1.  Περί  συντηρητικών  πεδίων  δυνάμεων    Μια  περιοχή   του   χώρου  θεωρείται,  ως  προς   ένα  αδρανειακό  σύστημα  αναφοράς,  πεδίο  δυνάμεων   αν  σε  κάθε  σημείο   της  περιοχής  αντιστοιχεί   δύναμη  ορισμένου  χαρακτήρα,  η  οποία  εκδηλώνεται  πάνω  στο  κατάλληλο  υπόθεμα  του  πεδίου  αν  αυτό  βρεθεί  στο  θεωρούμενο  σημείο.  Χαρακτηριστικά  παραδείγματα  πεδίων  δυνά  μεων   είναι   το   πεδίο   βαρύτητας   με   κατάλληλο   υπόθεμα   μια   σημειακή   μάζα,   το  ηλεκτρικό  πεδίο  με  κατάλληλο  υπόθεμα    ένα  ηλεκτρισμένο  υλικό  σημείο,  το  μαγνη  τικό   πεδίο   με   κατάλληλο   υπόθεμα   ένα   κινούμενο   ηλεκτρισμένο   σημείο,   το   πεδίο  ελαστικών   δυνάμεων   που   εμφανίζονται   σε   υλικά   σημεία   όταν   αυτά   βρεθούν   σε  αλληλεπίδραση  με  ελαστικά  παραμορφωμένα  σώματα  κ.λ.π.    Ας   δεχθούμε   ότι   ένα   πεδίο   δυνάμεων  

�

F   είναι   εντοπισμένο   εντός   μιας   απλής  

συνεκτικής  **  περιοχής  και  ότι  ένα  υλικό  σημείο  μάζας  m  μετατοπίζεται  μέσα  στο  πεδίο   δεχόμενο   μόνο   την   δύναμη  

�

F ,   δηλαδή  αγνοούμε  προς   το  παρόν   τις   όποιες  

άλλες   δυνάμεις   είναι   πιθανόν   να   δέχεται.   Υποθέτουμε   ότι   η   δύναμη  

�

F   είναι  

χωροεξαρτώμενη,   δηλαδή  εξαρτάται  μόνο  από  την  θέση  του  υλικού  σημείου  ως  προς  ένα  αδρανειακό  σύστημα  αναφοράς  και  όχι  από  τον  χρόνο  t  και  την  ταχύτητά  του  

�

v ,  δηλαδή  η  δύναμη  του  πεδίου  είναι  της  μορφής  

�

F = F ( r ), όπου

�

r το διάνυσµα

θέσεως του σηµείου ως προς µία αρχή Ο.   Έστω   ότι   σε   ορισμένο   χρόνο   το   υλικό  σημείο  μετατοπίζεται  μεταξύ  των  θέσεων  α  και  β  διαγράφοντας    καμπύλη  τροχιά  και  ότι  ο  χαρακτήρας  της  δύναμης  

�

F  της  προσδίδει  την  εξής    ιδιότητα:  

 Oποιοδήποτε   και   αν   είναι   το   ζευγάρι   σημείων   (α,   β)   το   έργο   της  

�

F   είναι  

ανεξάρτητο  της  μορφής  της  τροχιάς  που  διαγράφει  η    σημειακή  μάζα  m  και  εξαρτάται  μόνο  από  τις  συντεταγμένες  των  ακραίων  θέσεων  α  και  β.    Κάθε  δύναμη  με  την  παραπάνω  ιδιότητα  ορίζεται  ως  συντηρητική  δύναμη  και  το  αντίστοιχο   πεδίο   ως   συντηρητικό.   Για   να   κατανοήσουμε   την   συμπεριφορά   μιας  τέτοιας  δύναμης  θεωρούμε  ότι  η  μάζα  m    μετατοπίζεται  από  α  σε  β  ακολουθώντας    -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  **   H   συνεκτικότητα   ενός   Ευκλείδιου   χώρου   είναι   καθαρώς   μαθηματική   έννοια   και   η  αυστηρή   θεμελίωση   της   δεν   ενδιαφέρει   τον   μελετητή   Γενικής   Φυσικής.   Θα   δόσουμε   ένα  κάπως   εποπτικό   ορισμό   της   συνεκτικότητος   ενός   χώρου,   που   σε   μερικές   περιπτώσεις  ενδιαφέρει    ένα  Φυσικό.  Μια  περιοχή  που  αποτελεί  υποσύνολο  του  ευκλείδιου  χώρου  R2  ή  R3  θεωρείται  απλά  συνεκτική,  όταν  μια  οποιαδήποτε  καμπύλη  που  ανήκει  στην  περιοχή  αυτή  μπορεί  να  συσταλεί   (συρικνωθεί)  σε   ένα  σημείο,   χωρίς  να  βγεί  από  την  περιοχή.  Αυτό  θα  συμβαίνει   όταν   εντός   της   περιοχής   δεν   υπάρχουν   σημεία   ασυνέχειας   ή   τρύπες   για   μια  συνάρτηση  που  το  πεδίο  ορισμού  της  είναι  η  περιοχή  αυτή.  

δύο   διαφορετικές   τροχιές   α1β   και   α2β.   Τότε   για   τα   αντίστοιχα   έργα   Wαβ(1)   και  Wαβ(2)  της  

�

F  θα  ισχύει  η  σχέση:  

                 

�

Wαβ(1) = Wαβ

(2)    

�

⇒    

�

Wαβ(1) - Wαβ

(2) = 0                                                                                                                                                                        (1)    Όμως  από  τον  ορισμό  του  έργου  δύναμης  ισχύει:                    

�

Wαβ(2) = -Wβα

(2)    oπότε  η  (1)  γράφεται:                    

Wαβ

(1)+Wβα(2)=0    

�

⇒    

�

W(C) = 0    

�

⇒    

F(r)⋅dr

(C)∫ = 0                                                                                                              (2)  

 

 Σχήμα  1  

 όπου  το  επικαμπύλιο  ολοκλήρωμα  του  πρώτου  μέλους  της  (2)  υπολογίζεται  κατά  μήκος   της   τυχαίας   κλειστής   τροχιάς   C(α1β2α).   Η   σχέση   (2)   δηλώνει   ότι   το   έργο  συντηρητικής   δύναμης   που   αντιστοιχεί   σε   μια   οποιαδήποτε   κλειστή   τροχιά   του  υλικού   σημείου   που   την   δέχεται   είναι   μηδενικό.   Αυτό   σημαίνει   ότι   η   δράση   της  συντηρητικής  δύναμης  δεν  μεταβάλλει   τελικώς   την  κινητική   ενέργεια   του  υλικού  σημείου,  όταν  αυτό  επανέλθει  στην  αρχική  του  θέση  διαγράφoντας  κλειστή  τροχιά.    Στην  συνέχεια  θα  συναντήσουμε  συντηρητικές  δυνάμεις,   όπως  είναι  οι  βαρυτικές  δυνάμεις,  οι  ηλεκτροστατικές  δυνάμεις,  οι  δυνάμεις  που  απορρέουν  από  ελατήρια  με   ελαστική   παραμόφωση   και   γενικώς   οι   κεντρικές   δυνάμεις   που   το   μέτρο   τους  είναι  συνάρτηση  της  απόστασης   του  υλικού  σημείου  από  το   ελκτικό  ή  απωστικό  τους  κέντρο.      Ας  δούμε  όμως  ποια  συνέπεια  έχει  η  σχέση  (2)  για  την  συντηρητική  δύναμη  

�

F = F ( r ). Προς   τούτο   φανταζόμαστε   εντός   της   περιοχής   του   πεδίου   μια  

ανοικτή  επιφάνεια  S  τυχαίου  σχήματος  η  οποία  περατώνεται    στην  κλειστή  γραμμή  C  (σχ.  2  ). Το  θεώρημα  του  Stokes  επιτρέπει  να  έχουμε  την  σχέση:                    

F(r)⋅dr

(C)∫ =

∇ ×F(r)( ) ⋅dS

(S)∫∫                                                                                                                                                                                (3)  

 Στην   σχέση   (3)   το  

∇   είναι   ο   λεγόμενος   διαφορικός   τελεστής   ανάδελτα,   που  

εκφράζει  ένα  συμβολικό  διάνυσμα  με  καρτεσιανή  μορφή:  

∇ = ∂

∂xi+ ∂

∂yj + ∂

∂z

k  

 που   στην   πραγματικότητα   δεν   είναι   διάνυσμα,   αφού   στερείται   μέτρου   και   διεύ  θυνσης,  έχει  όμως  διανυσματικό  χαρακτήρα  αφού  εμπεριέχει  τα  καρτεσιανά  μονα  διαία  διανύσματα  

i ,   j ,   k  αλλά  και  διαφορικό  χαρακτήρα,  αφού  εμπεριέχει    

 

                                                                                               

                                                                                                                                   Σχήμα  2        τις  μερικές  παραγώγους   ∂/∂x ,   ∂/∂y ,   ∂/∂z .  To  εξωτερικό  γινόμενο  

∇×F(r)  είναι  ο  

στροβιλισμός   της   συντηρητικής   δύναμης   που   σε   καρτεσιανές   συντεταγμένες  εκφράζεται  με  την  ορίζουσα:    

∇×F(r)( ) =

i

j

k

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂zFx Fy Fz

 

 Συνδυάζονττας  τις  σχέσεις    (2)  και  (3)  παίρνουμε:    

∇ ×F(r)( ) ⋅dS

(S)∫∫ = 0  

 και  επειδή  η  πιο  πάνω  σχέση  ισχύει  για  τυχαία  επιφάνεια  S  προκύπτει  ότι:  

∇×F(r)⎡⎣ ⎤⎦ =

0 (4)  

 Η  (4)  αποτελεί  την  αναγαία  συνθήκη,  ώστε  η  δύναμη  

F(r)   να  είναι  συντηρητική.    

