8/13/2019 04 - Stabilnost - Hurwitz i Routh

1/14

KRITERIJI STABILNOSTI - HURWITZ I ROUTH

AUDITORNE VJEBE

8/13/2019 04 - Stabilnost - Hurwitz i Routh

2/14

Polazi od karakteristine jednadbe ZATVORENOG REGULACIJSKOG KRUGA:1

1 1 0... 0n n

n na s a s a s a

HURWITZ-ova DETERMINANTA:1 3 5 71

2 4 62

1 3 53

2 44

0

0

00 0

0 0

0 0

n n n n

n n n n

n n n

n n n

n

a a a aH

a a a aH

a a aH

a a aH

aH

(nn)nred karakteristine jednadbe

DOVOLJAN UVJET STABILNOSTI:

svi koeficijenti karakteristine jednadbe moraju biti razliiti od 0 i imati isti predznak

sve dijagonalne subdeterminante i glavna determinanta moraju biti vee od 0

NUAN UVJET STABILNOSTI:

HURWITZ-ov KRITERIJ STABILNOSTI

8/13/2019 04 - Stabilnost - Hurwitz i Routh

3/14

n 1 n 32

n n 2

a aH

a a

dijagonalne subdeterminante:

1 n 1H a

n 1 n 3 n 5

3 n n 2 n 4

n 1 n 3

a a a

H a a a

0 a a

PREDNOSTI:

NEDOSTACI:

nije potrebno poznavati rjeenje diferencijalne jednadbe da bi se ustanovila apsolutnastabilnost, ve samo koeficijente karakteristine jednadbe

mora biti poznata diferencijalna jednadba

ne moe se odrediti utjecaj pojedinih elemenata na stabilnost sustava

odreuje se samo apsolutna stabilnost, nema informacija o relativnoj stabilnosti

1 3 5 71

2 4 62

1 3 53

2 44

0

0

0

0 0

0 0

0 0

n n n n

n n n n

n n n

n n n

n

a a a aH

a a a aH

a a aH

a a aH

aH

8/13/2019 04 - Stabilnost - Hurwitz i Routh

4/14

PRIMJER 1.

Provjeriti pomou Hurwitzovog kriterija stabilnost regulacijskog sustava koji je zadan slijedeom4 3 2

2( )

2 3G s

s s s s

.

prijenosnom funkcijom:

. .K J 4 3 22 3 0s s s s svi ai> 0

n 4

4

2 1 0 0

1 1 3 0

0 2 1 0

0 1 1 3

H

1 2 0H

2

2 11 0

1 1H

3

2 1 0

1 1 3

0 2 1

H 11 0 sustav je nestabilan !!!

8/13/2019 04 - Stabilnost - Hurwitz i Routh

5/14

PRIMJER 2.

Provjeriti stabilnost sustava ijakarakteristina jednadba glasi: 2s 3s 4 0

.

. .K J 2s 3s 4 0 svi ai> 0

1H 3 0

2

3 0H 12 0

1 4

sustav je stabilan !!!

PRIMJER 3.

Pomou Hurwitzovog kriterija odredite stabilnost regulacijskog sustava koji je zadan prijenosnom

funkcijom:

33G(s)

s s 3

. .K J 3s s 3 0 svi ai nisu veiod 0 i kriterij je neprimjenljiv !!!

8/13/2019 04 - Stabilnost - Hurwitz i Routh

6/14

PRIMJER 4.

Karakteristinajednadba sustava glasi: 3 2s 4s s 0

Provjerite pomouHurwitzovog kriterija stabilnost sustava.

. .K J 3 2s 4s s 0 svi ai nisu vei od 0 i kriterij je neprimjenljiv!!!

PRIMJER 5.

Za regulacijski sustav zadan prijenosnom funkcijom:3 2

5 4 3 2

s s 3G(s)

s 3s 2s s 4s 7

provjerite stabilnost pomouHurwitzovog kriterija.

5 4 3 2s 3s 2s s 4s 7 0 . .K J svi ai> 0

5

3 1 7 0 0

1 2 4 0 0

H 0 3 1 7 0

0 1 2 4 0

0 0 3 1 7

8/13/2019 04 - Stabilnost - Hurwitz i Routh

7/14

1H 3 0

2

3 1H 5 0

1 2

3

3 1 7

H 1 2 4 10 0

0 3 1

4H 75

5H 525

sustav je nestabilan !!!

