2013.01.23.

Az informatika logikai é s algébrai alapjai

Készítette: Gaál Péter

Marosvölgyi Gergely

1

Halmazelmélet: Alaphalmazok:

ℕ természetes számok halmaza (1, 2, 3, … )

ℕ0 nemnegatív egész számok halmaza (0, 1, 2, … )

ℤ egész számok halmaza (- … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 … )

ℚ racionális számok halmaza (felírhatók két egész szám hányadosaként, pl. 1/2, -3/4 stb.)

ℚ* irracionális számok halmaza (nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, pl. √ )

ℝ valós számok halmaza (ℝ = ℚ ∪ ℚ* diszjunkt halmazok, tehát nincsen metszetük)

ℂ komplex számok halmaza (ℝ végső kiterjesztése)

Reláció: ℕ ⊂ ℕ0 ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ ℚ* ⊂ ℝ ⊂ ℂ

/Legyen U egy rögzített univerzum, A és B tetszőleges halmazok./

Az üres halmaznak nincsen eleme (de minden más halmaznak eleme). Jelölése: vagy { }

Két halmaz egyenlő, ha elemeik megegyeznek.

B részhalmaza A halmaznak, ha B minden eleme benne van A halmazban is. Jelölése: B ⊆ A

B halmaz valódi részhalmaza A halmaznak, ha B-nek van olyan eleme, mely A-nak nem eleme,

tehát B ⊆ A és A ≠ B. Jelölése: B ⊂ A

A halmaz összes részhalmazainak halmazát A hatványhalmazainak nevezzük. Jelölése: (A)

Cantor-tétel: Bármely halmaz számossága kisebb, mint hatványhalmazainak számossága: |A|<| (A)|

A és B halmaz metszete azon elemek halmaza, amelyek megtalálhatóak A és B halmazban is. Jelölése: A B

A és B halmaz uniója azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyikben megtalálhatóak. Jelölése: A ∪ B

A és B halmaz különbsége azon elemek halmaza, amelyek megtalálhatóak A-ban, de B-ben nem. Jelölése: A \ B

A és B halmaz szimmetrikus különbsége azon elemek halmaza, amelyek csak az egyik halmazban találhatóak

meg. Jelölése: A Δ B [mely felírható így: (A \ B) U (B \ A) vagy így: (A U B) \ (A B) ]

Az U \ A különbséghalmazt, A komplementerének nevezzük. Jelölése: ̅

Halmazműveletek tulajdonságai:

A ∪ A = A A A = A idempotencia*

A ∪ B = B ∪ A A B = B A kommutativitás (felcserélhetőség)

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A (B C) = (A B) C asszociativitás (csoportosíthatóság)

A ∪ (B C) = (A ∪ B) (A ∪ C) A (B ∪ C) = (A B) ∪ (A C) disztributivitás (szétbonthatóság)

A ∪ (A B) = A A (A ∪ B) = A abszorptivitás (elnyelődés)

¬(A ∪ B) = (¬A) (¬B) ¬(A B) = (¬A) ∪ (¬B) De-Morgan azonosságok

*Ha egy kétváltozós (bináris) műveletet elvégzünk egy operanduson (itt: A), és eredményként az eredeti

operandust kapjuk, akkor a műveletet idempotensnek nevezzük.

Azon logikai/halmazelméleti kifejezéseket, melyeknél az unió és a metszet (logikában a VAGY és az ÉS) műveleti

jelek felcserélésével az állítások igazságtartalma továbbra is megmarad, egymás duálisainak nevezzük (dualitás).

(A fentebbieknél a két oszlopbeli kifejezések soronként egymás duálisai.)

(a, b) rendezett elempár, ahol a-t az első, b-t a második komponensnek nevezzük.

Azon (a,b) rendezetett elempárok halmazát, ahol a ∈ A és b ∈ B is teljesül, A és B halmazok Descartes-szorzatának

nevezzük. Jelölése: A x B [ejtsd: A kereszt B]

2

A x A esetén gyakran A2-et írunk, amit Descartes-négyzetnek hívunk.

