Estructuras Algebraicas Trabajo Prctico N 4 Estructuras Algebraicas1. Determinar en cada caso si el par ( G, * ) es grupoa) G1 = { x / x = 2k, k Z }; * es el producto ordinario.b)G2 = { x / x = 3 k, k N }; * es la adicinc) G3 = { 1; -1 }; * es el producto ordinario2.SeaA={x R/x=a+b;a Z b Z}.ComprobarqueAesunanillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinario de nmeros reales.23. Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, segn las siguientes tablas: * 0 10 0 11 1 00 10 0 01 0 1Probar que estas operaciones definen sobre K una estructura de cuerpo. 4)Completarlossiguientesenunciadosparaqueresulten proposiciones verdaderas: En R2 = C se define la relacin de equivalencia: (a, b) (c, d) En R2 = C se define la adicin y la multiplicacin mediante (a, b) + (c, d) = . . . . . . . . (a, b) * (c, d) = . . . . . . . .2 1z z+2 1z zii) (C, +) tiene estructura de . . . . . . . (C, *) tiene estructura de . . . . . . . (C, +, *) tiene estructura de . . . . .iii) Un complejo es real . . . . . . . .un complejo es imaginario . . . .iv) En C es:i0 =i1 =i2 =i3 = i4q+r=v)Si z = (a, b) = . . .; - z = . . . . ; z -1 = . . . . = . . . . . = . . .z 5)Resolver las ecuaciones siguientes indicando a qu campo numrico pertenecen las soluciones:a) x2 1 = 0 b) x2 3 = 0 c) x2 + 1 = 0 d) x2 + 3x + 3=06) Dados los nmeros complejos:i 223z2 ) 3 , 5 ( z1 i 4 2 z3+ ) 2 , 2 ( z4 a) Representarlos grficamentec) Expresar z2 y z3 en forma de pares ordenados b) Expresar z1 y z4 en forma binmicad) Hallar y representar grficamente z4 e) Calcular y representar grficamente 2 1z z ) i + ) z z ( 2 z ) ii1 2 2 1 3 2 3z z z z ) iii + f) Calcular: 2 1z z ) i ( )143zz) ii21 3zz z) iii 9) Determinar z tal que:a) 3 z +z = 3 + 5 i b) i z - 2z = - 6 ic) z + iz= 3 + 5 i 10)Resolverlassiguientesecuacionesenelcampocomplejo.Entodos los casos z es un nmero complejo; despejarlo y calcular su valor: i 7 3 z ) i 2 5 ( ) i + ) 5 , 3 () 4 , 3 (z) ii i 3 6i 2i 3 z 2zz) iii + 11) Determinar x para que el producto (3 - 6 i) (4 + x i) sea: a)unnmeroreal b)unnmero imaginario puro 12) Si B = { 1, 2, 3, 6 }con las operaciones *y donde* denota mnimo comn mltiplo y denota mximo comn divisor; Analizar si (B, *, ) resulta un modelo de Algebra de Boole, donde los neutros son respectivamente 1 y 6. 13) Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son equivalentes: i) a b = 0 ii) a * b = b iii) a * b = 1iv) a b = a 14) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Proposiciones 15) Probar que a, b B: a) (a * b) (a * b) = ab) (a b) * (a b) = a 16) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntos Estructuras AlgebraicasFrecuentemente la primera dificultad que encuentra el alumno en el estudio de las Estructuras Algebraicas es asimilar la existencia de operadores como * que expresan operaciones que no tienen porqu ser las clsicas conocidas de adicin, diferencia, producto, cociente, etc.Sino que pueden expresar otras formas de composicin (operaciones definidas por una ley de variacin que puede o no expresarse en frmulas)* a b a a bb b a* 0 1 0 0 11 1 0Tabla 1 Tabla 2Segn la tabla 2, el operador * genera los siguientes resultados:0 * 0 = 0SiG = { 0, 1 }Notemos que todos los resultados de operar algn elemento de G con otro elemento del mismo conjunto (incluso consigo mismo) . . .Son elementos del mismo conjunto G ( 0 1 ) entonces*Es una Ley de Composicin interna en G *Es una Ley de Composicin interna en G1 * 0 = 10 * 1 = 11 * 1 = 0* se lee asterisco Si una operacin * respecto de los elementos de un conjunto Gque se escribe: (G, *), verifica que:1)G2 G* es una Ley de composicin interna en G2) a, b, c : a, b, c G (a * b) * c = a * (b * c)AsociativaDefinida una operacin * si el resultado de operar dos elementos cualesquiera de G con * es otro elemento de G, hay L.C.I.Definida una operacin * si con tres elementos cualesquiera de G la operacin * responde a la propiedad asociativa(G, *) tiene estructura de semi-gruposi adems3) e G / a : a G a * e = e * a = a Existe Elemento NeutroDefinida una operacin * si en el conjunto G existe al menos un elemento e, que al operarlo con cualquier otro elemento a de G, resulta el mismo elemento a4) a : a G, a G / a * a = a * a = e Existe Elemento InversoDefinida una operacin * si para cada elemento de G existe al menos un elemento a que al operar con a d como resultado el neutro e(G, *) tiene estructura de grupo1a 1a 1b 1b 1c 1c Si adems de cumplirse las cuatro condiciones anteriores - lo que hace a (G,*) Grupo -5)a, b : a, b G a * b = b * aConmutativa(G, *) tiene estructura de grupo abeliano grupo conmutativoSea una estructura algebraica definida en un conjunto G con dos leyes de composicin * y (G, * ) es Anillo si . . .1) (G, *) es Grupo abeliano2) (G, ) es semi Grupo3) es distributivo a izquierda y derecha respecto de *a, b, c G : a (b * c) = (a b) * (a c) (b * c) a = (b a) * (c a)Si la segunda ley de composicin es conmutativa, (G, * ) es Anillo Conmutativo Si(G * ) es AnilloY adems posee elemento neutro respecto de (G * ) es Anillo con Unidad Un Anillo con unidad cuyos elementos no nulos son inversibles se llama Anillo con divisin Anillo con divisinSi un Anillo con divisin es conmutativo, se llama Cuerpo Cuerpo1) (G, *) es Grupo abeliano2) (G , ) es Grupo abeliano,salvo que el 0 no es inversible3) es distributivo respecto de *Ejemplo: (Z, *(Z, * ) )donde * es la adicin (suma)y es el producto ordinarioNo es cuerpo No es cuerpo, pues los nicos elementos no nulos que admiten inverso multiplicativo son 1 y - 1 (R, *(R, * ) )donde * es la adicin (suma)y es el producto ordinarioEs Cuerpo Es Cuerpo 1) a) SiG1 = { x / x = 2k, k Z };* es el producto ordinarioSean k, t Z2k 2t = 2(k + t)Si k, t Z (k + t) Z Luego 2(k + t) G12k (2t 2s) = 2k 2(t + s) = 2k + ( t + s) = 2( k + t ) + s = 2( k + t ) 2s = (2 k 2 t ) 2sAsociatividad2 k e = 2 k 2 t = 2 ( k + t ) = 2 kExistencia de Elemento NeutroPara cada 2k debe existir 2t = econ t ZEntonces 2t = 2 0 es un elemento del conjunto G1Existencia de Elemento InversoSi e = 20 (ya demostrado)2k x = 20 = 12k 2t = 20 k + t = 0Entoncest = -k lo que es claro que t Z y 2t G1Conmutativa2k 2t = 2 (k + t) = 2 ( t + k) = 2 t 2 k valindonos de la conmutatividad de la suma en Z(G, * )es Grupo Abeliano (G, * )es Grupo Abelianok + t = k entoncest = 00 Z 1 c 1 c 1 b 1 bEntonces*esL.C.I. En G1 1) b)SiG2 = { x / x = 3 k, k N }; * es la adicin (+)G2 es un conjunto conformado por todos los naturales mltiplos de 3 ; ... entre otros: sik=1,x =3; sik=2 , x= 6 ;k= 3, x= 9 . . . . Para k, t N 3k + 3t = 3 (k + t) Pero (k + t) N LCI okAsociatividadDebe verificarse que 3 k + ( 3 t + 3 s ) = ( 3 k + 3 t) + 3 s3 k + ( 3 t + 3 s ) = 3 k + 3 (t + s) = 3 [k + (t + s)] = 3 [(k + t) + s)] = 3 (k + t) + 3 s = (3 k + 3 t) + 3 sSe acepta la asociatividad de la adicin para los nmeros naturalesExistencia de Elemento Neutro en G para * Si existe e (neutro) en G, tendr la forma e = 2tdonde t N3 k + 3 t = 3 k si3 t = eEntonces3 k + 3 t = 3 (k + t) = 3 kLuego( k+ t ) = k t = 0 Pero 0 N entonces . . . NO Existe Elemento Neutro en G para *( G ( G2 2, * )No es Grupo , * )No es Grupo1 c 1 c 1) c)Si G3 = { 1; -1 };* es el producto ordinario Por tratarse de un conjunto finito y con pocos elementos, algunas condiciones pueden ser analizadas para cada situacin . . . 1 1 = 1 G3-1 1 = -1 G3-1 -1 = 1 G31 -1 = -1 G3Se verifica que * es L.C.I. en G3Podemos admitir que la Asociatividad se hereda de la asociatividad del producto entre elementos del conjunto de los nmeros enterosSabemos que para el producto existe neutro en Z, pero debemos verificar que ese neutro G3-1 e = -1e = 11 e =1e = 11 G3Existe neutroAnalizamos si cada elemento de G3 admite inverso en G31 x = e = 1x = 1-1 x = e = 1x = -1Los elementos de G3 admiten inversoPodemos admitir que la Conmutatividad se hereda de la conmutatividad del producto entre elementos del conjunto de los nmeros enteros( G ( G3 3, * )es Grupo Abeliano , * )es Grupo Abeliano 2) Sea A = { x R / ; a Z b Z }. Comprobar que A esunanilloconmutativoyconunidadconlasumayelproducto ordinario de nmeros reales.Supongamos dos elementos cualquiera que pertenecen al conjunto A; ellos son : 2 b a + 2 d c + 2 b a x + Analizamos (A, *); en este caso * es la suma, analizamos entonces (A, +) + + + + ) d c ( ) b a ( 2 2 2 ) d b ( ) c a ( + + + conZ c a +Z d b +* es L.C.I.