!

20

A

A

1

1

: 3: z 3z 0, z , ,

0z .

i. 0z 1.

ii. 0z 1 i, 0, , .

iii. 14 , .

i. 3

30 0 0 0z 3z 0 z 3z 0. .

ii. 31 i 3 1 i 0 ... 6, 14 .

iii. 1 2 3z 1 i 6, z 1 i 6, z 2.

2

w : 2 22 w 3 2w 1 : E .

i. 2w . ii. w.

iii. : 2 21 12 z 3 i 2 z i 2 , .

i. . ii. 2

2 2 19w w w ... w .12

iii. 2 22 21 1 192 z 3 i 2 z i 2 ... 2 z i 3 2 z i 1 ... z i.

12

z i w

2 2 192 z 3 i 2 z i 1 ... z i.

12

:

2

3

z z 1 i z : 1 .

i. :

z x iy , x, y ,

x, y .

ii. , 1 2 3 4 2014z , z , z , z ,..., z 1 , :

1 2 3 4 2014z z z z ... z 0 .

iii. z : z i Im z 1 , z .

i. z x yi , x, y , : x yi 1 i x yi ... y x 1. 1H .

ii. .

iii. . 2x

y4

H .

4

: z x yi , x, y w i , , .

A. w 4 3 i z 5 i z , :

i. w .

ii. z , w 2 5 .

B. z

2 : 1

w zz

, :

i. w .

ii. : max w z min w z .

A

3

i. x 2y 0 .

ii x 2y 1 0 , x 2y 1 0 .

i :

2 2x y 4

...1i x yi

x yi

2 2

2 2

x y1

5 3

2 2

.

ii 1

max w z min w z2

.

5

A. u, w , :

i. 2 2 2 2

u w u w 2 u 2 w .

ii. 2 2 21 u 1 w u w .

B. u, w, z :

u w 3z 1 i, u w z 3 3i, iz 1 i 1.

i. u, w z .

ii. z .

iii. :

2 23z 1 i z 3 3i .

A.i 2 2

u w u w ... 2 2

2 u 2 w .

A.ii : 2 2 21 u 1 w u w ...

.i u w 3z 1 i u 2z 2 2i

... .u w z 3 3i w z 1 i

4

.ii 1, 1 1 .

.iii :

2 23z 1 i z 3 3i ...

2 22z 2 2i z 1 i 2z 2 2i z 1 i ...

2 2

2 u 2 w ... Bii

2 2 228 z 1 i 2 z 1 i 8 1 2 z 1 i 2

8 2 z 1 i : 1 .

C 1, 1 1 , 1,1 1 i,

M x, y z x yi , x, y ,

C , : M 26 8 2 26 8 2.

6

z.

A. :

i. 2 2z z z z 2 2.

ii. z z 1 z 1 z 2 .

B. z :

z z 1 z 2 z 3 4.

i. .

ii. 2 22 2z z 1 z 1 z 2 z z 1 z 1 z 2 .. z z z z 2. 2

. M x, y , 0,0 , 1,0 , 2,0 3,0 : z z 1 z 2 z 3 4 ...

4. . AB, 1,0 2,0 .

7

A. z : 2 2 2z 2iz 1 z 2iz 1 2 z 1 .

i. z i z i .

ii. z .

. 1 2z , z , :

A

5

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2z z z z 2 z 2 z .

. w 1 2i 5 i , .

i. w ,

.

ii. 1 2w , w , :

1 2w 1 2i w 1 2i 5 ,

1 2w w 10 ,

1 2w w 2 5.

A.i .

A.ii i.

B 2 2

u w u w ... 2 2

2 u 2 w .

.i K 1, 2 5.

.ii i 1 2w w 2 4i, 1 2w w 2 5.

8

:

0 ,

E : 4 3 2 2z 2z 5z 4z 12 0 , z .

q E 2w q q , :

i. q 1 .

ii. w ( ).

iii. 2, 17 16 17w 4w 4 .

i. .

6

ii. 4 3 2 2q 2q 5q 4q 12 0 ... 2 2w 4w 12 0, 2w q q.

2w 12.

iii. 2 2 3 3 3 3w 4w 2 12 0 ... w 4 0 w 4 ...

9

A. z :

2 2

2 z z : E .z 1 z 1

B. z :

i. z 1 z 1 2.

ii. z z 1 z z 1 .

2 2

z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 ... i . A 1, 0 B 1, 0 .

ii 2 2

z z 1 z z 1 z z 1 z z 1 ...

z z 0 z 1 z 1 2 z z 1 z 1 2,

z, : x 0 ( y y) ( Bi).

10

:

5 3i 3

z ,1 2i 3

, B z, z z , 0 .

i. z i, , .

ii. 3z .

iii. .

A

7

i. z 1 i 3. ii. 3z 8. iii. AB B 2 3.

11

: z 0, 1 z 1

w z .z 1

i. 1

w z w 0.z

ii. z

: w z w z .

iii. z

: w z w 2i .

i. .

ii. . x x O 0,0 A 1,0 .

iii. . y y O 0,0 .

12

z, w, :

3 2 3 2 2z w z 2wz z w wz 2z w,

A z 2 21C : x y 2x 0.

i. z 1 iw.

ii. B w 2(C ) .

iii. z , w

z , w . ( )

iv. :

1. z 1 iw , O,A,B .

2. z 1 iw , AOB :

. .

. .