Megfeleltetés: /Legyenek A és B tetszőleges halmazok./ Az A x B halmaz részhalmazait az A halmaz B halmazba történő megfeleltetésnek nevezzük, ahol A az indulási halmaz, B pedig az érkezési halmaz. Jelölése: ρ: A→B

Értelmezési tartomány azon A halmaz elemeinek halmaza, amelyekhez legalább egy B halmazbeli elem hozzá van rendelve.

Értékkészlet azon B halmaz elemeinek halmaza, amelyek hozzárendelhetőek valamilyen A halmazbeli elemhez.

Identikus megfeleltetésnek nevezzük A→A történő megfeleltetést.

Megfeleltetés inverze a B→A történő megfeleltetés.

/Legyen ρ: AB történő megfeleltetés és σ: B→C történő megfeleltetés./

Megfeleltetések szorzata ρ és σ szorzata, vagyis az A→C történő megfeleltetés.

Leképezés: /Legyenek A és B tetszőleges halmazok és ρ: A→B történő megfeleltetés./

A halmazt B halmazba képező parciális leképezésnek nevezzük, ha minden A halmazbeli elemhez legfeljebb egy

B halmazbeli elem van hozzárendelve, azaz (a,b) ∈ ρ.

Ekkor az A halmaz elemei a leképezés ősei, B halmaz elemei a leképezés képei.

A halmaz B halmazba történő megfeleltetését leképezésnek nevezzük, ha bármely A-beli elemnek pontosan egy

képe van.

/Legyen ρ: A→B történő leképezés./ ρ szürjektív leképezés, ha minden

B halmazbeli elemnek létezik őse.

ρ injektív leképezés, ha minden B

halmazbeli elemnek legfeljebb egy

őse van.

ρ bijektív leképezés, ha az

szürjektív és injektív leképezés.

3

Permutáció: Permutációnak nevezzük az önmagába mutató bijektív leképezést.

/Ha például A egy csomag kártya, a kártyák összekeverésével A egy permutációját állítjuk elő./ /Legyen π∈Sn tetszőleges permutáció./ Vegyük észre, hogy 1σ = 6, 5σ = 5, 6 σ = 6, míg xσ = x, ha x = 2,3,4,7. Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy σ permutáció mozgatja az i ∈ {1, …, n} elemet, ha iπ ≠ i. Tetszőleges π ∈ Sn permutáció esetén a π által mozgatott elemek halmazát Mπ-vel jelöljük. /Legyen π ∈ Sn tetszőleges permutáció, továbbá |Mπ| = k > 1 a mozgatott elemek halmazának hossza./ Ha léteznek olyan a1, …, ak ∈ {1, …, n} elemek, hogy Mπ = {a1, …, ak} és a1π = a2, a2π = a3, …, ak-1π = ak, akπ = a1, akkor azt mondjuk, hogy π ciklikus permutáció, vagy röviden ciklus. Ez esetben a π-t így jelöljük: (a1, …, ak), a k számot pedig a ciklus hosszának nevezzük. A 2 hosszúságú ciklusokat transzpozíciónak nevezzük.

Reláció: /Legyenek A és B tetszőleges halmazok./ A reláció olyan megfeleltetés, ahol az indulási és az érkezési halmaz azonos. Jelölése: ρ ⊆ A x A

Ha adott egy reláció A halmazon, akkor A halmazt és a relációt együtt irányított

gráfnak nevezzük. Az A halmaz elemeit az irányított gráf pontjainak, a reláció

elempárjait pedig az irányított gráf éleinek nevezzük. Ha (a,b) a gráf éle, akkor

a-t az él kezdőpontjának, b-t pedig az él végpontjának hívjuk.

