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Fund. de la Informtica(Ing. Electr.) y Programacin (TUM) Lgica Proposicional

Lgica Proposicional

Existen en la realidad un nmero considerable de problemas con los que una persona se enfrenta y de los

cuales se deben deducir ciertos datos para poder resolverlos. Generalmente la forma en que las personasaplican el poder deductivo es muy personal, sin embargo ste podra ser encausado o guiado a travs del

uso de reglas de deduccin. A su vez, ser necesario que dichas reglas sean establecidas y usadas con una

cierta precisin de modo que puedan ser reutilizadas toda vez que un mismo problema o problemas de

caractersticas similares sean planteados.

La manera cotidiana de expresar los problemas es por medio de nuestro lenguaje natural. Sin embargo

ste es en esencia ambiguo por lo cual es necesario transformarlo, acotarlo o restringirlo de modo que se

convierta en un lenguaje inequvoco. Particularmente los lenguajes simblicos proveen esa clase de

precisin. Y, si adems esos smbolos son smbolos matemticos, lo que tendremos es una precisin

matemtica en la accin de deducir.

Esta es precisamente la finalidad de la lgica matemtica: expresar problemas por medio de un lenguaje

inequvoco que habilite el uso de reglas de deduccin para la solucin de los mismos.

Enunciados y conectivas

Nuestro lenguaje cotidiano se conforma de frases o expresiones. Si se desea deducir informacin a partir

de una frase es necesario poder evaluarla como verdadera o falsa. No obstante no toda frase puede ser

evaluada, existen frases las cuales no se pueden categorizar.

Frases que se pueden categorizar Frases NO categorizables

El lider ha muerto Qu fro!!

Juan compr dulces con dinero Cunto pesas?

El barmetro ayuda a determinar el clima Alcnzame el libroSi Juan no tiene dinero entonces no compra dulces

Si el barmetro desciende, entonces llover o nevar

Generalizando, diremos que toda frase que tiene una funcin de tipo informativa, son frases que se

pueden categorizar, quedando entonces fuera todas aquellas frases que cumplen una funcin de transmitir

una orden o directriz y las que se utilizan con una funcin expresiva.

Si se analiza gramaticalmente una frase o expresin del lenguaje cotidiano, veremos que stas pueden

clasificarse como frases simples o compuestas. Las frases simples constan de un sujeto y un predicado.

Las frases compuestas se conforman a partir de las frases simples unidas por elementos gramaticales

especiales que las asocian (conjunciones).

Considerando estos conceptos y con la intencin de lograr un lenguaje menos ambiguo es que, como

primera medida, se restringe el mismo a solamente el conjunto de frases categorizables, estableciendo el

siguiente supuesto bsico:

Toda frase simple puede evaluarse como verdadera o falsa.

Como segunda medida tendiente a lograr un lenguaje an ms preciso, se acuerda adoptar una nueva

terminologa y representacin o simbologa asociada.

Esto es, llamar:

a las frases: enunciados o proposiciones(ya sea simples o compuestos segn corresponda) a los elementos gramaticales que unen a las frases simples: conectivos

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Y establecer como smbolos:

para representar los enunciados (frases simples o compuestas): las letras maysculas

para representar los conectivos: smbolos tales como ()

Cuando un enunciado del lenguaje natural se representa por medio de la simbologa asociada, lo que

queda bosquejado es la estructura o esqueleto lgico del mismo; es decir, la forma que tiene dichoenunciado o conjunto de enunciados. Dicha forma es la que nos va a permitir realizar nuestras

deducciones sin tener en cuenta el significado asociado.

Teniendo en cuenta esta ltima afirmacin, analicemos el siguiente ejemplo:

Caso 1:

Si Scrates es hombre entonces es mortal.

De este enunciado claramente se puede deducir que como Scrates es hombre, ste es tambin mortal

Caso 2:

Si Scrates es hombre, mortal es.

Caso 3:

Scrates es hombre. Scrates es mortal.

En los casos 2 y 3 se podra llegar a deducir lo mismo que en el caso 1 (no obstante tener dos enunciados

en el caso 3) pero haciendo uso de reglas gramaticales y del significado por nosotros conocido asociado a

las palabras.

Con lo cual se estara violando la intencin arriba establecida de que la estructura del enunciado debe

permitirme inferir una informacin particular.

Evaluacin de los Enunciados

En la Lgica Formal se estudian los principios y mtodos a travs de los cuales podemos determinar lavalidez de argumentos, desde el punto de vista solamente de su estructura, sin tomar en cuenta el

contenido semntico de las expresiones de los argumentos. De esta manera si se argumenta que:

Todos los majades son de Majadistn Rudistein es Majad En consecuencia, Rudistein es de Majadistn.

