CAPTULO 5.

INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

MOTIVACINLas ecuaciones diferenciales sern empleadas en muchas reas de las matemticas, la ciencia y la ingeniera. Es probable que el lector ya se haya encontrado con ejemplos sencillos de ellas en cursos de matemtica, fsica o qumica, porque en las ciencias y la ingeniera se desarrollan modelos matemticos para comprender mejor los fenmenos fsicos. Y con frecuencia en estos modelos aparecen ecuaciones que contienen derivadas de una funcin incgnita. A esas ecuaciones, que involucran al menos una derivada de una variable, se les denomina ecuaciones diferenciales. El objetivo general del presente captulo es introducir las definiciones bsicas y el significado de la solucin de la ecuacin diferencial.

5.1. PRE-REQUISITOS PARA ABORDAR ESTE TEMALa base terica necesaria para el estudio de este captulo es la siguiente:

Concepto de solucin de ecuaciones Nomenclaturas de las derivadas Derivadas ordinarias Derivadas parciales Teoremas sobre derivadas Concepto de anti-derivada Teorema fundamental del clculo

Busque informacin para iniciar y orientar los repasos antes de abordar el tema.

5.2. DEFINICIN DE ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIAAntes de la definicin de ecuacin diferencial, recordemos la nomenclatura general de derivadas: dz dp Se lee, primera derivada de la z con respecto a p. La variable z contenida en el diferencial del numerador, es la variable dependiente. La variable p contenida en el diferencial del denominador, es la variable independiente.

Una Ecuacin Diferencial ED, es una expresin matemtica que contiene un igual, al menos una variable, y al menos una derivada de una variable.

EJEMPLOS: 1) d3y d2y dy 5x 2 6 7 y 0 3 dx dx dx t2 d 5i d 4 i d 3i d 2i di (t 2) 4 3 t 2 12.6 7i 12Cos (3t 6.28) 5 dt dt dt dt dt

2) 3) 4)

6 i - 7 i = 15t 2 + 3t + 10 10x2 y- 5y - 7y = 9 x

Una ecuacin diferencial que slo implica derivadas ordinarias con respecto a una sola variable independiente se conoce como ecuacin diferencial ordinaria, y una ecuacin diferencial que implica derivadas parciales con respecto a ms de una variable independiente se conoce como ecuacin diferencial parcial.

d 2x dx 7 x 2 12t 4 6x 0 dt dt

Es una ED ordinaria porque solo presenta derivadas ordinarias de una variable dependiente x con respecto a una variable independiente t. 5z u u 3x x 2z x z

Es una ED parcial por que contiene derivadas parciales de una variable dependiente u con respecto a dos variables independientes x y z.

u xx 3u xy 12u yx 96 Es una ED parcial por que contiene derivadas parciales de una variable dependiente u con respecto a dos variables independientes x y y.

5.2.1. TRMINOS EN UNA ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIAObserve la estructura con que ordenaremos las ecuaciones diferenciales presentadas en este texto: a(x,y) dy dny d n 1 y d2y + b(x,y) ++ u(x,y) + v(x,y) + w(x,y) y = g(x,y) n n 1 2 dx dx dx dx

Se denomina estructura cannica, donde y es la variable dependiente y x es la independiente. Los coeficientes que multiplican a las derivadas, a la variable dependiente sin derivar y el trmino al lado derecho del igual, son funciones tanto de la variable dependiente y como de la variable independiente x.

Un caso ms simple de esta ecuacin diferencial se presenta cuando: a(x) dy dny d n 1 y d2y + b(x) ++ u(x) + v(x) + w(x) y = g(x) n n 1 2 dx dx dx dx

Los coeficientes que multiplican a las derivadas, a la variable dependiente sin derivar y el trmino al lado derecho del igual, no son funciones simultneamente de las variables x y y, sino que slo son funciones de la variable independiente x. En este curso nos ocuparemos solamente de la ltima y ms sencilla ecuacin diferencial. Antes de hacerlo identifiquemos sus trminos:

Varias derivadas de la variable dependiente y respecto a la variable independiente x, que siempre se ordenan en forma descendente de mayor a menor, al lado izquierdo del igual. Un trmino de la variable dependiente y sin derivar, que siempre se ubica en ltimo lugar, al lado izquierdo antes del igual. Los coeficientes, que son las expresiones y/o constantes, que se encuentran multiplicando a las derivadas de la variable dependiente, y a la variable dependiente sin derivar. Las expresiones constantes y/o funciones de la variable independiente, que no estn multiplicando a ninguna derivada, ni multiplicando a la variable dependiente sin derivar, y que siempre se ubican al lado derecho del igual. A este trmino lo llamaremos con el nombre de seal de entrada g(x).

