Introducción al cálculo integral_6102

EDITORIAL

Introduccin al clculo integralEmilio Defez CandelVicente Soler Basauri El objetivo del presente libro es introducir en el estudio del clculo integral para su posterior aplicacin, mediante el uso de mtodos bsicos del clculo integral. La intencin principal es disponer de herramientas que permitan abordar el clculo de integrales que aparecen en diferentes aplicaciones.

Introduccin al Clculo integral

Intro

ducc

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l cl

culo

inte

gral

Emilio Defez CandelVicente Soler Basauri

EDITORIALUNIVERSITAT POLITCNICA DE VALNCIA

ISBN 978-84-9048-018-2

Los contenidos de esta publicacin han sido revisados por el Departamento de Matemtica Aplicada de la UPV Coleccin Acadmica Para referenciar esta publicacin utilice la siguiente cita: SOLER BASAURI, VICENTE [et al] (2013) Introduccin al clculo integral. Valencia : Universitat Politcnica Primera edicin, 2013 Vicente Soler Basauri

Emilio Defez Candel

de la presente edicin: Editorial Universitat Politcnica de Valncia Distribucin: [email protected] / Telf. 963 877 012/ www.editorial.upv.es / Ref. 6102 ISBN: 978-84-9048-018-2 (versin impresa) Queda prohibida la reproduccin, la distribucin, la comercializacin, la transformacin y, en general, cualquier otra forma de explotacin, por cualquier procedimiento, de la totalidad o de cualquier parte de esta obra sin autorizacin expresa y por escrito de los autores.

Los contenidos de esta publicacin han sido revisados por el Departamento de Matemtica Aplicada de la UPV Coleccin Acadmica Para referenciar esta publicacin utilice la siguiente cita: SOLER BASAURI, VICENTE [et al] (2013) Introduccin al clculo integral. Valencia : Universitat Politcnica Primera edicin, 2013 Vicente Soler Basauri Emilio Defez Candel

de la presente edicin: Editorial Universitat Politcnica de Valncia Distribucin: [email protected] / Telf. 963 877 012/ www.editorial.upv.es / Ref. 921 Imprime: Byprint Percom, S.L. ISBN: 978-84-9048-018-2 Impreso bajo demanda Queda prohibida la reproduccin, la distribucin, la comercializacin, la transformacin y, en general, cualquier otra forma de explotacin, por cualquier procedimiento, de la totalidad o de cualquier parte de esta obra sin autorizacin expresa y por escrito de los autores. Impreso en Espaa

Introduccin al Clculo Integral

5

Prlogo El objetivo del presente libro es familiarizar al alumno de las escuelas de ingenieras tcnicas y superiores con los mtodos bsicos del clculo integral para su posterior aplicacin. Nuestra intencin es que el alumno disponga, al finalizar el curso, de las herramientas suficientes para abordar el clculo de las integrales que aparecen en las aplicaciones.

Hemos pretendido crear un texto adecuado para el aprendizaje y aplicacin de dichos mtodos y por ello hemos suprimido las demostraciones de los resultados que aqu se utilizan. Sin embargo, pretendemos tambin presentar un texto lo suficientemente atractivo, por lo menos como primera aproximacin, para cualquier persona interesada en el clculo integral. Estas personas podrn encontrar una completa bibliografa al final del presente volumen, donde profundizar en la materia.

Hemos distribuido el material en siete captulos. Cada captulo incluye numerosos ejemplos resueltos, as como una lista final de ejercicios que se proponen al alumno y cuyas soluciones se encuentran en el captulo sptimo. En el captulo sexto se incorpora una coleccin de ejercicios completamente resueltos.

Hemos incluido tres anexos. En el primero de ellos se presentan las frmulas de trigonometra ms utilizadas en el clculo integral. En el segundo, recogemos igualmente las frmulas ms habituales de las funciones hiperblicas. Finalmente, en el tercer anexo, recordamos al alumno algunos resultados sobre el clculo exacto de las races enteras y fraccionarias de un polinomio con coeficientes racionales. El clculo de estas races se utiliza en el captulo cuarto de este volumen.

Los autores desean expresar su agradecimiento en primer lugar a los alumnos, que a pesar de los recursos informticos disponibles para el clculo de integrales, con sus dudas y su deseo de aprender nos han motivado a emprender la ingrata tarea de reescribir y actualizar este texto, cuya primera redaccin data de 1998, y en segundo lugar a nuestros compaeros del Departamento de Matemtica Aplicada de la ETSID, por su ayuda y apoyo.

LOS AUTORES.

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6


6


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ndice

PG Captulo 1.- Integral indefinida ......................................................................... 11

1.1.- Concepto y propiedades ..................................................................... 11 1.1.1.- Primitiva de una funcin F(X).

1.1.2.- Integral indefinida de una funcin f(x).

1.1.3.- Teorema 1-1

1.1.4.- Propiedades de la integral indefinida.

1.2.- Mtodos elementales de integracin ................................................... 12 1.2.1.- Integrales inmediatas. Tabla de integrales inmediatas.

1.2.2.- Integrales casi-inmediatas. Tipos.

1.2.3.- Integracin por descomposicin

1.2.3.1.- Descomposicin trigonomtrica

1.2.3.2.- Descomposicin racional

1.2.3.3.- Descomposicin irracional

Ejercicios propuestos .................................................................................. 25

Captulo 2.- Integracin por sustitucin ............................................................. 27

2.1.- Concepto ............................................................................................. 27

2.2.- Aplicacin al clculo de integrales racionales .................................... 27 2.2.1.- Integracin de funciones racionales en x y en f(x).

2.2.2.- Integracin de funciones racionales en sen(x) y cos(x)

2.2.3.- Integracin de funciones racionales en senh(x) y cosh(x)


Captulo 3.- Mtodo de integracin por partes .................................................. 39

3.1.- Concepto. Casos ................................................................................. 39

3.2.- Frmulas de reduccin ........................................................................ 44

7


8

3.3.- Algunos casos especiales .................................................................... 49


Captulo 4.- Integracin de funciones racionales .............................................. 55

4.1.- Descomposicin factorial de un polinomio ........................................ 55 4.1.1.- Teorema 4-1

4.2.- Descomposicin en fracciones simples de una funcin racional ........ 56 4.2.1.- Teorema 4-2

4.3.- Clculo de integrales racionales ......................................................... 66

4.4.- Mtodo de Hermite ............................................................................. 71


Captulo 5.- Integracin de funciones irracionales ............................................ 77

5.1.- Integracin de funciones racionales en x y potencias

racionales de ax bcx d

....................................................................... 77

5.1.1.- Teorema 5.1.

5.2.- Integracin de funciones racionales en x y ax bx c2 .............. 80 5.2.1.- Teorema 5.2.

5.3.- Mtodo alemn ................................................................................... 87

5.4.- Integracin de expresiones racionales en x y el radical ax bx c2 incompleto .................................................................. 92

5.5.- Integrales binomias ............................................................................. 93 5.5.1.- Definicin

5.5.2.- Clculo de integrales binomias.

Ejercicios propuestos .......................................................................... 99

Captulo 6.- Ejercicios resueltos ....................................................................... 101

Introduccin al clculo integral

8


8

3.3.- Algunos casos especiales .................................................................... 49


Captulo 4.- Integracin de funciones racionales .............................................. 55

4.1.- Descomposicin factorial de un polinomio ........................................ 55 4.1.1.- Teorema 4-1

4.2.- Descomposicin en fracciones simples de una funcin racional ........ 56 4.2.1.- Teorema 4-2

4.3.- Clculo de integrales racionales ......................................................... 66

4.4.- Mtodo de Hermite ............................................................................. 71


Captulo 5.- Integracin de funciones irracionales ............................................ 77

5.1.- Integracin de funciones racionales en x y potencias

racionales de ax bcx d

....................................................................... 77

5.1.1.- Teorema 5.1.

5.2.- Integracin de funciones racionales en x y ax bx c2 .............. 80 5.2.1.- Teorema 5.2.

5.3.- Mtodo alemn ................................................................................... 87

5.4.- Integracin de expresiones racionales en x y el radical ax bx c2 incompleto .................................................................. 92

5.5.- Integrales binomias ............................................................................. 93 5.5.1.- Definicin

5.5.2.- Clculo de integrales binomias.

Ejercicios propuestos .......................................................................... 99

Captulo 6.- Ejercicios resueltos ....................................................................... 101


9

Captulo 7.- Soluciones de los ejercicios propuestos ...................................... 123

Anexo 1.- Funciones trigonomtricas .............................................................. 129

Anexo 2.- Funciones hiperblicas .................................................................... 131

Anexo 3.- Clculo de races enteras y racionales de un polinomio .................. 135

Bibliografa ....................................................................................................... 143

ndice

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10


11

Captulo 1.- Integral indefinida 1.1- Concepto y propiedades

1.1.1- Primitiva de una funcin.- Diremos que la funcin F(x) es una primitiva de f(x) en el intervalo ]a,b[ de la recta real, si se verifica que:

F(x)= f(x) x ]a,b[ En el caso de no especificar el intervalo, se entiende que es el intervalo de

mxima amplitud.

1.1.2.- Integral indefinida de una funcin f(x).- Llamaremos integral indefinida de f(x), o, simplemente integral de f(x), al conjunto de todas las primitivas de f(x). En general se representa por el smbolo:

f x dx( )

1.1.3.- Teorema 1.1- Si F(x) es una primitiva cualquiera de f(x), se verifica: f x dx F x( ) ( )

+ C donde C es una constante real. La expresin F(x)+C representa por tanto el

conjunto de todas las primitivas de la funcin f(x). De esta forma, dos primitivas de una funcin f(x) se diferencian en una constante real.