Όμως  η  (4)  αποτελεί  και  ικανή  συνθήκη  για  να  είναι  η   F(r)  συντηρητική  ,  δηλαδή  

αν  ο  στροβιλισμός  της   F(r)  είναι  παντού  μηδενικός,  τότε  η  δύναμή  είναι  συντηρητι  

κή.   Πράγματι   λόγω   της   απλής   συνεκτικότητος   της   περιοχής   ορισμού   του   πεδίου  μπορούμε  σε  κάθε  τυχαία  κλειστή  γραμμή  C  που  βρίσκεται  εντός  της  περιοχής  να  αντιστοιχίσουμε  μια  ανοικτή   επιφάνεια  S  που  το  ανοικτό  της  άκρο  ταυτίζεται  με  την   C,   δηλαδή   η   C   oριοθετεί   την   επιφάνεια.   Εφαρμόζοντας   το   θεώρημα   Stokes  παίρνουμε  την  σχέση:”        

                   

F(r)⋅dr

(C)∫ =

∇ ×F(r)( ) ⋅dS

(S)∫∫     ⇒

(4)

F(r)⋅dr

(C)∫ = 0  

 η  οποία  δηλώνει  την  συντηρητικότητα  της  

F(r) .  

 Παρατήρηση:  Eάν  η  περιοχή  ορισμού  του  πεδίου  δυνάμεων  δεν  είναι  απλά  συνεκ  τική   π.χ.   περιέχει   σημεία   ασυνέχειας   του   πεδίου   ή   τρύπες   είναι   δυνατόν   ο   στρο  βιλισμός  του  πεδίου  να  είναι  παντού  μηδενικός  στην  περιοχή  ορισμού  του,  αλλά  το  πεδίο  μη  συντηρητικό  υπό  την  έννοια  ότι  μπορεί  ανάλογα  με  την  μορφή  της  συνάρ  τησης  

F(r) =

F(x,y,z)  και  της  τοπολογίας  της  περιοχής  ορισμού  της  δύναμης  να  

υπάρχουν  κλειστές  καμπύλες  κατά  μήκος  των  οποίων  το  έργο  της  δύναμης  να  είναι  διάφορο  του  μηδενός,  δηλαδή  το  πεδίο  ενδέχεται  άλλοτε  να  είναι  συντηρητικό  και  άλλοτε  όχι.  (βλέπε  λυμένα  παραδείγματα  5  και  6)    Στην   συνέχεια   θα   αναφερθούμε   σε   μια   σπουδαία   ιδιότητα   των   συντηρητικών  δυνάμεων   χρησιμοποιώντας   μια   βασική   έννοια   της   διανυσματικής   ανάλυσης  που  φέρει  το  όνομα  βαθμίδα  (gradient)  μονόμετρης  συνάρτησης.  Προς  τούτο  θεω  ρούμε   μια   μονόμετρη   συνάρτηση   U(

r) = U(x,y,z) η   οποία   είναι   συνεχής   και  

παραγωγήσιμη  στο  πεδίο  ορισμού  της,  που  είναι   ίδιο  με  εκείνο  της  συντηρητικής  δύναμης.  Εάν  οι  μερικές  παράγωγοι   ∂U/∂x , ∂U/∂y , ∂U/∂z της  συνάρτησης  αντι  καταστήσουν  στον  τελεστή  ανάδελτα  (

∇ )  τις  αντίστοιχες  παραγώγους  του   ∂/∂x ,

∂/∂y , ∂/∂z  θα  προκύψει  μια  διανυσματική  συνάρτηση  που  ονομάζεται  βαθμίδα  ή  κλίση  της   U(

r) και συµβολίζεται µε

∇U(r),  δηλαδή  ισχύει:    

 

∇U(r) = ∂U

∂xi+ ∂U

∂yj + ∂U

∂z

k (5)  

 Eύκολα   συμπεραίνουμε   ότι   η   βαθμίδα   της   μονόμετρης   συνάρτησης   U(

r) προκύ  

πτει από την δράση του τελεστή ανάδελτα  επί  της  συνάρτησης.  Εάν  τώρα  θεωρήσου  με   τον   στροβιλισμό     του  

∇U(r)   μπορούμε   να   δείξουμε   την   σχέση   (βλέπε   λυμένο  

παράδειγμα  2):      

∇×∇U(r)⎡⎣ ⎤⎦ =

0 (6)  

 H   σύγκριση   των   των   σχέσεων   (4)   και   (6)   μας   επιτρέπει   να   ισχυριστούμε   ότι   η  συντηρητική   δύναμη   μπορεί   να   προκύψει   από   την   μονόμετρη   συνάρτηση   U(

r),

µέσω της σχέσεως:                  

F(r) = −

∇U(r) (7)  

 H  συνάρτηση   U(

r) ονομάζεται  δυναμική  ενέργεια  της  μάζας  m,  λόγω  της    συντη  

ρητικής  δύναμης   F(r)  που  δέχεται.  Είναι  προφανές  ότι  το  πρόσημο  (-­‐)  στην  σχέση  

(7)   ουδέν   πρόβλημα  προκαλεί   και   έγινε   για   τεχνικούς   και   μόνο   λόγους,   όπως   θα  

φανεί   παρακάτω.   Αποδείχθηκε   λοιπόν   η   εξής   σπουδαία   πρόταση   που   αφορά  συντηρητικές  δυνάμεις:        Kάθε   συντηρητική   δύναμη   απορρέει   από   συνάρτηση   δυναμικής   ενέργειας  της  μορφής   U(

r) = U(x,y,z)  σύμφωνα  με  την  σχέση  (7).  

 Ισχύει   και   η   αντίστροφη   πρόταση,   δηλαδή   αν   μια   δύναμη  

F(r)   ικανοποιεί   την  

σχέση   (7)   τότε   είναι   συντηρητική.   Για   την   απόδειξη   θεωρούμε   το   διαφορικό   της  δυναμικής  ενέργειας,  για  το  οποίο  ισχύει:  

dU(r) = ∂U

∂xdx + ∂U

∂ydy + ∂U

∂zdz =

∇U(r) ⋅dr⎡⎣ ⎤⎦ = −

F(r)⋅dr (8)  

 όπου   d

r   μια   τυχαία  στοιχειώδης  μετατόπιση  της  μάζας  m.  Oλοκληρώνοντας   την  

(8)  κατά  μήκος  μιας  τυχαίας  κλειστής  γραμμής  C  που  βρίσκεται  εντός  της  περιοχής  ορισμού  του  πεδίου  

F(r)  παίρνουμε  την  σχέση:  

 

dU(r)

(C)∫ = −

F(r)⋅dr

(C)∫

�

⇒   0 =

F(r)⋅dr

(C)∫

η  οποία  εξασφαλίζει  την  συντηρητικότητα  της  δύναμης  

F(r) .  