EJEMPLOS: 1) +10 + 3t -5 +6 - 7i = 12 cos (3t) + 10 t6 - 9

Variable dependiente: i Variable independiente: t Coeficiente de la quinta derivada de i respecto a t: 1

Coeficiente de la cuarta derivada de i respecto a t: 10 Coeficiente de la tercera derivada de i respecto a t: 3t Coeficiente de la segunda derivada de i respecto a t: - 5t2 Coeficiente de la primera derivada de i respecto a t: 6 Coeficiente de la variable dependiente sin derivar: -7 Seal de entrada o g(x): 12 cos(3t) + 10t6 - 9

2)

6

- 7v = 15t2 + 3t + 10

Variable dependiente: v Variable independiente: t Coeficiente de la primera derivada de v con respecto a t: 6 Coeficiente de la variable dependiente sin derivar: - 7 Seal de entrada g(x): 15t2 + 3t + 10

5.3. ORDEN, GRADO Y LINEALIDAD DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALESORDEN DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL: Es lo mismo que la mxima derivada contenida en una Ecuacin Diferencial ED.

EJEMPLOS: 1) - 5x +6 -7y=0 Orden: 3

2)

+10

+ 3t

-5

+6

- 7i = 0

Orden: 5

3)

6

- 7v = 15t2 + 3t + 10

Orden: 1

4)

10x2 y- 5y - 7y = 9x

Orden = 2

GRADO DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL: Es lo mismo que el exponente de la mxima derivada contenida en una ED. EJEMPLOS: 1) 2) 6 - 5x +6 -7y=0 Grado: 1 Grado: 5 Grado: 1

- 7v = 15t2 + 3t + 10

3) 10x2 y- 5y- 7y = 9x

LINEALIDAD DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL: Es una caracterstica que se verifica cuando se cumplen simultneamente las siguientes tres condiciones en una Ecuacin Diferencial:

El grado de la ED es igual a 1. El exponente de la variable dependiente sin derivar contenida en la ED, es igual a 1. Todos los coeficientes de las derivadas y de la variable dependiente sin derivar, deben ser constantes y/o funciones solamente de la variable independiente. No importan los exponentes de los coeficientes.

EJEMPLOS: 1) 6 - 7v = 15t2 + 3t + 10

Grado: 5. No es lineal.

2) 6

- 7v = 15t2 + 3t + 10

Grado = 1 Exponente de la variable dependiente sin derivar es 1. Todos los coeficientes son constantes. Esta ED es lineal.

3)

- 5x

+6

-7y=0

Grado = 1 Exponente de la variable dependiente sin derivar es 1 Todos los coeficientes son constantes y/o funciones de la variable independiente x, solamente. Esta ED es lineal.

4)

+10

+ 3t

-5

+6

- 7i = 0

Grado = 1 Exponente de la variable dependiente sin derivar es 1 Todos los coeficientes son constantes y/o funciones solamente de la variable independiente t. Esta ED es lineal.

5) 6

- 7v3 = 15t2 + 3t + 10

Grado = 5 Exponente de la variable dependiente sin derivar es 3. Esta ED no es lineal.

6)

- 5xy

+ 6y2

- 7y = 0

Grado = 1 Exponente de la variable dependiente sin derivar es 1 Algunos coeficientes son funciones de la variable independiente x pero tambin de la variable dependiente y. Esta ED no es lineal.

5.4. ECUACIN DIFERENCIAL HOMOGNEA Y NO HOMOGNEAObservemos nuevamente la estructura de la ecuacin diferencial que ser considerada en este curso: a(x) + b(x) ++ u(x) + v(x) + w(x) y = g(x)

Se dice que es homognea cuando el trmino lado derecho del igual o sea la seal de entrada g(x) = 0. Y decimos que es una ED no homognea cuando g(x) 0.