A séta olyan csúcspontok sorozata, melyek egymás után relációban állnak

egymással. Zárt sétáról akkor beszélünk, ha a kezdő és a végpont megegyezik

(a0 = an), ellenkező esetben nyílt sétáról beszélünk. Egy séta ismétlődhet.

Az út olyan séta, ahol a csúcspontok páronként különbözőek. Egy út nem ismétlődhet.

Relációk tulajdonságai:

reflexív: ha A minden eleme relációban áll önmagával (Pl.: egyenesek párhuzamossága, mert minden egyenes párhuzamos önmagával)

nem reflexív: ha létezik olyan A-beli elem, amelyik nem áll relációban önmagával (Pl.: nemnegatív számoknál az oszthatóság, ahol a 0 az egyetlen elem, mely nem osztható önmagával)

irreflexív / antireflexív: ha A egyik eleme sem áll relációban önmagával (Pl.: bármely halmazon az egyenlőtlenségi reláció, hiszen egyik szám sem kisebb/nagyobb önmagánál)

szimmetrikus: ha A minden eleme között kölcsönös reláció áll fenn (Pl.: halmazoknál az ekvivalenciareláció, ugyanis ha A egyenlő B-vel, akkor B is egyenlő A-val)

nem szimmetrikus: ha létezik olyan elempár, melyre nem teljesül a reláció kölcsönösen (Pl.: rész-egész példák: minden bogár rovar, de nem minden rovar bogár)

antiszimmetrikus: ha egy reláció kölcsönös teljesüléből következik, hogy a = b (Pl.: valós számoknál a ≤ (vagy a ≥) reláció: ha a ≤ b és b ≤ a, akkor a = b)

aszimmetrikus: ha egy reláció sosem teljesül kölcsönösen (Pl.: valós számoknál a < (vagy a >) reláció: nincs két olyan szám, melyre a < b és b < a egyidejűleg teljesülne)

dichotóm: ha egy reláció legalább az egyik irányban teljesül

tranzitív: ha a és b, valamint b és c relációban áll egymással, akkor a és c is relációban áll egymással (Pl.: ha a < b és b < c, akkor a < c) Megjegyzés: a tranzitivitás akárhány elemre öröklődik, tehát pl.: a1 < a2 < … < an a1 < an

A ̂ = ρ U ρ1 U ρ2 U … U ρn relációt ρ tranzitív lezártjának nevezzük (ρ = ρ0).

/Pl.: ρ = {(1,2), (2,3), (3,4), (5,2)} �̂� = {(1,2), (2,3), (3,4), (5,2), (1,3), (1,4), (2,4), (5,3), (5,4)}

Tehát az összes lehetséges utat fel kell sorolni./

4

Részbenrendezés: Részbenrendezett halmaznak (vagy más néven parciálisan rendezett halmaznak) nevezünk egy halmazt, ha

definiálva van a halmaz elemein egy részbenrendezés (vagy más néven parciális rendezés), azaz egy reflexív,

tranzitív, antiszimmetrikus reláció. Jelölése: ≤

/Legyen(A, ≤) részbenrendezett halmaz, x egy A halmazbeli elem./ Az x elemet minimális elemnek hívjuk, ha A halmazban minden elem nagyobb vagy egyenlő (≥) nála. Az x elemet maximális elemnek hívjuk, ha A halmazban minden elem kisebb vagy egyenlő (≤) nála . Az x elemet legkisebb elemnek hívjuk, ha A halmazban minden elem nagyobb (>) nála Az x elemet legnagyobb elemnek hívjuk, ha A halmazban minden elem kisebb (<) nála. Részbenrendezett halmaz rendezett részhalmazát láncnak nevezzük.

Ekvivalenciareláció: Egy homogén kétváltozós relációt akkor nevezünk tranzitív relációnak, ha az elempárok azon tulajdonsága, hogy

egymással relációban állnak, „láncszerűen” tovább adódik.

