05 Limites Continuidade e Bolzano

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limites, continuidade, Teorema de Bolzano

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Exercícios de exames e provas oficiais

1. Considere as funções f e g, de domínio ,0 , definidas por

ln

1x

f x xx

e g x x f x

Recorrendo a processos exclusivamente analíticos, mostre que a condição f x e tem,

pelo menos, uma solução em , 1e

Exame 635, 2ª fase, 2014

2. Considere, para um certo número real k, a função f, de domínio , definida por

xf x ke x . O teorema de Bolzano garante que a função f tem, pelo menos, um zero no

intervalo 0,1 .

A qual dos intervalos seguintes pode pertencer k?

(A) 1

,ee

(B) 1

,0e

(C) 1

0,e

(D) 1

,1e


3. Considere a função f, de domínio , definida por

4

4

3 11se 4

4

ln 2 se 4

x

x

e xx

xf x

e e x

Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se a função f é contínua

em 4x .


4. Considere, para um certo número real k positivo, a função f, de domínio , definida por

2

3se 0

1

ln se 0

6ln se 0

2 1

x

xx

e

f x k x

x xx

x

Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine k de modo que

0

lim 0x

f x f

.

Exame 635, Época Especial, 2013

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5. Seja f uma função de domínio ,1e

Sabe-se que:

f é contínua no seu domínio;

1f e

1f e

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeiramente?

(A) A equação 1 0f x tem pelo menos uma solução em ,1e

(B) A equação f x e tem pelo menos uma solução em ,1e

(C) A equação 0f x tem pelo menos uma solução em ,1e

(D) A equação 2

ef x tem pelo menos uma solução em ,1e


6. Considere, para um certo número real a positivo, uma função f, contínua, de domínio , .a a

Sabe-se que f a f a e 0f a f

Mostre que a condição f x f x a tem, pelo menos, uma solução em ,0a



11

se 11

ln se 1

xe

xf x x

x x

Seja g uma outra função, de domínio .

Sabe-se que a função f g é contínua no ponto 1.

Em qual das seguintes opções pode estar representada parte do gráfico da função g?


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(A)

(B)

(C)

(D)

Teste Intermédio, 28-02-2013

8. Seja f a função, de domínio , definida por

2

3 3se 4

9

ln 3 11se 4

4

xx

xf x

xx

x

Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se existe 4

limx

f x

.



3

1

4

sinse 0

1 1

1 se 0

1se 0

k

x

xx

x

f x e x

ex

x

com k

Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine k de modo que

0

lim 0x

f x f

.



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10. Seja f uma função de domínio , definida por 3x

f x e .

Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite afirmar que a equação

3

2f x x tem, pelo menos, uma solução?

(A) 1

0,5

(B) 1 1

,5 4

(C) 1 1

,4 3

(D) 1

,13


11. Na figura, está representada, num referencial o.n.

xOy, parte do gráfico de uma função g, de domínio

,a , com 1

3a .

Para esse valor de a, a função f, contínua em , é

definida por

3

1log se

3

se

x x af x

g x x a

Qual é o valor de a?

(A) 28

3 (B)

25

3 (C)

19

3 (D)

8

3


12. Relativamente a duas funções, f e g, sabe-se que:

têm domínio 2,3

são funções contínuas

2 2 0f g e 3 3 0f g

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

(A) Os gráficos de f e g intersetam-se em pelo menos um ponto.

(B) A função f g é crescente.

(C) Os gráficos de f e g não se intersetam.

(D) A função f g é decrescente.



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13. Seja f a função de domínio , definida por

22

se 22

3 ln 1 se 2

x

x

xe ex

f x x

e x x

Averigue se a função f é contínua em 2x .


14. Para um certo valor de e para um certo valor de , é contínua no ponto 0 a função g,

definida por

21

se 0

se 0

ln 1se 0

xe

xx

g x x

xx

x

Qual é esse valor de e qual é esse valor de ?

(A) 1 e 2 (B) 2 e 3

(C) 1 e 3 (D) 2 e 1


15. Seja f a função, de domínio , definida por 32 logf x x .

Seja g a função, de domínio , definida por g x x f x .

Mostre, sem recorrer à calculadora, que 1,3 : 5c g c



1

11 se 1

1

2 se 1

x

xx

f x e

a x

(a é um número real)

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine a sabendo que f é contínua em

1x .

Exame 635, Época Especial, 2011


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17. Considere a função f, de domínio 0, , definida por

21

se 0 22

1se 2

ln 1

xe

xx

f xx

xx

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre, sem resolver a equação, que

3f x tem, pelo menos, uma solução em 1

0,2

.


