02_Kinematika

M. Grbac: Fizika Kinematika

2

KINEMATIKA 2.1. Uvod Mehanika je dio fizike koji proučava zakone gibanja tijela, tj. vremensku promjenu položaja tijela u prostoru. Mehanika je najstarije područje znanosti. Utemeljitelji mehanike su Galileo Galilei i Isaac Newton.

Mehaniku čine grane kinematika, dinamika i statika. Nazivi potječu od grčkih riječi: μεχανή (grč. oruđe), κινεμα (grč. gibanje), δυναμις (grč. sila) i στατική (grč. ravnoteža). Kinematika je grana mehanike koja proučava gibanja tijela neovisno o uzrocima tih gibanja i o svojstvima tijela koja se gibaju (ne uzima u obzir masu tijela niti sile koje na tijelo djeluju).

kinematika

Dinamika je grana mehanike koja proučava uzroke gibanja tijela i definira zakone gibanja tijela, uzimajući u obzir i svojstva tijela (masu, volumen, oblik itd.)

dinamika

Statika proučava uvjete ravnoteže tijela i u osnovi je poseban slučaj dinamike. Prema vrsti tijela ili sredstva u gibanju mehanika se može podijeliti u područja : • mehanika materijalne točke • mehanika sistema materijalnih točaka • mehanika krutog tijela • mehanika fluida • mehanika titranja i valova

1


Gibanje je promjena položaja tijela u prostoru tijekom vremena. Gibanje je relativan pojam jer se tijelo uvijek giba u odnosu na neko drugo tijelo ili okolinu. Za tijelo koje ne mijenja svoj položaj u prostoru u odnosu na okolinu kaže se da miruje. Mirovanje je relativno kao i gibanje. Gibanje i mirovanje uvijek se promatraju s obzirom na neki koordinatni sustav, kojeg vezujemo uz tijelo u odnosu na koje promatramo gibanje i zovemo ga referentni sustav. U prirodi ne postoji apsolutno gibanje niti apsolutno mirovanje. ------------------------------------------------------------------------------ Primjer: Putnik koji sjedi u vlaku miruje s obzirom na referentni sustav vezan za vlak, ali se giba s obzirom na referentni sustav vezan za Zemlju. ------------------------------------------------------------------------------ 2.2. Kinematika čestice Radi pojednostavljenja fizikalnih razmatranja pri proučavanju gibanja tijela često se mogu zanemariti dimenzije tijela te se tijelo može predočiti točkom mase m bez dimenzija. Takva se aproksimacija naziva materijalna točka, čestica ili sitno tijelo. To je moguće učiniti onda kad su dimenzije tijela vrlo malene u odnosu na dimenzije područja u kojemu se odvija promatrano gibanje ili u slučaju kad nema razlika u gibanju pojedinih dijelova tijela. Npr. pri proučavanju gibanja vlaka moguće je vlak smatrati materijalnom točkom.

materijalna točka

Položaj odnosno koordinate materijalne točke ovise o izabranom referentnom sustavu. Obično se kao najpraktičniji odabire sustav vezan za Zemlju, tzv laboratorijski sustav.

laboratorijski sustav

Položaj čestice se često određuje pomoću pravokutnih koordinata u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu. Za opis gibanja po pravcu dovoljan je jednodimenzionalni koordinatni sustav, za opis gibanja u ravnini dvodimenzionalni sustav, a za opis gibanja u prostoru trodimenzionalni kordinatni sustav.

Na slici su prikazani jednodimenzionalni, dvodimenzionalni i trodimenzionalni koordinatni sustav.

2


Položaj materijalne točke u prostoru opisuje se pomoću vektora položaja (radijusvektora) koji spaja ishodište koordinatnog sustava i materijalnu točku. Ako se materijalna točka giba njezine se koordinate mijenjaju u vremenu, one su funkcije vremena x(t), y(t) i z(t), pa je i vektor položaja materijalne točke funkcija vremena, prema relaciji:

ktzjtyitxtrrrrr )()()()( ++=

vektor položaja Položaj materijalne točke )(trr u prostoru opisan je s tri skalara x, y, i z: αcosrx = βcosry = γcosrz =

1coscoscos 222 =++ γβα Skup svih točaka kroz koje prolazi čestica pri svom gibanju je krivulja koja se naziva putanja ili trajektorija. Putanja čestice je geometrijsko mjesto vrhova radijusvektora u uzastopnim trenutcima.

putanja čestice

Dio putanje koji materijalna točka prijeđe u vemenskom intervalu od trenutka t1 do trenutka t2, zove se put. Put s je duljina luka krivulje tj prijeđena udaljenost po putanji. To je skalarna veličina. Za razliku od puta pomak, koji je određen promjenom vektora položaja, je vektor. Vektor pomaka je:

.

put i pomak

)()( 12 trtrrrABr Ar rr

Brr

−== =−Δ

3


Put s je uvijek pozitivan, dočim pomak može biti i pozitivan i negativan. Npr. ako se tijelo giba po pravcu u desno, pa onda u lijevo tako da se vrati u početnu točku, pomak tijela će biti jednak nuli, a prevaljeni put će biti pozitivan i jednak ukupnom broju prevaljenih metara.

