Glava 6

FURIJEOVA TRANSFORMACIJA

Po teoriji Furijeovih redova, svaki periodičan signal možemo predstaviti zbirom beskonačno mnogo ortogonalnih funkcija. Budući da predstava signala preko Furijeovog reda omogućava potpuno drugačiji uvid u karakteristike signala u odnosu na vremenski domen, prirodno se postavlja pitanje da li je moguće ideju razlaganja signala na njegove prostoperiodične komponente proširiti i na neperiodične signale. Posmatrajući neperiodičan signal kao periodičan signal sa beskonačno velikim periodom, Furijeova transformacija proširuje ovakav koncept razlaganja signala i na neperiodične signale.

Prilikom sinteze periodičnog signala na osnovu koeficijenata Furijeovog reda u zbiru učestvuje beskonačno mnogo prostoperiodičnih funkcija, ali je neophodno naglasiti da se njihove učestanosti međusobno razlikuju za konačan iznos i da je razlika susjednih učestanosti jednaka osnovnoj učestanosti signala. Prema tome, spektar periodičnih signala se računa za diskretne vrijednosti učestanosti. Proširujući ovaj koncept na neperiodične signale uvođenjem beskonačno velikog perioda, osnovna učestanost signala postaje infinitezimala, a samim tim se i razlike između susjednih učestanosti beskonačno smanjuju, te spektar postaje kontinualna funkcija učestanosti.

GLAVA 6

140

6.1 Prelaz sa Furijeovog reda na Furijeovu transformaciju

Posmatrajmo neperiodičan signal dat na Slici 6.1(a). Formirajmo periodično proširenje dijela ovog signala sa intervala 1 2t t t< < , sa periodom 0 2 1T t t= − , kao na Slici 6.1(b), tako da vrijedi:

( ) ( ) 1 2,x t x t t t t≡ < , 0 2 1T t t′ ′ ′= − , dobijamo Furijeov red u obliku:

( ) 0 00

2,jk tkk

x t C eTπ∞ ′Ω

=−∞

′ ′ ′= Ω =′ (6.6)

sa koeficijentima:

( ) 000

1 ,jk tkT

C x t e dt kT

′− Ω

′

′ ′= ∈′ . (6.7)

SSlikaa 6.1 (a)pe

) Kerio

Kontodič

tinučna

ualaa pr

an nroši

nepren

perinja.

iodiičann siignaal; (b)

Fu

i (c

rije

c) n

ova

njeg

a tra

gov

ans

a

form

1

mac

141

(a)

(b)

(c)

cija

GLLAVA

14

pepo

U koje osm

A 6

42

Uerioosta

ovonti

ilusno

modu

grodičaje

vominuustrvnoula

Sl

raničnokon

m ualnrovaog ko

lika

ično prntin

0

liT →

grane vanope

oefic

a 6.2

omrošnua

im C→∞

aničvarijo šteriocije

2

m sliren

alna

kC =

čnojablta

oda enat

Prope

lučanje a va

0

liT

=

om le Ωse sig

ta F

omjrio

aju sig

arija

im→∞

sluΩ idešgnaFuri

jenda

kagnaabla

0

2πΩ

učai njišavala. ijeo

na kper

ada ala a Ω

0T

x

aju iho

va sA

ovo

koefriod

1tpo

Ω , t

( )x t

koove sa kmp

og r

ficijdičn

→staje je

) je−

oefivrikoe

plitueda

jenanog

−∞je e:

0jk tΩ

cijeijedeficudna se

atag pr

∞ , nep

tdt =

entidnoijen

ni se sm

Furoši

2t →peri

2d=

i Fsti ntimspe

man

urijeiren

→ ∞iod

2d

π −Ω

Furipos

ma kta

njuju

eovnja

∞ idiča

x∞

−∞

ijeostajFu

ar pu.

vog sign

i Tn s

( )x t

ovogu in

urijepos

rednala

0T →sign

je−

g rnfineovstaje

da pa.

→ ∞nal,

j tdΩ

rednitevog e g

pri

∞ o Ω

dt .

da pezim

regušć

pov

ovak0Ω →

posmalda ći,

već

ko d→

staje. Npria

ćanj

fodΩ

u Na i pvri

ju

rmi i

funSlic

promijed

irankΩ

(6.

nkcci 6mjedno

no 0Ω

.8)

ija 6.2 eni sti

Furijeova transformacija

143

Stoga umjesto koeficijenata Furijeovog reda kC ima smisla posmatrati proizvod 0kC T⋅ . Taj proizvod je u graničnom slučaju jednak:

( )0

0limj t

kTC T x t e dt

∞− Ω

→∞−∞

⋅ = , (6.9)

što vodi definiciji Furijeove transformacije (Fourier Transform – FT) kontinualnih signala, koju primjenjujemo u analizi neperiodičnih signala:

( ) ( ) j tX x t e dt∞

− Ω

−∞

Ω = . (6.10)

Na osnovu (6.9) i (6.10) veza između Furijeove transformacije i koeficijenata Furijeovog reda je data sa:

( )0

0lim kTX C T→∞Ω = ⋅ , (6.11)

ili, na osnovu (6.8) i (6.10), sa:

( )0

lim2kTdC X

π→∞Ω= Ω . (6.12)

Periodičan signal sa beskonačno velikim periodom ( 0T → ∞ ) se može shvatiti kao neperiodičan signal, pa vrijedi:

( ) ( ) ( ) ( )00 0

1lim lim2 2

jk t j t j tkT T k

dx t x t C e X e X e dπ π

∞ ∞∞Ω Ω Ω

→∞ →∞ =−∞ −∞ −∞

Ω= = = Ω = Ω Ω . (6.13)

Dobijeni izraz:

( ) ( )12

j tx t X e dπ

∞Ω

−∞

= Ω Ω (6.14)

omogućava sintezu signala na osnovu poznate Furijeove transformacije i naziva se inverzna Furijeova transformacija.

Neophodno je naglasiti da, za razliku od izraza za sintezu periodičnih signala, gdje se sumiraju elementarne kompleksne eksponencijalne funkcije čije su frekvencije umnožak osnovne frekvencije periodičnog signala, u izrazu za sintezu neperiodičnih signala učestanosti elementarnih kompleksnih eksponencijalnih funkcija koje grade signal pripadaju kontinuumu realnih brojeva, te kažemo da je spektar neperiodičnih signala kontinualan.

GLAVA 6

144

Dakle, Furijeov transformacioni par je dat sa:

( ) ( ) j tX x t e dt∞

− Ω

−∞

Ω = , (6.15)

( ) ( )12

j tx t X e dπ

∞Ω

−∞

= Ω Ω . (6.16)

Često koristimo sljedeći način označavanja za direktnu:

( ) ( ){ }X x tΩ =F (6.17) i inverznu Furijeovu transformaciju:

( ) ( ){ }1x t X−= ΩF , (6.18) dok Furijeov transformacioni par označavamo sa:

( ) ( )x t X↔ Ω . (6.19)

Vrlo često domen definisanosti signala (vremenski domen) nazivamo originalni, a domen definisanosti Furijeove transformacije frekvencijski ili transformacioni domen.

Za egzistenciju Furijeove transformacije dovoljno je da signal:

1. bude apsolutno integrabilan:

( ) ( ) ( )j t j tx t e dt x t e dt x t dt∞ ∞ ∞

− Ω − Ω

−∞ −∞ −∞

≤ = < ∞ ;

2. ima konačan broj ekstremnih vrijednosti (minimuma i maksimuma) u proizvoljno odabranom konačnom intervalu;

3. ima konačan broj diskontinuiteta (prekida prvog reda) u proizvoljno odbranom konačnom intervalu.

Ovi uslovi su ekvivalentni Dirihleovim uslovima kod Furijeovog reda. Uslov apsolutne integrabilnosti je dovoljan za egzistenciju Furijeove

transformacije većine fizičkih signala. Međutim, uslov apsolutne integrabilnosti nije i potreban uslov, jer postoje signali koji nisu apsolutno integrabilni, npr.

S

o

fr

2el

Mfufailu

Fra

Slik

Ddre

Frekv1

2X

πlem

Modunkazniustr

FFuriazli

ka 6

Diraedit

Fizičven

(Xmen

dul kcijai sperov

Furijeokuj

6.3

akoti Fu

čki ncij

)Ωntarn

Fua pektavan

ijeove u s

P

va urij

gsku

dΩ

nih

urijpa sar sje

ova tra

se s

rim

funjeov

gledu pr

Ω sa

h fu

eovse nsignanač

transfam

mjer

nkcva t

danred

adr

unk

ve naziala čin

ansform

mo u

r (a)

cija, tran

no, stav

rži i

kcija

traiva jer gra

sformau ko

) am

sinnsfo

ovu

info

a ob

ansfamuti

afič

rmaacijeona

mpl

nusorm

ovakon

orm

blik

formmplitiče kog

acije dačn

litu

ni imac

ako ntin

mac

ka

matudnna g pr

a va om

udno

i drcija,

dnua

ciju je Ω

cijeni spfazrika

signsig

m br

og i

rugi, ka

defalno

o tΩ n

e Xspekzneaza

nalagnalroju

i (b

i peao š

finisog n

am

na k

(Xktar

posp

a nla ku iz

b) fa

eriošto

sannep

mplit

koj

( )Ωr sigomaekt

nijekojizolo

azn

odičćem

na peri

tud

e s

) ognalaketra n

e jei z

ovan

nog

čni mo

Fuiodi

dam

se r

odrla, aelenep

edaadonih

spe

sigto

urijičn

ma i

razl

ređua aremeperi

an-jovoh sin

ekt

gnalkas

eovog

faz

laže

ujerguentaiodi

edaoljavngu

tra n

li, asnij

vasig

zam

e ko

amumearniičn

an vajuular

nep

ali ze v

trgnal

ma

ont

mpentih fih s

pru Dritet

Fu

peri

za kvidje

ranla. O

bes

tinu

litu(θ

funsign

esliDirita (

rije

iodi

kojeeti.