1.1.4.- P Se verifica:

a).-

f x dx f x dx f x

( ) ( ) ( ) + C

b).-

f x g x dx( ) ( )

= f(x)dx g(x)dx c).- Kf x dx( )

K f(x)dx . K R

ropiedades de la integral indefinida.-

11


12

Solucin:

a x x dx x dx xdx x C x C

x x C

) cos cos sen

sen

3 34

1 2

4

2 24

22

422

b dx e dx Cx) 8e 8 e = - 4e + C-2x-2x

-2x

82

2

1.2.- Mtodos elementales de integracin Para calcular la derivada de una funcin disponemos de unas reglas fijas y

generales a aplicar y que nos permiten el clculo mecnico de dicha derivada. sto no ocurre con el clculo de la integral de una funcin. As, para la obtencin de la funcin primitiva, debemos someter la integral a una serie de transformaciones que la reduzcan a otra cuya solucin sea conocida. A esta ltima integral la llamaremos INTEGRAL INMEDIATA. Muchas integrales se resuelven aplicando el mismo tipo de transformaciones; a cada uno de estos tipos les denominaremos MTODOS DE INTEGRACIN, y se estudiarn con detalle en los captulos siguientes. En este apartado, estudiaremos el caso de las integrales inmediatas o de las que se pueden reducir a ellas mediante transformaciones sencillas:

1.2.1.- Integrales inmediatas.- Son las integrales que se obtienen de la aplicacin directa de alguna regla de derivacin. Segn sto, podemos elaborar una lista de integrales cuya solucin es conocida a la que llamaremos Tabla de integrales inmediatas, y que nos servir de apoyo para la resolucin de las integrales que estudiaremos a lo largo de los captulos siguientes. A continuacin presentamos una tabla de este tipo:

EJEMPLO 1.- Calcular las integrales:

a x dx) cos x dx b) 8e3 -2x

2


12


12

Solucin:

a x x dx x dx xdx x C x C

x x C

) cos cos sen

sen

3 34

1 2

4

2 24

22

422

b dx e dx Cx) 8e 8 e = - 4e + C-2x-2x

-2x

82

2

1.2.- Mtodos elementales de integracin Para calcular la derivada de una funcin disponemos de unas reglas fijas y

generales a aplicar y que nos permiten el clculo mecnico de dicha derivada. sto no ocurre con el clculo de la integral de una funcin. As, para la obtencin de la funcin primitiva, debemos someter la integral a una serie de transformaciones que la reduzcan a otra cuya solucin sea conocida. A esta ltima integral la llamaremos INTEGRAL INMEDIATA. Muchas integrales se resuelven aplicando el mismo tipo de transformaciones; a cada uno de estos tipos les denominaremos MTODOS DE INTEGRACIN, y se estudiarn con detalle en los captulos siguientes. En este apartado, estudiaremos el caso de las integrales inmediatas o de las que se pueden reducir a ellas mediante transformaciones sencillas:

1.2.1.- Integrales inmediatas.- Son las integrales que se obtienen de la aplicacin directa de alguna regla de derivacin. Segn sto, podemos elaborar una lista de integrales cuya solucin es conocida a la que llamaremos Tabla de integrales inmediatas, y que nos servir de apoyo para la resolucin de las integrales que estudiaremos a lo largo de los captulos siguientes. A continuacin presentamos una tabla de este tipo:

EJEMPLO 1.- Calcular las integrales:

a x dx) cos x dx b) 8e3 -2x

2


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CASO GENERAL CASO PARTICULAR

a f x f x dx f xn

Cnn

) ' ( ) ( ) ( )

1

1 x dx x

nCn

n

1

1

b dx f x C) ln ( ) f (x)f(x)

1xdx x C

ln

c f x dx aa

Cf x

) ' ( )ln

( ) a f(x)

a dx aa

Cxx

ln

d ) f (x)cos f(x) dx = sen f(x) + C

cos senxdx x C

e dx f x C) cos ( ) f (x)sen f(x)

sen cosxdx x C

ff x

dx f x C)( )

tg ( ) f' (x)cos2

dx

xx C

costg2

gf x

dx g f x C)( )

cot ( ) f' (x)sen2

dx

xgx C

sencot2

h dx f x C

C

) arcsen ( ) f' (x)

1- f(x) = -arccos f(x)

2

dx

xx C

1 2

arcsen

= -arccosx + C

i f xf x

dx f x C

C

) ' ( )( )

arctg ( )

= -arccotg f(x)1 2

dxx

x C1 2

arctg

= -arccotgx + C

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

Captulo 1. Integral indefinida

13


14

j dx f x C) ( ) f' (x)f(x)

2 dxx

x C

2

k f x

f x cdx f x f x c C) ' ( )

( )ln ( ) ( )

2 2

2 2

l dx f x C) senh ( ) f' (x)cosh f(x)

m dx f x C) cosh ( ) f' (x)senh f(x)

nf x

dx f x C)(

tgh ( ) f' (x)cosh2 9

of x

dx f x C)( )

coth ( ) f' (x)senh2

p dx f x C f x f x C) arg senh ( ) ln ( ) ( ) f' (x)

f(x)2

112

q dx f x C f x f x C) arg cosh ( ) ln ( ) ( ) f' (x)

f(x)2

112

r dx th f x C) arg ( ) f' (x)1- f(x)

ln 1+ f(x)1- f(x)

+ C f(x)2

12

1

s dx f x C) arg coth ( ) f' (x)1- f(x)

= 12ln 1+ f(x)

1- f(x)+ C f(x)2

1

t h f x Cf x

f xC) arg sec ( ) ln

( )( )

f' (x)dx

f(x) 1- f(x)

2

1 1 2


14


14

j dx f x C) ( ) f' (x)f(x)

2 dxx

x C

2

k f x

f x cdx f x f x c C) ' ( )

( )ln ( ) ( )

2 2

2 2

l dx f x C) senh ( ) f' (x)cosh f(x)

m dx f x C) cosh ( ) f' (x)senh f(x)

nf x

dx f x C)(

tgh ( ) f' (x)cosh2 9

of x

dx f x C)( )

coth ( ) f' (x)senh2

p dx f x C f x f x C) arg senh ( ) ln ( ) ( ) f' (x)

f(x)2

112

q dx f x C f x f x C) arg cosh ( ) ln ( ) ( ) f' (x)

f(x)2

112

r dx th f x C) arg ( ) f' (x)1- f(x)

ln 1+ f(x)1- f(x)

+ C f(x)2

12

1

s dx f x C) arg coth ( ) f' (x)1- f(x)

= 12ln 1+ f(x)

1- f(x)+ C f(x)2

1

t h f x Cf x

f xC) arg sec ( ) ln

( )( )

f' (x)dx

f(x) 1- f(x)

2

1 1 2


15

NOTA 1.- A menudo una integral puede expresarse de varias formas distintas segn el mtodo de integracin utilizado, que en principio aparentan ser dos funciones diferentes. Si los clculos se han realizado correctamente, estas funciones representan la misma integral diferencindose nicamente en la constante de integracin (teorema 1.1).

EJEMPLO 2.- Resolver la integral dxx1 2

mediante dos mtodos diferentes:

SOLUCIN:

a dxx

x C

b dxx

dxx

x

dx xdx

xx

K

) arctg

) arctg

1

1 1 1

1

1 11

2

2

2

2

2

2

Veamos que los dos resultados se diferencian en la constante de integracin. En

efecto, tomando C K 2, y teniendo en cuenta las propiedades de las funciones

trigonomtricas (anexo I), se obtiene:

arctg arctg arctg

cot arctg

x C x K x K

arc gx Kx

K

2 21

Y por tanto las dos integrales obtenidas se diferencian en una constante.

NOTA 2.- Al estudiar en los textos de la bibliografa la integral definida, el alumno observar que es condicin suficiente que una funcin f(x) sea continua en un intervalo [a,b] de la recta real, para que tenga funcin primitiva en dicho intervalo. No obstante, esta primitiva en ocasiones no puede ser calculada mediante los mtodos de integracin habituales que presentamos en el presente libro.


15


16

Por ejemplo, las integrales :

axdx dx

d dx dx dx

)

)

e b) dxlnx

c) senxx

e e) e f) 1 + x

x

x -x 32 2

pertenecen a este tipo y no pueden ser calculadas mediante mtodos de integracin elementales.

1.2.2.- Integrales "casi-inmediatas".- Denominaremos as al tipo de integrales que se reducen a una integral inmediata mediante la suma, resta, multiplicacin o divisin por una constante. Estas integrales pueden clasificarse en las siguientes familias:

1- Integrales de tipo potencial: Son las integrales que tienen una expresin del tipo:

f x f x dx f xn

Cnn

' ( ) ( ) ( )

1

1

SOLUCIN: Siendo f(x)= 3 142x y f ' (x) = 9x2 , bastar multiplicar y dividir la

integral por 9 para obtener una integral inmediata.

x x dx x x dx x x dx2 3 3 2 3 3 2 3 33 14 99

3 14 19

9 3 14( ) ( ) ( )

19

3 144

136

3 143 4

3 4( ) ( )x x C

2.- Integrales de tipo exponencial. Son las integrales que tienen una expresin de la forma:

f x a dx aa

Cf xf x

' ( )ln

( )( )

EJEMPLO 3.- Calcular x x dx2 3 33 14( )

.


16


16

Por ejemplo, las integrales :

axdx dx

d dx dx dx

)

)

e b) dxlnx

c) senxx

e e) e f) 1 + x

x

x -x 32 2

pertenecen a este tipo y no pueden ser calculadas mediante mtodos de integracin elementales.

