Nevezetes algebrai azonosságok

Az azt jelenti, hogy a benne szereplő változók, paraméterek, minden megengedett értéke

mellett fennáll a kijelentett egyenlőség. Algebrai műveletekkel és hatványozás azonosságaival tessék

tisztában lenni, azaz tájékozódni a megfelelő fejezetekben! S mint az már ismert, a megfelelő

fejezetek nem csak ez előtt, hanem ez után is lehetnek a könyvben.

A most következő ravaszságok gyakran előfordulnak a későbbi témakörökben is, így ne csak a

„pincér memóriádba” tárold el! Nem csak ma lesz rá szükséged! A most következő és nem csak

számok, de polinom kifejezések, polinomtagok is lehetnek. Ha ez ilyesztő, örülök neki. Tudod, hol kell

utána nézni ebben az esetben? Könnyítésként, az -re csak mint pozitív egészre gondolunk itt.

Van még sok azonosság, de ezek a legfontosabbak. Sőt ha ezeket megérted, ismered, tudod

alkalmazni, akkor a többivel sem lesz gondod, mert könnyen meg fogod érteni azokat is.

Nézzük őket sorban!

Bizonyítás:

Miért is igaz ez? Mit jelent az, hogy egy kifejezés négyzetét vesszük? Azt, hogy önmagával szorozzuk.

Ami nem más, mint hogy az egyik zárójelben lévő összes tagot szorozzunk a másik zárójelben lévő

összes taggal:

És ekkor már csak a zárójelek együtthatója szerint kiszabott szorzásokat kell elvégezni:

Így ezeket is figyelembe véve, végül ezt kapjuk:

Eme a lépésekben kapott sorok mind egyenlőek voltak, tehát valóban:

∎

1

Az itt látható négyzet oldalait és hosszúságú

szakaszokra osztottuk. Majd eme kis szakaszok által

képezett alakzatok területeit adtuk meg képlettel.

Eme területek képleteit láthatod az adott alakzatokba

írva. Ha ezeket mind összeadjuk, akkor ugyanazt a

terület nagyságot kell kapnunk, mintha a legnagyobb

négyzet területét a saját oldalhosszaival számolnánk

ki.

∎

Bizonyítás:

Miként az előbb, most is írjuk fel zárójelek szorzataként:

1 Szerencsére a mindig garantált, ha elég mély a dekoltázs.

Majd, mint láttuk, itt is minden tagot minden taggal szorozzunk be.2

Felbontva a zárójeleket:

A nyilván azért lett pozitív, mert a szorzatból jött ki! Itt is igaz, amit az előbb

felhasználtunk: . Vagyis:

Ezzel beláttuk, hogy igaz. ∎

A következő ábra bonyolultabb, mint az előző volt, ezért beszéljünk róla, hogy mit is kell látni rajta! A

kezünk meg vagyon kötve, mivel csak téglalapokkal és négyzetekkel dolgozhatunk. Azt akarjuk

belátni, hogy , tehát szükségünk lesz -re, -re, -re, sőt ez

utóbbiból, egyből kettő is kell. És kell még is.

― „Egyből kettő”, az mínusz egy! ― kiabálja be Emese.

― Nem is tudom, mi lenne nélküled, Emese. Talán még zavartalanul le is adhatnám

egyszer az órát. Te sosem vagy beteg? Úgy bírnám már, ha csak egyszer hiányoznál…

Keressük meg az ábrán a hozzávalókat:

Az megvan, csak valaki leharapott belőle -et, így hát, az is megvan kétszer is. De hol

bujkálhat az a fránya ? Biza, az is ott van, mind a kettő. Ugye emlékszünk még az előző mondatra?

Kettő is kell belőle! De azokból is leharaptak -et. És miért is az a két darab kék téglalap?

Mert egyik oldaluk , másik oldaluk , területük pedig e két egymás mellett lévő oldal szorzata:

. Tehát egy zöld négyzet és egy kék téglalap területe együtt éppen:

2 Persze a ” nem azt jelenti, hogy az egy zárójelen belül lévő tagokat is

szorozzuk egymással! ÁÁÁÁÁ!