nsfoOn

sko

ualn

ude ( )Ωnkcinala

ikavihle(pre

ova

ičn

e se

ormna u

onač

ni s

ela=

ija. a.

vaneovekid

a tra

og

e ip

maciu čl

čno

sign

lemarg XNa

nje. ve udnih

ans

sig

pak

ija lano

o m

nal

ment(X

a Sli

Nusloh ta

form

1

gnal

mo

dovim

mno

(xtarn

)Ωici 6

Naimoveačak

mac

145

(a)

(b)

la.

ože

dajema

ogo

)t . nih je 6.3

me, , a ka)

cija

GLLAVA

14

su

vrinv

jer

jedsin

Pr

da

sig

T

A 6

46

u je

rijedver

r zb

Udinngu

rim

Oatu

gna

2=

edn

dnorzno

bog

x

prnstvular

mjer

Odrena

ala

120

.

Sli

ake

osti om

g ko

( 0t −

rakvenoritet

6.1

edita Sl

crta

.

ika

e, j

u m Fu

onti

)− +

ktično te.

1:

ti klici

ajuć

6.4

er

izourije

inu

(x+

nimod

koe6.4

ći k

4 P

na

oloveov

ualn

)0t +

m apdređ

fici4. P

koe

Peri

vr

vanvom

nost

) =

=

plikđen

ijenPos

efici

iod

rijed

nimm tr

ti ko

12

122

π

π

kacin,

nte sma

ijen

dičan

dno

m tarans

2

om

1

X

π

∞

−∞∞

−∞

ijamjer

Fuatra

nte

n si

ost

ačkasfo

12x

mple

(X

X∞

∞

ma f

urijeati š

Fu

ign

int

amrm

( 0x t

eksn

)

(X

Ω

Ω

smfizič

eovšta

urije

nal u

tegr

a. Macij

)0−

ne e

)

je

e

− Ω

−Ω

matrčki

vog se

eov

u ob

rala

Mejom

x+

eks

0

0

t

j t

d−Ω

− Ω

ramo

rede

vog

blik

a ∞

−∞

eđum u

( 0x t +

pon

0

d

d

Ω

Ω

mo ostv

eda ešav

red

ku p

(x∞

∞timtač

)+

nen

2Ω +

Ω =

da varl

zava p

da

pov

( )t e

m, pčkam

,

ncij

12

2x

π −

je ljivi

a popril

za

vor

je− Ω

prilima

aln

( 0

X

t

∞

−∞

Fui

ovoliko

0T

ke

tdtΩ

ikodis

ne fu

(

).

X Ω

urijsign

orkuom

12

=

pra

t n

m sko

unk

)eΩ

eovnali

u ppro

12

,

avou

ne u

rekontin

kcij

je− Ω

v tri

pravom

0T =

uga

utič

konnui

e e

0t d+Ω

rannem

voumjen

1=

aon

če

nstriteta

j te Ω

dΩ

nsfomaj

ugane p

i

nih i

kon

ukca 0t

vr

=

ormju

aoniperi

0T =

imp

nač

cije0 se

rijed

maciiz

ih iod

2=

pul

čan

sige do

(

di d

(

ioniolo

impda d

, ak

sa.

br

gnaobij

(6.2

da je

(6.2

ni povan

puldato

ko

roj

ala ja:

20)

e:

21)

par ne

lsa og

je

Furijeova transformacija

147

Rješenje: U Primjeru 5.3 smo odredili koeficijente Furijeovog reda datog signala:

0 0

2 sinc 2 , 0kAT TC k kT T

π= ≠ (6.22)

00

2 TC AT

= . (6.23)

Položaj nula u spektru signalaa 0 ,nk n ZTπΩ = ∈ se ne mijenja

povećavanjem perioda signala 0T .

Razmak koeficijenata Furijeovog reda je 00

2TπΩ = . Sa porastom perioda 0T

taj razmak se smanjuje, što je ilustrovano na Slici 6.5. U graničnom slučaju, kada 0T → ∞ , razmak frekvencijskih komponenti postaje beskonačno mali, što znači da frekvencijske komponente postaju kontinualna funkcija učestanosti.

Pri tome se vrijednosti koeficijenata Furijeovog reda smanjuju, i u navedenom graničnom slučaju postaju infinitezimale. Međutim, proizvod

0kC T⋅ i Furijeova transformacija neperiodičnog signala koji se dobije povećavanjem perioda do beskonačnosti ( )

00lim kTX C T→∞Ω = ⋅ imaju konačne

vrijednosti. Najlakše je to uočiti posmatrajući nulti koeficijent Furijeovog reda

00

2 TC AT

= koji teži nuli pri beskonačnom povećanju perioda, dok je vrijednost

Furijeove transformacije za nultu učestanost:

( )0 0

0 0 00

20 lim lim 2T T

ATX C T T ATT→∞ →∞

= ⋅ = ⋅ = , (6.24)

konstantna pri povećanju perioda 0T .

