Ecuaciones Diferenciales Ordinarias · Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 2/97 Introducción Índice 1 Introducción 2 Ejemplos (modelos & preguntas) 3 EDOs de 1er orden autónomas

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1 / 97

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Rafael Ramírez Ros

2 de diciembre de 2019


Introducción

Índice

1 Introducción

2 Ejemplos (modelos & preguntas)

3 EDOs de 1er orden autónomas

4 Resolución de SLs de 1er orden a CC

5 Resolución de EDOLs de 1er y 2o orden a CC

6 Estabilidad de SLs de 1er a CC

7 Estabilidad de SNLAs

8 Ejemplos (respuestas & interpretaciones)


Introducción

Abreviaturas

EDO = Ecuación diferencial ordinariaEDOL = EDO linealEDOLH = EDO lineal homogéneaEDOLNH = EDO lineal no homogéneaSL = Sistema linealSLH = Sistema lineal homogéneoSLNH = Sistema lineal no homogéneoSNL = Sistema no linealSNLA = Sistema no lineal autónomoCC = coeficientes constantesCI = condición inicialPVI = Problema de valor inicialPVIL = Problema de valor inicial lineal


Introducción

EDOs de 1er orden

Una EDO de 1er orden es una ecuación de la forma

x ′ = f (t , x),

donde:t = variable independiente (usualmente, el tiempo),x = x(t) es la incógnita (o variable dependiente),′ = d/dt ,f : R× R→ R es una expresión dada.

La EDO es autónoma si f (t , x) no depende de t .La EDO es lineal (EDOL) si f (t , x) = a(t)x + b(t).La EDOL es homogénea cuando b(t) ≡ 0.La EDOL es a CC cuando a(t) es constante.CI = x(t0) = x0, t0 = tiempo inicial, x0 = valor inicial.PVI = EDO + fijar CI; PVIL = EDOL + fijar CI.Teorema: PVI/PVIL “bueno”⇒ ∃! solución local/global.


Introducción

EDOs de 2o orden

Una EDO de 2o orden es una ecuación de la forma

x ′′ = f (t , x , x ′),

donde:t = variable independiente (usualmente, el tiempo),x = x(t) es la incógnita (o variable dependiente),′ = d/dt , ′′ = d2/dt2,f : R× R× R→ R es una expresión dada.

La EDO es autónoma si f (t , x , x ′) no depende de t .La EDO es lineal si f (t , x , x ′) = a0(t)x + a1(t)x ′ + b(t).La EDOL es homogénea cuando b(t) ≡ 0.La EDOL es a CC si a0(t) y a1(t) son constantes.CI = x(t0) = x0, x ′(t0) = x1, x0, x1 = valores iniciales.PVI = EDO + fijar CI; PVIL = EDOL + fijar CI.Teorema: PVI/PVIL “bueno”⇒ ∃! solución local/global.


Introducción

SLs de 1er orden

Una SL nD de 1er orden (en forma normal) es un sistemade n EDOs lineales de 1er orden de la forma

x ′ = A(t)x + b(t),

donde:t = variable independiente (usualmente, el tiempo),x = x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) es el vector incógnita,A =

(aij)

: R→Mn(R) es una función matricial dada,b = (b1, . . . ,bn) : R→ Rn es una función vectorial dada.

EL SL es homogéneo cuando b(t) ≡ 0.El SL es a CC cuando la matriz A(t) es constante.CI = x(t0) = x0, t0 = tiempo inicial, x0 = valor inicial.PVIL = SL + fijar CITeorema: PVIL “bueno”⇒ ∃! solución global.


Introducción

SNLs de 1er orden

Una SNL nD de 1er orden (en forma normal) es unsistema de n EDOs no lineales de 1er orden de la forma

x ′ = F (t ,x),

donde:t = variable independiente (usualmente, el tiempo),x = x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) es el vector incógnita,F : R× Rn → Rn es un campo vectorial dado.

EL SNL es autónomo si F (t ,x) no depende de t .Los SLs son un caso particular: F (t ,x) = A(t)x + b(t).CI = x(t0) = x0, t0 = tiempo inicial, x0 = valor inicial.PVI = SNL + fijar CITeorema: PVI “bueno”⇒ ∃! solución local.


Introducción

EDOs orden n Sistema nD de 1er orden

La EDO de 2o orden x ′′ = f (t , x , x ′) es equivalente al SNL2D de 1er orden x ′ = F (t ,x) dado por

x =

(x1x2

)=

(xx ′

), F (t ,x) =

(x2

f (t , x1, x2)

).

La EDOL de 2o orden x ′′ = a0(t)x + a1(t)x ′ + b(t) esequivalente al SL 2D de 1er orden x ′ = A(t)x + b(t) donde

x =

(xx ′

), A(t) =

(0 1

a0(t) a1(t)

), b(t) =

(0

b(t)

).

Esta estrategia sirve para EDOs de cualquier orden.


Ejemplos (modelos & preguntas)

Índice

1 Introducción










Un depósito: Unidades, parámetros & incógnita

Unidades: h (tiempo), kg (masa) y m3 (volumen).Parámetros: r = caudal entrada, γ = concentración deuna sustancia X en la entrada y V = volumen.Incógnita: c(t) = concentración de X en el instante t

- -

r m3/h

γ kg/m3

r m3/h

c(t) kg/m3

V m3

c(t) kg/m3

Figura : Un único depósito con una salida y una entrada.



Un depósito: Hipótesis & modelización

Hipótesis:1 El volumen V se mantiene constante, luego el caudal de

salida es igual a r .2 La sustancia se distribuye de forma inmediata y uniforme

por todo el depósito, luego la concentración de salida esigual a c(t).

Cantidad dentro = Vc(t) kg⇒ variación = Vc′(t) kg/h.Entrada = rγ kg/h. Salida = rc(t) kg/h.Vc′ = variación = entrada− salida = rγ − rc.Modelo: Es la EDOLNH a CC de 1er orden c′ = ac + b,donde a = −r/V y b = rγ/V .PVI: Una vez fijada una CI c(t0) = c0, queda determinadoel comportamiento pasado y futuro de c(t).Pregunta: ¿Qué se puede decir de limt→+∞ c(t)?



Dos depósitos: Unidades, parámetros & incógnitas

Unidades: h (tiempo), kg (masa) y m3 (volumen).Parámetros: r = caudal trasvase, Vj = volumen depósito j .Incógnitas: cj(t) = concentración depósito j , instante t .

-r m3/h

r m3/h

c1(t) kg/m3

c2(t) kg/m3

V1 m3

c1(t) kg/m3V2 m3

c2(t) kg/m3

Figura : Dos depósitos conectados formando un circuito cerrado.