Treba razlikovati put i pomak!

Pri pravocrtnom gibanju u jednom smjeru pomak je jednak prijeđenom putu. Ako je vremenski interval Δt = t2 - t1 vrlo malen, točka B je vrlo blizu točki A, pa je i pomak rrΔ vrlo malen. Ako Δt→0, vektor pomaka postaje beskonačno malen, označava se s rrd i zove se vektor elementarnog pomaka. rr

t

rrΔ=

→Δ 0limd

Dio putanje u beskonačno kratkom vremenskom intervalu je također beskonačno malen i zove se element luka ds. Očito vrijedi: sr d|d| =

r

Što je kraći vremenski interval razlika između puta (luka) i pomaka je sve manja. Vektor elementarnog pomaka rdr ima smjer tangente na putanju. S obzirom na oblik putanje gibanja dijelimo na: • pravocrtna • krivocrtna. Poseban slučaj krivocrtnog gibanja je gibanje po kružnici. 2.3. Jednoliko pravocrtno gibanje Najjednostavniji oblik gibanja je jednoliko gibanje po pravcu. Pretpostavimo da je pravac gibanja upravo os x koordinatnog sustava. Položaj čestice određujemo koordinatom x, odnosno udaljenošću čestice od referentne točke – ishodišta. Dakle: Pomak ili promjena položaja čestice bit će: ixr

rrΔ=Δ

Položaj x(t) je pozitivan ako se čestica nalazi desno od ishodišta, a negativan, ako se čestica nalazi lijevo od ishodišta. Pomak čestice tj. promjena položaja 12 xxx −=Δ je pozitivan, Δx > 0,

itr

tr xr )()( =

4


ako se čestica giba s lijeva na desno, a pomak je negativan, Δx < 0, ako se čestica giba zdesna na lijevo. tt Δ=1 ttt Δ+= 12 U početnom trenutku čestica se nalazi u točki A s koordinatom x0. Nakon vremena Δt čestica dođe u točku B s koordinatom x1, a nakon vremena 2Δt u točku C s koordinatom x2. Ukoliko vrijedi da je gibanje čestice je jednoliko tj. čestica u jednakim vremenskim intervalima prevaljuje jednake puteve. Omjer prevaljenog puta i za to potrebnog vremena konstantan je i zove se brzina čestice.

0112 xxxx −=−

ts

tx

ttxx

ttxxv ==

−−

=−−

=ΔΔ

12

12

01

01 s je prijeđeni put tj. ukupna duljina putanje koju čestica napravi u promatranom vremenskom intervalu. Put s je uvijek pozitivan. Kod pravocrtnog gibanja put je po iznosu jednak pomaku

|| xs Δ= . Kod jednolikog pravocrtnog gibanja konstantan je iznos i smjer brzine: konst.=vr Iznos brzine omjer je ukupnog puta s i vremena t unutar kojeg se taj put napravi.

tsv =

Iz ove jednadžbe dobije se jedinica za brzinu:

sm

][][][ ===

TL

tsv

U praksi se koriste još jedinice:

sm278,0

sm

36001000

hkm

== čvor = morska milja / sat = 1,852 km/h = 0,514 m/s milja / sat = 1,609 km/h = 0,447 m/s

5


Izraz za put pri jednoliko pravocrtnom gibanju je: tvs = a izraz za položaj čestice je: tvxtx += )0()( ili kraće tvxx += 0 gdje je x(0) = x0 početni položaj tj. položaj čestice u početnom trenutku . 0=t Na slici su prikazani grafovi brzine v(t), puta s(t) i položaja x(t) kod jednolikog pravocrtnog gibanja: )( 12 ttvs −=

Put je jednak površini ispod grafa brzine.

Put prevaljen od trenutka t1 do trenutka t2 jednak je površini ispod grafa brzine u tom vremenskom intervalu.

Neke tipične brzine ▪ rast ljudske kose 10-9 m/s ▪ pješak 1,4 m/s (5 km/h)

▪ biciklist 6 m/s (20 km/h) ▪ automobil 30 m/s (108 km/h) ▪ zvuk u zraku 340 m/s ▪ točka na ekvatoru 463 m/s ▪ puščani metak 800 m/s ▪ gibanje Mjeseca oko Zemlje 1000 m/s ▪ gibanje Zemlje oko Sunca 3·104 m/s ▪ elektron u atomu 2·106 m/s ▪ brzina svjetlosti u zraku 3·108 m/s

6


Nagib pravca u s(t) grafu je to veći što je veća brzina.