GLLAVA

14

(a) (b (c)

Sl

A 6

48

)

b)

)

lika 6.55 UUti

(a)

icaj

) T

pro

2=

om1 ,20

mjen

0T

ne p

2=

peri12

;

ioda

(b)

a si

T

igna

2=

ala 1 ,20

na

0T

izg

1=

gled

i (

d am

(c)

mpl

T =

litud120

=

dno

,0T

og s

0T =

spe

2=

ektr

.

ra:

P

am

Rj

Dnk

Prim

Omp

Rješe

Datijegont

mjer

Odrplitu

enje:

i sigov tinu

r 6.2

rediudn

:

gnasp

ualn

2:

iti ni sp

Slik

al jeektna v

Slik

Fupek

ka

e gtar vari

ka

urijektar

6.6

granje ijab

6.7

eovsig

N

ničngra

bla

F

vu gnal

Nep

ni saničΩ .

Furi

tranla.

peri

sluččni Sp

ijeo

nsf

iodi

čaj slu

pekt

ova

form

ičan

signučajtar

tra

mac

n si

nalaj spsig

ansf

ciju

igna

a spekgnal

form

u si

al u

a Sktra la p

mac

ign

u ob

Slikesa

prik

cija

ala

blik

e 6a Slkaza

a pr

da

ku p

6.4, likean j

ravo

ato

prav

ka 6.e n

oug

g n

vou

ada 5, p

na S

gaon

na

uga

0Tpri

Slici

nog

Fu

Sl

ono

→če

i 6.7

g im

rije

lici

og

∞ .emu7.

mpu

ova

6.

imp

. Pru k

ulsa

a tra

6.

pul

rem0kΩ

a.

ans

Na

sa.

ma 0 p

form

1

acrt

tomost

mac

149

tati

me, taje

cija

GLAVA 6

150

Računajući na osnovu definicionog izraza za Furijeovu transformaciju dobijamo:

( ) ( ){ } ( )

22

sin2 2 sinc .

Tj t j t

TT j T j T

j t

T

X x t x t e dt Ae dt

A A e eej j

TAT AT TT

∞− Ω − Ω

−∞ −

Ω − Ω− Ω

−

Ω = = = =

−= − = ⋅ =Ω Ω

Ω= = ΩΩ

F

(6.25)

Nule spektra signala se nalaze na učestanostima:

,k k ZTπΩ = ∈ . (6.26)

6.2 Furijeova transformacija kompleksnih signala

U praksi se najčešće radi sa realnim signalima, iako se ponekad ukazuje potreba za formiranjem kompleksnih signala u vremenu, njihovom analizom i obradom. Prilikom definisanja Furijeove transformacije nismo postavljali uslove da signal u vremenu bude realan. Stoga isti definicioni izraz za Furijeovu transformaciju možemo primijeniti i na kompleksne signale. Dakle, Furijeova transformacija kompleksnog signala:

( ) ( ) ( )r ix t x t jx t= + (6.27)

je data sa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos sinr i r iX X jX x t jx t t j t dt∞

−∞

Ω = Ω + Ω = + Ω − Ω . (6.28)

Relani i imaginarni dijelovi Furijeove transformacije su:

Furijeova transformacija

151

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos sinr r iX x t t x t t dt∞

−∞

Ω = Ω + Ω , (6.29)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin cosi r iX x t t x t t dt∞

−∞

Ω = − Ω + Ω . (6.30)

Ako je realni dio signala u vremenu parna, a imaginarni neparna funkcija, imaginarni dio Furijeove transformacije će biti jednak nuli, jer je proizvod parne i neparne funkcije neparna funkcija, a integral neparne funkcije od −∞ do ∞ je jednak nuli. Slično, ako je realni dio signala u vremenu neparna, a imaginarni parna funkcija, realni dio Furijeove transformacije će biti jednak nuli.

Iz relacija (6.28-30) lako se izvode specijalni oblici Furijeovog integrala koji uspostavljaju vezu između realnih i imaginarnih dijelova Furijeove transformacije sa parnim i neparnim dijelovima signala u vremenu i obrnuto. Mi ćemo se zadržati na tim vezama razmatrajući samo realne vremenske signale nešto kasnije.

Kada radimo analizu kompleksnih signala u vremenskom domenu, onda je potrebno razmotriti i spektar konjugovano kompleksnih signala. Konjugovana Furijeova transformacija je data sa:

( ) ( )* * j tX x t e dt∞

Ω

−∞

Ω = . (6.31)

Ako potražimo reflektovanu konjugovanu Furijeovu transformaciju:

( ) ( )* * j tX x t e dt∞

− Ω

−∞

−Ω = , (6.32)

vidimo da ona zapravo predstavlja Furijeovu transformaciju konjugovano kompleksnog signala:

( ){ } ( )* * j tx t x t e dt∞

− Ω

−∞

= F , (6.33)

pa zaključujemo da je:

( ) ( )* *x t X↔ −Ω . (6.34)

GLAVA 6

152

6.3 Furijeova transformacija realnih signala

U ovom poglavlju ćemo razmotriti osnovne osobine spektara realnih signala. Napišimo definicioni izraz za Furijeovu transformaciju pod pretpostavkom da je signal u vremenu realan:

( ) ( ) j tX x t e dt∞

− Ω

−∞

Ω = . (6.35)

Tada vrijedi:

( ) ( )* j tX x t e dt∞

Ω

−∞

Ω = , (6.36)

( ) ( ) j tX x t e dt∞

Ω

−∞

−Ω = . (6.37)

Iz jednakosti (6.36) i (6.37) jasno slijedi da je:

( ) ( )*X X−Ω = Ω . (6.38)

Budući da je:

( ) ( )*X XΩ = Ω , (6.39)

( ) ( )*arg argX XΩ = − Ω , (6.40)

zaključujemo da je amplitudni spektar realnog signala parna, a fazni spektar neparna funkcija učestanosti:

( ) ( )X X−Ω = Ω , (6.41) ( ) ( )arg argX X−Ω = − Ω . (6.42)

Sada ćemo lako izvesti zaključke za realni i imaginarni dio Furijeove transformacije realnih signala. Označimo fazni spektar signala sa

( ) ( )arg Xϕ Ω = Ω . Zbog parnosti amplitudnog i neparnosti faznog spektra, realni dio Furijeove transformacije realnih signala:

Furijeova transformacija

153

( ){ } ( ) ( )Re cosX X ϕΩ = Ω Ω (6.43) je parna funkcija, dok je imaginarni dio Furijeove transformacije realnih signala:

( ){ } ( ) ( )Im sinX X ϕΩ = Ω Ω (6.44) neparna funkcija učestanosti.

Pokazaćemo sada da je Furijeova transformacija parnih realnih signala realna, dok je Furijeova transformacija neparnih realnih signala čisto imaginarna.

Svaki signal može da se razloži na njegov parni ( ){ }x t i neparni ( ){ }x t dio (vidjeti 2.3):

( ) ( ){ } ( ){ }x t x t x t= + . (6.45) Posmatrajmo sada Furijeove transformacije parnog i neparnog dijela signala:

( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )cos sin r iX x t x t t j t dt X jX∞

−∞

Ω = + Ω − Ω = Ω + Ω .(6.46)

Furijeova transformacija parnog dijela signala:

( ){ } ( ) ( ){ } ( )

( ){ } ( )

cos sin

cos ,

x t t dt j x t t dt

x t t dt

∞ ∞

−∞ −∞∞

−∞

Ω − Ω =

= Ω

(6.47)

je realna:

( ) ( ){ } ( )0

2 cosrX x t t dt∞

Ω = Ω , (6.48)

jer je integral neparne funkcije ( ){ } ( )sinx t tΩ jednak nuli. Za Furijeovu transformacija neparnog dijela signala na sličan način se dobije da je čisto imaginarna:

GLAVA 6

154

( ){ } ( ) ( ){ } ( )

( ){ } ( )

cos sin

sin ,

x t t dt j x t t dt

j x t t dt

∞ ∞

−∞ −∞∞

−∞

Ω − Ω =

= − Ω

(6.49)

( ) ( ){ } ( )0

2 siniX x t t dt∞

Ω = − Ω . (6.50)

6.4 Osobine Furijeove transformacije

Analiza signala u frekvencijskom domenu se pojednostavljuje ukoliko poznajemo osobine Furijeove transformacije. U odjeljcima koji slijede dokazaćemo i dati primjere korišćenja osnovnih osobina Furijeove transformacije. Zbog široke primjenljivosti u rješavanju konkretnih problema, ove osobine se često nazivaju pravila Furijeove transformacije.

6.4.1 Simetrija

Ukoliko signal u vremenu funkcionalnog oblika ( )x t (npr. pravougaoni impuls) ima spektar funkcionalnog oblika ( )X Ω (u posmatranom primjeru to je sinc funkcija), onda spektar signala koji u vremenu ima funkcionalni oblik

( )X t (sinc funkcija u posmatranom primjeru) poprima oblik reflektovanog originalnog signala (pravougaonog impulsa u posmatranom primjeru) pomnoženog sa 2π . Dakle, ako postoji transformacioni par ( ) ( )x t X↔ Ω , tada je:

( ) ( )2X t xπ↔ −Ω . (6.51)

Furijeova transformacija

155

Dokaz:

Kako je Furijeova transformacija data sa ( ) ( ) j tX x t e dt∞

− Ω

−∞

Ω = , onda jednostavnom zamjenom varijabli t i Ω dobijamo:

( ) ( ) jtX t x e d∞

− Ω

−∞

= Ω Ω . (6.52)

Potražimo inverznu Furijeovu transformaciju od ( )2 xπ −Ω :

( ){ } ( ) ( )-1 12 22

j t j tx x e d x e dπ ππ

∞ ∞Ω − Ω

−∞ −∞−Ω→Ω

−Ω = −Ω Ω = Ω Ω F , (6.53)

Poredeći (6.52) i (6.53) dobijamo:

( ){ } ( )-1 2 x X tπ −Ω =F . (6.54)

Primjer 6.3:

Odrediti i nacrtati Furijeove transformacije Dirakovog impulsa ( ) ( )x t tδ= i konstante ( ) 1x t = .