EJEMPLOS: 65x y 3y + 0.3x2 y = 0 12y + 5xy = 12 cos (6x) g(x) = 0; entonces la ED es Homognea. g(x) 0; entonces la ED es no Homognea.

5.5. ECUACIN DIFERENCIAL CON VARIABLES SEPARABLESEs posible ordenar las ecuaciones diferenciales ED de varias formas para su presentacin, una de ellas fue mostrada en la seccin anterior: a(x,y) + b(x,y) ++ u(x,y) + v(x,y) + w(x,y) y = g(x,y)

Para las ED de orden 1 la representacin segn esta frmula sera: v(x,y) + w(x,y) y = g(x,y)

Sin embargo no es la nica presentacin viable, observe esta equivalente tambin muy utilizada: = f(x,y)

Esta ltima nos permitir hablar sobre una clase sencilla de ED de primer orden llamadas de variables separables. Si la ecuacin de orden 1 puede re-escribirse de tal modo que las variables x y y con sus respectivos diferenciales dx y dy puedan aislarse en lados opuestos de la ecuacin as: a(y) dy = b(x) dx

La ecuacin de orden 1 se presentara: = f(x,y) =

Si cambiamos = = b(x) C(y)

= C(y) entonces:

En otras palabras, si una ecuacin diferencial de orden 1 puede re-escribirse de tal forma que la primera derivada de la dependiente sea igual al producto de dos funciones. Tale que la primera sea funcin de la variable independiente y la segunda sea funcin de la dependiente: = b(x) C(y)

Entonces se dice que la ecuacin diferencial de primer orden es de variables separables, por que a continuacin pueden separarse las variables dependiente e independiente a cada lado del igual as: = b(x) C(y)dy C( y)

= b( x)dx

EJEMPLOS: 5 xy 2dy dx

+y=0

Es de variables separables por que puede escribirse como:dy dx

= =

1 5 xy 1 1 * 5x y

dy dx

La primera derivada es igual al producto de dos funciones, una de la variable dependiente y otra de la variable independiente.

6 Sen(12t )

di = t 2 + 8t dt

Es de variables separables porque puede re-escribirse as: di (t 2 + t ) = *i0 dt 6 Sen(12t )

8v 3 e 4t

dv dt

= Cos (2t ) + 6

Es de variables separables ya que tambin puede representarse como:dv dt

= =

Cos (2t ) + 6 8v 3 e 4t Cos (2t ) + 6 1 * 3 8e 4t v

dv dt

5.6. ECUACIN DIFERENCIAL EXACTAYa vimos que es posible ordenar la presentacin de las ecuaciones diferenciales ED de distintas formas. Para las de primer orden podra ser cualquiera de estas dos equivalentes: v(x,y) + w(x,y) y = g(x,y)

= f(x,y)

No obstante, existe otro ordenamiento posible para su presentacin que nos permitir definir las ecuaciones diferenciales exactas, considere la siguiente: M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

La forma diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es exacta en un rectngulo R si existe una funcin F(x,y) tal que para toda (x,y) en R el diferencial total de la funcin F(x,y)

d F(x,y) = M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

O sea que: = M(x,y) = N(x,y)

Es decir, la diferencial total de F(x,y) satisface:

d F(x,y) = M(x,y) dx + N(x,y) dy

La ED se escribira: dx + dy = 0

d F(x,y) = 0

Si la forma diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy corresponde al diferencial total de una F(x,y), entonces la ecuacin diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es llamada Exacta. En las aplicaciones de ingeniera es muy raro encontrar que una ED se presente en una forma exacta.

Hay un teorema del clculo relativo a la igualdad de las derivadas parciales mixtas continuas que nos indicar un criterio para definir la exactitud o no de una ED: = M(x, y) = N(x, y)

Por lo que se puede decir que si se cumple la condicin

M(x, y) =

N(x, y) la

ecuacin diferencial de orden 1: M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es Exacta.

