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LV 143.020, 143.021 ET, TM

PHYSIK

LV 138.029 MB, VT, WI-MB

PHYSIK FR INGENIEURE

6. SCHWINGUNGEN

WS 2010/11

Vortragende:N. GURKER, J. CUSTERS

Skriptum:H. EBEL, N. GURKER, M. MANTLER, J. WERNISCH

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Schwingungen

6. SCHWINGUNGEN

Schwingungen sind zeitlich periodische Vorgnge, die sich durch harmonische Funktionen -Sinus, Cosinus - darstellen lassen. Als Beispiele seien Pendelschwingungen oder die Schwin-

gungen eines elektrischen Schwingkreises genannt. Andere periodische Vorgnge, wie etwaRechteck- oder Sgezahnsignale, lassen sich durch eine berlagerung harmonischer Funktio-nen ausdrcken - Fourierreihenentwicklung. Whrend im ersten Falle von harmonischenSchwingungen gesprochen wird, werden die im zweiten Falle genannten Schwingungen alsRechteck- oder als Sgezahnschwingungen bezeichnet.

Eine gemeinsame Eigenschaft der Schwingungen ist die Periodendauer T. Diese ist als die freine Vollschwingung erforderliche Zeitspanne definiert. Wird die Schwingung durch sintbeschrieben, so sind die Kreisfrequenz , die Frequenz f und die Periodendauer T gemGl.01s miteinander verknpft.

= =2 21

f T Gl.01sBekannte Beispiele fr schwingungsfhige Systeme sind Schwingquarze, Uhrpendel, Feder-unruh einer Uhr, Stimmgabel, RLC-Schwingkreise etc. Diesen Systemen ist folgendes ge-meinsam:

Energie flutet von einer Energieform 1 - z.B. die im elektrischen Feld eines geladenen Kon-densators gespeicherte elektrische Feldenergie - in eine Energieform 2 - z.B. die im Magnet-feld einer stromdurchflossenen Spule gespeicherte magnetische Feldenergie - und wiederzurck, wobei Energie beispielsweise als JOULEsche Wrme in den Leitungswiderstndenverlorengeht. Die verlorene Energie kann nicht mehr von selbst in eine der ursprnglichen

beiden Energieformen bergefhrt werden. Die Energieformen 1 und 2 knnen bei mechani-schen Schwingungssystemen die elastische Energie und die kinetische Energie sein und dieVerlustform der Energie ist Reibungsenergie, die weiter in Wrmeenergie umgesetzt wird.

6.1. Die freie Schwingung

Um die Schwingung in den beiden genannten Beispielen eines elektrischen und eines mecha-nischen schwingungsfhigen Systems aufrechterhalten zu knnen, mu diesen Systemen diein Verlust geratene Energie in geeigneter Form von auen zugefhrt werden. Wird dem

schwingenden System keine Energie zugefhrt, so schwingt es, nachdem es zur Schwingungangeregt wurde, mit seiner Eigenfrequenz und die Schwingung wird als freie Schwingungbezeichnet. Da die Verluste nicht wettgemacht werden, klingt die Schwingungsamplitude ab -gedmpfte freie Schwingung.

Die folgenden Ausfhrungen sind der freien Schwingung gewidmet. Die Herleitung derSchwingungsgleichung erfolgt anhand des in Abb.01s gezeigten Modells einer an einer Federbefestigten Kugel mit der Masse m (Federpendel). Die Feder ist durch die FederkonstanteDcharakterisiert. Die Kugel taucht in ein Flssigkeitsbad ein. Bewegt sich die Kugel in der

Flssigkeit, so kann die durch die Flssigkeitsreibung bedingte Reibungskraftr

FR proportio-

nal zur Geschwindigkeitr

v der Kugel angenommen werden (r

FR =-kr

v ).

Zur Beschreibung der Auslenkung des Federpendels wird der Ort der Federse herangezogen.Diese befindet sich im unbelasteten Zustand an der Stelle =0 (s.Abb.01s-a).

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Wird die Kugel in die Federse eingehngt, so wird die Federse durch die Einwirkung der

um den Flssigkeitsauftriebr

A verminderten Gewichtskraft gmGr

r

= der Kugel im Gleich-gewichtszustand auf= abgesenkt (s.Abb.01s-b).

D

Amg

eDeAegm

FAG F

=

=

=++

0

0

rrrr

rrr

Gl.02s

In Gl.02s beschreibtr

FFdie Federkraft undr

e den Einheitsvektor in der Richtung der positi-

ven -Achse.