8/13/2019 04 - Stabilnost - Hurwitz i Routh

8/14

PRIMJER 6.

Za regulacijski sustav zadan prema slici odredite graninu vrijednost pojaanja regulatorakoristei Hurwitzov kriterij stabilnosti.

1 R

3 2

1 2 R

G K (s 1)G(s)

1 G G s 3s 3s (1 K )

KR 1s

1

1s

1

1s1

xu

xi

_

nuan uvjet stabilnosti:

. .K J 3 2 R3 3 1 K 0s s s

R(1 K ) 0 , RK 1

G1

G2

8/13/2019 04 - Stabilnost - Hurwitz i Routh

9/14

RK 1

R

2

3 1 KH

1 3

RK 8

3 R 2H (1 K ) H 0 , R(1 K ) 0 ,

R1 K 8

1H 3 0

R

3

R

3 1 K 0

H 1 3 0

0 3 1 K

R9 (1 K ) 0 ,

8/13/2019 04 - Stabilnost - Hurwitz i Routh

10/14

Polazi od karakteristine jednadbe ZATVORENOG REGULACIJSKOG KRUGA:1

1 1 0... 0n n

n na s a s a s a

ROUTH-ov KRITERIJ STABILNOSTI

n n n 2 n 4

n 1 n 1 n 3 n 5

n 2 1 2 3

n 3 1 2

0

R a a a

R a a a

R b b bR c c

R

ROUTH-ova TABLICA:(n+1) redak

1 2 3

11

n n n n

n

a a a ab

a

1 4 52

1

n n n n

n

a a a ab

a

1 3 1 21

1

n nb a a b

c

b

1 5 1 32

1

n nb a a b

cb

DOVOLJAN UVJET STABILNOSTI: svi koeficijenti karakteristine jednadbe moraju biti razliiti od 0 i imati isti predznak

u prvom stupcu Routh-ove tablice ne smije biti promjene predznaka, a tablica mora imati(n+1) redak

NUAN UVJET STABILNOSTI:

Bilo koji red Routh-ova rasporeda moemo pomnoiti nekim pozitivnim brojem, a da kriterijostane zadovoljen.

8/13/2019 04 - Stabilnost - Hurwitz i Routh

11/14

PRIMJER 7.

Karakteristinajednadba regulacijskog sustava glasi: 4 3 2s s s 2s 3 0

PomouRouthovog kriterija provjerite stabilnost sustava.

4

3

2

1

0

R 1 1 3

R 1 2 0

R 1 3 0

R 5

R 3

. .K J 4 3 2 2 3 0 s s s s svi ai> 0

sustav je nestabilan !!!

PRIMJER 8.

Prijenosna funkcija sustava glasi:2

3G(s)

(s 1)(s 5s 6)

PomouRouthovog kriterija provjerite stabilnost sustava.

. .K J 3 26 11 6 0 s s s svi ai> 0

8/13/2019 04 - Stabilnost - Hurwitz i Routh

12/14

3

2

1

0

R 1 11

R 6 6

R 10

R 6

sustav je stabilan !!!

PRIMJER 9.

Koritenjem Routhovog kriterija odrediti stabilnost sustava ija karakteristina jednadba glasi:4 3 2s 3s 6s 12s 8 0 svi ai> 0

4

3

2

1

0

R 1 6 8

R 3 12

R 2 8R 0

R 0

Tablica je singularna (nema n+1 redak) i ne mogu se donijeti zakljuci o stabilnosti !!!

8/13/2019 04 - Stabilnost - Hurwitz i Routh

13/14

PRIMJER 10.

PomouRouthovog kriterija odredite veliinupojaanjaKRza koji je sustav stabilan.

O R

3 2

O R

G 2KG(s)

1 G 12s 16s 7s (1 2K )

3

2 R

1 1

0 1

R 12 7R 16 1 2K

R b

R c

KR

xu

xi

1s3

2

1s2

1

1s2

1

_

GO

8/13/2019 04 - Stabilnost - Hurwitz i Routh

14/14

R1

16 7 12 24Kb 0

16

R

100 24K 0 ,

1 Rc 1 2K 0 ,

R0,5 K 4,17

R

K 4,17

RK 0,5