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LV 143.020, 143.021 ET, TM

PHYSIK

LV 138.029 MB, VT, WI-MB

PHYSIK FR INGENIEURE

4. DYNAMIK

WS 2010/11

Vortragende:N. GURKER, J. CUSTERS

Skriptum:H. EBEL, N. GURKER, M. MANTLER, J. WERNISCH

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4. DYNAMIK

4.1. Impulsr

p

Der Impulsr

p - auch als Bewegungsgre bezeichnet - ist die multiplikative Verknpfung der

Masse m mit der Geschwindigkeitr

v .vmp

rr

= Gl.01dDie Einheit des Impulses ist die Newtonsekunde (Ns) oder das Kilogramm-Meter je Sekunde(kgm/s).

4.2. Kraftr

F

Die Kraft ist als nderung des Impulses je Zeiteinheit definiert.

r

F

amdt

vdmv

dt

dm

dt

pdF

r

r

r

r

r

+== Gl.02d

Die Einheit der Kraft ist das Newton (N). Das Newton ist gleich der Kraft, die einem Krpermit der Masse 1kg die Beschleunigung von 1m/s2 erteilt.

Die sich aus der Gl.02d ergebende Aussage, da die Kraft ungefhr gleich dem Produkt ausMasse mal Beschleunigung ist, bezieht sich darauf, da der erste Summand in der in Gl.02dgezeigten Ableitung gleich Null gesetzt wurde. In der nichtrelativistischen Mechanik, also fr

(c0 ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit) ist die Masse eine konstante Gre und da-

mit dm/dt=0. Die Masse tritt, wie die folgenden Ausfhrungen zeigen werden, als trgeMasse in Erscheinung.

v c

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Dynamik

r

r

aF

m= Gl.03d

Das Trgheitsprinzip ist ein Sonderfall des Aktionsprinzips frr

F= 0.

3. NEWTONsches Axiom - Prinzip von actio und reactio

Bei der Wechselwirkung zweier Krper ist die Aktionskraftr

FA , die der Krper 1 auf den

Krper 2 ausbt, entgegengesetzt gleich der Reaktionskraftr

FR des Krpers 2 auf den Krper

1 (r

FR = -r

FA ). In abgeschlossenen Systemen treten daher Krfte immer paarweise auf.

Die Bezeichnung der Krfte als Aktionskraft und als Reaktionskraft ist willkrlich.

4.4. Inertialsystem und GALILEI-Transformation

Die Angabe eines Ortesr

r, einer Geschwindigkeitr

v bzw. einer Beschleunigungr

a beziehtsich jeweils auf ein Koordinatensystem. Geht man von einem Koordinatensystem xyz zu ei-nem anderen Koordinatensystem xyz ber, so ist der Radiusvektor in diesem

r

r, die Ge-schwindigkeit ist

r

v und die Beschleunigungr

a . Das neue System mge gegenber demursprnglichen System eine gleichfrmige Bewegung ausfhren. Die Transformationsglei-chungen lauten dann

tgfzz

tedyy

tcbxx

++=

++=

++=

Gl.04d

und unter Verwendung der bekannten Definitionen fr die Geschwindigkeit bzw. die Be-schleunigung erhlt man:

= + = +

= + = +

= + = +

vdx

dtc v c

vdy

dte v e

vdz

dtg v g

x x

y

z z

y Gl.05d

Das Systemxyz sei ein Inertialsystem. Es knnen daher in diesem die Geschwindigkeitskom-ponenten nur durch das Einwirken einer Kraft eine Vernderung erfahren - Impulserhaltungs-satz. c, e und g sind zeitunabhngige Gren und damit sind auch die in Gl.05d erhaltenenGeschwindigkeitskomponenten im Systemxyz von der Zeit unabhngig - also konstant. Siewren, wie eine einfache berlegung zeigt, nur dann zeitabhngig, wenn sich das System

xyz gegenber dem System xyz ungleichfrmig bewegen wrde. Daraus ist zu schlieen,da eine Koordinatentransformation von einem Inertialsystem in ein Koordinatensystem, dasrelativ zum Inertialsystem eine gleichfrmige Bewegung ausfhrt, das 1. NEWTONscheAxiom auch auf das neue System anzuwenden gestattet und deshalb auch das System xyzein Inertialsystem ist. Die unter den gezeigten Voraussetzungen ausgefhrte Transformationvon einem Inertialsystem in ein anderes heit GALILEI-Transformation. Es wurde dabei

das GALILEIsche Prinzip einer universellen Zeit verwendet, das heit, da in beiden Syste-

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men ein und dieselbe Zeit beobachtet wird, also t=t'gilt. Geht man von diesem Prinzip ab, sogelangt man zur LORENTZ-Transformation.In der speziellen Relativittstheorie wird die LORENTZ-Transformation ausfhrlich behan-delt werden. Bei einer GALILEI-Transformation ndern sich der Ortsvektor und die Ge-schwindigkeit. Die Beschleunigungen in den beiden Koordinatensystemen bleiben hingegen

von der Transformation unberhrt. Da die NEWTONsche Axiomatik nur den Begriff der Be-schleunigung verwendet, gilt:

Die NEWTONsche Axiomatik ist invariant gegenber einer GALILEI-Transformation.

4.5. Arbeit W

Die Arbeit W(eine umgesetzte EnergieE) einer Kraft Fan einem in der Kraftrichtung beweg-ten Krper ist gleich dem Produkt aus der Weglnge s und dieser Kraft.