Dos depósitos: Hipótesis & ecuaciones de balance

Hipótesis:1 Los dos volúmenes se mantienen constantes, luego el

caudal de derecha a izquierda es igual a r .2 La sustancia se distribuye de forma inmediata y uniforme

en cada depósito, luego las concentraciones de trasvaseson c1(t) y c2(t).

Variación depósito j : Vc′j (t) kg/h.Entrada depósito j : rci(t) kg/h, con i 6= j .Salida depósito j : rcj(t) kg/h.Ecuaciones de balance en cada depósito:

1o: V1c′1 = variación = entrada− salida = rc2 − rc1,

2o: V2c′2 = variación = entrada− salida = rc1 − rc2.



Dos depósitos: Modelo, PVI & preguntas

Modelo: Es el SLH a CC 2D c′ = Ac, donde

c =

(c1c2

), A =

(−r/V1 r/V1

r/V2 −r/V2

).

PVI: Para determinar el vector concentración c(t) hemosde fijar el vector concentración inicial c(t0) = c0.Preguntas:

1 ¿Para qué valores de c0 ∈ R2 se cumple que c(t) ≡ c0?(Estos valores son los puntos de equilibrio del sistema.)

2 ¿Qué se puede decir de limt→+∞ c(t)?3 ¿Cuál es la variación de S(c1, c2) = V1c1 + V2c2?

(S es la cantidad total de sustancia X en el circuito.)



Grandes Lagos: Unidades, incógnitas & hipótesis

Los Grandes Lagos son cinco lagos (Superior, Michigan,Huron, Eire y Ontario) a lo largo de la frontera entre EEUUy Canada con varias interconexiones entre ellos.(Ver la figura de la siguiente página.)Problema: Estudiar la evolución en las concentraciones deuna sustancia contaminante.Unidades: año (tiempo), Tm (masa) y mi3 (volumen).Incógnitas: Concentraciones s(t), m(t), h(t), e(t) y o(t).Hipótesis:

1 Los cinco volúmenes se mantienen constantes.2 El contaminante se distribuye de forma inmediata y

uniforme en cada lago.3 Solo entra agua pura a partir de un instante inicial t0.



Grandes Lagos: Figura



Grandes Lagos: Modelo, PVI & preguntas

Modelo: El SLH a CC 5D c′ = Ac, donde

c =

smheo

,A =

− 3

580 0 0 0 00 − 19

590 0 0 03

17019

425 − 225 0 0

0 0 1729 − 85

116 00 0 0 85

393 − 33131

.

PVI: Para determinar el vector concentración c(t)necesitamos fijar el vector concentración inicial c(t0) = c0.Preguntas:

1 ¿Para qué valores de c0 ∈ R5 se cumple que c(t) ≡ c0?(Estos valores son los puntos de equilibrio del sistema.)

2 ¿Qué se puede decir de limt→+∞ c(t)?3 ¿Cuántos años tardará la contaminación en reducirse al

50% en cada lago?



Muelle clásico: Unidades, hipótesis & parámetros

Problema: Un muelle vertical tiene un extremo fijado y enel otro una masa puntual que oscila verticalmentesometida a una fuerza exterior F (t).Unidades: s (tiempo), m (longitud), kg (masa) y N (fuerza).Hipótesis:

1 La fuerza de recuperación del muelle es proporcional (ytiene sentido opuesto) al desplazamiento desde la posiciónde equilibrio (Ley de Hooke).

2 La fuerza de fricción es proporcional (y tiene sentidoopuesto) a la velocidad de la masa.

Parámetros: m = masa, k = ctte Hooke, µ = coef. fricción.Variable independiente: t = tiempo.Incógnita: x = x(t) = desplazamiento desde el equilibrio.



Muelle clásico: Modelo, PVI & preguntas

2a Ley Newton: mx ′′ = −µx ′ − kx + F (t).Modelo: La EDOLH a CC de 2o orden

x ′′ + 2γx ′ + ω20x ′ = b(t),

donde γ = µ/2m ≥ 0, ω0 =√

k/m > 0 y b(t) = F (t)/m.Nota: Si no hay fricción: µ = 0, entonces decimos que ω0es la frecuencia natural del muelle.PVI: Para determinar el movimiento, hemos de fijar laposición y velocidad iniciales: x(t0) = x0 y x ′(t0) = v0.Preguntas:

1 ¿Cuándo existen movimientos periódicos?2 Si existen, ¿cuántos hay? y ¿de qué periodo?3 ¿Qué se puede decir de limt→+∞ x(t)?



Péndulo de Wilberforce: Problema & hipótesis

Problema: Una masa puntual cuelga de un muelle flexibleen forma de espiral, oscilando verticalmente ytorsionalmente.Hipótesis:

1 Ley de Hooke: La fuerza de recuperación torsional/verticaldel muelle es proporcional (y tiene sentido opuesto) aldesplazamiento torsional/vertical desde la posición deequilibrio.

2 La fuerza de fricción es proporcional (y tiene sentidoopuesto) a la velocidad de la masa.

3 Cada oscilación ejerce sobre la otra un efecto proporcionala su propio desplazamiento, con una pequeña constantede proporcionalidad común.

4 Resonancia: Las frecuencias naturales de ambasoscilaciones coinciden cuando no hay ni acoplamiento nifricción.



Péndulo de Wilberforce: Parámetros & incógnitas

Parámetros:m = masa.I = momento de inercia.k1 = constante de Hooke del movimiento vertical.k2 = constante de Hooke del movimiento torsional.µ1 = coeficiente de fricción del movimiento vertical.µ2 = coeficiente de fricción del movimiento torsional.ε = pequeño parámetro de acoplamiento.

Resonancia: k1/m = k2/I.Incógnitas:

y(t) = desplazamiento vertical desde el equilibrio,θ(t) = desplazamiento torsional desde el equilibrio.



Péndulo de Wilberforce: Modelo

2a Ley de Newton:

my ′′ = −µ1y ′ − k1y + εθIθ′′ = −µ2θ

′ − k2θ + εyIncógnitas auxiliares:

z = y ′ = velocidad vertical.Ω = θ′ = velocidad angular.

Parámetros auxiliares:ω0 =

√k1/m =

√k2/I = frecuencia natural.

γ1 = µ1/2m y δ1 = ε/mγ2 = µ2/2I y δ2 = ε/I.

Modelo: El SLH a CC 4D x ′ = Ax , donde

x =

yzθΩ

, A =

0 1 0 0−ω2

0 −2γ1 δ1 00 0 0 1δ2 0 −ω2

0 −2γ2

.



Péndulo de Wilberforce: Energía & preguntas

La energía mecánica total del péndulo de Wilberforce es

E(y , z, θ,Ω) =m2

z2 +k1

2y2︸︷︷︸

modo vertical

+I2

Ω2 +k2

2θ2︸︷︷︸

modo torsional

− εyθ︸︷︷︸acopl.