   2.  Θεώρημα  διατήρησης  της  μηχανικής  ενέργειας    Θεωρούμε  ένα  μικρό  σώμα  (υλικό  σημείο)  που  κινείται  σε  χώρο  όπου  εκδηλώνεται  πάνω  σ’  αυτό  η  συντηρητική  δύναμη  

�

F ,  χωρίς  να  δέχεται  άλλες  δυνάμεις.  Eπειδή  το  

έργο   Wα

β  της  δύναμης  αυτής  που  αντιστοιχεί  σε  μετατόπιση  του  σώματος  από  τη    

   

Σχήμα  3    θέση  α  στη  θέση  β  της  τροχιάς  του  είναι  ανεξάρτητο  της  μορφής  της  τροχιάς  και  εξαρτάται  μόνο  από  τις  επιβατικές  ακτίνες  

rα  και  

rβ  των  θέσεων  αυτών  ως  προς  

μια  αρχή  Ο,  η  δύναμη  απορρέει  από  συνάρτηση  δυναμικής  ενέργειας   U(r)  για  την  

οποια  ισχύει:  

Wαβ = (

F⋅dr)

rα

rβ

∫ = −∇U(r)⋅dr⎡⎣ ⎤⎦

rα

rβ

∫ = − dU(r)

rα

rβ

∫ ⇒  

Wα

β = − U(rβ ) − U(

rα )⎡⎣ ⎤⎦ = U(

rα ) − U(

rβ ) (1)  

   όπου  

r το   διάνυσμα   θέσεως   του   σώματος.   Εξάλλου   εφαρμόζοντας   για   το   σώμα  

μεταξύ  των  θέσεων  α  και  β  το  θεώρημα  κινητικής  ενέργειας–έργου,    θα  έχουμε:    

                Wαβ = Κ(

rβ ) − Κ(

rα )    

�

⇒(1)

    Κ(rβ ) − Κ(

rα ) = U(

rα ) − U(

rβ )      

�

⇒                     Κ(

rα ) + U(

rα ) = Κ(

rβ ) + U(

rβ )                                                                                                                                                                            (2)  

 δηλαδή  κατά  την  κίνηση  του  σώματος  υπό   την   επίδραση  μόνο   της  συντηρητικής  δύναμης  

�

F ,   το   άθροισμα   της   κινητικής   του   ενέργειας   και   της   δυναμικής   του  

ενέργειας   που   οφείλεται   στην  

�

F ,   διατηρείται   σταθερό.   Aν   το   άθροισμα   αυτό  

ονομαστεί  μηχανική  ενέργεια  του  σώματος,  τότε  μπορούμε  να  διατυπώσουμε  την  ακόλουθη   πρόταση,   η   οποία   αποτελεί   το   θεώρημα   διατήρησης   της   μηχανικής  ενέργειας.    Eάν   ένα   σώμα   κινείται   υπό   την   επίδραση   συντηρητικής   δύναμης,   τότε   η  μηχανική  του  ενέργεια  διατηρείται  σταθερή.                                        Έτσι,  εάν  

�

v  είναι  η  ταχύτητα  του  σώματος  σε  μια  τυχαία  θέση  M  της  τροχιάς  του  

και   r  η  επιβατική  του  ακτίνα  στη  θέση  αυτή,  τότε  θα  ισχύει:  

                 mv2/2  +  U(

r )  =  E0                                                                                                                                                                                                                              (3)  

 όπου   E0   η   σταθερή   μηχανική   ενέργεια   και   m   η   μάζα   του   σώματος.   H   σχέση   (3)  επιτρέπει  να  εκφράσουμε  το  μέτρο  της  ταχύτητας  του  σώματος  ως  συνάρτηση  της  θέσεώς  του  ως  προς  την  αρχή  Ο,  δηλαδή  αποτελεί  ένα  ολοκλήρωμα  του  δεύτερου  νόμου   κίνησης   του   Nεύτωνα.   Το   θεώρημα   διατήρησης   της   μηχανικής   ενέργειας  δικαιολογεί  πλήρως  την  ονομασία  της  δύναμης  που  εμπλέκεται  σ΄αυτό  ως  συντηρη  τικής  ή  διατηρητικής.      Σπουδαία  παρατήρηση:    

 Eάν  το  σώμα  πού  εξετάζουμε  δέχεται  μόνο  συντηρητικές  δυνάμεις  και  βρίσκεται  σε  κατάσταση   ισορροπίας,   τότε   η   συνισταμένη  

�

F   των   συντηρητικών   δυνάμεων   θα  

είναι   ίση   με   μηδέν,   οπότε   για   μια   στοιχειώδη   μετατόπιση   του   σώματος   από   την  κατάσταση   αυτή   η   αντίστοιχη   μεταβολή   dU(

r)της   δυναμικής   του   ενέργειας   θα  

είναι:                   dU(

r) = − (

F⋅dr) = 0 ⇒     dU(

r)/dr = 0                                                                                                                                  (4)  

 H  σχέση  (4)  δηλώνει  ότι  στην  κατάσταση  ισορροπίας  του  σώματος  η  δυναμική  του  

 ενέργεια   U(r) παρουσιάζει  μέγιστη  ή  ελάχιστη  τιμή.  Aς  δεχθούμε  ότι  η U(

r))  στην  

κατάσταση  ισορροπίας  του  σώματος  είναι  ελάχιστη  και  έστω  ότι,  το  σώμα  απομακ  ρύνεται   λίγο  απο  την  κατάσταση  αυτή  και  αφήνεται   ελεύθερο.  Tότε   το  σώμα  θα  τεθεί  σε  κίνηση,  αφού  η  νέα  θέση  του  δεν  είναι  θέση  ισορροπίας,  οπότε  η  ταχύτητά  του  θα  αυξάνεται  δηλαδή  η  κινητική  του  ενέργεια  θα  αυξάνεται  και  σύμφωνα  με  το  θεώρημα   διατήρησης   της   μηχανικής   του   ενέργειας   η   δυναμική   του   ενέργεια   θα  μειώνεται,   δηλαδή   αυτό   θα   κινείται   προς   την   θέση   ισορροπίας   του  που   σημαίνει  ότι,  η  θέση  αυτή  είναι  θέση  ευσταθούς   ισορροπίας.  Aς  δεχθούμε  ότι  η   U(

r) στην  

κατάσταση  ισοροπίας  του  σώματος  είναι  μέγιστη  και  ότι  το  σώμα  απομακρύνεται  λίγο  από  την  θέση  αυτή  και  αφήνεται  ελεύθερο.  Tότε  θα  αρχίσει  κινούμενο  εκ  της  ηρεμίας,   δηλαδή   η   ταχύτητά   του   θα   αυξάνεται   και   σύμφωνα   με   το   θεώρημα  διατήρησης  της  μηχανικής  του  ενέργειας  η  δυναμική  του  ενέργεια  θα  ελαττώνεται,  δηλαδή  αυτό  θα  απομακρύνεται  από  την  θέση  ισορροπίας  του.  Aυτό  σημαίνει  ότι,  η  θέση   ισορροπίας  όπου  η  δυναμική  ενέργεια  του  σώματος  έχει  λάβει  μέγιστη  τιμή  είναι  θέση  ασταθούς  ισορροπίας.      3.  Γενίκευση  της  έννοιας  της  μηχανικής  ενέργειας  σώματος.          Aρχή  διατήρησης  της  ενέργειας.    Έστω   μικρό   σώμα   (υλικό   σημείο)   μάζας   m,   που   κινείται   ως   προς   κάποιο   αδρα  νειακό   σύστημα   αναφοράς   υπό   την   επίδραση   πολλών   δυνάμεων,   από   τις   οποίες  άλλες  είναι  συντηρητικές  και  άλλες  όχι.  Eάν  

F ÔÏ  είναι  η  συνισταμένη  των  συντηρη  

τικών   δυνάμεων   επί   του   σώματος,   τότε   σ'   αυτήν   αντιστοιχεί   μια   συνάρτηση   της  θέσεως  του  σώματος,  τέτοια  ώστε  το  έργο  της  

F ÔÏ  μεταξύ  δύο  θέσεων  α  και  β  της  

τροχιάς  του  να  είναι  αντίθετο  της  αντίστοιχης  μεταβολής  της  συνάρτησης  αυτής,  δηλαδή  ισχύει:                

WFολ

= − U(β)−U(α)[ ]                                                                                                                                                        (1)    H   συνάρτηση   U   που   ικανοποιεί   την   σχέση   (1)   είναι   η   δυναμική   ενέργεια   του  σώματος  η  οφειλόμενη  στις  συντηρητικές  δυνάμεις  που  δέχεται  και  είναι  ίση  με  το  αλγεβρικό  άθροισμα  των  δυναμικών  ενεργειών  των  επί  μέρους  συντηρητικών  δυνά  μεων.   Aς   δεχθούμε   τώρα   ότι,   το   σώμα   εκτός   από  συντηρητικές   δυνάμεις   δέχεται  και   μη   συντηρητικές   δυνάμεις,   που   παράγουν   συνολικό   έργο  W*   ,   όταν   το   σώμα  μετατοπίζεται   από   την   θέση   α   στην   β.   Tότε   συμφωνα   με   το   θεώρημα   έργου-­‐κινητικής  ενέργειας  θα  ισχύει  η  σχέση:  

 

                K(β)−K(α)= W

Fολ+ W*    

�

⇒(1)

  K(β)−K(α)= − U(β)−U(α)[ ] + W*      ⇒      

                  ¢K = -¢U+ W*    ⇒     ¢K +¢U = W*    ⇒    

ΔEµηχ =W*                                                                                            (2)  

 όπου  ΔEμηχ  η  μεταβολή  της  μηχανικής  ενέργειας  του  σώματος  μεταξύ  των  θέσεων  α  και  β  της  τροχιάς  του.  H  σχέση  (2)  εκφράζει  την  ακόλουθη  πρόταση:  

H  μεταβολή  της  μηχανικής  ενέργειας  ενός  σώματος,  μεταξύ  δύο  θέσεων  της  τροχιάς  του  είναι  ίση  με  το  αντίστοιχο  έργο  της  συνισταμένης  των  μη  συντη    ρητικών  δυνάμεων  που  επιδρούν  στο  σώμα.    Aν  

�

F 1,  

�

F 2 ,...  