Im allgemeinen Fall sind die Bewegungsrichtung und die Kraftrichtung nicht parallel zuein-ander gerichtet. Aus diesem Grunde ist nur die Projektion der Kraft in Wegrichtung in Rech-nung zu setzen. Da auch die Kraft eine zeitliche Vernderung erfahren kann, ist es sinnvoll,nur eine differentiell kleine Arbeit dWgem

sdFdWr

r

= Gl.06dzu definieren und die durch das Einwirken der Kraft verrichtete Arbeit Wdurch ein Integralzu beschreiben.

=2

1

r

r

sdFW

r

r

r

r

Gl.07d

Das Integral ist in der gezeigten Form als Linienintegral auszufhren. Soll ber die zugehri-ge Zeit integriert werden, so braucht der Weg ds

r

nur durch dsr

=r

v dtausgedrckt zu werden.

Gl.08d =2

1

t

t

dtvFWr

r

Die Einheit der Arbeit ist das Joule (J).1J = 1Nm = 1Ws Gl.09d

4.6. Leistung P

Die Leistung P ist der Quotient aus der whrend eines Zeitraumes tgleichmig umgesetztenEnergie Wund diesem Zeitintervall.

PW

t= Gl.10d

Leistung ist die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit. Im allgemeinen Fall hngt die Gre derumgesetzten Energie Wvon der Zeit ab. Damit gelangt man zum Begriff der Momentanlei-stung.

PdW

dt

= Gl.11d

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Dynamik

In Analogie zur Geschwindigkeit gibt es neben der Momentanleistung eine Maximalleistung,eine Minimalleistung und eine mittlere Leistung oder Durchschnittsleistung. Wird dWdurch

r

F dsr

ausgedrckt, so lt sich die Momentanleistung auch in der Form

P F v= r

r

Gl.12dbeschreiben.

Die Einheit der Leistung ist das Watt (W) oder auch J/s.

4.7. Energie

Die am System verrichtete (umgesetzte) Arbeit wird als Energie - d.h. die Fhigkeit, Arbeit zuverrichten - im System gespeichert. Die Dimensionen und Einheiten von Arbeit und Energiesind identisch. Es gilt das Prinzip der Energieerhaltung, d.h. Energie kann weder aus demNichts gewonnen werden, noch verloren gehen; jedoch ist eine Umwandlung einer Energie-

form in eine oder mehrere andere mglich. Erfordert beispielsweise eine Reibungskraft FRentlang eines Weges s die Aufbringung einer Arbeit sFW R = , so wird diese in Wrmeener-gie - Reibungswrme - umgewandelt. In der Mechanik werden sehr hufig die Energieformender kinetischen Energie (Bewegungsenergie) und der potentiellen Energie (Lageenergie) ver-wendet.

Die kinetische Energie (Bewegungsenergie)

Bei translatorischer Bewegung

Es mge sich die Masse m in bezug auf ein Inertialsystem im Zustand der Ruhe befundenhaben und sodann durch die Einwirkung einer Kraft auf eine Geschwindigkeit v beschleu-nigt worden sein. Die fr das Erreichen der Geschwindigkeit aufzuwendende Arbeit Wmu nach dem Energieerhaltungsprinzip als Energie der Bewegung vorhanden sein. DieEnergie der Bewegung wird mitEkin bezeichnet und errechnet sich wie folgt:

E F ds mdu

dtudt mu du

mvkin

r

u

u v

u

u v

r

= = = = =

=

=

=r

r

r

r r r

r

r

1

2 2

002

. Gl.13d

Da die obere Integralgrenze v ist, wird fr die sich von null bis v verndernde Momentan-

geschwindigkeit des Integranden u verwendet.

Bei Kreisbewegung

Setzt man in der Gleichung fr die Geschwindigkeit v den aus der Kinematik bekannten

Ausdruck rein, so lt sich die kinetische Energie in der Form anschreiben.Es ist allerdings bislang noch nicht przisiert, in welcher Gestalt die rotierende Masse vor-liegt. Der soeben gezeigte Ausdruck gilt fr eine punktfrmige Masse m, die einen defi-nierten Radius (Abstand) rzur Drehachse hat. Wird die Punktmasse durch einen Krperendlicher Ausdehnung ersetzt, so mu der Tatsache Rechnung getragen werden, da imallgemeinen Fall jedes Volumselement dVdieses Krpers mit seinem Beitrag dm zur Ge-samtmasse m des Krpers einen anderen Abstand zur Drehachse aufweist. Damit ist dergezeigte Ausdruck fr die kinetische Energie bei der Drehbewegung grundstzlich nur auf

m r2 2 2/

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den Beitrag dEkin eines differentiell kleinen Volumenelements zur gesamten kinetischen

Energie anwendbar und es mu ber die Gesamtheit dieser Beitrge summiert, also inte-griert werden. Es wird die Bewegungsenergie bei der Drehbewegung zur Unterscheidungvon der kinetischen Energie bei der translatorischen Bewegung als Rotationsenergie Erot

bezeichnet.2 2 2 2

2

2 2 2rot rot dm v dm

E dE d

= = = = m Gl.14d

Der ganz rechts, in Gl.14d gezeigte Integralausdruck ist eine fr einen bestimmten Krperund eine bestimmte Drehachse typische Gre und wird als TrgheitsmomentIbezeich-net. Gl.14d erhlt so die blicherweise verwendete Form

EI

rot =2

2. Gl.15d

Die potentielle Energie (Lageenergie)

