + + + + + +

=

−=

−


• Konačan izraz

– Algebarski

– Tablični

KMF

( )1

1

n

n

r rK u

r

−=

−

nn pK uIII=

5

Dekurzivne uplate

Ulog Konačna vrijednost

1. rn-1 ili

2. rn-2 ili

3. rn-3 ili

… …

n-2. r2 ili

n-1. r ili

n. 1

KMF

2npI −

3npI −

2pI

1pI

1npI −

Dekurzivne uplate cont’d

• Konačna ukamaćena vrijednost

• prva jednačina je geometrijska progresija, pa je

KMF

' 2 3 2 1

' 1 2 3 2 1

1 ... /

1 ...

n n nn

n n nn p p p p p

S r r r r r r

S I I I I I

− − −

− − −

= + + + + + +

= + + + + + +

' 1

1

n

n

rS

r

−=−

6

Dekurzivne uplate cont’d

• Izraženo preko dekurzivnog kamatnog faktora dobija

se

• Izraženo preko tablica složenih kamata dobija se

KMF

' 1

1

n

n

rK u

r

−=−

( )' 11 nn pK u III −= +

Ulozi odložene realizacije

• Konačna vrijednost se računa dva ili više uplatnih

perioda nakon uplate posljednjeg uloga – m

– Anticipativni ulozi

– Dekurzivni ulozi

KMF

1n mnm p pK uIII I −=

( )' 11 n mnm p pK u III I−= +

7

Primjer 1

• Svake godine u toku 5 godina uplaćivano je po 400

KM. Kamata je obračunavana godišnje po 7%(d).

Kolika je vrijednost uloga jednu godinu nakon uplate

posljednjeg uloga?

KMF

57400

400 6,15329

2461,32

nn p

n

n

n

K uIII

K III

K

K

=

== ⋅=

( )

( )5

1

1

1,07 1,07 1400

1,07 1

400 6,15329

2461,32

n

n

n

n

n

r rK u

r

K

K

K

−=

−−

=−

= ⋅=

Primjer 2

• Uloženo je prve godine 4000 KM, druge 5000 KM a

zatim pet puta u godišnjim razmacima po 3000 KM.

Banka obračunava kamatu godišnje po 7%(d). Kolika

je konačna vrijednost na dan posljednje, sedme,

uplate?

KMF

( )6 5 47 7 74000 5000 3000 1

30267,90

n

n

K I I III

K

= + + +

=

8

Period ukamaćenja veći od posljednjeg perioda u tablicama složenih kamata

• Ukoliko za period ukamaćenja ne postoji gotov faktor

KMF

n k n k n kp p p pIII III I III− −= +

Jednaki ulozi -ulaganje češće od obračuna kamate

• Anticipativni ulozi

KMF

( )1 1

1

1

1

mn

nm

r rK u

r

−=

−mn

nm cK uIII=

1 1100

cr = +

( ) ( )111

200n

mn p

p mK u m III − +

= + +

9

Jednaki ulozi -ulaganje češće od obračuna kamate

• Dekurzivni ulozi

KMF

' 1

1

1

1

mn

mn

rK u

r

−=−

( )' 11 mnmn cK u III −= +

1 1100

cr = +

( ) ( )' 111

200n

mn p

p mK u m III − −

= + +

Primjer 3a

• Svakog mjeseca u toku 5 godina treba da se ulaže po

200 KM. Kojim će iznosom ulagač raspolagati na dan

posljednje uplate ako se kamata obračunava

godišnje po 6%(d)?

KMF

( ) ( )

( )

' 1

' 460 6

11

200

6 11200 12 1 13901,07

200

nmn p

p mK u m III

K III

− −= + +

⋅ = + + =

10

Primjer 3b

• Svakog mjeseca u toku 5 godina treba da se ulaže po

200 KM. Kojim će iznosom ulagač raspolagati jedan

mjesec nakon posljednje uplate ako se kamata

obračunava godišnje po 6%(d)?

KMF

( ) ( )

( )

1

460 6

11

200

6 13200 12 1 13968,71635

200

nmn p

p mK u m III

K III

− += + +

⋅ = + + =

Jednaki ulozi -ulaganje rjeđe od obračuna kamate



KMF

( ) /

/

11

1

m mn mn mp m

nm m mp m

r r IIIK u u

r III

+− = = − −

/'

/

1

1

mnmnp m

nm m mp m

IIIrK u u

r III

−= =−

11

Primjer 4

• Kompanija je odlučila da ulaže početkom svake

godine u toku 5 godina po 20000 KM.

a) Kojim će iznosom raspolagati jednu godinu nakon

posljednje uplate ako banka obračunava kamatu

polugodišnje na bazi godišnje stope 6%(d)?

b) Kojim će iznosom raspolagati na dan posljednje

uplate ako banka obračunava kamatu polugodišnje

na bazi godišnje stope 6%(d)?

KMF

Primjer 4a cont’d


KMF

( )

( )2 10 123

10 2 23

10

11

1

1,03 1,03 120000 20000 1

1,03 1

119822,95

m mn mn mp

nm m mp

r r IIIK u u

r III

IIIK

III

K

+− = = − −

− = = − −

=

12

Primjer 4b cont’d


KMF

10

10

'

1010' 3

2 23

'

1

1

1,03 120000 20000

1,03 1

112944,62

nm

mnmnp

m mp

IIIrK u u

r III

IIIK

III

K

−= =−

−= =−

=

Iznosi uloga predstavljaju aritmetičku progresiju



KMF

( ) ( )' 1 11

1001 1n n

p p

dK u III III n

p− −= + ± + −

( )11

100n np p p

dK u III III nI

p= ± −

13

Isplate predstavljaju geometrijsku progresiju

• Anticipativni ulozi (r>q ili r<q)

• Dekurzivni ulozi (r>q ili r<q)

KMF

( )1

n n

n

r r qK u

r q

−=

−

'1

n n

n

r qK u

r q

−=−

( )1

n n

n

r q rK u

q r

−=

−

'1

n n

n

q rK u

q r

−=−

Uplate predstavljaju geometrijsku progresiju cont’d

• Anticipativni ulozi (r=q)

• Dekurzivni ulozi (r=q)

KMF

1n

n pK u nI=

' 11

nn pK u nI −=

14

Ostali elementi

• Iznos periodične uplate

• Kamatna stopa

• Broj periodičnih uplata

• Iznos kamata

KMF

Iznosi uloga



KMF

( )( )

1

1n

n

K ru

r r

−=

−: n

n pu K III=

( )' 1

1n

n

K ru

r

−=

−'

1

1

1n np

u KIII −=

+

15

Kamatna stopa

• Linearna interpolacija

KMF

n np

KIII

u=

Broj uloga



• Ne linearna interpolacija!!!KMF

( )1log 1 : lognK r

n rur

−= +

:n

p nIII K u=

( )' 1log 1 : logn

K rn r

u

−= +

'1 1n n

p

KIII

u− = −

16

Iznos kamata



KMF

( )

1

n n

n n np

nn p

I K nu

nI K

III

I u III n

= −

= −

= −

( )

'

'1

1

11

1

n n

n n np

nn p

I K nu

nI K

III

I u III n

−

−

= −

= − +

= + −

Rekapitulacija

• Iznos uloga

– Jednaki

– Varijabilne

– Različiti ili isti periodi isplata i obračuna

• Ostale elementi

• Vježba

KMF

17

PITANJA?

KMF

PERIODIČNE UPLATE –RAČUN ULOGA

http://www.efsa.unsa.ba/

Documents

Periodicne Uplate - Racun Uloga