�

F n   είναι   οι   μη   συντηρητικές   δυνάμεις   που   δέχεται   το   σώμα,   τότε   η  

σχέση  (2)  γράφεται:                    

�

ΔEµηχ = W F 1

+ W F 1

+ . . . + W F n    ⇒      

                 

�

ΔK +ΔU = W F 1

+ W F 2

+ . . . + W F n    ⇒  

                 

�

ΔK +ΔU -W F 1

- W F 2

- . . . - W F n = 0                                                                                                                                                          (3)  

 Aς  εξετάσουμε  τώρα  ως  ενιαίο  σύνολο  το  σώμα  και  το  περιβάλλον  του,  δηλαδή  το  Σύμπαν.  Tότε  οι  ποσότητες  

�

-W F 1,  

�

-W F 2,   .   .   .   ,

�

-W F n  μπορούν  να  θεωρηθούν  ως  μετα  

βολές   κάποιων   μορφών   ενέργειας   που   εμφανίζονται   στο   Σύμπαν   κατά   την  αλληλεπίδραση  του  σώματος  με  το  περιβάλλον  του.  Oι  μορφές  αυτές  μπορούν  να  πάρουν   κάποιες   συγκεκριμένες   ονομασίες   (λογουχάρη   χημική   ενέργεια,   θερμική  ενέργεια,   ηλεκτρική   ενέργεια,   πυρηνική   ενέργεια   κ.λ.π.)   ανάλογα   με   το   είδος   της  αλληλεπίδρασης,  αλλά  δεν  αποτελούν  συγκεκριμένες  οντότητες  που  μπορούμε  να  τις  κατανοήσουμε  πλήρως.  Aπλώς  οι  διάφορες  αυτές  μορφές  ενέργειας  αποτελούν  αφηρημένες   φυσικές   ποσότητες,   οι   οποίες   εμπλέκονται   μεταξύ   τους   καθώς  εξελίσσεται  η  διαδικασία  αλληλεπίδρασης  του  σώματος  και  του  περιβάλλοντός  του  και  μας  οδηγούν  στην  σχέση  (3).  Aν  συμβολίσουμε  με  ΔE1   ,  ΔE2   ,   .   .   .,  ΔEn  τις  μετα  βολές   των   διαφόρων   μορφών   ενέργειας   που   αντιστοιχούν   στις   ποσότητες  

�

-W F 1,  

�

-W F 2,  .  .  .  ,

�

-W F n  τότε  η  σχέση  (5)  γράφεται:  

                 

�

ΔK +ΔU +ΔE1 +ΔE2 + . . . +ΔEn = 0                                                                                                                                                  (4)    H  σχέση  (4)  εκφράζει  μια  πολύ  σπουδαία  αρχή  της  Φυσικής,  που  είναι  γνωστή  ως  αρχή  διατήρησης  της  ενέργειας  και  έχει  την  ακόλουθη  διατύπωση.      Kατά  την  αλληλεπίδραση  ενός  σώματος  με  το  περιβάλλον  του  το  άθροισμα  όλων   των   μορφών   ενέργειας   που   εμπλέκονται   στην   αλληλεπίδραση   αυτή  διατηρείται  σταθερό.    Kαθώς  λοιπόν  εξελλίσονται  οι  πολύμορφες  αλλαγές  μέσα  στο  Σύμπαν,  υπάρχει  μια  φυσική  ποσότητα  που  την  ονομάζουμε  ενέργεια,  η  οποία  διατηρεί  σταθερή  τιμή.  H  ενέργεια  εμφανίζεται  με  πολλές  μορφές  και  μια  μορφή  μπορεί  να  μετασχηματίζεται  σε  μια  άλλη,  αλλά  πάντοτε  μέσα  στα  πλαίσια  της  αρχής  διατήρησης  της  ενέργειας.  Mολονότι   η   ενέργεια  αποτελεί   μια  αφηρημένη   έννοια  που  δεν  μπορούμε   να  κατα  νοήσουμε  την  φύση  της,   εν   τούτοις  αποτέλεσε  σπουδαίο   ενοποιητικό  παράγοντα  για   την   επιστήμη   της   Φυσικής,   διότι   μέσω   της   αρχής   διατήρησης   της   ενέρ   ειας  συνδέονται  οι  μηχανικές  κινήσεις  με  άλλου  είδους  φυσικά  φαινόμενα,   λογουχάρη  ηλεκτρικά,  πυρηνικά  κ.λ.π.  Πρέπει  ακόμη  να  τονίσουμε  ότι,  η  αρχή  διατήρησης  της  

ενέργειας   κατά   καιρούς   αμφισβητήθηκε   διότι   αρκετά   ενδιαφέροντα   φυσικά  φαινόμενα,  όπως  το  έλλειμα  μάζας  σε  ορισμένες  πυρηνικές  δράσεις,  η  δίδυμη  γέν  νεση  ποζιτρονίου-­‐ηλεκτρονίου,  η  ακτινοβολία  των  ουρανίων  σωμάτων   "κβάζαρς"  κλόνησαν   την   ισχύ   της   αρχής   αυτής.   Όμως   η   αμφισβήτηση   αυτή   αποδείχθηκε  φαινομενική,  διότι  η  λεπτομερής  εξέταση  των  φαινομένων  αυτών  οδήγησε  σε  νέες  θεωρίες,  οι  οποίες  έθεσαν  την  αρχή  διατήρησης  της  ενέργειας  σε  πιο  γενική  βάση,  ώστε  να  ανταποκρίνεται  στα  νέα  δεδομένα.      4.  Yπολογισμός  της  συνάρτησης  δυναμικής  ενέργειας,  όταν  είναι          γνωστή  η  αντίστοιχη  συντηρητική  δύναμη.    Όπως  αναφέρθηκε  προηγούμενα  κάθε  συντηρητική  δύναμη  

F  επί  υλικού  σημείου  

απορρέει   από   συνάρτηση   της   μορφής   U(r) = U(x,y,z),   όπου   x,   y,   z   είναι   οι   χω  

ρικές  συντεταγμένες  του  υλικού  σημείου,  η  οποία  εκφράζει  την  δυναμική    του  ενέρ  γεια   U   που   είναι   συσχετισμένη   με   την   συντηρητική   δύναμη  

F .   Aς   υποθέσουμε  

τώρα   ότι,   το   υλικό   σημείο   μετατοπίζεται   στο   πεδίο   F   διαγράφοντας   καμπύλη  

τροχιά  και  ότι  η  στοιχειώδης  μετατοπισή  του  εκ  του  σημείου  Α  εκφράζεται  με  το  στοιχειώδες   διάνυσμα   d

r   (σχ.   4).   Η   αντίστοιχη   στοιχειώδης   μεταβολή   dU   της  

δυναμικής  ενέργειας    δίνεται  από  τη  σχέση:    

                dU = −F ⋅ dr( ) = − Fxdx + Fydy + Fzdz( )                                                                                                                            (1)  

 Σχήμα  4  

 όπου   Fx   ,   Fy   ,   Fz   οι   αλγεβρικές   τιμές   των   τριών   συνιστωσών   της  

F   κατά   τις   διευ  

θύνσεις  των  αντιστοίχων  αξόνων  του  αδρανειακού  συστήματος  αναφοράς  Oxyz  ως  προς  το  οποίο  εξετάζεται  η  κίνηση  του  υλικού  σημείου  και  dx,  dy,  dz  οι  αντίστοιχες  αλγεβρικές   τιμές   των   τριών   συνιστωσών   του   διανύσματος d

r .   Εξάλλου   διαφο  

ρίζοντας  την  συνάρτηση  δυναμικής  ενέργειας  U(x,y,z)  παίρνουμε  την  σχέση:    

               

�

dU =∂U∂x

dx +∂U∂y

dy +∂U∂z

dz                                                                                                                                                                                (2)  

 στην   οποία   οι   μερικές   παράγωγοι   είναι   συνεχείς   στην   απλά   συνεκτική   περιοχή  ορισμού  του  πεδίου.  Συνδυάζοντας  τις  σχέσεις  (1)  και  (2)  έχουμε:                    

�

Fx= -∂U/∂x    ,    

�

Fy= -∂U/∂y    ,    

�

Fz= -∂U/∂z                                                                                                                                    (3)  

Οι   σχέσεις   (3)   επιτρέπουν   τον   υπολογισμό   της   U(r) = U(x,y,z)   και   για   να   αλη  

θεύουν  πρέπει  οι  μερικές  παραγωγοι     ∂U/∂x ,   ∂U/∂y ,   ∂U/∂z  να  ικανοποιουν  την  σχέση:  

∇×F( ) = 0 ⇒        

i

j

k

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂zFx Fy Fz

=0 ⇒

∂ Fz

∂y-∂ Fy

∂z⎛⎝⎜

⎞⎠⎟i + ∂ Fx

∂z-∂ Fz

∂x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟j +

∂ Fy

∂x-∂ Fx

∂y⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k =

0 ⇒      

∂Fz

∂y-∂Fy

∂z= 0 ,

∂Fx

∂z-∂Fz

∂x= 0 ,

∂Fy

∂x-∂Fx

∂y= 0                                                                                        (4)  