18. Seja f uma função de domínio 0, , definida por

2 9 se 0 5

1se 5

x

x

x

f x ex

x

Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite garantir a existência de, pelo

menos, um zero da função f?

(A) 0,1 (B) 1,4 (C) 4,6 (D) 6,7


19. Seja f uma função, de domínio , contínua no intervalo 1,4

Tem-se 1 3f e 4 9f .

Em qual das opções seguintes está definida uma função g, de domínio , para a qual o

teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos um zero no intervalo 1,4 ?

(A) 2g x x f x (B) 2g x x f x

(C) 2g x x f x (D) 2

g x x f x



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20. Consider a função g, de domínio , definida por

se 0

ln se 0

xe x

g xx x

Considere a sucessão de termo geral 1

nun

.

Qual é o valor de lim nn

g u

?

(A) (B) 1 (C) 0 (D)


21. Consider a função f, de domínio , definida por 32 1x

f x x e

.

Mostre que 1,5f x tem, pelo menos, uma solução em 2, 1 .

Resolva este exercício recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, se utilizar a

calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use

três casas decimais.


22. Seja g uma função contínua, de domínio .

Qual dos seguintes conjuntos não pode ser o contradomínio da função g?

(A) 0,2 (B) (C) (D) \ 0


23. Seja a um número real diferente de zero.

Qual é o valor de 2 20

1lim

ax

x

e

ax a x

?

(A) 1

a (B)

1

2a (C) 0 (D)



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24. Seja f a função, de domínio , definida por

2se 0 2

2

1 se 2x

xx

f x x x

xe x x

Usando exclusivamente métodos analíticos, averigue se a função f é contínua em 2x .


25. Consider a função h, de domínio , definida por

2

2

4 se 0

2 se 0

1se 0

x

x x x

h x x

ex

x

Estude a continuidade de h no domínio , recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.


26. Considere a função g, de domínio , definida por 2ln

xg x e x .

Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que a função g tem, pelo menos,

um zero no intervalo 0,1;0,3 .

Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos.


27. Num certo dia, o Fernando esteve doente e tomou, às 9 horas da manhã, um medicamento

cuja concentração C t no sangue, em mg/l, t horas após o medicamento ter sido ministrado,

é dada por

0,32

tC t te

0t

Calcule limC t e interprete esse valor no contexto da situação apresentada. Resolva a

questão recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.



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28. Considere a função g, de domínio 1

,2

, definida por

2 12 ln 1 se 1

2

2 se 1

1se 1

1

x x x x

g x x

xx

x

Verifique se a função g é continua em 1x , sem recorrer à calculadora.


29. Na figura está representada parte do gráfico de uma função g, de domínio e continua em

\ 2 . As retas de equações 2x e 1y são as únicas assíntotas do gráfico de g.

Seja nx uma sucessão tal que lim nx

g x

.

Qual das expressões seguintes pode ser o termo geral da sucessão nx ?

(A) 2

2a

(B) 1

2n

(C) 1

1n

(D) 1

1n



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30. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio , sendo 1y

a única assíntota do seu gráfico.

Qual é o valor do

3limx f x

?

(A) (B) 3 (C) 1 (D) 3


31. A massa de uma substância radioativa diminui com a passagem do tempo. Supõe-se que,

para uma amostra de uma determinada substância, a massa, em gramas, ao fim de t horas de

observação, é dada pelo modelo matemático 0,0215 , 0

tM t e t

.

Resolva, usando métodos analíticos.

Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a

arredondamentos, use três casas decimais.

Utilize o Teorema de Bolzano para justificar que houve, pelo menos, um instante, entre as

2 horas e 30 minutos e as 4 horas após o início da observação, em que a massa da amostra

da substância radioativa atingiu os 14 gramas.


32. Seja h a função de domínio 1, , definida por 4 ln 1h x x x .

(ln designa logaritmo de base e)

Resolva, usando métodos analíticos.


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Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a

arredondamentos, use, pelo menos, duas casas decimais.

Justifique, aplicando o Teorema de Bolzano, que a função h tem, pelo menos, um zero no

intervalo 5,6 .


33. Seja f uma função de domínio , continua no intervalo 2,2

Tem-se 2 1f e 2 3f

Indique qual das expressões seguintes define uma função g, de domínio , para a qual o

Teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos um zero no intervalo 2,2 .

(A) g x x f x (B) g x x f x

(C) 2g x x f x (D) 2

g x x f x


34. Seja f uma função de domínio 3,3 , definida

por

1se 3 0

2 ln 1 3 se 0 3

xe x

xf x x

x x x

Na figura está representado o gráfico da função

f.