2.4. Nejednoliko pravocrtno gibanje Kod nejednolikog pravocrtnog gibanja smjer brzine se ne mijenja, dok se iznos brzine vv =|| r mijenja u ovisnosti o vremenu: 0vvv rr

= konst.0 =vr )(tvv = Ovisnost pomaka odnosno puta o vremenu više nije linearna već je neka općenita funkcija vremena: )()( tftx =

Na slici je prikazan graf ovisnosti položaja o vremenu x(t) = f(t). U trenutku t1 čestica je u položaju x1, a u trenutku t2 u položaju x2. Ako se napravi omjer pomaka Δx i vremenskog intervala Δt dobije se srednja brzina srednja brzina v čestice unutar tog vremenskog intervala:

12

12

ttxx

txv

−−

=ΔΔ

=

7


αtgv = gdje je: α – nagib sekante AB tg α – koeficijent smjera sekante. Prava ili trenutna brzina je granična vrijednost srednje brzine kad vremenski interval postane beskonačno malen:

prava ili trenutna brzina

xxtx

txvtv

tt&====

x& je oznaka za derivaciju po vremenu. Trenutna brzina u trenutku t1 ovisi o nagibu tangente u točki A βtg=v gdje je: β – nagib tangente na funkciju x(t) u točki A tg β – koeficijent smjera tangente. Za srednju brzinu u intervalu 12 ttt −=Δ na slici vrijedi: 21 vvv << gdje je: v1 – trenutna brzina u trenutku t1 v2 – trenutna brzina u trenutku t2 Treba razlikovati: i /average velocity/ /average speed/ gdje je: Δs – ukupni prevaljeni put u vremenskom intervalu Δt Δx – pomak unutar intervala Δt ------------------------------------------------------------------------------ Primjer: Tijelo se giba prema zakonu . Kolika je trenutna brzina nakon treće sekunde? Kolika je srednja brzina za vrijeme prve tri sekunde?

25)( ttx =

Rezultat: m/s30)s3( =v ; m/s15=v ------------------------------------------------------------------------------

Brzinomjer u automobilu pokazuje iznos trenutne brzine.

Srednja ili prosječna brzina (engl. average speed) omjer je ukupnog prevaljenog puta i vremena u kojem je taj put prevaljen.

=→→

'ddlimlim)(

00 ΔΔ

Δ Δ

txvΔΔrr

=ts

ΔΔ

= v

8


■ Izračunavanje puta iz brzine Kod jednolikog gibanja , konst.=v tvs = . )( 12 ttvs −= Put je površina ispod grafa brzine u intervalu od t1 do t2. Ako v nije konstantno već je iz: )(tvv =

tsv

dd

= ⇒ ∫= dvs2

1

)(t

t

tt

Općenito vrijedi da je put površina ispod grafa brzine u intervalu od t

)(tv1 do t2.

iii tvs ΔΔ =

∑=

≈n

iiss

1

Δ

i

n

ii tvs Δ≈∑

=1

ako 0→Δ it

∫∑ =Δ==→Δ

2

110d)(lim

t

ti

n

ii

itttvtvs

Put s je put prevaljen od trenutka t1 do trenutka t2, a jednak je integralu ili beskonačnoj sumi produkata v(t)dt. Srednja brzina u vremenskom intervalu od t1 do t2 je kvocjent ukupnog puta i vremenskog intervala:

12 tt

sv uk

−=

9


Koristeći izraz za put:

∫=2

1

d)(t

tuk ttvs

dobije se izraz za srednju brzinu unutar intervala od t1 do t2 :

∫−=

2

1

d)(1

12

t

t

ttvtt

v uksttvP =−= )( 12

uk

t

t

sttvP == ∫2

1

d)(

Površina ispod grafa brzine u intervalu od t1 do t2 jednaka je površini pravokutnika (šrafirana površina).

■ Akceleracija Gibanja kod kojih se vektor brzine vremenski mijenja mogu se opisati pomoću pojma akceleracije (ubrzanja). Akceleracija kvantitativno opisuje vremensku promjenu brzine. Kod pravocrtnog gibanja vremenski se mijenja samo iznos brzine, a kod krivocrtnih gibanja mijenja se i smjer brzine. Omjer promjene brzine 12 vvv −=Δ i pripadnog vremenskog intervala u kojem se ta promjena zbiva zove se srednja ili prosječna akceleracija :

12 ttt −=Δ

tv

ttvv

aΔΔ

=−−

=12

12 srednja akceleracija v1 i v2 su trenutne brzine čestice u trenutcima t1 i t2. Trenutna ili prava akceleracija jednaka je graničnoj vrijednosti srednje akceleracije kad vremenski interval

postane beskonačno malen, tj. teži nuli: 12 ttt −=Δ

xxtx

tx

ttva &&===== "

dd)

dd(

dd

dd

2

2

tv

tvaa

tt ddlimlim

00===

→→ ΔΔ

ΔΔ trenutna akceleracija

10


Trenutna akceleracija je prva derivacija brzine v(t) po vremenu, odnosno druga derivacija koordinate položaja x(t) po vremenu. Na slici je prikazan graf ovisnosti brzine o vremenu v(t) = f(t). Srednja akceleracija u intervalu Δt = t2 - t1 određena je nagibom sekante AB (tgβ), dok je trenutna akceleracija u trenutku t1 određena nagibom tangente (tgα) na funkciju v(t) u točki A, prema slici.

βΔΔ tg==

tva

αtgdd

==tva

β–nagib sekante AB α–nagib tangente u točki A

v1 je iznos brzine u trenutku t1. v2 je iznos brzine u trenutku t2.

