INTRODUCCIÓN AL INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE CÁLCULO DE

PROBABILIDADESPROBABILIDADES

ProbabilidadProbabilidad

El concepto de probabilidad se encuentra con bastante El concepto de probabilidad se encuentra con bastante frecuencia en la comunicación en el área de salud.frecuencia en la comunicación en el área de salud.

Ejemplos Ejemplos Un médico afirma que un paciente X tiene una Un médico afirma que un paciente X tiene una probabilidad del 80% de sobrevivir a una operación.probabilidad del 80% de sobrevivir a una operación.

Una fuente autorizada del Ministerio de Salud; declara a la Una fuente autorizada del Ministerio de Salud; declara a la

prensa de que en este verano hay 10% de probabilidad de prensa de que en este verano hay 10% de probabilidad de que se desate una epidemia de cólera en la Capital.que se desate una epidemia de cólera en la Capital.

¿Por qué es necesario aprender a ¿Por qué es necesario aprender a calcular probabilidades ?calcular probabilidades ?

La medicina es una ciencia inexacta por lo que el médico La medicina es una ciencia inexacta por lo que el médico raras veces puede predecir un resultado con absoluta raras veces puede predecir un resultado con absoluta certeza.certeza.

Para formular el diagnóstico el médico debe contar con Para formular el diagnóstico el médico debe contar con toda la información posible acerca del paciente. Por toda la información posible acerca del paciente. Por ejemplo debe :ejemplo debe :Revisar la historia clínicaRevisar la historia clínicaRealizar un examen físico del pacienteRealizar un examen físico del pacienteSolicitar estudios de laboratorioSolicitar estudios de laboratorioResultados de rayos X, etc.Resultados de rayos X, etc.

¿Por qué es necesario aprender a ¿Por qué es necesario aprender a

calcular probabilidades ?calcular probabilidades ?

Para cuantificar la incertidumbre y Para cuantificar la incertidumbre y tomar decisiones, el médico se tomar decisiones, el médico se apoya en la apoya en la teoría de las teoría de las probabilidadesprobabilidades

¿Por qué es necesario aprender a ¿Por qué es necesario aprender a

calcular probabilidades ?calcular probabilidades ?La teoría de probabilidades también permite La teoría de probabilidades también permite al médico extraer conclusiones acerca de una al médico extraer conclusiones acerca de una población de pacientes basado en la población de pacientes basado en la información acerca de un una muestra información acerca de un una muestra extraída de esa población.extraída de esa población.

Este proceso se denomina inferencia Este proceso se denomina inferencia estadística.estadística.

Conceptos básicos sobre Conceptos básicos sobre probabilidadprobabilidad

Un experimento aleatorio es aquel en que se conocen todos los Un experimento aleatorio es aquel en que se conocen todos los posibles resultados, pero no se sabe cual va a ocurrirposibles resultados, pero no se sabe cual va a ocurrir

Ejemplo :Ejemplo :

El nacimiento de un niño es un experimento aleatorio, se sabe que El nacimiento de un niño es un experimento aleatorio, se sabe que el niño puede ser va rón o mujer , pero no se sabe cual será el el niño puede ser va rón o mujer , pero no se sabe cual será el resultado. resultado.

Un evento es uno o más de los posibles resultados de un Un evento es uno o más de los posibles resultados de un experimento aleatorio.experimento aleatorio.

Ejemplo : Ejemplo :

Los eventos del experimento aleatorio son : varón, mujerLos eventos del experimento aleatorio son : varón, mujer

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADESDE PROBABILIDADES

PROBABILIDADESPROBABILIDADES Una probabilidad es una cuantificación Una probabilidad es una cuantificación

basada en técnicas matemáticas de la basada en técnicas matemáticas de la probabilidad de que ocurra un determinado probabilidad de que ocurra un determinado suceso o cuento.suceso o cuento.

La probabilidad de la ocurrencia de un La probabilidad de la ocurrencia de un suceso puede asociarse a un número entre suceso puede asociarse a un número entre cero y uno.cero y uno.

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADESDE PROBABILIDADES

La probabilidad es un concepto de La probabilidad es un concepto de gran importancia en la toma de gran importancia en la toma de decisiones.decisiones.

La probabilidad es una medida de la La probabilidad es una medida de la incertidumbre inherente a todo suceso incertidumbre inherente a todo suceso aleatorio.aleatorio.

CUANTIFICACIÓN DE LA CUANTIFICACIÓN DE LA PROBABILIDADPROBABILIDAD

El cálculo de la probabilidad se realiza El cálculo de la probabilidad se realiza siguiendo la clásica formulación de siguiendo la clásica formulación de Pascal: Pascal:

NCF: Número de casos favorables.NCF: Número de casos favorables.

NCP: Número de casos Posibles.NCP: Número de casos Posibles.

NCPNCF

P

AXIOMAS DE LA AXIOMAS DE LA PROBABILIDADPROBABILIDAD

En todo espacio de probabilidad deben En todo espacio de probabilidad deben

cumplirse los siguientes axiomas:cumplirse los siguientes axiomas: Si Si ΩΩ es el espacio muestral de un es el espacio muestral de un

determinado experimento aleatorio,determinado experimento aleatorio,

P( P( ΩΩ ) = 1 ) = 1

ΩΩ : Es suceso seguro : Es suceso seguro

AXIOMAS DE LA AXIOMAS DE LA PROBABILIDADPROBABILIDAD

Si A es un suceso perteneciente a un Si A es un suceso perteneciente a un determinado experimento, 0≤P(A)≤1determinado experimento, 0≤P(A)≤1..

Dado un espacio muestral finito y una Dado un espacio muestral finito y una sucesión de sucesos Asucesión de sucesos A11, A, A22, … ,A, … ,An n

mutuamente excluyente, entonces:mutuamente excluyente, entonces:

P(AP(A11 U A U A22 U …. U A U …. U Ann) = P(A) = P(A11) + P(A) + P(A22) +…+ P(A) +…+ P(Ann) )

REGLA GENERAL DE LA REGLA GENERAL DE LA ADICIÓNADICIÓN

Si A y B son dos sucesos cualesquiera, Si A y B son dos sucesos cualesquiera, entonces :entonces :

P (AP (A∪∪BB) = P (A) + P (B) - P (A) = P (A) + P (B) - P (A∩B∩B))

Ejemplo:Ejemplo:

Se estima que el 15% de los habitantes de un país Se estima que el 15% de los habitantes de un país padecen de hipertensión arterial (A), y el 25% padecen de hipertensión arterial (A), y el 25% padece de hiperlipemia (B), el 5% son hipertensos e padece de hiperlipemia (B), el 5% son hipertensos e hiperlipémicos (Ahiperlipémicos (A∩B).∩B).

Calcularla probabilidad de que un Calcularla probabilidad de que un individuo elegido al azar no individuo elegido al azar no padezca ni de hipertensión ni de padezca ni de hipertensión ni de hiperlipemia.hiperlipemia.

Solución.Solución.

Datos del problema:Datos del problema:

P(A) = 0.15 P(B) = 0.25 P(A P(A) = 0.15 P(B) = 0.25 P(A ∩∩B) = 0.05B) = 0.05

- -- -

En el problema se pide: P(A En el problema se pide: P(A ∩B )∩B )

Primero encontremos la probabilidad de que el Primero encontremos la probabilidad de que el individuo elegido al azar sufra hipertensión o individuo elegido al azar sufra hipertensión o hiperlipemia, es decir hiperlipemia, es decir P (AP (A∪∪BB) )

P (A∪P (A∪BB) = P (A) + P (B) - P (A∩B)) = P (A) + P (B) - P (A∩B) = 0.15 + 0.25 - 0.05= 0.15 + 0.25 - 0.05 = 0.35= 0.35

Entonces :Entonces : - - ____- - ____ P(A ∩B ) = P( AP(A ∩B ) = P( A∪B) = 1 - ∪B) = 1 - P (A∪P (A∪BB)) = 1 - 0.35= 1 - 0.35 = 0.65= 0.65

PROBABILIDAD CONDICIONALPROBABILIDAD CONDICIONAL

Si A y B son dos sucesos con P (A) > 0, la Si A y B son dos sucesos con P (A) > 0, la probabilidad de que ocurra otro suceso B probabilidad de que ocurra otro suceso B sabiendo que ha ocurrido A, es decir, la sabiendo que ha ocurrido A, es decir, la probabilidad condicionada de B dado A que probabilidad condicionada de B dado A que se denota por P( B /A ), es igual a:se denota por P( B /A ), es igual a:

APBAP

ABP

Ejemplo:Ejemplo: En una población el 2% de sus habitantes son En una población el 2% de sus habitantes son

mayores de 55 años y el 1% padecen diabetes mayores de 55 años y el 1% padecen diabetes y tiene más de 55 años. Si un individuo tiene y tiene más de 55 años. Si un individuo tiene más de 55 años ¿Cuál es la probabilidad de más de 55 años ¿Cuál es la probabilidad de que tenga diabetes?que tenga diabetes?

A: La persona tiene más de 55 años.A: La persona tiene más de 55 años.

B: La persona tiene diabetes.B: La persona tiene diabetes.

5.0

02.001.0

APBAP

ABP

TEOREMA DE LA TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓNMULTIPLICACIÓN

Teniendo en cuenta la definición de la Teniendo en cuenta la definición de la probabilidad condicionada:probabilidad condicionada:

ABPAPBAP .

APBAP

ABP

Ejemplo:Ejemplo:

En un servicio de medicina interna el 40% de En un servicio de medicina interna el 40% de los pacientes ingresados es a causa de los pacientes ingresados es a causa de enfermedades infecciosas (A). La probabilidad enfermedades infecciosas (A). La probabilidad de que un paciente sea diabético (B), sabiendo de que un paciente sea diabético (B), sabiendo que tiene una infección, es del 25%.que tiene una infección, es del 25%.

Calcular la probabilidad de que un paciente Calcular la probabilidad de que un paciente ingresado en un servicio de medicina interna ingresado en un servicio de medicina interna sea diabético y tenga una infección (Asea diabético y tenga una infección (A∩B)∩B)

Solución:Solución:

Datos:Datos:P(A) = 0.4 P(B/A) = 0.25P(A) = 0.4 P(B/A) = 0.25Por la regla de la multiplicación tenemos:Por la regla de la multiplicación tenemos:

= ( 0.4 ) ( 0.25 )= ( 0.4 ) ( 0.25 )

= 0.1= 0.1

ABPAPBAP .

INDEPENDENCIA DE SUCESOSINDEPENDENCIA DE SUCESOS

Desde un punto de vista formal, se puede decir Desde un punto de vista formal, se puede decir que A y B son sucesos independientes si la que A y B son sucesos independientes si la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B, probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B, no sufre modificaciones desde el punto de no sufre modificaciones desde el punto de vista matemático esto se expresa de la vista matemático esto se expresa de la siguiente manera:siguiente manera:

P(A/B) = P(A)P(A/B) = P(A)

INDEPENDENCIA DE SUCESOSINDEPENDENCIA DE SUCESOS

BPBAP

BAP

)(APBP

BAP

)().( BPAP

BAP

Ejemplo:Ejemplo:

En un centro sanitario de los pacientes En un centro sanitario de los pacientes intervenidos quirúrgicamente el 25% tiene intervenidos quirúrgicamente el 25% tiene alguna complicación postquirúrgica (A), el alguna complicación postquirúrgica (A), el 50% tiene mas de 60 años (B), y el 60% tiene 50% tiene mas de 60 años (B), y el 60% tiene mas de 60 años o ha padecido alguna mas de 60 años o ha padecido alguna complicación postquirúrgica (Bcomplicación postquirúrgica (B∪A)∪A)..

¿Los sucesos, tiene mas de 60 años y padece ¿Los sucesos, tiene mas de 60 años y padece alguna complicación postquirúrgica, son alguna complicación postquirúrgica, son independientes?independientes?

SoluciónSoluciónDatos:Datos:P(A) = 0.25 P(B) = 0.5 P(BP(A) = 0.25 P(B) = 0.5 P(B∪A∪A) = 0.6) = 0.6Sabemos que: Sabemos que: P(AP(A∪∪B) = P(A) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(A∩∩B)B) 0.6 = 0.25 + 0.5 - P(A0.6 = 0.25 + 0.5 - P(A∩∩B)B) P(AP(A∩∩B) = 0.25 + 0.5 – 0.6 = 0.15B) = 0.25 + 0.5 – 0.6 = 0.15Se debe cumplir que: Se debe cumplir que: P(AP(A∩∩B) = P(A) . P(B)B) = P(A) . P(B) 0.15 0.15 ≠ 0.25 x 0.5≠ 0.25 x 0.5Por lo tanto los sucesos son dependientes. Por lo tanto los sucesos son dependientes.

TEOREMA DE BAYESTEOREMA DE BAYES

Supongamos que se dispone de una Supongamos que se dispone de una colección de conjuntos A, B, C que forman colección de conjuntos A, B, C que forman una participación de un espacio muestral una participación de un espacio muestral ΩΩ. Esto significa que . Esto significa que ΩΩ = AUBUC y = AUBUC y ademásademás

BA CBBA

Una vez establecida la participación del Una vez establecida la participación del espacio muestral espacio muestral ΩΩ, dado un conjunto W, , dado un conjunto W, sub conjunto de sub conjunto de ΩΩ, se cumple que:, se cumple que:

Esto se puede generalizar para más Esto se puede generalizar para más subconjuntos de subconjuntos de ΩΩ, para que cumplan las , para que cumplan las condiciones inherentes a la participación.condiciones inherentes a la participación.

CWPCPB

WPBPAWPAP

AWPAP

WAP

...

Ejemplo:Ejemplo:

En una ciudad hay tres servicios hospitalarios En una ciudad hay tres servicios hospitalarios que realizan trasplantes de riñón A, B y C. el que realizan trasplantes de riñón A, B y C. el servicio A realiza el 40% de los trasplantes, el servicio A realiza el 40% de los trasplantes, el servicio B al 25% y el servicio C el 35%. El servicio B al 25% y el servicio C el 35%. El servicio A tiene un 3% de fracasos, el servicio servicio A tiene un 3% de fracasos, el servicio B un 4% y el servicio C un 5% se selecciona B un 4% y el servicio C un 5% se selecciona al azar un paciente en el que el trasplante ha al azar un paciente en el que el trasplante ha fracasado ¿Cuál es la probabilidad de que fracasado ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido operado en el servicio A?haya sido operado en el servicio A?

35.0)(25.0)(4.0)( CPBPAP

05.004.003.0 CWPB

WPAWP

WAPpideSe

304.0

)05.0(35.0)04.0(25.0)03.0(4.0)03.0(4.0

).().().(

).(

WAP

WAP

CWPCPB

WPBPAWPAP

AWPAP

WAP

DIAGNÓSTICODIAGNÓSTICO

El diagnóstico es un acto que pretende El diagnóstico es un acto que pretende identificar la enfermedad o enfermedades que identificar la enfermedad o enfermedades que afectan a un determinado paciente:afectan a un determinado paciente:

El proceso de diagnóstico consta de tres El proceso de diagnóstico consta de tres partes:partes:

La Historia clínica.La Historia clínica. La exploración física.La exploración física. Pruebas complementarias.Pruebas complementarias.

CARACTERÍSTICAS CARACTERÍSTICAS PROBABILÍSTICAS DE LAS PROBABILÍSTICAS DE LAS PRUEBAS DIAGNÓSTICASPRUEBAS DIAGNÓSTICAS

Las características probabilísticas de las Las características probabilísticas de las pruebas diagnósticas son las siguientes:pruebas diagnósticas son las siguientes:

Sensibilidad.Sensibilidad. Especificidad.Especificidad. Valor predictivo positivo.Valor predictivo positivo. Valor predictivo negativo.Valor predictivo negativo.

SENSIBILIDAD Y PROPORCIÓN SENSIBILIDAD Y PROPORCIÓN DE FALSOS NEGATIVOSDE FALSOS NEGATIVOS

La sensibilidad de una prueba diagnóstica La sensibilidad de una prueba diagnóstica respecto a una determinada enfermedad es la respecto a una determinada enfermedad es la probabilidad de que el resultado sea positivo en probabilidad de que el resultado sea positivo en una persona afectada de dicha enfermedad, su una persona afectada de dicha enfermedad, su expresión matemática es:expresión matemática es:

P : Indica probabilidadP : Indica probabilidad

T+ : Significa prueba positivaT+ : Significa prueba positiva

E : EnfermoE : Enfermo

)(EPETP

ETP

La probabilidad complementaria de la La probabilidad complementaria de la sensibilidad es la probabilidad de falsos sensibilidad es la probabilidad de falsos negativos. Su expresión matemática es la negativos. Su expresión matemática es la siguiente.siguiente.

TT_ _ : Significa que el resultado de la prueba es : Significa que el resultado de la prueba es

negativonegativo

)(EPETP

ETP

ESPECIFICIDAD Y FALSOS ESPECIFICIDAD Y FALSOS POSITIVOSPOSITIVOS

La especificidad de una prueba diagnóstica, respecto a una determinada La especificidad de una prueba diagnóstica, respecto a una determinada enfermedad es la probabilidad de que el resultado sea negativo en una persona enfermedad es la probabilidad de que el resultado sea negativo en una persona que no esta afectado por la enfermedad. Su expresión matemática es la siguiente:que no esta afectado por la enfermedad. Su expresión matemática es la siguiente:

: Indica no enferma: Indica no enferma

)(nÊ EPETP

ETP

E

La probabilidad complementaria de la La probabilidad complementaria de la especificidad es la probabilidad de falsos especificidad es la probabilidad de falsos positivos. Su expresión matemática es la positivos. Su expresión matemática es la siguiente.siguiente.

)(EPETP

ETP

VALOR PREDICTIVO POSITIVOVALOR PREDICTIVO POSITIVO

El valor predictivo positivo de una prueba El valor predictivo positivo de una prueba diagnostica para una determinada diagnostica para una determinada enfermedad es la probabilidad de que una enfermedad es la probabilidad de que una persona, en la que la prueba es positiva, persona, en la que la prueba es positiva, padezca la enfermedad de referencia. A esta padezca la enfermedad de referencia. A esta característica también se le denomina característica también se le denomina probabilidad post prueba de estar enfermo.probabilidad post prueba de estar enfermo.

La expresión matemática es la siguiente:La expresión matemática es la siguiente:

)(

TPTEP

TEP

VALOR PREDICTIVO VALOR PREDICTIVO NEGATIVONEGATIVO

El valor predictivo negativo de una prueba El valor predictivo negativo de una prueba diagnostica para una determinada diagnostica para una determinada enfermedad es la probabilidad de que una enfermedad es la probabilidad de que una persona, en la que la prueba es negativa, no persona, en la que la prueba es negativa, no padezca la enfermedad de referencia. Su padezca la enfermedad de referencia. Su expresión matemática es la siguiente:expresión matemática es la siguiente:

)(

ÊÊ

TPTP

TP

Se expresa una nueva prueba para Se expresa una nueva prueba para diagnosticar el carcinoma de próstata. Se diagnosticar el carcinoma de próstata. Se dispone de 212 personas a las que se ha dispone de 212 personas a las que se ha realizado una biopsia de próstata realizado una biopsia de próstata considerada como estándar de oro para considerada como estándar de oro para esta enfermedad. Se considera como esta enfermedad. Se considera como enfermo (E) aquellos en los que la enfermo (E) aquellos en los que la biopsia es positiva, y no enfermos biopsia es positiva, y no enfermos aquellos en los que la biopsia es negativa.aquellos en los que la biopsia es negativa.

E

Los resultados obtenidos se expresan en Los resultados obtenidos se expresan en la siguiente tabla:la siguiente tabla:

T

Resultados de la Resultados de la pruebaprueba

EnfermosEnfermos 7070 1010 8080

No enfermosNo enfermos 1212 120120 132132

8282 130130 212212

T

125.08010:.Pr

09.013212:.Pr

91.0132120:

875.08070:

ETPNegativosFalsosop

ETPPositivosFalsosop

ETPdadEspecifici

ETPadSensibilid

DETERMINACIÓN DE LOS DETERMINACIÓN DE LOS VALORES PREDICTIVOS: VALORES PREDICTIVOS:

TEOREMAS DE BAYESTEOREMAS DE BAYESEn la determinación de los valores predictivos En la determinación de los valores predictivos es necesario conocer la prevalencia de la es necesario conocer la prevalencia de la enfermedad particularizada para cada caso:enfermedad particularizada para cada caso:

ETPEPE

TPEP

ETPEP

TEP

.

.

ETPEPE

TPEP

ETPEP

TEP

.

.