Rješenje: Polazeći od definicionog izraza za Furijeovu transformaciju i koristeći

svojstvo odabiranja Dirakove funkcije dobijamo Furijeovu transformaciju Dirakovog impulsa:

( ){ } ( ) ( ) ( )0 1j t jt t e dt t e dt t dtδ δ δ δ∞ ∞ ∞

− Ω − Ω

−∞ −∞ −∞

= = = = F . (6.55)

Dirakova funkcija je realna i parna, pa je njen spektar paran i realan.

Furijeovu transformaciju konstante ( ) 1x t = pronaći ćemo koristeći osobinu simetrije Furijeove transformacije:

GLLAVA

15

(a) (b (c) (d

A 6

56

)

b)

)

d)

Sliika 6.88 (((a) D(c) k

Dirkon

rakonsta

ovaanta

a fua i

unkc(d)

cijanje

a i (ena

(b) na Fu

njenurije

na eov

Furva t

rijeran

eovansfo

a trorm

ransmaci

sforija.

rmaacijja;

Furijeova transformacija

157

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2t x tδ πδ πδ↔ = ↔ −Ω = Ω . (6.56)

Na Slici 6.8 prikazani su spektri Dirakovog impulsa i konstante. Primjećujemo da se u spektru konstante pojavljuje beskonačno velika vrijednost u vidu Dirakove funkcije. Bez uvođenja Dirakove funkcije ne bismo bili u mogućnosti da odredimo spektar konstante, jer konstanta nije apsolutno integrabilan signal i direktno računanje njene Furijeove transformacije preko definicionog izraza nije moguće. Takođe zaključujemo da je spektar konstante paran i realan.

6.4.2 Linearnost

Ako postoje transformacioni parovi ( ) ( )1 1x t X↔ Ω i ( ) ( )2 2x t X↔ Ω , tada je Furijeova transformacija linearne kombinacije signala jednaka na isti način formiranoj linearnoj kombinaciji njihovih Furijeovih transformacija:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 , ,ax t bx t aX bX a b+ ↔ Ω + Ω ∀ ∈ . (6.57)

Dokaz: Budući da je integral linearni operator, direktno slijedi:

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2 .

j t

j t j t

ax t bx t ax t bx t e

a x t e b x t e aX bX

∞− Ω

−∞∞ ∞

− Ω − Ω

−∞ −∞

+ = + =

= + = Ω + Ω

F

(6.58 )

GLAVA 6

158

6.4.3 Pomak u vremenskom domenu

Ako je ( ) ( )x t X↔ Ω , tada pomjeranje signala u vremenu za 0t vremenskih jedinica ima za posljedicu množenje spektra kompleksnom eksponencijalnom funkcijom 0j te− Ω :

( ) ( )00 j tx t t e X− Ω− ↔ Ω . (6.59)

Dokaz: Na osnovu definicionog izraza, Furijeovu transformaciju signala

pomjerenog u vremenu dobijamo u obliku:

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )

0

0

0 0

0 0

.

j tj t j

t t

j t j tj t

x t t x t t e dt x e e d

e x t e dt e X

τ

τ

τ τ∞ ∞

− Ω− Ω − Ω

−∞ −∞− =

∞− Ω − Ω− Ω

−∞

− = − = =

= = Ω

F

(6.60 )

Budući da je 0 1j te− Ω = , zaključujemo da se amplitudni spektar signala ne mijenja prilikom pomjeranja signala u vremenu:

( ) ( ) ( )0 0j t j te X e X X− Ω − ΩΩ = Ω = Ω . (6.61)

Primjer 6.4:

Odrediti i nacrtati spektar pomjerenog Dirakovog impulsa ( )0t tδ − .

Rješenje: Znajući da je ( ) 1tδ ↔ , koristeći pravilo pomaka u vremenskom domenu

direktno dobijamo:

( ) 00 1 j tt t eδ − Ω− ↔ ⋅ . (6.62)

Amplitudni i fazni spektar pomjerenog Dirakovog impulsa dati su na Slici 6.9.

Pfa

P

n

Primazn

Prim

Oacr

mjećnog

mjer

Odrrtati

Sl

ćujespe

r 6.5

redii nj

lika

emoektr

5:

iti ego

a 6.9

o dra,

Furov a

9

da jedok

rijeamp

(a) (c

e zk je

eovuplit

Poc) fa

boge am

u ttudn

mjeazn

g pmpl

tranni s

ereni sp

pomlitu

nsfospek

ni Dpek

makdni

ormkta

Dirktar.

a ui sp

maciar.

rako.

u vrpekt

iju

ov i

remtar

sig

imp

menost

gna

puls

skotao

ala

s, (b

om isti

(x

b) n

doi.

