03APLICADA NORMAL2013

Material de Clases G.P.P 26-dic-12

Germn Elas Pomachagua Prez

[email protected]

CLASE03: DISTRIBUCION NORMAL


La curva normal es una distribucin muy importante en todas las ciencias: Muchos fenmenos naturales estn distribuidos

normalmente: si medimos la altura, peso, presin sangunea en un gran nmero de personas (como mnimo 1000), y trazamos los polgonos de frecuencia de nuestros datos, cada uno de ellos se aproximar a la curva normal.

La mayora de los test estadsticos dan por

supuesto que los datos provienen de una distribucin normal,

DISTRIBUCIN NORMAL


DISTRIBUCIN NORMAL

La distribucin normal es la distribucin

probabilidades, ms conocida y utilizada en la

estadstica. Es simtrica de forma acampanada y

definida para valores de - hasta +.

La distribucin normal se define a travs de sus

parmetros media y varianza.

X ~ N ( , )

Se lee la variable X sigue una distribucin normal

con media m y varianza s2


m

s2

DISTRIBUCION NORMAL

X~ N ( m, s2 )

+ -

21

21( )2

x

f x e

m

s

s


La probabilidad equivale al rea encerrada bajo la curva. P( - < X + ) = 0.6826 = 68.26 % P( - 2 < X + 2) = 0.954 = 95.4 % P( - 3 < X + 3) = 0.997 = 99.7 %


m = 0

s2 = 1

DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR O TIPIFICADA

Z ~ N (0, 1 )

s

m

xz

z -ezfz

2

1)(

2

2

1

Es una distribucin normal con = 0 y 2 = 1


FUNCIN DE DISTRIBUCIN ACUMULADA


3.9

3.8

0.9744 1.9

.

0.3

0.2

0.1

0

0.09 0.08 .0.05. 0 0.00 Z

P(Z 1.95)

USO DE TABLAS


CASOS MS FRECUENTES

CASO I


CASOS MS FRECUENTES

CASO II


CASOS MS FRECUENTES

CASO III


CASOS MS FRECUENTES

CASO IV

)(

)(11

)(1)(

aZP

aZP

aZPaZP


Ejemplo 1: Sea X las notas del curso de Estadstica y esta se distribuye en forma normal X ~N(10,4). Si se selecciona un alumno al azar.

a)Cul es la probabilidad de que tenga una nota entre 11 y 13.6

)6.1311( XP

2726.06915.09641.0)8.15.0(

)5.0()8.1()8.15.0(

2

106.13

2

10

2

1011

ZP

ZPZPZP

XP

Solucin: Sea X: Notas Hallar


Ejemplo2: El nivel del colesterol en la poblacin tiene distribucin normal, con media 200 y desviacin 10. a) Qu porcentaje de individuos tiene colesterol inferior a 210?

b) Cul es el mnimo valor del colesterol, del 10% de los individuos que tienen los mas altos niveles de colesterol?

d) Entre que par de valores esta el 50% de los niveles centrales de colesterol?

c) Cul es el mximo valor del colesterol, del 10% de los individuos que tienen los mas bajos niveles de colesterol?


Ejemplo3: Los sueldos de 10,000 empleados del Sector Salud tiene una distribucin normal con promedio de $ 500 mensual y desviacin estndar de $ 100.

a) Cul es la probabilidad de encontrar empleados con sueldo menor a $ 600 y cuantos empleados esperara encontrar?

8413.0)1(100

500600)600(

ZP

XPXP

s

m

b) El gobierno dar una bonificacin al 35% de los empleados que menos ganan. Cunto deber ganar para obtener la bonificacin y cuantos son? Rpta $461

d) Cuntos empleados ganan menos de $650 dlares o mas de $850 dlares?

e) Si se eligen 4 empleados en forma independiente, Cul es la probabilidad de que mas de 2 tengan un sueldo menor que $600 dlares ?

c) Entre que intervalos esta el 50% de los sueldos centrales? Rpta $ 433 y $ 567


Ejemplo4: La longitud de los clavos fabricados por una mquina, en milmetros, es una variable aleatoria X que sigue una distribucin normal. Se sabe que el 80% de los clavos fabricados miden menos de 11mm, y que el 90% de los clavos fabricados miden menos de 12mm. Cul es la media y la varianza de los clavos producidospor la mquina?