 H  μαθηματική  επεξεργασία  των  σχέσεων   (3)  δίνει  ως  τελικό  αποτέλεσμα  για  την  συνάρτηση   U(x,y,z) την σχέση:

U(x,y,z) = Fx t,y,z( )x0

x

∫ dt + Fy x0,t,z( )y0

y

∫ dt + Fz x0,y0,t( )z0

z

∫ dt + C (5)

 όπου   (x0   ,   y0   ,   z0)   σταθερό   σημείο,   που   συνήθως   είναι   η   αρχή   των   αξόνων   και   C  σταθερά  που   υπολογίζεται   αν   ορίσουμε   αυθαίρετα   θέση   του  πεδίου   στο   οποίο   η  συνάρτηση  μηδενίζεται.            5.  Oμογενές  πεδίο  δυνάμεων.  Bαρυτικό  πεδίο  της  Γης                κοντά  στην  επιφάνειά  της.    Ένα  πεδίο  δυνάμεων  ορίζεται  ως  ομογενές,  αν  το  αντίστοιχο  υπόθεμά  του  ευρισκό  μενο  εντός  του  πεδίου  δέχεται  παντού  την  ίδια  δύναμη.  Χαρακτηριστικό  παράδειγ  μα   ομογενούς  πεδίου   δυνάμεων   είναι   το   βαρυτικό  πεδίο   της   Γης   σε  περιοχή  που  εκτείνεται  σε  σχετικά  μικρή  απόσταση  από  την  επιφάνειά  της.  Για  να  μελετήσουμε  το  πεδίο  αυτό  υποθέτουμε  ότι   ένα  μικρό  σώμα   (υλικό  σημείο)  μάζας  m  μετατοπί  ζεται  στό  βαρυτικό  πεδίο  τής  Γης  από  τη  θέση  α  στη  θέση  β,  διαγράφοντας  ως  προς  το   ακίνητο   οριζόντιο   έδαφος   την   καμπύλη   τροχιά   του   σχήματος   (5).   Eπί   πλέον  υποθέτουμε  ότι,  στη  διάρκεια  της  κίνησης  του  σώματος  η  απόστασή  του  από  την  επιφάνεια  της  Γης  είναι  πολύ  μικρή  σε  σχέση  με  την  ακτίνα  της,  οπότε  το  βάρος  του   w = m

g   μπορεί   με   καλή   προσέγγιση   να   θεωρηθεί   σταθερό.   Aς   υπολογίσουμε   το  

έργο  του  βάρους  του  σώματος  που  αντιστοιχεί  σ'  αυτή  τη  μετατόπιση.  Για  το  έργο  αυτό  ισχύει  η  σχέση:      

                Wα

β = mg ⋅ds( )

α

β

∫ = −mgk ⋅ds( )

α

β

∫ = −mgk ⋅ds( )

α

β

∫    

�

⇒  

 

                Wα

β = −mg dz( )α

β

∫ = −mg zβ − zα( )                                                                                                                                                              (1)    όπου  

k το  μοναδιαίο  διάνυσμα  του  κατακόρυφου  άξο0να  Οz,  g  το  μέτρο  της  στα  

θερής  επιτάχυνσης  της  βαρύτητας  και  zα   ,   zβ     οι  αποστάσεις  των  σημείων  α  και  β  από  το  οριζόντιο  έδαφος.  Aπό  τη  σχέση  (1)  προκύπτει  ότι  το  έργο  του  βάρους  του  σώματος  είναι  ανεξάρτητο  της  μορφής  της  τροχιάς  και  εξαρτάται  μόνο  από  τις    

   

Σχήμα  5    ακραίες  θέσεις  του  α,  β,  που  σημαίνει  ότι  το  βάρος  του  είναι  δύναμη  συντηρητική  και   επομένως   απορρέει   από   συνάρτηση     δυναμικής   ενέργειας   U   που   ονομάζεται  βαρυτική  δυναμική  ενέργεια  του  σώματος  και  υπολογίζεται  από  την  σχέση:  

−mg

k = −

∇U = − ∂U

∂xi + ∂U

∂yj + ∂U

∂z

k

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

�

⇒    

   

                            −mg

k = − ∂U

∂z

k

�

⇒     mg = ∂U

∂z (2)  

 Oλοκληρώνοντας  την  (2)  παίρνουμε:     U = mgz + C

�

⇒     U = mgz (3) όπoυ   η   σταθερά   ολοκληρώσεως   C   είναι   μηδενική   αν   δεχθούμε   συμβατικά   ότι   η  βαρυτική   δυναμική   ενέργεια   του   σώματος   στην   επιφάνεια   της   Γης   (z=0)   είναι  μηδενική.   Για   να   κατανοήσουμε   τη   φυσική   σημασία   της   βαρυτικής   δυναμικής  ενέργειας  θεωρούμε  ότι   το  σώμα  αφήνεται   ελεύθερο  στη  θέση  M,  οπότε  αυτό  με  την   επίδραση   του   βάρους   του   κινείται   κατακόρυφα   προς   το   έδαφος   και   όταν  φθάσει   σ'   αυτό   το   αντίστοιχο   έργο   του   βάρους   θα   είναι   mgz,   δηλαδή   ίσο   με   τη  βαρυτική   δυναμική   του   ενέργεια   στη   θέση  M.   Eξάλλου,   για   να   κατανοήσουμε   τη  χρησιμότητα   της   βαρυτικής   δυναμικής   ενέργειας   ας   δεχθούμε   ότι,   η   μοναδική  δύναμη  που  δέχεται   το  σώμα  καθώς  κινείται   από   τη  θέση  α  στη  θέση  β   είναι   το  βάρος   του.   Eφαρμόζοντας   για   το   σώμα   το   θεώρημα   κινητικής   ενέργειας-­‐έργου  μεταξύ  των  δύο  αυτών  θέσεων  παίρνουμε:  

                K(α)− K(β)=Wαβ    

�

⇒(3)

    K(α)− K(β)= − U(β) − U(α)[ ]    ⇒    

                K(α)+ U(α)=K(β)+ U(β) ⇒     Ε µηχ (α) = Ε µηχ (β)                                                                                                                            H  σχέση  (4)δηλώνει  ότι  :      Kατά  την  κίνηση  ενός  σώματος,  υπό  την  επίδραση  μόνο  του  βάρους  του,  το  άθροισμα   της   κινητικής   του   ενέργειας   και   της   βαρυτικής   δυναμικής   του  ενέργειας  διατηρείται  σταθερό.                                                                Έτσι,  εάν  

�

v  είναι  η  ταχύτητα  του  σώματος  στην  τυχαία  θέση  M  της  τροχιάς  του  θά  

ισχύει:                      mv2/2  +  mgz  =  σταθερό                                                                                                                                                                                                    (5)    H  σχέση   (5)  μας  επιτρέπει  να  εκφράσουμε  το  μέτρο  της  ταχύτητας  του  σώματος  ως  συνάρτηση  της  απόστασής  του  z  από  το  έδαφος,  παρακάμπτωντας  τoν  δεύτερο  νόμο  κίνησης  του  Nεύτωνα.    Παρατήρηση:      Όσα   αναφέρθηκαν   για   τη   βαρυτική   δυναμική   ενέργεια   του   σώματος  ως   προς   το  οριζόντιο   έδαφος,   ισχύουν   και   για   οποιοδήποτε   άλλο   οριζόντιο   επίπεδο   αναφο  ράς  της  βαρυτικής  δυναμικής  ενέργειας.  Tότε  όμως  η  μεταβλητή  z  θα  θεωρείται  με  αρχή  ένα  σημείο  Ο  του  επιπέδου  αυτού,  που  σημαίνει  ότι  ενδέχεται  να  παίρνει  είτε  θετικές  είτε  αρνητικές  τιμές.  Οι  μεν  θετικές  τιμές  θα  αντιστοιχούν  στην  περίπτωση  που   το   σώμα   βρίσκεται   πάνω   από   το   επίπεδο   αναφοράς,   οπότε   η   βαρυτική   του  δυναμική  ενέργεια  θα  είναι  θετική,  οι  δε  αρνητικές  τιμές  θα  αντιστοι  χούν  σε  θέσεις  του   σώματος   κάτω   από   το   επίπεδο   αναφοράς,   οπότε   η   βαρυτική   του   δυναμική  ενέργεια  θα  είναι  αρνητική.        6.  Κεντρικά  πεδία  δυνάμεων    Ένα   πεδιο   δυνάμεων   της   μορφής  