1.2.2.- Integrales "casi-inmediatas".- Denominaremos as al tipo de integrales que se reducen a una integral inmediata mediante la suma, resta, multiplicacin o divisin por una constante. Estas integrales pueden clasificarse en las siguientes familias:

1- Integrales de tipo potencial: Son las integrales que tienen una expresin del tipo:

f x f x dx f xn

Cnn

' ( ) ( ) ( )

1

1

SOLUCIN: Siendo f(x)= 3 142x y f ' (x) = 9x2 , bastar multiplicar y dividir la

integral por 9 para obtener una integral inmediata.

x x dx x x dx x x dx2 3 3 2 3 3 2 3 33 14 99

3 14 19

9 3 14( ) ( ) ( )

19

3 144

136

3 143 4

3 4( ) ( )x x C

2.- Integrales de tipo exponencial. Son las integrales que tienen una expresin de la forma:

f x a dx aa

Cf xf x

' ( )ln

( )( )

EJEMPLO 3.- Calcular x x dx2 3 33 14( )

.


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SOLUCIN: Como f(x)= x 3 5 y f ' (x) = 3x2 , multiplicando y dividiendo la integral

pedida por 3 obtendremos una integral inmediata:

x dx x dx x dx Cx x xx

2 5 2 5 2 55

7 33

7 13

3 7 137

73 3 3

3

ln

3.- Integrales de tipo logartmico. Son las integrales que tienen una expresin de la forma:

f xf x

dx' ( )( )

SOLUCIN: En este caso f x x x x( ) 3 5 13 2 y f x x x ' ( ) 9 10 12 . Bastar

con sacar factor comn 3 en el numerador del integrando para obtener una integral inmediata:

I x xx x x

dx x xx x x

dx

x xx x x

dx x x x C

27 30 33 5 1

3 9 10 13 5 1

3 9 10 13 5 1

3 3 5 1

2

3 2

2

3 2

2

3 23 2

( )

ln( )

EJEMPLO 4.- Calcular x dxx2 57

3

.

EJEMPLO 5.- Calcular 27 30 33 5 1

2

3 2x x

x x xdx

.


17


18

4.- Integrales del tipodx

ax bx c2 . Algoritmo de los cuatro pasos. Es una

integral reducible al tipof xf x

dx' ( )( )1 2

. Se pueden presentar dos casos:

a) Si b ac2 4 0 , la solucin es del tipo arctg (f(x)). b) Si b ac2 4 0 , la solucin es del tipo argth (f(x)). Apliquemos el algoritmo de los cuatro pasos a un ejemplo concreto:

SOLUCIN: Procedemos de la siguiente forma:

1) Multiplicamos el numerador y denominador del integrando por la constante 4a.(En este caso 8)

dx

x x2 3 42 =

816 24 322

dxx x

2) Escribimos el denominador de la forma ( )2 2ax b k , donde a,b,k son constantes a determinar. En este caso,

16 24 32 4 3 232 2x x x ( )

de donde a=2, b=-3 y k=23. De esta forma, la integral pedida queda:

8

16 24 322dx

x x = 8

4 3 232dx

x( )

EJEMPLO 6.- Calcular

dx

x x2 3 42 .


18


18

4.- Integrales del tipodx

ax bx c2 . Algoritmo de los cuatro pasos. Es una

integral reducible al tipof xf x

dx' ( )( )1 2

. Se pueden presentar dos casos:

a) Si b ac2 4 0 , la solucin es del tipo arctg (f(x)). b) Si b ac2 4 0 , la solucin es del tipo argth (f(x)). Apliquemos el algoritmo de los cuatro pasos a un ejemplo concreto:

SOLUCIN: Procedemos de la siguiente forma:

1) Multiplicamos el numerador y denominador del integrando por la constante 4a.(En este caso 8)

dx

x x2 3 42 =

816 24 322

dxx x

2) Escribimos el denominador de la forma ( )2 2ax b k , donde a,b,k son constantes a determinar. En este caso,

16 24 32 4 3 232 2x x x ( )

de donde a=2, b=-3 y k=23. De esta forma, la integral pedida queda:

8

16 24 322dx

x x = 8

4 3 232dx

x( )


dx

x x2 3 42 .


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3) Debemos transformar el denominador en una expresin de la forma ( ( ))f x 2 1 , por tanto, debemos multiplicar y dividir la integral por el valor k (en este caso, por 23).

84 3 232

dxx( )

= 823 4 3

231

823 4 3

231

2 2dx

xdx

x( )

donde en este caso deberemos obtener f x x( ) 4 323

.

4) En el numerador debemos obtener la derivada de la funcin f(x) mediante multiplicacin y divisin de constantes. Cuando se haya obtenido, la integral es

inmediata. En este caso multiplicamos y dividimos la integral por 423

:

823 4 3

231

2dx

x

= 823

234

423

4 323

12

dx

xdx

223

4 323

arctg x C

5.- Integrales del tipo dx

ax bx c2 . Algoritmo de los cuatro pasos. Se pueden

presentar varios casos:

a) Si a>o y b ac2 4 0 . Es una integral del tipo f x dx

f x

' ( )

( ( ))1 2 y por

tanto:

f x dx

f x

' ( )

( ( ))1 2 = ln ( ) ( ( )) arg senh ( )f x f x C f x C 2 1


19


20

b) Si a>0 y b ac2 4 0 . Es una integral del tipo f x dx

f x

' ( )

( ( ))2 1 y por

tanto:

f x dx

f x

' ( )

( ( ))2 1 = ln ( ) ( ( )) arg cosh ( )f x f x C f x C 2 1

c) Si a


22

1.2.3.1.- Descomposicin trigonomtrica e hiperblica.- Denominaremos as al proceso que permite obtener la descomposicin utilizando frmulas trigonomtricas, incluidas en los anexos 1 y 2. Veremos los casos ms importantes:

1.- Integrales del tipo sen senAx Bxdx

. Aplicaremos la identidad trigonomtrica:

sen sen cos( ) cos( )Ax Bx A B x A B x 12

SOLUCIN: En este caso particular, consideramos A=B=3, por lo que se obtiene:

sen2 3xdx

=12

1 6 12

112

6( cos ) sen

x dx x x C

2.- Integrales del tipo sen cosAx Bxdx

. Aplicamos la identidad trigonomtrica:

sen cos (sen( ) sen( ) )Ax Bx A B x A B x 12

SOLUCIN: En este caso particular, consideramos A=2, B=5, por lo que se obtiene:

sen cos2 5x xdx

=12

3 7(sen( ) sen )

x x dx

12

3 12

7

12

3 12

7

16

3 7

sen( ) sen

sen sen

cos cos

x dx xdx

xdx xdx

x xdx C - 114

EJEMPLO 8.- Calcular sen2 3xdx

EJEMPLO 9.- Calcular sen cos2 5x xdx


22


22

1.2.3.1.- Descomposicin trigonomtrica e hiperblica.- Denominaremos as al proceso que permite obtener la descomposicin utilizando frmulas trigonomtricas, incluidas en los anexos 1 y 2. Veremos los casos ms importantes:

1.- Integrales del tipo sen senAx Bxdx

. Aplicaremos la identidad trigonomtrica:

sen sen cos( ) cos( )Ax Bx A B x A B x 12

SOLUCIN: En este caso particular, consideramos A=B=3, por lo que se obtiene:

sen2 3xdx

=12

1 6 12

112

6( cos ) sen

x dx x x C

2.- Integrales del tipo sen cosAx Bxdx

. Aplicamos la identidad trigonomtrica:

sen cos (sen( ) sen( ) )Ax Bx A B x A B x 12


sen cos2 5x xdx

=12

3 7(sen( ) sen )

x x dx

12

3 12

7

12

3 12

7

16

3 7

sen( ) sen

sen sen

cos cos

x dx xdx

xdx xdx

x xdx C - 114

EJEMPLO 8.- Calcular sen2 3xdx

EJEMPLO 9.- Calcular sen cos2 5x xdx


23

3.- Integrales del tipo cos cosAx Bxdx

. Aplicaremos la frmula trigonomtrica:

cos cos cos cosAx Bx A B x A B x 12

EJEMPLO 10.- Integrar

cos cos4x xdx


cos cos4x xdx

=

12

3 5cos cosx x dx

12

3 12

5cos cosxdx xdx

16

3 110

5sen senx x C

Se procede anlogamente cuando se consideran integrales de productos de funciones hiperblicas.

1.2.3.2.- Descomposicin racional. Se utiliza para el tipo de Integrales racionales mx n

ax bx cdx

2 . Para resolver este tipo de integrales, procederemos de la siguiente

forma:

1) Multiplicaremos y dividiremos la integral por una determinada constante H para que el numerador se transforme en una expresin del tipo:

2ax b k 2) Descompondremos la integral en suma de dos integrales:

mx n

ax bx cdx

HH mx nax bx c

dxH

ax b kax bx c

dx

2 2 21 1 2( )

1 2 1

2 2Hax b

ax bx cdx

Hkdx

ax bx c


23


24

La solucin de la primera integral es ln ax bx c C2 ; La segunda se resolver mediante la regla de los cuatro pasos.

SOLUCIN:

x

x xdx

322

= 12

2 62

12

2 1 522 2

xx x

dx xx x

dx

12

2 12

52 2

12

2 57

2 17

2 2

2

xx x

dx dxx x

x x x Cln arctg

1.2.3.3.- Descomposicin irracional. Se utiliza para calcular las integrales del tipo mx n

ax bx cdx

2. Se procede de forma anloga a la descomposicin racional:

1) Transformaremos la integral para que en el numerador obtengamos la derivada del radicando ms una constante K. b) Descompondremos la integral as obtenida en suma de dos integrales. la la primera integral es inmediata y vale:

2 2ax bx c +C

El clculo de la segunda integral se efectuar mediante la regla de los cuatro pasos.

