02-Vettori Applicati

2 Vettori applicati

2 Vettori applicati

2.1 Nozione di vettore applicato

Numerose grandezze fisiche sono descritte da vettori (spostamento, velocita,forza, campo elettrico, ecc.). Per alcune di esse e, in particolare, per le forze, enecessario tuttavia precisare, oltre a direzione, verso e modulo, anche il puntodi applicazione. L’e!etto di una forza su di un corpo deformabile puo infattivariare notevolmente al variare del punto di applicazione. Queste considera-zioni si traducono nel fatto che una forza e descritta matematicamente da unvettore applicato.

Definizione. 2.1. Si definisce vettore applicato una coppia (A,u), con A ! Ee u ! V. Il punto A e detto punto di applicazione, la retta cui appartiene u edetta retta d’azione.

Definizione. 2.2. Si definisce momento del vettore applicato (A,u) rispettoal punto O, detto polo, il vettore (libero) m(O) cosı definito:

m(O) = (A " O) # u .

Si osservi che

• per le proprieta del prodotto vettoriale, il vettore momento m(O) e per-pendicolare al piano passante per O e contenente il segmento orientatoB " A che rappresenta il vettore u (figura 2.1). Inoltre risulta:

|m(O)| = AO|u| sin( !A " O)u = |u|b ,

dove b = AO sin( !A " O)u = AO sin ! (> 0), detto braccio del vettoreu rispetto ad O, rappresenta geometricamente la distanza della rettad’azione di (A,u) dal polo O;

• se u $= 0, allora m(O) = 0 se e solo se il polo O appartiene ala rettad’azione del vettore applicato;

• il momento del vettore applicato (C,u), con C appartenente alla rettad’azione r, e uguale a quello di (A,u) prima definito; in altri termini, sefacciamo scorrere un vettore applicato lungo la sua retta d’azione il suomomento rispetto ad un generico polo C non varia.

Corso di Scienza delle Costruzioni 14 A. A. 2009-2010

2 Vettori applicati 2.2 Sistemi di vettori applicati

Fig. 2.1

Il vettore momento e un vettore libero; talvolta, dal punto di vista grafico, ivettori momento sono rappresentati con una freccia a doppia punta o con unarco di circonferenza orientato nel piano perpendicolare al vettore stesso.

2.2 Sistemi di vettori applicati

Un sistema di vettori applicati S e un insieme (finito) di vettori applicati deltipo:

S = {(A1,u1), (A2,u2), . . . , (An,un)} .

Definizione. 2.3. Si definisce risultante del sistema di vettori applicati S ilvettore (libero)

r =n!

i=1

ui .

Definizione. 2.4. Si definisce momento risultante di S rispetto al polo O ! Eil vettore (libero)

m(O) =n!

i=1

(Ai " O) # ui .

L’applicazione O ! E %& m(O) e detta campo vettoriale del momento.Dalla definizione di momento risultante, con riferimento ad un polo O!, si puo


2 Vettori applicati 2.2 Sistemi di vettori applicati

scrivere

m(O!) =n!

i=1

(Ai " O!) # ui =n!

i=1

"(Ai " O) + (O " O!)

## ui =

=n!

i=1

(Ai " O) # ui +n!

i=1

(O " O!) # ui =

= m(O) + (O " O!) #n!

i=1

ui = m(O) + (O " O!) # r .

Pertanto, al variare del polo, il momento risultante varia secondo la legge

m(O!) = m(O) + r# (O! " O) , (2.1)

detta formula di trasposizione dei momenti.La formula appena enunciata permette di stabilire che il momento risul-

tante di un sistema S di vettori applicati non dipende dal polo se e solo se harisultante r = 0. In tal caso il campo vettoriale di m e quindi omogeneo.

Un esempio significativo di sistema di vettori applicati a risultante nulloe la coppia di forze, costituito da due vettori opposti (cioe aventi la stessadirezione, lo stesso modulo e verso opposto – figura 2.2):

S = {(A,u), (B,"u)} .

Per tale sistema si ha

r = u" u = 0

m(A) = (A " B) # u + (B " B) # u = (A " B) # u = m (cost.)

Detta b la distanza tra le due rette d’azione (tra loro parallele), si ha

|m| = b|u| ,

ove b e detto braccio della coppia. Per semplicita spesso una coppia vienerappresentata solo attraverso il suo momento.