Sabemos que P(X


Sean X1, X2, .Xn ,n variables aleatorias independientes con distribucin normal N(i ,

2i ) i = 1,.n

Si W = 1X1+.+ nXn , luego W~N( ii , 2

i 2

i )

Ejemplo 1: Una consultora de Opinin Publica tiene tres tipos de ingresos mensuales independientes A, B y C que siguen distribuciones normales N(14, 2), N(12, 4) y N(3, 5), respectivamente, medidos en millones de soles. Se pide a) Calcular la probabilidad de que los ingresos mensuales sean

mayores de 30 millones. Rpta:0.3821 b) Calcular la probabilidad de no cubrir los gastos si estos se

estiman en 20 millones mensuales Rpta:0.0034 c) Si consideramos 12 meses. Cul es la probabilidad de que al

menos un mes no se cubran los gastos? Rpta:0.040046

PROPIEDAD REPRODUCTIVA DE LA DISTRIBUCION NORMAL


Ejemplo 3: Carl Lewis puede correr los 100 metros llanos en un tiempo distribuido normalmente N(7;9) en segundos. Su rival Ben Johnson puede hacer esa misma distancia en un tiempo distribuido normalmente segn N(9;4) en segundos. a) Cul es la probabilidad de que Carl Lewis le gane a Ben Johnson? Rpta: 0.7088 b) Cul es la probabilidad de que le gane Carl Lewis aunque le de 1 segundo de

ventaja? Rpta: 0.6103

Ejemplo2: El precio de venta que se fija para cierto tipo de bien tiene distribucin normal con una media $50 y una desviacin estndar de $5. Los compradores desean pagar una cantidad que tambin tiene distribucin normal con media de $45 y una desviacin estndar de $2.50. Cul es la probabilidad de que tenga lugar una transaccin?.

Solucin

X es el precio de venta X ~ N(m1= 50; s12 = 52)

Y es el precio de compra Y ~ N(m2= 45; s22 =2,52).

La transaccin se da, siempre y cuando: X Y, lo que significa

calcular P(X Y) = P(X - Y 0)

Es decir, se tiene que obtener la distribucin: W = X - Y ~ N( 5; 5,592) De modo que: 185541,0)0( WP


CUANDO Z NO PARECE EN LA TABLA

a) Calcular P(Z1.342)=?

El valor se encuentra entre 1.34 y 1.35, usaremos interpolacin lineal

)( 0101

0

0PP

ZZ

ZZPP

9115.035.1

?342.1

9099.034.1

11

00

PZ

PZ

PZ

)9099.09115.0(34.135.1

34.1342.19099.0

P 9102.0P

b) El caso inverso, hallar P(Zz)=0.675

El valor se encuentra entre 0.6736 y 0.6772, usaremos interpolacin lineal

)( 0101

00 ZZ

PP

PPZZ

6772.046.0

6750.0?

6736.045.0

11

00

PZ

PZ

PZ

)45.046.0(6736.06772.0

6736.0675.045.0

Z 454.0Z


Muchas veces se hace difcil conseguir datos reales para corroborar un mtodo estadstico, una manera de resolver dicho problema es hacer que la computadora produzca mediante simulacin dichos datos.

Ejemplo: Supongamos que deseamos simular 30 notas de una poblacin normal que tiene media 14 y desviacin estndar 4.