.

Si no hay fricción, entonces:1 ¿Cuál es la explicación de la transferencia de energía entre

los dos modos que se ve en este video de Youtube?2 ¿Cuál es el periodo de esta transferencia de energía?3 ¿Cuál es la variación de la energía mecánica total?

Si hay fricción, entonces:1 ¿Qué se puede decir de limt→+∞ y(t) y limt→+∞ θ(t)?2 ¿Cuál es la variación de la energía mecánica total?

https://www.youtube.com/watch?v=9yVew0--jzw



Péndulo simple: Unidades, hipótesis, parámetros

Problema: Una varilla inextensible de masa despreciabletiene un extremo fijado y en el otro una masa puntual queoscila libremente en un plano vertical fijo.Unidades: s (tiempo), m (longitud), kg (masa) y N (fuerza).Hipótesis: La fuerza de fricción es proporcional (y tienesentido opuesto) a la velocidad lineal de la masa.Parámetros:

m = masa.l = longitud.g = aceleración de la gravedad.µ = coeficiente de fricción.

Variable independiente: t = tiempo.Incógnita: θ = θ(t) = desplazam. desde posición inferior.



Péndulo simple: Modelo, PVI & preguntas

2a Ley Newton: mlθ′′ = −µlθ′ −mg sin θ.Modelo: La EDONL de 2o orden

θ′′ + bθ′ + c sin θ = 0, b = µ/m, c = g/l .

PVI: Para determinar el movimiento, hemos de fijar laposición y velocidad iniciales: θ(t0) = θ0 y θ′(t0) = ω0.Preguntas:

1 ¿Para qué valores de θ0 y ω0 se cumple que θ(t) ≡ θ0? (Osea, ¿cuáles son las posiciones de equilibrio del péndulo?)

2 Si no hay fricción: ¿Cuál es el periodo de las pequeñasoscilaciones del péndulo?, ¿existen movimientos noperiódicos?, ¿existe alguna cantidad conservada?

3 Si hay fricción: ¿Qué se puede decir de limt→+∞ θ(t)?



Platelmintos: Parámetros, hipótesis & incógnitas

Problema: Estudiar el movimiento de unos platelmintosque nadan en una cuba cilíndrica rotatoria de paredestransparentes en dirección a la luz más cercana.Parámetros: r = radio cuba, ω = velocidad rotación cuba,v = velocidad platelmintos.Posición luz: (r ,0).Hipótesis: v < ωr . (De lo contrario, alcanzan la luz.)Variable independiente: t = tiempo.Incógnitas: (x , y) = (x(t), y(t)) = posición instante t .Velocidad total = Velocidad rotación + Velocidad arrastre,luego (

x ′, y ′)

= (−ωy , ωx) + v(r − x ,−y)

‖(r − x ,−y)‖.



Platelmintos: Modelo, PVI & preguntas

Modelo: El SNLA 2D de 1er ordenx ′ = −ωy +

v(r − x)√(r − x)2 + y2

y ′ = ωx − vy√(r − x)2 + y2

PVI: Para determinar el movimiento, hemos de fijar laposición inicial (x(t), y(t)) = (x0, y0).Preguntas:

1 ¿Para qué puntos (x0, y0) se cumple (x(t), y(t)) ≡ (x0, y0)?(O sea, ¿cuáles son las posiciones de equilibrio?)

2 ¿Qué se puede decir de limt→+∞(x(t), y(t))?3 ¿Cuándo se aleja el platelminto del centro de la cuba?


EDOs de 1er orden autónomas

Índice

1 Introducción










Retratos de fase

Consideramos la EDO de 1er orden autónoma

x ′ = f (x), x ∈ R,

donde:t = variable independiente (usualmente, el tiempo),x = x(t) es la incógnita (o variable dependiente),x ′ = dx/dt es la primera derivada de x respecto t , yf : R→ R es una expresión dada.

Objetivo: Describir de forma completa el comportamientode sus soluciones sin tener que resolverla.Método: Representar en la recta R todos sus puntos deequilibrio (puntos donde se anula f ) y el sentido de sustrayectorias (según el signo de f ) mediante flechas.



Modelo de Malthus

Una población (una sola especie) vive aislada deinfluencias externas y dispone de recursos infinitos.Variable independiente: t = tiempo.Incógnita: x = x(t) ≥ 0, es el tamaño de la población.La evolución se suele modelar mediante la EDOLH a CC

x ′ = kx , x ≥ 0,

donde k = natalidad−mortalidad ∈ R. Suponemos k > 0.Los puntos x < 0 no tienen sentido biológico.Existe un único punto de equilibrio: x = 0.La población crece sin límite:

t0

x ′ < 0J

x ′ > 0I



Modelo de Verhulst (ecuación logística)

Una población (una sola especie) vive aislada deinfluencias externas, pero solo dispone de recursos finitos.La evolución se suele modelar mediante la EDONL

x ′ = kx(1− x/m), x ≥ 0,

donde k > 0 es el índice de crecimiento y m > 0 es lacapacidad de carga (máximo tamaño de población quesoporta el ecosistema).Puntos de equilibrio: x = 0 y x = m.La población tiende a la capacidad de carga:

t t0 m

x ′ < 0J

x ′ > 0I

x ′ < 0J



Modelo de pesca

x(t) = población de un banco de atunes el día t .Hipótesis: Cada día se pescan p atúnes.Pregunta: ¿Cuál es el máximo valor sostenible de p?Modelo: x ′ = kx(1− x/m)− p, x ≥ 0, donde k ,m > 0 soncomo en la ecuación logística.0 ≤ p < km/4⇒ hay dos puntos de equilibrio x±:

t t t0 x− x+

x ′ < 0J

x ′ > 0I

x ′ < 0J

p = km/4⇒ existe un único punto de equilibrio:

t t0 m/2

x ′ < 0J

x ′ < 0J

p > km/4⇒ no hay puntos de equil. y el banco se agota.



Ecuación del paracaidista

Un paracaidista cae con el paracaídas abierto.Variable independiente: t = tiempo.Incógnita: v = v(t) ≥ 0, es la velocidad de caída.Hipótesis: La fricción es proporcional a v2.Parámetros:

k = constante de proporcionalidad;g = intensidad de la gravedad; ym = masa del paracaidista.