/Pl.: a testmagasság esetében a „magasabbnak lenni” relációnál: ha én magasabb vagyok az apámnál, az apám

pedig magasabb az anyámnál, akkor én magasabb vagyok az anyámnál. /

A reflexív, szimmetrikus és tranzitív relációkat ekvivalenciarelációnak nevezzük.

/Legyen A tetszőleges halmaz, ρ reflexív, szimmetrikus, tranzitív reláció ./ Az A halmazon értelmezett ρ ekvivalenciareláció esetén, valamely A halmazbeli elemmel relációban álló elemek halmazát ekvivalenciaosztálynak nevezzük. Jelölése: A(x) A halmazon értelmezett ρ ekvivalenciareláció esetén, ρ blokkjainak halmazát ρ-hoz tartozó faktorhalmaznak nevezzük. Jelölése: A | ρ

Azt a leképezést, ami az A alaphalmazon

definiált, és értékeit a faktorhalmazból

veszi fel, természetes relációnak

nevezzük. Ez egy szürjektív leképezés és a

leképezés magja egyenlő a relációval.

5

Számosság: Minden halmazhoz rendelünk egy számosságot oly módon, hogy az ekvivalens halmazok számossága egyenlő, a

nem ekvivalens halmazok számossága pedig különbözik. Jelölése: |A|

Két halmaz egyenlő számosságú halmaz, azaz ekvivalens halmaz, ha elemeik között bijekció létesíthető.

Véges halmaz: Ha létezik az ℕ A (= {0, 1, 2, 3 … n} { , a1, a2, a3 … an} ) injekció.

(Pl.: {0, 1, 2}, {3, 4}; véges halmazok halmaza: { {0, 1, 2}, {3, 4}, {5, 6, 7, 8} } )

Véges halmaz tulajdonságai:

A halmaz véges számosságú

A halmaz nem ekvivalens egyik valódi részhalmazával sem

Nem írható fel páronként különböző A elemeiből álló sorozat

Végtelen halmaz:

Egy halmaz megszámlálhatóan végtelen, ha létezik ℕ A (= {0, 1, 2, 3 … n} { , a1, a2, a3 … an} ) injekció.

(Pl.: ℕ, ℤ ℚ)

Egy halmaz megszámlálhatatlanul végtelen, ha nem létezik ℕ A injekció.

(Pl.: ℚ*, ℝ)

Végtelen halmaz tulajdonságai:

A halmaz végtelen számosságú

A halmaz ekvivalens valamely valódi részhalmazával

Felírható páronként különböző A elemeiből álló sorozat.

Egy halmaz kontinuum számosságú, ha számossága megegyezik a valós számok (ℝ) halmazával.

Cantor-Bernstein-Schröder tétel: Ha |A| ≤ |B| és |A| ≥ |B|, akkor |A| = |B|.

/Ha létezik ρ: A→B és σ: B→C injektív leképezések, akkor létezik ψ:A→B bijekció is. Azaz, ha létezik olyan ρ

leképezés, ami az A halmaz elemeihez a B halmaz különböző elemeit rendeli, és egy σ leképezés,

ami B elemeihez A különböző elemeit rendeli, akkor létezik olyan ψ leképezés is, mely A és B elemei között bijekciót

létesít./

Logika: Az ítélet olyan állítás, ami lehet igaz vagy hamis. Ha egy ítélet igaz vagy hamis, akkor azt mondjuk, hogy az ítélet

igazságértéke igaz vagy hamis. Negáció: ¬A (nem A)

/Legyen A és B ítélet. Ekkor:/

A ∧ B (A és B) konjukció

A ∨ B (A vagy B) diszjunkció

A B (ha A, akkor B; „A implikálja B-t”) implikáció

A⇔B (A akkor és csak akkor, ha B; valójában A B ∧ A B rövidebb alakja) ekvivalencia (Jele: ≡)

A B A ∧ B A ∨ B A B A⇔B

igaz igaz igaz igaz igaz igaz

igaz hamis hamis igaz hamis hamis

hamis igaz hamis igaz igaz hamis

hamis hamis hamis hamis igaz igaz

Formula: Logikai változó.

Egy formula részformulája a benne előforduló olyan összefüggő jelsorozat, amely maga is ítéletlogikai formula.

/Legyen F(A1, …, An) és H(A1, …, An) logikai formula./

6

F és H logikai formulák logikailag ekvivalensek, ha mindkét formula ugyanattól a változóktól függ és kiértékelésük

során a két (F és H) logikai értéke azonos lesz. Jelölése: F ≡ H

Két formula logikailag ekvivalens, ha egyforma az igazságtáblázatuk.

A ¬A B A B (¬A) ∨ B

igaz hamis igaz igaz igaz

igaz hamis hamis hamis hamis

hamis igaz igaz igaz igaz

hamis igaz hamis igaz igaz

Legfontosabb ekvivalencia tulajdonságok:

A ∧ B ≡ B ∧ A A ∨ B ≡ B ∨ A Kommutativitás

(A ∧ B) ∧ C ≡ A ∧ (B ∧ C) (A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C) Asszociativitás

(A ∨ B) ∧ A ≡ A (A ∧ B) ∨ A ≡ A Abszorptivitás

(A ∨ B) ∧ C ≡ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) (A ∧ B) ∨ C ≡ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) Disztributivitás

A ∧ A ≡ A A ∨ A ≡ A Idempotencia

¬(¬A) ≡ A

¬(A ∨ B) ≡¬ A ∧¬ B ¬(A ∧ B) ≡¬A ∨¬B De-Morgan azonosság

¬A ∧ A ≡¬ B ∧ B ¬A ∨ A ≡¬ B ∨ B

(¬A ∧ A) ∨ B ≡ B (¬A ∨ A) ¬B ≡ B

Teljes diszjunktív normálforma (TDNF): konjunkciók diszjunkciója (azaz: ÉS-eket VAGY-oljuk)

minden ki formula logikai változó

nincs két azonos diszjunktív tag

minden diszjunktív tag tartalmazza állítva (ponálva) vagy tagadva (negálva) az összes változót

Pl.: ∧ ̅ ∧ ∨ ̅ ∧ ∧ ∨ ̅ ∧ ∧ ̅

NEM TDNF: ∧ ∨ ̅ ∨ ̅ ∧ ∧ ̅

Teljes konjunktív normálforma (TKNF): diszjunkciók konjunkciója (azaz: VAGY-okat ÉS-eljük)

minden ki formula logikai változó

nincs két azonos konjunktív tag

minden konjunktív tag tartalmazza állítva (ponálva) vagy tagadva (negálva) az összes változót

Pl.: ∨ ∨ ∧ ∨ ∨ ∧ ( ∨ ∨ )

NEM TKNF: ∨ ∧ ∧ ∨ ∨

7

Tautológia: A tautológia olyan formula, amelynek bármely kiértékelése (azonosan) igaz lesz. Jele: ⊨

Ha egy tautológia változóit tetszőleges formulákkal helyettesítjük, ismét tautológiát kapunk.

Ha egy tautológia valamely részformulája helyébe vele logikailag ekvivalens formulát írunk, ismét

tautológiát kapunk.

/Legyen F1, …, Fn és G tetszőleges formulák. F1, …, Fn |= G /

G logikai következménye F1, …, Fn formuláknak, ha minden olyan esetben, amikor F1, …, Fn formulák igazak, akkor

a G formula is igaz lesz. Ekkor F1, …, Fn-t premisszáknak, G-t pedig konklúziónak nevezzük.

Kontrapozícióval történő bizonyításról akkor beszélünk, ha egy állításról úgy mutatjuk meg, hogy a premisszákból

következik, hogy az állítás tagadását vesszük fel premisszaként egy meglevő premissza helyébe, s belátjuk,hogy

ezekből következik az elhagyott premissza tagadása (pl. matematikában az indirekt bizonyítás).