EJEMPLO 11.- Calcular x

x xdx

322


24


24

La solucin de la primera integral es ln ax bx c C2 ; La segunda se resolver mediante la regla de los cuatro pasos.

SOLUCIN:

x

x xdx

322

= 12

2 62

12

2 1 522 2

xx x

dx xx x

dx

12

2 12

52 2

12

2 57

2 17

2 2

2

xx x

dx dxx x

x x x Cln arctg

1.2.3.3.- Descomposicin irracional. Se utiliza para calcular las integrales del tipo mx n

ax bx cdx

2. Se procede de forma anloga a la descomposicin racional:

1) Transformaremos la integral para que en el numerador obtengamos la derivada del radicando ms una constante K. b) Descompondremos la integral as obtenida en suma de dos integrales. la la primera integral es inmediata y vale:

2 2ax bx c +C

El clculo de la segunda integral se efectuar mediante la regla de los cuatro pasos.

EJEMPLO 11.- Calcular x

x xdx

322


25

SOLUCIN:

3 1

2 32x

x xdx

=3x

x xdx

x

x xdx

13

2 3

34

4 43

2 32 2

34

4 1 1 3

2 3

34

4 1

2 3

14 2 32 2 2

x

x xdx x

x xdx dx

x x

/

32

2 3 28

4 123

4 123

122

x x x x C

ln

1.1.- sen x dx2

1.2.- x

xdx

2 1

1.3 .- sencosxxdx

1

1.4.- 3 13 2 52

xx x

dx

1.5.- 21 4

xx

dx

EJEMPLO 12.- Calcular 3 1

2 32x

x xdx

EJERCICIOS.- Calcular las siguientes integrales:


25


26

1.6.-

31 2 2x x

dx

1.7.- 33 2 3 22x x

dx

1.8.- 3

3 52 x xdx

1.9.- 2

2 32xdx

1.10.- cos( ) sen( )

3 8x x dx

1.11.- sen( ) cos( )x x dx

1 2

1.12.- x

x xdx

12 32

1.13.- x

x xdx

432

1.14.- 2 3

12x

x xdx

1.15.- 3 1

5 3 2x

xdx

1.16.- x

x xdx

1

22


26


26

1.6.-

31 2 2x x

dx

1.7.- 33 2 3 22x x

dx

1.8.- 3

3 52 x xdx

1.9.- 2

2 32xdx

1.10.- cos( ) sen( )

3 8x x dx

1.11.- sen( ) cos( )x x dx

1 2

1.12.- x

x xdx

12 32

1.13.- x

x xdx

432

1.14.- 2 3

12x

x xdx

1.15.- 3 1

5 3 2x

xdx

1.16.- x

x xdx

1

22


27

Captulo 2.- Integracin por sustitucin

2.1.- Concepto

Este mtodo denominado tambin cambio de variable, consiste en encontrar una funcin x=g(t) que, al sustituirla en la integral, la convi erta en otra ms sencilla. La sustitucin debe cumplir dos condiciones: 1.- x=g(t) debe ser una funcin derivable y con derivada no nula en todo el intervalo de integracin.

dxdt

g t ' ( ) , de donde dx = g' (t)dt

2.- x=g(t) admite funcin inversa, esto es:

x g t ( ) de donde t = h(x)

Este mtodo es de los que ms variantes admite en el clculo integral, ya que la funcin de cambio ser diferente para cada tipo de funcin que exista bajo el signo integral. A continuacin examinaremos algunos de los tipos de cambio ms habituales.

2.2.- Aplicacin al clculo de integrales racionales

Representaremos por R(x, f(x)) cualquier funcin racional que dependa tanto de la variable x como de la funcin f(x). De forma anloga representaremos por R( g(x), h(x)) cualquier funcin racional con respecto a dos funciones g(x) y h(x). En los siguientes apartados estudiaremos los tipos ms frecuentes de integrales de funciones racionales que se expresan de esta forma:

2.2.1.- Integrales De Funciones Racionales R(X, F(X)):

CASO 1.- Integrales del tipo R x a dxx( , )

donde a>0. Se efecta el cambio

a tx .Calculamos a continuacin dx y x, en funcin de la nueva variable t:

a tx x = lntlna

, dx = dtt lna

27


28

SOLUCIN:

dx

a ax x9 4 =

a t

dx dtt a

x

ln

dtt at t a

dtt a

dt

t

adt

at C

lnln ln

ln/

lnarctg

9 41

9 41

4 94

1

14

23

3 2

1

16

32

1 22

2

3t2

Deshaciendo el cambio el cambio de variable en la solucin obtenida:

dx

a ax x9 4 =

14

32ln

arctga

a Cx

CASO 2.- Integrales del tipo R x e dxx( , )

. Se efecta el cambio e tx . De aqu:

e tx x = ln t , dx = dtt

CASO 3.- Integrales del tipo R x x dx( , ln )

. Se efecta el cambio lnx=t . De aqu:

ln x t x et , dx = e dt t

EJEMPLO 1.- Calcular: dx

a ax x9 4


28


28

SOLUCIN:

dx

a ax x9 4 =

a t

dx dtt a

x

ln

dtt at t a

dtt a

dt

t

adt

at C

lnln ln

ln/

lnarctg

9 41

9 41

4 94

1

14

23

3 2

1

16

32

1 22

2

3t2

Deshaciendo el cambio el cambio de variable en la solucin obtenida:

dx

a ax x9 4 =

14

32ln

arctga

a Cx

CASO 2.- Integrales del tipo R x e dxx( , )

. Se efecta el cambio e tx . De aqu:

e tx x = ln t , dx = dtt

CASO 3.- Integrales del tipo R x x dx( , ln )

. Se efecta el cambio lnx=t . De aqu:

ln x t x et , dx = e dt t

EJEMPLO 1.- Calcular: dx

a ax x9 4


29

CASO 4.- Integrales del tipo R x x dx( , arctg )

. Se efecta el cambio arctgx=t. De

aqu:

arctg x tt

x = tg t , dx = dtcos2

CASO 5.- Integrales del tipo R x x dx( , arcsen )

.Se efecta el cambio arcsenx=t De

aqu: arcsen x t x = sent , dx = cost dt

CASO 6.- Integrales del tipo R x x dx( , arccos )

. Se efecta el cambio arccosx=t. De

aqu: arccos x t x = cost , dx = -sent dt

CASO 7.- Integrales del tipo R x thx dx( , arg )

. Se efecta el cambio argthx=t. De

aqu:

arg thx tt

x = tght , dx = dtcosh2

CASO 8.- Integrales del tipo R x x dx( , arg senh )

. Se efecta el cambio argsenhx=t.

de aqu: arg senh x t x = senht , dx = cosht dt

CASO 9.- Integrales del tipo R x x dx( , arg cosh )

. Se efecta el cambio aegcoshx=t.

De aqu:

arg cosh x t x = cosht , dx = senht dt

Captulo 2. Integracin por sustitucin

29


30

2.2.2.- Integrales de funciones racionales R(Sen(X), Cos(X)). Definicin 1.- Diremos que la funcin R(senx,cosx) es impar en senx, cuando al sustituir en la funcin senx por -senx , la funcin cambia de signo. Es decir:

R(senx, cosx)=-R(-senx, cosx)

Definicin 2.- Diremos que la funcin R(senx, cosx) es par en senx, cuando al sustituir en la funcin, senx por -senx, la funcin no cambia de signo. Es decir:

R(senx, cosx)=R(-senx, cosx) Anlogamente se definira funcin impar en cosx y par en cosx. Resolvamos las integrales de estas funciones racionales segn los diferentes casos que pueden presentarse: CASO 1.- Integrales del tipo R x x dx(sen ,cos )

, donde R es una funcin impar en

senx. En este caso se efecta el cambio cosx=t. Por tanto:

cos x t senx = 1- t x = arccost , dx = - dt

1 - t2

2

EJEMPLO 2.- Calcular:

sencosx dx

x

1 4 2

SOLUCIN: En este caso, la funcin racional es impar en sen x , puesto que

, cos41

senx cos, 2 xxsenxR

R x xx

R x x

sen , co sco s

sen , co s - sen x = - .1 4 2


30


30

2.2.2.- Integrales de funciones racionales R(Sen(X), Cos(X)). Definicin 1.- Diremos que la funcin R(senx,cosx) es impar en senx, cuando al sustituir en la funcin senx por -senx , la funcin cambia de signo. Es decir:

R(senx, cosx)=-R(-senx, cosx)

Definicin 2.- Diremos que la funcin R(senx, cosx) es par en senx, cuando al sustituir en la funcin, senx por -senx, la funcin no cambia de signo. Es decir:

R(senx, cosx)=R(-senx, cosx) Anlogamente se definira funcin impar en cosx y par en cosx. Resolvamos las integrales de estas funciones racionales segn los diferentes casos que pueden presentarse: CASO 1.- Integrales del tipo R x x dx(sen ,cos )

, donde R es una funcin impar en

senx. En este caso se efecta el cambio cosx=t. Por tanto:

cos x t senx = 1- t x = arccost , dx = - dt

1 - t2

2


sencosx dx

x

1 4 2

SOLUCIN: En este caso, la funcin racional es impar en sen x , puesto que

, cos41

senx cos, 2 xxsenxR

R x xx

R x x

sen , co sco s

sen , co s - sen x = - .1 4 2


31

Efectuando el cambio de variable propuesto:

cos( )x t , se obtiene :

sen( )cos ( )

arctg arctg cos( )x dx

xdtt

t C x C

1 4 1 412

212

22 2

SOLUCIN:

sencos

3

4xxdx

={impar en senx}=

cos

sen

x t

x t

dx dt

t

1

1

2

2

=( )1 1

1

2 2

4 2

t tt

dt

t

tt

dt dtt

dtt

2

4 2 41

1 13

1 133 3t t

Cx x

Ccos cos

CASO 2.- Integrales del tipo R x x dx(sen ,cos )

, donde R es una funcin Impar en

cosx. El cambio a efectuar en este caso es senx=t. De donde:

sen x t cosx = 1- t x = arcsent , dx = dt

1- t2

2


sencos

3

4xxdx


31


32


dxxcos

SOLUCIN: En este caso, la funcin racional es impar en cos x , puesto que Efectuando el cambio de variable propuesto,

sen x t , se obtiene :

=

dxx

dtt

t t C

x x C

cosln ln

ln sen ln sen

112

1 12

1

12

1 12

1

2

SOLUCIN:

sensenx

xdx cosx

1={impar en cosx}= t t

tdt

t

tdtt

11 1 1

2

2

{dividiendo los dos polinomios}=

1 11

1tdt t t Cln

=-senx - ln 1 sen x C

R x xsen , co s 1co sx

R x xx

R x xsen , co sco s

sen , co s

1 = - .