)t =

njeg

ome

δ=

gov

enu

(t −

Fu

v am

do

5T−

rije

mpl

ošlo

)T +

ova

litud

o do

(δ+

a tra

dni

o p

(t −

ans

i i

prom

7T−

form

1

mje

)T ,

mac

159

(a)

(b)

(c)

ene

te

cija

GLLAVA

16

Rj

do

F

Za (a) (b

A 6

60

ješenK

ome

{δF

Buada

)

b)

nje: Kori

enu

(tδ −

uduani

steću, d

5T−

ući sign

ći dobi

)T +

danal

osoijam

(δ+

a sei n

S

obinmo:

(t −

e ranjeg

Slika

nu :

7T−

adi gov

a 6

lin

)}T

o am

.10

near

2

=

=

F

reampli

(a(b

rno

{2 je−

F

alnoitud

a) Db) n

osti,

(6T

tδ

Ω

om dni

Dvanjih

, a

5jT

t

e

−

sigspe

a pohov

za

)5

2

T

TΩ +

gnalekta

omv am

atim

)}

2e−+

+

lu ar p

mjerempli

m o

jTΩ

+F

njeprik

enaitud

oso

{2

δ

=

F

egovkaza

a Ddni

obin

(

2 j

t

e

δ

−

−

v aani

Diraksp

nu

6

7

j TΩ

−

ampsu

kovekt

po

)}co

T

Ω

plituna

va itar.

ma

}os

e

T

=

udnSli

mp

aka

5

.

je

T

−

Ω

ni sci 6

puls

u

5TΩ

spek6.10

sa i

vr

e+

ktar0.

em

7j Te−

r je

mens

TΩ

(6

e p

sko

6.6

para

om

3)

an.

Furijeova transformacija

161

6.4.4 Pomak u frekvencijskom domenu

Ako je ( ) ( )x t X↔ Ω , množenje signala u vremenu sa kompleksnom eksponencijalnom funkcijom 0j te Ω ima za posljedicu pomjeranje spektra po frekvencijskoj osi za 0Ω :

( ) ( )0 0j tx t e XΩ⋅ ↔ Ω − Ω . (6.64)

Dokaz: Potražimo Furijeovu transformaciju od ( ) 0j tx t e Ω⋅ :

( ){ } ( ) ( ) ( )00 0 j tj t j t j tx t e x t e e dt x e dτ τ∞ ∞

− Ω−ΩΩ Ω − Ω

−∞ −∞

⋅ = = F . (6.65)

Isti rezultat ćemo dobiti ako u definicionom izrazu za Furijeovu transformaciju zamijenimo Ω sa 0Ω − Ω , što znači da je:

( ){ } ( )0 0j tx t e XΩ⋅ = Ω − ΩF . (6.66)

Primjer 6.6:

Odrediti i nacrtati Furijeovu transformaciju signala ( ) 0cosx t t= Ω .

Rješenje: Od ranije znamo da je ( )1 2πδ↔ Ω . Koristeći osobinu linearnosti i osobinu

pomaka u frekvencijskom domenu dobijamo:

{ } { } { } ( ) ( )0 00 0 01 1cos 2 2j t j tt e e πδ πδΩ − ΩΩ = + = Ω − Ω + Ω + ΩF F F . (6.67)

Kosinusoida i njena Furijeova transformacija prikazane su na Slici 6.11.

GLLAVA

16

6.

Prdo

(x

A 6

62

.4.5

rošiovo( )t

5

irivodi

↔

Slik

S

vanjdo

(X

ka 6

Ska

je ilsu

( )Ω

6.1

alir

li suužav) , o

1

an

užavanond

(a)

nje

avannja oa vr

Ko

nje odnrije

x

osin

(jenosedi:

(at

nus

ednno

) ↔

oid

ompr

1a

↔

da i

m rijroši

1 Xa

(b)

ječjriva

XaΩ

) nj

ju sanja

,aΩ

ena

skala si

, a

a Fu

liraign

∈

urij

anjeala

.

eov

e) siu

va t

igndru

tran

ala ugo

nsfo

u jm

orm

jeddom

mac

nommen

cija.

m dnu.

dom. A

(

(

(

menAko

(6.6

(a)

(b)

nu je

68)

Furijeova transformacija

163

Dokaz: Na osnovu definicionog izraza za Furijeovu transformaciju imamo:

( ){ } ( ) ( )1a pjj t a

aat p

x at x at e dt x p e dpa

∞ ⋅∞− Ω− Ω

−∞ − ⋅∞→

= = F . (6.69)

Za 0a < :

( ){ } ( ) ( )

( )

1 1

1 1

j t j ta a

j ta

x at x t e dt x t e dta a

x t e dt Xa a a

−∞ −∞Ω Ω− −

∞ ∞

∞ Ω−

−∞

= = − =

Ω = =

F

, (6.70)

dok je za 0a > :

( ){ } ( )1 1j tax at x t e dt Xa a a

∞ Ω−

−∞

Ω = = F . (6.71)

Ilustracija osobine skaliranja data je na Slici 6.12.

GLLAVA

16

Sl

A 6

64

likaa 6.12 (a(na) Snast

kaltav

liranvak

nje na

sa slje

fakedeć

ktorćoj

romstrm mrani

manici)

njim; m odd jeedann, vvremmennskki doommen

Sllika

a 6.12 (nfrnastrekv

tavaven

ak)ncij

: (bski

b) skdo

kaliome

iranen (

nje (nas

sa stav

fakvak

ktork na

roma slj

m medemanjećo

jimj st

odtran

Fu

d jednici)

rije

dan);

ova

n,

a traansform

1

mac

165

cija

GLLAVA

16

Sli

A 6

66

ika 6.112 (ndo

astaome

avaen (

ak): (na

(c)astav

) skvak

kalirk na

ranja slj

je sjed

sa faećo

faktoj st

torotran

omnici

veći); ćimm odd jeedann, vvremmennskki

Sllika

a 6.12 (ndonastom

tavamen.

ak).