* es L.C.I. en A en ALa Asociatividad Asociatividad se hereda de la asociatividad de la suma para los nmeros reales, porque es evidente que si a, b, c y d son nmeros enteros; R RSupongamos que existe nulo y es 2 d c + entonces + = es nulo ) b a ( ) d c ( ) b a ( 2 2 2 + + + + + esto es posible parac = 0y d = 0cc ZZ dd ZZ A ALo que prueba la existencia deLo que prueba la existencia de neutro en A para la suma neutro en A para la suma Si existe elemento inverso para cada elemento de A + = 0 es inverso de ) , ( ) d c ( ) b a ( 2 0 0 2 2 + + + ) , ( ) d b ( ) c a ( 2 0 0 2 2 + + +) , ( ) d b ( ) c a ( 2 0 0 2 + + +Debe ser a + c = 0 c = - a Zb + d = 0 d = - b ZA ) b a ( ) d c ( + 2 2 Prueba la existencia de inverso Prueba la existencia de inversoLa Conmutatividad Conmutatividad se hereda de la conmutatividad de la suma para los nmeros reales, porque es evidente que si a, b, c y d son nmeros enteros; R R(A, *) es Grupo Abeliano (A, *) es Grupo AbelianoAnalizamos ahora ( A, )donde es el producto ordinario + + ) d c ( ) b a ( 2 2 + + + 22 2 2 ) ( bd bc ad ac aplicando distributiva2 2 ) bc ad ( ) bd ac ( + + + A es LCI en Aes LCI en A porque . . .ac + 2bd Z ad + bcZ La Asociatividad Asociatividad se hereda de la asociatividad del producto para los nmeros reales, porque es evidente que si a, b, c y d son nmeros enteros; R R (de la misma manera se verifica tambin la conmutativa conmutativa(A,(A, ) es Semi Grupo) es Semi Grupo es doblemente distributivo respecto de *es doblemente distributivo respecto de * , , A : ( * ) = ( ) * ( ) ( * ) = ( ) * ( ) , , son nmeros reales y sabemosque en el conjunto de los nmeros reales el producto es distributivo respecto de la suma( A, *,( A, *, )Es Anillo Conmutativo )Es Anillo Conmutativo 3) Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, segn las siguientes tablas: * 0 10 0 11 1 00 10 0 01 0 1Probar que estas operaciones definen sobre K una estructura de cuerpo.Analizamos ( K, * )De observar la tabla del operador *resulta que todos los resultados posibles son elementos del conjunto K0 * 0 = 00 * 1 = 11 * 0 = 11 * 1 = 0* Es L.C.I. en KAsociativa ; verificamos . . . por ejemplo( 0 * 1 ) * 0 = 1 * 0 = 1 0 * ( 1 * 0 ) = 0 * 1 = 1El 0 es neutro;0 * 0 = 0 y 0 * 1 = 10 * 0 = 0 El inverso para 0 es 0 1 * 1 = 0 El inverso para 1 es 1De analizar la tabla, comprobar tambin que *es conmutativo( K, * ) Es Grupo Abeliano ( K, * ) Es Grupo Abelianosabiendo que * y son asociativasy es doblemente distributiva respecto de * Analizamos( K {0}, )0 10 0 01 0 1De observar la tabla del operador resulta que todos los resultados posibles son elementos del conjunto KAsociativa ; verificamos . . . por ejemplo( 0 1 ) 0 = 0 0 = 0 0 ( 1 0 ) = 0 0 = 0Existe neutro en K para pues1 0 = 0 y1 1 = 1 el neutro es el 1El inverso para 1 es 1 1 1 = 1( K,( K, ) Es Grupo Abeliano,) Es Grupo Abeliano, salvo que el 0 no es inversible salvo que el 0 no es inversible0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 1L.C.I. de en KDe analizar la tabla, comprobar tambin que es conmutativoy sabemos que es doblemente distributivo respecto de *por ejemplo . . .( K, *,( K, *, ) Es Cuerpo ) Es Cuerpo ( 0 * 1 ) 0 = 1 0 = 0 ( 0 0 ) * ( 1 0 ) = 0 * 0 = 00 ( 0 * 1 ) = 0 0 = 0 ( 0 0 ) * ( 0 1 ) = 0 * 0 = 0 Nmeros ComplejosSabemos que la solucin de la raz cuadrada de un nmero real negativo no tiene solucin en realesi 1 donde i es un nmero que llamamos imaginarioy no tiene ubicacin en la recta de los nmeros realesRecuerde siempre que si1 12 i iCon un binomio formado por una parte real y una parte imaginaria, formamos un nmero complejoz = a + biParte realParte imaginariaLo representamos grficamente en un par de ejes cartesianosLlevando en el eje de las abscisas la parte realY en el eje de las ordenadas la parte imaginariaEl punto de interseccin de la parte real con la imaginaria es un punto en el plano de los complejosPor otro lado, a cada complejo le est asociado un vector con inicio en el origen de coordenadas y extremo en el punto determinado por el par ordenado (a, b)5 59 a 9 a7 a-d 7 a-d7 b-c-e i/ii 7 b-c-e i/ii7 e iii 7 e iii 7 f i/ii 7 f i/ii 7 f iii 7 f iii9 b 9 b 9 c 9 c10 i 10 i 10 i / ii 10 i / ii Definido el complejo z = a + biExpresado en forma de binomioPodemos pasarlo a la forma de par ordenado, donde la primera componente es la parte real del complejoz = a + bi =z = a + bi =( a, ( a,Y la segunda componente es la parte imaginaria (se coloca solo el valor de b sin i-)b ) b )Siz = a + bi cuya representacin grfica esdefinimos el conjugado dezbi a z como un nmero complejo con la misma parte real que zy su componente imaginaria es la opuesta de la componente imaginaria de ztambin podemos definir el opuesto de zbi a z como un nmero complejo cuya componente real es el nmero opuesto de la componente real de zy su componente imaginaria es el nmero opuesto de la componente imaginaria de zz = a + bi z = a + bi z = a - bi z = a - bi -z = -a - bi -z = -a - bi5 5 9 95 59 a 9 a7 a-d 7 a-d7 b-c-e i/ii 7 b-c-e i/ii7 e iii 7 e iii 7 f i/ii 7 f i/ii 7 f iii 7 f iii9 b 9 b 