Modelo: mv ′ = mg − kv2 v ′ = f (v) := g − kv2/m.Existe un único punto de equilibrio: v? =

√mg/k

v? = velocidad terminal.La velocidad de caída tiende a la velocidad terminal:

tv?

v ′ > 0I

v ′ < 0J


Resolución de SLs de 1er orden a CC

Índice

1 Introducción










Abreviaturas

EV = Espacio vectorialSEV = Subespacio vectorialCL = Combinación linealLI/LD = Linealmente independiente/dependienteVAP/VEP = Valor/vector propioMA/MG = Multiplicidad algebraica/geométricaSL = Sistema linealSLH/SLNH = Sistema lineal homogéneo/no homogéneoCC = coeficientes constantesCI = condición inicialPVIL = Problema de valor inicial lineal



Teorema de existencia y unicidad

En esta sección consideramos SLs nD de 1er orden a CC.Es decir, sistemas de la forma

x ′ = Ax + b(t),

dondet ∈ R es la variable independiente (usualmente, el tiempo),x = x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) es el vector incógnita,A ∈Mn(R) es una matriz cuadrada constante, yb : I → Rn es una función continua en un intervalo I ⊂ R.

Teorema: Si t0 ∈ I y x0 ∈ Rn, entonces el PVIL

x ′ = Ax + b(t), x(t0) = x0,

tiene exactamente una solución global; es decir, unasolución definida en todo el intervalo I.



Estructura de las soluciones de SLHs a CC

Las soluciones del SLH x ′ = Ax forman un SEV dedimensión n contenido en el EV C1(R; Rn).Un conjunto fundamental de soluciones es cualquier basede este SEV. Es decir, un conjunto de n soluciones LI.La solución general de x ′ = Ax es de la forma

xh(t) = c1x1(t) + · · ·+ cnxn(t), c1, . . . , cn ∈ R,

donde x1(t), . . . ,xn(t) son n soluciones LI.Una matriz fundamental es una matriz cuadrada X (t) talque X ′(t) = A(t)X (t) y det[X (t)] 6= 0.Es decir, las columnas de X (t) son n soluciones LI.Si X (t) es una matriz fundamental, entonces

xh(t) = X (t)c, c ∈ Rn,

es la solución general del SLH.



Wronskiano

Si x1(t), . . . ,xn(t) son n soluciones (LD o LI), entonces

w(t) = det[x1(t), . . . ,xn(t)]

es su wronskiano.Es decir, w(t) es el determinante de la matriz cuadradaque se obtiene al poner las n soluciones en columnas.Sirve para comprobar si las soluciones son LD o LI:

LD⇔ w(t) = 0 para todo t ∈ I.LI⇔ w(t) 6= 0 para todo t ∈ I.



Matrices diagonalizables

Si v es un VEP de VAP λ de la matriz A, entonces

x(t) = eλtv

es una solución del SLH x ′ = Ax . Y si, además, u es otrovector tal que Au = λu + v , entonces

q(t) = eλt (u + tv)

es otra solución del SLH x ′ = Ax .Si A diagonaliza, entonces existe una base v1, . . . ,vnde VEPs de VAPs λ1, . . . , λn y

xh(t) = c1eλ1tv1 + · · ·+ cneλntvn, c1, . . . , cn ∈ R,

es la solución general del SLH x ′ = Ax .A diagonaliza si y solo si MA(λ) = MG(λ) para todo VAP λ.Los VAPs simples no dan problemas, pues 1 ≤ MG ≤ MA.



Matrices reales con VAPs complejos

Los VAPs y VEPs complejos de matrices reales van enparejas conjugadas.Si v± = u ±w i son VEPs complejos conjugados de VAPsλ± = α± βi de una matriz real A, entonces

y(t) = eαt(u cosβt −w sinβt),

z(t) = eαt(u sinβt + w cosβt),

son dos soluciones reales LI del SLH x ′ = Ax .Nota: u = Re(v+), w = Im(v+), α = Re(λ+), β = Im(λ+).Si una matriz real A diagonaliza, pero tiene VAPscomplejos, entonces la solución general del SLH x ′ = Axes una CL de n soluciones reales de la formas descritasen las funciones x(t), y(t) y z(t).



SLNHs de 1er orden a CC

Diremos que x ′ = Ax es el SLH asociado a x ′ = Ax + b(t).La solución general del SLNH x ′ = Ax + b(t) es

xg(t) = xh(t) + xp(t),

donde xh(t) es la solución general del SLH asociado yxp(t) es una solución particular arbitraria del SLNH.Fórmula de variación de las constantes: Si X (t) es unamatriz fundamental del SLH x ′ = Ax y la función vectorialu : I → Rn cumple que X (t)u′(t) = b(t), entonces

xp(t) = X (t)u(t)

es una solución particular del SLNH x ′ = Ax + b(t).Truco: Si b = b(t) es constante y el sistema Ax + b = 0 escompatible, entonces el SLNH tiene alguna soluciónparticular constante.


Resolución de EDOLs de 1er y 2o orden a CC

Índice

1 Introducción










EDOLs de 1er orden a CC

Una EDOL de 1er orden a CC es una ecuación de la forma

x ′ = ax + b(t)

donde a ∈ R es un coeficiente constante y b(t) es unafunción continua en un intervalo abierto I ⊂ R.x ′ = ax es la EDOLH asociada a x ′ = ax + b(t).La solución general de la EDOLH x ′ = ax es

xh(t) = ceat , c ∈ R.

La solución general de la EDOLNH x ′ = ax + b(t) es

xg(t) = xh(t) + xp(t),

donde xp(t) = u(t)eat y u(t) =∫

e−atb(t)dt .



EDOLHs de 2o orden a CC

Una EDOLH de 2o orden a CC es una EDO de la forma

x ′′ + a1x ′ + a0x = 0,

donde los coeficientes a0,a1 ∈ R son constantes.P(m) = m2 + a1m + a0 es el polinomio característico.

Raíces de P(m) Solución general de la EDOLHReales simples:

m1 6= m2 ∈ R xh(t) = c1em1t + c2em2t

Real doble:m1 = m2 = m? ∈ R xh(t) = em?t (c1 + c2t)

Complejas conjugadas:m± = α± βi

xh(t) = eαt(c1 cosβt + c2 sinβt)



EDOLNHs de 2o orden a CC

La solución general de la EDOLNH x ′′ + a1x ′ + a0x = b(t):

xg(t) = xh(t) + xp(t).

xp(t) se suele obtener por coeficientes indeterminados:

Dato: b(t) A determinar: xp(t)E(t)elt E(t)tkelt(

C(t) cosβt + S(t) sinβt)eαt (

C(t) cosβt + S(t) sinβt)tkeαt

E(t),C(t),S(t) son polinomios conocidos de grado ≤ n,mientras que E(t), C(t), S(t) son polinomios de grado ≤ ncuyos coeficientes hay que determinar.k es la multiplicidad de l (respectivamente, de α± βi)como raíces del polinomio característico P(m).