Im Gravitationsfeld der Erde

Die im Gravitationsfeld der Erde auf eine Masse m wirkende Gewichtskraft, das GewichtG = mg, ist beim Heben der Masse zu berwinden. Es mu gegen die Gewichtskraft eineArbeit verrichtet werden. Mit der Definition der Arbeit ergibt sich die Hebearbeit fr eineHhe h zu mgh, die nach dem Energieerhaltungssatz als Energie der Endlage gegenberder Ausgangslage, also als Lageenergie zur Verfgung steht. Bei dieser berlegung wurdedie nderung der Schwerebeschleunigung mit dem sich ndernden Abstand vom Erdmit-telpunkt nicht bercksichtigt. Die potentielle Energie seiEpot und betrgt im Gravitations-

feld der Erde - und zwar im Bereiche der Erdoberflche

E mgpot h= . Gl.16d

Elastisch verformte Feder

Es wird entsprechend der Abb.01d eine Masse m an einer Feder befestigt und ein Koordi-natensystem so gelegt, da die Federse den Wert der Federlngung definiert.

Abb.01d

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Dynamik

Unter den Voraussetzungen1. einer reibungsfreien Bewegung der Masse auf der Unterlage,2. der Gltigkeit des HOOKEschen Gesetzes und da3. der Nullpunkt der -Skala mit dem spannungsfreien Zustand identisch ist,mu bei einer Lngung eine Kraft D auf die Masse wirken. Eine Verschiebung der

Masse von nach +derfordert eine Arbeit dDdw = . Um die Feder von = 0 nach=x zu dehnen, mu die Arbeit

=

=

==x

Feder

DxdDE

0

2

2Gl.17d

aufgewendet werden, die, wenn die Feder - bzw. die Masse - in die Ausgangslage zurck-kehrt, wieder frei wird. Die Energie ist in der Feder als elastische Energie gespeichert undist eine Energie der Lage x in bezug aufx=0. Zur Unterscheidung von der potentiellenEnergie im Gravitationsfeld wird sie alsEFederbezeichnet.

Das HOOKEsche Gesetz besagt, da im elastischen Bereich der Federdehnung die Ln-genzunahme der Feder direkt proportional zu der auf die Feder wirkenden Kraft Fist. DerProportionalittsfaktor ist die FederkonstanteD (F = D ).

4.8. Drehimpuls

Ausgehend vom (translatorischen) Impuls pr

eines im Normalabstand rr

von einer Drehachse

rotierenden Massepunktes wird sein Drehimpuls Lr

mit

prL

rr

r

= Gl.18ddefiniert (Lr

wird auch als Drall oder Impulsmoment bezeichnet).

L

rp

y

m

x

z

Abb.02d

Fr einen ausgedehnten starren Krper ist Lr

mittels einer Integration ber alle differentiellen

Drehimpulse seiner Masseelemente zu berechnen:Ld

r

dm === vdmrpdrLdL

rrrr

rr

Gl.19d

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Unter Verwendung der den Bewegungszustand eines rotierenden Krpers kennzeichnendenWinkelgeschwindigkeit

r

kann man dies auch als

( ) ( ) rrrrrr

IdmrrdmrL === 2 Gl.20dschreiben (vgl. mit Gl. 27k und Gl. 14d).Fr die zeitliche nderung des Drehimpulses eines Massepunktes erhlt man

( ) FrFrvmvdt

pdrp

dt

rdpr

dt

d

dt

Ld rrrrrrr

rr

r

rr

r

=+=+== )( Gl.21d

und mit der Definition des (Dreh)Momentes

FrTr

r

r

= Gl.22d

schlielich die auch fr ausgedehnte starre Krper gltige Gleichung

TIdt

dI

dt

Ld rrr

r

===

, Gl.23d

welche die Dynamik drehender Krper unter dem Einflu von Krften (Momenten) be-schreibt. Die infinitesimale nderung des Drehimpulses Ldr

erfolgt damit in Richtung des

Momentes Tr

(und nicht in Richtung der Kraft Fr

!).

In Analogie zur Dynamik translatorisch bewegter Krper (NEWTONsche Axiomatik) knnennun drei fundamentale Gesetze fr die Dynamik der Drehbewegung formuliert werden:

1. Ohne Momenteneinwirkung bleibt der Drehimpuls in einem Inertialsystem erhalten(Drehimpulserhaltungsatz).

2. Wirkt auf einen Krper ein Moment, so erfhrt dieser eine Winkelbeschleunigung

.I/Tr

r

=

3. In abgeschlossenen Systemen treten Momente immer paarweise auf.

Es ist angebracht, analoge Gren/Aussagen fr die Translations- und Rotationsbewegungeinander gegenberzustellen:

Translationsbewegung Rotationsbewegung

Geschwindigkeit v r

Winkelgeschwindigkeitr

Masse m Trgheitsmoment (Drehmasse) I

Kraft Fr

(Dreh)Moment FrTr

r

r

=

Impuls vmp

rr

= Drehimpuls rrr

r

IprL ==

Kinetische Energie2

2mv

Ekin

= Rotationsenergie2

2IE

rot=

Impulserhaltungssatz Drehimpulserhaltungssatz

Zeitliche nderung amFdt

pd rrr

== zeitliche nderung r

r

r

ITdt

Ld==

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Dynamik

Der Drehimpuls prLrr

r

= kann ganz allgemein fr beliebige Bewegungen eines Krpersunter Bezug auf einen frei whlbaren Ursprung angegeben werden. Fr eine krftefreie2-dimensionale Translationsbewegung gilt z.B. neben dem Impulserhaltungssatz auch

O

constprr

rrprpprL ===== 0

0sinrr

Gl.24d

r

p

y

m

x

rrr0

0

Abb.03d

Ist das Trgheitsmoment fr eine nicht durch den Schwerpunkt gehende Drehachse zubestimmen, gilt der Satz von STEINER:

Das Trgheitsmoment einer um eine beliebige Drehachse A rotierenden Masse (IA ) errechnetsich aus dem Trgheitsmoment um die zu dieser Achse parallelen Schwerachse S ( IS )zuzglich dem Produkt aus der Masse mal dem Quadrat des Abstandes ( a ) zwischen derDrehachse und der Schwerachse: 2A S I I ma= + .