9 c 9 c10 i 10 i 10 i / ii 10 i / ii Operaciones con nmeros complejosSi dos nmeros complejos se presentan en forma de binomio, se los puede sumar como cualquier binomiobi a z + 1di c z + 2 + + + + ) di c ( ) bi a ( z z2 1las partes reales entre s y las partes imaginarias entre s + + + + ) di bi ( ) c a ( z z2 1sacamos el imaginario i como un factor comn i ) d b ( ) c a ( + + +Si los complejos se presentan en forma de par ordenado) b , a ( z 1) d , c ( z 2Se opera de la misma manera, las partes reales entre s y las partes imaginarias entre s + + ) d , c ( ) b , a ( z z2 1) d b , c a ( z z + + +2 1Si se trata de una diferencia + + ) di c ( ) bi a ( z z2 1 + di c bi a z z2 1i ) d b ( ) c a ( + ) d , c ( ) b , a ( z z2 1) d b , c a ( 5 5 7 7 9-10 9-105 59 a 9 a7 a-d 7 a-d7 b-c-e i/ii 7 b-c-e i/ii7 e iii 7 e iii 7 f i/ii 7 f i/ii 7 f iii 7 f iii9 b 9 b 9 c 9 c10 i 10 i 10 i / ii 10 i / ii GrficamenteSeanbi a z + 1di c z + 2Para sumar grficamente los complejos1) Una vez representados grficamente los complejos z1yz2como ya hemos vistoA los efectos de limpiar el grfico borramos las lneas auxiliares2) Por el extremo de z2 trazo una recta paralela a z13) Y por el extremo de z1 trazo una recta paralela a z24) Donde se intersectan ambas paralelas se encuentra el extremo de un nuevo vector que tiene inicio en el origen de coordenadas y representa z1 + z25) El valor de abscisa que le corresponde al vector resultante es la parte real del resultado de la suma de nmeros complejos6) El valor de la ordenada que le corresponde al vector resultante es la parte imaginaria del resultado de la suma de nmeros complejosObviamente, los resultados por mtodos analticos y grficos deben coincidir siempre5 5 7 7 9-10 9-105 59 a 9 a7 a-d 7 a-d7 b-c-e i/ii 7 b-c-e i/ii7 e iii 7 e iii 7 f i/ii 7 f i/ii 7 f iii 7 f iii9 b 9 b 9 c 9 c10 i 10 i 10 i / ii 10 i / ii Producto bi a z + 1di c z + 2) di c ( ) bi a ( z z + + 2 1 Sean Se aplica propiedad distributiva como si se tratara de dos binomios cualquiera+ c a z z2 1+ di a + c bi di bi+ ac z z2 1+ adi + bci2bdi + + + ) ( bd i ) bc ad ( ac 1i ) bc ad ( ) bd ac ( z z + + 2 1El producto(bi di) se resuelve multiplicando bdi ique resulta bdi2Sacamos como factor comn el imaginario i Recuerde que i2 = - 1 ) d , c ( ) b , a ( z z2 1En forma de par ordenado . . .) bc ad ; bd ac ( + 5 5 7 7 9-10 9-105 59 a 9 a7 a-d 7 a-d7 b-c-e i/ii 7 b-c-e i/ii7 e iii 7 e iii 7 f i/ii 7 f i/ii 7 f iii 7 f iii9 b 9 b 9 c 9 c10 i 10 i 10 i / ii 10 i / ii Cocientebi a z + 1di c z + 2Sean Para resolver el cociente ++) di c () bi a (zz21Siempre se multiplica y se divide la expresin por el conjugado del denominador++) di c () di c () di c () bi a (zz21Luego se procede como en cualquier producto entre nmeros complejos, multiplicando los numeradores entre s y los denominadores entre s + 2 2 22i d cdi cdi cbdi bci adi acObserve que tenemos ahora una diferencia de cuadrados en el denominadorA esta situacin siempre llegamos porque, precisamente para eso es que hemos multiplicado y dividido la expresin por el conjugado del denominadorDe esa manera, en el denominador siempre habr un nmero real+ +2 2d ci ) bc ad ( bd acObteniendo as como resultado del cociente entre complejos, otro nmero complejoid c) bc ad (d c) bd ac (z z2 2 2 2 2 1+++ 5 5 7 7 9-10 9-105 59 a 9 a7 a-d 7 a-d7 b-c-e i/ii 7 b-c-e i/ii7 e iii 7 e iii 7 f i/ii 7 f i/ii 7 f iii 7 f iii9 b 9 b 9 c 9 c10 i 10 i 10 i / ii 10 i / ii en forma de binomioz = a + b ibi a ) b ; a ( z bi a ) b ; a ( z 5)Completar los siguientes enunciados para que resulten proposiciones verdaderas:i)En R2 = C se define la relacin de equivalencia: (a, b) = (c, d) a = c b = dEn R2 = C se define la adicin y la multiplicacin mediante (a, b) + (c, d) =(a + c; b + d) (a, b) * (c, d) =(a c - b d; a d + b c)ii) (C, +) tiene estructura de Grupo Abeliano(C, *) tiene estructura de cuasi Grupo Abeliano; puesto que (0,0) no es inversible (&)(C, +, *) tiene estructura de Cuerpoiii) Un complejo es real su parte imaginaria es 0un complejo es imaginario su parte real es 0iv) En C es:i0 =1i2 = - 1 i3 = - i i4q+r =i rv)Si z = (a, b)N complejo N complejoz ; - z; 1/z z ; - z; 1/zproducto productocociente cocientesuma-resta suma-restaoperac. grf. operac. grf.(&)cuasi Grupo Abeliano es Semi-grupo conmuitativo con elemento neutro

,_

++2 2 2 21b ab;b aaz ib abb aab abb aaz2 2 2 2 2 2 2 21++

,_

