02 Trabajo Virtual

Universidad Federico Santa María

Departamento de Obras Civiles

Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233)

M. Valdebenito

Trabajo Virtual y Teoremas de

Energía

USM – Fundamentos de Análisis Estructural (CIV–233) 2

Trabajo Virtual

• Trabajo virtual se refiere a un trabajo ficticio causado por fuerzas

virtuales o desplazamientos virtuales

• Permite determinar desplazamientos en cualquier punto de una

estructura

• Permite determinar fuerzas desconocidas

• Principio: igualdad entre trabajo realizado por fuerzas externas y

energía de deformación

• Concepto de trabajos virtual involucra:

– Principio de los desplazamientos virtuales: fuerzas reales actuando

a través de desplazamientos virtuales

– Principio de las fuerzas virtuales: fuerzas virtuales actuando sobre

desplazamientos reales

Generalidades


Trabajo Virtual

• Importancia de los principios de trabajo virtual

– Principio de los desplazamientos virtuales se encuentra relacionado

con el método de los desplazamientos (método de rigidez)

– Principio de las fuerzas virtuales se encuentra relacionado con el

método de la carga unitaria (método de flexibilidad)

Generalidades


Trabajo Virtual

• Energía de deformación interna

– Por simplicidad, en esta unidad solo se consideran sistemas

estructurales cuya energía interna involucra carga axial

– La generalización a otros casos de interés será estudiada en una

unidad posterior

Generalidades

Trabajo Virtual

• Temas a ser tratados en esta unidad


Generalidades

Trabajo

virtual

Principio de

Desplazamientos

Virtuales (PDV)

Conceptos

preliminares

Aplicaciones a estructuras

Teorema de Castigliano I

Teorema de Desplazamiento Unitario

Principio de Fuerzas

Virtuales (PFV)


Teorema de Castigliano II

Teorema de Fuerza Unitaria

Teorema de Crotti – Engesser

Relación entre PDV

y PFV

Conceptos Preliminares


Trabajo

virtual

Principio de

Desplazamientos

Virtuales (PDV)

Conceptos

preliminares





Virtuales (PFV)





Relación entre PDV

y PFV


• Considere la relación fuerza – desplazamiento de un sólido no lineal

elástico

• El trabajo que desarrolla la fuerza F es

• El trabajo complementario es


Trabajo y Trabajo Complementario

F

uL


• Al introducir una pequeña

perturbación de

desplazamiento 𝛿𝑢, la

perturbación en el trabajo

𝛿𝑊 es:

• Al introducir una pequeña

perturbación de fuerza 𝛿𝐹,

la perturbación en el trabajo

complementario 𝛿𝑊∗ es:


Trabajo y Trabajo Complementario


• Considere la relación esfuerzo – deformación de un sólido no lineal

elástico

• La energía de deformación es

• La energía de deformación complementaria es


Energía de Deformación y En. de Def. Complementaria

F

uL

relacionado con 𝑈∗

relacionado con 𝑈


• Al introducir una

pequeña perturbación

en la deformación

𝛿휀𝑥𝑥, la perturbación

en la energía de

deformación 𝛿𝑈 es:

• Al introducir una

pequeña perturbación

en el esfuerzo 𝛿𝜎𝑥𝑥, la

perturbación en la

energía de

deformación

complementaria 𝛿𝑈∗

es:



relacionado con 𝛿𝑈


relacionado con 𝛿𝑈∗

Energía de Deformación y En. de Def. Complementaria


• Trabajo

• Energía de Deformación (EdD)


Resumen

• 𝑊: Trabajo

• 𝑊∗: Trabajo complementario

• 𝛿𝑊: Trabajo (perturbación)

• 𝛿𝑊∗: Trabajo complementario (perturbación)


relacionado con 𝛿𝑈


relacionado con 𝛿𝑈∗

• 𝑈: EdD

• 𝑈∗: EdD complementaria

• 𝛿𝑈: EdD (perturbación)

• 𝛿𝑈∗: EdD

complementaria

(perturbación)

Principio de Desplazamientos Virtuales


Trabajo

virtual

Principio de

Desplazamientos

Virtuales (PDV)

Conceptos

preliminares





Virtuales (PFV)





Relación entre PDV

y PFV


• Considere una partícula en un espacio bidimensional

Partícula se encuentra en equilibrio

Hay un total de N fuerzas actuando sobre ella

por equilibrio:

• Suponga que sobre este sistema se introduce un desplazamiento

virtual 𝛿𝑢


Caso de una Partícula

x

y

𝐹𝑁 𝐹𝑖

𝐹1

𝐹2

𝛿𝑢𝑦

𝛿𝑢𝑥x

y


• El desplazamiento virtual 𝛿𝑢 se caracteriza por:

Es arbitrario

Es compatible

Es imaginario, perturba la partícula desde su posición de equilibrio

sin afectar las fuerzas externas

• Si bien 𝛿𝑢 puede ser arbitrario, habitualmente se escoge como un

desplazamiento pequeño infinitesimal.

