Dowd wasnoci 5 :

Iloczyn potrjny

PrzykadUywajc iloczynu potrjnego pokaza, e wektory a = (1,4,-7), b = (2,-1,4) ,c = (0,-9,18) s wsppaszczyznowe.

Pojcie iloczynu wektorowego ma zastosowanie w fizyce. Suy do definiowania momentu siy.Moment siy, wektor osiowy, gdzie: r - promie wodzcy zaczepiony w pewnym wybranym punkcie (wzgldem tego punktu wyznacza si moment siy), F - wektor dziaajcej siy, znak oznacza iloczyn wektorowy. Moment siy

Rwnanie prostejRwnanie wektorowe prostejRwnanie parametryczne

PrzykadZnajd rwnanie wektorowe i parametryczne prostej przechodzcej przez punkt (5,1,3) i rwnolegej do wektora

Inny sposb opisu prostej otrzymujemy eliminujc z rwnania parametrycznego parametr t . Rwnanie odcinka

Rwnanie paszczyznyRwnanie wektorowe paszczyznyRwnanie skalarne Rwnanie liniowe

PrzykadZnajd rwnanie paszczyzny o wektorze normalnym n = (2,3,4) przechodzcej przez punkt (2,4,-1) .

PrzykadZnajd rwnanie paszczyzny przechodzcej przez punkty P(1,3,2), Q(3,-1,6), R(5,2,0) .

Kt midzy paszczyznamiDwie paszczyzny s rwnolege jeeli ich wektory normalne s rwnolege. Na przykad paszczyzny: x + 2y 3z = 4 i 2x + 4y 6z =3 s rwnolege poniewa ich wektory normalne: n1 = (1,2,-3) n2 = (2,4,-6) speniaj zwizek 2n1 = n2 . Jeeli dwie paszczyzny nie s rwnolege wtedy przecinaj si wzdu prostej i kt midzy nimi jest zdefiniowany jako kt midzy ich wektorami normalnymi.

Przykada) Zajd kt midzy paszczyznami x + y + z = 1 i x 2y +3z = 1b) Znajd rwnanie prostej wzdu ktrej te paszczyzny si przecinaj. Ad b) Szukamy punktu na prostej np. o wsprzdnej z = 0: x + y = 0 x 2y =1 x = 1 y = 0 .

PrzykadZnajd wzr na odlego d punktu P1 od paszczyzny ax + by + cz = 0Niech P0(xo.y0,z0) bdzie punktem na danej paszczynie i niech b bdzie wektorem PoP1 . Wtedy

Walec i powierzchnia kwadratowaz = x2

okrg na paszczynie xy

Powierzchnia drugiego stopnia A,B,...J stae. Poprzez operacje tranzlacji i obrotu mona otrzyma prostsz posta:

Elipsoida

ParaboloidaParaboloida eliptyczna

Paraboloida hiberboliczna

Hipeboloida jednopowokowa

Wsprzdne walcowe

Wsprzdne sferyczne

Funkcja o wartociach wektorowych:

Grup nazywamy taki niepusty zbir G , w ktrym okrelone jest dziaanie: zwane dziaaniem grupowym ( albo mnoeniem w G ), speniajce warunkia) zawsze zachodzi ( dziaanie jest czne)istnieje element zwany elementem neutralnym taki, e dla kadego c) dla kadego elementu istnieje taki element taki, e Jeeli ponadto jest speniony warunekdla dowolnych grup nazywamy przemienn albo Abelow Definicja grupy

Zbir , zawierajcy co najmniej dwa elementy nazywamy ciaem , jeeli okrelone s dwa dziaania:

zwane odpowiednio dodawaniem i mnoeniem speniajce nastpujce warunki: (a) jest grup Abelow z dziaaniem dodawaniem;(b) gdzie oznacza element neutralny dodawania, jest grup z dziaaniem mnoenia;( c) mnoenie jest rozdzielne wzgldem dodawania, tzn.dla kadegoDefinicjaciaa

Przestrze wektorowa Niech V bdzie dowolnym niepustym zbiorem, a ustalonym ciaem. Elementy zbioru V bdziemy nazywa wektorami, a ciaa skalarami.Mwimy, e jest przestrzeni wektorow nad ciaem (rozpit nad ciaem) lub przestrzeni liniow , jeli okrelone s funkcje zwane odpowiednio dodawaniem wektorw i mnoeniem wektora przez skalar, takie, e spenione s nastpujce warunki:1. V jest grup Abelow wzgldem dodawania;2.3.4.5.