EJEMPLO 5.- Calcular: sen

senx

xdx cosx

1


32


32


dxxcos

SOLUCIN: En este caso, la funcin racional es impar en cos x , puesto que Efectuando el cambio de variable propuesto,

sen x t , se obtiene :

=

dxx

dtt

t t C

x x C

cosln ln

ln sen ln sen

112

1 12

1

12

1 12

1

2

SOLUCIN:

sensenx

xdx cosx

1={impar en cosx}= t t

tdt

t

tdtt

11 1 1

2

2

{dividiendo los dos polinomios}=

1 11

1tdt t t Cln

=-senx - ln 1 sen x C

R x xsen , co s 1co sx

R x xx

R x xsen , co sco s

sen , co s

1 = - .

EJEMPLO 5.- Calcular: sen

senx

xdx cosx

1


33


en donde R es una funcin par en

senx y cosx simultneamente. El cambio a efectuar en este caso es tgx=t. De aqu:

x = arctg t , d x = dt1+ t

sen x = t cos x = t 1 - sen

2

2

tg

sencos

x t

xx

t x

de donde:

sen ( sen ) ;2 2 21x t x sen x = t

1+ t

2

como:

cos x = sen xt

cos x = 1

1+ t 2

SOLUCIN: La funcin a integrar es par en senx y cosx, por tanto, efectuamos el cambio

tg x = t resultando:

dxx1 2 cos=

dtt

t

dtt

11 1

12

2

2

2

=12 2arctg t C

=12

12

arctg tg x C


dx

x1 2 cos


33


34


en la que R no es de ninguno de los

tipos considerados anteriormente. En este caso el cambio a efectuar es tgx/2=t. De aqu:

tg arctgx t t2

2 x , dx = 2dt1+ t 2

Teniendo en cuenta que:

sen cos cos

cos cos cos

2

2

1 22 2

12

1 22 2

12

x x x x

x x x x

sen

cos

2

2

Dividiendo miembro a miembro las dos ltimas igualdades se obtiene:

tg coscos

2 222

11 1

x xx

tt

cos x = 1- t2

y de forma anloga:

sen cos senx x tt

1 21

22 x =

SOLUCIN: Efectuando el cambio

t g x2

= t


11

sencos

xxdx

,


34


34



tipos considerados anteriormente. En este caso el cambio a efectuar es tgx/2=t. De aqu:

tg arctgx t t2

2 x , dx = 2dt1+ t 2

Teniendo en cuenta que:

sen cos cos

cos cos cos

2

2

1 22 2

12

1 22 2

12

x x x x

x x x x

sen

cos

2

2

Dividiendo miembro a miembro las dos ltimas igualdades se obtiene:

tg coscos

2 222

11 1

x xx

tt

cos x = 1- t2

y de forma anloga:

sen cos senx x tt

1 21

22 x =


t g x2

= t


11

sencos

xxdx

,


35

la integral propuesta queda de la forma :

11

sencos

xxdx =

1 21

1 11

21

1 21

1 11

21

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2

tttt

dtt

t tt

t tt

dtt

t tt

dt tt

tt

dt tt

dt2

2

2

2 2 22 1

111

21

1 21

= t t C x x C ln tg ln tg12

12

2 2


dxx x1 sen( ) cos( )

SOLUCIN: Efectuando el cambio:

t g x2

= t


dxx x

dtt

x1 1 2

1

sen( ) cos( )ln tg = = + + C

,


35


36


dxx4 5 cos( )


t g x2

= t


dxx

dtt

x x4 5

29 2 22

cos( )ln tg ln tg = = - 1

3 - 3 + 1

3 + 3 + C

NOTA 2.- En la prctica hay que evitar utilizar el cambio indicado en el apartado anterior para el clculo de integrales trigonomtricas siempre que sea posible, porque puede dar lugar a integrales ms complejas de calcular que aplicando los cambios correspondientes a los casos 1, 2 y 3 . 2.2.3.- Integrales de funciones racionales R(Senh(X), Cosh(X)). CASO 1.- Integrales del tipo

senh ,coshx x dx

, en la que R es una funcin impar en

senhx. El cambio a efectuar en este caso es coshx=t. Anlogamente a los casos anteriores se tiene:

cosh x t

x = argcosht , dx = dt

t 2 1

Recordando las propiedades de las funciones hiperblicas (Anexo 2), se tiene:

cosh senhx = cosh senh x2 2x x x t senh2 21 1 1


36


36


dxx4 5 cos( )


t g x2

= t


dxx

dtt

x x4 5

29 2 22

cos( )ln tg ln tg = = - 1

3 - 3 + 1

3 + 3 + C

NOTA 2.- En la prctica hay que evitar utilizar el cambio indicado en el apartado anterior para el clculo de integrales trigonomtricas siempre que sea posible, porque puede dar lugar a integrales ms complejas de calcular que aplicando los cambios correspondientes a los casos 1, 2 y 3 . 2.2.3.- Integrales de funciones racionales R(Senh(X), Cosh(X)). CASO 1.- Integrales del tipo

senh ,coshx x dx

, en la que R es una funcin impar en

senhx. El cambio a efectuar en este caso es coshx=t. Anlogamente a los casos anteriores se tiene:

cosh x t

x = argcosht , dx = dt

t 2 1


cosh senhx = cosh senh x2 2x x x t senh2 21 1 1


37

CASO 2.- Integrales del tipo

senh ,coshx x dx

en la que R es una funcin impar en

coshx El cambio a efectuar es senhx=t. de aqu:

senh x t

x = argsenht , dx = dt

t

2 1


cosh coshx = senh cosh x2 2x x x t senh2 21 1 1


senh ,coshx x dx

en la que R es funcin par en coshx

y senhx. El cambio a efectuar es tghx=t. de donde:

tgh x t x = argtht , dx = dt1- t 2

anlogamente a los casos anteriores (5 y 6):

senh x t

t

1 2 coshx = 1

1- t 2


senh ,coshx x dx


tipos considerados anteriormente. En este caso el cambio a efectuar es tgh .x t2

De

donde:

tgh x t2

x = 2argtht , dx = 2dt1- t 2

anlogamente a los casos anteriores (5 , 6 y 7):

senh x tt t

21 12 2

coshx = 1+ t2


37


38

EJERCICIOS.- Resolver las siguientes integrales:

2.1.- cossen

2

3xxdx

2.2.- cos

cos senx

x xdx2 2

2.3.- dx

x x xcos sen cos2

2.4.- sencos

21 22

xxdx

2.5.- sencos3

2 3xxdx

2.6.- tgcosxx1


38


38


2.1.- cossen

2

3xxdx

2.2.- cos

cos senx

x xdx2 2

2.3.- dx

x x xcos sen cos2

2.4.- sencos

21 22

xxdx

2.5.- sencos3

2 3xxdx

2.6.- tgcosxx1


39

Captulo 3.- Mtodo de integracin por partes

3.1.- Concepto. Casos

Este mtodo se aplica cuando queremos calcular una integral f x dx( )

, tal que f(x)

puede descomponerse como producto de otras dos funciones, de la forma:

f x u x x( ) ( ) ( ) v

siendo u(x), v(x), u(x), v(x) funciones definidas en el mismo campo de definicin de f(x). Si calculamos la diferencial de la funcin producto de u(x) v(x) obtendremos:

d(u(x) v(x))= u(x) v(x) dx + v(x) u(x) dx Para mayor comodidad en la notacin, y teniendo en cuenta que u(x) y v(x) verifican v(x) dx = dv, u(x) dx = du, podremos escribir:

d(uv) = u dv + v du

Integrando esta ltima expresin se obtiene:

d uv uv udv vdu( )

O lo que es lo mismo:

Este mtodo se aplica siempre que la integral del segundo miembro B es ms fcil de integrar que A. A la frmula:

u dv uv v du

se la conoce como frmula de la integracin por partes.

f x dx udv uv vdu

A B

( )

39


40


ln xdx

SOLUCIN:

Efectuamos el cambio u xdv dx

du dxx

v x

ln y, aplicando la frmula de

integracin por partes, obtendremos:

ln xdx

=xlnx - x dxx

x x dx x x x C

ln ln

Pueden presentarse muchas variantes en la aplicacin del mtodo de integracin por partes, segn como sea la funcin f(x) y su posible descomposicin en producto de otras dos. Veremos a continuacin una tabla resumen de los casos ms frecuentes en los que es conveniente aplicar el mtodo:

f(x)=A(x) B(x)