Az -ből, ami itt a legnagyobb

négyzet, levonunk kettő -t, majd hozzá

adunk egy -et. Mit kapunk? No, nézzük a

színkód alapján! Itt ugye az egész ábrát

jelenti. Hogy ebből levonjunk -t, ahhoz

pont a két kék és a két zöldet kell

gondolatban elhagyni az ábráról. De akkor

csak a sárga marad vissza, aki viszont éppen

egy -tel rövidebb, a kívánt -nél.

Ezért hozzáadunk egy zöld -et, és így máris

a sárga és egy zöld együtt már kiadja az

-et. Vagyis:

∎

Bizonyítás:

Már tudnia kell mindenkinek, hogy a négyzetre emelés, önmagával való szorzást jelent. Tehát

Ez pedig nem más, minthogy az első zárójelben lévő tagok mindegyikével beszorozzuk a második

zárójelet, majd az így még mindig zárójeles szorzatokat felbontjuk:

Vagyis, az igazság végett, a felbontáskor szorozzunk a zárójelben lévőket a zárójel együtthatójával:

Mivel , így ez nem más, mint:

∎

Ez házi feladat! Nagyon egyszerű, a látottak alapján.

Bizonyítás:

Egyszerűen csak el kell végezni a szorzást, oszt jó napot.

Mivel van benne és – is ezek pont kiejtik egymást. Csak az marad. ∎

Nézzétek meg jól, hogy a piros nyilak, mettől meddig jelölik ki egy alakzat oldalhosszát! Az

oldalak mellé írt betűk színével is jeleztem, hogy mely tartományról van szó. Most tehát azt akarjuk

belátni, hogy ha vesszük az -t, amely éppen a felső oldal mentén látható két vízszintes hossz,

zöld és narancssárga oldalhosszak összege, és az -t, ami a bal felső függőleges, narancssárga

oldalhossz, és ezeket összeszorozzuk, ugyanazt a területet kapjuk, mintha az oldalhossz, ami a felső

vízszintes zöld oldal, és a piros betűvel jelölt függőleges szorzatával megadott területből kivonjuk az

egyik kis kék -et.

Ezt könnyű belátni,

hiszen a zöld téglalap és a

baloldali sárga téglalap

területösszege éppen az

képlettel is

megkapható. De ugyanezt a

területösszeget kapjuk akkor

is, ha a zöld téglalaphoz az

alsó sárga téglalapot adjuk.

Ez utóbbi pedig éppen az

.

∎

Bizonyítás:

Szerencsére tudjuk, hogy a köb, azaz a harmadik hatvány, nem más, mint a második hatvány

szorozva az első hatvánnyal.

És miért jó ez nekünk, Emese?

―Mert a négyzetes tényezőt, már valaki kiszámolta nekünk.

Így van! A másodfokút az előbb már láttuk, így ezt most gátlástalanul felhasználjuk:

Tehát ezt beírjuk az ügyes felbontásunkba:

Hogy kevesebbet kelljen írni; mert a matematikusok sok erénye közül a legfőbb a lustaság; a

jobboldali zárójeles tényező tagjait szorzom a baloldali zárójellel. Na jó, egy kicsit azért is teszem így,

hogy nehogy valaki azt gondolja, hogy csak amúgy lehet.

És mostanra már a hátsó sorban ülők is ezzel álmodnak, így nem nehéz megérteni, hogy miért is lesz

ez a következő sor:

Az egymás mellé írt betűkről pedig azt érdemes tudni, hogy össze vannak szorozva:

∎

Az szemléltetést, ha becsületesen akrjuk csinálni, akkor azt három dimenzióban kell. Erre

utal a kitevőben lévő hármas is. A tétel állítása szerint egy élhoszúságú kockát lehet

összerakni, egy élhosszúságú kockából, egy élhosszúságú kockából, három darab alapterületű

és magasságú hasábból, és még három darab alapterületű és magasságú hasábból. Ráadásul

az és hosszak bármilyen megválasztása mellett!