2 Vettori applicati 2.3 Asse centrale

Fig. 2.2

2.3 Asse centrale

Si considerino ora sistemi di vettori applicati con risultante r $= 0. In tal caso,se si scelgono due punti O e O! in modo che (O! " O) ' r, risulta m(O!) =m(O). In altri termini, m non varia lungo rette parallele ad r. Infatti, se simoltiplicano ambo i membri della 2.1 per r, si ha

m(O!) · r + r# (O! " O) · r = m(O!) · r .

Dunque tale prodotto scalare e costante, e prende il nome di invariante scalare:

I = m(O!) · r = cost.

Questa relazione permette di a!ermare che la componente di m lungo r (paria I

$|r|) e indipendente dal polo O.

Se si decompone m nella sua componente vettoriale p parallela ad r ed inquella n ad esso perpendicolare, si ha (figura 2.3):

m(O) = p + n(O) , (2.2)

ove, per quanto visto, la componente p e costante e pari a

p =I|r|2

r .

Pertanto solo la componente normale n dipende dalla scelta del polo O.


2 Vettori applicati 2.3 Asse centrale

Fig. 2.3

Definizione. 2.5. Si definisce asse centrale di un sistema di vettori applicatiS il luogo dei punti Q ! E rispetto ai quali m(Q) ' r (cioe n(Q) = 0 em(Q) = p).

L’asse centrale e dunque il luogo descritto dall’equazione n(Q) = 0. Utiliz-zando la formula di trasposizione dei momenti, quest’ultima equazione assumela forma:

n(Q) = m(Q)"p = [m(O) + r# (Q " O)]"p = n(O)+r# (Q " O) = 0 ,

per cui i punti cercati devono soddisfare l’equazione

r# (Q " O) = "n(O) .

Ricordando che un’equazione del tipo a # x = b, con a,b ! V, a · b = 0,a $= 0, b $= 0, ha come soluzioni

x =b # a|a|2

+ µa, µ ! IR ,

si ha

(Q " O) =r # n(O)

|r|2 + µr, µ ! IR . (2.3)


2 Vettori applicati 2.4 Sistemi equivalenti

L’equazione 2.3 descrive, al variare del parametro reale µ, i punti di una rettaparallela ad r e passante per il punto

O = O +r# n(O)

|r|2 = O +r #m(O)

|r|2 .

Si osservi che per tutti i punti Q appartenenti all’asse centrale si ham(Q) =p e, pertanto,

|m(Q)| = |p| <%

|p|2 + |n(O)|2 = |m(O)| ,

dove O e un generico punto non appartenente all’asse centrale. In altri termini,l’asse centrale e l’insieme dei punti di E rispetto ai quali e minimo il modulodel momento risultante. Per tali punti m(Q) = p.

Osservazione. Si consideri un punto Q appartenente all’asse centrale. Ilmomento risultante rispetto ad un generico polo O e dato da

m(O) = m(Q) + r # (O " Q) = p + r# (O " Q) , (2.4)

dove r# (O " Q) = n(O) e la componente perpendicolare. Alla luce di quantovisto, per studiare il campo del vettore momento e su"ciente rappresentare lalegge 2.4 per tutti i punti appartenenti ad un generico piano perpendicolare adr (figura 2.4). Il campo sara lo stesso su tutti i piani a quest’ultimo paralleli.

2.4 Sistemi equivalenti

Definizione. 2.6. Due sistemi di vettori applicati S e S ! si dicono equivalentise hanno lo stesso risultante e lo stesso momento risultante rispetto ad ungenerico polo O:

r = r! , m(O) = m!(O) . (2.5)

In virtu della formula di trasposizione dei momenti e della 2.5, due sistemiequivalenti hanno lo stesso momento risultante rispetto a qualunque puntoO! ! E . Inoltre, se r $= 0, i due sistemi hanno lo stesso asse centrale.

Definizione. 2.7. Un sistema di vettori applicati S si dice equilibrato oequivalente a zero se risulta:

r = 0 , m(O) = 0 , O ! E . (2.6)



Fig. 2.4

Per la formula di trasposizione dei momenti, dalla 2.6 segue che m(O!) =0 (O! ! E .