Estabilidad de SLs de 1er a CC

Índice

1 Introducción










Definiciones

Un punto x0 ∈ Rn es un punto de equilibrio del SLHx ′ = Ax cuando la veloidad en ese punto sea cero. Esdecir, cuando x0 ∈ Nuc A.El SLH x ′ = Ax es degenerado cuando tiene infinitospuntos de equilibrio. Es decir, cuando det A = 0.Diremos que el SLH x ′ = Ax es:

Inestable si alguna de sus soluciones escapa a infinitocuando t → +∞;Estable cuando no es inestable (es decir, cuando todas sussoluciones están acotadas para t ≥ 0);Atractor (también llamado asintóticamente estable) si todassus soluciones no triviales tienden al origen cuandot → +∞ y escapan a infinito cuando t → −∞; yRepulsor si todas sus soluciones no triviales escapan ainfinito cuando t → +∞ y tienden al origen cuandot → −∞.



Rectas y planos invariantes

Si v es un VEP de VAP λ ∈ R de la matriz A, entoncesr = [v ] es una recta invariante

Inestable (o de salida) del SLH x ′ = Ax cuando λ > 0.Estable (o de entrada) del SLH x ′ = Ax cuando λ < 0.De puntos de equilibrio del SLH x ′ = Ax cuando λ = 0.

Si v± = u ±w i son VEPs complejos conjugados de VAPsλ± = α± βi de la matriz A, entonces Π = [u,w ] es unplano invariante

Inestable (o de salida) del SLH x ′ = Ax cuando α > 0.Estable (o de entrada) del SLH x ′ = Ax cuando α < 0.De giros cerrados del SLH x ′ = Ax cuando α = 0.



Dos teoremas sobre SLHs a CC

Consideramos el SLH de 1er orden a CC x ′ = Ax .Estabilidad: El SLH de 1er orden a CC es

Inestable si y sólo si algún VAP de A tiene parte real > 0 oalgún VAP no semi-simple de A tiene parte real = 0.Atractor/repulsor si y sólo si todos sus VAPs tienen partereal negativa/positiva.

Un VAP es semi-simple cuando coinciden sus MA y MG.Evolución de un volumen: Dado un instante inicial t0 ∈ R yuna región inicial Wt0 ⊂ Rn, se cumple que

Vol[Wt ] = Vol[Wt0 ]etraza[A](t−t0),

donde Wt es la región que corresponde al instante t .El SLH a CC x ′ = Ax expande/conserva/contrae volumensi traza[A] es positiva/nula/negativa.



Clasificación de SLHs 2D a CC

Sea A una matriz real 2× 2. El SLH 2D a CC x ′ = Ax esDegenerado cuando det A = 0;Una silla, si los VAPs son reales y de signos diferentes;Un nodo, si los VAPs son reales pero del mismo signo, encuyo caso diremos que el nodo es:

atractor/repulsor si ambos VAPs son negativos/positivos;propio/impropio si la matriz diagonaliza/no diagonaliza;

Un centro, si los VAPs son imaginarios puros; yUn foco, si los VAPs son complejos conjugados de partereal no nula, en cuyo caso diremos que el foco esatractor/repulsor si su parte real es negativa/positiva.



Croquis de una silla

2 rectas invariantes:inestable yestable.

Las otras trayectoriasson “hipérbolas”.



Croquis de un nodo propio repulsor

2 rectas invariantes:inestable rápidainestable lenta.

Las otras trayectoriasson “parábolas”tangentes a ladirección lenta en elorigen y con ladirección rápida lejosde origen.

Nota: El casoatractor tiene lamisma “forma”.



Croquis de un nodo impropio atractor

1 recta invariante:estable

Las otras trayectoriastiene forma de “S” yson tangentes arecta invariante en elorigen y con esamisma dirección perosentido opuesto lejosde origen.

Nota: El casorepulsor tiene lamisma “forma”.



Croquis de un degenerado inestable

2 rectas invariantes:inestable yde puntos de eq.

Las otras trayectoriasson paralelas a larecta invarianteinestable.

Nota: El caso establetiene la misma“forma”.



Croquis de un centro

6 ∃ recta invariante

Las trayectorias sonperiódicas y formanelipses.

El sentido de giro sedetermina calculandola velocidad en unpunto.

Periodo: p = 2πβ



Croquis de un foco repulsor

6 ∃ recta invariante

Las trayectorias sonespirales.

El sentido de giro sedetermina calculandola velocidad en unpunto.

Tiempo en completaruna vuelta: p = 2π

β

Nota: El casoatractor tiene lamisma “forma”.



Criterio traza-determinante

Si T = traza A, D = det A y ∆ = T 2 − 4D, entonces tenemos elsiguiente esquema en el plano (T ,D):


Estabilidad de SNLAs

Índice

1 Introducción










SNLAs

Una SNLA nD de 1er orden (en forma normal) es unsistema de n EDOs no lineales de 1er orden de la forma

x ′ = F (x),

donde:t = variable independiente (usualmente, el tiempo),x = x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) es el vector incógnita,F : Rn → Rn es un campo vectorial dado.

Pensaremos que x son posiciones y x ′ son velocidades.Teorema: Si x0 ∈ Rn y t0 ∈ R, entonces el PVI

x ′ = F (x), x(t0) = x0,

tiene una única solución local; es decir, una solucióndefinida para todo t ≈ t0.



Definiciones

El espacio de fases es el conjunto de posible posiciones.Tiene dimensión n.El espacio de fases ampliado es el conjunto de posiblesparejas “tiempo-posición”. Tiene dimensión n + 1.Una trayectoria es una solución x(t) del SNLA.Una órbita es la curva que describe una trayectoria.Dibujamos órbitas en el espacio de fases (eso se llamadibujar el croquis o retrato de fases) y trayectorias en elespacio de fases ampliado.Unicidad⇒ Dos órbitas diferentes no pueden tocarse.El campo de vectores de un SNLA consiste en asignar elvector velocidad x ′ = F (x) a cada posición x ∈ Rn.Las órbitas son curvas tangentes al campo de vectores.



Trayectorias versus órbitas



Campo de vectores



Retrato de fases

SNLA:x ′ = x − yy ′ = 2− x2 − y2

Puntos de equilibrio:

(1,1) I, no R(silla no lineal)(−1,−1) R(nodo repulsor nolineal)



Puntos de equilibrio

Un punto x0 ∈ Rn es un punto de equilibrio cuando lavelocidad en ese punto es igual a cero: F (x0) = 0.Un punto de equilibrio es:

Estable cuando todas las trayectorias que empiezansuficientemente cerca de x0 se mantienen cerca de x0;Inestable cuando no es estable;Atractor cuando es estable y, además, todas lastrayectorias que empiezan suficientemente cerca de x0cumplen que limt→+∞ x(t) = x0;Repulsor cuando se comporta como atractor al cambiar eltiempo (y, por tanto, las flechas) de sentido.