SPSS

Transformar / Calcular variable En variable destino: Notas En Expresin Numrica:

RV.NORMAL(14,4)

MINITAB

Calc/Datos aleatorios/Normal

SIMULANDO DATOS DE UNA DISTRIBUCIN CONOCIDA


1) La media del dimetro interior de una muestra de 200 lavadoras producidas por una mquina es 1,275 cm. y la desviacin tpica de 0,0125 cm. El propsito para el cual se han diseado las lavadoras permite una tolerancia mxima en el dimetro de 1,26cm. a 1,29 cm., de otra forma las lavadoras se consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de lavadoras defectuosas producidas por la mquina, suponiendo que los dimetros estn distribuidos normalmente.

2) Se tiene un programador de entrenamiento diseado para mejorar la calidad de las habilidades de los supervisores de la lnea de produccin. Debido a que el programa es auto administrativo, los supervisores requieren un nmero diferente de horas para terminarlo. Un estudio de los participantes anteriores indica que el tiempo medio que se lleva completar el programa es de 500 h. y que esta variable aleatoria normalmente distribuida tiene una desviacin estndar de 100 h. a) Cul es la probabilidad de que un participante elegido al azar requiera ms

de 500 h. para completar el programa?. b) Cul es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500

h. y 650 h. para completar el programa de entrenamiento?.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS


3) Suponga que el ingreso familiar mensual, X, en una comunidad tiene una distribucin normal con media $ 400 y una desviacin estndar de $ 50. a) Si el 10% de las familias con mayores ingresos debe pagar un impuesto, a partir

de qu ingreso familiar se debe pagar dicho impuesto? Rpta: 464 b) Si el ahorro familiar est dada por la relacin Y = (1/4) X 50. Cul es la

probabilidad de que el ahorro sea superior a $75? Rpta 0.0228

4) El tiempo de duracin de los chips producidos por un fabricante de semiconductores es una variable aleatoria cuya distribucin es aproximadamente normal con = 5106 horas y s = 250 horas. a) En trminos del enunciado, cmo interpreta el valor del cuartil 1? b) Un ensamblador de computadoras est dispuesto a comprar una gran

cantidad de chips siempre que el 90% del lote tenga un tiempo de vida superior a 4800 horas. Qu decisin debera tomar en vista de la informacin disponible?.


5) Las horas productivas por mes de un departamento de administracin se distribuyen mediante una Normal. Se sabe que en el 2.56% de los meses las horas productivas son menos de 1305 y que el 15.87% de los meses las horas productivas son ms de 1600. a) Cul es el nmero de horas productivas por trmino medio? b) Cul es la probabilidad de que en un mes se trabajen entre 1450 y 1550

horas? c) Si se seleccionan 5 meses al azar, cul es la probabilidad de que en 3 de ellos

se hayan trabajado entre 1450 y 1550 horas?

6) Una empresa puede comprar materia prima a dos proveedores y le preocupa la cantidad de impurezas que posee. El examen de los datos de cada proveedor indica que los niveles porcentuales de impurezas de los envios de la materia prima recibidos siguen distribuciones normales que tienen las medias y las desviacin estandar en las tabla. La empresa tiene especial interes en que interes en que el nivel de impurezas no supere el 5% y quiere comprar al proveedor que tenga mas probabilidades de cumplir esa condicion. Qu proveedor debe elegir

Proveedor Media Desviacin estandar

A 4.4 0.4

B 4.2 0.6


TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL

n1

n2

n3

n4

nm

N


Factor de Correccin para Poblaciones

Finitas,

Se usa cuando se est haciendo un muestreo sin

reemplazo, y el tamao de la muestra excede al 5% de

la poblacin )05.0(

N

n

Se hacen los siguientes ajustes

Luego

1

N

nN

n

XZ

s

m


?)775( XP

Solucin: X: duracin en horas 16 40 800 nysm

16/40

800775

/ n

XP

s

m 0062.0)5.2( ZP

Ejemplo 1: La Compaa Phillips fabrica focos, para las salas de emergencia de un hospital que tienen una duracin que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviacin estndar de 40 horas a) Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una

vida promedio de menos de 775 horas.

b) Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas, si conocemos que N =200?