Az következő ábrákon a ilyen jelentéssel bírnak a színek:

• világoskék: élhosszúságú kocka, térfogata:

•piros: élhosszúságú kocka, térfogata:

•zöld: alapterületű és magasságú hasáb, térfogata:

• sárga: alapterületű és magasságú hasáb, térfogata:

Meg merem ama kijelentést,

hogy az ábrák teljesen érthetőek, és nem

kell mondanom róluk semmit. Esetleg

annyit, de azt is csak az Emese kedvéért;

mert úgy is mindjárt megkérdezi;…

…hogy a sárga, egészen véletlenül lett

-

∎

Állítólag, bizonyos típusú kómában lévők is hallják, mikor hozzájuk beszélnek, ezért

bátorkodom az alvó hallgatóság láttán is megjegyezni, hogy talán sokan észrevették, hogy a nem csak

a kockák térfogatai vannak ebben az azonosságban, hanem a hasáboké is. A zöld hasábok térfogata

egyenként , a magukat Micimackónak álcázó hasáboké pedig egyenként . Egyébként ez

mondtam el az előbb is, de inkább többször, és még annál is többször…

Bizonyítás:

3

Miként az imént felhasználtuk, hogy a harmadik hatvány a második és első hatvány szorzata, itt sem

fogunk ettől ódzkodni. 3 Ez az algebra régi magyar neve. Maga az algebra szó, jelent, amit a spanyol

nyelv is őriz. Régies spanyol nyelven a mondják -nak is. (Ejtsd:

És hogy Emesét idézzem, „a négyzetest már megoldotta valaki”, így ezt ismerjük.

Itt is azt a tényezőt fogom bomlasztani, amelyiknek kevesebb tagja van:

A mínusz előjel miatt nem bontottam fel a szorzás közben a második zárójelet. Gondoltam a vaksikra

is, Pistike. Most viszont felbontom, tehát minden tag, aki a zárójelben volt ellentettjére vált.

Ezt már csak össze kell gyűjtögetni, mint a bogyókat, az meg a csajoknak jól megy, ugye Béla?

.

∎

Hogy miért? Csak most tűnt fel? Az előbb is használtuk, ott értetted? Az és az

ezért az emilyent tartalmazó tagok összevonhatóak, és az amolyant tartalmazóak is összevonhatóak,

de szigorúan csak egymás közt és nem keverve őket! Vagyis ha meglátom, hogy valaki az -t

összemerészeli vonni a -tel, akkor attól elveszem az alkoholt, mert ezekszerint már nagyon

megromlott a tőle a látása.

Mielőtt erre adok geometriai szemléltetést, megemlítem, hogy a bizonyítás az is lehetett

volna, hogy az előbbi , azonosságba a helyére mindenhol mínusz -t írva , rém

egyszerűen megkapjuk a jelenlegi azonosságot. Tessék kérem kipróbálni! Ez mindig eljátszható, ha

egy képlet csak annyiban különbözik egy másiktól, hogy adott paraméterre/változóra nézve

ellentétes előjelű mindenhol, akkor mindig élhetünk ezzel a trükkel.

Előbb egy kicsit pofozzuk át az azonosságot! Ez a lényegen nem változtat, viszont nagyon

megkönnyíti az ábrázolást. Az eredeti alakban ugyanis, nem csak levonni kell térfogatokat, hanem

még hozzá is adni.

Ehelyett emeljünk ki a jobboldal két tagjából, -ből, a -t!

Ezt beírva:

Ennek jelentése nem más, minthogy az ( élhosszú kocka térfogata, megegyezik azzal, ha az

élhosszú kockából elveszünk darab térfogatú hasábot és még egy élhosszú kockát is.

Az ábrák színkódja:

• lila: élhossúságú kocka, térfogata:

• sárga: élhosszakkal rendelkező téglatest, térfogata:

• kék: élhosszakkal rendelkező téglatest, térfogata:

• zöld: élhosszakkal rendelkező téglatest, térfogata:

• bordó: élhosszúságú kocka, térfogata:

Na és hol van az térfogatú kocka? Az éppen maga a teljes összerakott tarka-barka kocka. Miként

arra magad is rájössz, ha megnézed az ábrákat. Vegyük még azt is észre, hogy a kék és a zöld együtt

éppen egy sárgát ad ki! Az utolsó két ábra is ezt próbálja érzékeltetni.