Abb.01s

Um die Kugel aus dieser Gleichgewichtslage bis zur Position =max abzusenken, mu an der

Kugel eine Kraftr

F angreifen (s.Abb.01s-c).r r r r

r r r r

F G A F

Fe mge Ae D e

F D A mg

F+ + + =

+ =

= +

0

0

max

max

Gl.03s

Die zur Absenkung der Kugel von = nach =max erforderliche Arbeit Wist gleich der inder Feder gespeicherten EnergieEFabzglich der aus der Absenkung der Masse im Gravitati-

onsfeld der Erde erhaltenen potentiellen EnergieEpot.

( ) ( = max22max )(2 AmgDW ) Gl.04s

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Dies ist eine gewhnliche, homogene, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung. DieLsung der Differentialgleichung ist die den Ort der Federse in Abhngigkeit von der Zeitbeschreibende Funktion x(t). Einen Ansatz zur Lsung der Differentialgleichung stellt dieFunktion

x Aet= Gl.15s

dar. Werden die erste und die zweite Ableitung vonx nach der Zeit gebildet, in Gl.14s einge-setzt und durchx dividiert, so gelangt man zu einem Zusammenhang zwischen der die Lsungcharakterisierenden Gre und den fr das schwingende System typischen Gren m, kund

D.

Gl.16sm k D 2 0+ + =Die Gl.16s ist die charakteristische Gleichung.

Durch Einfhrung der Dmpfungskonstante und der Kreisfrequenz 0 des ungedmpftschwingenden Systems

=k

m

D

m2 0

2 = Gl.17s

lautet die Lsung der quadratischen Gleichung fr die charakteristische Gre

1 22

02

, = Gl.18s

Die unter der Wurzel stehende Differenz bestimmt das Ergebnis hinsichtlich des Auftretenseiner Schwingung ( 0

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Schwingungen

Die beiden vorlufig noch unbekannten Integrationskonstanten C1 und C2 werden aus denAnfangsbedingungen der Aufgabenstellung gewonnen. Zur Zeit t=0 - also am Anfang - istdie Auslenkungx=xmax und die Geschwindigkeit dx/dthat den Wert Null. Aus

Abb.02s

+=

=

21

1max

0 CC

Cx

Gl.22s

errechnen sich die gesuchten Konstanten C1 und C2 zu

=

=

max2

max1

xC

xC

Gl.23s

und die endgltige Gleichung fr die gedmpfte Schwingung lautet

)sin(cosmax ttexxt

+=

Gl.24s

In Abb.02s ist der Verlauf einer gedmpften Schwingung fr 0 =10 und =0.5 graphischdargestellt. Erhht man den die Bremskraft bestimmenden Proportionalittsfaktor kund damitdie Dmpfungskonstante , so klingt die Amplitude der freien Schwingung rascher als inAbb.02s gezeigt ab.

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Schwingungen

Abb.03s

Abb.04s

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Abb.04s zeigt die Amplitude A in Abhngigkeit von der Kreisfrequenz . Bei der Kreisfre-quenz , die etwas kleiner als 0 ist, durchluft die Schwingungsamplitude einen Maximal-wert. Nimmt die Dmpfung ab, so steigt die Amplitude an und umgekehrt -Resonanzberhhung.

Soll die Masse bei Frequenzen, die weit ber der Eigenfrequenz des mechanischen Systemsliegen, eine bestimmte Schwingungsamplitude erreichen, so mu die Kraftamplitude F0 ent-

sprechend gro gewhlt werden.

Wird Abb.04s hinsichtlich der aufzuwendenden Energie analysiert, so ist die zu einem belie-bigen Zeitpunkt t>0 der Masse innewohnende kinetische Energie gleich

)(sin222

22222

=

=

= tAm

dt

dxmvmEkin Gl.28s

Wird die Energie ber eine volle Periodendauer Tgemittelt, so zeigt es sich, da mit

4

22

,Am

E gemitteltkin

=

Gl.29s

und der im Rechenbeispiel s03 behandelten Reibungsleistung

2

22Ak

PR

=

Gl.30s

im Bereiche der Resonanzfrequenz aus jener Quelle, welche die periodisch vernderlicheKraft zur Verfgung stellt, die maximale Leistung entzogen wird.

6.3. berlagerung von ungedmpften Schwingungen

Eine Schwingung stellt eine lokale Strung dar. Nach den bisherigen berlegungen wurde derjeweilige Aufenthaltsort eines Punktes in Abhngigkeit von der Zeit bestimmt und die Orts-oder Bewegungsgleichung mit Hilfe einer harmonischen Schwingung definierter Frequenzbeschrieben. Eine berlagerung von Schwingungen gestattet es, allgemeinere Schwingungs-vorgnge zu erfassen. Zur Vereinfachung werden hier nur einige typische Varianten betrach-tet und die Einschrnkung auf ungedmpfte Schwingungen vorgenommen.

