Drugakvantizacija Naprednakvantna zika Ivo BatistiFiziki odsjek, PMFSveuiliteuZagrebupredavanja2010PregledpredavanjaOperatori stvaranja i unitenja esticaOperatori poljaHarmoniki oscilatorFockovprostorHilbertov prostor kvantnih stanja s ksnim brojem estica potrebnoje poopiti na sustave promjenjivog broja estica.Uvodi se pojam Fockovogprostora kvantnih stanja kojiobjedinjavaHilbertove prostore razliitog broja estica.Takoer se uvodi pojam vakuuma, stanje koje predstavljasustav bez estica:|vakuum>= |0 >Uvode se operatori koji povezuju Hilbertove prostore razliitogbroja estica. To su operatori stvaranja i unitenja estica.Kvantnamehanika sustava s ksnim brojem estica jeidealizacija. U realnim sustavima estice se stvaraju i nestaju.Nije mogue kazati koliko estica ima u nekom odreenomtrenutku i odreenom dijelu prostora: estice moguprividnonastati i nestati.OperatoristvaranjaiunitenjaesticaOperator stvaranja estice u nekom kvantnom stanju neka jeC,dok operator unitenja estice u tom kvantnom stanju neka jeC.Tada vrijede ove komutacijske/antikomutacijskerelacije:BozoniCCCC= [C, C] = 0CCCC= [C, C] = 0CCCC= [C, C] = FermioniCC + CC= {C, C} = 0CC + CC= {C, C} = 0CC + CC= {C, C} = OperatoristvaranjaiunitenjaesticaZa operatore unitenja vrijedi:C|0 >= 0 odnosno < 0|C= 0da kada djeluju na vakuumsko stanje daju nulu.Nemoeseunititiesticaakojenema.Za fermionske operatore, iz antikomutacijski relacija, izlazi daje:CC + CC= 0 C2= 0.Operatorstvaranjanemoestvoritidvijeesticeuistomkvantnomstanju.OperatoristvaranjaiunitenjaOpe stanje u Fockovom prostoru zadano je s brojem estica kojese nalaze u kvantnim stanjima:|n1 . . . ni. . . nn>gdje suni= 0, 1, 2, . . . za bozone, odnosno 0 ili 1 za fermione.To stanje pripada Hilbertovom potprostoru

ini= N s ukupnoNestica.Kakoizraunavatisrednjevrijednosti?Koristei relacije komutacije/antikomutacijeizmijeniti poredakoperatora stvaranja/unitenja tako da operatori unitenja buduna desnoj strani ispred vakuumskog stanja, a operatori stvaranjana lijevoj strani iza vakuumskog stanja na lijevoj strani!PrimjeriuporabekomutacijskihrelacijazabozonePrviprimjer:C Cn= CCCn1=_1 + CC_Cn1= 1 Cn1+ C1CCn1= 1 Cn1+ C1 _1 + CC_Cn2= 2 Cn1+ C2CCn2= = n Cn1+ CnCDakle:[C, Cn] = nCn1odnosno [C, Cn] = nCn1Drugi primjer:< 0|CnCn|0 > = < 0|Cn1_CnC+ nCn1_|0 >= n< 0|Cn1Cn1|0 >= n (n 1) < 0|Cn2Cn2|0 >= == n! < 0|0 >= n!BozonskostanjeOekujemo da je bozonsko stanje snestica u kvantnom stanju:|n>= AnCn|0 >gdje jeAnnormalizacijska konstanta. Koristei rezultat drugogprimjera:< n|n>= A2nn! = 1pa je normalizacijskakonstanta:An=1n!odnosno:|n>=1n!Cn|0 >DjelovanjeoperatoraunitenjanabozonskastanjaTreiprimjer:C|n> = AnCCn|0 >= An_CnC + nCn1_|0 >= nAnAn1|(n 1)>=n |(n 1)>Takoer:C|n> = AnCn+1|0 >=AnAn+1|(n + 1)>=n + 1 |(n + 1)>etvrtiprimjer:CC|n>= Cn |(n 1)>=nn|n>= n |n>CCdjeluje kao operatorbrojaestica u kvantnom stanjuOpisluajkvantnogstanjaZa bozonski sustav:|n1 . . . ni. . . nn> =C1n1_n1!. . . Cini_ni !. . . Cnnn_nn!|0 >=

iCini_ni !|0 > (ni= 0, 1, 2, . . . )Za fermionski sustav:|n1 . . . ni. . . nn> = C1n1. . . Cini. . . Cnnn|0 >=

iCini|0 > (ni= 0 ili 1)Vanojevoditiraunaokonzistentnomporetku operatorastvaranja.PrimjeriizraunavanjasrednjihvrijednostizafermionePrviprimjer:< 1|CC|1> =