EJEMPLOS: y dy (6 xy + 2 ) + =0 dx (3 x 2 + xy )2

Es exacta porque despus de re-escribirla puede comprobarse que M y = N x : (6 xy + y2 ) dy = dx (3x 2 + xy )2

(6 xy + Donde:

y2 2

)dx + (3x 2 + xy )dy = 0 M = 6 xy +y2 2

y

N = 3 x 2 + xy

Debe verificarse el cumplimiento de la condicin M y = N x para decir que la ED es exacta: M y = 6x + y N x = 6x + y

y dy (6 xy + 2 ) M y = N x , puede asegurarse que + = 0 es exacta. Como se cumple que dx (3 x 2 + xy )

2

(4 ze 2t + 0.5 z 2 )dt + (2e 2t + zt )dz = 0

Si se define que: M = (4 ze 2t + 0.5 z 2 ) N = (2e 2t + zt )

Puede comprobarse que M z = N t : M z = 4e 2t + z N t = 4e 2 t + z Por lo tanto la ED es exacta.

5.7. SOLUCIN DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIABuscar soluciones para todos los posibles casos de las ecuaciones diferenciales, es un problema demasiado extenso que no alcanzaremos a cubrir en este texto y tampoco alcanzaremos a cubrir en un solo semestre. As que abordaremos el problema primero desde los casos ms sencillos en este volumen, y luego emprenderemos la solucin de los problemas ms complejos en volmenes futuros.

Este texto se delimitar para las ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales, de orden 1 y orden 2.

Resolver una Ecuacin Diferencial Ordinaria, significa encontrar una expresin matemtica llamada solucin, donde la variable dependiente se despeja como una funcin de la variable independiente. La funcin solucin satisface la ecuacin diferencial para todos los valores de la variable independiente en el intervalo de inters.

EJEMPLOS:1)

Solucionar la ED implica encontrar una funcin i = i (t) tal que al reemplazar en la ecuacin diferencial en el lugar de la i el valor encontrado i(t), la igualdad de la ecuacin diferencial se cumple idnticamente.

2)

- 5xy

+ 6y2

- 7y = 0

Solucionar la ED implica encontrar una funcin y = y (x) tal que al reemplazar en la ecuacin diferencial en el lugar de la y el valor encontrado y(x), la igualdad de la ecuacin diferencial se cumple idnticamente.

3) 10x2 y - 5y - 7y = 9

Solucionar la ED implica encontrar una funcin y = y (x) tal que al reemplazar en la ecuacin diferencial en el lugar de la y el valor encontrado y(x), la igualdad de la ecuacin diferencial se cumple idnticamente.

Ya entendimos qu significa la solucin de una ED, ahora el problema es cmo buscar esas soluciones. Empecemos por buscar la solucin de los casos ms simples. El caso ms sencillo de ED surge cuando en la ecuacin , la funcin f (x, y) no depende de la solucin desconocida y llamada variable dependiente, sino que depende solamente de la variable independiente x, as:

En este caso, la solucin de la ecuacin diferencial, que es la variable dependiente y despejada, puede obtenerse directamente por anti-diferenciacin. Considere la ED sencilla , solucionemos as:

Este resultado se denomina la solucin general de la ecuacin diferencial. Observe que la solucin de la ecuacin diferencial contiene una constante arbitraria c. Este resultado permite decir que las ecuaciones diferenciales no tienen una solucin nica sino que tienen muchas soluciones, porque la ecuacin constante c. se cumple para cualquier valor de la

El resultado obtenido

corresponde

a una y = y(t) que satisface

idnticamente la ecuacin diferencial original. Observe que si reemplazamos el resultado obtenido para la y en el lugar de la variable dependiente en la EDO original:

d ( 1 x 4 + c) 4 = x3 dx d ( 1x ) dc 4 + = x3 dx dx x3 + 0 = x3 x3 = x34

Al operar se obtiene una igualdad idntica, por que la expresin que llamamos solucin satisface idnticamente la igualdad de la EDO original.

5.7.1. FAMILIAS DE CURVAS SOLUCIN PARA UNA EDO1La solucin general de una ecuacin diferencial ordinaria de orden 1 EDO1, contiene un parmetro o constante arbitraria c que surge de la integracin indefinida. Se pueden calcular todas las soluciones posibles variando la constante parmetro arbitrario c.

EJEMPLO: Considere el ejemplo de la seccin anterior. Para la EDO sencilla: La solucin es .