8

i. 3 2 3 2 2z w z 2wz z w wz 2z w 2 2 2(z 1) i w 0

ii. z 1 iw ... w 2 22C : x y 1 .

iii. z , w 1 2

2 2 2z i

2 2

2 2w i

2 2 2 2 2z i

2 2

2 2w i .

2 2

iv. 1. w x yi , x, y , : 1 y x

det OA,OB ... 0.x y

iv. 2. . w x yi , x, y , : 1 y x

det OA,OB ... 2.x y

v. 2.. AOB

:

1y

2(OA) (OB)1

(AB) (OA) ... x ,2

(AB) (OB)x y 1

1 1

(x, y) , .2 2

2 21 1 1

x y 1 1 14 4 2

.

A

9

( )

13

z 2 i

z2 i

, .

i. z .

ii. 1 2z , z z , 1 25

z z2

.

iii. ( )

z ,

z .

i. , 3

0,4

, 54

, .

iii. 1

min z ,2

1

z i.2

max z .

14

2 2E : z 2 z n 1 0 , z , 0 .

) E .

) E .

) 1 2z , z E : 1 22

2z z1 2

ee z z

4 .

) 24 1 n f ( ) , , 2f ( ) 4 1 n , 0 .

1

8 12

f ( )

, f ( ) 4 4 0.

) : 1 2z z 2 1z z , , 2 2

1 1 1 1 2z z z z z n 1 h( ) ,

10

2h( ) n 1 , 0 . : 2 1h ( ) 2 1 ,

0 .

: 1 2 minmin min3 n2

z z h2

.

) Vieta: 1 2z z 2 , 2

1 2z z n 1 .

1 2z z

2

1 2

e...

z z

2 2

n 2

e e e eg( )

4 e 4

, 0 ,

2 1

3

eg ( ) ... 1 1 ,

2

0 .

0 :

1 2z z 2

min 2

1 2

e eg( ) g

4z z

, 21 2z z 4 0 ,

, 1 22

2z z1 2

ee z z

4 .

15

:

,

z 9 i, : 2 3Im z Im z ,

f : , :

x 4f x z x , x .

:

i. z. ii. f 0 .

iii. :

x

x 0

z 1im .

x

iv. f 0 .

i. z 9 15i. ii. x 4f x z x , x 0, f 0 1.

iii.

0x

0

x 0 D.L.H

z 1im ... n 306.

x

A

11

iv.

x xx x 4 34

x 0

f x z f x zf x z x f x z x x ... im 0.

x x

x x6

x 0 x 0

f x z z 1f x f 0im im ... n 306 f 0 n 306.

x 0 x x

16

:

, , ,

z z z , :

2z ,

f : , x x

z zf x .

i. z.

ii. f , .

iii. , x , : x x x

z z .

i. z,

M , M A ,0

M B ,0 , C

: z 0 i 0.2 2

ii. .

iii. 1: 1f

f x f 2 x 2.

17

f : 1,1 ,

12 2x 2x 1 x 1

2f x

12 2x 2x 1 1 x

2

z z 1.

i. f .

12

ii. 21 z 1 z z 1 z 2 Re z 1 .

iii. 213

3 1 z 1 z z .4

i. f 1, 1 133, .4

ii.

1z

z21 z 1 z z ...

z 1 2Re z 1 .

iii. z x yi, x, y , 21 z 1 z z 1 z 2 Re z 1

12 2x 2x 1 x 1

2 f x ,1

2 2x 2x 1 1 x2

: 213

3 1 z 1 z z .4

18

:

H f : , f 1 2, f 1 0,

: xf x 2f x x, x .

z, w :

z f w w f z ,

zz x w ,

2 x .

i. f .

ii. z w .

iii. z w

z w

.

iv. 23

Re z w z .2

v. : 2 2

2xt f x x

xx

im e dt.

A

13

i.

2

2

2

x x x 0

f x 0 x 0 f x x x, x .

x x x 0

ii. 2f x x x

z f w w f z

iii. z w z w

.z w z w

iv. 2 z w 0

2z zz x w z x w ...

2 4

2

2 2 3x 2x Re zw 0, x ...4

v. , 2 2

2xt f x x

xx

im e dt .

19

:

g : .

: 1z 1 2i, 2z 7 2i w, 1w z .

x : 1 2w z g x 1 w z g 2 x 1 0 : E . :

i. w

.

ii. 1A z 2B z AB .

iii. x : g x g 2 x 2.

iv. : g x 1.

v. 2

0

g x dx.

i. 1 2w z w z : . : 3x 2y 12 0.

ii. ... 1.

iii. E g x g 2 x 2, x : T .

14

iv. T g 1 1 g.

v. T 0 2. 2

0

g x dx 2.

20

:

g : 0,1 , 1

0

g t dt 2,

: 1

0

1w g t dt i g t dt, 0,1 .

2

i. w

.

ii. mw , m2 5

w min w .5

iii. 0 0,1 , 0

0

4g t dt .

5

iv. mw m2 5

w min w5

1 2, 0,1 1 2 , 0,1 ,

g 0.

i. w i, , , : 2 2.

ii. 2w ... 5 8 4 4

5

2 5min w .

5

iii. 0

5 g t d 8, 0,1

Bolzano.

iv. mw m2 5

w min w5

1 2, 0,1 1 2 ,

A

15

: 1 2 1 2

1 2

1 1

m

0 0 0 0

w g t dt 2i g t dt g t dt dt 2i g t dt g t dt g t dt.

Rolle x

0

G x g t dt 1 2, .

16

Page 1Page 2