En este argumento, no se toma en cuenta si los majades son humanos, perros, pericos o un concepto

abstracto de cualquier rea.

Tampoco importa si Rudinstein es un ciudadano de alguna ciudad del mundo o si es el nombre de un

perro.

De esta manera desde el punto de vista de su estructura este argumento es vlido.

Se hace incapi que la Lgica no se hace responsable de su aplicacin a nivel semntico.

Se puede decir que la Lgica es una herramienta para el anlisis de la veracidad de argumentos en base

slo a la estructura de stos, donde el significado de los elementos que intervienen no es tomado en

cuenta.


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El argumento anterior tiene dos partes principales:

Las premisas:

Todos los majades son de Majadistn Rudistein es Majad

La conclusin:

Rudistein es de Majadistn

De esta manera el argumento es vlido, ya que de las premisas sigue la conclusin, lo cual hasta cierto

punto nos parece totalmente natural.

Consideremos el siguiente argumento:

Argentina est en frica o Argentina est en Asia. Argentina no est en Asia En consecuencia, Argentina est en frica.

Este argumento es vlido desde el punto de vista de la lgica formal, an cuando se sabe que laconclusin es falsa.

Cmo puede ser esto? A partir de la Lgica se pueden obtener conclusiones equivocadas?

La respuesta es afirmativa, ya que la lgica no verifica el significado de las premisas.

Debido a lo anterior es necesario distinguir entre proposiciones verdaderas y proposiciones lgicamente

verdaderas.

Las primeras son verdaderas independientemente de su estructura, mientras que las segundas no lo son.

De esta manera, las proposiciones:

Argentina est en frica o Argentina est en Asia Argentina est en frica

Son verdaderas lgicamente debido a que la primera es una premisa y a que la segunda ha sido derivada

lgicamente de sus premisas.

Concluyendo, es necesario poder lograr deducir informacin solamente a travs de la forma de los

enunciados. Es la forma la que me asegura la independencia del significado que un enunciado posea. Es

prioritario entonces, estudiar las formas enunciativas, es decir, la forma en que se va a formular unaidea de modo que sta exprese siempre lo que se desea. En consecuencia, no es el significado delenunciado lo que interesa sino la forma en que ste se expresa.

Generalizando dicho concepto y formalizndolo, se podra decir que:

Dadas las letras A,B,C , stas representan a cualquier enunciado y se las denomina variables deenunciado o variables proposicionales.

Toda variable de enunciado es verdadera o falsa.

Dado un enunciado que se liga con cualquier otro enunciado a travs de un conectivo, esta ligadura

debe darme como resultado un tercer enunciado.

Si toda forma enunciativa simple es verdadera o falsa entonces toda forma enunciativa compuesta

(constituida a partir de formas enunciativas simples) es tambin verdadera o falsa y sus valores

surgen a partir de los valores de las formas enunciativas que las componen.


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Formas Enunciativas Compuestas y Tablas de Verdad

Resta entonces analizar cada uno de los conectivos que me permiten armar formas enunciativas

compuestas y como stos deben ser interpretados para que toda vez que un mismo enunciado o enunciado

de caractersticas similares sea planteado ste se evale de la misma manera. Esto es, ver cules son las

reglas que en forma inequvoca y precisa me permitan deducir los valores de verdad para las variables de

enunciado que representan formas enunciativas compuestas..

Negacin

Se podra decir que es una conectiva particular o especial puesto que en lugar de relacionar dos

enunciados, afecta solamente al enunciado al cual se encuentra asociado.

Si se tiene un enunciado cualquiera A, su negacin es A. Haciendo la asociacin con nuestro lenguajenatural, la conectiva de negacin est representada por la palabra no , por lo tanto toda vez que sta seune a cualquier frase simple categorizable, la misma produce un cambio de categora a dicha frase.

Ejemplo:

Ir a verte maana se podra categorizar como verdadera.

No ir a verte maana cambia la categoria de la frase a la que se asocia a falsa.

Si se expresa dicho enunciado en forma general por medio de una variable de enunciado, digamos Ptendremos:

Sea P una variable de enunciado (o variable proposicional), su negacin es P y la tabla de posiblesvalores que la misma puede adoptar es la siguiente:

P P

V F

F V

Esta tabla se denomina Tabla de valores de Verdad y es considerada como la definicin de dicha

conectiva.

Conjuncin

Si se tiene un enunciado compuesto A conformado por dos enunciados, supongamos B y C, unidos por

medio del conectivo conjuncin (), el enunciado A tomar valores de verdad verdadero solamentecuando ambos enunciados que la componen son verdaderos. Haciendo la asociacin con nuestro lenguaje

natural, la conectiva de conjuncin esta representada por la palabra y, y es la palabra cuya funcin msclaramente se asocia con el significado que le otorgamos.