Observe que tanto para la EDO como para la solucin, la variable independiente (Dominio) es la x. Y la variable dependiente (Rango) es la y.

Si tomamos un dominio entre -3 x 3. Y adems le damos valores arbitrarios a la constante arbitraria c, tales como: c = -5, -1, 0, 2, 5, obtendremos las siguientes expresiones todas ellas soluciones de la ecuacin diferencial original y sus grficas segn la figura 5.1:

y=

1 4 x 5, 4

y=

1 4 x 1, 4

y=

1 4 x , 4

y=

1 4 x +2, 4

y=

1 4 x +5 4

30 25 20 15 10 5 0 5 3

Cada una de las curvas representa una solucin para ecuacin diferencial ordinaria del problema.

En este caso las curvas marcan ya una tendencia para el comportamiento de las soluciones en el intervalo del dominio considerado -3 < x < 3.2 1 0 1 2 3

Figura 5.1

5.7.2. PROBLEMA DEL VALOR INICIALCon frecuencia especialmente en las aplicaciones, lo que nos interesa es una solucin especfica que cumpla una condicin adicional, y no la familia de soluciones de la ED. La condicin adicional puede ser un punto conocido sobre la curva solucin.

Suponga que conocemos el punto (0,9): y = 9 y x = 0. Esto en trminos matemticos puede escribirse como y(0) = 9 y se llama condicin inicial, porque corresponde al valor del dominio x = 0.

Pero si por ejemplo tenemos el punto (5,3): y = 3 cuando x = 5. Esto puede escribirse como y(5) = 3 y se llama condicin de frontera por que corresponde a un valor del dominio x 0.

Con frecuencia se utilizar la denominacin de problema del valor inicial para cualquiera de las dos condiciones anteriores.

Las condiciones iniciales son ventajosas porque al ser reemplazadas en la solucin de una ecuacin diferencial es posible despejar el valor de las constantes desconocidas.

Por ejemplo, si conocemos la condicin inicial y(0) = 9, o sea y = 9 y x = 0, para la ecuacin diferencial cuya solucin es . Es posible calcular el valor de la constante arbitraria c que hace que la igualdad se cumpla:

Entonces la solucin especfica de la ecuacin diferencial para la condicin inicial y(0) = 9 ya no ser:

Sino:

Donde la constante ya no es arbitraria sino un valor conocido.

En cambio, si tuviramos conocimiento de una condicin de frontera (3,5) y(5) = 3, o sea , y = 3 cuando x = 5, para la misma

o mejor:

cuya solucin es

para obtener el valor de la constante c reemplazamos los valores del punto

conocido en la solucin obtendremos el valor de la c que hace que la condicin se cumpla:

Entonces la solucin especfica de la ecuacin diferencial para la condicin inicial y(5) = 3 es:

Donde la constante c es ahora un valor conocido.

EJEMPLOS DE NOMENCLATURA DE VALORES INCIALES: Estos son algunos ejemplos de la presentacin de valores o condiciones iniciales para funciones del tiempo t, representadas como coordenadas cartesianas:

CONDICIN INICIAL: i (0) = 5 v(0) = 4 z(0) = 6

SE LEE: Cuando: t = 0, i = 5 Cuando: t = 0, v = 4 Cuando: t = 0, z = 6

COORDENADAS: (0, 5) (0, 4) (0, 6)

5.8.

MTODO DE PRUEBA PARA UNA SOLUCIN

La funcin solucin satisface la ecuacin diferencial para todos los valores de la variable independiente en el intervalo de inters. Comprobar una solucin propuesta para una ecuacin diferencial, significa sustituir la solucin en el lugar de la variable dependiente de la ED, y verificar que la igualdad se cumple idnticamente.

EJEMPLO 1: Verifiquemos si la funcin i = K - 500 t es solucin de la ED:

Reemplazando la solucin propuesta en la ecuacin diferencial original y se busca comprobar si la ecuacin se cumple:

2K (-500) - 500 t + 1000 K - 500 t = 0 -1000K - 500 t + 1000 K - 500 t = 0 0=0

La expresin obtenida es una igualdad

y podemos decir que la ecuacin se cumple

idnticamente, en conclusin i (t) = K - 500 t si es solucin de

EJEMPLO 2: Verifique que es una solucin de la ecuacin diferencial :

Si la funcin

es solucin de ecuacin diferencial entonces al reemplazar su valor en la ED la igualdad debe cumplirse idnticamente as:

Al realizar las operaciones la ecuacin diferencial se convierte en una igualdad. Por lo tanto puede asegurarse que la funcinorden. si es solucin de la ecuacin diferencial de primer

5.9.