Definizione. 2.8. Sia S un sistema di vettori applicati avente risultante r emomento risultante m(O) rispetto ad un polo O. Un sistema S !, di risultanter! e momento risultante m!(O), si dice equilibrante del sistema S se risulta:

r! = "r , m!(O) = "m(O) . (2.7)

Si osservi come, in tal caso, il sistema unione S e equilibrato.Sulla base delle definizioni di equivalenza tra sistemi di vettori, e possibile

dimostrare le seguenti proposizioni.

Proposizione. 2.1. Un sistema S di vettori applicati e equivalente ad unacoppia se e solo se ha risultante nulla.

Dimostrazione.)) Sia S un sistema per cui si abbia r = 0 e m $= 0. Scelto un generico vettoreu perpendicolare ad m ed un piano " perpendicolare ad m, siano A,B ! " etali che (figura 2.5)

A " B =u# m|u|2 .



La coppia {(A,u), (B,"u)} ha risultante nulla e momento risultante

m(B) = (A " B) # u =u# m|u|2 # u = m ,

dunque e equivalente ad S.

Fig. 2.5

*) Se S e equivalente ad una coppia, dalla definizione di equivalenza seguer = 0. !

Proposizione. 2.2. Un sistema S di vettori applicati a risultante non nulloe equivalente ad un unico vettore applicato se e solo se ha invariante scalarenullo. In particolare il vettore equivalente (Q, r) e costituito dal risultante rapplicato ad un generico punto Q dell’asse centrale. Il vettore (Q, r) e dettorisultante equivalente.

Dimostrazione.)) Se I = 0, detto Q un generico punto dell’asse centrale di S, il campo deimomenti e descritto dall’equazione

m(O) = p + r# (O " Q) = (O " Q) # r .

Tale equazione coincide con quella del sistema costituito dal vettore (Q, r) cheha quindi lo stesso momento risultante. Infine banalmente S e (Q, r) hannola stessa risultante, per cui i due sistemi sono equivalenti.


2 Vettori applicati 2.5 Sistemi di vettori ad invariante scalare nullo

*) Se S e equivalente al vettore (Q, r), il momento risultante di S coincidecon il momento di (Q, r), quindi

m(Q) = (Q " Q) # r = 0 ,

pertanto I = r · m(Q) = 0. !

Proposizione. 2.3. Un sistema S di vettori applicati a risultante r non nulloe equivalente ad un sistema costituito da un vettore applicato (A, r) e da unacoppia di momento m(A) pari al momento risultante di S rispetto ad A.

Infatti, il sistema

{(A, r), coppia di momento m(A)} ,

che prende il nome di sistema equivalente ad S ridotto ad A, ha risultante r emomento risultante rispetto ad A pari ad m(A), essendo nullo rispetto ad Ail momento di (A, r).

2.5 Sistemi di vettori ad invariante scalare nullo

Di seguito si illustrano alcuni esempi particolarmente significativi di sistemidi vettori ad invariante scalare nullo.

2.5.1 Sistemi di vettori applicati concorrenti

Si consideri un sistema di vettori applicati concorrenti, ossia un sistema divettori le cui rette d’azione sono concorrenti in un unico punto O (figura 2.6).Risulta

m(O) =n!

i=1

(Ai " O) # ui = 0 , (2.8)

dunque I = m(O)·r = 0. Un sistema cosı fatto ammette risultante equivalente(O, r). Se, in particolare, risulta r $= 0, dalla 2.8 si deduce che O appartieneall’asse centrale.



Fig. 2.6

2.5.2 Sistemi piani di vettori applicati

Un sistema di vettori

S = {(A1,u1), . . . , (An,un)}

e detto piano se tutti i vettori del sistema appartengono ad un unico piano "(figura 2.7), cioe se

Ai ! " , ui · e = 0 , i = 1, . . . , n,

essendo e un versore perpendicolare a ".In tal caso, il risultante e parellelo a " ed il momento risultante rispetto

ad un polo O ! " e perpendicolare a ". Infatti risulta:

r · e =n!

i=1

ui · e = 0 ;

m(O) # e =n!

i=1

[(Ai " O) # ui] # e = 0 .

Pertanto I = r · m(O) = 0 e quindi, se il risultante e non nullo, un sistemapiano ammette sempre risultante equivalente. Se invece r = 0, il sistema eequivalente ad una coppia giacente nel piano ".



Fig. 2.7

2.5.3 Sistemi di vettori applicati paralleli

Un sistema di vettori applicati paralleli e un sistema del tipo

S = {(A1,u1), . . . , (An,un)} , ui = fie , |e| = 1 , i = 1, . . . , n .