Ejemplo:

Juan vinoy Pedro se fue es el enunciado compuesto (A)

formado por los enunciados simples Juan vino (B) y Pedro se fue (C).

Lo anterior se puede expresar en forma general por medio de las siguientes variables de enunciado y su

correspondiente tabla o regla de composicin.

Dadas P y Q dos variables proposicionales, (P representando a B y Q representando a C) los valores de

verdad que adoptar el enunciado A (representado simblicamente por P Q) son:

P Q P QV V V

V F F

F V F

F F F


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Esta tabla es la tabla de valores de verdad para la conectiva .

Disyuncin


medio del conectivo disyuncin (), el enunciado A tomar valores de verdad verdadero solamentecuando uno de los enunciados que lo componen sea verdadero, con lo cual, si ambas son verdaderos ya se

da por cumplida la condicin establecida por el conectivo. Haciendo la asociacin con nuestro lenguaje

natural, la conectiva de disyuncin esta representada por la palabra o.Ejemplo:

Estudiar msicao canto oral es el enunciado compuesto (A)

formado por los enunciados simples Estudiar msica (B) y Estudiar canto oral (C).





P Q P QV V V

V F V

F V V

F F F

No obstante en nuestro lenguaje ordinario la palabra o suele ser utilizada con dos sentidos: uno donde

los enunciados simples que conforman el enunciado compuesto pueden ser verdaderos, ya sea uno o

ambos a la vez sin excluir ambas alternativas, tal cual se expres; donde una de las opciones excluye a

la otra alternativa, es decir, suele utilizrselo de manera excluyente.Ejemplo:

Veranearemos en las sierras en el mar es el enunciado compuesto (A)

formado por los enunciados simples Veranearemos en las sierras (B) y

Veranearemos en el mar (C).

Donde slo uno de ellos es posible pues ambas alternativas no pueden darse al mismo tiempo.

Acorde con esto, surge una nueva conectiva denominada disyuncin exclusiva y se define de la siguientemanera:


medio del conectivo disyuncin exclusiva, el enunciado A tomar valores de verdad verdadero solamentecuando uno de los enunciados que lo componen sea verdadero, y falso en cualquier otro caso.





P Q P QV V F

V F VF V V

F F F


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Condicional

Existe en nuestro lenguaje cotidiano, la posibilidad de armar frases compuestas de tipo condicional, es

decir, enunciados condicionales que llevan implcito una implicacin material o condicin material entre

dos enunciados simples. Estos enunciados suelen expresarse por medio del conectivo si .... entonces querelaciona dos proposiciones; la que se encuentra detrs de la palabra si se denomina antecedente y la

que sigue a la palabra entonces se denomina consecuente.Ejemplo:Si me levanto temprano, entonces tomar el tren de las ocho es el enunciado compuesto (A)

formado por los enunciados simples me levanto temprano (B) y

tomar el tren de las ocho (C).

Resta entonces ver cuando el enunciado compuesto A (conformado por dos enunciados cualesquiera, B y

C, unidos por medio del conectivo condicional), tomar valores de verdad verdadero. Para ello se har unanlisis de las posibles situaciones que se pueden presentar con el ejemplo planteado. Para un mejor

entendimiento del ejemplo es conveniente pensar al enunciado compuesto (A) como el hecho de viajar:

Si es cierto que me levanto temprano y no es cierto que tomo el tren de las ocho, se puede asegurarque el viaje no se ha realizado. Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, elcondicional es falso.

En cambio, si es verdadque me levanto temprano, y tambin lo es que tomo el tren a las ocho, sinduda aseguraremos que el viaje se ha realizado. Si el antecedente y consecuente son verdaderos, elcondicional es verdadero.

Se podra decir que estos son los casos mas comunes que se pueden producir y los cuales se pueden

analizar en forma intuitiva.

Quedan por analizar dos casos: cuando el antecedente es falso y el consecuente verdadero, y cuando

ambos son falsos. Pero estos casos difcilmente se presentan en el uso de nuestro lenguaje; condicionales

con antecedentes falsos resultan raros o sin sentido en el lenguaje ordinario, y por eso es difcil inferir quvalores de verdad le corresponden. La lgica resuelve considerar verdaderos estos dos condicionales. Ello

no es totalmente arbitrario ni entra en conflicto con el lenguaje ordinario, sino que ms bien completa lo

que ste deja sin decidir.

Lo anterior se puede expresar por medio de las siguientes variables de enunciado y su correspondiente

tabla o regla de composicin.