Sonderfall 1: Parallele Schwingungsrichtungen (x)Gleiche Frequenzenf1 =f2 =fUnterschiedliche AmplitudenA1 undA2Unterschiedliche Phasenwinkel 1 und 2

Die beiden Schwingungsgleichungen lauten

)sin(

)sin(

222

111

+=

+=

tAx

tAxGl.31s

und die berlagerung (Superposition) der beiden Schwingungen gibt Anla zu einer resultie-renden Schwingungx

)sin( += tAx , Gl.32s

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deren AmplitudeA und Phasenwinkel aus den bekannten GrenA1,A2, 1 und 2 berech-net werden knnen (s05). Die Kreisfrequenz der resultierenden Schwingung ist gleich derKreisfrequenz der Teilschwingungen.

Sonderfall 2: Parallele Schwingungsrichtungen (x)

Unterschiedliche Frequenzenf1,f2Unterschiedliche AmplitudenA1,A2Phasenwinkel 1 = 2 = 0

Die berlagerung der beiden Einzelschwingungen

)tcos(Ax

)tcos(Ax

222

111

=

=Gl.33s

zu einer resultierenden Schwingungx =x1 +x2 lt sich besonders einfach durch die Einfh-rung der beiden Kreisfrequenzen und behandeln.

=

+

=

1 2

1 2

2

2

Gl.34s

Unter Verwendung von und knnen 1 und 2 gem

1

2

= +

=

Gl.35s

im Summenausdruck fr x verwendet werden und mit den bekannten Ausdrcken frcos() erhlt man

)tsin()tsin()AA()tcos()tcos()AA(x ++= 1221 . Gl.36s

Die resultierende Schwingung besitzt eine mittlere Kreisfrequenz , und die Amplitude n-dert sich zeitlich mit der halben Differenz der beiden Kreisfrequenzen. Zur Veranschauli-chung dieser Aussage mge die in Abb.05s gezeigte Schwebung dienen. Fr das gezeigteBeispiel wurden die beiden Amplituden gleich gro gewhlt (A1 =A2 ).

Abb.05s

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Sonderfall 3: Senkrechte Schwingungsrichtungenx,yGleiche Kreisfrequenzen 1 = 2 = Unterschiedliche AmplitudenA1,A2Unterschiedliche Phasenwinkel 1 =0, 2 =

Aus den Teilschwingungen

)cos(

cos

2

1

+=

=

tAy

tAxGl.37s

sinsincoscos

cos

2

1

=

=

ttA

y

tA

x

Gl.38s

ergibt sich ein Zusammenhang zwischenx undy2

1121sincos

= A

xAx

Ay Gl.39s

der eine Ellipse in der Formy=y(x) beschreibt.Neben dem allgemeinen Fall der Ellipse wird fr = 0 bzw = eine Gerade gefunden.Unter den Voraussetzungen = /2 bzw. = 3/2 undA1 =A2 ergibt sich ein Kreis.

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Schwingungen

Beispiele

s01Es soll der elektrische Schwingkreis in Analogie zu dem gezeigten mechanischen System

behandelt werden. Abb.B_01s zeigt den RLC-Kreis an der Batterie (Schalterstellung 1), in derder Kondensator auf die Batteriespannung UB aufgeladen wird. Nach Umlegen des Schalters

S in die Position 2 entsteht ein geschlossener Stromkreis, der ber eine gedmpfte freieSchwingung in den ungeladenen Zustand zurckkehrt.

Um die Aufgabe lsen zu knnen, mssen einige Gleichungen aus der Elektrizittslehre vor-weggenommen werden. Die in einem mit der Elektrizittsmenge Q aufgeladenen Kondensa-tor, dessen Kapazitt Cbetrgt, gespeicherte Energie ist

EQ

CKond =

2

2

Der elektrische StromIist der Differentialquotient der

Abb.B_01s

durch den Leistungsquerschnitt flieenden Elektrizittsmenge Q und der Zeit t

IdQ

dt=

Die gespeicherte EnergieESpule einer vom elektrischen StromIdurchflossenen Spule mit der

InduktivittL erhlt man aus

2

2IL

ESpule

=

und letztlich errechnet sich die im Ohmschen WiderstandR in JOULEsche Wrme umgesetz-te Energie EJoule hnlich der Reibungswrme bei der mechanischen Schwingung durch eine

Integration der Verlustleistung RI2

ber die Zeit bis zum Zeitpunkt tnach dem Schlieendes Schwingkreises

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.=

=

=t

Joule dIRE

0

2

In Analogie zur "Ladung" des mechanischen Schwingsystems ist die fr die freie Schwingungvorhandene Gesamtenergie mit der im Kondensator nach dem Aufladen an der Batterie ent-

haltenen EnergieEKond,max

C

QUCE BKond

22

2max

2

max, =

=

identisch. Wird der Energieerhaltungssatz angeschrieben, so lautet dieser mit den verwende-ten Bezeichnungen

EKond,max = EKond+ ESpule + Ejoule

Durch Einsetzen fr die einzelnen Energiebeitrge, zweimalige Differentiation nach der Zeit,und Division durch den Strom I erhlt man die Differentialgleichung des elektrischenSchwingkreises. Wie lautet diese?