Per un sistema di questo tipo si ha:

r =n!

i=1

fie = fe , f =n!

i=1

fi

m(O) =n!

i=1

(Ai " O) # fie =

&n!

i=1

fi(Ai " O)

'# e ,

* I = r · m(O) = 0 .

Pertanto i sistemi di vettori paralleli ammettono, per f $= 0, un risultanteequivalente. Se al contrario f = 0, il sistema e equivalente ad una coppia.

Definizione. 2.9. Si definisce centro di un sistema di vettori paralleli arisultante non nullo il punto C ! E tale che

f(C " O) =n!

i=1

fi(Ai " O) ,


2 Vettori applicati 2.6 Costruzioni grafiche

dove O e un punto generico.

Si osservi che la definizione di centro e indipendente dal punto O. In-fatti, preso un punto O! $= O, sia C! il centro definito secondo l’espressioneprecedente. Si ha:

f(C! " O!) =n!

i=1

fi(Ai " O!) =n!

i=1

fi(Ai " O) +n!

i=1

fi(O " O!) =

= f(C " O) + f(O " O!) = f(C " O!) ,

da cui segue la coincidenza tra C e C!.

Proposizione. 2.4. Per ogni sistema di vettori applicati paralleli

S = {(Ai, fie), |i = 1, . . . , n} ,

il centro C appartiene all’asse centrale qualunque sia il versore e.

Dimostrazione.Il momento risultante di S rispetto al polo C risulta

m(C) =n!

i=1

(Ai " C)# fie =

&n!

i=1

fi(Ai " C)

'

# e = f(C " C) # e = 0 ,

dunque C appartiene all’asse centrale. !Il risultato appena esposto mostra che se si ruotano tutti i vettori fie allo

stesso modo (cioe si varia la direzione di e), l’asse centrale ruota intorno a C.

2.6 Costruzioni grafiche

2.6.1 Poligono funicolare

La costruzione del poligono funicolare consente di determinare graficamentel’asse centrale di un sistema piano di vettori e, in particolare, il risultanteequivalente.

Si consideri il caso particolare di un sistema costituito da tre vettori (figura2.8):

S = {(A1,u1), (A2,u3), (A3,u3)} ,



e si supponga che r = u1 + u2 + u3 $= 0. Si costruisca il poligono dei vettoriO1,O2,O3O4, che per le ipotesi fatte sara aperto, a partire dal punto genericoO1. In particolare, il segmento orientato O4 " O1 rappresenta, nella scala dirappresentazione adottata per i vettori, il risultante r. Si scelga ora un puntoP del piano non appartenente ad alcun lato del poligono dei vettori e sianop1, p2, p3, p4 le rette del fascio di centro P passanti per i punti O1,O2,O3O4.Il punto P e detto polo e le rette p1, p2, p3, p4 raggi proiettanti.

Fig. 2.8

A partire da un generico punto B0 del piano si costruisca ora la poligonaleavente i lati s1, s2, s3, s4 ordinatamente paralleli ai lati p1, p2, p3, p4 e i verticiB1,B2,B3 sulle rette d’azione r1, r2, r3 del sistema di forze. La poligonale cosıottenuta e detta poligono funicolare connesso al sistema S. Si osservi che dalleipotesi fatte segue che O1 $= O4, cosicche s1 non e parallela ad s4.

Si puo dimostrare che il punto Q di intersezione dei lati s1 e s4 e un puntodell’asse centrale; in particolare, l’asse centrale e la retta per Q parallela alsegmento O4O1 ed il vettore (Q, r) e equivalente al sistema S. Il procedimento



mostrato si puo estendere facilmente a sistemi costituiti da un numero qualsiasidi vettori.

Nel caso particolare in cui r = 0 e m $= 0 (figura 2.9), il poligono dei vettorie chiuso, dunque il primo e l’ultimo lato del poligono funicolare sono tra loroparalleli. Il sitema non ammette risultante equivalente, ma e equivalente aduna coppia. Si puo dimostrare che una coppia equivalente e costituita daivettori (B1,u!

1) e (B3,u!!3), con u!

1 e u!!3 ottenuti scomponendo rispettivamente

u1 rispetto alle direzioni s1 ed s2, e u3 rispetto ad s3 e s4 + s1.1 Infatti efacile verificare che

u!1 = P " O1 = "O4 " P = "u!!