En el caso no lineal, estos conceptos solo tienen validezlocal. Es decir, suficientemente cerca de x0.La cuenca de atracción de un punto de equilibrio atractores el conjunto de puntos que son atraídos por él.



Estabilidad por linealización

Si x0 ∈ Rn es un punto de equilibrio del SNLA x ′ = F (x), susistema linealizado es el SLH de 1er orden a CC dado por

y ′ = Ay , A =

(∂x ′i∂xj

(x0)

)1≤i,j≤n

.

Teorema

Si algún VAP tiene de parte real positiva, x0 es inestable.Si todos los VAPs tienen parte real negativa/positiva,entonces x0 es atractor/repulsor.En los otros casos, la linealización no decide la estabilidad.

Caso 2D: Si y ′ = Ay es un centro o un sistema degeneradoestable o si A = 0, entonces la linealización no decide.



Cantidades conservadas: Definición

Dado un SNLA x ′ = F (x), la derivada temporal de unafunción V (x) es

dVdt

(x) =(V (x)

)′= 〈∇V (x),x ′〉 = 〈∇V (x),F (x)〉.

Diremos que V (x) es una cantidad conservada cuando suderivada temporal sea idénticamente nula.Si V (x) es una cantidad conservada, todas las trayectoriasestán contenidas en las curvas (caso 2D) o superficies(caso 3D) de nivel

V (x) = ctte.



Cantidades conservadas: Ejemplo

El origen es un punto de equilibrio del SNLA 2Dx ′ = y(x − 1)y ′ = x(1− x)

La matriz del sistema linealizado tiene VAPs λ± = ±i,luego la linealización no decide la estabilidad del origen.V (x , y) = (x2 + y2)/2 es una cantidad conservada:

dVdt

=∂V∂x

dxdt

+∂V∂y

dydt

= xx ′+ yy ′ = xy(x −1 + 1− x) ≡ 0.

Todas las trayectorias están contenidas en lascircunferencias centradas en el origen, luego el origen esun punto de equilibrio estable no atractor.



¿Cómo calcular las elipses de centros lineales?

Supongamos que el SLH 2D de 1er orden a CCx ′ = ax + byy ′ = cx + dy

es un centro, luego T = a + d = 0 y D = ad − bc > 0.Al imponer que V (x , y) = (αx2 + 2βxy + γy2)/2 sea unacantidad conservada:dVdt

=∂V∂x

dxdt

+∂V∂y

dydt

= (αx + βy)(ax + by) + (βx + γy)(cx + dy)

= (aα + cβ)x2 + (bα + (a + d)β + cγ)xy + (bβ + dγ)y2 ≡ 0,

obtenemos que α = c, β = d = −a y γ = −b.Por tanto, las trayectorias del centro describen las elipses

cx2 + (d − a)xy − by2 = ctte .



Sillas & centros no lineales: Definiciones

Sea y ′ = Ay el sistema linealizado de un punto de equilibriox0 ∈ R2 de un SNLA 2D.

Si A tiene VAPs reales de signos diferentes, x0 es una sillano lineal. Es decir, existen dos curvas invariantes (laestable y la inestable) tangentes a los dos VEPs (el deVAP negativo y el de VAP positivo respectivamente) en x0que organizan la dinámica alrededor de x0.Si A tiene VAPs imaginarios puros λ± = ±βi y el SNLAtiene una cantidad conservada, x0 es un centro no lineal.Es decir, toda trayectoria que empieza en un punto x ≈ x0forma una curva cerrada y tarda un periodo P(x) encompletar una vuelta, donde

limx→x0

P(x) = 2π/β = periodo del sistema linealizado.



Sillas & centros no lineales: Ejemplo

y

x

recta de salida-entradatrayectoria bi-asintotica

SNLA:

x ′ = y2 − yy ′ = x2 − x

Puntos de equilibrio:

(0,0) I, no R(silla no lineal)

(1,1) I, no R(silla no lineal)

(1,0) E, no A(centro no lineal)

(0,1) E, no A(centro no lineal)



Evolución de un área/volumen

La divergencia de un SNLA x ′ = F (x) es la función

div F (x) = ∇ · F (x) :=∂x ′1∂x1

+ · · ·+ ∂x ′n∂xn

.

Teorema: En las posiciones x donde la divergencia espositiva/nula/negativa, el SNLA expande/preserva/contraeárea (caso 2D) o volumen (caso 3D), respectivamente.La divergencia no puede ser negativa/positiva en un puntode equilibrio repulsor/atractor.Si la divergencia de un SNLA 2D nunca es igual a cero,entonces no hay órbitas cerradas.Si la divergencia de un SNLA 3D nunca es igual a cero,entonces no hay superficies invariantes cerradas.



Sistemas Hamiltonianos: Definición & propiedades

Los sistemas Hamiltonianos autónomos (SHAs) con ungrado de libertad son SNLAs 2D de la forma

x ′ =∂H∂y

(x , y), y ′ = −∂H∂x

(x , y),

para alguna función H(x , y) llamada Hamiltoniano.Propiedades de los SHAs con un grado de libertad:

1 Conservan áreas;2 No tienen puntos de equilibrio atractores ni repulsores;3 El Hamiltoniano es una cantidad conservada;4 Si A es la matriz del sistema linealizado de un punto de

equilibrio (x0, y0), entonces el punto (x0, y0) es unasilla/centro no lineal cuando det A es negativo/positivo.



Sistemas Hamiltonianos: Ejemplo

y

x

recta de salida-entradatrayectoria bi-asintotica

Hamiltoniano:

H(x , y) =x2 − y2

2+

y3 − x3

3

SHA:

x ′ = y2 − yy ′ = x2 − x

Curvas de nivel: H(x , y) = ctteSeparatriz: H(x , y) = 0Puntos de equilibrio:

(0,0) y (1,1), sillas nolineales

(1,0) y (0,1), centros nolineales



Funciones definidas y semidefinidas

Una función W : Rn → R es semidefinida positiva/negativaen un punto x0 cuando tiene un mínimo/máximo local enese punto y, además, W (x0) = 0.Y es definida positiva/negativa cuando, además, esemínimo/máximo local es estricto.Caso 2D/3D: Las curvas/superficies de nivel de unafunción definida positiva en x0 forman curvas/superficiescerradas alrededor de x0.Caso x0 = 0: Si i , j , k > 0 son potencias pares, entonces:

W (x , y) = ax i + by j definida positiva ⇔ a,b > 0.W (x , y) = ax i + by j semidefinida positiva ⇔ a,b ≥ 0.W (x , y , z) = ax i + by j + czk definida positiva ⇔ a,b, c > 0.W (x , y , z) = ax i +by j +czk semidef. positiva ⇔ a,b, c ≥ 0.

W (x , y) = 2− cos x − cos 3y = (x2 + 9y2)/2 + O(x4, y4)es definida positiva en el origen.



Estabilidad por Liapunov

Teorema

Sea x0 un punto de equilibrio del SNLA x ′ = F (x). Sea V (x)una función que tiene un mínimo local estricto en x0. SeaW (x) = 〈∇V (x),F (x)〉 su derivada temporal.

1 W (x) def. negativa/positiva en x0 ⇒ x0 atractor/repulsor.2 W (x) semidef. negativa en x0 ⇒ x0 estable.3 W (x) semidef. positiva en x0 ⇒ x0 no atractor.4 W (x) ≡ 0⇒ x0 estable no atractor.

Observaciones:Encontrar la V (x) adecuada no es fácil.En problemas de Mecánica, V (x) suele ser la energíamecánica total.


Ejemplos (respuestas & interpretaciones)

Índice

1 Introducción










Un depósito: Respuesta & interpretación

Modelo: c′ = ac + b, donde a = −r/V 6= 0 y b = rγ/V .Solución general:

cg(t) = ch(t) + cp(t) = αeat + eat∫

e−atb dt = αeat − b/a,

donde α ∈ R es una constante libre.Solución asociada a la CI c(t0) = c0:

c(t) = (c0 + b/a)ea(t−t0) − b/a = γ + (c0 − γ)e−r(t−t0)/V .

Respuesta: limt→+∞ c(t) = γ.Interpretación: Independientemente del valor de laconcentración inicial, la concentración en el depósitotiende a equilibrarse con la concentración de entrada.Además, tendemos rápidamente al equilibrio si r/V 1.



Dos depósitos: Resolución

PVI: El SLH 2D a CC c′ = Ac con la CI c(0) = c0, donde

c =

(c1c2

), A =

(−a1 a1

a2 −a2

), c0 =

(γ1γ2

),

y aj = r/Vj = porción depósito j que se renueva por hora.VAPs: λ1 = 0 y λ2 = −(a1 + a2) = −r(V1 + V2)/V1V2 < 0.

VEPs: v1 =

(11

)y v2 =

(a1−a2

).

Estabilidad & clasificación: Sistema degenerado estable.Solución general:

ch(t) = α1eλ1tv1 + α2eλ2tv2 =

(α1 + α2a1e−(a1+a2)t

α1 − α2a2e−(a1+a2)t

),

donde α1, α2 ∈ R son constantes libres.



Dos depósitos: Respuestas & interpretación

Solución del PVI:

c1(t) =V1γ1 + V2γ2

V1 + V2+

V2(γ1 − γ2)

V1 + V2e−r(V1+V2)t/V1V2 ,

c2(t) =V1γ1 + V2γ2

V1 + V2+

V1(γ2 − γ1)

V1 + V2e−r(V1+V2)t/V1V2 .

Respuestas:1 Equilibrios: Concentraciones c0 tales que γ1 = γ2.2 limt→+∞ cj (t) = V1γ1+V2γ2

V1+V2, para j = 1,2.

3 La cantidad S(c1, c2) = V1c1 + V2c2 no varía, pues

S′ = (V1c1+V2c2)′ = V1c′1+V2c′2 = −rc1+rc2+rc1−rc2 ≡ 0.

Interpretación: Como el circuito es cerrado, ambasconcentraciones tienden a igualarse a la media ponderadade las concentraciones iniciales. Además, tendemosrápidamente al equilibrio si r(V1 + V2) V1V2.



Grandes Lagos: Respuestas

Modelo: El SLH a CC 5D c′ = Ac, donde A es una matriztriangular inferior cuyos elementos diagonales son

λ1 = − 3580

, λ2 = − 19590

, λ3 = − 225, λ4 = − 85

116, λ5 = − 33

131.

VAPs: Los cinco elementos diagonales.Estabilidad: Es un sistema atractor, pues todos sus VAPsson negativos.Respuestas:

1 Solo para c0 = 0 (agua sin contaminar).2 limt→+∞ c(t) = 0, independientemente de cuáles sean las

concentraciones iniciales, pues es un sistema atractor.3 134 años, suponiendo que el nivel de contaminación inicial

en los cinco lagos es el mismo.



Grandes Lagos: Gráfica & advertencia

Advertencia: s(134) ' s(0)/2, aunque 29002×15 ' 96,7.



Péndulo de Wilberforce: Simplificaciones & Modelo

Simplificaciones:1 No hay fricción: µ1 = µ2 = 0.2 Normalización: m = I = 1.3 Resonancia: ω0 = frecuencia natural =

√k1/m =

√k2/I.

4 Acoplamiento pequeño: ε2 < ω40 .

Modelo: El SLH a CC 4D x ′ = Ax , donde

x =

yzθΩ

, A =

0 1 0 0−ω2

0 0 ε 00 0 0 1ε 0 −ω2

0 0

.

Polinomio característico: QA(λ) = λ4 + 2ω20λ

2 + ω40 − ε2.



Péndulo de Wilberforce: VAPs & VEPs

Los VAPs de A son simples e imaginarios puros:

λ1 = σ+i, λ2 = −σ+i, λ3 = σ−i, λ4 = −σ−i,

dondeσ± =

√ω2

0 ± ε = ω0 + O(ε).

Los VEPs son

v1,2,3,4 =

1σ+i−1−σ+i

,

1−σ+i−1σ+i

,

1σ−i1σ−i

,

1−σ−i

1−σ−i

.



Péndulo de Wilberforce: Solución del PVI

Fijamos los valores iniciales

y(0) = 1, θ(0) = z(0) = Ω(0) = 0.

Al imponer que la combinación lineal

x(t) =4∑

j=1

cjeλj tv j

cumpla la condición inicial x(0) = (1,0,0,0)t , obtenemos

c1 = c2 = c3 = c4 = 1/4.



Péndulo de Wilberforce: Desplazamientos (1)

Por tanto, los desplazamientos vertical y torsional son

y(t) = (eiσ+t + e−iσ+t + eiσ−t + e−iσ−t )/4= [cos(σ−t) + cos(σ+t)] /2= cos(ωt) cos(νt)

θ(t) = (−eiσ+t − e−iσ+t + eiσ−t + e−iσ−t )/4= [cos(σ−t)− cos(σ+t)] /2= sin(ωt) sin(νt),

donde ω =σ+ + σ−

2= ω0 + O(ε) y ν =

σ+ − σ−2

= O(ε). Esdecir, ω es casi la frecuencia natural, mientras que ν es lafrecuencia de una oscilación lenta (similar al batimiento).