Ez utóbbi állítás, számítással is könnyen kijön:

És ez ténylegesen éppen a sárga téglatest térfogata. Az ábrák pedig:

Bizonyítás:

Bontsuk fel az egyik tényezőt! Naná, hogy a kevesebb tagút…

És most elvégezve a szorzásokat:

A zárójelesek éppen nullákat adnak, mert ugyanaz a két tag van egy zárójelen belül csak ellentétes

előjellel:

∎

Vegyük észre, hogy a kifejezés baloldala így is írható:

Ami éppen három hasáb térfogatának az összege. Ha ehhez még hozzáadjuk a jobboldali -öt,

vagyis egy -élű kiskocka térfogtát, akkor ezt kapjuk:

Így viszont ez az egész éppen a nagykocka, az -élű kocka térfogatával egyenlő a bizonyítandó képlet

szerint, mivel ekkor a jobboldalhoz is hozzáadtuk az addig mínuszban ott lévő, s ekképpen éppen

hogy kimondottan hiányzó -öt. Vagyis három hasáb és egy kiskocka kitesz egy nagykockát. Feltéve

persze, hogy a következő élhosszakkal rendelkeznek a hasábok és a kockák:

:

Egyszerűen végezzük el a szorzást a jobboldalon! Pontosabban imitáljuk azt!

Vagyis:

Vegyük észre, hogy a legelső és legutolsó tagon kívül minden más kiesik. Tehát csak ez marad:

∎

Mivel ez utóbbit is beláttuk, most már senki nem mondhatja, hogy nem találkozott vele! Aki ezt fogja

állítani, azt ott helyből nyomban megfujtogatom. Ne vegyen még levegőt sem az ilyen hazug

mihaszna! És remélem a fujtogatásra mindenki fog ömlékezni, így majd hivatkozhatok reája.

------------------------------------------------------------------------------------------------

Nézzünk néhány alkalmazást az összes eddigi azonosságra!

Itt nyilván az azonosság ismerete lesz segítségünkre. Az és

szereposztás a kézenfekvő, de akár fel is cserélhető a két szerep. Tehát:

Már csak a négyzeteket kell kiszámolni és a szorzást elvégezni. Mivel a számok szorzása a tényezők

sorrendjétől független, ezért nem meglepő, hogy a számokat ténylegesen összeszorozzuk, a betűket;

lévén, hogy azok bármilyen értéket felvehetnek, így nem írhatunk helyettük konkrét számértéket;

egyszerűen csak egymásmellé helyezve jelezzük a szorzás tényét:

Ami nem más, mint:

Vagyis:

:

― Miért van ott az a „kettes”? ― jön hátulról a kérdés. Erre csak egyetlen szóval tudok felelni:

ÁÁÁÁÁ! Hol voltál eddig? Nem figyelsz? Tessék vissza lapozni!

Vagyis:

Hatvány hatványozása a kitevők szorzását jelenti:

Vagyis:

A hatványozások4 és szorzás elvégzése:

Vagyis:

4 A , az kérem, a nem megfelelően elvégzett hatványozás.

Valójában a csillagos nem is nehéz, csak az ijedősek dőlnek be neki!

Itt nyílván az azonosságot fogjuk alkalmazni. Hiszen a zárójelben mínusz

van és nem plusz a két tag között.

Hogy mééé? Azéé! Tessék megnézni azt a részt ahol levezettük! Hogyan olvasol öcsém? Nem

figyelsz? Minek van a szemed?

Vagyis:

― Úgy sejtem, most jön az a duma, hogy „nincs mitől rinyálni”. ― mondja Piroska.

Úgy van! Ha valaki azt mondaná, hogy „hé, honnan tudjam, hogy mennyi az az !”, arra azt

felelném, hogy „teljesen mindegy”. Az -t sem tudjuk, hogy mennyi, ha nem tudjuk mennyi az . De

így is, meg úgy is ugyanolyan módon kell alkalmazni a szabályt.

