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Integración numérica
Integración numérica
A los métodos de integración se les llama cuadratura numérica.
Seleccionaremos un conjunto de nodos [x0, ..., xn] del intervalo [a, b].
Después integramos un polinomio interpolante de LagrangeDespués integramos un polinomio interpolante de Lagrange
( ) ( ) ( )0
n
i ii
P x f x L x=
=∑
Se obtiene: ( ) ( )0
nb
i iai
f x dx a f x=
=∑∫
Donde ( )b
i iaa L x= ∫
Regla del trapecioUtilizando un polinomio interpolante lineal de Lagrange.
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )1 00 1
0 1 1 0
x x x xP x f x f x
x x x x
− −= +
− −
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
1 00 1
0 1 1 0
1 0
b b
a a
x x x xf x dx f x f x dx
x x x x
x x hf x f x f x f x
− −= + − −
−= + = +
∫ ∫
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 00 1 0 12 2
x x hf x f x f x f x
−= + = +
Donde h = x1 – x0
Esta fórmula vale cuando f(x) tiene valores positivos.
Da valores exactos para polinomios de grado 1.
x0 = a x1 = b
P1 f
Pregunta rápida
Muestre que se cumple la regla del trapecio
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0b b x x x xf x dx f x f x dx
− −= + ∫ ∫( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
1 00 1
0 1 1 0
1 00 1 0 12 2
b b
a a
x x x xf x dx f x f x dx
x x x x
x x hf x f x f x f x
− −= + − −
−= + = +
∫ ∫
Regla se SimpsonLa regla se Simpson se obtiene suponiendo el segundo polinomios de Lagrange con los nodos x0 = a, x2 = b, x1 = a + h, h = (b – a)/2.
( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 0 2 0 10 1 2
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
0 1 243
b b
a a
x x x x x x x x x x x xf x dx f x f x f x dx
x x x x x x x x x x x x
hf x f x f x
− − − − − −= + + − − − − − −
= + +
∫ ∫
3
Donde se han despreciado los términos de error.
La fórmula es exacta para polinomios de hasta tercer grado. x0 = a x2 = b
P3f
x1
Comparación
Comparación entre el valor exacto, la regla del trapecio y la regla de Simpson para diferentes funciones en el intervalo [0 , 2].
f(x) x 2̂ x 4̂ 1/(x + 1) sqrt(1 + x2) sen x exp(x)Valuación exacta 2.667 6.400 1.099 2.958 1.416 6.389Trapecio 4.000 16.000 1.333 3.236 0.909 8.389De Simpson 2.667 6.667 1.111 2.964 1.425 6.421
Integración numérica compuesta
4 0 2 4
0
24 ´ 56.76958
3xe dx e e e ≈ + + = ∫
Integrando ex por Simpson en [0,4]
El error es: 53.59815 – 56.76958 = –3.17143El error es: 53.59815 – 56.76958 = –3.17143
Separando en dos integrales:4 2 4
0 0 2
0 2 2 3 4
0 2 3 4
1 14 4
3 31
4 2 4353.86385
x x xe dx e dx e dx
e e e e e e
e e e e e
= +
≈ + + + + +
= + + + +
=
∫ ∫ ∫
Dividiendo en 4 intervalos
312 2
5 72 2
4 1 2 3 4
0 0 1 2 3
0 2
2 3 3 4
1 14 4
6 61 1
4 46 6
x x x x xe dx e dx e dx e dx e dx
e e e e e e
e e e e e e
= + + +
≈ + + + + +
+ + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
3 5 712 2 2 20 2 3 4
4 46 61
4 2 4 2 4 2 4353.61622
e e e e e e
e e e e e e e e e
+ + + + + +
= + + + + + + + +
=
El error es: 53.59815 – 53.61622 = –0.01807
Fórmulasde cuadraturacerradasFórmulasde cuadraturacerradas
Fórmulas de cuadratura cerradas
Dados n+1 puntos equiespaciados de[a,b], xj=a+jh , j=0,...,nh=(b-a)/(n+2). Entonces∃ h ∈ ]a,b[ tal que:
– n par y f ∈Cn+2 [a,b], s=(x-x0)/h
3nnb nhβ η+
+= + − −∑∫ ∫
– n impary f ∈Cn+1 [a,b], s=(x-x0)/h
3( 2) 2
00
( ) ( ) ( ) ( 1) ( )( 2)!
nnb nn
j jaj
hf x dx f x f s s s n ds
nβ η
++
=
= + − −+∑∫ ∫ ⋯
2( 1)
00
( ) ( ) ( ) ( 1) ( )( 1)!