F(r)   ονομάζεται   κεντρικό,   όταν   ο   φορέας   της  

δύναμης   διέρχεται   από   σταθερό   σημείο   Ο,   που   ονομάζεται   κέντρο   της   δύναμης.  Είναι  προφανές  ότι  ο  φορέας  της  κεντρικής  δύναμης  ταυτίζεται  με  τον  φορέα  του  διανύσματος  θέσεως  

r  ως  προς  το  Ο,  του  σωματιδίου  που  την  δέχεται.   Ιδιαίτερο  

ενδιαφέρον   παρουσιάζουν   οι   κεντρικές   δυνάμεις   της   μορφής   F(r)=f(r)

er ,   όπου  

f(r)   συνεχής   συνάρτηση   της   απόστασης   r   και   er το   μοναδιαίο   διάνυσμα   του   δια  

νύσματος  θέσεως   r .  Θα  δείξουμε  ότι  κάθε  τέτοια  δύναμη  είναι  συντηρητική  και  θα  

υπολογίσουμε  την  συνάρτηση  δυναμικής  ενέργειας  από  την  οποία  απορρέει.    Aς   δεχθούμε   ότι   εντός   κεντρικού   πεδίου   δυνάμεων   της   μορφής  

F(r)=f(r)

er  

μετακινείται   ένα   σημειακό   υπόθεμα   του   πεδίου   μεταξύ   δύο   σημείων   α   και   β   της  

καμπύλης  τροχιάς  του.  Το  έργο   Wα

β της  δύναμης  υπολογίζεται  από  τo  επικαμπύλιο  ολοκλήρωμα:      

Wα

β =F⋅dr( )

α

β

∫ = f(r)er( ) ⋅ d

r1 + d

r2( )

α

β

∫ (1)  

 όπου   d

r1 η  ακτινική  συνιστώσα  και   d

r2 η  κάθετος  προς  το  διάνυσμα  θέσεως  

r  συνιστώσα  του   d

r . Από  την  (1)  έχουμε:  

 

Wα

β = f(r)er⋅dr1( ) + er⋅d

r2( )⎡⎣ ⎤⎦

α

β

∫ = f(r)drrα

rβ

∫        (2)  

 

 Σχήμα    6  

 διότι  τα  μεν  διανύσματα  

er , d

r1  είναι  συγγραμμικά  μεταξύ  τους  τα  δε  

er και d

r2  

είναι  κάθετα  μεταξύ  τους.  Η  σχέση  (2)  δηλώνει  ότι  το  έργο   Wα

β  είναι  ανεξάρτητο  από   την   μορφη   της   τροχιάς   του   υποθέματος   και   εξαρτάται   μόνο   από   τις  απόστασεις  rα  και  rβ    των  άκρων  της,  γεγονός  που  σημαίνει  ότι  η  κεντρική  δύναμη  

F(r)=f(r)

er  είναι  συντηρητική  και  επομένως  απορρέει  από  συνάρτηση  δυναμικής  

ενέργειας,   η   οποία   αποτελεί   την   δυναμική   ενέργεια   U(r)   του   υποθέματος.   Η  

στοιχειώδης   μεταβολή   dU(r) της   U(

r)   που   αντιστοιχει   στην   μετατόπιση   d

r

υπολογίζεται  από  την  σχέση:    

dU(r)=−

F⋅dr( ) = −f(r)dr  

 η  οπoία  με  ολοκλήρωση  δίνει:    

U(r)= − f(r)dr + C∫ (3)  

 όπου  C  σταθερά  ολοκληρώσεως  που  υπολογίζεται  αν  ορισθεί  αυθαίρετη  τιμή  της  δυναμικής   ενέργειας  σε  κάποια  θέση  

r0 του  κεντρικού  πεδίου.   Στην  συνέχεια  θα  

εξετάσουμε   τις   κεντρικές   δυνάμεις   που   ακολουθούν   τον   νόμο   του   αντιστρόφου  τετραγώνου   της   απόστασης,   όπως   είναι   οι   Νευτώνειες   δυνάμεις   και   οι   δυνάμεις  

Coulomb,   αλλά   και   τις   κεντρικές   δυνάμεις   που   προκύπτουν   από   ελαστικά   τεντω  μένα   ή   συμπιεσμένα   ελατήρια   που   ακολουθουν   τον   νόμο   του   Hooke.   Στην   περί  πτωση  των  Νευτώνειων  δυνάμεων  και  των  δυνάμεων  Coulomb  η  συνάρτηση   f(r)  έχει   την   μορφή   f(r)= k/r2 , όπου η σταθερά k είναι αρνητική για τις Νευτώνειες δυνάµεις διότι αυτές είναι ελκτικές, ενώ για τις δυνάµεις Coulomb η σταθερά k είναι είτε θετική είτε αρνητική, διότι οι δυνάµεις αυτές είναι άλλοτε απωστικές και άλλοτε ελκτικές. Έτσι  για  τις  Νευτώνειες  δυνάμεις  και  τις  δυνάμεις  Coulomb  η  σχέση   (3)  γράφεται:      

U(r)= − kdr /r2∫ = k

r+ C (4)  

 Aν  δεχθούμε  ότι  η  δυναμική  ενέργεια  του    υποθέματος  σε  μεγάλη  απόσταση  από  το  κέντρο  Ο  (θεωρητικά  άπειρη)  είναι  μηδενική,  τότε  η  σταθερά  C  είναι  μηδέν  και  η  σχέση  (4)  γράφεται:    

U(r)=

k

r , 0 < r < ∞ (5)

Θα  εξετάσουμε  στη  συνέχεια  την  περίπτωση  μιας  μικρής  μάζας  που  έχει  στερεωθεί  στο   ένα   άκρο   ιδανικού   ελατηρίου,   του   οποίου   το   άλλο   άκρο   είναι   ακλόνητο   σε  σταθερό  σημείο  Ο.    Θα  δεχθούμε  ότι  το  ελατήριο  είναι  ελαστικά*  παραμορφωμένο  οπότε   θα   ασκεί   στην   μάζα   δύναμη  

F   κατά   την   διευθυνση   του   γεωμετρικού   του  

άξονα  η  οποία  θα  είναι  ελκτική  στην  περίπτωση  που  το  ελατήριο  είναι  τεντωμένο    

 Σχήμα  7  

 και  απωστική  στην  περίπτωση  που  αυτό  είναι  συμπιεσμένο.  Και  στις  δύο  περιπτώ  σεις  η  δύναμη  

F  θα  είναι  κεντρική  και  θα  εκφράζεται,  σύμφωνα  με  τον  νόμο  του  

Ηοοke  με  την  σχέση:    

F = −k r − L( ) er (6)

 -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  *  H  παραμόρφωση  του  ελατηρίου  είναι  ελαστική  διότι  θεωρήθηκε  ιδανικό,  η  μάζα  του  είναι  αμελητέα  και    επιπλέον  υπακούει  στό  νόμο  του  Hooke.  

όπου   k   η   σταθερά   του   ελατηρίου,   L   το   φυσικό   του   μήκος   και   er το   μοναδιαίο  

διάνυσμα     της   επιβατικής   ακτίνας   r   της   μάζας.   Κατά   τα   προηγούμενα,   επειδή   η  

δύναμη   από   το   ελατήριο   έχει   την   μορφή   F=f(r)

er   είναι   συντηρητική,   οπότε   η  

δυναμική  ενέργεια   U(r) της  μάζας  που  οφείλεται  στην  

F υπολογίζεται  από  την  

σχέση:    

U(r)= − −k r − L( ) dr∫ = k r − L( ) d r − L( )∫ ⇒

U(r)=

k r − L( )22

+ C (7)  

 Aν  δεχθούμε  συμβατικά  μηδενική  την  δυναμική  ενέργεια  της  μάζας  στην  θέση  όπου  το  ελατήριο  έχει  το  φυσικό  του  μήκος  (r=L),  τότε  η  σταθερά  ολοκληρώσεως  C  θα  είναι  μηδέν  και  η  (7)  γράφεται:    

U(r)=

k r − L( )22

+ C (8)  

 Προφανώς  αν  η  μάζα  κινείται    μόνο  υπό  την  επίδραση  της  δύναμης  

F  η  μηχανική  

της  ενέργεια  θα  διατηρείται.      7.  Δυναμική  ενέργεια  αλληλεπίδρασης  δύο  σωμάτων      Θεωρούμε  αρχικά  ένα  σύστημα  που  αποτελείται  από  δύο  μικρές  μάζες  m1  και  m2  και  δεχόμαστε  ότι  οι  μόνες  δυνάμεις  που  δέχονται  είναι  οι  μεταξύ  τους  Νευτώνειες  έλξεις   τις   οποίες   χαρακτηρίζουμε   ως   βαρυτικές   αλληλεπιδράσεις.   Υποθέτουμε  ακόμη  ότι  οι  αρχικές  συνθήκες  κίνησης  των  δύο  μαζών  είναι  τέτοιες,  ώστε  υπό  την  επίδραση  των  αμοιβαίων  έλξεων  