+++ +2 1z z resolvemos primero la suma) d b , c a ( ) d , c ( ) b , a ( z z + + + +2 1Y luego hallamos el conjugado de la suma ) d b , c a ( z z + +2 1 2 1z zresolvemos primero el producto) cb ad , bd ac ( ) d , c ( ) b , a ( z z + 2 1Y luego hallamos el conjugado del producto) cb ad , bd ac ( z z + 2 1En forma de binomio i ) d b ( ) c a ( ) di c ( ) bi a ( z z + + + + + + +2 1 el conjugado de la suma i ) d b ( ) c a ( z z + + +2 1En forma de binomioi ) ad bc ( ) bd ac ( ) di c ( ) bi a ( z z + + + + 2 1 el conjugado del productoi ) ad bc ( ) bd ac ( z z + 2 1producto productocociente cocienteoperac. grf. operac. grf.N complejo N complejoz ; - z; 1/z z ; - z; 1/z suma-resta suma-resta 6 a) Para resolver x2 1 = 0despejamos x0 12 xPasamos 1 al 2 miembro12 xY la potencia como raz1 t xentoncesx x11 = 1x = 1x22 = - 1 = - 1 con x con x1, 1,, x , x2 2 Z Z b) Para resolver x2 3 = 0despejamos x0 32 xPasamos 3 al 2 miembro32 xY la potencia como raz3 t xentoncesx x11 ==x x22 ==con x con x1, 1,, x , x2 2 II (irracionales) (irracionales)3 +3 c) Para resolver x2 + 1 = 0despejamos x0 12 + xPasamos 1 al 2 miembro12 xY la potencia como raz1 t xentonces x x11 = i= ix x22 = - i = - i con x con x1, 1,, x , x2 2 C Cla raz cuadrada de un nmero negativo resulta siempre un imaginario6 d 6 d d)Para resolver x2 + 3x + 3= 0aplicamos la frmula que resuelve la ecuacin de segundo gradoUna ecuacin completa de 2 grado tiene la forma02 + + c bx axy la solucinaac b bx2422 1 t En la ecuacin x2 + 3x + 3= 0a = 1 b = 3 c = 3 t 1 23 1 4 3 322 1x t 212 9 3 t 23 32 1xi x23231+ i x23232 con x con x1, 1,,x ,x2 2 C C 7 a) Dados los nmeros complejos:i 223z2 ) 3 , 5 ( z1 i 4 2 z3+ ) 2 , 2 ( z4 Por el valor real de z1 trazamos una paralela al eje de los imaginariosPor el valor imaginario de z1 trazamos una paralela al eje de los reales Donde se intersectan ambas paralelas, tenemos el extremo del vector que representa z1 y tiene inicio en el origen de coordenadasz2yz3 se representan con idntico procedimientoPara representar grficamente z4

tomamos los valores aproximados de tanto en la parte real como imaginariausamos el mismo valor real que para z4pero a la parte imaginaria le cambiamos el signo7 d) Para representar 4zi z 2 24+ 2 7 f iii 7 f iii 7 f i/ii 7 f i/ii 7 e iii 7 e iii 7 b-c-e i/ii 7 b-c-e i/iiN complejo N complejoz ; - z; 1/z z ; - z; 1/zsuma-resta suma-restaproducto productocociente cocienteoperac. grf. operac. grf. i z 2232 ) 3 , 5 ( z1 i z 4 23+ ) 2 , 2 ( z4 en forma de binomio esi z 3 51+ en forma de par ordenadoes) , ( z 2232 en forma de par ordenadoes) , ( z 4 23 en forma de binomio es i z 2 24 ) z z ( ) ii1 22 7 e) Para calcular2 1z z ) i +pasamos z1 a la forma de binomio y hallamos i z 2232+ + + + + ) i ( ) i ( z z 2233 52 1 + + + i i 2233 5agrupando reales por un lado e imaginarios por otro + + + i ) ( ) ( 2 3235 i 527 + + )] i ( ) i [( 3 5 2232resuelvo primero la diferencia de nmeros complejos + ] i i [ 3 5 2232 ) i ( 52132para multiplicar un entero por un complejo, aplicamos distributiva del entero en el complejoi ) i ( ) ( 10 13 5 22132 + + 7 b) c)7 f iii 7 f iii 7 f i/ii 7 f i/ii 7 e iii 7 e iiiN complejo N complejoz ; - z; 1/z z ; - z; 1/zsuma-resta suma-restaproducto producto cociente cocienteoperac. grf. operac. grf. + 1 3 2z z z z ) iii + + ) i ( ) i ( ) i ( 3 5 4 2 223 + + + + + i i i 3 5 4 2 223procedemos de igual manera que si hubiera sido la suma de dos complejos, eliminamos los parntesis aplicando la regla de los signos + + + + + ) i i i ( ) ( 3 4 2 5 223i 9211 +para sumar grficamente ) i ( ) i ( z z 2233 52 1+ + + +con z1 y z2

representadosbuscamos i z 2232+ por el extremo de z1 trazo una paralela a por el extremo delas paralelas se intersectan en el extremo del vector suma y su inicio est en el origen de coordenadasbuscamos conocer la componente real del vector resultante, y la componente imaginaria232 1 + z z i 5 +luego2ztrazo una paralela a z1 2z7 f iii 7 f iii 7 f i/ii 7 f i/iiN complejo N complejoz ; - z; 1/z z ; - z; 1/zsuma-resta suma-restaproducto producto cociente cocienteoperac. grf. operac. grf. Para resolver grficamente) z z (1 22 con z1 y z2