Zwei Wege, den STEINERschen Satz ohne Integration herzuleiten, sind folgende:

Ein Krper rollt auf einem Kreis um seinenSchwerpunkt. Man kann die Bewegung auf-fassen als

a) Rotation um S mit derWinkelgeschwindigkeit zuzglich

einer Translation mit v=roder alsb) Rotation um den Momentanpol P mit

der Winkelgeschwindigkeit .

Die kinetische Energie ist bei

a) E Im r

S= + 2 2

2 2

2

und bei

b) E IP=2

2

Abb.04d

Die Gleichsetzung der beiden Ausdrcke fr die kinetische Energie fhrt zum Satz von

STEINER.

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An einer sehr langen Schnur, die um einekreisfrmige Rolle (Mitte O = Schwerpunkt)geschlungen ist, hngt ein sich abspulenderKrper.Aus

c) = PIrG und

d) rS=G-mIrS mit0 =

folgt

( ) 20 rmIrrmGI P ==und daraus der STEINERsche Satz.

Abb.05d

4.9. Der gerade unelastische Sto

Abb.06d veranschaulicht die geometrischen Verhltnisse vor und nach dem unelastischenSto. Daraus ist zu ersehen, da sich nach dem Sto die beiden verformten Massen gemein-sam weiterbewegen. Es gelten zwar grundstzlich der Energie- und der Impulserhaltungssatz,doch ist dabei zu bercksichtigen, da ein Teil der Bewegungsenergie in Verformungsarbeitumgesetzt wurde.

E E E E E kin kin kin kin Verformung, , , ,' '1 2 1 2+ '= + + Gl.25d

Die ungestrichenen Gren stehen fr die Energiewerte vor und die gestrichenen fr die Ener-giewerte nach dem Zusammensto.

Der in Verformung umgesetzte Energiebetrag ist unbekannt. Aus diesem Grunde kann fr dieBerechnung der Geschwindigkeit nach dem Zusammensto nur der Impulserhaltungssatz he-rangezogen werden. Die Aufgabenstellung, die beiden Geschwindigkeiten v1 und v2 der

Massen m1 und m2 nach dem Sto zu berechnen reduziert sich auf die Berechnung einer Ge-

schwindigkeit v, da sich die beiden Massen nach dem Zusammenprall gemeinsam weiterbe-wegen.

v v v1 2' ' '= = Gl.26dZur Vereinfachung wird angenommen, da sich die Masse m2vor dem Zusammenprall mit

der Masse m1 im Zustand der Ruhe befindet (v2=0).

Abb.06d

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Dynamik

Impulserhaltungssatz:'v)mm(vm += 2111 Gl.27d

Daraus errechnet sich die Geschwindigkeit v zu

v

m

m m v'= +1

1 2 1 . Gl.28d

4.10. Der gerade elastische Sto

Die beim Zusammensto zweier Massen m1 und m2 auftretende Verformung derselben ist rein

elastisch und wird wieder vllig rckgngig gemacht, also wieder in Bewegungsenergie um-gesetzt. Smtliche berlegungen beziehen sich auf einen Zeitpunkt knapp vor dem Zusam-mensto und einen Zeitpunkt knapp danach, wenn keine elastische Verformung der beiden

Massen mehr vorhanden ist. Abb.07d spiegelt die Verhltnisse vor und nach dem Sto wider.Der Energieerhaltungssatz besagt, da die ursprnglich ausschlielich als Bewegungsenergievorhandene Energie des Systems auch nach dem Zusammensto ausschlielich als Bewe-gungsenergie in Erscheinung tritt. Zur Unterscheidung werden die Geschwindigkeiten vordem Zusammensto wieder ungestrichen und jene nach dem Zusammensto gestrichen ange-schrieben.

Energieerhaltungssatz:

m v m v m v m v1 12

2 22

1 12

2 22

2 2 2 2+ = +

' '

Gl.29d

Impulserhaltungssatz:m v m v m v m v1 1 2 2 1 1 2 2

r r r r

+ = +' ' Gl.30d

Aus den beiden linear voneinander unabhngigen Gleichungen Gl.29d und Gl.30d ergebensich fr die beiden unbekannten Geschwindigkeiten nach dem Zusammensto die in denGl.30d gebrachten Lsungen

vm v m v v

m m

vm v m v v

m m

11 1 2 2 1

1 2

22 2 1 1 2

1 2

2

2

'( )

'( )

=+

+

=+

+

Gl.31d

Abb.07d

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Zwei Sonderflle dieses Ergebnisses stellen die folgenden Flle dar:

1. zwei gleich groe Massen m1=m2, von denen sich m2 vor dem Zusammensto im Zustand

der Ruhe befindet und2. m2 ist im Vergleich zu m1 sehr gro und befindet sich ebenfalls im Zustand der Ruhe.