Neke tipične akceleracije

• ubrzanje loptice za tenis 3·104 m/s2

• gravitacijsko ubrzanje na Zemlji 9,81 m/s2

• ubrzanje pri naglom kočenju 8 m/s2

• grav. ubrzanje na Mjesecu 1,62 m/s2

Mjerna jedinica za akceleraciju je:

22 sm][][][][ −− === TL

tva

Pravocrtno gibanje s akceleracijom može biti ili ubrzano ili usporeno. Ako je akceleracija u istom smjeru kao i brzina var r gibanje je ubrzano po pravcu. Ako je akceleracija u suprotnom smjeru u odnosu na brzinu

gibanje je usporeno po pravcu. ar

vr

Ako je kut između ar i različit od 0vr 0 ili 1800 gibanje više nije pravocrtno, već je krivocrtno.

11


■ Izračunavanje brzine iz zadane akceleracije Analogno kao što se put s dobije integriranjem brzine v(t) po vremenu, brzina se dobije integriranjem akceleracije a(t) po vremenu:

Iz dtdvta =)( slijedi: dttadv )(=

Integriranjem, uz početni uvjet v(t=0) = v0 dobije se:

∫∫ =tv

v

dttadv0

)(0

∫=−t

dttavtv0

)()0()(

∫+

t

dttat0

0 )()( = vv v0 je početna brzina tj. brzina u trenutku t = 0. ■ Izračunavanje položaja iz zadane brzine dx = v(t) dt Integriranjem brzine po vremenu dobije se položaj. Uz početni uvjet x(t=0) = x0 bit će:

∫∫ =tx

x

dttvdx0

)(0

∫+=t

dttvxtx0

0 )()( x0 je početni položaj ili položaj u trenutku t = 0. 2.5. Gibanje s konstantnom akceleracijom Akceleracija može biti stalna (konstantna) ili promjenjiva. Čest i važan slučaj nejednolikog gibanja je gibanje po pravcu s konstantnom akceleracijom. Za takvo gibanje vrijede relacije:

∫=⇒= tavtva dd

dd

konst.=a

∫∫ =tt

av00

dtd

12


Ako je u početnom trenutku ( ), 0=t 0vv = i x = x0 bit će: tavtv =− )0()(

∫=⇒= ttvxtxtv d)(d

dd)(

tavtv += 0)(

∫∫ =tt

ttvx00

d)(d

∫ +=−t

tatvxtx0

0 d)()0()(

2

00 21)( attvxtx ++=

Relacija za put je: )0()( xtxs −= odnosno: 2

0 2attvs +=

1 Iz relacije za put uz relaciju za brzinu tavtv += 0)( , eliminiranjem vremena t dobije relacija koja povezuje brzinu i put, tj. izraz za brzinu nakon prevaljenog puta s: Tijelo koje se od početne

brzine v0 ubrzava akceleracijom a na putu s na kraju tog puta ima brzinu v:

asvv 220 +=

asvv 220 +=

Ako je u početnom trenutku ( ), 0=t 0=v i 0=x bit će: konst.=a atv =

2

21 atx =

tvats21

21 2 ==

13


■ Slobodni pad Jedan od najvažnijih primjera gibanja s konstantnom akceleracijom je slobodni pad na Zemlji. Akceleracija slobodnog pada na Zemlji je konst. == ga rr Iznos akceleracije slobodnog pada g ovisi o geografskoj širini i nadmorskoj visini. Tako je na polu , na ekvatoru , a

na našoj geografskoj širini .

2sm83,9 −=pg 2sm78,9 −=eg2sm81,9 −=g

Neke vrijednosti akceleracije slobodnog pada: na polu: gp = 9,83 ms-2

na ekvatoru: ge = 9,78 ms-2

na 450 g. širine: g = 9,81 ms-2

Dogovorom je utvrđena normirana akceleracija slobodnog pada gn = 9,80665 ms-2. Razlike u akceleraciji zbog promjene nadmorske visine se za visine do nekoliko stotina metara (h<<RZ, gdje je RZ radijus Zemlje) mogu zanemariti. Pokusi pokazuju da u vakuumu sva tijela padaju jednako brzo bez obzira na njihov oblik, veličinu i masu. Pri slobodnom padu u zraku na tijela djeluje otpor zraka pa će tijelo za koje je otpor zraka manji padati brže. Ako se u relacije za jednoliko ubrzano gibanje uvrsti a = g i v0 = 0 dobiju se izrazi za slobodni pad: Prvi Galilejev zakon

tgv = ga = Galileo Galilei (1564-1642), talijanski fizičar, astronom, matematičar i filozof

Drugi Galilejev zakon Tijelo koje slobodno pada s visine h postići će brzinu: ghv 2= brzina slobodnog pada Srednja brzina na putu h je:

22gh

v =

Treći Galilejev zakon (prema otkriću Leonarda da Vincia) glasi: Putevi prevaljeni u uzastopnim jednakim vremenskim intervalima odnose se kao neparni brojevi. Δs1 : Δs2 : Δs3 ·····= 1:2:3 ······ Ovo vrijedi za svako jednoliko ubrzano gibanje! ------------------------------------------------------------------------------ Primjer: Pokazati računom na primjeru slobodnog pada da

vrijedi treći Galilejev zakon. ------------------------------------------------------------------------------

Na kosom tornju u Pizi Galileo Galilei je vršio pokuse s olovnim kuglama (1641).