representadosbuscamos z1 prolongando z1 en sentido opuestoy trasladando con el comps el extremo de z1 sobre la lnea prolongada, con centro en el origen de coordenadasencontramosz1sumamos z2 + (-z1) como hemos vistoprolongamos la recta de accin dez2 -z1y borramos la semicircunferencia auxiliar y trasladamos con el comps el extremo de z2 - z1 sobre la lnea prolongada, con centro en el origen de coordenadas (por cambio de signo)con el comps trasladamos una vez ms sobre la recta la distancia z2 - z1 ; obteniendo 2(z2 - z1 )buscamos la componente real del vector resultante, y la componente imaginaria13 21 2 ) z z ( i 10 +N complejo N complejoz ; - z; 1/z z ; - z; 1/zsuma-resta suma-restaproducto producto cociente cociente operac. grf. operac. grf. 1 3 2z z z z + Para resolver grficamentecon z1 ;z2 yz3 representadoscomenzamos buscando el opuesto de z2 , es decir- z2luego buscamos 1z y con este resultado buscamos 1z ahora tenemos los complejos z2 ;z3y1z representados por sus respectivos vectoressolo nos queda efectuar la suma de todos ellos) z ( z ) z (1 3 2 + + lo que hacemos trasladando z3 a continuacin de z2 a continuacin del z3 que sigue a- z2 1z uniendo el extremo de la acumulacin de segmentos con el origen de coordenadas tenemos el resultado que buscamos + 1 3 2z z z211i 9 +N complejo N complejoz ; - z; 1/z z ; - z; 1/z suma-resta suma-restaproducto producto cociente cociente operac. grf. operac. grf. Para calcular z1 z2lo realizamos como si se tratara del producto de dos binomios; con la nica salvedad que debemos considerar el producto de nmeros imaginarios + ) i ( ) i ( z z 2233 52 1 + + + ) i ( i ) i ( ) i ( ) ( z z 2 3233 2 52352 1 + +262910215i i i + + + i ) ( ) (2910 6215i22923 + ( )143zz) iipodemos pensar como431zzque resolvemos como cociente de fracciones, efectuando el producto de los extremos sobre el producto de los medios4311zz1 14 3z z + ) i ( ) i ( 2 2 4 2 22 4 2 4 2 2 2 2 i i ii) z (z2 6 2 2143 (- 1)7 f iii 7 f iiiN complejo N complejoz ; - z; 1/z z ; - z; 1/zsuma-resta suma-restaproducto producto cociente cociente operac. grf. operac. grf. 21 3zz z) iii+ ) i () i ( ) i (2233 5 4 2 + ) i () i i2233 5 4 2) i (i2237 7++iiii2232232237 7

,_

+2222231422114221) i (i i i+ +24491422114221ii i+++4252724944927249i i +42527425249ii25 24 725 24 49+2 221 3zz zoperamos en el numeradorefectuamos el cociente, multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominadoroperamos en el numerador y en el denominadorrecuerde que i2 = - 1fraccin de fraccin: es igual al producto de los extremos sobre el producto de los mediosi25142598 +N complejo N complejoz ; - z; 1/z z ; - z; 1/zsuma-resta suma-restaproducto producto cociente cocienteoperac. grf. operac. grf. 8)Si 1 x 2 x ) x ( f2+ x x ) x ( g2 + ) i 1 ( g) i 2 ( f+++ + ++ + +) i ( ) i () i ( ) i (1 11 2 2 222entonces(2+i) toma el lugar de x en f(x)) i 1 ( g) i 2 ( f+++ + + ++ + + +) 1 ( ) 2 1 (1 ) 2 4 ( ) 4 4 (22i i ii i i+ + + ++ + +i i ii i i1 2 11 2 4 4 422+ + ++ i ii1 1 2 11 1 2para calcularf(x) = (2+i)2 -2 (2 + i) + 1(1+i) toma el lugar de x en g(x)g(x) = (1+i)2 +(1 + i)operando resulta . . .recuerde i2 = - 1recuerde( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 iii51533 12 + 9) a)Para hallar z tal que: i z z 5 3 3 + +Si bi a z bi a z + entonces . . . i z z 5 3 3 + + puede escribirsei ) bi a ( ) bi a ( 5 3 3 + + +resolvemos i bi a bi a 5 3 3 3 + + + Agrupamos reales e imaginarios en el 1 miembroi i ) b b ( ) a a ( 5 3 3 3 + + +i bi a 5 3 2 4 + +Para que se verifique la igualdad, deben ser idnticas las partes reales e imaginarias del primero y segundo miembro5 2 3 4 b a2543 b ai z2543 + tengamos presente que no podremos resolver esta ecuacin despejando z que resulta ser . . . entonces . . .9 c 9 c 9 b 9 bN complejo N complejoz ; - z; 1/z z ; - z; 1/zsuma-resta suma-restaproducto productocociente cocienteoperac. grf. operac. grf. 9 b) Para hallar z tal que: i z z i 6 2 Si bi a z bi a z + entonces . . . puede escribirsei ) bi a ( ) bi a ( i 6 2 +resolvemos i bi a bi ai 6 2 22 + +Agrupamos reales e imaginarios en el 1 miembroi bi a ) ( b ai 6 2 2 1 + +i i ) b a ( ) b a ( 6 2 2 + + 6 2 0 2 + b a b aPara que se verifique la igualdad, deben ser idnticas las partes reales e imaginarias del primero y segundo miembroi z z i 6 2 teniendo presente que12 iPodemos componer un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas' + 6 20 2b ab aque resolvemos por sustitucin(1)(2)de (1)a b 2 reemplazando (1) en (2)6 2 2 + ) a ( a6 3 aentonces36 a2 areemplazando a = 2 en (1)0 2 2 b entonces 4 b9 c 9 cN complejo N complejoz ; - z; 1/z z ; - z; 1/zsuma-resta suma-restaproducto productocociente cocienteoperac. grf. operac. grf. 9 c) Para hallar z tal que:i z i z 5 3 + +Si bi a z bi a z + entonces . . . puede escribirsei ) bi a ( i ) bi a ( 5 3 + + +resolvemos i bi ai bi a 5 32+ + +agrupamos reales e imaginarios en el 1 