NEKE POVRI U R 3 Povri koje se najee sreu u zadacima su: 1. Elipsoidi 2. Hiperboloidi 3. Paraboloidi 4. Konusne povri 5. Cilindrine povri

1. Elipsoidi Osnovna jednaina elipsoida ( kanonska) je :z

x2 y 2 z 2 + + =1 a 2 b2 c2

c y

b a

x

a,b i c su odseci na x,y i z osi. Presek elipsoida sa koordinatnim ravnima uvek daje elipsu. Ovaj elipsoid je centralni, to jest centar mu je u koordinatnom poetku O(0, 0, 0) . Moe se desiti da je centar van koordinatnog poetka, pa takav elipsoid ima formulu: ( x p)2 ( y q)2 ( z r )2 + + = 1 , gde je centar u taki C(p,q,r). a2 b2 c2

Ako je a = b = c i recimo a = b = c =R onda jednaina postaje jednaina sfere : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ovo je sfera sa centrom u koordinatnom poetku O(0, 0, 0) , poluprenika R.z

Ry

R Rx

www.matematiranje.com

1

Naravno, i sfera moe imati centar van koordinatnog poetka, pa je onda jednaina takve sfere: ( x p) 2 + ( y q ) 2 + ( z r ) 2 = R 2 gde je centar u taki C( p,q,r).Primer 1.

Nadji centar i poluprenik sfere x 2 + y 2 + z 2 + 4 x 6 y 10 z 42 = 0 Reenje Da bi sklopili sferu , radiemo slino kao i kod sklapanja jednaine krunice, vriemo dopune do punog kvadrata... Najpre pretumbamo, sve uz x, pa uz y, pa uz z. x 2 + y 2 + z 2 + 4 x 6 y 10 z 42 = 0 x 2 + 4 x + y 2 6 y + z 2 10 z 42 = 0 onaj uz x 2 onaj uz y 2 onaj uz z 2 Dodajemo i oduzimamo ( ) , pa ( ) i ( ) 2 2 2 x 2 + 4 x + 4 4 + y 2 6 y + 9 9 + z 2 10 z + 25 25 42 = 0 ( x + 2) 2 + ( y 3) 2 + ( z 5) 2 80 = 0 ( x + 2) 2 + ( y 3) 2 + ( z 5) 2 = 80 Odavde je C(-2,3,5) i R 2 = 80 R = 80

2. Hiperboloidi

Postoje dve vrste hiperboloida : jednograni i dvograni. Jednograni hiperboloid ima jednainuz

x2 y 2 z 2 + = 1 i izgleda : a 2 b2 c 2

oa

yb

x

www.matematiranje.com

2

Vidimo da se on prostire du z ose, a moe biti i du x -ose ili y- ose, gde bi se onda menjao znak minus u jednaini hiperboloida: x2 y2 z 2 x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1 ili 2 2 + 2 = 1 a2 b c a b c x2 y 2 z 2 x2 y 2 + 2 2 = 1 vai da on u preseku sa ravni z = 0 daje elipsu 2 + 2 = 1 koja se a2 b c a b

Za poetni jednograni hiperboloid naziva grlo hiperboloida.

Dvograni hiperboloid ima jednainuz

x2 y 2 z 2 + = 1 i izgleda: a 2 b2 c2

y

o

x

Vidimo da se i on nalazi du z- ose. ( opet zbog onog minusa)3. Paraboloidi

Postoje dve vrste paraboloida : eliptiki i hiperboliki. Eliptiki paraboloid ima jednainuz

x2 y 2 + = 2 z i izgleda : p q

y

o

x

www.matematiranje.com

3

Najee se u zadacima zadaje takozvani rotacioni paraboloid , kod koga je p = q i njegova jednaina je onda: x 2 + y 2 = 2 pzx2 y2 Hiperboliki paraboloid ( kao sedlo) ima jednainu = 2 z a izgleda: p qz

x

o

y

4. Konusne povri

Neka je D kriva u R 3 i V taka u R 3 . Skup pravih koji sadre taku V i take krive D nazivamo konusna povr. Kriva D je direktrisa te konusne povri a svaka prava koja prolazi kroz taku V i take krive D je generatrisa. Posmatramo direktrisu D :{ F1 ( x, y, z ) = 0 F2 ( x, y, z ) = 0 i taku V ( a, b ,c ) .