2

2=

1 gths =

14


2.6. Jednoliko kružno gibanje

U slučaju kad vektor akceleracije materijalne točke nema isti pravac kao vektor brzine, već s brzinom zatvara neki kut tako da je:

ili 0),( ≠∠ av rr π≠∠ ),( av rr gibanje čestice je krivocrtno. Najjednostavnije krivocrtno gibanje je kružno i to jednoliko

kružno gibanje. Putanja čestice je kružnica. Pri jednolikom gibanju po kružnici iznos brzine ostaje konstantan, ali se pravac nosilac brzine i smjer brzine neprestano mijenjaju: (iznos) 0vvv rr

= konst.=v (smjer) konst.0 ≠vr

Kako je po definiciji Brzina je vektor pa vremenska promjena brzine može značiti promjenu iznosa brzine, promjenu smjera brzine ili promjenu iznosa i smjera brzine istovremeno.

tva

ddrr

= i kod jednolikog kružnog gibanja postoji akceleracija, jer brzina

u vremenu nije konstantna budući da se neprestano mijenja njen smjer. Za promjenu smjera brzine odgovorna je radijalna ili centripetalna akceleracija

vr

■ Veličine pomoću kojih opisujemo kružno gibanje Položaj čestice na kružnici u nekom trenutku određuje se pomoću kuta φ kojeg se mjeri prema nekoj istaknutoj osi koja prolazi kroz središte kružnice i naziva se referentna os. kut

Kut φ mjeri se u radijanima ( 00

3,57180rad1 ==π

).

Δs – dio kružnog luka od A do B

r – radijus kružnice

12 ϕϕϕ −=Δ

12 ttt −=Δ Za vrijeme Δt čestica prevali, gibajući se po kružnici od točke A do točke B, put Δs (dio kružnog luka), a radijusvektor prebriše kut Δφ. Veza između puta i kuta je:

veza puta (luka) i kuta ϕΔ=Δ rs

15


odnosno ako je vremenski interval beskonačno malen bit će:

ϕdd rs = gdje je ds element luka. Iznos linearne ili obodne brzine v čestice je: ωϕϕ r

tr

tr

ts

tsv

t====

ΔΔ

=→Δ d

ddd

ddlim

0

obodna brzina

gdje je ω kutna brzina. Iznos kutne brzine je:

kutna brzina

ϕϕϕϕϕϕω &=′==−−

=ΔΔ

=→Δ→Δ tttt tt d

dlimlim12

1200

Jedinica za kutnu brzinu je s

rad][ =ω ili samo s-1.

Kutna brzina je vektor 0dd ωϕω rr

t= . Dok je pravac nosilac

vektora brzine u svakom trenutku tangencijalan na putanju tj. na kružnicu, pravac nosilac vektora kutne brzine okomit je na ravninu kruženja. Smjer vektora kutne brzine određuje se po pravilu desne ruke, prema slici.

Obodna (linearna) brzina v , kutna brzina r ωr i radijusvektor rr povezani su relacijom: Radi rr

r⊥ω vrijedi: rv ω= .

rv rrr×= ω

16


Jednoliko kružno gibanje Kod jednolikog kružnog gibanja kutna brzina je konstantna, iznos obodne brzine je konstantan, ali se pravac nosilac i smjer obodne brzine neprestano mijenjaju:

0ωωωrr

= ; konst=ω ; konst0 =ωr

jednoliko kružno gibanje 0vvv rr

= ; ; konst.=v konst.0 ≠vr Pri jednolikom kruženju je:

konst.2===

Ttπ

ΔϕΔω

T je vrijeme jednog ophoda ili ophodno vrijeme. Frekvencija ili broj ophoda (okretaja) u jedinici vremena f je: 1sHz][ −==f

Tf 1=

Vrijedi:

s

rad][ =ω fπω 2=

r

Trv ωπ

==2

Iako iznos obodne brzine kod jednolikog kružnog gibanja ostaje konstantan , zbog stalnog mijenjanja smjera obodne brzine,

konst.=vkonst.0 ≠vr , postoji akceleracija odgovorna za promjenu

pravca nosioca i smjera brzine. To je radijalna ili centripetalna akceleracija.

radijalna ( centripetalna) akceleracija

Kako odrediti radijalnu akceleraciju? Akceleracija je promjena brzine u vremenu tv Δ/Δr , pa treba odrediti vrΔ . U trenutku t1 čestica je u točki A i ima brzinu 1vr , a u trenutku

ttt Δ+= 12 čestica je u točki B i ima brzinu 2vr . Brzina se od točke A do točke B promijeni za 12 vvv rrr

−=Δ . Gibanje je jednoliko pa je vvv == |||| 21

rr .Vrijedi:

21 vvv rrr=Δ+

1212 )()( vvtvtvv rrrrr

−=−=Δ

17


Kako bi se odredio vrΔ , vektore 1vr i 2vr treba translacijom dovesti u zajedničku početnu točku.

Radi vvv == |||| 21rr trokut što ga čine vektori

vrΔ , 1vr i 2vr je istokračan i sličan je trokutu 0AB.

Ako se vrΔ aproksimira lukom u kružnici radijusa v onda je:

ϕΔ≈Δ vv || r

Ako je kut malen bit će: . l≈ΔvAproksimacija je to točnija što je ϕΔ manji. Vrijedi: ϕvdvd =

r

Iznos radijalne akceleracije je granična vrijednost omjera tvΔΔr

kad Δt teži nuli:

t

vtv

attr Δ

ΔlimΔΔ

lim00

ϕΔΔ →→

==r

ωϕϕΔ

vt

vt

vatr ===→ d

dΔΔlim

0

rv ω= [ ] 2sm

=ra rvrar

22 == ω

iznos radijalne akceleracije

Pravac i smjer radijalne akceleracije je jednak pravcu i smjeru promjene brzine vrΔ kad , a to je pravac okomit na 0→Δtvr (okomit na tangentu), tj. radijalan pravac, orijentiran prema središtu kružnice, )( 0r

r− .

02

0

2

0

2

)( rrrr

vrr

varrrrr ω−=−=−= smjer radijalne

akceleracije

Vrijedi relacija:

)( rvarrrrrrr

××=×= ωωω

Kod jednolikog kružnog gibanja konst.=ωr , pa se iz

tddϕω =

integracijom po vremenu dobije linearna ovisnost kuta o vremenu:

tωϕϕ += 0 gdje je ϕ0 početni kut tj kut u trenutktu t = 0.

18


2.7. Nejednoliko kružno gibanje Kod nejednolikog kružnog gibanja vrijedi: konst.0 =ω

r konst.≠vr konst.≠ωr

Smjer kutne brzine ostaje konstantan. Iznos obodne brzine, kao i iznos kutne brzine više nisu konstantni već se mijenjaju u vremenu. Promjena iznosa obodne brzine u vremenu računa se pomoću tangencijalne akceleracije tar

αωω rt

rt

rtvat ====

dd

d)(d

dd

tangencijalna akceleracija gdje je:

2srad][ =α

tddωα =

kutna akceleracija. Kutna akceleracija je prva derivacija kutne brzine ili druga derivacija kuta:

ϕϕϕϕωα &&=′′==== 2

2

dd)

dd(

dd

dd

tttt kutna akceleracija

Veza između kutne i tangencijalne akceleracije je: rat

rrr×= α

αr leži na istom pravcu nosiocu kao i ωr (os rotacije). tar je u smjeru tangente na kružnicu.

Kod nejednolikog kružnog gibanja čestica ima i radijalnu i tangencijalnu akceleraciju. Ukupna akceleracija sastavljena je od dvije komponente: radijalne akceleracije u smjeru )( 0r

r− i tangencijalne akceleracije

u smjeru tangente 0tr

:

rt

aa

aat

vvvtv

tvv

tva

rt

rr

321

r

321

rrr

r

rr

+=+===d

ddd

d)(d

dd 0

00

rt aa rr

⊥ 2

4222 )

dd(||

rv

tvaaa rt +=+=

r Radijalna ili centripetalna akceleracija postoji kod svakog kružnog (odnosno krivocrtnog) gibanja bilo ono jednoliko ili nejednoliko.

19


Tangencijalna akceleracija postoji samo kod nejednolikog kružnog (krivocrtnog) gibanja tj. kod onih krivocrtnih gibanja kod kojih postoji promjena iznosa brzine. Poseban slučaj nejednolikog kružnog gibanja je gibanje po kružnici s konstantnom kutnom akceleracijom, konst.=α

r Kod takvog se gibanja kutna brzina jednoliko mijenja u vremenu (raste ili pada). Tada vrijedi:

td

dωα = konst.=αr

tttdt

αωωαω =−⇒= ∫0

0)(|d

∫=⇒=t

tt 0

|dddd ωϕϕω

∫ +=t

ttt0

00 d)(-)( αωϕϕ

200 2

1-)( ttt αωϕϕ +=

Ako su početni uvjeti: 00 =ϕ i 00 =ω , relacije su:

konst.=a tαω = 2

21 tαϕ =

Izrazi su analogni onima za pravocrtno gibanje.

Analogija izraza pravocrtnog i kružnog gibanja

pravocrtno gibanje kružno gibanje

txv

dd

= tddϕω =

2

2

dd

dd

tx

tva == 2

2

ddd

td

tϕωα ==

tavv += 0 tαωω += 0

200 2

1 attvxx ++= 200 2

1 tt αωϕϕ ++=

200

2 )(2 vxxav +−= 200

2 )(2 ωϕϕαω +−=

tt αωω += 0)(

200 2

1)( ttt αωϕϕ ++=

20


2.8. Krivocrtno gibanje u ravnini i prostoru. Kosi hitac Krivocrtno gibanje u ravnini može se predočiti kao superpozicija dva, a u prostoru kao superpozicija tri istovremena nezavisna gibanja duž dvije odnosno tri međusobno okomite osi. Pomak, brzinu i akceleraciju treba razmatrati vektorski. Gibanje u ravnini: vektor položaja: jtyitxtr

rrr )()()( += vektor elementarnog pomaka: jyixr

rrr )d()d(d += vektor trenutne brzine:

jvivjtyi

tx

trv yx

rrrrrr

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

dd

dd

dd

vektor akceleracije:

jaiajt

itt

va yx

rrrrrr

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

ddv

ddv

dd yx

iznos vektora brzine i iznos vektora akceleracije:

22yx vvv +=

r 22yx aaa +=

r Vektor trenutne brzine vr vremenska je derivacija vektora položaja čestice, pa ima smjer vektora elementarnog pomaka

rrd tj. leži na pravcu tangente na putanju čestice u smjeru gibanja čestice. Gibanje u prostoru:

vektor položaja ktzjtyitxtr

rrrr )()()()( ++= vektor elementarnog

pomaka kzjyixrrrrr )d()d()d(d ++=

kvjvivktzj

tyi

tx

trv zyx

rrrvrrrr

++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

dd

dd

dd

dd vektor trenutne brzine

kajaiakt

jt

itt

va zyx

rrrrrrrr

++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

ddv

ddv

ddv

dd zyx vektor akceleracije

iznosi vektora brzine i vektora akceleracija 222

zyx vvvv ++=r 222

zyx aaaa ++=r

21


Ako je poznat vektor brzine pomak čestice u vremenskom intervalu od trenutka t

)(tvr

1 do trenutka t2 jednak je vremenskom integralu vektora brzine:

∫=−=2

1

d)()()( 12

t

t

ttvtrtrr rrrrΔ pomak

Prevaljeni put čestice u istom vremenu određen je vremenskim integralom iznosa brzine:

∫=2

1

d)(t

t

ttvs r put

Put je duljina luka putanje kojeg čestica prijeđe u vremenskom intervalu od trenutka t1 do trenutka t2. )(tvr je iznos vektora brzine u trenutku t. ■ Kosi hitac Kosi hitac je primjer krivocrtnog gibanja u ravnini. To je gibanje u vertikalnoj ravnini s konstantnom akceleracijom

jggarrr

−== (akceleracija sile teže) i početnom brzinom 0vr u nekom proizvoljnom smjeru. Kosi hitac je gibanje koje nastaje kad se tijelo izbaci početnom brzinom 0vr koja zatvara kut α s horizontalnom ravninom (kut elevacije). Ako se zanemari otpor zraka, na tijelo djeluje samo sila teža i daje mu akceleraciju u smjeru gr )( y− . Gibanje je složeno od jednolikog gibanja u smjeru početne brzine 0vr i jednoliko ubrzanog gibanja s akceleracijom gr u smjeru (– y). Položaj tijela može se opisati vektorom položaja: Ako je početni položaj u

ishodištu koordinatnog sustava onda je: 00 =rr

200 2

1)(rr tgtvrt rrr++=

gdje su 0r

r i 0vr početni položaj i početna brzina tijela.

putanja kosog hitca je dio parabole

D – domet H – maksimalna visina.

22


Gibanje se može rastaviti u dva smjera, u gibanje duž osi x i gibanje duž osi y koordinatnog sustava, pa se vektor položaja može pisati u poznatom obliku: jtyitxtr

rrr )()()( += Koordinatni sustav postavljen je tako da je početni položaj tijela ishodište koordinatnog sustava: 0)0(,0)0( ==== tytx . Početna brzina je: 0)0( vtv rr

== ivivv yx

rrr000 +=

gdje su i komponente početne brzine ovisne o kutu α: xv0 yv0

αcos00 vv x = αsin00 vv y =

Iznos početne brzine je: 20

200 yx vvv +=

Gibanje u x smjeru je jednoliko, brzinom αcos00 vv x = , pa je: tvtx )cos()( 0= α dok je gibanje u y smjeru gibanje s konstantnom akceleracijom

u (-y) smjeru i početnom brzinom gr αsin0v , pa je: Mlaz vode koji štrca iz cijevi giba se prema zakonu kosog hitca i ima tipičnu paraboličnu putanju.

2

0 21)sin()( tgtvty = −α

)(tx i su koordinate položaja tijela u trenutku t. )(ty Jednadžba putanje dobije se, ako se iz ovih jednadžbi eliminira t:

)(xfy =

αcos0v

xt =

jednadžba putanje kosog

hitca 2

220 cos2

tg xv

gxy =α

α − Iz jednadžbe se vidi da se tijelo pri kosom hitcu, ako se zanemari otpor zraka, giba po putanji koja je dio parabole. Deriviranjem i po vremenu dobiju se brzine: )(tx )(ty

αcos)( 0vtvx = tgvtvy −= αsin)( 0 vx(t) je x komponenta brzine koja u vremenu ostaje konstantna i jednaka x komponenti početne brzine jer u x smjeru nema akceleracije. vy(t) je y komponenta brzine koja se vremenski mijenja radi akceleracije sile teže u (-y) smjeru. gr