.. C|0 >= < 0|_CC + __CC+ _|0 >= =1 .. < 0|0 >=0 .. < 0|CC|0 >=0 .. < 0|CC|0 >+ < 0|CCCC|0 >= + < 0|C_CC + _C|0 >= + < 0|CC|0 >. .=0< 0CCCC|0 >. .=0= PrimjeriizraunavanjasrednjihvrijednostizafermioneC|1112 . . . 1n> = CC1C2. . . Cn|0 >=_1 C1C_C2. . . |0 >= 1|0112 . . . 1n>C1CC2. . . |0 >= 1|0112 . . . 1n>C1_2 C2C_C3. . . |0 >= 1|0112 . . . 1n> 2|110213 . . . 1n>C1C2CC3C4. . . |0 >= ==

j(1)jj|11 . . . 0j. . . 1n>Specijalni sluajevi:C|1112> = 1|12> 2|11>C|111213> = 1|1213> 2|1113> +3|1112>NekekomutacijskerelacijeAB1B2B3B4B5 . . . = (AB1B1A)B2B3B4B5 + B1AB2B3B4B5 . . .= [A, B1]B2B3B4B5 + B1(AB2 B2A)B3B4B5 += [A, B1]B2B3B4B5 + B1[A, B2]B3 +=

i =1,2,...B1 . . . [A, Bi ]Bi +1 + B1B2 . . . AAnalogno:AB1B2B3B4B5 . . . =

i =1,2,...(1)iB1 . . . {A, Bi}Bi +1 + (1)nB1B2 . . . AOperatoripoljaMogue je uvesti operatore stvaranja i unitenja estice u tokiprostora r :(r ) =

(r ) C(r ) =

(r ) CTo je u stvari prostornareprezentacija operatora stvaranja iunitenja. esto se nazivaju operatorimapolja.Kvantnostanje u kojem se estica nalazi u toki prostora zadanoj svektorom r je:|r >=(r )|0 >OperatoripoljaOvi operatori takoer zadovoljavajukomutacijske/antikomutacijskeoperacije:[(r ), (

r)] = (r

r) za bozone{(r ), (

r)} = (r

r) za fermioneto je ? = < 0|(r ) C|0 >=

(r ) < 0|CC|0 >=

(r ) < 0|( CC)|0 >= (r ) (jednoestina valna funkcija!) jer jeC|0 >= 0KvantnastanjaKvantnostanje sustava (za fermione)s jednom esticom:(r ) |0 >=

(r ) C|0 >s dvije estice( r1) ( r2)|0>=

12( r1) ( r1)( r2) ( r2)CC|0 >sNestica( r1) ( r2) . . . |0 >=

12...1N!1( r1) 2( r1) 1( r2) 2( r2) |1112 >Analogno za bozone!OperatorgustoeOperator gustoe (koncentracije) estica: (r ) =(r )(r )Na primjer za bozone:=

1,21(r )2(r )=

1,21(r )2(r )

i1ini

=

1,21(r )2(r )

i,jni1i2jij=

ini |i(r )|2OstalioperatoriNa slian nain se mogu zapisati i ostali jednoestini operatori.HamiltonijanH=_dr(r )_

22 m

2+ U(r )_ (r )Dvoestino meudjelovanjeima slijedei zapis:V=12_dr1dr2_(r1)(r1)_V(r1,r2)_(r2)(r2)_HamiltonijanUzimajui u obzir i spin, ukupni Hamiltonijan, za proizvoljnibrojestica u sustavu moe se zapisati kao:H =

_dr(r )_

22 m

2+ U(r )_ (r )+12_dr1dr2_

11(r1)1(r1)_V(r1,r2)_

22(r2)1(r2)_Napomena: Izraunavajui energiju u prvom redu rauna smetnje:< 1112 . . . 1N|H|1112 . . . 1N>dolazimo do onog istog izraza kojeg smo ve prije nali, zajedno senergijom izmjene.OperatorgustoestrujeAko u sustavu vrijedi zakon sauvanja broja estica, tada se tomoe izraziti jednadbomkontinuiteta:t (r ) =

j (r )Vremenska ovisnost operatora gustoe estica ili bilo kojeg drugogoperatora, moe se izraunati iz komutatora s Hamiltonijanom:t (r ) =

[ , H]Dobivenirezultat moe prikazati kao divergencijavektorskog polja,iz kojeg iitavamo da je operator gustoe struje:

j (r ) =

2 m_

(

) _Redenicijavakuuma-FERMIONIU Fockovomprostoru stanja, pogodno je redenirati vakuum zasvaki potprostor konstantnog broja estica kao stanje najnieenergije tj. osnovnostanje sustava estica.U sluajunemeudjelujuihfermiona osnovno stanje je ono u kojemsvi fermioni popunjavajujednoestina energijski najnia kvantnastanja do neke granine energije, Fermijeveenergije, kojarazdvaja popunjena i prazna stanja.Moemo uvesti i oznaku za tako denirani vakuum:|FV>=__