CASO

S A(x) B(x) u v

1 Polinomio en x

Funcin exponencial A B

2 Polinomio en x Funcin trigonomtrica directa

A B

3 Funcin trigonomtrica inversa, o logartmica

Polinomio en x o funcin racional en x

A B

4 Funcin exponencial Funcin trigonomtrica directa A B B A


40


40


ln xdx

SOLUCIN:

Efectuamos el cambio u xdv dx

du dxx

v x

ln y, aplicando la frmula de

integracin por partes, obtendremos:

ln xdx

=xlnx - x dxx

x x dx x x x C

ln ln

Pueden presentarse muchas variantes en la aplicacin del mtodo de integracin por partes, segn como sea la funcin f(x) y su posible descomposicin en producto de otras dos. Veremos a continuacin una tabla resumen de los casos ms frecuentes en los que es conveniente aplicar el mtodo:

f(x)=A(x) B(x)

CASO

S A(x) B(x) u v

1 Polinomio en x

Funcin exponencial A B

2 Polinomio en x Funcin trigonomtrica directa

A B

3 Funcin trigonomtrica inversa, o logartmica

Polinomio en x o funcin racional en x

A B

4 Funcin exponencial Funcin trigonomtrica directa A B B A


41

Veremos algunos ejemplos de aplicacin del mtodo de integracin por partes en los diferentes casos:


x x e dxx2 23

SOLUCIN: La integral propuesta se incluye en las del primer caso, por tanto efectuaremos la integracin por partes tal como se propone en la tabla.

Efectuamos el cambio

xx ev

dxxdu

dxedvxxu

22

2

21

32 3, obteniendo:

x x e dxx2 23

=

12

3 12

2 32 2 2e x x x e dxx x

Esta ltima integral es tambin del caso 1, y se calcula de la misma forma:

2 3 2x e dxx

=

u x

dv e dx

du dx

v ex x

2 3 212

2 2 =

2 32

2 2x e e dxx x

luego:

2 3 2x e dxx

=

2 32

12

2 2x e e Cx x

Sustituyendo en la integral propuesta, se obtiene:

x x e dxx2 23

=

12

3 12

2 2e x xx 2 3

214

2 2x e e Cx x

Captulo 3. Mtodo de integracin por partes

41


42

SOLUCIN: La integral propuesta se incluye en las del segundo caso, por tanto efectuaremos la integracin por partes tal como se propone en la tabla.

Efectuamos el cambio:u xdv xdx

du dx

v x

cos sen3 13

3 con lo que la integral inicial

queda:

x xdxcos3

= x x xdx3

3 13

3sen sen

Resolviendo sta ltima:

x xdxcos3

=

x x x C3

3 19

3sen cos


x xdxarctg

SOLUCIN: La integral propuesta se incluye en las del tercer caso, por tanto efectuaremos la integracin por partes tal como se propone en la tabla.

Efectuamos el cambio u xdv xdx

du dxx

v x

arctg 1

2

2

2.

EJEMPLO3.- Calcular

x xdxcos3


42


42

SOLUCIN: La integral propuesta se incluye en las del segundo caso, por tanto efectuaremos la integracin por partes tal como se propone en la tabla.

Efectuamos el cambio:u xdv xdx

du dx

v x

cos sen3 13

3 con lo que la integral inicial

queda:

x xdxcos3

= x x xdx3

3 13

3sen sen

Resolviendo sta ltima:

x xdxcos3

=

x x x C3

3 19

3sen cos


x xdxarctg

SOLUCIN: La integral propuesta se incluye en las del tercer caso, por tanto efectuaremos la integracin por partes tal como se propone en la tabla.

Efectuamos el cambio u xdv xdx

du dxx

v x

arctg 1

2

2

2.

EJEMPLO3.- Calcular

x xdxcos3


43

Sustituyendo en la integral:

x xdxarctg

= x x2

2arctg

12A

Donde A=x dx

x

2

21

1 11 1

2

2 2xx

dx dx dxx

x x Carctg

Sustituyendo en la integral inicial:

x xdxarctg

=

x x x x C2

212

arctg arctg


sen x e dxx 2

SOLUCIN: La integral propuesta se incluye en las del cuarto caso, por tanto efectuaremos la integracin por partes tal como se propone en la tabla.

Efectuamos el cambio:u x

dv e dx

du xdx

v ex x

sen cos

2 212

con lo que la integral inicial

queda:

sen xe dxx2

= sen cosx e xe dxx x12

12

2 2

Esta ltima integral es tambin del mismo tipo, por tanto, se calcula de la misma forma:

cos xe dxx2

=u x

dv e dx

du xdx

v ex x

cos sen

2 212

= 12

12

2 2cos senx e xe dxx x


43


44

Sustituyendo en la integral inicial, queda:

sen x e dxx 2

= sen x e x12

2

14

14

2 2cos senx e x e dxx x

Observemos que la integral del segundo miembro es la misma que la integral inicial, por tanto, pasndola al primer miembro y simplificando, obtendremos su valor:

sen xe dxx2

25

12

2 2sen cosxe xe Cx x

3.2.- Frmulas de reduccin Este procedimiento se aplica a integrales de funciones que, aunque en principio pueden ser resueltas por partes, debido a que en la funcin aparecen exponentes enteros de valor muy elevado, deberamos aplicar el mtodo de integracin por partes repetidas veces. El procedimiento a seguir consiste en que partiendo de una integral con exponente entero n, (que denominaremos In) , aplicando la integracin por partes , obtengamos otra integral de la misma forma que la primera pero con el exponente reducido , sto es:

In = K(x) + In-h

Aplicando sucesivamente la frmula de reduccin deberemos llegar a una integral inmediata. A continuacin obtendremos algunas frmulas de reduccin:

1.- Frmula de reduccin de la integral x e dxn x

:

Denominaremos In = x e dxn x

y aplicaremos la frmula de integracin por partes:

Iu x dx

dv e dx v ex e nx e dxn

n

x xn x n x

du = nx

n-11

Por tanto:

I x e nInn n

n 1


44


44

Sustituyendo en la integral inicial, queda:

sen x e dxx 2

= sen x e x12

2

14

14

2 2cos senx e x e dxx x

Observemos que la integral del segundo miembro es la misma que la integral inicial, por tanto, pasndola al primer miembro y simplificando, obtendremos su valor:

sen xe dxx2

25

12

2 2sen cosxe xe Cx x

3.2.- Frmulas de reduccin Este procedimiento se aplica a integrales de funciones que, aunque en principio pueden ser resueltas por partes, debido a que en la funcin aparecen exponentes enteros de valor muy elevado, deberamos aplicar el mtodo de integracin por partes repetidas veces. El procedimiento a seguir consiste en que partiendo de una integral con exponente entero n, (que denominaremos In) , aplicando la integracin por partes , obtengamos otra integral de la misma forma que la primera pero con el exponente reducido , sto es:

In = K(x) + In-h

Aplicando sucesivamente la frmula de reduccin deberemos llegar a una integral inmediata. A continuacin obtendremos algunas frmulas de reduccin:

1.- Frmula de reduccin de la integral x e dxn x

:

Denominaremos In = x e dxn x

y aplicaremos la frmula de integracin por partes:

Iu x dx

dv e dx v ex e nx e dxn

n

x xn x n x

du = nx

n-11

Por tanto:

I x e nInn n

n 1


45

Con esta frmula, obtenemos una reduccin de h=1. Aplicndola sucesivamente llegaremos a la integral I0, que es inmediata:

I e dx e Cx x0


x e dxx3

SOLUCIN: Observemos que para la integral propuesta se tiene la siguiente frmula de reduccin:

I x e nInn n

n 1 Por tanto la integral propuesta es I3 : De esta forma se tiene:

I x e In33

23 ,

I x e In22

12 ,

I x e In1 0 , donde I e Cn

0 .

Por tanto:

I x e I

x e x e I

x e x e x e I

x e x e x e e

e x x x C

x

x x

x x x

x x x x

x

33

23 2

1

3 20

3 2

3 2

3

3 2

3 2

3 2

3 6 6


45


46

2.- Frmula de reduccin para la integral sen cosm nx xdx

m, n N, para reducir

el exponente de cos x.

Denominaremos Im,n = sen cosm nx xdx

, aplicamos el mtodo de integracin por

partes:

Iu x x x dx

dv x x v xn

x xn

mn

x xdx

m n

m m

nn

mm n

,

cos cos sen

sen cos sen

cos cos sen

1 2

1

12 2

1

111

du = m -1

senn+1

Por tanto:

I x xn

mn

x x xdxm nm

nm

,cos sen cos cos

12 2

111

1 senn+1

cos sen sen cos sen cosm n

n m n mx xn

mn

x xdx mn

x xdx1 1

2

111

11


I x xn

mn

I mn

Im nm n

m n m n, , ,cos sen

1 1

2111

11

Pasando Im,n al primer miembro, obtenemos:

1 11 1 1

11

1 1

2

mn

I m nn

I x xn

mn

Im n m nm n

m n, , ,cos sen

Despejando, obtenemos una frmula de reduccin en la que h=2:

I x xm n

mm n

Im nm n

m n, ,cos sen

1 1

21


46


46

2.- Frmula de reduccin para la integral sen cosm nx xdx

m, n N, para reducir

el exponente de cos x.