Definicja Niech V bdzie przestrzeni wektorow nad ciaem K . Niech . Mwimy, e tworz ukad liniowo niezaleny, jeeli dla dowolnego cigu skalarw z rwnoci :wynika, eDefinicjaUkad wektorw przestrzeni liniowej nazywamy baz tej przestrzeni, jeli jest on maksymalnym ukadem wektorw liniowo niezalenych w tej przestrzeni, tzn. nie mona do niego doczy adnego wektora przestrzeni w taki sposb, aby otrzymany ukad by liniowo niezaleny. Wyraenie nazywamy kombinacj liniow wektorw

Baza przestrzeni liniowej

Definicja. Ukad wektorw przestrzeni liniowej V nazywamy baz tej przestrzeni, jeeli jest on maksymalnym ukadem wektorw liniowo niezalenych w tej przestrzeni, tzn. jeli nie mona do niego doczy adnego wektora przestrzeni V w taki sposb, aby otrzymany ukad by liniowo niezaleny. Definicja. Liczb elementw skoczonej bazy przestrzeni liniowej V nazywamy wymiarem przestrzeni i oznaczamy j symbolem .Jeli dana przestrze nie ma skoczonej bazy to mwimy, e jest nieskoczona i piszemy .

Przeksztacenia liniowe Definicja Niech bd przestrzeniami liniowymi nad ciaem K . Odwzorowanie ( funkcja ) : nazywa si przeksztaceniem liniowym ( odwzorowaniem liniowym) , jeli ma ono nastpujce wasnoci: (addytywno) (jednorodno)inaczej zapiszemy: Niech wektory i odpowiednio stanowi bazy w przestrzeniach liniowych . Przeksztacenie liniowe T jest wyznaczone jednoznacznie poprzez wartoci jakie przyjmuje na wektorach bazy przestrzeni : Jeli bowiem : to

Wypisujc kolejno wspczynniki w poziomym rzdzie , a nastpnie pod spodem, w drugim rzdzie (wierszu) wspczynniki otrzymamy prostoktn tablic wspczynnikw z ciaa majc m wierszy i n kolumn. Macierz przeksztacenia T wzgldem baz

DefinicjaPrzykad

Granica funkcji wektorowejPrzykad

CigoFunkcja r jest ciga wtedy i tylko wtedy, gdy cige s funkcje skadowe f, g, h .

Istnieje zwizek pomidzy ciga funkcj wektorow i krzyw przestrzenn. Zamy, e f,g,h s funkcjami cigymi dla t z przedziau I. Zbir C wszystkich punktw (x,y,z) przestrzeni gdy: (*) x = f(t), y = g(t) , z = h(t) gdzie t przebiega przedzia I nazywa si krzyw przestrzenn . Rwnania (*) nazywa si parametrycznymi rwnaniami krzywej t - parametrem. Moemy pomyle o C jak o ladzie poruszajcej si czsteczki, ktrej pozycj w chwili t jest (f(t), g(t), h(t)). Jeeli rozpatrzymy wektor r(t)= (f(t),g(t),h(t)) to r(t) jest wektorem wodzcym punktu P. Wektor wodzcy

Przykad

PochodnaJednostkowy wektor styczny

Twierdzenie

PrzykadZnajd pochodn funkcji wektorowej r(t) = (1 + t3)i + te-t j +sin 2t kZnajd jednostkowy wektor styczny w punkcie dla t = 0 .

Twierdzenie 2

CakowanieCaka oznaczona funkcji wektorowej cigej

Dugo uku