miembroi i ) b a ( ) b a ( 5 3 + + + +5 3 + + b a b ai z i z 5 3 + +tenga presente que12 iPodemos componer un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas' + +53b ab aPara que se verifique la igualdad, deben ser idnticas las partes reales e imaginarias del primero y segundo miembroi ) ( b ai bi a 5 3 1 + + +i b ai bi a 5 3 + + + +intuimos que este sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas no tiene solucin, porque la suma de dos nmeros cualesquiera, no pueden tener resultados diferentesN complejo N complejoz ; - z; 1/z z ; - z; 1/zsuma-resta suma-restaproducto productocociente cocienteoperac. grf. operac. grf. 10 i)la ecuacini z ) i ( 7 3 2 5 +puede resolverse despejando zas :iiz2 57 3+resolvemos como cociente de nmeros complejosmultiplicamos y dividimosla expresin +iiz2 57 3aplicando propiedad distributiva en el numerador y diferencia de cuadrados en el denominador+ 2 222 514 35 6 15) i (i i itambin podra haberse aplicado distributiva en el denominador y hubiramos tenido el mismo resultado + 24 251 14 35 6 15i) ( i ioperamos sabiendo que i2 = -1ii29412912941 1 + + )i)( i ( ) i )( i (2941 12 529412912 5 + 2982 2 205 52i i i29203298729203 87 i i i 7 3 3 7verificamos . . .+iiii2 52 52 57 3por el conjugado del denominador10 ii/iii 10 ii/iiiN complejo N complejoz ; - z; 1/z z ; - z; 1/zsuma-resta suma-restaproducto productocociente cocienteoperac. grf. operac. grf. ) , () , (z) ii 5 34 3 puede resolverse despejando z, porque en ella no aparece zas : ) , ( ) , ( z 4 3 5 3 + ) ) ( ); ( ( z 3 5 12 20 9 ) , ( 3 29 iii zzz3 623 2 +iii) resolverno debe ser muy diferente de lo realizado hasta ahoraiii z3 623 21 + 1 3 623 2+ iii zPasamos 1 al 2 miembroy resolvemos el segundo miembro antes de pasar multiplicando el denominador del primer trminoiii z3 723 2 ) i )( i ( i z 2 3 7 3 2resolvemos nuevamente el 2 miembro + 23 6 7 14 3 2 i i i i zy ahora despejamos zi i z 3 13 11 2 + i z 10 11 2 i z 5211 i 13 11 i i z 13 11 3 2 N complejo N complejoz ; - z; 1/z z ; - z; 1/zsuma-resta suma-restaproducto productocociente cocienteoperac. grf. operac. grf. 11) a)Si el producto (3 - 6 i) (4 + x i)debe ser un nmero realLa parte imaginaria del resultado del producto (3 - 6 i) (4 + x i) debe ser igual a 0 + + ) xi i xi ( ) xi ( ) i (26 24 3 12 4 6 3 + )) ( x i xi ( 1 6 24 3 12as, agrupando reales por un lado e imaginarios por otro, tendremos . . . + + ) i xi ( ) x ( 24 3 6 12 + + i ) x ( ) x ( 24 3 6 12se distingue en la expresin claramente una parte realy una parte imaginariaSi la parte imaginaria debe ser 0, tendremos . . .0 24 3 xentonces . . .324 x 8 8Si el resultado del producto (3 - 6 i) (4 + x i) debe ser un imaginario purola parte real debe ser 0, tendremos . . .0 6 12 + ) x (612 x 2 entonces . . .2 Algebra de BooleDecimos ( B, * )es Algebra de Boole sipara un conjunto B y dos operaciones * y1)* y son dos leyes de composicin interna en B 2)* y son operaciones conmutativas3)* y son operaciones asociativas en B4)* y son operaciones distributivas cada una respecto de la otra5) Existen elementos neutros en B respecto de* y que se denotan como 0 y 16)Todo elementoa B admite un complementario a, tal que : a * a = 1ya a = 0Tenga muy presente que 0y1en Algebra de Boole son simples denominaciones del neutro respecto de * (0)y respecto de (1) ( no guardan ninguna relacin con los valores que representan normalmente)12 12 13 1312 12 13 13 12) SiB = { 1, 2, 3, 6 } con las operaciones *ydonde * denota mnimo comn mltiplo y denota mximo comn divisorconfeccionamos las tablas respectivas para cada una de las operaciones* 1 2 3 61236m.c.m.12 3622663 6 366 6 661 2 3 6123611 1 112 1211 33123 6m.c.d.Todos los resultados de cualquiera de las dos tabla son elementos del conjunto BEntonces *yson leyes de composicin interna en B*yson conmutativas porque definen relaciones conmutativasm.c.m. de ay b = m.c.m. de by a m.c.d. de ay b = m.c.d. de by a * 1 2 3 61 1 2 3 62 2 2 6 63 3 6 3 66 6 6 6 61 2 3 61 1 1 1 12 1 2 1 23 1 1 3 36 1 2 3 6m.c.m. m.c.d.Ejemplos donde se verifica la asociatividad de *y de ( 2 * 3 ) * 6 = 6 * 6 = 6 ( 6 2 ) 1 = 2 1 = 12 * ( 3 * 6 ) = 2 * 6 = 6 6 ( 2 1 ) = 6 1 = 1Ejemplos donde se verifica la distributividad de respecto de * y viceversa( 2 * 3 ) 1 = 6 1 = 1se verifica con ( 2 1 ) * ( 3 1 ) = 1 * 1 = 1 ( 2 3 ) * 1 = 1 * 1 = 1se verifica con ( 2 * 1 ) ( 3 * 1 ) = 2 * 3 = 1 * 1 2 3 61 1 2 3 62 2 2 6 63 3 6 3 66 6 6 6 61 2 3 61 1 1 1 12 1 2 1 23 1 1 3 36 1 2 3 6m.c.m. m.c.d.Analizamos la existencia de neutro en B para los operadores *y Si existe neutro en B para el operador * ser un elementoetal quex * e = xpara cualquier x Besto se verifica para e = 1Decimos entonces que el cero para la operacin * es el elemento 1 del conjunto BSi existe neutro en B para el operador ser un elementoetal quex e = xpara cualquier x Besto se verifica para e = 6Decimos entonces que el uno para la operacin es el elemento 6 * 1 2 3 61 1 2 3 62 2 2 6 63 3 6 3 66 6 6 6 61 2 3 61 1 1 1 12 1 2 1 23 1 1 3 36 1 2 3 6m.c.m. m.c.d.Nos queda analizar la existencia de complementario para * ySi existe complementario para * debe verificarse que a B, a B : a * a= 1 el 1 de es el elemento 6 del conjunto B, verificamos 1 * 6 = 66 B ok2 * 3 = 66 B ok3 * 2 = 66 B ok6 * 1 = 66 B okrespecto de *el complemento de a = 1es a = 6a = 2es a = 3a = 3es a = 2a = 6es a = 1Para todo elementoa que pertenece al conjunto B existe un elemento aque tambin pertenece al conjunto B que verifica la condicin a * a= 1 donde 1 es el neutro de * 1 2 3 61 1 2 3 62 2 2 6 63 3 6 3 66 6 6 6 61 2 3 61 1 1 1 12 1 2 1 23 1 1 3 36 1 2 3 6m.c.m. m.c.d.Finalmente analizamos la existencia de complementario paraSi existe complementario para debe verificarse que a B, a B : a a= 0si el 0 de * es el elemento 1del conjunto B, verificamos 1 6 = 16 B ok2 3 = 13 B ok3 2 = 12 B ok6 1 = 11 B okrespecto de el complemento de a = 1es a = 6a = 2es a = 3a = 3es a = 2a = 6es a = 1(B,*,(B,*, ) )Es Algebra de Boole Es Algebra de Boole 13) Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son equivalentes:1) a b = 02) a * b = b 3) a * b = 1 4) a b = a a * b = (a * b) 1 porque 1 es neutro para b * b= 1(a * b) 1 = (a * b) (b * b) por propiedad distributiva extraemos b(a * b) (b * b) = b * (a b)suponiendo vlida la primera condicin a b = 0 b * (a b) = b * 0 = b por ser 0 el neutro de *queda probado que a * b = b a * b = bSi a * b = a * ( a * b)dando por vlido lo que acabamos de probara * ( a * b) = ( a * a ) * b por asociatividad, que debe cumplir un Algebra de Boole( a * a ) * b = 1 * b por complementarioa * a= 1 1 * b = ( 1 * b ) 1 por ser 1 neutro para ( 1 * b ) ( b * b ) = ( 1 b ) * b=b * b = 1luegoa* b = 1 a* b = 1probamos (2)a partir de (1)entonces:Probamos ahora (3)a partir de (2)entonces: Probamos ahora (4) a b = a a partir de (3)a*b = 1entonces:porque 0 es neutro para *a b = (a b) * 0(a b) * 0 = (a b) * (a a) porque a a = 0por ser distrubutivo en *(a b) * (a a) = a (b*a) a (b * a) = a 1porque qued probado (3) a*b = 1 con * conmutativoqueda probado que aa b = a b = aProbamos ahora (1)a b a partir de (4)a b = acerrando la cadena, entonces:a b = (a b) bpor asociatividadpor ser 0 el neutro de *suponiendo vlido lo que acabamos de probar a b = a (a b) b = a ( b b ) por complementariob b= 0a ( b b ) = a 0a 0 = ( a 0 ) * 0( a 0 ) * 0 = ( a 0 ) * (a a) = a (0 * a)0 * a = apor ser 0 neutro para * a (0 * a) = a a = 0luego aa b = 0 b = 0a 1 = a porque 1 es neutro para 14) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Proposicionesestablecemos las siguientes equivalencias: * equivale a equivale a0 equivale aF1equivale a V aequivale a p1) a b = 0ser p q F4) a b = a ser p q p2) a * b = bser p q q3) a * b = 1 ser p q V Le queda a Ud comprobar que cualquiera de ellas se cumple suponiendo verdadera alguna otra, aplicando los contenidos del tema 1 (lgica de proposiciones)15) a)Probamos que (a * b) (a * b) = aa * (b b) =Aplicando distributivab) Probamos que (a b) * (a b) = aa (b * b) =Aplicando distributivay sabiendo que 0 es neutro de *; por tanto b b = 0a * 0 = ay sabiendo que 1 es neutro de *; por tanto b * b = 1a 1 = aObservamos adems que esto es vlido por el principio de dualidad, dado que ste caso es el dual del punto a) 16) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntosestablecemos las siguientes equivalencias: * equivale a equivale a0 equivale a1equivale a Uaequivale a A= A(a * b) (a * b) = a(a b) * (a b) = aequivale a (A B) (A B) = A ( B B ) = A = Aequivale a (A B) (A B) =A ( B B ) = A U= AEs posible que algo haya quedado sin entenderse, te sugiero que vuelvas a repasar, que resuelvas los ejercicios complementarios y otros de los que dispongaspero JAMAS TE DESANIMES, no dejes que los fantasmas te persigan . . .Las cosas que acabarn con la raza humana son: la poltica sin principios, el progreso sin compasin, la riqueza sin esfuerzo, la erudiccin sin silencio, la religin sin riesgo y el culto sin conciencia(Annimo)