MATLAB PARA SOLUCIONAR ECUACIONES DIFERENCIALES

Es viable comprobar los resultados obtenidos en la solucin de una ED utilizando herramientas como programas de computacin. Indicaremos en este aparte cmo utilizar de manera sencilla el software MATLAB para buscar soluciones de las ED.

Si nos interesa solucionar la ecuacin diferencial

,

utilizamos

MATLAB indicando primero cuales variables sern consideradas simblicas, luego definiendo la variable donde debe guardarse el resultado del clculo y posteriormente cambiando la presentacin de la respuesta con el comando pretty().

>>syms I t >>I=dsolve(2*DI+1000*I=0) >>pretty(I)

MATLAB ofrece como respuesta:

C1 exp(-500 t)

Esta presentacin debe ser reordenada considerando que para MATLAB los espacios significan multiplicacin y la expresin exp(-500 t) indica la funcin .

La respuesta para

es entonces: I = C1

Para ms informacin sobre los comandos, desde la pantalla command window, puede utilizar el comando help as: >>help syms >>help dsolve >>help pretty

5.10.EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCIN PARA LA EDO1Con frecuencia la ecuacin diferencial de primer orden no se puede resolver

por integracin sencilla. Es importante entonces saber cundo existen las soluciones y cundo no. Al igual que en los ejemplos elementales anteriores, la ED por lo general tiene muchas soluciones de las cuales solo una satisface la condicin inicial o la condicin de frontera dadas. Una forma precisa de garantizar la existencia y unicidad de la solucin es la siguiente.

5.10.1. TEOREMA BSICO DE EXISTENCIA Y UNICIDADExiste una solucin nica a la ED:

Que satisface la condicin inicial dada (x0,y0) o sea y(x0) = y0, y su derivada parcial (x0,y0). son funciones continuas de x y y,

si las funciones

f (x, y)

cerca del punto inicial

En muchos casos de inters prctico las condiciones de continuidad se satisfacen para los valores de (x0,y0) de manera que existe una solucin nica para el problema del valor inicial. Si no se cumplen las condiciones del teorema bsico de la existencia y unicidad en el punto (x0,y0), entonces no existen soluciones en el punto.

EJEMPLO 1: Verificar si para la siguiente ecuacin diferencial existe una solucin nica para el problema de valor inicial (4, -3):

La ecuacin diferencial todo (x, y) ya que las dos funciones:

satisface las condiciones del teorema de unicidad para

Son funciones continuas de x y y, para cualquier valor del dominio x y cualquier valor de la y, entonces debe existir una solucin nica para el problema de valor inicial para cualquier (x0, y0). Por lo tanto para el caso en que (x0, y0) = (4, -3) tambin debe existir una solucin nica.

EJEMPLO 2:

Verificar si para la siguiente ecuacin diferencial existe una solucin nica para el problema de valor inicial (x0, y0) = (3,-2) y para el punto (-7,15):1 dy = xy 2 dx

Para verificar existencia y unicidad es necesario comprobar si para la EDO:

f (x, y) y su derivada parcial inicial (3,-2) as: f (x, y) = xy 21

,

son funciones continuas de x y de y, cerca del punto

Es continua para todo x y para todo y 0 en los reales.

f 1 2 = xy y 2

1

Es continua para todo x

y para todo

y 0 en los reales.

1 dy = xy 2 debe tener una solucin nica para el problema de dx valor inicial (x0,y0), siempre que y0 > 0.

Puede decirse que la EDO

Por lo tanto para el punto (3,-2) donde y = -2 < 0 solucin nica.

la ecuacin diferencial no tiene

Pero para el punto (-7,15) donde y = 15 > 0 la ecuacin diferencial si tiene solucin nica.