Neka taka M(x,y,z) pripada konusnoj povri ako i samo ako pripada nekoj pravoj koja je odredjena vrhom V ( a, b ,c ) i nekom takom A( , , ) sa direktrise D. Praktino, mi radimo sledee: koordinate take A( , , ) zamenimo u direktrisu prave kroz dve take ( kroz V i A) : vektora) F1 ( , , ) = 0 xa y b z c i = = eliminiemo , i i dobijamo jednainu F2 ( , , ) = 0 a b cwww.matematiranje.com

F1 ( , , ) = 0 i F2 ( , , ) = 0

u jednainu

xa y b z c = = ( ovo inae vai i zbog kolinearnosti odgovarajuih a b c

Iz dobijenih jednaina konusne povri.

4

Primer 2.

Napisati jednainu konusne povri iji je vrh u taki V(0,0,2) a direktrisa je kriva D : {

x2 + y 2 = 1 z =1

Reenje Radimo kao u opisanom postupku

A( , , ) pripada direktrisi, pa je D : { Odavde moramo eliminisati , i Iz x

2 + 2 =1 x0 y0 z 2 x y z2 i = = = = 0 0 2 2 =1

x

= = =

y

=

z2 x y z2 x y z2 = = = = 2 1 2 1

y

z2 x = z2 1 z2 y = z2 1

smo izrazili i , sad ovo menjamo u direktrisu:

=

x y = z2 z2

2 + 2 = 9( x 2 y 2 ) +( ) =9 z2 z2 x2 y2 + =9 ( z 2) 2 ( z 2) 2

x 2 + y 2 = 9( z 2) 2

I dobili smo jednainu traene konusne povri. x2 y 2 z 2 + = a izgleda : a 2 b2 c2www.matematiranje.com

Jo jedna stvar: u zadacima se najee pojavljuje eliptiki konus koji ima jednainu

5

z

o

y

x

Naravno , esto se u vezi sa integralima javlja i konus kod koga je a = b = c = 1 , to jest x 2 + y 2 = z 2

5. Cilindrine povri

u r u r Neka su u R 3 dati vektor p i kriva K. Unija svih pravih u R 3 koje su paralelne sa datim vektorom p i seku krivu K

naziva se cilindrina povr.

Tri najpoznatije cilindrine povri su :x2 y 2 + =1 a 2 b2

i) eliptiki cilindar koji ima jednainu

i izgleda :

z

y

o

x

www.matematiranje.com

6

ii) hiperboliki cilindar koji ima jednainuz

x2 y 2 = 1 i izgleda : a 2 b2

O x

y

iii) paraboliki cilindar koji ima jednainu y 2 = 2 px i izgleda:z

O x

y

Jednainu cilindrine povri izvodimo na sledei nain:

u r F ( x, y , z ) = 0 Neka su nam dati vektor p = (l , m, n) i kriva K : { ( direktrisa) G ( x, y , z ) = 0Uoimo taku A( , , ) koja zadovoljava:F ( , , ) = 0 G ( , , ) = 0

i

x y z = = l m n

Odavde eliminiemo , i .www.matematiranje.com

7

Primer 3.

x2 + y 2 = 1 Odrediti jednainu cilindrine povri ija je direktrisa krug D : { a generatrisa je paralelna vektoru z=0 u r p = (1,1,1) . Reenje:Ako taka A( , , ) pripada direktrisi onda jeIz x y z x y z 0 = = z =0 = = x = y = z 1 1 1 1 1 1 x = z = x z y = z = yz Ovo zamenimo u

2 + 2 =1 i =1

x y z = = 1 1 1

2 + 2 =1I dobijamo traenu jednainu cilindrine povri ( x z )2 + ( y z )2 = 1www.matematiranje.com

8