Tal como a figura sugere:

A é o ponto do gráfico de f de ordenada máxima

a abcissa do ponto A é positiva

Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostre, tal como a figura sugere, f é contínua

no ponto 0.



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35. Na figura, está reresentada parte do gráfico de uma função f, real de variável real.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) 3

1lim 0x f x

(B) 3

1 1lim

2x f x

(C) 3

1 1lim

2x f x (D) Não existe

3

1limx f x


36. Na figura, está reresentada parte do gráfico de uma função g, real de variável real.

Tal como a figura sugere, a reta de equação 1x é assíntota do gráfico da função g.

Seja :h a função definida por 1h x x .

O valor do

1limx

h x

g x é:

(A) (B) (C) 0 (D) 1



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37. Identifique o valor de 2

2

1lim

4x x

(A) 0 (B) 1 (C) (D)



2

3

2

2

2se 0

2 se 0

3 ln 1se 0

x xx

x x

f x x

x x xx

x

(ln designa logaritmo de base e)

Utilizando métodos exclusivamente analíticos, averigue se a função f é contínua em 0x .

Justifique a sua resposta.


39. Considere, num referencial o.n. xOy, a curva C, que representa graficamente a função f, de

domínio 0,1 , definida por 3x

f x e x e a reta r, de equação 5y .

Sem recorrer à calculadora, justifique que a reta r interseta a curva C em pelo menos um

ponto.


40. Seja : 0,2f uma função contínua tal que 0 2 0f f e 1 0f

Prove que existe pelo menos um número real c no intervalo 0,1 tal que 1f c f c

Sugestão: considere a função : 0,1f , definida por 1g x f x f x



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41. Na figura estão representadas, em

referencial o.n. xOy, partes dos

gráficos de duas funções, f e g,

contínuas em .

Tal como a figura sugere,

nenhum dos gráficos interseta o

eixo Ox;

os gráficos de g e de f

intersetam o eixo Oy nos pontos

de ordenadas 0,5 e 2,

respetivamente.

A penas uma das equações seguintes é impossível. Qual delas?

(A) 0f x g x (B) 0f x g x

(C) 1f x g x (D)

1

f x

g x


42. Seja nx a sucessão de termo geral 1

1

n

nxn

Seja ny a sucessão de termo geral 1 lnn ny x (ln designa o logaritmo de base e)

Qual é o valor de lim ny ?

(A) 2 (B) 3 (C) 1 e (D) 2 e


43. Com o objetivo de estudar as leis do aquecimento e do arrefecimento, realizou-se, num

laboratório de Física, a seguinte experiência: aqueceu-se ao lume uma certa quantidade de

água, durante cinco minutos; passado este tempo, a apagou-se o lume e deixou-se a água a

arrefecer. A temperatura da água foi sendo medida, ao longo do decorrer da experiência.

Admita que:

neste laboratório, a temperatura ambiente é constante;

a temperatura da água, no instante em que começou a ser aquecida, era igual à

temperatura ambiente;

depois de se ter apagado o lume, a temperatura da água tende, com o passar do tempo,

a igualar a temperatura ambiente.


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Em resultado da experiência, concluiu-se que a relação entre a temperatura da água e o tempo

t, contado em minutos, a partir do instante em que se colocou a água ao lume, é modelada

por uma, e uma só, das quatro funções, a, b, c e d, definidas por:

0,04 5

24 2 se 0 5

24 10 se 5t

t ta x

e x

0,04 5

12 2 se 0 5

24 70 se 5t

t tb x

e x

0,04 5

14 1 se 0 5

24 60 se 5t

t tc x

e x

0,04 5

12 2 se 0 5

24 60 se 5t

t td x

e x

Qual das quatro funções é a correta?

Numa pequena composição, explique porque não pode ser nenhuma das outras três,

indicando, para cada uma delas, uma razão pela qual a rejeita, explicando a sua inadequação,

relativamente à situação descrita.


Bom trabalho!!


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Principais soluções

1.

2. (B)

3. Não é contínua

4. 3

2k e

5. (D)

6.

7. (A)

8. 4

lim 3x

f x

9. ln 5 1k

10. (B)

11. (A)

12. (A)

13. f é contínua em 2x

14. (B)

15. 16. 2a

17. 18. (B)

19. (D)

20. (D)

21. 22. (D)

23. Não é contínua

24. (A)

25. A função é continua em

26. 27. 0

28. (B)

29. (B)

30. É continua em 1x

31. 32. 33. (A)

34. (D)

35. (C)

36. 37. (D)

38. f é contínua em 0x

39. 40. (A)

41. (A)

42. d x


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