Komplex számok: A komplex szám kanonikus alakja: , ahol a komplex szám normál alakja, a valós része,

pedig a képzetes (imaginárius) része. (Könnyű belátni, hogy esetén megkapjuk a valós számokat.)

A komplex szám trigonometrikus alakja:

A komplex szám exponenciális alakja:

z konjugáltja: ̅

z additív inverze:

Komplex szám hossza (abszolút értéke): √

Komplex számok:

Összeadása:

Valós számokhoz hasonlóan, pl.:

Kivonása:

Valós számokhoz hasonlóan, pl.:

Szorzása:

Valós számokhoz hasonlóan, pl.: – (mert )

Osztása:

Trükk: bővítsünk a nevező konjugáltjával, pl.:

=

=

=

Hatványa:

Inverze: ̅

Komplex szám n-edik gyöke:

egy n-edik gyök komplex számnak n darab különböző gyöke van:

√

√

gyökei az egységgyökök. ek = ,

n-edik egységgyökök felírhatóak az e1

hatványaiként: 1, e1,

, azaz k helyébe be kell helyettesíteni n darab egymást követő egész számot

(tetszőlegesen behelyettesíthetünk, de számolási szempontból célszerű a {0, 1, 2, … n}-t választani).

A – (valós-képzetes) koordinátasíkon a gyökök valójában egy n-oldalú szabályos sokszög csúcspontjait adják ki.

Pl.: √ √

√ (√ )

( ( (

√

)

) (

(√

)

)) √

( (

)

(

)) √

( (

) (

)) √

( (

) (

))

8

Most írjunk be k helyébe 3 darab egymást követő egész számot, pl.: a 0-t, az 1-et és a 2 –t; ekkor:

√

( (

) (

)) √

( (

) (

))

√

( (

) (

)) √

( (

) (

))

√

( (

) (

)) √

( (

) (

))

Ezek a csúcspontok egy origó középpontú, √

sugarú körvonalon helyezkednek el, szabályos háromszöget

alkotva. Más k értékekre csupán önmagába forgatnánk ezt a háromszöget, de az eredmény nem változna.

A szög kiszámolása:

Mivel a, b és r egy derékszögű háromszöget alkot, így a szöget egy számunkra kényelmes szögfüggvény inverzével

könnyedén kiszámíthatjuk. Általában a tangens a legkézenfekvőbb (

), mert ahhoz elég a két megadott

együttható, így a -t megkapjuk a következőképpen: (

)

Megjegyzés: Amikor a valós rész (a) nulla, akkor a tangens nem létezik (révén, hogy 0-val nem lehet osztani), ezért

ilyenkor célszerűbb a szinusz-függvényt használni, mert az a koszinusszal ellentétben (ami csak 0 lenne) már

árulkodik a szög nagyságáról:

√

Tehát -ből már tudni fogjuk, hogy

, -ből pedig, hogy

, az ábra felrajzolása nélkül.

Euler-formula:

9

Absztrakt algebra: Az (A,F) párt, ahol A egy nem üres halmaz, F pedig A halmazon értelmezett műveletek egy halmaza, algebrai

struktúrának, azaz algebrának nevezzük.

/Legyen A tetszőleges halmaz, ⊕ A halmazon egy művelet. /

Az a∈A elemen értelmezett ⊕ asszociatív művelet, ha (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)

Az a∈A elemen értelmezett ⊕ kommutatív művelet, ha a ⊕ b = b ⊕ a

Az egy alapműveletű, kétváltozós algebrákat grupoidoknak nevezzük.

A félcsoport olyan gruppoid, ahol egy művelet asszociatív.

Az egységelemes félcsoportokat monoidnak hívjuk. Monoidban minden elemnek legfeljebb egy inverze van.

(A, ⊕) algebrai struktúra csoport, ha a ⊕ művelet:

félcsoport

minden elemének létezik inverze.