Dadas P y Q dos variables proposicionales, (P representando a B y Q representando a C):

P Q PQV V V

V F F

F V V

F F V

Bicondicional

Otro tipo de proposicin compuesta es el bicondicional, que se forma usualmente en nuestro lenguaje

cotidiano con la conectiva s y slo s, como en la frase Jugaremos a las cartas s y slo s reunimoscuatro personas, entonces tendremos:

Jugaremos a las cartass y slo sreunimos cuatro personas es el enunciado compuesto (A)

formado por los enunciados simples Jugaremos a las cartas (B) y

reunimos cuatro personas (C).


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Los componentes del bicondicional reciben el nombre de componente izquierdo (B) y componente

derecho (C) y el smbolo que representa el s y slo s es.

Como su nombre lo indica, el bicondicional es un condicional doble. B s y slo sC (B C) equivale ala conjuncin de B s C y B slo sC ; observando, la primer componente se puede simbolizar CB yla segunda B C por lo que el bicondicional resulta equivalente al esquema(CB) (BC), o lo que es lo mismo, por conmutatividad del conectivo conjuncin (BC) (CB), que es la conjuncin de dos condicionales, donde el antecedente del primero es el consecuente delsegundo , y el consecuente del primero es el antecedente del segundo.

Resta entonces ver, dado un enunciado compuesto A conformado por dos enunciados B y C, unidos por

medio del conectivo bicondicional (), cuando el enunciado A tomar valores de verdad verdadero ofalso: si uno de sus componentes es verdadero y el otro falso, el bicondicional es falso, y es verdadero

cuando ambos componentes son verdaderos, o ambos son falsos.

Lo anterior se puede expresar por medio de variables de enunciado y su correspondiente tabla o regla de

composicin.

Dadas P y Q dos variables proposicionales, (P representando a B y Q representando a C):

P Q PQV V V

V F F

F V F

F F V

Formulacin de las frases.

Dado que no es el significado del enunciado lo que interesa sino la forma en que ste se expresa, es

necesario estudiar la forma en que se va a formular una idea de modo que sta exprese siempre lo que se

desea. Existen en castellano algunos patrones de conformacin de conectivas que permiten representar

formalmente la misma estructura de las frases (Modelado de frases).


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Formalismo

Todos los conceptos hasta ahora expresados se pueden reescribir de manera formal a modo de extender su

significado a la generalidad de casos posibles.

Como una conclusin a todo lo aprendido diramos que debera ser posible, a partir de los enunciados

simples y las conectivas, construir enunciados complejos de cualquier longitud. Para dejar dicha

conclusin bosquejada claramente decimos:

Definicin:

Una forma enunciativa ser una expresin donde intervengan variables de enunciado y conectivas donde

la expresin se conforma utilizando las siguientes reglas:

1. Toda variable de enunciado es una forma enunciativa.2. Si P y Q son formas enunciativas entonces (P), (P Q), (P Q), (P Q) y (P Q) son

formas enunciativas.

Utilizando las tablas de verdad de las conectivas se puede establecer una tabla de verdad para cualquier

forma enunciativa.

Ejemplo:

Dada la siguiente forma enunciativa (P) QSu tabla de verdad ser:

P Q P(P)

QV V F V

V F F F

F V V V

F F V V

Dada la siguiente forma enunciativa P (QR)Su tabla de verdad ser:

P Q R (Q R) P (Q R)V V V V V

V V F V V

V F V V V

V F F F F


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F V V V V

F V F V V

F F V V V

F F F F V

De los ejemplos se deduce que dada cualquier forma enunciativa con n argumentos, la tabla de verdadcorrespondiente tendr 2n entradas.

Relaciones lgicas

Dado que la forma en que se puede expresar una forma enunciativa no tiene restricciones; dadas nvariables de enunciado la cantidad de formas enunciativas que se pueden formar es infinita, con lo cual

van a existir formas enunciativas que tengan la misma tabla de verdad.

Definicin:

1. Una forma enunciativa es una tautologa si toma el valor de verdad Verdadero para cada una de lasposibles combinaciones de valores de verdad de sus variables de enunciado.

Ej.: P (P)

2. Dada una forma enunciativa, sta es una contradiccin si para cada una de las combinacionesposibles de los valores de verdad de sus variables de enunciado, sta toma el valor de verdad Falso.

Ej.: P (P)

Definicin:

Sean P y Q dos formas enunciativas decimos:

1. P implica lgicamente a Q, si P Q es una tautologa.2. P es lgicamente equivalente a Q, si P Q es una tautologa.

Existen un conjunto de reglas que facilitan el proceso de evaluacin de formas enunciativas

Leyes de De Morgan

Dado un nmero cualquiera de formas enunciativas P1 ... Pn

n

n

i=1(Pi) es lgicamente equivalente

(

i=1Pi)

n

n

i=1(Pi) es lgicamente equivalente

(

i=1Pi)


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