05 He phuong trinh - bookbooming

CHƯƠNG 2

2 3 7 13 9 2 3

4 5 0

x y zx y zx y z

Gi¶ng viªn: Phan §øc

TuÊn

Đại Số Tuyến Tính


§5: Hệ phương trình tuyến tính


TuÊn





TuÊn





TuÊn




Ví dụ: Cho hệ phương trình

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

2 3 5 22 3 4 0

3 8 5 3 24 2 7 9

x x x xx x x xx x x x

x x x


TuÊn





TuÊn





1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

2 3 5 2 2 3 5 12 3 4 0 1 2 3 4

3 8 5 3 2 3 8 5 30 4 2 74 2 7 9

x x x xx x x x

Ax x x x

x x x


TuÊn





TuÊn





1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

2 3 5 2 22 3 4 0 0

3 8 5 3 2 294 2 7 9

x x x xx x x x

Bx x x x

x x x


TuÊn





TuÊn





TuÊn




Ví dụ: Cho hệ phương trình1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

2 3 5 22 3 4 0

3 8 5 3 24 2 7 9

2 3 5 1 21 2 3 4 0

3 8 5 3 20 4 2 7 9

bs

x x x xx x x xx x x x

x x x

A


TuÊn





TuÊn




Ví dụ:2 7 1 93 1 4 05 9 2 5

xyz

2 7 93 4 05 9 2 5

x y zx y zx y z


TuÊn



§5: Hệ Grame


TuÊn



§5: Hệ Grame


TuÊn



§5: Hệ Grame


TuÊn



§5: Hệ Grame


TuÊn



§5: Hệ Grame


TuÊn



§5: Hệ Grame

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:


TuÊn



§5: Hệ Grame


TuÊn



§5: Hệ Grame


TuÊn



§5: Hệ Grame


TuÊn



§5: Hệ Grame

Bài tập: Giải hệ phương trình sau:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 12 3 53 2 1

x x xx x xx x x

1 1 22 1 33 2 1

D

1

1 1 25 1 31 2 1

D

2

1 1 22 5 33 1 1

D

3

1 1 12 1 53 2 1

D

= -19= -19

= -29= -29

= -9= -9

= -8= -8


TuÊn



§5: Hệ Grame

11

22

33

198

298

98

Dx DDx DDx D


TuÊn



§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss

Các phép biến đổi tương đương hệ phương trìnhCác phép biến đổi tương đương hệ phương trìnhNhân một số ( ) vào 2 vế của 1 PT của hệ.Nhân một số ( ) vào 2 vế của 1 PT của hệ.Đổi chỗ hai PT của hệ.Đổi chỗ hai PT của hệ.Nhân một số ( ) vào một PT rồi cộng vào Nhân một số ( ) vào một PT rồi cộng vào PT khác của hệ.PT khác của hệ.

0

0

12 3 2

2 5

x y zx y zx y z

12 3 22 4 2 10

x y zx y zx y z

2 4 2 101

2 3 2

x y zx y zx y z


TuÊn




Như vậy các phép biến đổi tương đương hệ PT chính là các phép BĐSC trên dòng của ma trận bổ sung tương ứng..


TuÊn




Xét hệ phương trình tổng quát sau:


TuÊn




Ta có ma trận bổ sung tương ứng


TuÊn




11 12 1 1 1

22 2 2 2

' ' ... ' ... ' '0 ' ... ' ... ' '... ... ... ... ... ... ...

' 0 0 ... ' ... ' '0 0 ... 0 ... 0.. .. .. .. .. .. ..0 0 ... 0 ... 0 0

r n

r n

r r r n r

a a a a ba a a b

A a a bk

Bằng các phép B ĐSC chuyển ma trận bổ sung về dạng:


TuÊn




Ma trận A’ tương ứng cho ta hệ PTTT

11 1 12 2 1 1 1

22 2 2 2 2

1 2

' ' ... ' ... ' '' ... ' ... ' '... ... ... ... ...

' ... ' '

0 0 ... 0 ... 0

r r n n

r r n n

r r r r n n r

r n

a x a x a x a x ba x a x a x b

a x a x b

x x x x k


TuÊn




Khi đó ta có: 1. Nếu thì PT thứ (r +1) vô nghiệm suy

ra hệ PT vô nghiệm. 2. Nếu thì hệ có nghiệm:

a. Nếu r = n (số ẩn) thì hệ PT có nghiện duy nhất. b. Nếu r < n (số ẩn) thì hệ PT có vô số nghiệm, phụ thuộc vào (n – r) tham số.

0k

0k


TuÊn




a. Khi r = n (số ẩn) thì hệ PT (II) viết dưới dạng:

11 1 12 2 1 1 1

22 2 2 2 2

' ' ... ' ... ' '' ... ' ... ' '... ... ... ... ...

' ... ' '... ... ...

' '

r r n n

r r n n

rr r rn n r

nn n n

a x a x a x a x ba x a x a x b

a x a x b

a x b


TuÊn




b. Khi r < n ta chuyển (n – r) ẩn sang vế phải của hệ PT ta được hệ PT sau:

Ta xem các ẩn ở vế phải là các tham số, sau đó giải các ẩn còn lại theo các tham số đó.

11 1 12 2 1 1( 1) 1 1 1

22 2 2 2( 1) 1 2 2

( 1) 1

' ' ... ' ' ... ' '

' ... ' ' ... ' '

... ... ... ... ...' ' ... ' '

r r r r n n

r r r r n n

r r r r r r r n n r

a x a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x b


TuÊn




2 3 5 2 5 35 3 3 5

5 3 2(5 3) 7 15 3 5 3

7 1 65 3, 1 2

1

132 7

2

x y z x y zy z y z

x z z x zy z y z

x m xy m m yz m z

xm y

z


TuÊn




2 3 5 2 5 35 4 3 3 5 4

x y z t x y z ty z t y z t


TuÊn





TuÊn




2 14 1

5 1

24

h hh hh h

….