nnb nn
j jaj
hf x dx f x f s s s n ds
nβ η
++
=
= + − −+∑∫ ∫ ⋯
• n=1 Regla del Trapecio
• n=2 Regla de Simpson
[ ]3
''0 1 0 1( ) ( ) ( ) ( )
2 12
b
a
h hf x dx f x f x f x xη η= + − < <∫
[ ]5
b h h∫
• n=3 Regla de Simpson 3/8
[ ]5
( )0 1 2 0 2( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( )
3 90
b iv
a
h hf x dx f x f x f x f x xη η= + + − < <∫
[ ]5
( )0 1 2 3
0 3
3 3( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) ( )
8 80
de: Don
b iv
a
h hf x dx f x f x f x f x f
x x
η
η
= + + + −
< <
∫
• n=4 Newton-Cotes (5 puntos)
]0 1 2 3 4
2( ) 7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) 7 ( )
45
b
a
hf x dx f x f x f x f x f x= + + + +∫
5( )
0 4
8( )
945 Donde:
vihf x xη η− < <
Fórmulasde cuadraturaAbiertasFórmulasde cuadraturaAbiertas
• Dadosn+1 puntos equiespaciados de [a,b], xj=a+(j+1)h, j=0,...,n
h=(b-a)/(n+2). Entonces∃ h ∈ ]a,b [ tal que
– Si n es par yf ∈Cn+2 [a,b], s=(x-x0)/h
Fórmulas de cuadratura abiertas
– Si n es impar yf ∈Cn+1 [a,b], s=(x-x0)/h
3 1( 2 ) 2
10
( ) ( ) ( ) ( 1) ( )( 2 ) !
nnb nn
j jaj
hf x d x f x f s s s n d s
nβ η
+ ++
−=
= + − −+∑∫ ∫ ⋯
21( 1 )
10
( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )( 1 ) !
nnb nn
j jaj
hf x d x f x f s s s n d s
nβ η
+ ++
−=
= + − −+∑∫ ∫ ⋯
• n=0 Regla del Punto Medio
• n=1
3''
0 1 1( ) 2 ( ) ( )3
b
a
hf x dx h f x f x xη η−= + < <∫
[ ]3
( )0 1 1 2
3 3( ) ( ) ( ) ( )
2 4
b ii
a
h hf x dx f x f x f x xη η−= + + < <∫
Fórmulasde cuadraturaabiertas
• n=2
• n=3
[ ]5
( )0 1 2 1 3
4 14( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
3 45
b iv
a
h hf x dx f x f x f x f x xη η−= − + + < <∫
[ ]5
( )0 1 2 3
1 4
5 95( ) 11 ( ) ( ) ( ) 11 ( ) ( )
24 144
donde :
b iv
a
h hf x dx f x f x f x f x f
x x
η
η−
= + + + +
< <
∫
• Fórmula de Trapecios paraN subintervalos
h=(b-a)/N, xk=a+kh k=0,1,2,...,N
Regla compuesta del trapecio
1
01
2
( ) ( ) 2 ( ) ( )2
( ) ''( )12
Nb
k Nak
T
hf x dx f x f x f x
hE b a f η
−
=
≅ + +
= − −
∑∫
Regla compuesta del trapecio
( ) ( ) ( ) ( )1
2nb h
f x dx f a f x f b−
= + + ∑∫
Teorema. Sea f ∈C4[a, b], n par, h = (b – a)/n, y xj = a + jh para cada j = 0, 1, 2, ... n . La regla del trapecio para n subintervalos puede escribirse como:
( ) ( ) ( ) ( )1
22 ja
j
hf x dx f a f x f b
=
= + +
∑∫
x0 = a xn = b
y= f(x)
x1 xj-1 xj xn–1
• Fórmula de Simpson paraN subintervalos
h=(b-a)/(2m), xk=a+kh k=0,1,2,...,2m
Regla compuesta de Simpson
1
0 2 2 1 21 1
4( )
( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( )3
( ) ( )180
m mb
k k mak k
ivS
hf x dx f x f x f x f x
hE b a f η
−
−= =
≅ + + +
= − −
∑ ∑∫
Regla compuesta de Simpson
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )/ 2 1 /2
2 2 12 43
n nb
j j
hf x dx f a f x f x f b
−
−
= + + + ∑ ∑∫
Teorema. Sea f ∈C4[a, b], n par, h = (b – a)/n, y xj = a + jh para cada j = 0, 1, 2, ... n . La regla de Simpson para n subintervalos puede escribirse como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 10 0
2 43 j ja
j j
f x dx f a f x f x f b−= =
= + + +
∑ ∑∫
x0 = a xn = b
y= f(x)
x2 x2j-1 x2j x2j+1
Regla compuesta del punto medio
( ) ( )/ 2
2nb
f x dx h f x= ∑∫
Teorema. Sea f ∈C4[a, b], n par, h = (b – a)/(n+2), y xj = a + (j+1)h para cada j = –1, 0, 1, 2, ... n+1. La regla de compuesta del punto medio para n subintervalos puede escribirse como:
( ) ( )20
2 jaj
f x dx h f x=
= ∑∫
x0 = a xn+1 = b
y= f(x)
x0 xj-1 xj xnx1 xj+ 1
Datos con espaciamiento irregular
Si los datos están espaciados de forma irregular, como en el caso de datos experimentales, la integración puede llevarse a cabo mediante la aplicación de la regla del trapecio a cada subintervalo.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 1... n nf x f x f x f x f x f xI h h h −+ + +
= + + +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 11 2 ...
2 2 2n n
n
f x f x f x f x f x f xI h h h −+ + +
= + + +
Donde hi = ancho del segmento i.
Ejemplo
t min 1 2 3.25 4.5 6 7 8 9 9.5 10
V m/s 5 6 5.5 7 8.5 8 6 7 7 5
Determinar la distancia recorrida para los datos siguientes:
t = [1 2 3.25 4.5 6 7 8 9 9.5 10];v = [5 6 5.5 7 8.5 8 6 7 7 5];suma = 0;for i=2:length(t)
suma = suma + (t(i)-t(i-1))*(v(i-1)+v(i))/2;endsuma
ans = 60.3750
GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓN
