Estructuras Algebraicas - E. Pérez

Estructuras Algebraicas

Edgar Perez OrdonezProfesor Honorario

Departamento de MatematicasUniversidad Pedagogica Nacional

2 de junio de 2008

ii

Edgar Perez OrdonezDepartamento de MatematicasUniversidad Pedagogica NacionalBogota, D.C.Colombiaemail: [email protected]

Diagramacion en LATEX realizada por el autor.

Indice general

Prologo VII

Nota importante IX

I Teora de Grupos 1

1. La estructura de Grupo 31.1. Operaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Grupos importantes 232.1. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2. Simetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3. Subgrupos y Teorema de Lagrange 433.1. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

iv Indice general

3.2. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4. Homomorfismos 574.1. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2. Teorema de Correspondencia . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5. Grupos cociente 715.1. El grupo Zm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2. El grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3. Teoremas de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.4. Producto directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6. Accion de un grupo sobre un conjunto 916.0.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

II Teora de Campos 105

7. Anillos conmutativos 1077.1. La estructura de anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.2. Ejemplos y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . 109

7.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8. Campos 1198.1. Campo de fracciones de un dominio . . . . . . . . . . . . 120

8.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9. Anillos de Polinomios 1259.1. El anillo de series formales de potencias . . . . . . . . . . 1259.2. El anillo de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

10.Homomorfismos 13310.0.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

11.Aritmetica en k[x] 14111.1. Factorizacion unica en k[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

11.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15411.2. Anillos euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

v11.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

12.Anillos cociente 161

13.Ideales maximales e ideales primos 16713.1. Ideales maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

13.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17013.2. Ideales primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

13.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

14.Extensiones de un campo 17514.0.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

III Introduccion a la Teora de Galois 185

15.Introduccion 187

16.Formulas clasicas 116.1. Ecuacion de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.2. Ecuacion de tercer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.3. Ecuacion de cuarto grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.4. Formula de Vie`te para la cubica . . . . . . . . . . . . . . 10

16.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

17.Races de polinomios 1717.1. La existencia de races . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

17.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2317.2. El Teorema Fundamental del Algebra . . . . . . . . . . . 24

18.Campos extension 2718.1. Elementos de un campo extension . . . . . . . . . . . . . 2718.2. Polinomio minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2818.3. Proceso de adjuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

18.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3418.4. Polinomios irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3518.5. Algoritmos para factorizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3618.6. Criterio de Schonemann-Eisenstein . . . . . . . . . . . . . 39

18.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4118.7. Usando Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4218.8. El grado de una extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

18.8.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

vi Indice general

18.9. Extensiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4918.9.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

19.Extensiones normales y separables 5319.1. Campos de ruptura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

19.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5819.2. Extensiones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5919.3. Extensiones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

20.El grupo de Galois 6320.0.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

21.Solubilidad por radicales 7321.1. Formulas clasicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

21.1.1. Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7521.1.2. Cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7521.1.3. Cuartica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

21.2. Traduccion a la teora de grupos . . . . . . . . . . . . . . 77

22.El teorema fundamental de la teora de Galois 8522.1. Extensiones de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

22.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8922.2. Subgrupos normales y extensiones normales . . . . . . . . 89

22.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9522.3. El teorema fundamental de la teora de Galois . . . . . . . 95

Prologo

Las asignaturas Teora de Grupos, Teora de Campos y una introcuc-cion a la Teora de Galois se presentan con la intencion de introducir alos alumnos del programa de Licenciatura en Matematicas en los temasfundamentales del algebra abstracta, con el objetivo que desde un pun-to de vista mas avanzado se reflexione sobre los procedimientos que soncimiento del pensamiento algebraico.

Si observamos que hacer algebra es esencialmente calcular, es decir,hacer operaciones con elementos de un conjunto bien determinado, nosdamos cuenta que desde muy temprana edad los alumnos de los cursosde matematica estudian inmersos en una estructura algebraica y que elconcepto operacion es el que le da fundamento al pensamiento algebraico.Con esta idea, en estos cursos se busca explicar y analizar conceptos quepermitan introducir a los alumnos en el algebra desde muy tempranaedad.

En la primera parte se estudian los fundamentos de la teora de gru-pos con algun enfasis en el trabajo con grupos finitos ya que con ellosse pueden preparar actividades apropiadas para presentar el algebra encualquier nivel, especialmente en los elementales. No se pretende reco-rrer toda la teora, ni tampoco examinar en detalle algun aspecto de ella.Nuestro objetivo ha sido dar los conceptos fundamentales de la teoraque seran base para lecturas posteriores. Es conveniente decir que la in-vestigacion en esta rama de la matematica es extensa y vigorosa. Variosproblemas clasicos de la teora permanecen abiertos y en algunas direc-ciones la investigacion apenas comienza.

En la segunda parte se presentan las estructuras algebraicas de ani-llo y campo, con una seleccion de temas que fundamentan el estudio deotros de los aspectos cruciales del algebra como son los de factorizaciony teora de ecuaciones, temas que requieren analisis para que se presen-

viii Prologo

ten adecuadamente en los niveles medio y elemental de la enseanza delalgebra.

Culminamos nuestro estudio con una introduccin a una de la teorasmas bellas e importantes del algebra, como es la Teora de Galois.

La experiencia nos muestra que la unica forma de aprender Matemati-ca es hacer Matematica, es decir, que no basta simplemente leer, or, oentender una clase; es necesario ser constructor, creador: planteando,analizando y resolviendo problemas; en otras palabras, tomar el papel yel lapiz para poder discutir y darse conjeturas es labor permanente delmatematico. Este es entonces el criterio con que se ha escrito este libro, ypor esto nuestro proposito es que la mayor parte del trabajo que implica,sea realizada por los alumnos (individualmente o en grupo), medianteprevia exposicion del profesor, despues de la cual este tendra un papel degua que interviene aclarando las eventuales dificultades que se puedanpresentar a los alumnos.

EPOBogota, D.C.

Nota importante

Este escrito son notas de clase de circulacion restringida a los estu-diantes del Departamento de Matematicas de la Universidad PedagogicaNacional que cursan la asignatura Topicos en Algebra en el primersemestre de 2008.

EPO

x Nota importante

Parte I

Teora de Grupos

CAPITULO 1

La estructura de Grupo

La teora de grupos aparece, en el desarrollo de la Matematica, princi-palmente en tres areas: en geometra a comienzos del siglo XIX, en teorade numeros a final del siglo XVIII y en la teora de ecuaciones algebraicasa final del siglo XVIII comenzando con el estudio de las permutaciones.

En geometra se utilizo para clasificar las geometras usando el hechode que una geometra en particular estudia propiedades invariantes bajoun grupo particular. La geometra sintetica hace parte del estudio degrupos de transformaciones. (Monge, Carnot, Poncelet, Lambert, Gauss,Lobachevsky, Bolyai, Mobius, Steiner)

Utilizando la teora de grupos se logro el estudio y desarrollo de temasclasicos de aritmetica, a partir del analisis de la aritmetica modular.Muchos aspectos de la teora se fundamentan en estos trabajos. (Gauss,Euler, Schering)

Generalizaciones a la formula cuadratica para encontrar las races depolinomios de grados tres y cuatro se logro al rededor del ano 1500. Du-rante tres siglos se trato de encontrar formulas analogas para las racesde polinomios de mayor grado pero, en 1824, N.H. Abel (1802-1829) de-mostro que no existen formulas que den las races de polinomios de gradomayor que cinco. En 1831, E. Galois (1811-1832) completo la solucion alproblema encontrando exactamente que polinomios, de grado arbitrario,admiten una formula para sus races. La idea fundamental en esta investi-gacion es la de grupo. Galois fue el primero en aproximarse a la definicionde grupo que hoy utilizamos.

4 La estructura de Grupo

1.1 Operaciones binarias

Hacer algebra es esencialmente calcular, es decir, efectuar opera-ciones con los elementos de un conjunto bien determinado. Los procesosalgebraicos se caracterizan por los calculos que en ellos intervienen,es decir por las operaciones algebraicas efectuadas sobre los elementosde un conjunto bien conocido. Efectuar una operacion algebraica sobredos elementos a, b de un conjunto E, es hacer corresponder a la parejaordenada (a, b) un tercer elemento bien determinado c, del conjunto E;si usamos el concepto de funcion, la afirmacion anterior se puede enun-ciar en forma precisa, como lo haremos en la definicion que sigue. Losejemplos mas comunes de operaciones binarias, son las operaciones quese utilizan cuando estudiamos aritmetica.

Definicion 1.1. Se llama operacion binaria (o simplemente opera-cion) entre los elementos de un conjunto E a toda funcion f de E Een E.

f : E E ESi ponemos de presente la definicion de funcion, podemos, para el

caso de una operacion binaria f entre elementos de un conjunto E, hacerlas siguientes observaciones:

1. Para todo (x, y) EE existe un elemento z E, tal que f(x, y) =z. Lo anterior corresponde al hecho de que el dominio de la funcionf es el conjunto EE, lo que podemos interpretar cuando se afirma:a todo par de elementos de E le podemos aplicar la operacion f yobtener un elemento de E.

2. Si (x, y) EE, existe un unico elemento c E, tal que f(x, y) =c. En este caso hacemos enfasis en la unicidad de la imagen querequiere la funcion f y esto significa: el resultado de aplicar la ope-racion f a cualquier par de elementos de E es unico.

Por razones de facilidad en los calculos se conviene en aceptar unanotacion especial para las operaciones sobre E. Si (x, y) E E, alelemento f(x, y) de E lo denotamos xfy, es decir:

z = f(x, y) se escribe z = xfy

y as, para representar el resultado de aplicar la operacion f al par (x, y)colocamos entre los elementos x y y el smbolo f , con el que designamosla operacion.

Operaciones binarias 5

Si ahora consideramos la observacion 2, podemos afirmar que si (x, y) =(x, y), entonces f(x, y) = f(x, y), lo que al trasladarse a la notacion an-terior nos dice que para todo x E,

Si y = y, entonces xfy = xfy

y con esto podemos observar que el caracter unico del resultado de aplicarla operacion f a un par de elementos de E nos permite dar como valida laimplicacion anterior, donde una igualdad entre elementos de E permanecesi se opera a los dos lados y a la izquierda (o a la derecha) con un mismoelemento de E. Esta situacion es de uso muy frecuente en los calculosalgebraicos y por esto se hace indispensable hacerla explcita.

Con un argumento similar, se puede ver que la implicacion

Si x = x y y = y, entonces x y = x y

que se llama ley de sustitucion.Es frecuente encontrar que la propiedad que se indica en la implicacion

anterior se considere como una propiedad de la igualdad y se afirmaque si en una igualdad se hace lo mismo a los dos lados, la igualdadpermanece. Lo que ocurre es que no siempre lo que se hace a los doslados es una operacion bien definida en el conjunto donde se planteala igualdad. La implicacion es una consecuencia del caracter unico delresultado de aplicar una operacion a un par de elementos del conjuntosobre el que esta definida la operacion.

Hasta ahora se ha utilizado la letra f para nombrar una operacion,solo para recordar que una operacion es una funcion. Los smbolos em-pleados con mas frecuencia para denotar operaciones son + y . A unaoperacion denotada con + le decimos aditiva (o de adicion) y a a+ b lasuma de a y b; a una operacion notada con le decimos multiplicativa (ode multiplicacion) y a a b el producto de a y b. (Cuando no hay lugara confusion, es frecuente que el producto de a y b, se escriba sin utili-zar el punto: ab). Para una operacion multiplicativa tambien se utilizael smbolo . Sin embargo, en lo que resta de este captulo, usaremosel smbolo (asterisco) para denotar una operacion arbitraria definidasobre un conjunto E.

Cuando el conjunto E sobre el que esta definida una operacion esfinito, podemos construir una tabla para la operacion (que por abuso dellenguaje decimos que es una tabla de multiplicacion para la operacion)de acuerdo al esquema que se muestra en el cuadro 1.1.

En la primera columna de la tabla se escriben los elementos del con-junto y en el mismo orden se escriben en la primera fila. Como se muestra


y x x y

Cuadro 1.1: Tabla para una operacion

en la tabla anterior; el resultado de aplicar la operacion al par (x, y) seescribe en la casilla que se forma por la interseccion de la fila que con-tiene x y la columna que contiene a y. Dado que el resultado de aplicaruna operacion a un par ordenado de elementos es unico, no se permiteescribir mas de un elemento en cada casilla de la tabla. En la casilla delextremo superior izquierdo se escribe el smbolo con el que se nombra laoperacion.

1.1.1 Ejercicios

1. Que estudiamos cuando se hace un curso de aritmetica?, Que sepuede decir de la frase las cuatro operaciones entre numeros ente-ros positivos?

2. En teora de conjuntos se nombran como operaciones entre conjun-tos: la union, la interseccion, el complemento, la diferencia simetri-ca, la composicion de funciones; discuta estas operaciones en elcontexto de la definicion de operacion binaria.

3. Cuales de las siguientes expresiones para f , definen una operacionbinaria sobre el conjunto que se indica? Observe que para definirestas funciones utilizamos las operaciones que conocemos en lossistemas numericos.

a) f(a, b) = ab sobre Z

b) f(a, b) = ab sobre Q

c) f(a, b) = ab sobre Q+

d) f(a, b) = a+ b+ 5 sobre Z

e) f(a, b) = a+ sen b sobre R

4. Si E es un conjunto de tres elementos, cuantas operaciones sepueden definir sobre E?


5. Si E es un conjunto finito con n elementos, cuantas operacionesse pueden definir sobre E?

La palabra binaria que usamos para nombrar las operaciones se usadebido al hecho de que la operacion es una funcion en dos variables. Cuan-do se requiere aplicar una operacion binaria definida sobre un conjuntoE a tres elementos a, b y c del conjunto E, se hace necesario hacer elcalculo en dos pasos, calcular primero a b y luego operar este elementocon c, lo que se puede indicar utilizando algun smbolo de agrupacion,por ejemplo el parentesis, para escribir (a b) c. Claramente el calculose puede hacer de otra forma: a (b c). En general, no podemos afirmarque el resultado obtenido en estos dos procesos de calculo sea el mismo;cuando en una operacion siempre se obtiene el mismo resultado, se diceque esta operacion es asociativa o cumple la propiedad asociativa.

Definicion 1.2. Una operacion definida sobre un conjunto E se diceque es asociativa si para todo x, y, z E, se cumple que

x y z = (x y) z = x (y z)Gracias a la propiedad asociativa el elemento a (b c) se puede

escribir en forma mas simple: a b c; por la misma razon el elementoa1 a2, an (en su orden) queda determinado de manera unica.

1.1.2 Ejercicios

1. Cuales de las siguientes expresiones definen operaciones asociati-vas sobre el conjunto que se indica?

a) a b = ab sobre Rb) a b = a+ b+ b2 sobre Zc) a b = a+ b+ ab sobre Zd) a b = |a|b sobre Re) a b = b sobre Zf ) a b = 0 sobre Qg) a b = b sobre Qh) a b = a+ b 1 sobre Q

2. Mostrar, paso a paso, que (a (b c)) d) = (a b) (c d), donde representa una operacion asociativa sobre un conjunto E y a, b, c E.


En general, una operacion binaria transforma las parejas (x, y) y(y, x) en elementos que pueden ser diferentes, pero si este no es el caso,tenemos operaciones conmutativas.

Definicion 1.3. Una operacion definida sobre un conjunto E se diceconmutativa si para todo x, y E, se cumple que:

x y = y x

1.1.3 Ejercicios

1. Que operaciones no conmutativas ha utilizado?

2. Defina una operacion no conmutativa sobre el conjunto Z de nume-ros enteros.

3. Cuales de las operaciones definidas en la seccion 1.1.2 son conmu-tativas?

4. De las operaciones que se pueden definir sobre un conjunto con nelementos, Cuantas son conmutativas?

Si tenemos una operacion definida sobre un conjunto E, frecuente-mente se encuentran en E elementos que tienen un comportamiento es-pecial respecto a la operacion, es el caso del que llamaremos elementoneutro, que al operar con el cualquier elemento de E nos da el mismoelemento.

Definicion 1.4. Para una operacion entre elementos de un conjuntoE, un elemento e de E se dice elemento neutro (o identico) para laoperacion, si para todo x E, se cumple que:

e x = x e = xEl uso frecuente de la letra e para denotar el elemento neutro para

una operacion se origina en el termino en aleman einheit (unidad). Seobserva que el elemento neutro para una operacion es un elemento delconjunto que tiene un comportamiento especial respecto a la operacion.Con esto podemos decir que la existencia de elemento neutro para unaoperacion es mas una condicion del conjunto que una propiedad de laoperacion.

Proposicion 1.1. Existe a lo mas un elemento neutro para una opera-cion definida sobre E.


Demostracion. En efecto, si e y e son elementos neutros para , se tieneque

x e = x, e x = x, para todo x E (1.1)x e = x, e x = x, para todo x E (1.2)

y as, por la primera igualdad de 1.1, e e = e y por la segunda igualdadde 1.2, e e = e, con lo cual e = e, ya que el resultado obtenido alaplicar una operacion a un par de elementos es unico.

De la proposicion anterior (1.1) observamos que el elemento neutropara una operacion es unico por el solo hecho de existir. De otra parte,en la demostracion se observa la necesidad de definir el elemento neutrocomo un elemento que conmute con todo elemento de E.

En algunos casos se hace conveniente especificar claramente el ele-mento neutro, se describe entonces la estructura algebraica como unaterna: (E, , e).

1.1.4 Ejercicios

1. Discuta la frase propiedad modulativa de una operacion.

2. De ejemplos de el elemento neutro para operaciones que ha utilizadoen sus estudios de matematica.

3. Cuales de las operaciones definidas en la seccion 1.1.2, tienen ele-mento neutro?

4. De las operaciones binarias que se pueden definir sobre un conjuntofinito E con n elementos, Cuantas tienen elemento neutro?

5. Sea una operacion binaria sobre un conjunto E. Mostrar que sien E hay elemento neutro para la operacion y la igualdad

(a b) (c d) = (a c) (b d)se cumple para toda eleccion de a, b, c y d en E, entonces la ope-racion es asociativa y conmutativa.

6. Sea una operacion binaria asociativa sobre un conjunto E. Unelemento i E es elemento neutro a izquierda para si i x = xpara todo x E. Similarmente d E es elemento neutro a derechasi x d = x para todo x E. Mostrar que si en E hay un elementoi, neutro a izquierda y un elemento d, neutro a derecha, entoncesi = d es elemento neutro e en E.


Cuando se tiene una operacion definida sobre un conjunto que tieneun elemento neutro para la operacion, pueden existir elementos en elconjunto que se comportan de una forma especial respecto al elementoneutro.

Definicion 1.5. Para una operacion definida sobre E que admite unelemento neutro e, se dice que un elemento x de E, es inverso de x Erespecto a la operacion si se cumple la igualdad:

x x = x x = e

Un elemento x E se dice invertible respecto a la operacion , siexiste en E un inverso para x.

Cuando se quiere ver que un elemento es invertible respecto a unaoperacion se requiere buscar en el conjunto de definicion de la operacionun elemento especial que se relaciona con el elemento dado mediante lasigualdades previstas. Esto indica como interviene el conjunto de defini-cion de la operacion en la existencia de inversos.

Proposicion 1.2. Para una operacion asociativa sobre E, todo ele-mento invertible admite un unico inverso.

Demostracion. Si x y x son inversos de x, entonces se cumple que:

x x = e, x x = e (1.3)

x x = e, x x = e (1.4)con lo cual

x = x e Definicion de e= x (x x) Primera igualdad de 1.4= (x x) x Asociativa= e x Segunda igualdad de 1.3= x Definicion de e

Se ha demostrado la unicidad del inverso de un elemento, cuando talinverso existe.

Se observa que la unicidad del inverso de un elemento esta condicio-nada a la existencia de elemento neutro y a la propiedad asociativa de laoperacion .

Grupos 11

1.1.5 Ejercicios

1. Dar un ejemplo de una operacion no asociativa, con elemento neutroy donde un elemento tiene mas de un inverso.

1.2 Grupos

En este captulo y en lo que resta del texto, nos dedicamos a estudiarestructuras algebraicas determinadas por una o dos operaciones binariasdefinidas sobre un conjunto no vaco. Nuestro estudio se concreta en elanalisis de las caractersticas que se deducen logicamente de los axiomasque se dan a la estructura; esto, de una parte permite describir con cla-ridad la estructura y de otra, nos muestra el poder de unificacion que lamatematica tiene con el estudio axiomatico de una teora.

Comenzamos con la estructura algebraica dada sobre un conjunto, novaco, por una operacion binaria definida sobre el: la estructura de grupo.La teora de grupos es uno de los temas mas estudiados y ampliamentedesarrollados de la matematica. En este texto se presentaran los resulta-dos que nos dan una vision panoramica de la teora, que nos muestran sualcance y nos indican como influye en las aplicaciones de la matematica.Este estudio parte de la definicion de la estructura y el analisis de algu-nos ejemplos que aparecen frecuentemente en la matematica que se haestudiado hasta el momento.

Definicion 1.6. Sobre un conjunto no vaco G una operacion binariadefinida sobre G determina una estructura de grupo si:

1. Es asociativa;

2. Existe en G elemento neutro;

3. Todo elemento de G admite un inverso para esta operacion.

Si usamos el smbolo para representar la operacion que determinasobre un conjunto G la estructura de grupo, diremos que el par (G, ) esun grupo o que G es un grupo para la operacion . Cuando la operacionesta claramente determinada podemos afirmar simplemente que G esun grupo. Tambien se utiliza el termino semigrupo para nombrar laestructura algebraica determinada por una operacion que unicamente esasociativa.

Un grupo (G, ) es un grupo finito si el conjunto G es un conjuntofinito. Al numero de el elementos de un grupo finito lo llamamos ordendel grupo y se denota con |G|.


Es conveniente observar que la conmutatividad de la operacion no serequiere en la definicion la estructura de grupo.

Definicion 1.7. Un grupo (G, ) donde la operacion es conmutativase llama grupo abeliano o conmutativo.

El nombre abeliano se ha tomado en honor a Niels Henrik Abel (1802-1829), un brillante matematico noruego. Abel en 1824 mostro la imposi-bilidad de resolver, en general, la ecuacion de quinto grado en terminosde radicales. En sus investigaciones sobre la solucion de ecuaciones enterminos de radicales considero ecuaciones a las que les pudo asociar ungrupo conmutativo de permutaciones sobre las races de la ecuacion. Abelmurio de pobreza y tuberculosis cuando apenas cumpla 27 anos.

Ejemplo 1.1. En el curso de teora de conjuntos se estudia el conjuntode todas las biyecciones de un conjunto X en el mismo, denotado porSX , y se demuestra que cumple las siguientes propiedades:

1. Si f, g SX , entonces f g SX ;2. h (g f) = (h g) f para todo f, g, h SX ;3. La funcion identica iX esta en SX y es tal que iX f = f = f iX

para todo f SX ;4. Para todo f SX , existe g SX con g f = iX = f g.

De lo anterior podemos concluir que, por (1), la composicion de fun-ciones es una operacion sobre SX , por (2), la operacion es asociativa, por(3), iX esta en SX y es el elemento neutro para la operacion y por (4)todo elemento de SX tiene inverso en SX . Es decir, el par (SX , ) es ungrupo, no abeliano.

Ejemplo 1.2. El conjunto Z de numeros enteros es un grupo aditivoabeliano con a b = a+ b, con elemento neutro e = 0 y el inverso de unentero n es n. Similarmente, Q, R y C son grupos aditivos abelianos.Ejemplo 1.3. El conjunto Q de los numeros racionales diferentes de ce-ro es un grupo abeliano, donde es la multiplicacion ordinaria, el numero1 es el elemento neutro y el inverso de r Q es 1/r. Similarmente, Ry C son grupos multiplicativos abelianos.

Observe que Z no es un grupo multiplicativo, porque ninguno de suselementos, diferentes de 1, tienen inverso multiplicativo en Z.

Grupos 13

Ejemplo 1.4. La circunferencia S1 de radio 1 con centro en el origense puede ver como un grupo multiplicativo abeliano si consideramos suspuntos como numeros complejos de norma 1. El grupo esta definido por

S1 = { z C | |z| = 1 }donde la operacion es la multiplicacion de numeros complejos, puesto que|z||w| = |zw|, la multiplicacion entre numeros complejos es asociativa, laidentidad es 1 y el inverso de cualquier numero complejo de norma 1 essu conjugado, que tiene norma 1.

Ejemplo 1.5. Para cualquier entero positivo n, sea

n = { k | 0 6 k < n }donde

= e2pii/n = cos(2pi/n) + i sen(2pi/n)

entonces n es el conjunto de las races n-esimas de la unidad.Usando el teorema de De Moivre se puede ver que n es un grupo

abeliano con la multiplicacion de numeros complejos; ademas, el inversode cualquier raz de la unidad es su conjugado.

Ejemplo 1.6. El plano RR es un grupo abeliano con la operacion deadicion vectorial, es decir, si v = (x, y) y v = (x, y), entonces v + v =(x + x, y + y). La identidad es el origen O = (0, 0) y el inverso de v esv = (x,y).Ejemplo 1.7. El grupo P tiene dos elementos, las palabras par e impar,con la operacion

par + par = par = impar + impar

ypar + impar = impar = impar + par

Es facil ver que P es un grupo abeliano.Ejemplo 1.8. Sea X un conjunto. Recordemos que si A y B son sub-conjuntos de X, su diferencia simetrica es A+B = (AB) (B A).El grupo de Bool B(X), es la familia de todos los subconjuntos de Xcon la adicion dada por la diferencia simetrica.

La diferencia simetrica es conmutativa, el elemento neutro es , elconjunto vaco y el inverso de A es el mismo, A+A = . Entonces B(X)es un grupo abeliano.


Ejemplo 1.9. Una matriz A, 2 2 es [ a cb d ], donde a, b, c, d R. A esuna matriz no singular si det(A) 6= 0. El conjunto GL(2,R) de matricesno singulares, con la operacion de multiplicacion de matrices es un grupo(no abeliano) llamado grupo lineal general real 2 2, el elementoneutro es la matriz identica

I =[

1 00 1

]y el inverso de una matriz no singular A es

A1 =[

d/ c/b/ a/

]donde = ad bc = det(A).

Este grupo se puede modificar de dos maneras, primero cambiandoel conjunto donde la matriz esta definida por Q o C, dando los gruposGL(2,Q) y GL(2,C). El grupo GL(2,Z) esta definido como el conjuntode matrices con entradas en Z y de determinante 1, para que todas lasentradas de A1 esten en Z.

El conjunto GL(n,R) de matrices no singulares n n es un grupopara la multiplicacion.

Ejemplo 1.10. En conjunto de matrices ortogonales especiales, esdecir, las matrices de la forma

A =[

cos sensen cos

]forma un grupo abeliano para la multiplicacion de matrices, denotadopor SO(2,R).

Para verificar que la multiplicacion es una operacion sobre SO(2,R)calculamos el producto[

cos sensen cos

] [cos sensen cos

]que despues de aplicar las formulas de adicion para seno y coseno, seobtiene [

cos(+ ) sen(+ )sen(+ ) cos(+ )

]que es una matriz ortogonal. Este calculo tambien nos muestra que laoperacion es conmutativa. Es claro que la matriz identica es ortogonalespecial y el lector debe verificar que que la inversa de una matriz orto-gonal especial (que existe porque el determinante de estas matrices es 1)es ortogonal especial.

Propiedades elementales 15

Ejemplo 1.11. El grupo afn Af(1,R) esta formado por las funcionesR R (funciones afines) de la forma

fa,b(x) = ax+ b

donde a y b son numeros reales con a 6= 0. Para verificar que Af(1,R) esun grupo para la composicion de funciones, sea fc,d = cx+ d, entonces

fa.bfc,d = fa,b(cx+ d)= a(cx+ d) + b= acx+ (ad+ b)= fac,ad+b(x)

Como ac 6= 0, la compuesta es una funcion afn. La funcion identicaes una funcion afn (1R = f1,0).

Similarmente se obtienen los grupos Af(1,Q), Af(1,C).

1.3 Propiedades elementales

En la demostracion de los resultados de esta seccion es esencial en-tender que no se conoce nada sobre la naturaleza de los elementos delconjunto G y de la operacion sobre el definida, los dos son completamen-te arbitrarios e inespecificados. El conocimiento de G y de su operacionasociada esta estrictamente determinado en la definicion de grupo. Lasdos primeras proposiciones ya se demostraron, por enfasis repetimos suenunciado en este momento.

Proposicion 1.3. Un grupo (G, ) tiene un unico elemento neutro.Proposicion 1.4. Un elemento x de un grupo (G, ) tiene un unicoinverso.

En lo que sigue usaremos el smbolo a1 para denotar el inverso dea, donde a esta en un grupo (G, ). Una (muy importante) excepcion escuando tratemos grupos abelianos en los cuales, por lo general y por cos-tumbre, su operacion se denota aditivamente, +, en este caso el smboloa representara el inverso de a.Proposicion 1.5. Si (G, ) es un grupo: a b = c b implica a = c.Ademas, b a = b c implica a = c.

Se trata de las llamadas propiedades cancelativas a derecha eizquierda , respectivamente.


Demostracion. Como b G, b1 existe en G. Operando a derecha en laigualdad a b = c b con b1, obtenemos:

(a b) b1 = (c b) b1

y entonces, por asociatividad

a (b1 b) = c (b1 b)o a e = c e, con lo cual a = c. La segunda afirmacion se demuestrasimilarmente.

Proposicion 1.6. Para a en un grupo (G, ), (a1)1 es a.Demostracion. Todo elemento del grupo (G, ), incluyendo a a1, tieneun inverso en G, tenemos entonces que:

a1 (a1)1 = eAdemas, tambien se cumple que:

a1 a = ey como el inverso es unico, se tiene que (a1)1 = a.

Ejemplo 1.12. Con R se denota el conjunto de numeros reales diferen-tes de 0, este conjunto junto con la multiplicacion es un grupo abeliano,donde 1 es el elemento neutro y para todo x en R, su inverso para lamultiplicacion se acostumbra a denotar con el smbolo:

x1 =1x

La proposicion 1.6, aplicada a este ejemplo, nos indica que:

(x1)1 =11x

= x

Similarmente, (R,+) es un grupo abeliano y, usando notacion aditiva,se tiene que:

(x) = xAs, uno de los resultados que se obtienen de la proposicion 1.6 son

dos propiedades algebraicas muy conocidas y poco comprendidas en elalgebra elemental. Es importante recalcar que estas son propiedadesalgebraicas, es decir propiedades que se refieren exclusivamente a laoperacion, y no a otro tipo de cosas.


Proposicion 1.7. En un grupo (G, ) las ecuaciones ax = b y ya = btienen una unica solucion en G.

Demostracion. El elemento x = a1b G y satisface la ecuacion ax =b, ya que:

a (a1 b) = (a a1) b = e b = bLos calculos anteriores muestran que existe al menos una solucion,

resta mostrar que existe a lo mas una. Supuesto que existe otro elementox G tal que a x = b, entonces:

a x = e b = (a a1) b = a (a1 b)

De donde, cancelando a se obtiene x = a1 b y entonces x = x.Similarmente se demuestra que la ecuacion y a = b tiene una unica

solucion en el grupo G.

Proposicion 1.8. Si a, b son elementos de un grupo (G, ), entonces

(a b)1 = b1 a1

Demostracion. De los calculos:

(a b) (b1 a1) = a [b (b1)] a1= a [(b b1) a1]= a (e a1)= a a1= e

nos damos cuenta que b1 a1 es (a b)1, el inverso de a b, y entonces(a b)1 = b1 a1, lo que queramos demostrar.

Es muy importante observar que, en general, (a b)1 6= a1 b1 y,si en un grupo se cumple la igualdad, este hecho lo convierte automati-camente en abeliano como se demuestra en la proposicion que sigue.

Proposicion 1.9. Un grupo (G, ) es abeliano si, y solo si

(a b)1 = a1 b1

para todo par de elementos a y b de G.


Demostracion. De la proposicion 1.8 se sabe que (a b)1 = b1 a1,entonces si (G, ) es abeliano se obtiene: (a b)1 = a1 b1.

Recprocamente, si se supone que (a b)1 = a1 b1, entonces, denuevo por la proposicion 1.8, se tiene la igualdad b1 a1 = a1 b1,y de aqu se obtienen las igualdades que siguen:

b1 a1 = a1 b1a b1 a1 = a a1 b1a b1 a1 = b1

b a b1 a1 = b b1b a b1 a1 = e

b a b1 a1 a = ab a b1 b = a b

b a = a b

Y como lo anterior es valido para todo a, b en G, el grupo (G, ) esabeliano.

De aqu en adelante la expresion a b la escribiremos en forma massencilla, con una notacion multiplicativa: ab. Sin embargo, para los gruposabelianos se acostumbra utilizar una notacion aditiva a+ b.

Definicion 1.8. Si G es un grupo y a G, definimos la potencia an,para n > 1, inductivamente:

a1 = a

an+1 = aan

Se define a0 = 1 y, si n es un entero positivo, tambien se define

an = (a1)n

Proposicion 1.10. Si G es un grupo, a G y m,n > 1, entonces

am+n = aman

(am)n = amn

Demostracion. En cada una de las expresiones am+n y aman aparecenm+n factores iguales a a. De igual manera en (am)n, amn hay mn factoresiguales a a.


Se sigue que cualquier par de potencias de un elemento a en un grupoconmutan:

aman = am+n = an+m = anam

Proposicion 1.11 (Leyes de los exponentes). Si G es un grupo,a, b G y m, n enteros (no necesariamente positivos), se cumple:

1. Si a y b conmutan, (ab)n = anbn

2. am+n = aman

3. (am)n = amn

Demostracion. Ejercicio para el lector

La notacion an es una forma natural para denotar a a si a aparecen veces. Sin embargo, si la operacion es + es mas natural denotar a+a+ +a con na. Si G es un grupo aditivo, m,n enteros (no necesariamentepositivos) la proposicion 1.11 se escribe:

1. n(a+ b) = na+ nb.

2. m(na) = (mn)a.

3. ma+ na = (m+ n)a

Definicion 1.9. Sea G un grupo y a G. Si ak = e para algun k > 1,el menor de tales exponentes k > 1 es el orden de a; si tal potencia noexiste, a tiene orden infinito.

Ejemplo 1.13. En cualquier grupo G, el elemento neutro tiene orden1 y es el unico elemento de G de orden 1; un elemento tiene orden 2 si,y solo si no es la identidad y es igual a su inverso. La matriz A = [ 1 10 1 ]en el grupo GL(2,R) tiene orden infinito porque Ak =

[1 k0 1

] 6= [ 1 00 1 ] paratodo k > 1.

El orden de un elemento a de un grupo G se denota con |a|. Recuerdeque el orden del grupo G, denotado con |G|, es simplemente el numerode elementos del conjunto G.

Proposicion 1.12. Todo elemento de un grupo finito tiene orden finito.


Demostracion. Si G es un grupo finito y a G, tenemos que encontrarun entero k > 1 tal que ak = e. Consideramos la sucesion

e, a, a2, . . . , an, . . .

Como G es finito deben existir elementos repetidos en esta sucesion:existen enteros m > n con am = an de donde e = aman = amn conm n > 0.Proposicion 1.13. Sea G un grupo y x G un elemento de orden finitok. Si xn = e, entonces k | n.Demostracion. Por el algoritmo de division, n = qk+r, donde 0 6 r < k,de donde

e = xn = xqk+r = (xk)qxr = xr

Como xr = e y r < k, debemos tener que r = 0, de donde k | n

1.3.1 Ejercicios

1. Sea S el conjunto de matrices n por n con entradas reales. Es Sun grupo para la adicion de matrices?

2. Sea S el conjunto de matrices diferentes de cero, n por n y conentradas reales. Es S un grupo para la multiplicacion de matrices?

3. SeaG un grupo finito con n elementos, denotamos con e su elementoneutro. Demostrar que en las filas de la tabla de la operacion delgrupo no pueden aparecer elementos repetidos. Lo mismo ocurrecon las columnas de la tabla.

4. Sea G un grupo con tres elementos: G = { e, a, b }, e es el elemen-to neutro. Teniendo en cuenta el resultado del ejercicio anterior,construya la tabla de la operacion del grupo G.

5. Como en el ejercicio anterior, construya la tabla de la operacion deun grupo G con cuatro elementos: G = { e, a, b, c }.

6. Demostrar las leyes de los exponentes en un grupo.

7. Sea (G, ) un grupo. Mostrar que (G.) es abeliano si, y solo si(a b)2 = a2 b2 para todo a, b en G.

8. Si G es un grupo tal que b1 a1 b a = e para todo a y b en G,mostrar que G es abeliano.


9. Si G es un grupo tal que tal que x2 = e para todo x en G, mostrarque G es abeliano.

10. Si G es un grupo con un numero par de elementos, mostrar que elnumero de elementos de orden 2 en G es impar. En particular Gdebe tener un elemento de orden 2.

11. Sea G un grupo y x G de orden m. Si m = dt para algun d > 1,demostrar que xt tiene orden d.

12. Sea G un grupo finito en el que todo elemento tiene raz cuadrada,es decir, para cada x G, existe y G con y2 = x. Mostrar quetodo elemento en G tiene una unica raz cuadrada.

13. Sean a y b elementos de un grupo G. Si ab = ba y |a| = m, |b| = n,donde m y n son primos relativos, demostrar que |ab| = mn.

14. Sea G un grupo abeliano y finito. Demostrar que G tiene un ele-mento g tal que |g| es el mnimo comun multiplo de {|a| | a G}.[Sugerencia: utilice el ejercicio anterior y la factorizacion en primosde m y n para construir el elemento pedido.]

15. En un grupo arbitrario, sea a un elemento de orden finito n. Si(n, k) es el maximo comun divisor de n y k y [n, k] el mnimocomun multiplo, mostrar que el orden de ak es n/(n, k) = [n, k]/k.

La definicion de grupo se puede escribir en formas equivalentes, lasiguiente seccion de ejercicios muestra algunas de estas formas.

1.3.2 Ejercicios

1. Un semigrupo es un conjunto no vaco junto con una operacion bi-naria que es asociativa (se han eliminado, de la definicion de grupo,la existencia de elemento neutro y la de los inversos). Un monoidees un semigrupo con elemento neutro. Dar un ejemplo de un mo-noide que no sea un grupo y un ejemplo de un semigrupo que nosea un monoide.

2. Demostrar que un semigrupo (G, ) es un grupo si, y solo si lasecuaciones a x = b y y a = b tienen solucion en G, para todo ay b en G.

3. Demostrar que un semigrupo (G, ) tal que e G es elementoneutro a izquierda y todo elemento de G tiene inverso a izquierdaes un grupo.


4. Si G es un conjunto finito y es una operacion asociativa definidasobre G tal que para todo a, b y x de G se tiene que: x a = x bimplica a = b y que, ax = bx implica a = b, demostrar que (G, )es un grupo. [Sugerencias: muestre primero que existe un elementoneutro a derecha, para hacer esto suponga que a1, a2, . . . , an sonlos elementos de G y considere el conjunto:

{a1 a1, a1 a2, . . . a1 an}

mostrar que los elementos de este conjunto son todos diferentes,de donde, uno de ellos debe ser a1. Si a1 aj = a1, entonces aj essu candidato para elemento neutro a derecha. Debe demostrar quex aj = x, para todo x G. Hecho esto, queda por demostrar quetodo elemento de G tiene inverso a derecha.]

5. Mostrar que el par (G, ) del ejercicio anterior, no necesariamentees un grupo si el conjunto G es infinito.

CAPITULO 2

Grupos importantes

En este captulo examinaremos grupos que usaremos frecuentementeen el desarrollo de la teora de grupos. Estos grupos son muy importantespor si mismos y son un gran auxiliar para construir ejemplos que denclaridad a la teora.

2.1 Permutaciones

En el ejemplo 1.1 vimos que el conjunto SX de las biyecciones de unconjunto X en si mismo; f : X X, forman un grupo para la operacionde composicion de funciones, ahora consideramos el caso especial cuandoel conjunto X tiene un numero finito de elementos,

X = {x1, x2, . . . , xn }que por comodidad en la notacion, se escribe simplemente como:

X = { 1, 2, , n }Definicion 2.1. Sea X un conjunto con n elementos. Una biyeccionf : X X es una permutacion de X.

Se tiene entonces la siguiente proposicion.

Proposicion 2.1. Sea X un conjunto con n elementos. El conjunto

Sn = {f : X X | f es biyectiva}

24 Grupos importantes

es un grupo para la composicion de funciones, el grupo de permuta-ciones de n elementos. Tambien se conoce como el grupo simetricode X.

Si f es una permutacion de X y denotamos sus valores f(i) con xi,donde 1 6 i 6 n. La funcion f nos produce una n-pla, (x1, x2, , xn)donde, por ser f inyectiva, no aparecen elementos repetidos [si i 6= j,entonces xi = f(i) 6= f(j) = xj ] y como f es sobre, todo elementox X aparece en alguna coordenada, se tiene entonces que la n-planos presenta, lo que podemos llamar un arreglo de X. Se acostumbraomitir los parentesis y el arreglo se escribe x1, x2, , xn. Se observaque el arreglo determina completamente la funcion. Por ejemplo, si X ={ 1, 2, 3 } se tienen 6 = 3! permutaciones:

123; 132; 213; 213; 312; 321

Es clara la siguiente proposicion

Proposicion 2.2. El orden de Sn es n!.

Para Galois un grupo estaba formado por ciertas permutaciones (delas races de un polinomio), y de esto nos indica la importancia de losgrupos de permutaciones en el estudio del algebra.

En lo que sigue estudiaremos con algun cuidado propiedades del grupoSn que mas adelante seran de gran utilidad para el estudio de aplicacionesde la teora de grupos a la teora de ecuaciones.

Si X = { 1, 2, . . . , n } podemos usar una una notacion con dos filaspara denotar una permutacion Sn

=(

1 2 . . . i . . . n(1) (2) . . . (i) . . . (n)

)En la segunda fila esta el arreglo (1), (2), . . . , (n).

Ejemplo 2.1. En S3, si

=(

1 2 32 3 1

)y =

(1 2 32 1 3

)entonces

=(

1 2 33 2 3

)y =

(1 2 31 3 1

)de donde : 1 7 ((1)) = (2) = 3 mientras que : 1 7 2 7 1y entonces 6= y S3 no es abeliano.

Permutaciones 25

Algunas permutaciones conmutan, por ejemplo es facil ver que = donde

=(

1 2 3 42 1 3 0

)y =

(1 2 3 41 2 4 4

)Algunos autores calculan la compuesta en diferente forma. Para , :

X X, el valor de en i X es (i), entonces la compuesta, en laque se aplica primero y luego enva i 7 (i) 7 ((i)) y notamosla compuesta de seguido de con . Pero otros autores usan unanotacion a derecha, denotan el valor de en i con (i). Entonces seguido de es i 7 (i) 7 ((i)) y la compuesta la denotan con .Aqu usaremos la primera notacion aunque la segunda tambien tiene susventajas.

2.1.1 Ejercicios

Elija arbitrariamente , y en S4 y calcule

1. , , , .2. 2, ( )3

3. 1, 2, ( )3.En todo lo que sigue eliminamos el smbolo y se escribe

simplemente .

Definicion 2.2. Si Sn e i {1, 2, . . . n}, entonces deja fijo a i si(i) = i y mueve a i si (i) 6= i.Definicion 2.3. Sean i1, i2, . . . , ir elementos diferentes en {1, 2, . . . n}.Si Sn es tal que

1. (ij) = ij+1 para 1 6 j < r

2. (ir) = i1

3. (i) = i para i / { i1, i2, . . . ir } es un ciclo de longitud r o un r-ciclo. Para las permutaciones queson ciclos se tiene una nueva notacion:

= (i1, i2, . . . , ir)


Un 2-ciclo intercambia a i1 con i2. Los 2-ciclos se llaman transposi-ciones. Un 1-ciclo es la identidad, deja fijos todos los elementos. Todoslos 1-ciclos son iguales, (1) = (i).

Ejemplo 2.2. La permutacion

=(

1 2 3 4 54 3 1 5 2

)es tal que (1) = 4, (4) = 5, (5) = 2, (2) = 3, y (3) = 1, entonces es un 5-ciclo

= (14523)

Tambien se tiene (1 2 3 4 52 3 1 4 5

)= (123)

No todas las permutaciones son ciclos, por ejemplo la permutacion

=(

1 2 3 42 1 4 0

)no es un ciclo, en efecto, = (12)(34).

El termino ciclo viene de la palabra griega para circulo y Cauchyutilizo figuras para representarlos.

Los ciclos se pueden representar como rotaciones. En la figura 2.1se muestra el ciclo (i1i2 . . . ir) como una rotacion. Cualquier ij se puedetomar como punto de partida de la rotacion y se llega a r formas diferentesde escribir el ciclo.

(i1i2 . . . ir) = (i2i3 . . . iri1) = (iri1 . . . ir1)

El producto de ciclos se puede efectuar multiplicando las permuta-ciones que ellos representan.

El siguiente es un resultado importante respecto a factorizacion depermutaciones, es decir vemos como cualquier permutacion se puede ex-presar como un producto (como hemos eliminado el smbolo en laescritura para = decimos el producto ) de ciclos disyuntos.Proposicion 2.3. Toda permutacion Sn se puede expresar como unproducto conmutativo de ciclos que no tienen elementos en comun.

Permutaciones 27

Figura 2.1: Un ciclo como rotacion

Demostracion. Primero consideremos el subconjunto de las imagenes de:

{(1), 2(1), 3(1), . . . }Como el dominio de es finito, existen i, j enteros tales que i < j,

y i(1) = j(1), as ji(1) = 1. Lo anterior nos permite considerar a kcomo el menor entero positivo tal que k(1) = 1. Sea

(1(1)2(1) . . . k1(1))

el primer ciclo de la permutacion . Si el elemento 2 no esta en el cicloanterior, repetimos el procedimiento para encontrar el ciclo:

(2(2)2(2) . . . h1(2))

donde h es el menor entero positivo para el cual h(2) = 2. Despues dea lo mas n pasos, este procedimiento termina. No importa el orden enque aparecen los ciclos ya que se ve claramente que tales ciclos no tienenelementos comunes.

Ejemplo 2.3. Para ilustrar la proposicion anterior consideremos en S7la permutacion:

=(

1 2 3 4 5 6 77 1 2 6 5 4 3

)Observemos que:

(1) =7, 2(1) = 3, 3(1) = 2, 4(1) = 1

(4) =6, 2(4) = 4(5) =5


y entonces podemos escribir:

= (1732)(46)(5)

y esta factorizacion puede se simplificar omitiendo el ciclo (5) y teniendoen cuenta que la permutacion deja fijo a cada elemento que no aparece enlos ciclos de la factorizacion, as la factorizacion de en ciclos disyuntoses:

= (1732)(46)

Ahora demostramos la unicidad de la factorizacion de una permuta-cion en ciclos diyuntos.

Proposicion 2.4. Toda permutacion 6= en Sn es el producto deciclos disyuntos de longitud > 2; esta factorizacion es unica excepto porel orden en que se escriben los factores.

Demostracion. Ya fue demostrada la existencia de la factorizacion (veasela proposicion 2.3), faltara por verificar la unicidad. En efecto, suponga-mos que:

= 12 r = 12 sson dos factorizaciones de la permutacion en ciclos disyuntos de longi-tud > 2. Si x X y mueve a x, entonces uno de los ciclos i y uno delos j mueven a x. Como los ciclos disyuntos conmutan, podemos asumir,por conveniencia notacional que 1 y 1 mueven a x, entonces

(x) = 1(x) = 1(x)

y entonces para cualquier entero positivo k, k1 (x) = k1 (x) =

k(x) ycon esto 1 = 1, luego:

11 = 2 r = 2 s

Ahora, por un procedimiento inductivo respecto al numero de factoresse tiene que r = s y los factores i son los de j en algun orden.

Definicion 2.4. La factorizacion completa de una permutacion esla factorizacion de en ciclos disyuntos que tiene exactamente un 1-ciclo(i) por cada i que deja fijo.

Por ejemplo, la factorizacion completa de un 3-ciclo = (135) en S5es = (135)(2)(4)

Permutaciones 29

Definicion 2.5. Dos permutaciones , Sn tienen la misma estruc-tura cclica si sus factorizaciones completas tienen el mismo numero der-ciclos para cada r.

En las dos proposiciones que siguen se da un procedimiento paradeterminar cuando dos permutaciones tienen la misma estructura cclica.

Proposicion 2.5. Si Sn y = (x1x2 . . . xm) un m-ciclo, entonces1 tambien es un m-ciclo, y ademas:

1 = ((x1)(x2) . . . (xm))

Antes de demostrar esta proposicion observamos, que en ella se afirmaque cada elemento de 1 es igual al m-ciclo obtenido al aplicar alos smbolos que aparecen en . Por ejemplo,

Si = (13)(247) y = (256)(143), entonces:

1 = ((1)(3))((2)(4)(7)) = (41)(537)

Demostracion. De acuerdo a la definicion del ciclo (definicion 2.4) nosbasta demostrar que la permutacion es tal que:

a. Si i < m, entonces 1((xi)) = (xi+1)b. 1((xm) = x1c. Si x no es ninguno de los (xi) entonces 1 = x.

En efecto, si i < n, entonces:

1((xi)) = (1((xi)) = (xi) = (xi+1)

Ademas,1((xm)) = ((xm)) = (x1)

Por ultimo, si x no es ninguno de los (xi), 1(x) no es ninguno delos xi y as:

(1(x)) = 1(x)

de donde:1(x) = x

lo que queramos demostrar.

De lo anterior observamos que las dos permutaciones y 1 tie-nen la misma estructura cclica. Veamos que el recproco a esta afirmaciontambien es valido.


Proposicion 2.6. , Sn tienen la misma estructura cclica si, ysolo si existe Sn, tal que 1 =

Demostracion. Supongamos que y tienen la misma estructura ccli-ca. Entonces

=(x1x2 xm)(y1y2 yr) (z1z2 zs) =(x1x

2 xm)(y1y2 yr) (z1z2 zs)

Se tiene que encontrar Sn tal que 1 = o lo que es lomismo:

((x1) (xm))((y1) (yr)) ((z1) (zs)) =(x1 xm)(y1 yr) (z1 zs)

para lo cual debe ser tal que

(xi) = xi, (yj) = yj , (zk) = z

k

es decir la permutacion f queda definida por

=(x1 xm y1 yr z1 zsx1 xm y1 yr z1 zs

)y se llega a la construccion de la funcion .

Ejemplo 2.4. Los elementos

(12)(34)(567)(72)(81)(346)

de S8 tienen la misma estructura cclica y para la permutacion tal que(1) = 7, (2) = 2, (3) = 8, (4) = 1, (5) = 3, (6) = 4 y (7) = 6,es decir

=(

1 2 3 4 5 6 7 87 2 8 1 3 4 1 5

)= (1764)(385)

y se cumple que:

(12)(34)(567)1 = (72)(81)(346)

Si 1 6 r 6 n, el numero de r-ciclos en Sn es

1r

[n(n 1) (n r + 1)]

Permutaciones 31

Esta formula se puede usar para contar el numero de permutacionesque tienen la misma estructura cclica. Hay que ser cuidadosos en el casoen que una factorizacion tenga varios ciclos de la misma longitud. Porejemplo, el numero de permutaciones en S4 con la estructura cclica dela forma (ab)(cd) es 12 [

12(4 3)] [12(2 1)] = 3 el factor 12 extra que

aparece es para no contar (ab)(cd) = (cd)(ab) dos veces.

Ejemplo 2.5. Las permutaciones en S4 se cuentan en la tabla 21.1.

Cuadro 2.1: Permutaciones en S4

Estructura cclica Numero(1) 1(12) 6(123) 8(1234) 6

(12)(24) 324

Los tipos de permutaciones en S5 se cuentan en la tabla 2.2.

Cuadro 2.2: Permutaciones en S5

Estructura cclica Numero(1) 1(12) 10(123) 20(1234) 30(12345) 24

(12)(345) 20(12)(34) 15

120

Hay otra factorizacion de una permutacion.

Proposicion 2.7. Si n > 2, entonces toda permutacion Sn es unproducto de transposiciones.


Demostracion. De acuerdo a la proposicion 2.3, es suficiente factorizarun r-ciclo en un producto de transposiciones, lo que se hace con laformula.

= (12 . . . r) = (1r)(1r 1) (13)(12)que nos da la factorizacion pedida.

Esta factorizacion no es tan buena como la factorizacion en ciclosdisyuntos. Los factores no conmutan. (123) = (13)(12) 6= (12)(13) y,ni los factores ni el numero de factores es unico. Por ejemplo, algunasfactorizaciones de (123) en S4 son:

(123) = (13)(12)= (23)(13)= (13)(42)(12)(14)= (13)(42)(12)(14)(23)(23)

Pero, en el ejemplo se ve que el numero de transposiciones en cadafactorizacion es par. En cualquier permutacion , el numero de transpo-siciones en una factorizacion o siempre es par o siempre es impar.

Definicion 2.6. Una permutacion Sn es par si se puede factori-zar en un numero par de transposiciones e impar es caso contrario. Laparidad de una permutacion es su calidad de ser par o impar.

Definicion 2.7. Si Sn y = 1 . . . t es la factorizacion completaen ciclos disyuntos, el signo de esta definido por

sgn() = (1)nt

De la proposicion 2.3, vemos que sgn es una funcion, bien defini-da, porque el numero t queda determinado de manera unica por . Porejemplo, sgn() = 1 para todo 1-ciclo porque t = n. Si es una trans-posicion, ella mueve dos numeros y deja fijos los n2 restantes, entoncest = (n 2) + 1 = n 1 y sgn() = (1)n(n1) = 1Proposicion 2.8. Para todo , Sn,

sgn() = sgn()sgn()

Demostracion. Si k, l > 0 y las letras a, b, ci, cj son diferentes, entonces

(ab)(ac1 . . . ckbd1 . . . dl) = (ac1 . . . ck)(bd1 dl)

Permutaciones 33

multiplicando esta igualdad, a izquierda por (ab)

(ab)(ac1 . . . ck)(bd1 dl) = (ac1 . . . ckbd1 . . . dl)

De estas igualdades se obtiene que sgn() = sgn() para todo Sn, donde es la transposicion (ab). Si = 1 m donde cada i esuna transposicion, se demuestra, por induccion sobre m, que sgn() =sgn()sgn() para todo Sn.Proposicion 2.9. Para Sn, entonces si sgn() = 1, es par y sisgn() = 1, es impar.Demostracion. Si = 1 q es la factorizacion de es transposiciones,por la proposicion 2.8, sgn() = sgn(1) sgn(q) = (1)q entonces sisgn() = 1, q siempre es par y si sgn() = 1, q siempre es impar.

2.1.2 Ejercicios

1. Determine sgn(), 1 y el orden de la permutacion

=(

1 2 3 4 5 6 7 8 99 8 7 6 5 4 3 2 1

)2. Calcule el orden, inverso y paridad de

= (12)(43)(13542)(15)(13)(23)

3. Se define f : {0, 1, . . . 10} {0, 1, . . . 10} por

f(n) = el residuo despues de dividir 4n2 3n7 por 11

a) Mostrar que f es una permutacion.

b) Calcular la paridad de f .

c) Calcular la inversa de f .

d) Calcular el orden de f .

4. Si Sn, demostrar que sgn(1) = sgn()5. Si 1 6 r 6 n, mostrar que hay

1r

[n(n 1) (n r + 1)]

r-ciclos.


6. Si kr 6 n, donde 1 6 r 6 n, demostrar que el numero de per-mutaciones Sn donde es el producto de k r-ciclos disyuntoses

1k!

1rk

[n(n 1) (n kr + 1)]

7. a) Si es un r-ciclo, mostrar que r = (1)

b) Si es un r-ciclo, mostrar que r es el menor entero positivo ktal que k = (1), es decir, el orden de un r-ciclo es r.

c) Si = 1 t, es el producto de ri ciclos disyuntos i,entonces tiene orden m = mcm{r1, . . . rt}.

d) Si p es primo, entonces tiene orden p si, y solo si es un p-cicloo un producto de p-ciclos disyuntos.

8. Mostrar que un r-ciclo es par si, y solo si r es impar.

9. Si es un r-ciclo, 1 < k < r, es k un r-ciclo?

10. a) Demostrar que para todo i, Sn mueve a i si, y solo si 1mueve a i.

b) Demostrar que si Sn son disyuntas y si = (1), enton-ces = (1) y = (1).

11. Demostrar que el numero de permutaciones pares de Sn es 12n!.

12. a) Cuantas permutaciones en S5 conmutan con (123)? y Cuantaspermutaciones pares en S5 conmutan con (123)?

b) Las mismas preguntas para (12)(34).

13. Construya una tabla para S5 donde se indique la estructura cclicade sus permutaciones, cuantas son, el orden y la paridad de cadatipo.

2.2 Simetra

Ahora veremos algunos ejemplos de grupos trados de la geometra,relacionados con el concepto de simetra. Sera necesario utilizar un pocode algebra lineal sobre R. Si consideramos un triangulo isosceles, ABC,con su base AB sobre el eje de x y el eje de y el bisector perpendicular deAB (Figura 2.2). Si se refleja el triangulo en el eje de y (los vertices A y Bse intercambian) el triangulo conserva el lugar que ocupaba originalmente

Simetra 35

en el plano, esto significa que el triangulo es simetrico respecto al eje y.El triangulo no es simetrica respecto al eje x. La reflexion es un tipoespecial de isometra.

Figura 2.2: Triangulo isosceles

Definicion 2.8. Una isometra del plano es una funcion : R2 R2que conserva la distancia, es decir, para todo punto P = (a, b) y Q =(c, d) en R2

P Q = (P ) (Q)

donde P Q = (a c)2 + (b d)2 es la distancia de P a Q.Con P Q se denota el producto punto:

P Q = (a, b) (c.d) = ac+ bd

Por calculo directo se llega a la igualdad:

(P Q) (P Q) = P Q2

Proposicion 2.10. Sea una isometra en el plano. conserva el pro-ducto punto [es decir, (P ) (Q) = P Q para todo par de puntos P yQ] si, y solo si (O) = O [ deja fijo el origen].

Demostracion. Si (P ) (Q) = P Q para todo par de puntos P y Q,entonces (O) (O) = O O = 0, de donde fija el origen, porque si(O) 6= O, entonces (O) (O) = (O)2 6= 0.

Recprocamente, si (O) = O, entonces

P = P O = (P ) (O) = (P )


para todo P , porque es una isometra. As, Para todo par de puntos Py Q,

(P )2 + (Q)2 2(P ) (Q) = [(P ) (Q)] [(P ) (Q)]= (P ) (Q)2= P Q2= (P Q) (P Q)= P2 + Q2 2P Q

Se concluye que (P ) (Q) = P Q.

Recordemos la formula que da la interpretacion geometrica del pro-ducto punto:

P Q = P Q cos (2.1)donde es el angulo entre P y Q.

De la ecuacion anterior, 16.2, se pueden obtener algunas conclusiones:

1. Toda isometra conserva angulos.

2. P y Q son ortogonales si, y solo si P Q = 0 y entonces las isometrasconservan perpendicularidad.

El conjunto de las isometras en el plano de denota con Isom(R2)y su subconjunto de todas la isometras con (O) = O es el grupoortogonal del plano se denota con O(2,R). Mas adelante veremos queIsom(R2) y O(2,R) son grupos para la composicion.

Para facilitar el analisis de las isometras, denotemos con L[P,Q] larecta determinada por los puntos P y Q y con PQ el segmento de P aQ.

Algunos ejemplos de isometras:

Ejemplo 2.6. Dado un angulo , la rotacion R alrededor del origense define por: R(O) = O; si P 6= Q, se dibuja el segmento PO y se rota (en sentido contrario al reloj si es positivo y en sentido del reloj si es negativo) y se define R(P ) = P . Figura 2.2.

Ejemplo 2.7. Una reflexion, L, en una recta L, el eje, fija todo puntoen L; si P / L, entonces L(P ) = P donde L es el bisector perpendicularde PP . L esta en Isom(R2); si L pasa por el origen, entonces L O(2,R). Figura 2.4.

Simetra 37

Figura 2.3: Rotacion

Figura 2.4: Reflexion

Ejemplo 2.8. Dado un punto V , una translacion de V es una funcionV : R2 R2 definida por V (U) = U + V . Las translaciones estan enIsom(R2). Una translacion V fija el origen si, y solo si V = O, entoncesla identidad es la unica translacion que es una rotacion.

Planteamos ahora tres resultados sobre isometras, que no demostra-mos por el momento.

Proposicion 2.11. Si es una isometra en el plano, entonces puntosdiferentes P , Q y R en R2 son colineales si, y solo si (P ), (Q) y (R)son colineales. As, si L es una recta (L) es una recta.

Proposicion 2.12. Toda isometra en R2 fija el origen y es una trans-formacion lineal.

Corolario 2.13. Toda isometra : R2 R2 es una biyeccion y todaisometra que deja fijo al origen es una transformacion lineal no singular.

Corolario 2.14. Si O, P y Q son puntos no colineales y si y sonisometras del plano tales que (P ) = (P ) y (Q) = (Q), entonces = .

Proposicion 2.15. Isom(R2) y O(2,R) son grupos para la composicion.


Demostracion. Veamos que Isom(R2) es un grupo. Claramente iR2 esuna isometra. Sean y isometras. Para P y Q puntos, se tiene

()(P )) ()(Q)) = ((P )) ((Q))= (P ) (Q)= P Q

y tambien es una isometra, es decir, la composicion es una operacionsobre Isom(R2). Si esta en Isom(R2) por el corolario 2.13, es unabiyeccion y tiene inversa 1, que tambien es una isometra, en efecto,

P Q = (1(P )) (1(Q)) = 1(P ) 1(Q)

Ademas, la composicion de funciones siempre es asociativa. Se concluyeque Isom(R2) es un grupo para la composicion.

Similarmente se demuestra que O(2,R) es un grupo.

Definicion 2.9. El grupo de simetra () de una figura en elplano es el conjunto de todas las isometras del plano con () = .Los elementos de () se llaman simetras de .

Ejemplo 2.9. Si es un triangulo con vertices P , Q y R y si es unaisometra, por la proposicion 2.11, () es un triangulo con vertices (P ),(Q) y (R). Si ademas se tiene que () = , entonces permuta losvertices P , Q y R.

Figura 2.5: Triangulo equilatero

Si el triangulo es equilatero (Figura 2.5) y si `1 es la reflexion coneje `1 = L[O,P ], entonces `1() = , `1 se puede describir como latransposicion (RQ) que fija a P e intercambia a R y Q. Similarmente,para las reflexiones `2 y `3 se tiene que, `2() = y se describe con(PQ), deja fijo a R y `3() = y es la transposicion (PR). Ademas,

Simetra 39

para las rotaciones en O de 120 y 240: R120 , R240 : R120() = yR240() = y se describen con los 3-ciclos (PQR) y (PUQ), respecti-vamente.

Resumiendo, el grupo () de simetras de un triangulo equilatero, viene dado por:

() = {R0 , R120 , R240 , `1 , `2 , `3 }

donde sus elementos se representan con elementos de caracter geometrico:rotaciones y reflexiones. Otra forma de representar a () es:

() = { (P ), (PQ), (PR), (RQ), (PQR), (PRQ) }

donde sus elementos son permutaciones del conjunto de vertices X ={P,Q,R }.Ejemplo 2.10. En el caso de un triangulo isosceles. (Figura 2.6).

Figura 2.6: Triangulo isosceles

El grupo () es

() = {R0 , `1 } = { (P ), (RQ) }

Y en el caso de un triagulo escaleno,

() = { (P ) }

Ejemplo 2.11. Sea pi4 un cuadrado (un polgono regular de cuatro lados)con vertices { v0, v1, v2, v3 }, se dibuja pi4 en el plano con centro en elorigen O y lados de, longitud 1, paralelos a los ejes. Es facil ver quetoda (pi4) permuta los vertices; en efecto, una simetra de pi4queda determinada por {(vi) | 0 6 i 6 3 } y entonces hay 24 = 4!posibles simetras. Pero no toda permutacion de S4 es una simetra de


pi4. Si vi y vj son adyacentes, entonces vi vj = 1, pero v0 v2 =2 = v1 v3; se sigue que debe conservar adyacencia (las isometras

conservan distancia). Se puede verificar que solo hay ocho simetras enpi4. Ademas de la identidad y las tres rotaciones alrededor de O de 90,180 y 270 hay cuatro reflexiones con ejes L[v0, v2], L[v1, v3], el eje x yel eje y. El grupo (pi4) es un grupo diedro con ocho elementos y sedenota con D8. (Figura 2.7)

Figura 2.7: Simetras de pi4

Ejemplo 2.12. El grupo de simetras (pi5) de un pentagono regularcon vertices { v0, v1, v2, v3, v4 } y centro O tiene 10 elementos: rotacionesalrededor del origen de (72j), donde 0 6 j 6 4 y las reflexiones con ejesL[O, vk] para 0 6 k 6 4. El grupo (pi5) es un grupo diedro con 10elementos, denotado por D10. (Figura 2.8).

Figura 2.8: Simetras de pi5

El grupo de simetras (pin) de un polgono regular con centro en elorigen O y vertices en { v0, v1, . . . , vn1 } es un grupo diedro D2n. Pero

Simetra 41

se puede dar una definicion de los grupos diedros que no depende de lageometra.

Definicion 2.10. Un grupo D2n con exactamente 2n elementos es ungrupo diedro si contiene un elemento a de orden n y un elemento b deorden 2 tales que bab = a1.

Si n = 2, el grupo diedro D4 es abeliano; si n > 3, D2n no es abeliano.Mas adelante podremos demostrar que esencialmente solo existe un grupodiedro con 2n elementos.

Proposicion 2.16. El grupo se simetras (pin) es un grupo diedro con2n elementos.

Demostracion. Sea pin el polgono regular con vertices en v0, v1, . . . , vn1y centro O. Definimos a como la rotacion alrededor de O de (360n )

por

a(vi) =

{vi+1 si 0 6 i < n 1,v0 si i = n 1.

Es claro que a tiene orden n. Definimos b como la reflexion con ejeL[O, v0] por:

b(vi) =

{v0 si i = 0,vni si 1 6 i 6 n 1.

Es claro que b tiene orden 2. Como a tiene orden n hay n simetrasdiferentes: 1, a, a2, . . . , an1 y las simetras b, ab, a2b, . . . , an1b tambienson diferentes, por la cancelativa. Estas 2n simetras son todas diferentes,porque si as = arb, donde 0 6 r 6 n 1 y s = 0, 1 entonces as(vi) =arb(vi) para todo i. Pero, as(v0) = vs mientras que arb(v0) = vr1 yentonces s = r 1. Si i = 1, entonces ar1(v1) = vi+1 mientras quearb(v1) = vr1. De donde, as 6= arb para todo r y s. Se han dado 2nsimetras diferentes en (pin).

Ahora demostramos que no hay mas simetras de pin. Como pin tienesu centro en el origen, toda simetra deja fijo al origen y es por tantouna transformacion lineal, de acuerdo a la proposicion 2.12. Los verticesadyacentes a v0 son v1 y vn1 y son los mas cercanos a v0, es decir,si 2 6 i 6 n 2, entonces vi v0 > v1 v0. As, si (v0) = vj ,entonces (v1) = vj+1 o (v1) = vj1. En el primer caso, aj(v0) = (v0)y aj(v1) = (v1) y por el corolario 2.13, = aj . En el segundo caso,ajb(v0) = vj y ajb(v1 = vj1 y = ajb. Entonces. |(pin)| = 2n

Se ha demostrado que (pin) es un grupo que tiene exactamente 2nelementos y que tiene dos elementos de orden n y 2, respectivamente,


falta ver que bab = a1. Por el corolario 2.13, basta calcular en v0 y v1:bab(v0) = vn1 = a1(v0) y bab(v1) = v0 = a1(v1).

2.2.1 Ejercicios

1. a) Cuantos elementos de orden 2 hay en S3, en S4?

b) Cuantos elementos de orden 2 hay en Sn?

2. Considere el grupo diedro D8 como un grupo de permutaciones delcuadrado. Supongamos que si nos movemos en sentido contrario alreloj, encontramos los vertices A, B, C, D en su orden. Liste todoslos elementos de D8

3. El grupo diedro D8 tiene exactamente 8 elementos contiene un ele-mento a de orden 4 y un elemento b de orden 2 tales que bab = a1.Construya la tabla de la operacion de D8.

4. Mostrar que el grupo (C) de simetras de una circunferencia C esinfinito.

5. Demostrar que todo elemento de un grupo diedro D2n tiene unaunica factorizacion en la forma aibj , donde 0 6 i < n y j = 0 o 1.

CAPITULO 3

Subgrupos y Teorema deLagrange

3.1 Subgrupos

En D6 los seis elementos

e, a2, a4, b, a2b, a4b

forman un grupo respecto a la composicion de simetras. Esto es facil deverificar. El producto de dos de estas simetras es una de las mismas, elelemento neutro e esta presente y como

e1 = e, (a2)1 = a4, (a4)1 = a2, b1 = b, (a2b)1 = a2b, (a4b)1 = a4b

todos los inversos tambien esan presentes. Estos elementos forman elgrupo de simetras de un triangulo inscrito en el hexagono (Figura 3.1).Con estos elementos tenemos una copia de D3 dentro de D6 y decimosque es un subgrupo de D6

Un subgrupo de un grupo G es un subconjunto que es un grupo parala misma operacion de G. En lo que sigue se formaliza esta afirmacion.

Definicion 3.1. Sean una operacion sobre un conjunto G y S G. Ses cerrado o estable para si x y S para todo x, y S.

44 Subgrupos y Teorema de Lagrange

Figura 3.1: D3 D6

La operacion de un grupo G es una funcion : G G G. SiS G, entonces S S G G, y decir que S es cerrado para laoperacion significa que (S S) S y es una operacion cuandose restringe a S. Por ejemplo, el subconjunto Z del grupo aditivo Q denumeros racionales es cerrado para +. Sin embargo, si Q es el grupomultiplicativo de los racionales diferentes de cero, entonces Q es cerradopara la multiplicacion, pero no es cerrado para +, porque, por ejemplo,2 y 2 estan en Q, pero su suma 2 + 2 = 0 / Q.Definicion 3.2. Un subconjunto H de un grupo (G, ?) es un subgruposi

1. Si x, y H, entonces xy H; es decir, H es cerrado para .2. e H.3. Si x H, entonces x1 H.

Escribimos H 6 G para expresar que H es un subgrupo de G.

Se observa que, {e} y G siempre son subgrupos de un grupo G. Unsubgrupo H de G es propio si H 6= G y escribimos H < G. Un subgrupoH de G es no trivial si H 6= {e}.Proposicion 3.1. Todo subgrupo H 6 G de un grupo G es un grupo.

Demostracion. H es cerrado para la opracion de G, es decir H tiene unaoperacion, la restriccion de la operacion : GG G a HH GG.Esta operacion es asociativa: como la igualdad (xy)z = x(yz) se cumplepara todo x, y, z G, se cumple, en particular, para todo x, y, z H. Lacondicion (2) de la definicion de subgrupo da el elemento neutro y (3) dalos inversos.

Subgrupos 45

Ejemplo 3.1. En los sistemas numericos para la adicion se tiene que

Z < Q, Q < R, R < C

y para la multiplicacion

Q {0} < R {0}, R {0} < C {0}

Ejemplo 3.2. El subconjunto O(2,R) de Isom(R2) de las isometrasque dejan fijo el origen es un subgrupo de Isom(R2).

Ejemplo 3.3. Las cuatro permutaciones

V = { (1), (12)(34), (13)(24), (14)(23) }

es un grupo porque V es un subgrupo de S4: (1) V; para cada V,2 = (1) y entonces 1 = V. Finalmente, el producto de dos per-mutaciones diferentes en V{(1)} es la tercera. El grupo V es el grupocuarto de Klein.

Ejemplo 3.4. Los elementos e, a, a2, a3, a4, a5 forman un subgrupo deD6. Estos elementos son las rotaciones del hexagono regular.

Los elementos e, a, b, ab no forman un subgrupo de D6. El elementoa esta en el conjunto, pero el producto aa = a2 no esta.

Ejemplo 3.5. Si R2 es el plano como grupo aditivo, entonces cualquierrecta que pasa por el origen es un subgrupo.

Las condiciones necesarias para verificar que un subconjunto es unsubgrupo se pueden reducir, como se muestra en la proposicion que sigue.

Proposicion 3.2 (Criterio para subgrupos). Un subconjunto H deun grupo G es un subgrupo si, y solo si H no es vaco y, siempre quex, y H, se tiene que xy1 H.Demostracion. Si H es un subgrupo, H no es vaco, porque e H. Six, y H, entonces, de (1) y (3) en la definicion, xy1 H

Recprocamente, supuesto que H es un subconjunto que cumple lahipotesis. Como H no es vaco, tiene un elemento h. Tomando x = h = y,se tiene que e = hh1 H y se cumple (2). Si y H, tomamos x = e,lo que nos da y1 = ey1 H y se cumple (3). Finalmente, se sabeque, (y1)1 = y, entonces si x, y H se tiene que y1 H luegoxy = x(y1)1 H y se cumple (1). Se concluye que H es un subgrupode G.


Se observa que si la operacion en G es la adicion, la condicion en laproposicion es, H es un subconjunto no es vaco tal que: x, y H implicax y H.

Para Galois, un grupo fue un subconjunto H de Sn, cerrado parala composicion. A. Cayley, en 1854, fue el primero en definir un grupoabstracto mencionando asociatividad, elemento neutro e inversos explci-tamente. Con esta observacion veamos la siguiente proposicion.

Proposicion 3.3. Un subconjunto H de un grupo finito G es un subgruposi, y solo si H es cerrado para la operacion en G.

En particular, un subconjunto no vaco de Sn es un subgrupo si, ysolo si es cerrado para la composicion.

Demostracion. Todo subgrupo no es vaco, por (2) en la definicion desubgrupo y es cerrado por (1).

Recprocamente, supuesto que H es un subconjunto no vaco de Gcerrado para la operacion de G. Existe un elemento a H y an Hpara todo n > 1. Como todo elemento de un grupo finito G tiene ordenfinito, existe m entero con am = e, entonces e H y se cumple (2). Sih H y hn = 1, entonces h1 = hn1 y entonces h1 H y se cumple(3). Se concluye que H es un subgrupo de G.

Ejemplo 3.6. El subconjunto An de Sn de todas las permutaciones pareses un subgrupo de Sn y es el grupo alterno de n smbolos.

Definicion 3.3. Si G es un grupo y a G, entoncesa = { an | n Z }

a es el subgrupo cclico de G generado por a.Un grupo G es cclico si existe a G tal que G = a; en este caso

a es un generador de G.

Es facil ver que a es efectivamente un subgrupo: e = a0 a;aman = am+n a; (an)1 = an a.

Si a es de orden infinito, entonces a est formado por . . . , a2, a1,e, a, a2, a3, . . . . Si a tiene orden finito m los elementos de a son e,a, a2, . . . , am1 ya que am = e y m es el menor entero positivo conesta propiedad. As, el orden de a es precisamente el orden del subgrupogenerado por a.

Ejemplo 3.7. En el grupo (Z,+), para a Z el grupo cclico generadopor a es

a = {ka | k Z}

Subgrupos 47

ya que la operacion es de adicion y en este caso, por ejemplo, la cuartapotencia de a es a+ a+ a+ a = 4a. Se observa entonces que Z = 1y as Z es un grupo cclico, generado por 1. 1 tambien genera a Z.

Ejemplo 3.8. En D6 se es facil verificar que

e = {e}a = a2 = {e, a, a2}b = {e, b}ab = {e, ab}a2b = {a, a2b}

El grupo diedro D2n no es cclico, pero cada uno de sus elementosse puede expresar en terminos de dos elementos a una rotacion y b unareflexion, y los dos elementos generan a D2n.

Ejemplo 3.9. En el ejemplo 1.5 vimos que para todo n > 1, el grupomultiplicativo n de las races n-esimas de la unidad es un grupo cclicocon generador la raz primitiva de la unidad = e2pii/n.

Un grupo cclico puede tener varios generadores diferentes. Por ejem-plo, a = a1. Si (k, n) = 1, entonces la races primitiva e2piik/n tam-bien es un generador de n.

Proposicion 3.4. Si G = a es un grupo cclico de orden n, entoncesak es un generador de G si, y solo si (k, n) = 1.

Demostracion. Si ak es un generador, entonces a ak y existe s cona = aks y as, aks1 = e y de la proposicion 1.13, se obtiene que n | ks1y existe un entero t tal que ks 1 = tn y sk tn = 1, lo que implica que(k, n) = 1.

Recprocamente, con (k, n) = 1 existen enteros s y t con 1 = sk+ tn,entonces a = ask+tn = ask, porque atn = (an)t = e, luego a ak.Entonces G = a 6 ak, de donde G = ak.

Corolario 3.5. El numero de generadores de un grupo cclico de ordenn es (n).

Demostracion. Se sabe que es la funcion de Euler definida por: si n > 1,entonces (n) es el numero de enteros k con 1 6 k 6 n y (k, n) = 1


En el curso de teora de numeros se demuestra una formulapara calcular (n). Si n = pe11 pett es la factorizacion enprimos de n, entonces

(n) = n(

1 1p1

) (

1 1pt

)Proposicion 3.6. Todo subgrupo de un grupo cclico es cclico.

Demostracion. Sea G = a un grupo cclico y H uno de sus subgrupos.Si H = {e}, el resultado se cumple pues H es en este caso el subgrupocclico generado por e.

Ahora suponemos que H 6= {e}. Si am H con m 6= 0, entoncesam tambien es un elemento de H y as H contiene potencias positivasde a. Sea n el menor entero positivo tal que an H. En lo que siguedemostraremos que H = an. Como an H toda potencia de an es unelemento de H, con lo cual an H. Para mostrar la inclusion H anconsideramos ak H. Dividiendo a k por n obtenemos k = nq + r con0 6 r < n y con esto:

ar = aknq = ak(an)q

Lo que nos muestra que ar H ya que ak y an pertenecen a H.Entonces si ar H no puede ocurrir que 0 < r < n, por el caracterminimal de n, y as la unica posibilidad es que r = 0, con lo cual:

ak = (an)q any se cumple que H an y tenemos lo que se quera: H = an.Proposicion 3.7. Sea G un grupo finito y sea a G. El orden de a esel numero de elementos de a.Demostracion. Si G es un grupo finito, existe un entero k > 1 tal quee, a, a2, . . . , ak1 son elementos diferentes de G mientras que entre loselementos e, a, a2, . . . , ak1, ak hay una repeticion, es decir ak = ai paraalgun i con 0 6 i < k. Si i > 1, entonces aki = e, lo que contradice elque la lista inicial no tenia repeticiones. Entonces, ak = a0 = e y k es elorden de a, ya que es el menor entero positivo con ak = e.

Si H = { e, a, a2, . . . , ak1 }, entonces |H| = k. Demostremos queH = a. Claramente, H a. Para la otra inclusion, tomemos ai a,dividiendo a i por k, i = qk + r con 0 6 r < k. Entonces,

ai = aqk+r = aqkar = (ak)qar = ar Hy a H. Luego H = a.

Subgrupos 49

Definicion 3.4. Si G es un grupo finito, entonces el numero, |G|, deelementos de G es el orden de G.

El termino orden tiene dos significados en teora de grupos: el ordende un elemento a G y el orden |G| de un grupo. La proposicion anteriormuestra que el orden de un elemento a G es igual al orden del grupo|a|.

Ahora buscamos otra caracterizacion de los grupos cclicos finitos quesera muy util mas adelante.

Proposicion 3.8. Sea G un grupo de orden n. Si G es cclico, entoncesG tiene un unico subgrupo de orden d por cada divisor d de n.

Demostracion. Supuesto que G = a es un grupo cclico de orden n,sea d un divisor de n. Veamos que an/d tiene orden d. Claramente,(an/d)d = e falta ver que d es el menor de estos enteros. Si (an/d)r = e,entonces n | (n/d)r por la proposicion 1.13, luego existe un entero s con(n/d)r = ns, de donde r = ds y r > d.

Para probar la unicidad, sea C un subgrupo de G = a de ordend, por la proposicion 3.6, C es cclico, luego C = x con x a. Setiene que x = am es de orden d, as que (am)d = e y entonces n | md(proposicion 1.3) de donde md = nk para algun entero k y x = am =(an/d)k de donde C x an/d. Como los dos grupos tienen el mismoorden C = an/d.

Por el corolario 3.5, si C es un grupo cclico finito de orden n congen(C) se denota el conjunto de todos los generadores de C, entonces

|gen(C)| = (n)Proposicion 3.9. Si n es un entero positivo, entonces

n =d|n

(d)

Demostracion. Se define una relacion sobre un grupo G porx y si, y solo si x = y

es facil ver que esta relacion es de equivalencia sobre G y que para a Gla clase de equivalencia de a esta formada por todos los generadores deC = a entonces

G =

C es cclico

gen(C)


Si G es de orden n, n =

C |gen(C)|, donde la suma se hace sobretodos los subgrupos cclicos de G. Por el corolario 3.5, |gen(C)| = (|C|).Mientras que si G es cclico, de la proposicion 3.8 se obtiene

n =C

|gen(C)| =d|n

(d)

porque G tiene exactamente un subgrupo por cada divisor d del orden nde G.

Proposicion 3.10. Un grupo G de orden n es cclico si, y solo si porcada divisor d de n hay a lo mas un subgrupo cclico de orden d.

Demostracion. Si G es cclico, el resultado se sigue de la proposicion 3.8.Recprocamente, como en la demostracion anterior escribimos a G

como una union disyunta: G =

gen(C), entonces

n =C

|gen(C)|

donde la suma se hace sobre todos los subgrupos cclicos C de G. Si Gtiene a lo mas un subgrupo cclico de orden d, la proposicion anterior da

n =C

|gen(C)| 6d|n

(d) = n

Entonces, G tiene exactamente un subgrupo de orden d por cadadivisor d de n; es particular, hay un subgrupo de orden n y entonces Ges cclico.

Hay una manera de construir un nuevo subgrupo a partir de otros.

Proposicion 3.11. La interseccioniI Hi de cualquier familia de sub-

grupos de un grupo G es un subgrupo de G.

Demostracion. Sea D =iI Hi, mostramos que D es un subgrupo de

G. Como cada Hi es un subgrupo, e Hi y entonces e D y D 6= . Six, y D, entonces x, y Hi para todo i, como cada Hi es un subgrupo,xy1 Hi, para todo i, de donde xy1 D. Se concluye que D es unsubgrupo de G.

Corolario 3.12. Si X es un subconjunto de un grupo G, entonces existeun subgrupo X de G que es el menor subgrupo de G que contiene a X.

Subgrupos 51

Demostracion. Primero que todo, observamos que existe subgrupos de Gque contienen a X: por ejemplo G contiene a X. Se define

X ={H | H es subgrupo de G y X H }

La proposicion anterior nos dice que X es un subgrupo de G queademas contiene a X porque todo H contiene a X. Finalmente, si H escualquier subgrupo que contiene a X, H es uno de los subgrupos cuyainterseccion es X, de donde X H.Definicion 3.5. Si X es un subconjunto de un grupo G, entonces Xes el subgrupo generado por X.

Ejemplo 3.10. Si G = a es un grupo cclico con generador a, entoncesG es generado por el subconjunto X = {a}. Sin embargo, escribimos aen lugar de {a}.Definicion 3.6. Sea X un subconjunto de un grupo G. Una palabrasobre X es el elemento neutro o un elemento de G de la forma w =xe11 x

e22 xenn donde n > 1, xi X y ei = 1, para todo i.

Proposicion 3.13. Si X es un subconjunto de un grupo G, entoncesX es el conjunto de todas las palabras sobre X.Demostracion. Para comenzar demostramos que W , el conjunto de laspalabras sobre X es un subgrupo de G. Por definicion, e W . Si w,w W , entonces w = xe11 x

e22 xenn y w = yf11 yf22 yfmm , donde xi, fj X

y ei, fj = 1, entonces ww = xe11 xe22 xenn yf11 yf22 yfmm , que es unapalabra sobre X y ww W . Para terminar, w1 = xe11 xe22 xenn W . As, W es un subgrupo de G y claramente contiene todo elemento deX. Por el corolario 3.12, X W . La otra inclusion, cualquier subgrupodeG que contenga aX debe contener aW . Se concluye queW = X.Ejemplo 3.11. El grupo de simetras (pin) de un polgono regular den lados esta generado por X = {a, b}, donde a es una rotacion alrededordel origen de (360/n) y b una reflexion. Las palabras sobre X se debenconstruir teniendo en cuenta que los generadores satisfacen las relacionesan = e, b2 = e y bab = a1.

Proposicion 3.14. Sean a y b enteros y sean A = a y B = b lossubgrupos de Z generados por a y b. Se tiene que

1. Si A+B esta definido por { sa+tb | s, t Z }, entonces A+B = d,donde d = mcd(a, b)


2. A B = m donde m = mcm(a, b)Demostracion. (1) En notacion aditiva, una palabra es una combinacionlineal y por la proposicion anterior, A+B es el subgrupo de Z generadopor AB. Por la proposicion 3.6, A+B es cclico y A+B = d donded es el menor entero nonegativo que es combinacion lineal de a y b, esdecir, d = mcd(a, b).

(2) Si c AB, entonces c A y a | c, tambien c B y b | c, entoncestodo elemento de AB es un multiplo comun de a y b. Recprocamente,todo multiplo comun esta en la interseccion. El subgrupo AB es cclico:A B = m, donde m se puede elegir como el menor entero nonegativoen A B, es decir m = mcm(a, b).

3.2 Teorema de Lagrange

El hecho mas importante sobre subgrupos H de un grupo finito G esque sus ordenes estan relacionados. Claramente, |H| 6 |G|, pero ocurrealgo mas: |H| debe ser un divisor de |G|. Para demostrar esto introduci-mos la nocion de clase lateral.

Definicion 3.7. Si H es un subgrupo de un grupo G y a G, entoncesla clase lateral a izquierda aH es el subconjunto de G dado por

aH = { ah | h H }Tambien se definen clases laterales a derecha, son subconjuntos de la

forma Ha = {ha | h H }, que apareceran mas adelante, por ahora soloconsideraremos clases laterales a izquierda.

Claramente, a = ae aH. Las clases laterales usualmente no sonsubgrupos. Por ejemplo, si a / H, entonces e / H, porque si e = ah,para algun h H, entonces a = h1 H, lo que es contradictorio.Ejemplo 3.12. Consideremos el plano R2 como grupo aditivo y sea `una recta que pasa por el origen O, la recta ` es un subgrupo de R2. Si R2, entonces la clase lateral + ` es la recta ` que contiene a y esparalela a `, porque si r `, la ley del paralelogramo nos da +r `.(Figura 3.2)

Ejemplo 3.13. Si G = S3 y H = (12), hay exactamente tres claseslaterales de H

H = {(1), (12)} = (12)H(13)H = {(13), (123)} = (123)H(23)H = {(23), (132)} = (132)H

Teorema de Lagrange 53

Figura 3.2: La clase lateral +

y todas tienen dos elementos.

Proposicion 3.15. Si H es un subgrupo de un grupo G, la relacion sobreG, definida por

a b si, y solo si a1b Hes una relacion de equivalencia.

Demostracion. Si a G, entonces aa1 = e H de donde a a y es reflexiva. Si a b, entonces a1b H y como H es un subgrupo,(a1b)1 = b1a H de donde b a y es simetrica. Si a b y b c,entonces a1b H y b1c H, de donde (a1b)(b1c) = a1c H ya c, la relacion es transitiva y es una relacion de equivalencia sobreG.

Si a G la clase de equivalencia de a para la relacion es

[a] = {x G | a x }= {x G | a1x H }= {x G | a1x = h para algun h H }= {x G | x = ah para algun h H }= aH

Entonces, las clases de equivalencia para la relacion son las claseslaterales del subgrupo H. El conjunto de clases de equivalencia formauna particion de G.

Proposicion 3.16. Si H es un subgrupo de un grupo G y a, b G,entonces


1. aH = bH si, y solo si a1b H. En particular, aH = H si, y solosi a H.

2. Si aH bH 6= , entonces aH = bH.3. |ah| = |H|, para todo a G.

Demostracion. (1) Como las clases de equivalencia son las clases lateral

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Estructuras Algebraicas - E. Pérez