Ha egy csoportban a művelet kommutatív, akkor kommutatív csoportnak hívjuk, vagy más néven Abel-

csoportnak.

[H] részcsoport, ha:

zárt a ⊕ műveletre

1 = a a-1 a, a-1∈H

invertálható

Az egy elem által generált csoportokat ciklikus csoportnak nevezzük, ha vagy végtelen vagy véges sok elemből áll.

Jelölése: [a]

(A, ⊕, +) algebrai struktúra gyűrű, ha:

(A, +) algebrai struktúra Abel-csoport

(A, ⊕) algebrai struktúra félcsoport

Disztributív a szorzásra nézve

Testnek nevezzük az olyan kommutatív gyűrűt, amelyben nullától különböző elemek a szorzásra nézve csoportot

alkotnak. Ez a test multiplikatív csoportja.

σ(a) az a elem rendje: a legkisebb olyan pozitív k egész szám, melyre ak = 1 vagy ha nincs ilyen pozitív szám, akkor

végtelennek definiáljuk.

/Legyen |G| (G elemszáma) G rendje. [G:H] H részcsoport G-re vonatkozó indexe egyenlő a H által meghatározott

mellékosztályok számával. /

Lagrange-tétel: |G| = [G : H] |H|

Lagrange-tétel következményei:

Részcsoport rendje osztója a csoport rendjének.

a elem rendje osztója a csoport rendjének. σ(a) | |G|

Két algebra azonos típusú, ha ugyanannyi művelet van definiálva mindkét halmazon: (A, ⊕), (B, +)

Ha egy leképezés művelettartó (a1 a2) φ = (a1φ) (a2φ), homomorfizmusnak nevezzük. A bijektív

homomorfizmust izomorfizmusnak hívjuk.

(B , ) részalgebrája (A ,◦), ha B⊆A és B zárt ◦ műveletre.

10

/Legyen A tetszőleges halmaz. /

[H] = {azon elemek halmaza, amelyek A halmazbeli elemekből kiindulva az adott művelet véges sok lépésben

alkalmazva kapható}. ([H], ) a legszűkebb részalgebra, amely tartalmazza az összes A halmazbeli elemet. [H] A

halmaz által generált részalgebra, azaz A halmaz generátorrendszere.

Az e elem A egységeleme, ha a ⊕ e = e ⊕ a = a minden a∈A elemre.

Az i elem A zéruseleme, ha a ⊕ i = i ⊕ a = a minden a∈A elemre.

Invertálás tulajdonságai:

Ha (A, ⊕) félcsoportban egy a∈A elemnek létezik inverze, akkor az egyértelmű. (a-1)

Ha (A, ⊕) félcsoportban egy a∈A elemnek létezik inverze, akkor (a-1)-1 = a

Ha (A, ⊕) félcsoportban a1 és a2 elemnek létezik inverze, akkor a1 ⊕ a2 nek is létezik inverze.

(a1⊕a2)-1 = a2

-1•a1-1

Ha (A, ⊕) félcsoportban a1, …, ak elemek létezik inverze, akkor (a1⊕ … ⊕a2) -1=ak-1⊕ … ⊕a1

-1

multiplikatív additív

Csoport, félcsoport (A, ⊕) (A, +)

Egységelem 1 0

a∈A inverze a-1 -a

Inverz inverze (a-1)-1=a -(-a)

Szorzat inverze (a b)-1 = b-1 a-1 -(a+b) = -b + -a

a∈A n-edik hatványa (n∈ℕ) an = a … a n a = a+…+a

a∈A 0-adik hatványa a0=1 0 a = 0

a∈A –n-edik hatványa (n∈ℕ) a-n = (a-1)n = (an)-1 (-n) = n (-a) = -(a n)

Hatványozás azonosságai an am = an+m (an)m = an m

(a b)n = an bn, ha a b = b a

m a + n a = (m+n) a n (m a) = (n m) a

n (a+b) = n a+n b, ha a+b = b+a