05.008.0200

16

N

nComo

Aplicamos factor de correccin para poblaciones finita 1

N

nN

nX

ss

0047.0)60.2(

199

16200

16

40

800775

1

ZP

N

nN

n

XP

s

m


9938.0)50.2()5/10

8075()

/()75(

ZPZP

n

XZPXP

s

m

Ejemplo2: El coeficiente intelectual (C.I.)de los alumnos de un centro especial se distribuye normalmente con media 80 y desviacin tpica 10.

)100,80(NX Solucin :X: coeficiente intelectual

a) Cul es la probabilidad de que obtenga como mnimo 75 puntos en coeficiente intelectual ?.

Si extraemos una muestra aleatoria simple de 25 alumnos:

c) Cul es la probabilidad de que el promedio del C.I. sea como mximo 83?

d) Cul es el mnimo promedio del C.I. , del 15% de los alumnos que tienen los mas altos coeficientes?

6915.0)50.0()10

8075()()75(

ZPZP

XZPXP

s

m

9332.0)50.1()5/10

8083()

/()83(

ZPZP

n

XZPXP

s

m

08.825/10

8004.104.185.0)( 85.0

K

KZKXP

b) Cul es la probabilidad de que el promedio del C.I. sea mayor que 75?

)4,80(NX


Ejemplo3: El gasto mensual de la familia Gonzales sigue una distribucin normal de media de 3,000 soles y varianza 500. Supongamos que el gasto de cada mes es independiente de los otros meses. Si el ingreso anual es de 37,000 soles. a) Si extraemos una muestra de 4 meses. Cul es la probabilidad de que gasten

en promedio mensual mas de 4,000 soles? Rpta b) Cul es la probabilidad de que no gasten ms de lo que ganan a ao? c) Cunto deberan ganar para tener una seguridad del 99% de que no gastarn

ms de lo que han ganado durante el ao?

b) Solucin: Sea: el gasto anual Xi el gasto mensual en el mes i

)1 ,0(~/

1 Nn

nx

n

XZ

n

i

i

s

m

s

m

1)91.12()12500

000,312000,37()000,37(

12

1

ZPx

ZPxPi

i

Podemos aseguran con un 100% de certeza que no gastaran mas de los que ganan

c)

99.0)4597.77

000,36()

12500

000,312()(

12

1

GZP

xGZPGxP

i

i

4811.180,3633.24597.77

000,36

G

G

12

1i

ix


Ejemplo4: Consideremos las alturas de los estudiantes de EPEL. Supongamos que sabemos que se trata de una variable aleatoria normal de media 172 cm y desviacin tpica 11 cm. Entonces podemos contestar preguntas del tipo siguiente:

a) Cul es la probabilidad de que la distancia entre la media muestral y la media poblacional sea menor que 1 cm, en una muestra de 300 estudiantes?

8836.0)57.157.1()635.0

1

635.0

1()11()1(

ZPZPXPXP mm

b) Cul ser el tamao de la muestra para tener una probabilidad del 0.95 de la media muestral difiera de la media poblacional en menos de 1 cm?

5.46496.1/11

1 n

n

95.0)/11

1

/11

1()11()1(

nZ

nPXPXP mm


Ejemplo5 La variable X se distribuye normalmente con media 50 y desviacin tpica 12. a) Cul es la probabilidad de que obtenga al menos una puntuacin de 45? b) Si extraemos una muestra aleatoria simple de 16 alumnos:. Cul es la

probabilidad de que su media aritmtica sea menor de 58? c) Qu tamao tendra que tener la muestra para que la probabilidad de encontrar

medias superiores a 52 fuese 0,2578? Rpta: a) 0.6628; b) 0.9962; c) n=15

Ejemplo6: El proceso de envasado de cierto producto tiene un distribucin normal con una desviacin estndar de 20 gramos y con una media que debe ser bien regulada. a) La media del proceso este bien regulada si slo el 1% de los pesos de las

bolsas producidas tienen pesos mayores a 546,6 gramos. Cunto vale la bien regulada? Rpta: =500

b) Con la media del proceso bien regulada, se programar el siguiente control: cada hora se escogern al azar 4 bolsas , si el promedio de los pesos no esta en el intervalo [480, 520] gramos, se para el proceso para realizar un mantenimiento, en caso contrario, se continua con el proceso. Cul es la probabilidad de que se pare el proceso cuando realmente este bien regulado? Rpta: 0.0456

c) Si el proceso este bien regulado. Con que tamao de muestra se consigue que el peso promedio muestral sea a lo mas 490.2 gramos con probabilidad igual a 0.025? Rpta: n=16