23


Ukupna brzina tijela u bilo kojem trenutku t je:

x

yt v

v=αtg )() 22 tt yx ( vvv +=

Brzina leži na pravcu tangente na putanju u točki u kojoj se u tom trenutku nalazi tijelo. tα je kut što ga tangenta u tom trenutku zatvara s pozitivnim smjerom osi x Na vrhu putanje (u tjemenu parabole) brzina ima samo x- komponentu v = vx = v0 cos α, dok y-komponenta brzine izčezava, tj. . Iz tog se uvjeta dobije vrijeme uspinjanja tijela t

0=yvH:

0 vrijeme uspona kosog

hitca gvtH

sin0=αsin0 =− Htgv α

Na vrhu putanje Htt = , a , gdje je H je maksimalna visina dana sa izrazom:

Hty H =)(

g

vg

vgg

vvH αααα22

02

2200

0sin

21sin

21sinsin =−=

Maksimalna visina kosog hitca g

vH2sin22

0 α=

Zbog simetrije, ukupno vrijeme trajanja kosog hitca je:

ukupno vrijeme trajanja kosog hitca

Huk tt 2=

gvtuk

αsin2 0=

Domet tj. maksimalna horizontalna udaljenost od početne točke do mjesta pada je:

gvD α2sin2

0= domet kosog hitca uktvD )cos( 0 α= Maksimalni domet dobije se onda kad je maxDD = 12sin =α , tj. za , što daje odgovor na pitanje: 045=α Zašto žaba skače pod kutem od 450

( tzv. žablji kut)?

24


Uz jednaki iznos početne brzine 0vr domet će kod kuta α biti jednak onom kod kuta , kao što se vidi na slijedećoj slici:

)90( 0 α−

Putanje na slici odnose se na projektil koji je izbačen početnom brzinom iznosa v0 = 20 ms-1. Maksimalni domet dobije se kod kuta elevacije 450, dok je domet kod kuta 300 jednak dometu kod kuta 600. Kordinate projektila x i y izražene su u metrima.

■ Horizontalni hitac Ako je kut elevacije α = 00 gibanje je poznato pod nazivom horizontalni hitac.

Početna brzina tijela 0vr je u horizontalnom smjeru. x-komponenta brzine ostaje u vremenu konstantna i jednaka početnoj brzini, dok se y-komponenta brzine jednoliko povećava u (-y) smjeru: 0vvx = tgvy −= Ukupna brzina u bilo kojem trenutku t ima smjer tangente na putanju. Iznos ukupne brzine u trenutku t je:

220 )( tgvv −+=

25


Koordinate tijela u trenutku t su:

tvtx 0)( = 2

21)( tgHty −=

Koordinatni sustav odabran je tako da je početni položaj tijela u točki:

Hty

tx====

)0(0)0(Eliminacijom t dobije se jednadžba putanje horizontalnog hitca:

20

2

21

vxgHy −=

Vrijeme pada tijela dobije se iz uvjeta y(t) = 0: Vrijeme padanja ne ovisi o početnoj brzini već samo o visini s koje je tijelo izbačeno. Iz izraza za ukupnu brzinu kod t = T dobije se brzina tijela u trenutku pada na tlo: Izraz za domet dobije se iz x(t) ako se uvrsti t = T. Domet ovisi o početnoj brzini prema izrazu: ------------------------------------------------------------------------------ Primjer 1: Loptica se izbacuje u horizontalnom smjeru s visine H s tri različite početne brzine za koje vrijedi odnos v03 > v02 > v01, prema slici. Usporediti gibanja međusobno te ih usporediti sa slobodnim padom s iste visine.

------------------------------------------------------------------------------

g=

HT 2

gHv 220 +v=

gHvTvD 2

00 ==

26


Rješenje: Vrijeme padanja ne ovisi o početnoj brzini pa je u sva tri slučaja vrijeme jednako i ujedno jednako vremenu slobodnog pada.

gHT 2

=

Domet međutim ovisi o početnoj brzini, TvD x0= . Što je brzina veća veći je domet pa je: D3>D2>D1.

******* ------------------------------------------------------------------------------Primjer 2: Usporediti gibanja tijela prema putanjama 1), 2) i 3) na slici. Kako se odnose vremena trajanja hitca, a kako početne brzine tijela?

------------------------------------------------------------------------------ Rješenje:

g

vHy y

2

20

max == slijedi gHv y 20 =

gH

ggH

gv

gv

T y 2222sin22 00 ====

α

Zbog jednakih maksimalnih visina vremena trajanja hitca su u sva tri slučaja jednaka: T1=T2=T3 = T Također su zbog istog razloga jednake i y-komponente početnih brzina:

10101 sinαvv y =

20202 sinαvv y =

30303 sinαvv y =

gHvvv yyy 2030201 === , dok su x-komponente početnih brzina različite. Naime, za domete prema slici vrijedi relacija: D3 > D2 > D1. Budući da domet ovisi o x-komponenti početne brzine prema izrazu:

gHvTvD xx

22 00 ==

slijedi: > > . xv03 xv02 xv01

Kako je: 20

20 yx vvv += ,

za početne brzine vrijedi: > > 03v 02v 01v

*******

27

Documents

02_Kinematika