Im Fall 1. wird der Impuls zur Gnze von m1 aufm2 bertragen, so da sich m1 nach dem

Zusammensto im Zustand der Ruhe befindet, whrend im Fall 2. die Masse m1 auf die Masse

m2 aufprallt und bei gleichbleibendem Betrag des Impulses eine Richtungsumkehr erfhrt,

d.h. an der Masse m2 reflektiert wird. Der unelastische und der elastische Sto stellen bei den

realen Stoprozessen Grenzflle dar, weshalb bei diesen ein unelastischer und ein elastischerAnteil in Rechnung zu setzen ist.

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Dynamik

Beispiele

d01

Eine Rakete befinde sich gemeinsam mit ihrem Treibsatz relativ zu einem Inertialsystem im

Zustand der Ruhe. Der Impulserhaltungssatz besagt, da, da auf die Kombination von Raketeund Treibstoff keine von auen wirkende Kraft angreift, auch nach dem Znden des Treibsat-zes der Gesamtimpuls der Rakete und des Treibsatzes null betrgt. Whrend des Abbrennensmge je Zeiteinheit eine Masse m/tdes Treibsatzes mit einer Geschwindigkeit u relativ zurRakete ausgestoen werden. Das bedeutet, da whrend des Abbrennens des Treibsatzes die

Masse der Rakete nach tSekunden m m mm

ttR T= +

betrgt. mRist die Masse der Rake-

te ohne den Treibsatz und mTdie Masse des vollstndigen Treibsatzes. Wenn nach tSekunden

whrend einer differentiell kurzen Zeitspanne dteine Masse dmm

tdt=

mit der Geschwin-

digkeit u relativ zur Rakete ausgestoen wird, so lt sich nach dem Impulserhaltungssatz dieGeschwindigkeitszunahme dv der Rakete aus 0=+ udmvdmrr

berechnen. Wird der sichdaraus ergebende Ausdruck fr dv

dv

m

tu

m mm

tt

dt

R T

= +

von der Zeit =0 bis zur Zeit =tintegriert

v u

m mm

tt

m m

R T

R T

=+

+

.ln

,

so kann daraus die Maximalgeschwindigkeit vmax der Rakete berechnet werden. Das Ergebnis

sei bezglich des Vorzeichens, der Konsequenzen bei der Konstruktion der Rakete undschlielich der fr das System gltigen Formulierung des Impulserhaltungssatzes diskutiert.

d02

Gesucht ist das Trgheitsmoment IK einer Kugel in bezug auf eine durch den Kugelmittel-

punkt gehende Achse. Um die Aufgabe lsen zu knnen, mgen die in der Abb.B_01d ge-zeigten Kenngren dienen. Die Kugel wird durch eine Vielzahl von dnnwandigen undineinandergestellten konzentrischen Hohlzylindern ersetzt gedacht. Fr die Masse dm eines

solchen Hohlzylinders betrgt der Abstand von der gestrichelt eingetragenen Drehachse .Einer dieser Zylinder ist in der Abb.B_01d schematisch dargestellt. Die Masse dieses Zylin-ders ist hddm = 2 . steht fr die Dichte des Kugelmaterials. Drckt man h durch

cos2 R , durch sinR und ddurch dR cos aus, so lautet der Beitrag dIKder Ku-gel

dRdmdIK ==2352 cossin4 .

Das gesuchte Trgheitsmoment IK wird durch Integration von =0 bis = /2 erhalten. Wielautet der Ausdruck fr das Trgheitsmoment IK, wenn dieses durch den Kugelradius R und

die Masse mKder Kugel ausgedrckt wird?

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Abb.B_01d

d03Die Dichte des Kugelmaterials sei 2700kg/m3. Um welches Material handelt es sich? Der

Durchmesser der Kugel betrage 200mm und die kinetische Rotationsenergie 5kJ. Mit welcherDrehzahl n rotiert die Kugel um ihren Mittelpunkt, wobei n in Umdrehungen je Minute aus-gedrckt werden soll. Wie ndert sich bei gleichbleibender Rotationsenergie die Drehzahl,wenn die Kugel aus Stahl besteht?

d04

hnlich der im Beispiel d02 gewhlten Vorgangsweise fr die Berechnung des Trgheitsmo-mentes einer Kugel kann das Trgheitsmoment IZ eines Kreiszylinders um die Zylinderachse

berechnet werden. Wie lautet das Ergebnis, wenn IZdurch den Radius R und die Masse mZ

des Zylinders ausgedrckt wird?

d05Ein Fahrzeug mit einer Gesamtmasse von 500kg luft auf vier gleichartigen Rdern, derenMasse insgesamt 10% der Fahrzeugmasse betrgt. Die Rder seien im Rahmen dieses Bei-spiels als homogene Zylinder behandelt. Unter der Annahme eines Raddurchmessers von60cm ist der fr eine Beschleunigung des Fahrzeuges auf eine Geschwindigkeit von 50km/herforderliche Energieaufwand gesucht. Aus welchen Betrgen setzt er sich zusammen und wiendert sich das Verhltnis dieser Energien zueinander, wenn die Geschwindigkeit auf100km/h erhht wird?

d06

Es sind die Trgheitsmomente IR einer dnnen Rechteckplatte gesucht. Die Masse der Platteje Flcheneinheit betrgt c kg/m2. Die Drehachse mge zunchst mit der im oberen Teil derAbb.B_02d eingetragenen bereinstimmen. Diese Achse geht durch den Schwerpunkt desRechtecks und ist eine der Schwerachsen der Rechteckplatte. Wieviele Schwerachsen hat dieRechteckplatte? Als Ergebnis der Rechnung sollte

IR1 12=

cba 3

gefunden werden. Welche Arbeit ist erforderlich, um die Platte um diese Achse mit einerDrehzahl von n Umdrehungen pro Minute rotieren zu lassen?Nunmehr mge die im unteren Teil der Abb.B_02d eingetragene Drehachse Verwendungfinden. Diese Achse liegt parallel zu der ursprnglich gewhlten Schwerachse und ist gegen-ber dieser um a /2 aus dem Schwerpunkt verschoben. Als Ergebnis der Rechnung solltenunmehr

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Dynamik

Icba

R2

3

3=

gefunden werden. Auch im vorliegenden Fall soll die Rotationsenergie fr n Umdrehungenpro Minute berechnet werden.