Mivel a hatvány hatványozása a kitevők szorzását jelenti:5

De írhattuk volna azt is, hogy

5 A magyarázatot lásd a c. fejezetben. Még nem volt, majd eztán lesz a könyvben.

Ne is várja senki azt, hogy szépen sorban van megírva és összerendezve ez a könyv!

Hiszen a , miként azt majd látjuk a hatványozás azonosságainál.

Tényleg azt hitted, hogy itt csak olyat kell tudni, amit már tényleg tudsz is?

― Ez nagyon zora! ― hallatszik a homályból.

― De bezzeg a azt meg merted nézni, mi? Ettől mégis megijedsz. ÁÁ!

Amúgy meg volt ilyesmi a háziban, így most csúnyán lebuktál. Ha megkérdezted volna a házival

kapcsolatban, hogy azt miként kellett volna megcsinálni, akkor legalább úgy tűnt volna, mintha

foglalkoztál volna a házival. A házi feladat nem azért házi, mert a házinéni dolga megcsinálni! Neked

kell elvégezned!

Nem baj majd láttok még ilyet. Semmi rendkívüli nincs benne.

Tehát az eredmény:

De így is igaz:

Vagyis:

― Fúj! Ez undorítóan könnyű volt! ― kiált fel Emese.

Igaza van Emesének, inkább legyen a többi ilyen házi.

És kimondottan a Piroskának egyet:

Na, jó. Csak vicceltem. Még egyet:

― Laci, hogy nem esz meg a kórság! ― ordítja Piroska.

― Téged meg a farkas!

Vajh milyen azonosságra lesz szükségünk itt, ha nem akarjuk végigszorozgatni a jövő hetet is? Naná

hogy az lesz a nyerő. Egyetértünk?

― Nem! ― felenek kórusban.

Akkor jó, már azt hittem, hogy trükköztök valamit. De már látom, minden O.K.

Vagyis:

Vagyis:

― Laci, most miért nem magyarázol semmit? Csak írsz, meg írsz a táblára, és nem értünk egy

kukkot se. ― méltatlankodik Pistike.

― Nincs ezen mit magyarázni. Ha nem értitek, az azért van, mert nem tanultok, büdös kölkei.

Vagy azért, mert elírtam valamit. De azt meg úgy sem vagyok hajlandó beismerni. Ha vita van, és nem

tudjuk, kinek van igaza, döntsük el az alapján, hogy ki tud jobban hazudni! Biztosan én fogok nyerni.

Vannak benne mínuszok. Megijedünk tőle? …( nagy csend ).. persze, hogy nem ijedünk meg! Aki félős

az ne járjon az én órámra. Egyébként meg nem hiszem el, hogy annyira félősek lennétek, mert ma

sem sminkeltem ki magam és mégsem sírtátok el magatokat.

Csak annyiban lesz más, hogy figyelni kell egy kicsit. Amely tagokban egy ilyen mínuszos fickó

szorzata fordul elő, ott mínusz lesz az előjel. Ha kettő van belőlük, akkor nem lesz negatív. Több

mínuszos meg nem lesz, mint kettő egy tagban, hiszen négyzetre emelünk. Vajh méé? Nem mondom

meg, tessék elgondolkodni rajta. Ha nem megy, akkor tessék Dr. Csókai Andrást keresni, ő híres

agysebész, súlyos esetekben agyátültetést is vállal. Én is azért vagyok olyan okos, mert anyukám látta

őt a tévében és ezt elmesélte a nagymamámnak, amit halottam is, és nekem már ennyi is elég volt.

Amúgy pedig a Besenyő Pista bácsi is megmondta.

Vagyis:

További házi feladat, hogy mindazon nevezetes algebrai azonosságokat, akiket itt ellustálkodtam

bemutatni, vagy példát adni rá, te magad próbáld bizonyítani, ill. példát keresni rá! Hol keresd őket?

Tankönyveidben, interneten, füzetedben, pincében, padláson, sarokban, utcán, villamoson.

Alkalmazhatod az itt látott módszereket, vagy kipróbálhatsz saját elképzeléseket is. Azokból fogod

csak igazán megérteni amit köll.

∎∎