3

Fig. 2.9

Si consideri infine il caso in cui r = 0 e m = 0. L’equazione r = 0e equivalente, dal punto di vista grafico, alla condizione che il poligono deivettori sia chiuso. Inoltre, poiche m = 0, si ha che anche il poligono funicolaree chiuso: il primo lato coincide con l’ultimo, cosicche i due vettori (B1,u!

1) e(B3,u!!

3) formano una coppia di braccio nullo (figura 2.10):

u!1 = P " O1 = "O4 " P = "u!!

3 .

1Per una discussione sulla scomposizione di un vettore si veda il paragrafo 2.6.2.



Fig. 2.10

2.6.2 Decomposizione di un vettore nel piano

Decomporre un vettore vuol dire determinare un sistema di vettori equivalenteal vettore assegnato.

Decomposizione di un vettore secondo due rette.

Si considerino un vettore (A,u) e due rette r1, r2 non parallele. Si osserviche se la retta d’azione r di (A,u) non appartiene al fascio individuato da r1 er2, il problema non ha soluzione. Infatti in tal caso il momento dei due vettorigiacenti su r1 e r2 rispetto ad O e nullo, mentre non lo e il momento di (A,u).Se al contrario O ! r (figura 2.11), il problema ha la seguente soluzione:

{(O,v1), (O,v2)} ,

dove v1 e v2 sono i vettori che si ottengono costruendo il parallelogrammaavente per diagonale u e i lati giacenti su r1 e r2. Tale soluzione e unica.

Se le rette r1, r2 sono parallele, il problema ha soluzione solo se esse hannola direzione di u. In tal caso la soluzione e unica e puo ottenersi come segue.



Fig. 2.11

Si determini dapprima il sistema S ! = {(A1,v1), (A2,v2)} equilibrantedi (A,u) e con vettori aventi retta d’azione coincidenti con r1 e r2. S ! puoottenersi costruendo un poligono funicolare chiuso (figura 2.12). In particolare,dal poligono dei vettori conosciamo il primo lato (coincidente con l’ultimo) edil secondo. Restano quindi determinati i punti B2 e B3 e di conseguenza ilterzo lato del poligono costituito dal segmento B2B3. Infine mandando da Pil raggio proiettante parallelo al segmento B2B3 si determina O2. I vettoricercati sono quindi v1 = O3 " O2 e v2 = O4 " O3.

A questo punto, se S ! e equilibrante di (A,u) ha risultante pari a "u emomento risultante opposto a quello di (A,u). Pertanto la soluzione cercatae la seguente:

{(A1,"v1), (A2,"v2)} ,

dove A1 e A2 sono due punti scelti arbitrariamente rispettivamente su r1 e r2.

Decomposizione di un vettore secondo tre rette assegnate r1, r2, r3.

Se le tre rette formano un fascio (proprio o improprio), il problema ammet-te infinite soluzioni. Consideriamo ad esempio il caso in cui le rette r1, r2, r3 er siano concorrenti (figura 2.13). Scelto su r1 un vettore arbitrario (A1,v1), sideterminano i rimanenti vettori (A2,v2) e (A3,v3) su r2 e r3 decomponendoil vettore u" v1 lungo r2 e r3.

Nel caso in cui r1, r2, r3 non formano fascio, il problema ha una sola soluzio-ne. Decomponendo u rispetto alle direzioni r3 e BC (figura 2.14) si ottengono



Fig. 2.12

Fig. 2.13

rispettivamente i vettori v3 e w. Dalla decomposizione di w lungo r1 e r2 siottengono i vettori v1 e v2.

2.6.3 Riduzione di sistemi piani di forze e criteri di equivalenza azero

Si illustrano nel seguito alcune costruzioni grafiche finalizzate a ridurre i siste-mi piani di forze a sistemi equivalenti costituiti da una sola forza e/o da una



Fig. 2.14

sola coppia. In particolare si ricorda che nel caso piano (I = 0) se r $= 0 ilsistema e equivalente ad una forza, se r = 0 il sistema e equivalente ad unacoppia.

Sistemi costituiti da un solo vettore.