Abb.B_02d

Nimmt Erot gegenber der Drehung um die Schwerachse zu oder ab? Es mge sodann IR2

durchIR1 ausgedrckt und damit versucht werden, den Satz von STEINER zu verifizieren.

d07Eine Masse m mge im Gravitationsfeld der Erde auf eine Hhe h gehoben worden sein unddann im freien Fall zur Ausgangsposition zurckkehren. Mit welcher Geschwindigkeit vkommt die Masse dort an?

d08Diesselbe Masse wird sodann mit einer Feder (s.Abb.01d) verbunden und diese aufx gedehnt.Mit welcher Geschwindigkeit durchluft die Masse die Stellex=0?

d09Nunmehr mge die Feder an der Decke befestigt und die Masse an der Feder angehngt wer-den. Im Vergleich zur horizontal ausgelegten Feder ist jetzt bereits bei ruhender Masse eineEnergie in der Feder gespeichert. Wie gro ist die Nullenergie, wenn die Masse und die Fe-derkonstante gegeben sind? Welche Energie ist erforderlich, um die Masse aus der Ruhelageum a abzusenken und mit welcher Geschwindigkeit durchluft die Masse die Ruhelage, wennsie freigegeben wird? In welcher Hhe h, bezogen auf die Ruhelage, befindet sich der Schei-telpunkt der sich einstellenden freien Schwingung?

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d10

In welchen Einheiten sind die in Zusammenhang mit der Drehbewegung verwendeten GrenT, L, I,, , undErotim Internationalen Einheitensystem anzugeben?

d11

Um die beiden folgenden Aufgaben besser lsen zu knnen, sollte die Produktbildung beiVektoren mit beliebig gewhlten Zahlenwerten fr die Vektorkomponenten kurz behandelt

werden. Das skalare Produkt a b c= r

r

(sprich b mal c) oder Inprodukt (sprich b in c) fhrt zurskalaren Gre a.

Das vektorielle Produktr

r

r

d e f= (sprich e kreuzf) oder Exprodukt (sprich e ex f) fhrt zur

vektoriellen Grer

d.

d12Die Kraft mit den Komponenten Fx=1N, Fy=5N und Fz=0 greift im Punkt P(5,3,0) einer

Kreisbahn mit dem Mittelpunkt M(0,0,0) an einer Punktmasse m=2kg an. Gesucht sind dasDrehmoment und die Winkelbeschleunigung.

d13Eine punktfrmige Masse m=2kg rotiert im Abstand r=3m von der lotrechten Drehachse miteiner Drehzahl von 7 Umdrehungen pro Sekunde. Zunchst sind in einem geeignet gewhltenKoordinatensystem die Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsgleichungen aufzustel-

len. Die Zentripetalbeschleunigungr

aZp erfordert eine Zentripetalkraft ZpZp amFr

r

= . Beide

Gren sind sowohl als Vektoren als auch dem Betrage nach gesucht. Welche Arbeit verrich-tet die Zentripetalkraft beim Umlauf der Masse?

d14Was ist ein ballistisches Pendel und welche charakteristische Gre kann damit gemessenwerden?

d15Gl.25d steht fr einen Sonderfall des unelastischen Stoes (v2=0). Berechnet man aus der Ge-

schwindigkeit v nach dem Zusammenprall die kinetische Energie und

zieht diese von der ursprnglich vorhandenen kinetischen Energie ab, so

beschreibt die Differenz die Verformungsarbeit EVerformung. Es mge das Verhltnis der in

Verformungsarbeit umgesetzten kinetischen Energie zur ursprnglich vorhandenen kineti-schen Energie in Abhngigkeit vom Massenverhltnis m2/m1 dargestellt werden.

E m m vkin ' ( ) ' /2= +1 22

E m vkin, /1 1 12 2=

d16

Wie ist der Impulserhaltungssatz beim elastischen Sto zu verstehen, wenn im Falle 2 dieMasse m2 in Ruhe bleibt?

d17

Betrachtet man Gasmolekle als Kugeln, die infolge ihrer thermischen Bewegung auf die Ge-fwand aufprallen und dort einen elastischen Sto erfahren, so lt sich mit Hilfe diesesDenkmodells der Druck, den das Gas auf die Gefwand ausbt, berechnen. Welcher Rechen-

ansatz gestattet es, bei einer bekannten kinetischen Energie der Gasmolekle den Gasdruck zuberechnen?