Ei

RedeniranjefermionskihoperatorastvaranjaiunitenjaU sluaju ovako deniranog vakuuma pogodno je uvestinoveoperatore stvaranja i unitenja, kao:B=_Cako jeE> EFCako jeE< EFB=_Cako jeE> EFCako jeE< EFza koje vrijedi:B|FV>= 0Pobuenostanje ovako deniranogvakuuma su paroviestica-upljine koji se dobiju:|>= BB|FV> gdje jeE> EF> ERedeniranjefermionskihoperatorastvaranjaiunitenjaestice energije manje od Fermijeve zovemo upljinama, dok onekoje imaju veu energiju od Fermijeve i dalje nazivamo esticama.U sustavu s novo deniranimvakuumom nemasauvanjabrojaestica.Meutim, broj estica i upljina izjednaen.Svako pobueno stanje |FV> se moe promatrati kao je izvjestanbroj pobuenihestica i isti broj pobuenihupljina.|12 . . . n12 . . . n>=

iB

jB|FV> (Ei> EF> Ej)OperatoripoljaOperatori polja sadre stanja energije vee i manja od Fermijeveenergije:(r ) =

EEF(r )C=

EEF(r )B=(r ) ++(r )gdje su uvedene ove oznake:(r ) =

EEF(r )BHarmonikioscilatorHamiltonijan:H= p22 m+m2 x22gdje je=_kmfrekvencija titranja HOKao rjeenja Schdingerovejednadbe dobivaju se valne funkcije:n(x) =1_2nn!exp_m x22_Hn__m

x_s energijama:En= _n + 12_gdje jen = 0, 1, 2, . . .HarmonikioscilatorUvedimo slijedee operatore:a =_m 2 x +_

2 m ddx=_m 2 x+2 m pa=_m 2 x _

2 m ddx=_m 2 x 2 m pOdnosno, operatori poloaja i impulsa: x =_

2 m_a + a_ p = _m2_aa_HarmonikioscilatorOperatori imaju svojstvo:a n(x) =nn1(x)an(x) =n + 1 n+1(x)stvaranja stanje nieg i vieg kvantnog broja.Operator Hamiltonijana moe se zapisati kao:H=_aa + 12_Operatoria i aponaaju se kao operatori stvaranja i unitenjabozonskih estica.Kvantnibroj HO moe se tretirati kao broj estica.To nisupraveestica iji je broj sauvan. Stoga ih nazivamokvaziesticama.Razlika izmeupravihestica i kvaziestica nije otra, jer iprave estice mogu nestati ili nastati u raznim procesima.KoherentnostanjaHOU analogiji s bozonskimn-estinim stanjem, kvantno stanje HO un-tom kvantnom stanju, odnosno sn kvaziestica:|n>=(a)nn!|0 >Postoje li vlastiti vektori i vlastite vrijednosti operatora stvaranja?a |z>= z |z>Neka se takvo stanje moe raspisati po vlastiti stanjimaHamiltonijana:|z>=

nn|n>Iz pretpostavke da je to vlastiti vektor operatora unitenja slijedi:nn= zn1.KoherentnostanjaHORekurzivno zakljuujemo da je:n= n1zn= = 0znn!Dakle:|z>= 0

nznn!|n>= 0

n(za)nn!|0 >= 0eza|0 >Iz uvjeta normalizacije, izlazi da je nepoznata konstanta0:0= e |z|22Vlastito stanje operatora unitenja (stvaranja) zove sekoherentnim kvantnim stanjima. Koherentna kvantna stanja nisuortogonalna:< z|z>= e0.5|zz|2RastegnutiharmonikioscilatorAko na HO djelujemo konstantnom vanjskom silom, ravnotenavrijednost poloaja bit e razliita od 0:H= p22 m+m2 x22f x= p22 m+m2( x x0)22f22 m2gdje jex0=fm2Osnovno stanje i via pobuenastanja rastegnutog HO mogue jeprikazati kao linearnukombinaciju vlastitih stanja nerastegnutogHO. Npr, osnovno stanje:0(x x0) = ex0x0(x) = exp_x0_m2(a a)_0(x)RastegnutiharmonikioscilatorSluei se identitetom:ea+a= eaeae0.5koji vrijedi za operatore iji je komutator broj, osnovno stanje rastegnutogHO moe se zapisati kao:0(x x0) = exp_m x202_exp_x0_m2a_exp_x0_m2a_0(x)= exp_m x202_exp_x0_m2a_0(x)= < x|z> (koherentno stanje)gdje je:z= x0_m2Napomena: Koherentna stanja za fermione zahtijevaju uvoenje specijalnihbrojeva koji antikomutiraju (Grassmannova algebra).