Ejemplo de integración numérica

EJEMPLO DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Pervys Rengifo Rengifo

MÉTODOS NUMÉRICOS

DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICAS

La siguiente tabla contiene valores de la función f(x)

Estime el valor de la integral Mediante la aplicación de método del rectángulo, trapecio y Simpson(1/3)

EJEMPLO 1

xi 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

f(x) 0.010 0.252 0.582 1.024 1.578

i 0 1 2 3 4=n

dxxf4.1

0.1

MÉTODO DEL RECTÁNGULO

Observe que los nodos xi están igualmente espaciados , por lo tanto es válido utilizar las fórmulas vistas.

El tamaño del intervalo h=xi+1-xi=0.1

n=4

Al aplicar el método de los rectángulos a los datos del problema planteado se obtiene:

MÉTODO DEL RECTÁNGULO

187.0024.1586.0252.0010.01.01

0

4.1

0.1

n

i

ixfhdxxf

3210

3

0

1

0

4.1

0.1

1.0 xfxfxfxfxfhxfhdxxfi

i

n

i

i

MÉTODO DEL TRAPECIO

1

1

0

1

0

4.1

0.1

22

n

i

in

n

i

i xfxfxfh

xfhdxxf

3

1

40

4.1

0.1

22 i

ixfxfxfh

dxxf

Al aplicar el método del trapecio al problema en cuestión, se obtiene:

MÉTODO DEL TRAPECIO

32140

4.1

0.1

22

xfxfxfxfxfh

dxxf

025.1586.0252.02578.1010.02

1.04.1

0.1

dxxf

266.0

4.1

0.1

dxxf

MÉTODO DE SIMPSON(1/3)

1 1

0 1

21240

4.1

0.1

243 i i

ii xfxfxfxfh

dxxf

2

2

2

2

0 1

2120

4.1

0.1

243

n n

i i

iin xfxfxfxfh

dxxf

El método de Simpson (1/3) exige que el número de intervalos n, sea par. En este caso n=4, por lo tanto, cumple con este requerimiento y se puede aplicar este método, obteniendo lo siguiente:


23140

4.1

0.1

243

1.0xfxfxfxfxfdxxf

586.02024.1252.04578.1010.03

1.04.1

0.1

dxxf

262.0

4.1

0.1

dxxf

EJEMPLO 2

Considere la función f(x)=x2, de la cual se ha construido una tabla para valores de x con incrementos iguales a 0.25

i xi f(xi)

0 0 0

1 0.25 0.0625

2 0.50 0.25

3 0.75 0.5625

4 1.00 1.00

5 1.25 1.5625

6 1.50 2.25

7 1.75 3.0625

8 2.00 4

9 2.25 5.0625

10 2.50 6.25

11 2.75 7.5625

12 3.00 9

Estime el valor de la integral Utilizando el método de los rectángulos, de los trapecios, de Simpson(1/3) y Simpson(3/8)

3

0

2dxx

93

3

0

33

0

2

xdxx

Integrando directamente, se obtiene:

MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS

El tamaño del intervalo es h=xi+1-xi=0.25

Aplicando el método de los rectángulos, se obtiene:

11

0

1

0

3

0

2 25.0i

i

n

i

i xfxfhdxx

11109876

5432103

0

2 25.0xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfdxx

MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS

5625.725.60625.540625.325.2

5625.100.15625.025.00625.0025.0

3

0

2dxx

90625.7625.3125.0

3

0

2 dxx

MÉTODO DE LOS TRAPECIOS

1

1

0

3

0

2 22

n

i

in xfxfxfh

dxx

1121120

3

0

2 ...22

25.0xfxfxfxfxfdxx

Aplicando el método de los trapecios a los datos del problema planteado, se obtiene

MÉTODO DE LOS TRAPECIOS

75.250.225.200.275.15.1

25.100.175.005.025.0230

2

25.03

0

2

ffffff

fffffffdxx

5625.725.60625.540625.325.2

5625.100.15625.025.00625.0290

2

25.03

0

2dxx

03125.9316252902

25.03

0

2 dxx


El método de Simpson(1/3) requiere el número de intervalos, n, sea par. Para este caso n=12, por lo tanto se cumple este requisito.

2

2

2

2

0 1

2120

3

0

2 243

n n

i i

iin xfxfxfxfh

dxx

5 5

0 1

212120

3

0

2 243

25.0

i i

ii xfxfxfxfdxx


108642

11975311203

0

2

2

4

3

25.0

xfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxfdxx

25.600.425.200.125.02

5625.70625.50625.35625.15625.00625.0490

3

25.03

0

2dxx

75.132875.17493

25.03

0

2 dxx

0.9

3

0

2 dxx


3

3

3

3

3

3

0 0 1

323130

3

0

2 2338

3n n n

i i i

iiin xfxfxfxfxfh

dxx

3 3 3

0 0 1

32313120

3

0

2 2338

3

i i i

iii xfxfxfxfxfh

dxx

El método de Simpson (3/8), exige que el número de intervalos debe ser múltiplo de 3. En este caso n=12, el cual es múltiplo de 3, por lo tanto se puede aplicar el método


0625.525.25625.025625.700.45625.125.03

25.60625.300.10625.0390

8

25.033

0

2dxx

875.72375.133375.10398

25.033

0

2

dxx

0.9

3

0

2 dxx

96311852

107413

0

2

23

330

8

3

xfxfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfffhdxx

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