Denominaremos Im,n = sen cosm nx xdx

, aplicamos el mtodo de integracin por

partes:

Iu x x x dx

dv x x v xn

x xn

mn

x xdx

m n

m m

nn

mm n

,

cos cos sen

sen cos sen

cos cos sen

1 2

1

12 2

1

111

du = m -1

senn+1

Por tanto:

I x xn

mn

x x xdxm nm

nm

,cos sen cos cos

12 2

111

1 senn+1

cos sen sen cos sen cosm n

n m n mx xn

mn

x xdx mn

x xdx1 1

2

111

11


I x xn

mn

I mn

Im nm n

m n m n, , ,cos sen

1 1

2111

11

Pasando Im,n al primer miembro, obtenemos:

1 11 1 1

11

1 1

2

mn

I m nn

I x xn

mn

Im n m nm n

m n, , ,cos sen

Despejando, obtenemos una frmula de reduccin en la que h=2:

I x xm n

mm n

Im nm n

m n, ,cos sen

1 1

21


47

Aplicando sucesivamente esta frmula de reduccin llegaremos a dos tipos de integrales segn sea m un nmero par o impar:

- Si m es par I0,n = senn xdx

que se puede calcular mediante el cambio tg x =t

- Si m es impar I1,n = sen cosn x xdx

que es una integral inmediata:

sen cosn x xdx

=11

1

nx Cn

sen


cos sen8 2x x dx


I x xm n

mm n

Im nm n

m n, ,cos sen

1 1

21

Por tanto la integral propuesta es I 8,2 : De esta forma se tiene:

I x x I

x x x x I

8 2

7 3

6 2

7 3 5 3

4 2

10710

10710 8

58

, ,

,

cos sen

cos sen cos sen

cos sen cos sen cos sen ,7 3

5 33 3

2 210780

716 6

36

x x x x x x I

cos sen cos sen cos sen cos sen ,7 3

5 33 3 3

0 210780

796

732 4

14

x x x x x x x x I


47


48

Finalmente llegamos a la integral I0,2 = sen2 xdx

que es inmediata:

I0,2 = sen2 xdx

=

12

1 22

24

cos senx dx x x C

Sustituyendo en lo anterior y simplificando, se obtiene:

I8 2, = sencos cos cos cos sen cos3 7 5 3

107

807

967128

7256

7256

x x x x x x x x C

3.- Frmula de reduccin para la integral sen cosm nx x dx

m, n N, para

reducir el exponente de senx:. Aplicando un mtodo anlogo al anterior, se obtiene la frmula de reduccin:

I x xm n

nm n

Im nm n

m n, ,cos sen

1 1

21


cos sen2 4x x dx


I x xm n

nm n

Im nm n

m n, ,cos sen

1 1

21


48


48

Finalmente llegamos a la integral I0,2 = sen2 xdx

que es inmediata:

I0,2 = sen2 xdx

=

12

1 22

24

cos senx dx x x C

Sustituyendo en lo anterior y simplificando, se obtiene:

I8 2, = sencos cos cos cos sen cos3 7 5 3

107

807

967128

7256

7256

x x x x x x x x C

3.- Frmula de reduccin para la integral sen cosm nx x dx

m, n N, para

reducir el exponente de senx:. Aplicando un mtodo anlogo al anterior, se obtiene la frmula de reduccin:

I x xm n

nm n

Im nm n

m n, ,cos sen

1 1

21


cos sen2 4x x dx


I x xm n

nm n

Im nm n

m n, ,cos sen

1 1

21


49

Por tanto la integral propuesta es I 2,4 : De esta forma se tiene:

I x x I

x x x x I

2 4

3 3

2 2

3 3 3

2 0

636

612 4

14

, ,

,

cos sen

cos sen cos sen

cos sen cos sen cos sen3 3 3

6 8 16 16x x x x x x x C

NOTA.- Las anteriores frmulas de reduccin se pueden aplicar indistintamente, e incluso es posible aplicar una combinacin de ellas en la resolucin de la integral Im,n Otras frmulas de reduccin que se pueden obtener por el mismo mtodo, son:

4.- Im= sen sen cosm m mxdx mx x m

mI

1 112

5.- Im= cos cos senm m mxdx mx x m

mI

1 112

6.- Im= tg tgm m mxdx mx I

11

12

7.- Im= x xdx x x mx x m m Im m m mcos sen cos ( )

121

8.- Im= ln lnx dx x x mIm m

m

1

3.3.- Algunos casos especiales

En este aparatado vamos a estudiar dos tipos de integrales, ambas resolubles por partes, para las que vamos a presentar un mtodo alternativo de clculo.


49


50

a) Integrales del tipo

, )sin( , )cos(

dxxedxxe xx , R

Para la resolucin de este tipo de integrales vamos a utilizar nmeros complejos, y en particular la conocida identidad de Euler:

Rxisenxe xi ),()cos(

Para ello consideremos la expresin dada por

dxxeidxxeA xx )sin( )cos()( .

Aplicando la identidad de Euler y las propiedades de la exponencial compleja, se tiene:

.

))()(cos( )sin( )cos( )(

)( dxedxedxee

dxxisenxedxxeidxxeA

ixxixxix

xxx

La integral dxe ix

)( es formalmente inmediata, por lo que, aplicando las

propiedades de los nmeros complejos

.)cos()( )( )cos(

)()cos(

)(

22

22

)()(

xxsenixsenxe

xisenxieiieei

iedxeA

x

x

xix

ixix


50


50

a) Integrales del tipo

, )sin( , )cos(

dxxedxxe xx , R

Para la resolucin de este tipo de integrales vamos a utilizar nmeros complejos, y en particular la conocida identidad de Euler:

Rxisenxe xi ),()cos(

Para ello consideremos la expresin dada por

dxxeidxxeA xx )sin( )cos()( .

Aplicando la identidad de Euler y las propiedades de la exponencial compleja, se tiene:

.

))()(cos( )sin( )cos( )(

)( dxedxedxee

dxxisenxedxxeidxxeA

ixxixxix

xxx

La integral dxe ix

)( es formalmente inmediata, por lo que, aplicando las

propiedades de los nmeros complejos

.)cos()( )( )cos(

)()cos(

)(

22

22

)()(

xxsenixsenxe

xisenxieiieei

iedxeA

x

x

xix

ixix


51

Igualando partes reales e imaginarias en la expresin obtenida para (A) tenemos

.)cos()( )sin(

,)( )cos( )cos(

22

22

Cxxsenedxxe

Cxsenxedxxe

xx

xx

b) Integrales del tipo

dxxPe nx )( , n N

Este tipo de integrales pueden resolverse aplicando partes n veces. Vamos a resolverlas resolviendo un sistema de ecuaciones lineales de 1n ecuaciones con 1n incgnitas. Para ello observemos que

)( )( CxQedxxPe nx

nx

donde )(xQn es un polinomio indeterminado del mismo grado n que )(xPn . Veamos un ejemplo.


dxe x 1-2x2x 23

SOLUCIN: En este caso es 2n , con 1-2x2x)( 22 xP y 3 . Consideramos por tanto un polinomio indeterminado de grado 2n , cbxax)( 22 xQ , y tenemos

cbxax dx 1-2x2x 2323 Cee xx

(B)


51


52

Para determinar los coeficientes del polinomio )(2 xQ , derivamos en (B) y obtenemos:

b3)23(3ax b2axcbxax3 1-2x2x

23

32323

cxabeeee

x

xxx

Cancelando el trmino xe3 en la igualdad anterior obtenemos la identidad de polinomios

b3)23(3ax1-2x2x 22 cxab , De donde igualando coeficientes del mismo gado, obtenemos el sistema de 3

ecuaciones con 3 incgnitas:

2711,

92,

32

b31232

32

cbac

aba

Y por tanto

Cedxe xx

2711-x

92x

32 1-2x2x 2323

3.1.-

x x e dxx

3 2 3.2.-

2 2x xdx

ln 3.3.- e x dxx3 2sen

3.4.- ln xxdx

3.5.- x x dxsen2



52


52

Para determinar los coeficientes del polinomio )(2 xQ , derivamos en (B) y obtenemos:

b3)23(3ax b2axcbxax3 1-2x2x

23

32323

cxabeeee

x

xxx

Cancelando el trmino xe3 en la igualdad anterior obtenemos la identidad de polinomios

b3)23(3ax1-2x2x 22 cxab , De donde igualando coeficientes del mismo gado, obtenemos el sistema de 3

ecuaciones con 3 incgnitas:

2711,

92,

32

b31232

32

cbac

aba

Y por tanto

Cedxe xx

2711-x

92x

32 1-2x2x 2323

3.1.-

x x e dxx

3 2 3.2.-

2 2x xdx

ln 3.3.- e x dxx3 2sen

3.4.- ln xxdx

3.5.- x x dxsen2



53

3.6.-

232 dxexsenxx x 3.7.- cos sen4 3x x dx

3.8.- sen ( ) cos( )m Ax Ax dx


53


54


54


55

Captulo 4.- Integracin de funciones racionales

4.1.- Descomposicin factorial de un polinomio Comencemos este captulo recordando un resultado sobre polinomios que suponemos ya conocido. 4.1.1.- Teorema 4.1.- Para cualquier polinomio de grado n 1 ,

011

1)( axaxaxaxPn

nn

n

, con coeficientes naaaa ,,,, 210 reales, existen nmeros reales o complejos 1 2, , , n tales que :

P x a x x x xn n( ) 1 2 3 .

A la expresin:

P x a x x x xn n( ) 1 2 3

se la denomina descomposicin factorial del polinomio P x( ) . A los valores 1 2, , , n se les denomina races del polinomio P x( ) y al trmino an se le denomina coeficiente director del polinomio P x( ) . Si en la descomposicin factorial de un polinomio P x( ) una raz i aparece solo una vez, se dice entonces que i es una raz simple de P x( ) o equivalentemente, que su orden de multiplicidad es 1. En caso contrario, se dice que i es una raz mltiple, y si aparece ni veces, se dice que su orden de multiplicidad es ni o tambin que es una raz de orden ni . As, si hay n1 races iguales a 1 , n2 races iguales a 2 y, en general, ni races iguales a i , se verificar:

n n n1 2 p+ n + ,

55


56

y la factorizacin del polinomio P x( ) quedar de la forma:

P x a x x x xnn n n

pnp( ) 1 2 3

1 2 3 .