Péndulo de Wilberforce: Desplazamientos (2)

Periodo de la oscilación rápida: 2πω ' 2π.

Periodo de la oscilación lenta: 2πν ' 251.



Péndulo de Wilberforce: Conservación de la energía

La energía mecánica total del péndulo de Wilberforce es

E(y , z, θ,Ω) =m2

z2 +k1

2y2︸︷︷︸

modo vertical

+I2

Ω2 +k2

2θ2︸︷︷︸

modo torsional

− εyθ︸︷︷︸acopl.

.

La energía mecánica se conserva:

dEdt

= mzz′ + k1yy ′ + IΩΩ′ + k2θθ′ − εy ′θ − εyθ′

= z(−k1y + εθ) + k1yz + Ω(−k2θ + εy) + k2θΩ− εzθ − εyΩ ≡ 0.

Cuando la energía del modo vertical es grande/pequeña,la energía del modo torsional es pequeña/grande.La energía de acoplamiento siempre es pequeña.



Péndulo de Wilberforce: Transferencia de energía



Péndulo simple sin fricción: Conservación de energía

Modelo: θ′′ = −c sin θ, con c = g/l > 0.ω = θ′ = velocidad angular.

SNLA 2D:θ′ = ωω′ = −c sin θ

Energía mecánica total:

E(θ, ω) = ml2ω2/2 + mgl(1− cos θ).

La energía mecánica es una cantidad conservada:

dEdt

= ml2ωω′+ mglθ′ sin θ = −mglω sin θ+ mglω sin θ ≡ 0.

Es un SHA con Hamiltoniano H(θ, ω) = E(θ, ω)/ml2.



Péndulo simple sin fricción: Equilibrios

Posiciones de equilibrio: (θ, ω) = (kπ,0) con k ∈ Z, dondek par posición de equilibrio inferior,k impar posición de equilibrio superior.

Matriz del sistema linealizado:

Ak =

(0 1

(−1)k+1c 0

)=

(

0 1−c 0

)si k es par,(

0 1c 0

)si k es impar.

Energías de los equilibrios:

E(kπ,0) = mgl(

1− (−1)k)

=

0 si k es par,2mgl si k es impar.



Péndulo simple sin fricción: Estabilidad

Posición de equilibrio superior: Inestable, pues si k esimpar, entonces det[Ak ] = −g/l < 0 y (kπ,0) es una sillano lineal.Posición de equilibrio superior: Estable, pues si k es par,los VAPs de Ak son imaginarios puros:

λ± = ±βi, β =√

g/l

y se conserva la energía, luego (kπ,0) es un centro nolineal.Periodo de las pequeñas oscilaciones:

limθ0→0

P(θ0) = 2π/β = 2π√

l/g.



Péndulo simple sin fricción: Curvas de nivel

Curvas de nivel:

E(θ, ω) = ml2ω2/2 + mgl(1− cos θ) = ctte.

Separatriz: Es la curva de nivel que contiene a las sillas nolineales, luego tiene la forma

E(θ, ω) = 2mgl ⇔ ω = ±2√

g/l cos(θ/2).

Sentido de las trayectorias: Se recorren hacia laderecha/izquierda mientras están en el semiplanosuperior/inferior, pues θ′ = ω.



Péndulo simple sin fricción: Retrato de fase



Pescando platelmintos: Equilibrio

Sea C = (x , y) ∈ R2 : y2 = x(r − x) la circunferencia deradio r/2 y centro (r/2,0).Puntos de equilibrio: Son las soluciones del sistema ωy0 = v(r−x0)√

(r−x0)2+y20

ωx0 = vy0√(r−x0)2+y2

0

Dividiendo las dos ecuaciones vemos que y20 = x0(r − x0).

Es decir, (x0, y0) ∈ C.Usando ahora la primera ecuación, se deduce que

x0 = v2/ω2r y0 = +√

x0(r − x0) = v√ω2r2 − v2/ω2r .

La solución y0 = −√

x0(r − x0) no es válida pues laprimera ecuación implica que y0 > 0.



Pescando platelmintos: Sistema linealizado

Si A =

(a bc d

)es la matriz del sistema linealizado, entonces

a =∂x ′

∂x(x0, y0) =

−y20 v(

(r − x0)2 + y20

)3/2 =−x0v

r 3/2√

r − x0=

−v3

ωr 2√ω2r 2 − v2

b =∂x ′

∂y(x0, y0) = −ω − (r − x0)y0v(

(r − x0)2 + y20

)3/2 = −ω − v√

x0

r 3/2 = −ω − v2

ωr 2

c =∂y ′

∂x(x0, y0) = ω − (r − x0)y0v(

(r − x0)2 + y20

)3/2 = ω − v√

x0

r 3/2 = ω − v2

ωr 2

d =∂y ′

∂y(x0, y0) =

−(r − x0)2v((r − x0)2 + y2

0

)3/2 =−v√

r − x0

r 3/2 =−v√ω2r 2 − v2

ωr 2 .

La traza T , el determinante D y el discriminante ∆ son:

T = − vω√ω2r 2 − v2

< 0, D = ω2 > 0, ∆ =(5v2 − 4r 2ω2)ω2

ω2r 2 − v2 .



Pescando platelmintos: Estabilidad & clasificación

T ,D > 0⇒ El sistema linealizado es atractor.∆ = 0⇔ v = v? := 2ωr/

√5.

El sistema linealizado es:Un foco atractor cuando 0 < v < v?.Un nodo impropio atractor cuando v = v?.Un nodo propio atractor cuando v? < v < ωr .

Se puede probar que (x0, y0) es un atractor global.La derivada temporal de V (x , y) = (x2 + y2)/2 es

dVdt

=v(x(r − x)− y2)√(r − x)2 + y2

< 0 en el exterior de C,= 0 sobre C,> 0 en el interior de C.

Si el platelminto está dentro/fuera de la circunferencia C,entonces se aleja del/acerca al centro de la cuba.



Sistemas conservativos con 1 grado de libertad

Una partícula de masa uno se desplaza sin fricción sobreuna recta bajo la acción de una fuerza conservativa queproviene de un potencial U(x).x = posición y v = x ′ = velocidad.Fuerza conservativa: F (x) = −dU

dx (x).

2a ley de Newton: x ′′ = F (x) = −dUdx (x).

H(x , v) = v2/2 + U(x) = energía mecánica total.Modelo: El SHA con un grado de libertad

x ′ = vv ′ = −dU

dx (x)

Ejemplo: U(x) = 1− cos x es el potencial del péndulosimple con m = g = l = 1.

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias · Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 2/97 Introducción Índice 1 Introducción 2 Ejemplos (modelos & preguntas) 3 EDOs de 1er orden autónomas