5.11.EJERCICIOS RESUELTOS CAPTULO 5

EJERCICIO 1: Identifique los trminos en la ecuacin diferencial Variable dependiente: v Variable independiente: t Coeficiente de la primera derivada de v con respecto a t: 6 Coeficiente de la variable dependiente sin derivar: - 7 Seal de entrada g(x): 15t2 + 3t + 10 6 - 7v = 15t2 + 3t + 10:

EJERCICIO 2: Identifique el orden en las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:

+10 6

+ 3t

-5

+6

- 7i = 0

Orden: 5 Orden: 1 Orden: 2

- 7v = 15t2 + 3t + 10

10x2 y- 5y - 7y = 9x

EJERCICIO 3: Identifique el grado de la ecuacin diferencial: - 5x 6 +6 -7y=0 Grado: 1 Grado: 5 Grado: 1

- 7v = 15t2 + 3t + 10

10x2 y- 5y- 7y = 9x

EJERCICIO 4: Identifique linealidad en las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias EDO:

1)

6

- 7v = 15t2 + 3t + 10

Grado: 5. No es lineal.

2) 6

- 7v = 15t2 + 3t + 10

Grado = 1 Exponente de la variable dependiente sin derivar es 1. Todos los coeficientes son constantes. Esta ED es lineal.

3)

- 5x Grado = 1

+6

-7y=0

Exponente de la variable dependiente sin derivar es 1 Todos los coeficientes son constantes y/o funciones solamente de la variable independiente x. Esta ED es lineal.

4)

+10 Grado = 1

+ 3t

-5

+6

- 7i = 0

Exponente de la variable dependiente sin derivar es 1 Todos los coeficientes son constantes y/o funciones solamente de la variable independiente t. Esta ED es lineal.

4) 6

- 7v3 = 15t2 + 3t + 10

Grado = 1 Exponente de la variable dependiente sin derivar es 3. Esta ED no es lineal.

6)

- 5xy Grado = 1

+ 6y2

- 7y = 0

Exponente de la variable dependiente sin derivar es 1 Los coeficientes son funciones de x, pero tambin de la variable dependiente y. Esta ED no es lineal.

EJERCICIO 4: Para las siguientes ecuaciones diferenciales verifique si satisfacen el teorema de existencia y unicidad para las soluciones en el respectivo punto de valor inicial conocido:a)

dy 2x = , dx y

y (7) = -1

Se determina la existencia y unicidad de la solucin, comprobando si: f ( x, y ) = f 2 x = , y y 2 Son continuas para las dos variables, en un intervalo que contenga el punto de la condicin inicial (7,-1). 2x , y y

Las dos funciones son continuas en cualquier intervalo real que no contenga a y = 0, pero la x puede tomar cualquier valor.

Por lo tanto podemos decir que en el punto con coordenadas (7,-1) donde y 0, la ecuacin diferencial dy 2x = dx y tiene una solucin y es nica.

b) y '+e t y = 0 ,

y (0) = -3

La EDO1 tendr solucin nica en el punto (0,-3) si se cumple que las dos funciones siguientes, son continuas para las dos variables x y y en un intervalo del dominio real que contenga el punto.

dy = e t y = f (t , y ) dt f = e t y

Se cumple la continuidad de las dos funciones en todo el dominio real para cualquier valor de y o t, podemos concluir que existe una nica solucin para la EDO1 en el punto de coordenadas (0,-3).

c) 1000

di + 5 x10 5 i = 0 , dt

i(0) = 3

di = 5 x10 2 i = f (t , i ) dt

Para que la EDO1 tenga solucin y esta sea nica, es necesario que las funciones: f (t , i ) = 5 x10 2 i f = 5x10 2 i

Sean continuas para t e i, en un intervalo del dominio que contenga al punto (0,3).

Como las dos funciones son continuas para todo el dominio real para cualquier valor de las variables t e i, podemos concluir que la EDO1 tiene solucin nica en el punto (0,3).