Ersetzt manx von der mechanischen Schwingung durch I im elektrischen Schwingkreis undvergleicht die jeweiligen typischen Gren in den beiden Differentialgleichungen, dann ist esmglich, k, D und m durch entsprechende Gren des elektrischen Schwingkreises zu erset-zen. Welche Analoggren sind es? In Verbindung mit der charakteristischen Gleichung las-sen sich sodann 0, und durch die typischen Gren des elektrischen Schwingkreisesausdrcken. Wie lauten die entsprechenden Gleichungen? Wie lautet die Bedingung fr diegedmpfte Schwingung? Wie lautet schlielich die Lsung I(t) fr den Fall des gedmpftenelektrischen Schwingkreises?

s02Es mge die Beziehung fr die AmplitudeA der erzwungenen Schwingung und den Phasen-winkel zwischen der periodisch vernderlichen Kraft und der erzwungenen Schwingung inAbhngigkeit von der Kreisfrequenz hergeleitet werden.

s03

In diesem Zusammenhang sollte auch versucht werden, den durch Reibung verlorengegange-nen Energiebetrag bei konstanter Kraftamplitude F0 in Abhngigkeit von der Frequenz, undzwar als mittlere Reibungsleistung darzustellen.

s04

Diskussion der Resonanzberhhung bei einem schwingungsfhigen mechanischen System.

bertrgt man den Gedankengang auf andere schwingungsfhige Systeme, so sollte die Tat-sache der maximalen Leistungsaufnahme aus der Quelle im Bereiche der Eigenresonanz err-tert werden.

s05

Es mgen die Amplitude A und der Phasenwinkel bei der berlagerung ungedmpfterSchwingungen entweder ber die Addition von Winkelfunktionen oder in Form einer Zeiger-darstellung ermittelt werden.

s06

In einem Laserinterferometer werden zwei Schwingungen unterschiedlicher Frequenz berla-

gert. Die Frequenz f1 der einen Schwingung ist gleich der eines He-Ne-Lasers, whrend diezweite Frequenz durch DOPPLER-Verschiebung von f1 an einem bewegten Spiegel zustande

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Schwingungen

kommt. Unter Vorwegnahme der Herleitung fr den DOPPLER-Effekt elektromagnetischerWellen in der speziellen Relativittstheorie sei das Ergebnis frf2 angegeben.

=

012 21

c

vff

v ist die Geschwindigkeit des bewegten Spiegels.Welchen Wert hat die Wellenlnge des von einem He-Ne-Laser emittierten monochromati-schen Lichtes?Gilt dieser Wert fr Vakuum oder fr normalen Luftdruck?Wie kann daraus die Frequenzf1 errechnet werden?Gesucht ist der Zusammenhang zwischen der Schwebungsdauer und der Geschwindigkeit desSpiegels.Wieviele Schwebungsmaxima werden bei einer Bewegung des Spiegels ber eine Distanzvon 1mm gemessen?

Lsungen zu den Beispielen

s01Nimmt man fr den Ausgangszustand an, da die im Kondensator gespeicherte Ladung gleichQmax sei, dann lautet der Ausdruck

=

=

+

+

=

t

dRIIL

C

Q

C

Q

0

2222

max

222

Wird nach der Zeit tabgeleitet, so resultiert daraus

2

0 IRdt

dI

ILdt

dQ

C

Q

++= .Da dQ/dtgleichIist, kann die Gleichung durchIdividiert werden.

IRdt

dIL

C

Q++=0

Der so erhaltene Ausdruck steht fr die Aussage, da in einem geschlossenen Stromkreis dieSumme der Potentialdifferenzen an den einzelnen Bauteilen gleich null ist. Nochmalige Diffe-rentiation nach der Zeit t, Umordnung und Verwendung von I= dQ/dt fhrt schlielich zueiner Differentialgleichung

ICdt

dIR

dt

IdL ++=

10

2

2

die analog zur Gl.14s zu behandeln ist. Anstelle von x steht die StromstrkeI, m wird durchdie Induktivitt L ersetzt, kdurch den Ohmschen Widerstand R und D durch den Reziprok-wert der Kapazitt C. Daraus errechnen sich fr den elektrischen Serienschwingkreis dieDmpfungskonstante

L

R

=

2

und die Kreisfrequenz 0 des ungedmpft schwingenden Systems

CL =

10 .

Die Bedingung fr das Auftreten einer gedmpften Schwingung lautet

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CLL

R