Ejemplo7 Calvin Ensor, presidente de la General Telephone Corps., est preocupado por el nmero de telfonos producidos por su empresa que tienen auriculares defectuosos. En promedio, 110 telfonos al da son devueltos por este problema, con una desviacin estndar de 64. El seor Ensor ha decidido que a menos que pueda estar 80% seguro de que, en promedio, no se devolvern ms de 120 telfonos al da durante los siguientes 48 das, ordenar una reparacingeneral del proceso. Se ordenar la reparacin general?. Sol: No se ordenar la reparacin general (0,8599 > 0,8)

Ejemplo 8: Un ascensor limita el peso de sus cuatro ocupantes a 300 Kg. Si el peso de un individuo sigue una distribucin N( 71,7 ), calcular la probabilidad de que el peso de 4 individuos supere los 300Kg.

Ejemplo 10: El precio promedio de los computadores personales, para una configuracin definida, es de US$ 1.100, con una desviacin estndar de US$ 200. Si se toma una muestra aleatoria de 40 distribuidores de este tipo de computador. Qu porcentaje de distribuidores comercializan el computador a un valor promedio inferior o igual a US$ 999?.


Ejemplo 9: Una empresa de mensajera que opera en la ciudad tarda una media de 35 minutos en llevar un paquete, con una desviacin tpica de 8 minutos. Supongamos que durante el da de hoy han repartido doscientos paquetes. a) Cul es la probabilidad de que el tiempo promedio de entrega de hoy est entre 30 y 35 minutos? Rpta 0.5 b) Cul es la probabilidad de que, el tiempo total, para los doscientos paquetes sea de a lo ms 115 horas? Rpta 0.8106

Ejemplo 10: El nmero de libros encuadernados diariamente por una mquina automtica sigue una variable aleatoria cuya distribucin no se conoce, con una desviacin tpica de 16 libros por da. Si se selecciona una muestra aleatoria de 49 das. a) Determinar la probabilidad de que el nmero medio de libros encuadernados

durante esos das (la media muestral) se encuentre a lo sumo a 3 libros de la verdadera media poblacional Rpta 0.8098

b) Determinar el tamao de la muestra para que la media muestra1 se encuentre a lo sumo a 3 libros de la media poblacional con una probabilidad del 0,95. Rpta 110


Distribucin de una media muestral con varianza poblacional conocida

1) Una mquina empaqueta un determinado producto cuyo peso en gramos se distribuye normalmente con una desviacin estndar de 20 gramos y una media de 500 gramos que debe ser regulada constantemente

a) La media se encuentra bien regulada solo si el 1% de los pesos de los paquetes que produce la mquina tienen pesos mayores a 546.5 gramos. Cuanto deber valer? Rpta =500

b) Con la media bien regulada, se programa el siguiente control del peso del producto: cada hora se escogen 4 paquetes, si el promedio no esta entre 480 y 520 gramos se para la mquina para mantenimiento. En caso contrario continua el proceso . Cual es la probabilidad de parar la mquina cuando en realmente este bien regulada? Rpta 1-0.9545=0.0455

c) Si la mquina fue bien regulada Con qu tamao de muestra se consigue que la media muestral sea a lo mas 409.2gramos con probabilidad igual a 0.025 Rpta n=15.999~16