Un sistema del tipo S = {(P,u)} ha banalmente risultante non nullo. Invirtu della proposizione 2.3, tale sistema e equivalente al sistema

S ! = {(P!,u);m(P!)} ,

ove m(P!) = (P " P!)#u e il momento risultante del primo sistema S rispettoal punto P! (figura 2.15). Infatti risulta:

r = u m(P) = 0r! = u = r m!(P) = (P! " P) # u + m(P!) = 0 = m(P) .

Questa operazione prende il nome di riduzione di (P,u) al punto P! e m(P)prende il nome di momento di trasporto.

Sistemi piani costituiti da due vettori.



Fig. 2.15

Si consideri un sistema piano del tipo

S = {(P1,u1), (P2,u2)} .

Si supponga che le rette d’azione r1, r2 non siano parallele (figura 2.16). Intal caso si ha r $= 0 e, detto O il punto di intersezione di r1 ed r2, m(O) = 0.Il sistema equivalente e

S ! = {(O, r)} ,

infatti i due sistemi hanno lo stesso risultante e, in virtu della formula ditrasposizione dei momenti, hanno lo stesso momento risultante rispetto aqualunque polo.

Fig. 2.16

Se le rette d’azione r1, r2 sono parallele puo aversi r = 0 o r $= 0. Nelprimo caso (figura 2.17) il sistema e equivalente ad una coppia di momentom = ±b|u|e, essendo e il versore perpendicolare al piano individuato da r1 ed



r2, ed e indipendente dal polo scelto (si veda il paragrafo 2.2 e la proposizione2.1). Se le due rette d’azione sono coincidenti, si ha b = 0, per cui il sistema eequilibrato. Se r $= 0, e possibile determinare il risultante equivalente mediante

Fig. 2.17

la costruzione del poligono funicolare (figura 2.18). Determinata la risultante rmediante il poligono dei vettori, si individuano a partire da un punto arbitrarioP le direzioni p1, p2, p3. Condotta da un punto arbitrario B0 la retta s1 ' p1,si determina B1 su r1 e tramite s2 ' p2, si trova B2 su r2. Condotta da B2 laretta s3 ' p3, la retta d’azione r del risultante equivalente e la parallela a r1

e r2 passante per il punto B3 di intersezione di s1 e s3. E facile provare che|r| = |v2|b2/b1.

Fig. 2.18

Alla luce di quanto visto, e possibile dunque enunciare il criterio di equi-valenza a zero per un sistema piano di due vettori.

Proposizione. 2.5. Un sistema piano di due vettori e equivalente a zerose e solo se e costituito da una coppia di braccio nullo, cioe se e formato da



due vettori agenti sulla stessa retta d’azione e aventi stesso modulo e versoopposto.

Sistemi piani costituiti da tre vettori.

Un sistema di tre vettori (figura 2.19)

S = {(P1,u1), (P2,u2), (P3,u3)}

e sempre riconducibile ad un sistema di due vettori

S ! = {(P,u12), (P3,u3)} ,

essendo (P,u12) il risultante equivalente del sistema di due vettori

S12 = {(P1,u1), (P2,u2)} .

Al sistema S ! si applicano le considerazioni fatte prima, e per esso si puo quindiindividuare facilmente il vettore (O, r) equivalente al sistema di partenza S.

Fig. 2.19

E possibile in particolare determinare per tali sistemi un criterio di equiva-lenza a zero. Perche si abbia r = 0, il poligono delle forze deve essere chiuso.Per quanto riguarda la condizione di annullamento del momento risultante,osservando la figura 2.19 si vede che

m(P) = (P3 " P) # u3 .



Tale momento risultante e dunque nullo se (P3 " P) = 0, cioe se la retta d’a-zione di u3 passa per P. In definitiva si puo enunciare il criterio di equivalenzaa zero per un sistema piano di tre vettori come segue.

Proposizione. 2.6. Un sistema piano di tre vettori e equivalente a zero see solo se il poligono dei vettori e chiuso e le rette d’azione dei vettori sonoconcorrenti in un unico punto.

Si osservi che, nel caso in cui le rette d’azione siano concorrenti in un puntoimproprio (sistema di vettori paralleli), la condizione espressa dalla precedenteproposizione e solo necessaria.

Sistemi piani costituiti da piu di tre vettori.

Per sistemi di questo tipo, e sempre possibile ricondursi a sistemi formatida tre o due vettori combinando due a due i vettori del sistema. Per questivalgono quindi le considerazioni fatte in precedenza.


Documents

02-Vettori Applicati