𝛿𝑢𝑥 y 𝛿𝑢𝑦 son infinitésimos de primer orden desde el punto de vista

matemático

𝛿𝑢𝑥 y 𝛿𝑢𝑦 no se pueden integrar directamente




• El trabajo virtual 𝛿𝑊 realizado por las fuerzas debido al desplazamiento

virtual es:

• Por condición de equilibrio se sabe que:

– Por lo tanto, se cumple que:

– Para un desplazamiento arbitrario 𝛿𝑢.




• De los resultados anteriores se desprende el principio de

desplazamientos virtuales (PDV) para una partícula

• Note la relevancia de que la condición 𝛿𝑊 = 0 se cumpla para

cualquier desplazamiento virtual.

para caso particular

para caso arbitrario



Una partícula se encuentra en equilibrio si y solo si el trabajo virtual

hecho por todas las fuerzas que actúan en la partícula es cero para

un desplazamiento virtual arbitrario cualquiera.

𝐹1

x

y

Por lo tanto, sistema no se

encuentra en equilibrio

• Claramente los resultados anteriores son extensibles a un cuerpo rígido

(colección de partículas)

x

x



Caso de un Cuerpo Rígido

x

𝐹𝑖

𝐹2

𝐹1

𝐹𝑁

𝑀2

𝑀1

𝑀𝑗

𝑀𝑀

𝛿𝑢𝑥

𝛿𝑢𝑦

𝛿𝜃

c c

c’


• El PDV para un mecanismo indica que

• El número de grados de libertad de un mecanismo se determina en

base a los vínculos existentes y conexiones entre cuerpos rígidos

• Ejemplo

Determine el valor de la carga Q en función de P, a y b


Caso de un Mecanismo

Un mecanismo está en equilibrio si y solo si el trabajo virtual es cero

para todos los desplazamientos virtuales independientes (grados de

libertad)

R:

a b

P Q


• Cálculo de reacciones

Se libera vínculo asociado, reacción se asume como fuerza activa

Estructura pasa a ser un mecanismo, es posible introducir desplazamiento virtual

• Ejemplo

Calcular reacción vertical en C.

• Note que en este caso, al aplicar PDV, un problema de equilibrio se transforma en un problema geométrico


Caso de una Estructura Isostática

R:

L

PA

2/L 2/LL

B

C ED


• Cálculo de fuerzas internas

Se libera vínculo asociado, fuerza interna se asume como fuerza activa

Estructura pasa a ser un mecanismo, es posible introducir desplazamiento virtual

• Ejemplo

Calcular carga axial, corte y momento en D

• Note que en este caso, al aplicar PDV, un problema de equilibrio se transforma en un problema geométrico


Caso de una Estructura Isostática

R:

L

PA

2/L 2/LL

B

C ED


• Considere una barra sometida en un extremo a una fuerza por unidad

de superficie 𝑓0 Se asume estado de esfuerzos unidimensional

Área de sección transversal 𝐴

• De las ecuaciones de equilibrio se sabe que:

(se asume que no hay

cargas volumétricas)


Caso de una Barra Deformable


• Se asume un campo de desplazamiento virtual 𝛿𝑢𝑥(𝑥). Si dicho campo

virtual actúa sobre el elemento diferencial se produce un trabajo virtual

• Integrando la última relación sobre el volumen de la barra.

• Asumiendo que 𝛿𝑢𝑥(𝑥) es diferenciable y aplicando integración por

partes, se deduce que:




• Si se asume que 𝛿𝑢𝑥 𝑥 = 0 = 0, se observa que:

• Por otro lado, note que

Deformación extensional virtual

• Finalmente, se determina la siguiente condición de equilibrio



Fuerza

real

Despl.

virtual

Esfuerzo

real

Deformación

virtual


• Se denomina trabajo virtual (𝛿𝑊) al trabajo hecho por la fuerza real

sobre los desplazamientos virtuales

• Se denomina energía de deformación virtual (𝛿𝑈) a la energía asociada

a los esfuerzos reales sobre las deformaciones virtuales

• La barra está en equilibrio si y solo si el trabajo virtual y la energía de

deformación virtual son iguales

condición de equilibrio




• Ejemplo

Barra de largo 𝐿, sección transversal 𝐴

Material lineal elástico (módulo de Young 𝐸)

Extremo de la barra sufre elongación Δ

Determine fuerza 𝐹 en función de 𝐸, 𝐴, 𝐿 y Δ



R:

F

L

Sistema Real

L

Sistema Virtual


• Ejemplo


Ley constitutiva no lineal elástica

Determine fuerza 𝐹 en función de 𝐶, 𝐴, 𝐿 y 𝑢𝐿

Suponga que campo de desplazamiento es lineal



R:

F

LuL

Sistema Real

0

𝜎𝑥𝑥 = 𝑐휀𝑥𝑥𝑛

𝑛 ≤ 1

𝜎𝑥𝑥

휀𝑥𝑥

LuL

Sistema Virtual


• Enunciado: dada una estructura en equilibrio bajo la acción de fuerzas

externas que originan en ella esfuerzos internos y una segunda

estructura que sufre ciertos desplazamientos virtuales que originan

deformaciones virtuales, el trabajo realizado por las fuerzas externas

reales en los desplazamientos virtuales es igual al trabajo de los

esfuerzos internos reales en las deformaciones internas virtuales.


Caso General

Trabajo Virtual Energía de Deformación Virtual

Sistema Real

(de fuerzas)

𝑓 Sistema Virtual

(de desplazamientos)

𝛿𝑢, 𝛿 휀

𝐹1

𝐹𝑖

𝐹2

𝑏𝑖


• Donde

𝐹1, … , 𝐹𝑁: fuerzas puntuales

𝑓: carga superficial

𝑏: carga volumétrica

𝛿𝑢: campo de desplazamiento virtual

𝛿 휀: campo de deformaciones virtual


Caso General


• Considere una estructura sujeta a un sistema de N fuerzas externas

• Se introduce campo de desplazamientos virtuales 𝛿𝑢( 𝑥) tal que:

El desplazamiento virtual en el punto de aplicación de las fuerzas 1,

2, …, i-1, i+1, N es cero.

El desplazamiento virtual en el punto de aplicación de la i-ésima

fuerza es 𝛿𝑢𝑖 (en dirección de la fuerza)


Teorema de Castigliano (Parte I)

𝐹 1

𝐹 𝑁

𝐹 2

𝐹 𝑖

𝛿𝑢𝑖

Sistema Real Sistema Virtual


• Aplicando PDV

• Formalmente, el teorema de Castigliano (parte I) indica que para una

estructura elástica (lineal o no lineal) sometida a 𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑁 fuerzas

cuyos desplazamientos correspondientes son 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑁

(respectivamente) a lo largo de la línea de acción, es posible establecer

N ecuaciones de equilibrio de la forma:



En el límite, si 𝛿𝑢𝑖

es muy pequeño:

Energía de

deformación


• Ejemplo



Determine fuerza 𝐹 en función de 𝐶, 𝐴, 𝐿 y 𝑢𝐿



R:

0


𝑛 ≤ 1

𝜎𝑥𝑥

휀𝑥𝑥

F

LuL


• Este teorema permite determinar la fuerza 𝐹𝑖 requerido para mantener

el equilibrio de una estructura.

• Asuma que los esfuerzos que experimenta una estructura son

conocidos y se denotan como 𝜎. Se aplica un desplazamiento virtual

𝛿𝑢𝑖 en dirección de 𝐹𝑖.

• Por PDV:



𝐹 1

𝐹 𝑁

𝐹 2

𝐹 𝑖

𝛿𝑢𝑖


• Para una estructura lineal elástica se cumple que:

• Reemplazando la última expresión en la ecuación de PDV

• El teorema indica que la fuerza necesaria 𝐹𝑖 en la dirección 𝑖 para

mantener el equilibrio es igual ala integral sobre el volumen del

esfuerzo real 𝜎 multiplicado por las deformaciones 휀𝑢𝑖asociadas a un

desplazamiento unitario en la dirección 𝑖



휀𝑢𝑖: campo de deformación debido a

desplazamiento unitario en dirección de

la i-ésima fuerza

Teorema de desplazamiento

unitario


• Este teorema es de utilidad en la deducción de relaciones de rigidez del

tipo



Cargas sobre

una EstructuraMatriz de

RigidezDesplazamientos

de la Estructura


• Ejemplo

– Determine la relación de rigidez

– Barras lineales elásticas, módulo de Young E, áreas de sección

transversal 𝐴1 y 𝐴2, respectivamente



R:

LL

𝐹1 𝑢1

𝐸, 𝐴1 𝐸, 𝐴2

𝐹2 𝑢2

Principio de Fuerzas Virtuales


Trabajo

virtual

Principio de

Desplazamientos

Virtuales (PDV)

Conceptos

preliminares





Virtuales (PFV)





Relación entre PDV

y PFV


• Considere una barra sometida en un extremo a una fuerza.

