1

Számítógépes algebrai problémák a geodéziában

Készítette: Zaletnyik Piroska

BevezetésJoseph L. Awange, Erik W. Grafarend: Solving Algebraic Computational Problems in Geodesy and Geoinformatics, Springer, 2004

Geodéziai, geoinformatikai feladatok → nem lineáris algebrai problémák megoldása

Számítógépes algebrai szoftverek ismerete (Mathematica, Maple, Matlab)

Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása → többnyire egyenletek linearizálása, nem zárt képletek, nem egzakt megoldás

Nemlineáris, többváltozós egyenletrendszerek megoldása

n=m → zárt formulával megoldható

Gyakorlatban közelítő numerikus módszerek a megbízható, egzakt eljárások nehézkessége miatt

Linearizálás, iterációk, közelítő kezdeti értékek felvétele

Bizonyos esetekben a numerikus módszer instabil, vagy a kezdeti értékek rossz becslése miatt nem konvergál

Hagyományos megoldás hiányoságai

Részleges megoldásban használt linearizálás során az egyenlet gyökeinek megtalálásában vétett kis hiba, a számítások kiterjesztésekor a teljes megoldásra, nagymértékben növekedhet

A nem lineáris hatásokat figyelmen kívül hagyja

Többnyire iteráció szükséges

Nagyon fontos a helyes kezdeti érték felvétel

Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása zárt képletekkel

Számítógépek teljesítményének növekedése, algebrai szoftverek

Egzakt eljárások kidolgozása: Gröbner bázisok, Buchberger algoritmus, multipolinomiális rezultáns, Sylvester rezultáns, Macaluay, Strumfels formulák

Alapelv: többváltozós nemlin. egy. rsz.-nél a változók számát egyre lecsökkentik, innen egyszerű gyökkeresés (pl. roots parancs)

Túlhatározott egyenletrendszerek

Egzakt megoldások keresése n=m esetében

Ill. egzakt megoldás, amikor n>m

Több mérés, mint ismeretlen (pl. 7 paraméteres koordináta transzformáció)

Megoldás: Gauss-Jacobi kombinatorikus algoritmus

Gröbner bázisok eredete

Zárt képletek nemlineáris többváltozós egyenletrendszerek megoldására

W. Gröbner javasolta 1949-ben, tanítványa Buchberger dolgozta ki részletesen 1965-ben (közben tőlük függetlenül 1964-ben Hironaka is alkalmazta ugyanazt)

Buchberger nevezte el Gröbner bázisnak az alkalmazott formulát

Gröbner bázisok

Nemlineáris, többváltozós egyenletrsz-ek „legnagyobb közös osztói”

Lineáris egyenletrendszerek Gauss eliminációs megoldásával analóg eljárás

Gröbner bázisok

f1=0, f2=0

22222221 22 xyxxyyyxfyf

323222221 2222)(2 xxxxyxxyfxfyf

3221 2)2(2 xxfxfy

Buchberger algoritmus

Buchberger algoritmus

Buchberger algoritmus

Buchberger algoritmus

Buchberger algoritmus

363 zzgg

Sylvester rezultánsKétváltozós, homogén polinomok esetében

Sylvester rezultáns

Gauss-Jacobi kombinatorikus algoritmus

Általában több a mérés, mint az ismeretlenek száma

Lineáris egyenletrendszer esetében alkalmazható a legkisebb négyzeteken alalpuló, lineáris Gauss-Markov modell

Nem lineáris esetben linearizálás szükséges, megfelelő kezdeti értékek felvétele és iteráció

Gauss-Jacobi kombinatorikus modell

Nem szükséges linearizálni

Nincs szükség iterációra

Minden paraméter variancia-kovariancia mátrixa számításba vehető

Ki lehet szűrni a durva hibás méréseket

n>m esetben alkalmazható

Gauss-Jacobi kombinatorikus modell

Pl. ívmetszés (síkban) kettőnél több mért távolsággal

Gauss-Jacobi kombinatorikus

Pl. 3 mért távolság → 2 szükséges az egyértelmű megoldáshoz

Minden 2-es kombináció (jelen esetben 3) kiválasztása, megoldása pl. Gröbner bázisok segítségével

Gauss: megoldás súlyozott számtani közép (súlyok távolságok négyzetétől függenek)

Tőle függetlenül Jacobi is kitalálta a módszert (súlyok: determináns négyzete)

Gauss-Jacobi: megoldandó kérdés maradt a nemlineáris egyenletrendszerek esete

Gauss-Jacobi kombinatorikus modell

Gauss-Jacobi kombimatorilus modell

Lineáris esetben a megoldás megegyezik a lineáris Gauss-Markov modellel

Ellenkező esetben a variancia-kovariancia mátrix meghatározható nem lineáris hibaterjedési törvények alkalmazásával

Végeredmény a speciális lineáris Gauss-Markov modellel számítható (az egyenletek linearizálására csak a variancia-kovariancia mátrix levezetésekor van szükség)

Gauss-Jacobi kombinatorikus megoldás

Nem lineáris egyenletrendszerek megoldása

GPS helymeghatározás

GPS helymeghatározás

GPS helymeghatározás

GPS helymeghatározás

152

56

!2!4

!6

4

6

kC

GPS helymeghatározás

GPS helymeghatározás

GPS helymeghatározás

GPS helymeghatározás

Nemlineáris hibaterjedési törvények → variancia-kovariancia mátrix → súlyok számítása a megoldáshoz

A maradék eltérések nagyságrendileg azonosak mind a lineáris Gauss-Markov modell, mind a kombinatorikus Gauss-Jacobi modell esetében

Ha a felhasználó a hagyományos lineáris kiegyenlítést választja, a Gauss-Jacobi megoldás akkor is jól használható a kezdeti értékek jó megválasztásához, a gyors konvergáláshoz

Egyéb alkalmazások

Hátrametszés 2 és 3 dimenzióban is

Előmetszés 3 dimenzióban is

GPS meteorológia (pl. refrakciós szögek meghatározása, CHAMP adatok elemzése)

7 paraméteres koordináta transzformáció

Durva hiba szűrés

ÖsszefoglalóA bemutatott módszerek új eszközei a nemlineáris egyenletrendszerek kezelésének a geodéziában

Egzakt megoldást szolgáltatnak a problémákra.

Nincs szükség linearizálásra (csak a kovariancia mátrix meghatározásához),

se kezdeti érték felvételére,

se iterációkra.

Alkalmazásuk a mai számítógépes algebrai szoftverek használatával nem jelent nehézséget.

Köszönöm a figyelmet!