TuÊn





TuÊn




Vậy hệ phương trình


TuÊn





TuÊn





TuÊn




sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận bổ sung về dạng ma trận hình thang:

...bsA


TuÊn





TuÊn





TuÊn





TuÊn




Bài Tập: Giải hệ phương trình:

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

1 2 3 4

2 22 3 2 2

3 4 5 12 3 0

x x x xx x x x

x x xx x x x

10

21

4

3

2

1

xxxx


TuÊn




2 14 1

2

1 1 2 1 20 3 7 4 20 3 4 5 10 0 4 2 2

h hh h

3 2

1 1 2 1 20 3 7 4 20 0 11 1 10 0 4 2 2

h h

1 1 2 1 22 1 3 2 20 3 4 5 11 1 2 3 0

4 311 4

1 1 2 1 20 3 7 4 20 0 11 1 10 0 0 18 18

h h


TuÊn




Bài Tập: Giải hệ phương trình:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 5 13 4 3 14 7 1

2 5 5 8 2

x x x xx x x xx x x xx x x x

1 2 3 4

2 3 4

2 5 13 2 0

x x x xx x x


TuÊn





TuÊn




11 12 1 1 1

22 2 2 2

' ' ... ' ... ' '0 ' ... ' ... ' '... ... ... ... ... ... ...0 0 ... ' ... ' '0 0 ... 0 ... 0.. .. .. .. .. .. ..0 0 ... 0 ... 0 0

r n

r n

bsr r r n r

a a a a ba a a b

A a a bk

Bằng các phép B ĐSC chuyển ma trận bổ sung về dạng:


TuÊn




Khi đó ta có: 1. Nếu thì PT thứ (r +1) vô nghiệm suy

ra hệ PT vô nghiệm. 2. Nếu thì hệ có nghiệm:

a. Nếu r = n (số ẩn) thì hệ PT có nghiện duy nhất. b. Nếu r < n (số ẩn) thì hệ PT có vô số nghiệm, phụ thuộc vào (n – r) tham số.

0k

0k


TuÊn




1 ( ) 3 ( ) 4bsm r A r A

2

1 2 1 1 10 1 3 2 20 0 1 2 30 0 0 1 1

bsA

m m

1 ( ) ( ) 3bsm r A r A n

Biện luận theo m số nghiệm của hệ:

2

2 13 2 2

2 3

( 1) 1

x y z ty z t

z t

m t m

Hệ vô nghiệm

Hệ có VSN

Hệ có Ng duy nhất1 ( ) ( )bsm r A r A n


TuÊn




2 2 12 5 3 0

2 3 31

x y z tx y z t

y z tx y z mt

Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình


TuÊn




1 2 1 2 10 1 5 3 20 0 7 0 50 0 0 7 77 43

bsA

m

Ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ cấp

11 ( ) 3 ( ) 4bsm r A r A hệ vô nghiệm11 ( ) ( ) 4bsm r A r A hệ có nghiệm duy nhất


TuÊn




2 3 02 5 2 1

2 3 1

x y z tx y z t

y z at bx z t

Bài tập: Biện luận theo a, b số nghiệm của hệ phương trình


TuÊn




1 2 1 3 00 1 0 7 10 0 1 20 30 0 0 13 2

bsA

a b

13 ( ) 4,a r A 2 ( ) 4bsb r A

Ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ cấp

13 ( ) 3a r A hệ có vô số nghiệm2 ( ) 3bsb r A hệ vô nghiệm

( ) 4bsb r A

hệ có nghiệm duy nhất


TuÊn




3 2 12 3 2

3 4 2 1

x y zx y mz

x y z

Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình


TuÊn



§5: Hệ PTTT thuần nhất


TuÊn





TuÊn





TuÊn





TuÊn




11 12 1

21 22 2

1 2

.. 0

.. 0.. .. .. .. ..

.. 0

n

nbs

m m mn

a a aa a a

A

a a a

Khi biện luận cho hệ thuần nhất ta chỉ quan tâm hạng của ma trận hệ số

Nhận xét: Trong hệ thuần nhất hạng của ma trận hệ số luôn bằng hạng của ma trận bổ sung


TuÊn



§5: Hệ PTTT thuần nhất Hệ thuần nhất chỉ có 2 trường hợp:

Hệ có nghiệm duy nhất Hạng ma trận hệ số bằng số ẩn của hệ

phương trình Hệ có vô số nghiệm

Hạng ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn của hệ phương trình


TuÊn



§5: Hệ PTTT thuần nhất Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm duy

nhất đó là nghiệm tầm thường: (0,0,…,0). Ta gọi hệ thuần nhất chỉ có

nghiệm tầm thường. Nếu hệ có vô số nghiệm thì lúc đó ngoài

nghiệm tầm thường hệ còn có nghiệm khác nữa. Ta gọi hệ thuần nhất có nghiệm

không tầm thường.


TuÊn





TuÊn




Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường.


TuÊn





TuÊn





TuÊn




1 2 10 3 10 0 2

Am

2 ( ) 3m r A

Ta có:Biến đổi

sơ cấp

Do đó với

Vậy với thì hệ có nghiệm không tầm thường

2m


TuÊn





TuÊn




Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường.


TuÊn




Ta có 1 2 1det( ) 2 1 3

1 1A

m

(3 6) 0m

2m

Documents

05 He phuong trinh - bookbooming