Distribucin de una media muestral con varianza poblacional desconocida

Sea x1,x2,.xn una muestral aleatoria con reemplazo de tamao n recogida de una distribucin normal N(, 2), donde la varianza poblacional es desconocida entonces la variable aleatoria :

ns

xt

/

m

La distribucin t de Student tienen (n-1) grados de libertad

NOTA: Tener presente que la distribucin de la variable X debe ser Normal de otro modo este resultado es inaplicable


Ejemplo1: Hemos hecho una encuesta entre los hombres de una poblacin determinada y, a partir de los resultados, deducimos que el peso de los hombres de esta poblacin sigue una distribucin normal de media 72 kg. Para saber si los datos que hemos obtenido son fiables, pesamos a cuatro de los encuestados y obtenemos una media de 77,57 kg, con una desviacin tpica de 3,5 kg. Tenemos suficientes motivos para pensar que los encuestados han mentido cuando nos han dicho su peso?

Solucin:

)4/5.3

57.5

/4/5.3

57.5(1)57.557.5(1)57.5(

ns

XPXPXP

mmm

05.095.01)18.318.3(1)57.5( 3 tPXP m

As pues, parece que nos han mentido, ya que la probabilidad de que la diferencia entre las medias de los pesos que nos han dicho y 72 es muy pequea, del orden de 0,05.

Si esta probabilidad fuese pequea, nos indicara que los encuestados seguramente han mentido sobre su peso


DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA PROPORCION

Si de una poblacin distribuida Binomialmente con probabilidad de xito p, se extrae una muestra aleatoria de tamao n, entonces se puede mostrar que la media de X: nmero de xitos en la muestra, es = np y que su varianza es 2= npq

npq

npx

n

pq

ppz

Donde:

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION DE LA PROPORCIONAL MUESTRAL

1. La distribucin es aproximadamente normal y la aproximacin se considera buena para np0.5 y n(1-p)0.5

2. Donde y pp mn

pqp s

muestralproporcinn

xp

lpoblacionaProporcinp

:

:


Ejemplo1 Se ha estimado que el 43% de los egresados de Ingeniera consideran que es muy importante que se imparta un curso de tica. De una poblacin de 800 egresados se tom una muestra de 80. a) Calcular la probabilidad de que ms de la mitad de ellos opinen de ese modo.

El factor de correccin esta dado por: 05.01.0800

80

N

n

0525.01800

80800

80

57.0*43.0

1

N

nN

n

pqps

Luego :

Solucin:

La probabilidad que nos piden es:

0918.0)33.1(0525.0

43.05.0)5.0(

ZPZPpP

Hay una probabilidad del 9.18% de que mas de la mitad de los estudiantes considera necesario que se imparta el curso de tica

b) Cuantos egresados deben ser seleccionados para tener un margen de error de estimacin menor del 2% con un 96% de probabilidad?


Ejemplo8 : Suponga que el 15% de los artculos que se producen en una lnea de ensamble son defectuosos, pero que el gerente de produccin no se ha enterado. Tambin suponga que el departamento de aseguramiento de la calidad prueba 50 piezas para determinar la calidad de la operacin de armado. Sea p la proporcin muestral de piezas defectuosas que encontr la prueba de aseguramiento de calidad. a) Cul es la probabilidad de que la proporcin de la muestra est a 0,03 o

menos de la proporcin de piezas defectuosas en la poblacin? Sol: 0,4448 b) Si la prueba indica que p = 0,10 o ms, de piezas defectuosas, la lnea de

ensamble se para y se investiga la causa de los defectos. Cul es la probabilidad de que la muestra de 50 piezas lleve a la conclusin de que debe pararse la lnea de ensamble? Sol: 0,8389

Ejemplo9 Una encuesta realizada en 1993 por Datamotion encontr que el 34% de los encuestados utilizaban aplicaciones basadas en Windows en su computadora. a) Si se toma una muestra de 500, cul es la probabilidad de que el error

muestral sea superior al 3%? Sol: 0,1528 b) Si se toma una muestra de 1000. Cul es la probabilidad de que el error

muestral sea superior al 3%? Sol: 0,0456

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