FN

1 και   FN

2  η  m1  να  διαγράφει  την  καμπύλη  (α)  και   η  m2   την   καμπύλη   (β).   Σε   κάθε   θέση   του   συστήματος   oι   δύο   δυνάμεις   έχουν  φορέα  την  ευθεία  που  συνδέει  τα  δύο  σώματα  που  αναγκαστικά  διέρχεται  από  το      

 Σχήμα  8  

 κέντρο  βάρους  τους  C,  το  οποίο  ή  θα  ακινητεί  ή  θα  κινείται  ευθύγραμμα  και  ομαλά  ως  προς   οποιοδήποτε   αδρανειακό  σύστημα  αναφοράς,   αφού   οι   δυνάμεις

FN

1 ,   FN

2  

είναι   αντίθετες   και   για   το   σύστημα   αλληλοαναιρούνται.   Αυτό   σημαίνει   ότι   στο  σύστημα  ηρεμίας  του  κέντρου  μάζας  C  οι  δυνάμεις  είναι  κεντρικές  με  κέντρο  το  C  και  επειδή  είναι  της  μορφής  

FN

1 = −FN

2=f(r)er , όπου  r  η  απόσταση  των  σωμάτων  

και   το   μοναδιαίο   διάνυσμα   του   φορέα   τους   είναι   και   συντηρητικές   δυνάμεις,  απορρέουν  επομένως  και  οι  δύο  από  συνάρτηση  δυναμικής  ενέργειας  U(r)  η  οποία  αποτελεί   την  βαρυτική     δυναμική   ενέργεια  αλληλεπίδρασης   του  σύστήματος  των  μαζών  m1  και  m2.    Σύμφωνα  με  όσα  αναφέρθηκαν  περί  κεντρικών  συντηρητι  κών  δυνάμεων  η  δυναμική  αυτή  ενέργεια  υπολογίζεται  από  την  σχέση:      

U(r)= − Gm1m2

dr

r2∫ = − Gm1m2

r+ C (1)

όπου  G  η  παγκόσμια  σταθερά  του  νόμου  του  Νευτωνα.  H  σταθερά  ολοκληρώσεως  C   είναι   μηδενική   αν   δεχθούμε   συμβατικά   ότι   η  U(r)   είναι   μηδενική   όταν   τα   δύο  σώματα  βρίσκονται  σε  πολύ  μεγάλη  απόσταση   (θεωρητικά  άπειρη),  οπότε  η     (1)  γράφεται:      

U(r)= − Gm1m2

r , 0 < r < ∞ (2)  

   Λόγω   της   συντηρητικότητας   των   δυνάμεων  

FN

1 ,   FN

2   η   μηχανική   ενέργεια   του  συστήματος,   δηλαδή  το  άθροισμα  της  κινητικής   ενέργειας   των  δύο  σωμάτων  και  της  βαρυτικής  δυναμικής  ενέργειας  αλληλεπίδρασής  τους,  διατηρείται  αναλλοίωτο,      όταν  αυτά  αλλάζουν  θέσεις  και  ταχύτητες.  Αν  επομένως  κάποια  στιγμή  η  απόστα  ση  των    σωμάτων  είναι  r  και  οι  ταχύτητές  τους   , ,  θα  έχουμε  την  σχέση:        

m1v12

2+ m2v2

2

2− Gm1m2

r= σταθ (3)  

   η   οποία   αποτελεί   ένα   ολοκλήρωμα   της   διαφορικής   εξίσωσης   της   κίνησής   τους.  Μολονότι   η   βαρυτική   δυναμική   ενέργεια   αλληλεπίδρασης   δύο   μαζών   είναι   εξαι  ρετικά   χρήσιμη  αφού   επιτρέπει   την   διατύπωση   του   θεωρήματος   διατήρησης   της  μηχανικής  ενέργειας,  εν  τούτοις  δεν  είναι  και  τόσο  σαφής  έννοια  από  φυσική  άπο  ψη,   διότι   δεν   είμαστε   σε   θέση   να   καθορίσουμε   τον   τρόπο   δημιουργίας   της   στο  σύστημα.  Το  μόνο  που  μπορούμε  να  πούμε  είναι,  ότι  αποτελεί  ένα  φυσικό  μέγεθος    η  μεταβολή  του  οποίου  σε  μια  κινητική  αλλαγή  του  συστήματος  είναι  αντίθετη  με  το  αντίστοιχο  έργο  των  δυνάμεων  

FN

1 ,   FN

2 .        Αντίστοιχα   ισχύουν   για   την   ηλεκτροστατική   αλληλεπίδραση   δύο   ηλεκτρισμένων  μαζών   που  φέρουν   ηλεκτρικά  φορτία   q1   και   q2,   όπου   οι   εμφανιζόμενες   δυνάμεις  Coulomb   στο   συστημα   ηρεμίας   του   κέντρου   μάζας   είναι   κεντρικές   της   μορφής  

FC

1 = −FC

2=f(r)er , που  σημαίνει  ότι  είναι  συντηρητικές  και  επομένως  μπορούμε  να  

αποδώσουμε  στο  σύστημα  ηλεκτροστατική  δυναμική  ενέργεια  αλληλοεπιδράσεως  , που  δίνεται  από  την  σχέση:  

U(r)=

KCq1q2

r 0 < r < ∞ (4)

 όπου  Κc  η  σταθερά  του  νόμου  του  Coulomb.  Και  στην  περίπτωση  αυτή  ισχύει  για  το  σύστημα  το  θεώρημα  διατήρησης  της  μηχανικής  ενέργειας,  δηλαδή  επιτρέπεται  να  γράψουμε  την  σχέση:  

m1v12

2+ m2v2

2

2+ Kq1q2

r= σταθ (5)  

 Σχήμα  9  

 Tέλος  θα  αναφερθούμε  σε  σύστημα  δύο  μαζών  m1  και  m2  που  είναι  στερεωμένες  στις  άκρες  ένος   ιδανικού  ελατηρίου  και  θα  δεχθούμε  ότι  το  σύστημα  είναι  απομο  νωμένο  από   εξωτερικές   δυνάμεις,   οπότε   αν   το   ελατήριο   έχει   παραμορφωθεί   από  την  φυσική  του  κατάσταση  θα  ασκεί  στις  μάζες   ελαστικές  δυνάμεις  

FΕ

1 , FΕ

2  που  ακολουθούν  τον  νόμο  του  Ηοοke,  αφου  δεχθήκαμε  ότι  το  ελατήριο  είναι  ιδανικό.  Οι  δυνάμεις  αυτές  στο  σύστημα  ηρεμίας  του  κέντρου  μάζας  C  των  μαζών  m1  και  m2  είναι   κεντρικές,   αφου   ο   φορέας   τους   συμπίπτει   με   τον   γεωμετρικό   άξονα   του  ελατηρίου    που  διέρχεται  από  το  C,  έχουν  δε  την  μορφή:      

FΕ

1 = −FΕ

2 = −k r − L( ) er (6)      όπου  k  η  σταθερά  του  ελατηρίου,  L  το  φυσικό  του  μήκος  και  r  η  απόσταση  των  δύο  μαζών.  Από  την(6)  προκύπτει  ότι  οι  δυνάμεις  

FΕ

1 , FΕ

2 είναι  της  μορφής   f(r)er    και  

επομένως   είναι   συντηρητικές,   που   σημαίνει   ότι   απορρέουν   από   συνάρτηση   δυνα  μικής   ενέργειας   U(r), η   οποία   αναφέρεται   στο   σύστημα   σώματα-­‐ελατήριο   και  αποτελεί  την  δυναμική  ενέργεια  αλληλεπιδράσεως  του  συστήματος,  υπολογίζεται  δε  από  την  σχέση:      

U(r)= − −k r − L( ) dr∫ = k r − L( ) d r − L( )∫

U(r)=

k r − L( )22

+ C (7)  

   Aν   δεχθούμε   συμβατικά   μηδενική   την   δυναμική   ενέργεια   του   συστήματος   στην  θέση  όπου  το  ελατήριο  έχει  το  φυσικό  του  μήκος  (r=L),  τότε  η  σταθερά  ολοκληρώ  σεως  C  θα  είναι  μηδέν  και  η  (7)  γράφεται:  

                U(r)=

k r − L( )22

(8)  

   Προφανώς  αν  η  η  κινητική  κατάσταση  του  συστήματος  μεταβάλλεται  η  μηχανική  του  ενέργεια  θα  διατηρείται,  δηλαδή  θα  ισχύει:      

m1v12

2+ m2v2

2

2+ k

r − L( )22

= σταθ  

 όπου   η   κινητική   ενέργεια   του   ελατηρίου   δεν   λήφθηκε   υπόψη,   διότι   αυτό   θεωρή  θηκε  ιδανικό.      8.  Πεδίο  δυνάμεων  με  χωροχρονική  εξάρτηση        Σε  κάποιες  περιπτώσεις  δημιουργούνται  πεδία  δυνάμεων  της  μορφής  

F(r,t)  

που  έχουν  εξάρτηση  από  την  θέση    του  σωματιδίου  που  δέχεται  την  επίδρα  ση  του  πεδίου,  αλλά  και  από  τον  χρόνο  t.  Kλασσικό  παράδειγμα  τέτοιου  πε  δίου   είναι   το   ηλεκτρικό   πεδίο   που   δημιουργεί   γύρω   του   ένα   ηλεκτρισμένο  σωματιδίο   που   κινείται   ευθύγραμμα   με   σταθερή   ταχύτητα,   ενώ   στην   ίδια  γραμμή  υπάρχει  ένα  δεύτερο  ηλεκτρισμένο  σωματιδίο  που  είναι  ελεύθερο  να  κινηθεί.  Το  πρώτο  σωματίδιο  εξασκεί  πάνω  στο  ελεύθερο  σωματίδιο  δύναμη  Coulomb  που  μεταβάλλεται   τοπικά  και   χρονικά,   η   δε   χωρική   της   εξάρτηση  κάποια   συγκεκριμένη   στιγμή   t   στο   σύστημα   ηρεμίας   του   φορτίου   «πηγή»  είναι   ίδια  με  εκείνη  που  θέλει  την  δύναμη  ανεξάρτητη  του  χρόνου.  Αυτό  ση  μαίνει   ότι   αν   υπολογίσουμε   τον   στροβιλισμό   της   δύναμης   Coulomb   θεω  ρώντας  τον  χρόνο  σταθερή  παράμετρο  θα  τον  βρούμε  μηδενικό,  δηλαδη  θα  ισχύει  η  σχέση  (βλέπε    λυμένο  παράδειγμα  10):          

∇ ×

F(r,t)⎡⎣ ⎤⎦ =

0 , με  t=σταθερό                                                                                                                                                        (1)  

   Γενικά   κάθε   πεδίο   δυνάμεων  

F(r,t)   που   ικανοποιεί   την   (1)   ονομάζεται  

αστρόβιλο  πεδίο,  ενώ  στην  περίπτωση  του  μη  μηδενικού  στροβιλισμού  ονο  μάζεται  στροβιλό.  Είναι  προφανές  ότι  όλα  τα  συντηρητικά  πεδία  δυνάμεων  είναι  αστρόβιλα.  Συγκρίνοντας  την  (1)  με  την  διανυσματική  ταυτότητα:                        

∇ ×

∇U(r,t)⎡⎣ ⎤⎦ =

0 , με  t=σταθερό (2)  

   μπορούμε   να   ορίσουμε   μια   χωροχρονική   συνάρτηση   U(

r,t),   από   την   οποία  

απορρέει  η  δύναμη   F(r,t),  μέσω  της  σχέσεως:  

   

F(r,t) = −

∇U(r,t) , με  t=σταθερό (2)  

 Την   συνάρτηση   αυτή   ονομάζουμε   δυναμική   ενέργεια   του   σωματιδίου   λόγω   της  δύναμης  

F(r,t)   το   δε   άθροισμα   της   U(

r,t)   και   της   κινητικής   του   ενέργειας  Κ  

μπορούμε   να   το   ορίσουμε  ως  μηχανική   ενέργεια  Εμηχ   του  σωματιδίου.   Το  βασικό  ερώτημα  που  προκύπτει  είναι  αν  στην  περίπτωση  που  η  δυναμική  ενέργεια  εξαρτά  ται  από  τον  χρόνο  το  άθροισμα   Κ + U(

r,t)  διατηρείται  σταθερό,  όταν  το  σωματί  

διο  κινείται  εντός  του  πεδίου,  όπως  συμβαίνει  στην  περίπτωση  ένος  συντηρητικού  πεδίου.  Για  να  απαντήσουμε  στο  ερώτημα  αυτό  θεωρούμε  ότι  το  σωματίδιο  μετα  τοπίζεται    επί  της  τροχιάς  του  μεταξύ  των  χρονικών  στιγμών  t  και  t+dt  κατά   d

r ,  

οπότε   σύμφωνα   με   το   θεώρημα   κινητικής   ενέργειας-­‐έργου   η   μεταβολή   της   κινη  τικής  του  ενέργειας  σε  χρόνο  dt  θα  είναι:      

dΚ =

F(r,t)⋅dr⎡⎣ ⎤⎦ (3)  

   Eξάλλου  η  αντίστοιχη  μεταβολη  της  δυναμικής  ενέργειας  του  σωματιδίου  αποτελει  το  διαφορικό  της  συνάρτησης   U(

r,t), δηλαδή  ισχύει:  

   

dU(r,t) = ∂U

∂xdx + ∂U

∂ydy + ∂U

∂zdz + ∂U

∂tdt ⇒

dU(r,t) =

∇U(r,t)⋅dr⎡⎣ ⎤⎦ +

∂U∂t

dt ⇒(2)

dU(r,t) = −

F(r,t)⋅dr⎡⎣ ⎤⎦ +

∂U∂t

dt ⇒(3)

 

   

dU(r,t) = −dΚ + ∂U

∂tdt ⇒

d U(

r,t) +Κ[ ] = ∂U

∂tdt (4)  

   Aπό  την  (4)  προκύπτει  ότι  η  μηχανική  ενέργεια  του  σωματιδίου  διατηρείται  μόνο  στην   περίπτωση   που   ισχύει   ∂U/∂t= 0 ,   δηλαδή   όταν   η   U(

r,t)   είναι   ανεξάρτητη  

του   χρόνου.   Αυτό   σημαίνει   ότι   κάθε   αστρόβιλο   πεδίο   δεν   είναι   και   συντηρητικό.    Επιστρέφοντας  στο  αρχικό  παράδειγμα  του  συστήματος  των  δύο  ηλεκτρισμένων  σωματιδίων   θα   επιχειρήσουμε   να   εξηγήσουμε   ποια   είναι   η   αιτία   που   χαλάει   την  διατήρηση   της   μηχανικής   ενέργειας   του   ελεύθερου   σωματιδίου   κατά   την   κίνησή  του  μέσα  στο  πεδίο  της  ισοταχώς  κινούμενης  “πηγής”.    Για  να  κινείται  ισοταχώς  η  “πηγή”   μολονότι   δέχεται   δύναμη  Coulomb  από   το   ελεύθερο  σωματίδιο  πρέπει   να  δέχεται  εξωτερική  δύναμη  μέσω  του  έργου  της  οποίας  αναπληρώνεται  η  απωλεια  μηχανικής   ενέργειας   με   αποτέλεσμα   να   μη   παραβιάζεται   η   αρχή   διατήρησης   της  ενέργειας  για  το  σύστημα.      Παρατήρηση  1η:        Ενώ  κατα  τον  υπολογισμό  του  στροβιλισμού  της  δύναμης  

F(r,t)  και  της  βαθμίδας  

της  συνάρτησης   U(r,t)  επιτρέπεται  να  θεωρηθεί  ο  χρόνος  t  ως  παράμετρος  χωρίς  

αυτό  να  δημιουργεί  ούτε  μαθηματικό  ούτε  φυσικό  πρόβλημα,  αντίθετα  ο  υπολογι    

σμος   του   έργου   της   F(r,t)   επί   μιας   κλειστής   τροχιάς   C   επιτρέπεται   σαν   μαθη  

ματική  διαδικασία  όταν  ο  χρόνος  θεωρηθεί  παράμετρος,  δεν  επιτρέπεται  όμως  από  άποψη  Φυσικής  διότι  κατά  τον  υπολογισμό  πρέπει  να  ληφθεί  υπ΄  όψη  η  ροή  του  χρόνου,  δηλαδή  όλες  οι  κλειστές  τροχιές  C  δεν  είναι  δυνατόν  να  αντιστοιχούν  στον  ίδιο  χρόνο.  Σε  περίπτωση  που  το  έργο  υπολογίζεται  για  μια  κλειστή  τροχιά  με  παρά  μετρο  t=0  θα  έπρεπε  η  τροχιά  αυτή  να  διαγραφεί  σε  μηδενικό  χρόνο,  γεγονός  που  δεν  μπορεί  να  θεωρηθεί  αποδεκτό.  Αυτό  σημαίνει  ότι  η  σχέση:      

F(r,t)⋅dr⎡⎣ ⎤⎦

(C)∫ = 0

   είναι  αδύνατο  να   ισχύει  σε  ένα  αστρόβιλο  πεδίο  

F(r,t)  για  όλες  τις  κλειστές  τρο  

χιές  (c),  δηλαδή  ένα  τέτοιο  πεδίο  είναι  μη  συντηρητικό.          Παρατήρηση  2η:        Όταν  η  συνάρτηση  δυναμικής  ενέργειας    του  σώματος  εξαρτάται  όχι  μόνο  από  την  θέση   του   αλλά   και   από   τον   χρόνο,   τότε   η   μόνη   χρησιμότητά   της   έγκειται   στον  υπολογισμό  της  μη  συντηρητικής  δύναμης  

F(r,t)  που  απορρέει    από  αυτήν,  μέσω  

της  σχέσεως    

F(r,t) = −

∇U(r,t) , με  t=σταθερό  

 P.M.  fysikos