EJERCICIO 5: Verifique que la funcin que est a la derecha es solucin de la ecuacin diferencial que esta a la izquierda en cada caso.a) y ' =

1 , x2

y=

1 +C x

1 + C es solucin de la EDO1, al reemplazar su valor en la ecuacin x diferencial la igualdad se tiene que cumplir idnticamente. Para realizar el reemplazo es necesario calcular antes el valor de la y, as: Si la expresin y = y= 1 +C x

1 d ( + C) dy = x dx dx dy d ( x 1 ) dC = + dx dx dx dy = x 2 + 0 dx dy 1 = 2 dx x

Reemplacemos ahora s el valor obtenido para y en la ecuacin diferencial:

y' =

1 x2

1 1 = 2 2 x x

Al obtener una igualdad que se cumple idnticamente demostramos que la expresin y= 1 +C x es solucin de la ecuacin diferencial y ' = 1 . x2

b)

dy 3 y = 0, dx x

y = cx 3

Para realizar el procedimiento de prueba es necesario calcular antes y, as: y' = dy d (cx 3 ) = dx dx dy = 3cx 2 dx

Reemplacemos en la EDO1 original los valores de la solucin y ms el valor de su primera derivada con respecto a la variable independiente x: dy 3 y=0 dx x 3 3cx 2 (cx 3 ) = 0 x 3cx 2 3cx 2 = 0

Al resultar una igualdad idntica queda demostrado que y = cx 3 dy 3 y = 0. dx x

es solucin de

5.12.EJERCICIOS PROPUESTOS CAPTULO 5EJERCICIO 1: Seleccin mltiple. Marque para cada una de las siguientes Ecuaciones Diferenciales ED la respuesta correcta que contiene el orden, grado y linealidad:

A.

y + 2 x y+ y = 0 a) Orden: 1 b) Orden: 2 c) Orden: 2 Grado: Grado: Grado: 2 1 1 Linealidad: No Linealidad: Si Linealidad: No

B.

yxx + 2 xyx + y = 0a)

Orden: 1

Grado: Grado: Grado:

2 1 1

Linealidad: No Linealidad: Si Linealidad: No

b) Orden: 2 c) Orden: 2

EJERCICIO 2: Determine para cada una de las siguientes Ecuaciones Diferenciales ED: y linealidad: a) b) c) 5 5 5 - 3y = 0 - 3y = 5 sen (2x) - 3y6 = 5x4 El orden, grado

d) e) f) g) h) i) j)

5v 5 5

- 3v = 5 sen (2t) - 3v = 0 - 3y = x4 + 3x2 - 3y = 5 x4 + 3x2 - 3y = 0 - 3z = 5 Cos (6x) - 3v = 5t

(5x2 + 3x) 6 6 6 + 5 + 5 + 5

EJERCICIO 3: Seleccione cual es la respuesta que tiene en su orden la variable dependiente, la independiente, y el coeficiente de la variable dependiente sin derivar de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias EDO:a) 12x3

+ 5x2

- 3y = 5x

a.1. a.2. a.3.

x, y, 5x y, x, -3 y, x, 5

b) 5v

- 3 t2

+ 2t v = 5

a.1. a.2. a.3.

t, v, 5v v, t, 2t v, t, 2

EJERCICIO 4:

Considere las siguientes ecuaciones diferenciales y utilice el teorema de existencia y unicidad de la solucin para EDO1 para identificar los intervalos del correspondiente dominio donde tienen soluciones:a)

y' = t

y 1+ x

b)

dv = t2 dt1

c)

dz =w 3 dw

EJERCICIO 5: Demuestre que las funciones que estn a la derecha son soluciones de las EDO ubicadas a la izquierda:a)

dz 2 +t z = 0, dt 2 y ' '5 y '3 y = 0 ,

y = ce

1 t3 3

b)

y = C1e

1 x 2

+ C2 e3x

5.13.RUTA CONSULTA BIBLIOGRFICA RECOMENDADA CAPTULO 5David Lomen, David Lovelock, Ecuaciones Diferenciales a travs de grficos, modelos y datos, Mxico, 2000, p. 1-5. Dennis Zill, Ecuaciones Diferenciales, Sptima edicin, Mxico, 2002, p. 1-12. R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Fundamentos de ecuaciones diferenciales, Segunda edicin, Mxico, 1992, 1-17. Earl D Rainville V, Phillip E. Bedient, Richard E. Bedient, Ecuaciones Diferenciales, Octava edicin, Mxico, 1998, p. 1-15.