– Se asume que su campo de desplazamiento es 𝑢𝑥(𝑥)

– Se asume un estado de esfuerzos unidimensional

– Área de sección transversal 𝐴



𝑓: fuerza por unidad de superficie


• Sobre esta barra se introduce un campo de esfuerzos virtual 𝛿𝜎𝑥𝑥(𝑥) y

fuerzas virtuales asociadas en equilibrio estático



Por equilibrio:

(se asume que no hay

cargas volumétricas)


• Si el campo de desplazamientos (real) 𝑢𝑥(𝑥) actúa sobre el elemento

diferencial

• Integrando la última relación sobre el volumen de la barra

• Aplicando integración por partes:




• Dado que 𝑢𝑥 𝑥 = 0 = 0, se deduce que:

• Por otro lado, note que

Deformación extensional (real)

• Finalmente, se determina la siguiente condición de equilibrio



Fuerza

virtual

Despl.

real

Esfuerzo

virtual

Deformación

real


• Se denomina trabajo virtual complementario (𝛿𝑊∗) al trabajo hecho por

la fuerza virtual sobre el desplazamiento real

• Se denomina energía de deformación virtual complementaria (𝛿𝑈∗) a la

energía asociada a los esfuerzos virtuales sobre las deformaciones

reales

• La barra esta en equilibrio si y solo si el trabajo virtual complementario y

la energía de deformación virtual complementario son iguales

condición de equilibrio




• Ejemplo



Fuerza F aplicada en el extremo de la barra

Determine el desplazamiento en el extremo en función de 𝐸, 𝐴, 𝐿 y 𝐹



R:

F

L

Sistema Real

L

Sistema Virtual𝛿𝐹


• Ejemplo



Determine el desplazamiento 𝑢𝐿 en función de 𝐶, 𝐴, 𝐿 y 𝐹

Considere como sistema virtual



R:

F

LuL

Sistema Real

0


𝑛 ≤ 1

𝜎𝑥𝑥

휀𝑥𝑥

L

𝛿𝐹


• Enunciado: dada una estructura que debido a alguna causa sufre

desplazamientos que originan en ella deformaciones internas y una

segunda estructura en equilibrio bajo la acción de fuerzas externas

virtuales que originan en ella esfuerzos virtuales, el trabajo realizado

por las fuerzas externas virtuales en los desplazamientos reales es

igual al trabajo de los esfuerzos internos virtuales en las deformaciones

internas reales

44

Caso General

Sistema Real


𝛿 𝐹 𝑗

𝛿 𝑏 𝑖

𝛿 𝑓Sistema Virtual

(de fuerzas)

𝛿 𝐹 1𝛿 𝐹 2

𝛿 𝜎 𝐹 2

𝐹 1 𝐹 𝑗



Caso General

Trabajo virtual

complementario

Energía de

deformación virtual

complementaria

Sistema Virtual


𝛿 𝐹 𝑗

𝛿 𝑏 𝑖

𝛿 𝑓Sistema Virtual

(de fuerzas)

𝛿 𝐹 1𝛿 𝐹 2

𝛿 𝜎 𝐹 2

𝐹 1 𝐹 𝑗


• Donde:

𝑢: campo de desplazamiento (real)

휀: campo de deformaciones (real)

𝛿 𝐹1, … , 𝛿 𝐹𝑁: fuerzas puntuales virtuales

𝛿 𝑓: carga superficial virtual

𝛿𝑏: carga volumétrica virtual

𝛿 𝜎: esfuerzos virtuales


Caso General


• Considere una estructura en equilibrio cuyo campo de desplazamiento

es 𝑢

• Se introduce una fuerza virtual 𝛿𝐹𝑖 en dirección del i-ésimo

desplazamiento 𝑢𝑖


Teorema de Crotti - Engesser

𝛿𝐹𝑖

𝑢𝑖 𝐹 2

𝐹 1 𝐹 𝑁

Sistema Real Sistema Virtual


• Aplicando PDV

• Formalmente, el teorema de Crotti – Engesser indica que para una

estructura elástica (lineal o no lineal), el desplazamiento en un punto es

igual a la derivada parcial de la energía de deformación virtual

complementaria respecto de la fuerza asociada



En el límite, si 𝛿𝐹𝑖

es muy pequeño:

Energía de

deformación

Complementaria


• Ejemplo



Determine el desplazamiento 𝑢𝐿 en función de 𝐶, 𝐴, 𝐿 y 𝐹



R:

F

LuL

Sistema Real

0


𝑛 ≤ 1

𝜎𝑥𝑥

휀𝑥𝑥


• Para estructuras lineales elásticas, se sabe que

• Por lo tanto:

• El teorema de Castigliano (Parte II) puede ser interpretado como un

caso especial del teorema de Crotti - Engesser


Teorema de Castigliano (Parte II)

Teorema de

Castigliano (Parte II)




• Ejemplo



Fuerza F aplicada en el extremo de la barra

Determine el desplazamiento en el extremo en función de 𝐸, 𝐴, 𝐿 y 𝐹


Teorema de Castigliano (Parte II)

R:

F

L


• Este teorema permite determinar el desplazamiento 𝑢𝑖 en un punto de

una estructura sometida a un campo de deformaciones conocido 휀

• Asuma una estructura donde el campo de deformaciones 휀 es

conocido. Si se aplica una fuerza virtual 𝛿𝐹𝑖 en dirección de 𝑢𝑖:

• Por PFV:


Teorema de la Carga Unitaria

𝑢𝑖 𝐹 2

𝐹 1

𝐹 𝑁

𝐹 𝑖

𝛿𝐹 𝑖


• Para una estructura lineal elástica se cumple que:

• Reemplazando la última expresión en la ecuación de PFV

Teorema de la carga unitaria

• El teorema indica que el desplazamiento 𝑢𝑖 es igual a la integral sobre

el volumen del esfuerzo 𝜎𝑢𝑖ocasionado por una carga unitaria en

dirección de 𝑢𝑖 multiplicado por el campo de desplazamientos real 휀.



𝜎𝐹𝑖: esfuerzos debido a carga unitaria

aplicada en dirección del 𝑖 –ésimo

desplazamiento


• Este teorema es de gran utilidad en la deducción de relaciones de

flexibilidad del tipo:



Cargas sobre

una Estructura

Matriz de

Flexibilidad

Desplazamientos

de la Estructura


• Ejemplo

Determine la relación de flexibilidad

Barras lineales elásticas, módulo de Young 𝐸, áreas de sección

transversal 𝐴1 y 𝐴2, respectivamente.



R:

LL

𝐹1 𝑢1

𝐸, 𝐴1 𝐸, 𝐴2

𝐹2 𝑢2


• Al igual que el PDV, el PFV se puede aplicar en el análisis de un cuerpo

rígido. En particular, es aplicable para determinar desplazamientos

• Ejemplo

Barra rígida de largo 𝐿 pivoteada en A

Barra experimenta giro pequeño ∆𝜃 alrededor de A

Objetivo es calcular desplazamiento vertical del punto B (∆𝐵,𝑦)



B

A ∆𝜃

∆𝐵,𝑦


• Ejemplo

Se define un sistema virtual de fuerzas ‘conveniente’

Por equilibrio

Aplicando PFV

• Note que en este caso, al aplicar PFV, un problema geométrico se

transforma en un problema de equilibrio



Cuerpo rígido, no hay energía

de deformación interna virtual

complementaria

𝛿𝑃

𝛿M


• Al igual que el PDV, el PFV se puede aplicar en el análisis de un

mecanismo. En particular, es aplicable para determinar

desplazamientos

• Ejemplo

Determine el desplazamiento horizontal de A debido a un giro ∆𝜃 en

torno a E


Caso de un Mecanismo

R:

A

B

C

D

E

∆𝜃

∆ 𝜃

L

𝛿𝐴,𝑥

L L

Note que en este caso, al

aplicar PFV, un problema

geométrico se transforma en

un problema de equilibrio

Relación entre PDV y PFV


Trabajo

virtual

Principio de

Desplazamientos

Virtuales (PDV)

Conceptos

preliminares





Virtuales (PFV)





Relación entre PDV

y PFV


• De acuerdo a lo expuesto anteriormente

• Note que las matrices de rigidez 𝐾 y flexibilidad 𝐹 no son

independientes entre si. De hecho, se relacionan según


Relación entre Desplazamiento y Carga Unitaria

PDV Teorema de

desplazamiento unitario

Relación de

rigidez𝑃 = 𝐾 𝑢

PFV Teorema de carga

unitaria

Relación de

flexibilidad𝑢 = 𝐹 𝑃

𝐾 −1 = 𝐹 𝑜 𝐹 −1 = 𝐾


• Ejemplo

Para el problema de 2 barras

Por PDV

Por PFV


Relación entre Desplazamiento y Carga Unitaria

LL

𝐹1 𝑢1

𝐸, 𝐴1 𝐸, 𝐴2

𝐹2 𝑢2

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