Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

CHƯƠNG 4

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

2 2 20 0 0 0 0 0 0 0

2 2

( , ) "( , ) 2 "( , ) "( , )

2

d f x y f x y dx f x y dxdy f x y dy

Adx Bdxdy Cdy

Khi tìm cực trị của hàm 2 biến bài toán sẽ dẫn đến việc xác định dấu của vi phân cấp 2 của hàm f, nghĩa là ta cần xác định dấu của:

Khi xét hàm 3 biến thì ta cần xác định dấu của vi phân cấp 2:

2 2 2 211 12 13 22 23 332 2 2d f a dx a dxdy a dxdz a dy a dydz a dz

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

Tổng quát cho hàm nhiều biến thì việc tìm dấu của vi phân cấp 2 không đơn giản, do vậy “Dạng toàn phương” là một lý thuyết hổ trợ cho việc tìm dấu của vi phân cấp 2 của hàm nhiều biến.

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

Định nghĩa: Cho V là không gian vector n chiều trên R, hàm

xác định như sau: với mỗi

:V R

1 2( , ,..., )nx x x x V

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

211 1 12 1 2 13 1 3 1 1

222 2 23 2 3 2 2

233 3 3 3

2

( ) 2 2 ... 2

2 ... 2

... 2....................

n n

n n

n n

nn n

x a x a x x a x x a x x

a x a x x a x x

a x a x x

a x

được gọi là dạng toàn phương trên V.

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương Ví dụ: Cho dạng toàn phương:

31 2 3

21 1 2 1 3

22 2 3

23

2 2 21 1 2 1 3 2 2 3 3

: , ( , , )

( ) 2 4 6

2

8

2 4 6 2 8

R R x x x x

x x x x x x

x x x

x

x x x x x x x x x

11a 122a132a 22a 232a 33a

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

Định nghĩa: Cho dạng toàn phương2

11 1 12 1 2 13 1 3 1 1

222 2 23 2 3 2 2

233 3 3 3

2

( ) 2 2 ... 2

2 ... 2

... 2....................

n n

n n

n n

nn n

x a x a x x a x x a x x

a x a x x a x x

a x a x x

a x

khi đó, ma trận sau:

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

Gọi là ma trận của dạng toàn phương

11 12 1

12 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a aa a a

A

a a a

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương Ví dụ: Cho dạng toàn phương

31 2 3

2 2 21 1 2 1 3 2 2 3 3

: , ( , , )

( ) 2 4 6 2 8

R R x x x x

x x x x x x x x x x

Khi đó, ma trận của dạng toàn phương là:

2 2 32 1 13 1 8

A

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:2 2 2

1 2 3 1 1 2 2 2 3 3( , , ) 6 3 4 5x x x x x x x x x x

1 3 03 3 2

0 2 5A

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:

2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 3 7 3 8 10 8x x x x x x x x x x

3 4 54 7 45 4 3

A

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

Ví dụ: Cho dạng toàn phương có ma trận:

2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 4 5 4 6 2x x x x x x x x x x

1 2 32 4 1

3 1 5A

Khi đó, dạng toàn phương tương ứng là:

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

Nhận xét: Xác định dấu của các dạng toàn phương sau:

.35)(

.432)(

.523)(

.8262)(

23

22

214

23

22

213

23

22

212

32312123

22

211

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxxxxxxx

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

Dạng chính tắc của dạng toàn phương

Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận chéo

nna

aa

000............0...00...0

22

11

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

....)( 22222

2111 nnnxaxaxax Hay

Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng toàn phương.

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Lagrange (xem tài liệu) Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng

chính tắc.2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 10 2 4 8x x x x x x x x x x

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3

2 2 21 2 3 2 3 2 3

2 2 21 2 3 2 3 3

( ) 2 10 2 4 8

( 2 ) 6 4

( 2 ) ( 2 ) 2

x x x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

1 1 2 3

2 2 3

3 3

22

y x x xy x xy x

2 2 21 2 3( ) 2y y y y

Đặt

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc:2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 6 13 4 6 2x x x x x x x x x x

21( )x 22x 33x 2

22x 234x 2 310x x

2 2 21 2 3 2 3 2 3( 2 3 ) 2[ 2 5 ]x x x x x x x

2 21 2 3 2( 2 3 ) 2[( ) ]x x x x 3

52x 2

3174x

2 2 21 2 3 2 3 3

5 17( 2 3 ) 2( )2 2

x x x x x x 2 2 21 2 3

1722

y y y

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange:

2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 5 10 4 8 2x x x x x x x x x x

21 )(x

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Jacobi (xem tài liệu) Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng

chính tắc.2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 2 4 6x x x x x x x x x x

132331212

A

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

132331212

A

,2111 aD0 1,D 11 122

21 22

2 15,

1 3a a

Da a

Đặt

11 12 13

3 21 22 23

31 32 33

2 1 21 3 3 35,2 3 1

a a aD a a a

a a a

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương Nếu thì dạng toàn phương có dạng chính

tắc là:

23

2

322

1

221

0

1)( yDDy

DDy

DDy

2 2 21 2 3

2 5 35( )1 2 5

y y y y

,...2,1,0 iDi

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính

§7: Dạng Toàn phương

Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phương pháp Jacobi:

2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 4 2 8x x x x x x x x x x

341422

121A