50

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17/23

Dynamik

Lsungen zu den Beispielen

d01Die Differentialgleichung

dtttmmm

utmdvTR +

= )/()/(

kann mit der Substitutionttmmmx TR += )/(

und deren Differential dxdttmdx = )/(

in

x

dxudv =

umgewandelt und integriert werden.constxuv += ln

Nach Rcksubstitution wirdconstttmmmuv TR ++= ))/(ln(

erhalten. Da zur Zeit t=0 vereinbarungsgem die Geschwindigkeit v der Rakete null seinsoll, mu

consttmmmu TR ++= )0)/(ln(0gelten. Daraus errechnet sich constzu

)ln( TR mmuconst += und die endgltige Lsung der Aufgabe lautet

TR

TR

mmttmmmuv

++= )/(ln

Wird der gesamte Treibstoff abgebrannt, dann ist (m/t)t gleich mT, oder anders ausge-drckt, die Summe mT- (m/t).twird null. Da im Ausdruck fr vmax der Rakete

TR

R

mm

muv

+= lnmax

der Zhler stets kleiner als der Nenner ist, weist vmax ebenso wie v ein negatives Vorzeichen

auf. Die Ausstrmgeschwindigkeit u des Gases und die Bewegungsrichtung der Rakete sindentgegengesetzt gerichtet.

d02Das Integral ist von =0 bis =/2 zu erstrecken. Zerlegt man beispielsweise sin3 in

sin)cos1(sinsinsin 223 ==dann lautet das Integral

,=

=

=2

0

225 )1(4

/

K dsincoscosRI

das durch die Substitutiondudu == sin-undcos

in die Form

51

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18/23

=0

1

225 )1(4 duuuRIK

bergeht. Das Ergebnis lautet

1524534 5

1

0

53

5 =

= RuuRIK

und mit der Masse mKder Kugel

= 33

4RmK

lautet das Trgheitsmoment der Kugel bezglich des Kugelmittelpunktes

2

5

2RmI KK = .

d03Aluminium

252

3222

2

6015

16

602

5

2

2

1

2

1

5

2

nRn

RmIE

RmI

KKRot

KK

=

==

=

Werden die Zahlenwerte eingesetzt, so folgt fr n

n = 4489U/min bzw 2631U/min

d04Fr einen Hohlzylinder mit dem Radius und der Wandstrke dkann in sehr guter Nhe-rung - vorausgesetzt d ist ausreichend klein - fr alle Volumenelemente ein einheitlicherAbstand von der Drehachse angenommen werden. Der von diesem Hohlzylinder herrhrendeBeitrag dIZ zum gesamten Trgheitsmoment des Zylinders mit der Zylinderachse als Dreh-

achse ist durch

Abb.B_03d

52

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Dynamik

22 2 == HddmdIZ gegeben. Um das Gesamttrgheitsmoment IZ zu erhalten, mu dieser Ausdruck ber von

null bisR integriert werden.

=

= ====

R

ZZ

R

m

R

HR

R

HdHI

0

222

43

22422

mZist die Masse des Zylinders.

d05m = 500 kg, mRder= 50 kg, mRad= 12.5 kg

m ist die Gesamtmasse des Fahrzeugs.2

22

14

=D

mI RadZ

Die Gesamtenergie setzt sich aus der kinetischen Energie der translatorischen Bewegung

2

2vmEkin

=

und der in den rotierenden Fahrzeugrdern gespeicherten Rotationsenergie

2

2= Zrot

IE

zusammen. Bei einer Geschwindigkeit von v in km/h entsprechend v /3,6 in m/s betrgt dieDrehzahl n der Rder in Umdrehungen je Sekunde

=D

vn

1

6,3

und die Winkelgeschwindigkeit n= 2

Werden die entsprechenden Zahlenwerte eingesetzt, so errechnet sich die erforderliche Ener-gie zu

Eges= 50,64 kJ.

Der Anteil der Rotationsenergie betrgt 5% und ist unabhngig von der Geschwindigkeit.

d06

123222

32

0

2

0

2

0

322

1cbar

cbrcbdrrdmI

aa a

R ====

Zunchst ist zu przisieren, da es prinzipiell unendlich viele Schwerachsen gibt. Die Fragenach der Zahl der Schwerachsen ist dann einschrnkbar, wenn die drei Hauptachsen gesuchtsind. Die in der um die gezeigte Hauptachse rotierende Platte gespeicherte Rotationsenergieerrechnet sich mit der in n Umdrehungen pro Minute gegebenen Drehzahl

2

602

12

2

3

=

n

abcErot

Drckt man das Trgheitsmoment IR2 durch das Trgheitsmoment IR1 um eine der Schwer-

achsen aus, so lautet das Ergebnis

4

312

abcII RR

+=

53

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20/23

Das Produkt cba steht fr die Masse m der Rechtecksflche, so da der Ausdruck auch in derForm

2

1

2

2

2

123

,12

+===a

mIa

mIa

mI RRR

angeschrieben werden kann. a/2 ist der Abstand zwischen den beiden Drehachsen; damit istder Satz von STEINER verifiziert.

d07Die potentielle Energie einer gegenber dem Ausgangspunkt auf eine Hhe h gehobenenMasse betrgt

Epot= mgh

Wird die Masse freigegeben, so mu die kinetische EnergieEkin der Masse beim Durchlaufen

des Ausgangspunktes gleich der potentiellen EnergieEpotsein.

2

2vm

hgm

=

Daraus errechnet sich die Geschwindigkeit im Ausgangspunkt zu

hgv = 2

d08

2,

2

22vm

ExD

E kinFeder

=

=

Daraus errechnet sich die Geschwindigkeit zu mxDv /2= .

d09Die Nullenergie errechnet sich aus der Federdehnung in der Ruhelage mit Masse (Dx0=mg).