4.2.- Descomposicion en fracciones simples de una funcion racional El siguiente resultado es clave pues nos proporciona la descomposicin en fracciones simples de una funcin racional.

4.2.1.- Teorema 4.2.- Sea P xQ x( )( )

una funcin racional, cociente de dos polinomios

P x( ) y Q x( ) de grados respectivos p y q ( )p q . Sean 1 2, , , k las races reales de Q x( ) 0 con rdenes de multiplicidad respectivos m m mk1 2, , , y sean a ib a ib a ibl l1 1 2 2 , , , sus races complejas con rdenes de multiplicidad respectivos n n nl1 2, , , , verificndose :

m m m n n n qk l1 2 1 22 ( ) , entonces existen q constantes reales nicas :

A A A A A A A AB B B B B B B BC C C C C C C C

mk k k k

m

ln

l l l ln

ln

l l l ln

k

l l

l l

11

12

13

11 2 3

11

12

13 1 2 3

11

12

13 1 2 3

1, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,

tales que se verifica :

P xQ x

Ax

Ax

Ax

Ax

Ax

Ax

B x Cx a b

B x C

x a b

B x C

x a b

B

mm

k

k

k

k

km

km

n nn

l

k

k

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

11

1

12

12

1

1

1 22

11

11

12

12

12

12

12

12 2

1 1

12

12

1

1

1

1 1

1

+ + +

x Cx a b

B x C

x a b

B x C

x a b

l

l l

l l

l l

ln

ln

l l

nl l

l

12 2

2 2

2 2 2 2 2

( )

( ) ( ). +


56


56

y la factorizacin del polinomio P x( ) quedar de la forma:

P x a x x x xnn n n

pnp( ) 1 2 3

1 2 3 .

4.2.- Descomposicion en fracciones simples de una funcion racional El siguiente resultado es clave pues nos proporciona la descomposicin en fracciones simples de una funcin racional.

4.2.1.- Teorema 4.2.- Sea P xQ x( )( )

una funcin racional, cociente de dos polinomios

P x( ) y Q x( ) de grados respectivos p y q ( )p q . Sean 1 2, , , k las races reales de Q x( ) 0 con rdenes de multiplicidad respectivos m m mk1 2, , , y sean a ib a ib a ibl l1 1 2 2 , , , sus races complejas con rdenes de multiplicidad respectivos n n nl1 2, , , , verificndose :

m m m n n n qk l1 2 1 22 ( ) , entonces existen q constantes reales nicas :

A A A A A A A AB B B B B B B BC C C C C C C C

mk k k k

m

ln

l l l ln

ln

l l l ln

k

l l

l l

11

12

13

11 2 3

11

12

13 1 2 3

11

12

13 1 2 3

1, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , ,

tales que se verifica :

P xQ x

Ax

Ax

Ax

Ax

Ax

Ax

B x Cx a b

B x C

x a b

B x C

x a b

B

mm

k

k

k

k

km

km

n nn

l

k

k

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

11

1

12

12

1

1

1 22

11

11

12

12

12

12

12

12 2

1 1

12

12

1

1

1

1 1

1

+ + +

x Cx a b

B x C

x a b

B x C

x a b

l

l l

l l

l l

ln

ln

l l

nl l

l

12 2

2 2

2 2 2 2 2

( )

( ) ( ). +


57

NOTA 1 : En el caso de que en la funcin racional P xQ x( )( )

se tenga el grado del

numerador mayor o igual que el grado del denominador, se efecta la divisin de los dos polinomios, de forma que se obtiene :

P xQ x

C x R xQ x

( )( )

( ) ( )( )

,

donde en R xQ x( )( )

se tiene el grado del numerador menor que el grado del denominador.

A R xQ x( )( )

le es aplicable el teorema 4.2, y bastar a esta descomposicin en fracciones

simples de R xQ x( )( )

sumarle el polinomio C(x) para obtener la descomposicin en

factores de la funcin racional original P xQ x( )( )

.

Veamos algunos ejemplos de la aplicacin de este teorema.

SOLUCIN: El numerador tiene grado estrictamente menor que el denominador, por lo que es

aplicable el teorema 4.2. Las races del denominador 2 3 9 2 x x son x=23 y

x= 13. Por tanto, aplicando el teorema 4.2 la descomposicin pedida ser de la forma:

xx x

A

x

B

x

12 3 9 2

313

2 ,

EJEMPLO 1 :. Calcular la descomposicin en fracciones simples de xx x

12 3 9 2

Captulo 4. Integracin de funciones racionales

57


58

donde hay que determinar el valor de las constantes A, B. Para determinarlas, sumamos las fracciones en la descomposicin anterior, y aplicando que por el teorema 4.1 se obtiene:

2 3 9 9 13

23

2

x x x x ,

identificando los numeradores de las fracciones resultantes, se obtiene :

x A x B x

1 13

23

.

A partir de este momento, podemos seguir dos caminos. En primer lugar, la ltima igualdad es una igualdad entre polinomios, y por tanto, debern ser iguales sus coeficientes. Podemos por tanto desarrollar la expresin

A x B x A B x A B

13

23

13

2 ,

e igualar coeficientes con el polinomio x 1. De esta forma se obtiene un sistema de ecuaciones que permite obtener los valores de las constantes:

11

323

5323

A BA B

A

B

Otro camino posible es sustituir la variable x por algunos valores concretos en la expresin:

x A x B x

1 13

23

Para simplificar, daremos a x los valores que anulan trminos en el lado derecho de la

igualdad. As, dando a x los valores x=13 y x=

23, obtenemos un sistema de

ecuaciones , que resuelto, nos proporciona el valor de las constantes.


58


58

donde hay que determinar el valor de las constantes A, B. Para determinarlas, sumamos las fracciones en la descomposicin anterior, y aplicando que por el teorema 4.1 se obtiene:

2 3 9 9 13

23

2

x x x x ,

identificando los numeradores de las fracciones resultantes, se obtiene :

x A x B x

1 13

23

.

A partir de este momento, podemos seguir dos caminos. En primer lugar, la ltima igualdad es una igualdad entre polinomios, y por tanto, debern ser iguales sus coeficientes. Podemos por tanto desarrollar la expresin

A x B x A B x A B

13

23

13

2 ,

e igualar coeficientes con el polinomio x 1. De esta forma se obtiene un sistema de ecuaciones que permite obtener los valores de las constantes:

11

323

5323

A BA B

A

B

Otro camino posible es sustituir la variable x por algunos valores concretos en la expresin:

x A x B x

1 13

23

Para simplificar, daremos a x los valores que anulan trminos en el lado derecho de la

igualdad. As, dando a x los valores x=13 y x=

23, obtenemos un sistema de

ecuaciones , que resuelto, nos proporciona el valor de las constantes.


59

En este caso: 2353

2353

B

A

B

A

(Este mtodo se conoce como mtodo de coeficientes indeterminados). De esta forma, la descomposicin en fracciones simples quedar :

xx x x x

12 3 9

5323

2313

2 .

SOLUCIN: El grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador, por lo que es aplicable el teorema 4.2. Las races del denominador x x4 210 9 son x=1 y x= 3. Por tanto, aplicando el teorema 4.2 la descomposicin pedida ser de la forma:

x xx x

Ax

Bx

Cx

Dx

2

4 215

10 9 1 1 3 3

,

donde hay que determinar el valor de las constantes A, B, C, D. Para determinarlas, quitamos denominadores en la expresin en fracciones simples. De esta forma, aplicando que

x x x x x x4 210 9 1 1 3 3 ,

EJEMPLO 2:. Calcular la descomposicin en fracciones simples de x xx x

2

4 215

10 9

Captulo 4. Integracin de funciones racionales

59


60

se obtiene

x x A x x x B x x x C x x x

D x x x

2 15 1 3 3 1 3 3 1 1 3

1 1 3

.

Aqu de nuevo podemos seguir dos caminos, desarrollar la expresin e igualar coeficientes o aplicar el mtodo de los coeficientes indeterminados. Desarrollando la expresin :

A x x x B x x x C x x x

D x x x

1 3 3 1 3 3 1 1 3

1 1 3

e igualando sus coeficientes con los del polinomio x x2 15 obtendramos un sistema de ecuaciones. El mtodo de los coeficientes indeterminados es en este caso ms sencillo, utilizando los valores de x que anulan trminos en el lado derecho de la igualdad. As, dando a x los valores x= 1 y x= 3, obtenemos el sistema de ecuaciones :

13 1615 163 489 48

1613151616163

ABCD

A

B

CD

por lo que la descomposicin en fracciones simples quedar de la forma :

x xx x x x x x

2

4 215

10 9

1613

1

1516

116

3

1633

.


60


60

se obtiene

x x A x x x B x x x C x x x

D x x x

2 15 1 3 3 1 3 3 1 1 3

1 1 3

.

Aqu de nuevo podemos seguir dos caminos, desarrollar la expresin e igualar coeficientes o aplicar el mtodo de los coeficientes indeterminados. Desarrollando la expresin :

A x x x B x x x C x x x

D x x x

1 3 3 1 3 3 1 1 3

1 1 3

e igualando sus coeficientes con los del polinomio x x2 15 obtendramos un sistema de ecuaciones. El mtodo de los coeficientes indeterminados es en este caso ms sencillo, utilizando los valores de x que anu

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Introducción al cálculo integral_6102