D

gmxDENull

=

=

22

2220

Soll die Masse um die Strecke a abgesenkt werden, so betrgt die in der Feder gespeicherteEnergie

Abb.B_04d

54

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21/23

Dynamik

( )2

20 axDEFeder

+=

wobei von dieser Energie die bereits in der Ruhelage enthaltene NullenergieENull und sodann

noch die vom Absenken im Gravitationsfeld der Erde freiwerdende Energie

Epot= mgain Abzug zu bringen ist. Die fr das Absenken erforderliche Arbeit Wabs betrgt daher

2

2aDEEEW potNullFederabs

==

Wird die Masse in der Position x0+a freigegeben, so wird sie nach oben beschleunigt - in

Richtung der Ruhelage mit Masse - und beim Durchlaufen der Position x=x0 wurde die ge-

samte Absenkarbeit = Absenkenergie (Wabs = Eabs) in kinetische Energie der Masse umge-

setzt

22

22aD

Evm

abs

==

Aus dieser Beziehung errechnet sich die gesuchte Geschwindigkeit zu

amDv = /Die sich bei einer Schwingung einstellenden Umkehrpunkte sindx0+a undx0-a.

d10

DrehmomentDrehimpulsTrgheitsmomentDichteWinkelgeschwindigkeitWinkelWinkelbeschleunigungRotationsenergie

kgm2s-2

kgm2s-1

kgm2

kgm-3

rads-1

radrads-2

Joule

d11

( ) ( ) ( ) zxyyxyzxxzxyzzyzzyyxx

ecbcbecbcbecbcbcba

bababacba

rrrr

r

r

r

r

++==

++==

d12

2

2

s324,0

2200

=

=

++==

dt

d

dt

drmM

eeeFrM zyx

r

r

rrr

r

r

r

d13

yx

yx

etretrv

etretrrrrr

rrr

+=

+=

cossin

sincos

55

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22/23

ZpZp

yxZp

amF

etretra

r

r

rrr

=

= sincos 22

Werden die Zahlenwerte eingesetzt, so folgt

( )yxZpZp

eteta

arrr

+=

=

+

72sin72cos5803

sm5803 2

( )yxZp

Zp

etetF

F

rr

r

+=

=

72sin72cos11606

N11606

Die Zentripetalkraft und der Weg auf der Kreisbahn stehen aufeinander senkrecht, so da kei-ne Arbeit verrichtet wird.

d14Die MasseMwird durch einen Holzblock reprsentiert, der an einer Schnur befestigt ist. DerAbstand von der Schnurbefestigung zum Massenmittelpunkt des Blocks sei l. Trifft auf

Abb.B_05d

den ruhenden Block eine Gewehrkugel mit der Masse m und der Geschwindigkeit v auf, sowird sie im Holzblock steckenbleiben - inelastischer Sto. Es gilt der Impulserhaltungssatz

1)(. vMmvm +=

Aus der bereits behandelten Beziehung v1 2= gh knnen dann die mit der Maximalauslen-

kung des Pendels verknpfte Hhe h und der zugehrige Winkel errechnet werden. DieAnwendung dieser Zusammenhnge ist blicherweise derart, da die Auslenkung gemessen

wird, und daraus bei bekannter Masse der Kugel auf deren Geschwindigkeit zurckgeschlos-sen wird.

m

lMmgv

Mm

vm

gg

vlh

)cos1()(2

)(2

1

2)cos1(

2

2

2221

+=

+===

d15Es sei E0 die kinetische Energie des Stopartners m1 vor dem unelastischen Sto, EVerf die

davon in Verformungsarbeit umgesetzte Energie und gleich dem Verhltnis m2/m1 der bei-

den Massen. Dann erhlt man aus der Gl.25d und dem Ausdruck fr die kinetische Energiedas gesuchte Ergebnis

56

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23/23

Dynamik

E

E

Verf

0 1=

+

d16Im Fall 2 ist der Betrag des Impulsesvor dem Zusammenprall m1v1 in der positiven x-Richtung und

nach dem Zusammenprall m1v1 in der negativen x-Richtung.

Das bedeutet eine Impulsnderung um 2 m1v1. Dieser Impuls wird von der groen Masse m2

beigetragen, wobei allerdings als Folge der Gre dieser Masse () die Geschwindigkeitderselben infinitesimal klein ist.

d17

Die kinetische Energie der Gasmolekle ist durch

2

2vm

Ekin

= gegeben. Prallt ein Gasmole-

kl senkrecht auf die Gefwand auf, so erfhrt es eine Impulsnderung 2mv. Die Kraft ist alsImpulsnderung je Zeiteinheit und der Druck als Kraft je Flcheneinheit definiert. Befindensich im Volumen VinsgesamtNGasmolekle, so mgen davon je 1/6 in die positive, wie dienegativex-,y- undz-Richtung fliegen. Stellt man sich das Gef so vor, da dessen Seitenfl-chen jeweils senkrecht zu den genannten Achsen angeordnet sind, so ist anzunehmen, dainnerhalb der Zeit t Gasmolekle innerhalb der Strecke vt bis zur Flche A an eine derBegrenzungswnde gelangen knnen. Innerhalb

Abb.B_06d

des Volumens vtA befinden sich n Molekle -V

Atv

N

n = - von denen innerhalb der

Zeitspanne tinsgesamt n/6 in Richtung zur FlcheA fliegen und dort die erwhnte Impuls-nderung 2mv erfahren. Damit errechnet sich der von den Gasmoleklen herrhrende Druckpzu

kinEV

N

At

vm

V

AtvNp =

=3

212

6

1

Fr 1 mol wirdNgleichL (LOSCHMIDTsche Zahl). Ersetzt man nochEkin durch die mittlere

kinetische Energie Ekin der Gasmolekle, so ist der obige Ausdruck identisch mit dem in derThermodynamik hergeleiteten (siehe Gl.05th).