: (dd) skkaliirannje sa ffakktorromm veećimm ood j

Fu

eda

rije

an,

ova

fre

a tra

kve

ans

enc

form

1

cijsk

mac

167

ki

cija

GLAVA 6

168

6.4.6 Konvolucija u vremenskom domenu

Podsjetimo se da je u obradi signala konvolucija:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2x t x t x x t dτ τ τ∞

−∞

∗ = − (6.72 )

jedna od osnovnih operacija jer omogućava pronalaženje odziva na proizvoljnu pobudu sistema sa poznatim impulsnim odzivom.

Konvoluciji signala u vremenskom domenu odgovara množenje u frekvencijskom domenu. Ako je ( ) ( )1 1x t X↔ Ω i ( ) ( )2 2x t X↔ Ω , tada vrijedi da je:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2x t x t X X∗ ↔ Ω ⋅ Ω . (6.73)

Dokaz: Potražimo Furijeovu transformaciju konvolucije dva signala:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2j t j tx t x t x t x t e dt x x t d e dtτ τ τ∞ ∞ ∞

− Ω − Ω

−∞ −∞ −∞

∗ = ∗ = −

F . (6.74)

Nakon zamjene redoslijeda integraljenja:

( ) ( ){ } ( ) ( )1 2 1 2 j tx t x t x x t e dt dτ τ τ∞ ∞

− Ω

−∞ −∞

∗ = −

F (6.75 )

i smjene varijabli tθ τ= − :

( ) ( ){ } ( ) ( )1 2 1 2 j jx t x t x x e d e dθ ττ θ θ τ∞ ∞

− Ω − Ω

−∞ −∞

∗ =

F , (6.76)

uz napomenu da integral u uglastim zagradama ne zavisi od τ , dobijamo:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 1j jx t x t x e d x e d X Xθ τθ θ τ τ∞ ∞

− Ω − Ω

−∞ −∞

∗ = ⋅ = Ω ⋅ Ω

F . (6.77)

P

imtr

Rj

pp2re2vrimtrdlin

o

Prim

Pmpurou

RješeP

rikarav

2ATezu2T , remmpuransobinea

blik

mjer

Polaulsagao

enje:Postaza

vougsinT

ultujčij

menulsasfoije arno

ku

r 6.7

azeća i ono

: tupan gaoncΩje ta je

nskoa krmsignosti

AT

7:

ći oko

og im

pak je

onoTΩ

troue Fom

koji acijnal i i

sinT

od orismp

odn

og iT . Kuga

Furim do

je ju t

4xsk

2nc

postećpuls

drena impKonaoniijeoom

natraž

( )4 tkalir

2TΩ

oznći osa s

đivSli

pulsnvoim

ova menu

astažim) , aranT .

natoosoa Sl

vanjici sa aolucimtra

u, jao ko, na za

nja

og obinlike

S

ja 6.

ampcija

mpulansfjednkonneoatimko

izranu e 6.

Slik

Fu.14.plit

a ovlsomformnaknvoophm snač

azako13,

ka 6

urije. Ptudvakm maka oluchodnskalčno

a zaonvo, am

.13

eovPrve A

kva

(3xcija4Acijono lirato d

a Folu

mpli

3 T

e tvo A i

dv

( )ta, d

2 2Tom

ga ti s

dobi

Furiucijeitud

Tro

transe

i trva

amdobi2 sindoje ua faije

ijeoe, ode

uga

nsfoe orajanpra

mpliijen

2ncobiliumfakt

tra

ovuodrA

aon

formodrnja avoitud

na kTΩ

i tranj

toroažen

u trredii tr

ni im

macredi

odougadekorT . Krougiti p

om na

ransiti raja

mpu

cije i Fd −aon2A

risteKakgaopo 2, Fu

sforFunja

uls.

trFurT−

na i2A T

eći ko oni amte

urije

rmaurijea od

.

rougrijeodoimp i osobisim

mplitse eov

Fu

acijeovd T−

gaoova Tpultrajobismo

mputudpri

va

rije

ju vu T d

onoa T k

sa janinu o o

uls di 2imjtra

ova

pratrando

og tran

koja(1x

ja oko

od čiju

2ATenonsf

a tra

avonsfoT .

imnsfoa je ( )t od onvtrou FT puom form

ans

ugaform

pulform

jedi 2−

oluuga

Furiutaos

mac

form

1

aonmac

lsa macdna

(2x2Tucijeaonijeoa daobicija

mac

169

nog ciju

je ciju aka ( )tdo e u nog ovu a se ina

a u

cija

GLLAVA

17

A 6

70

Sllikaa 6.114 O(vOdre

vremeđivme

vannsk

nje Fki d

Furdom

rijeomen

oven).

e traanssforrmaacije trrouugaoonoog immppulssa

Sllika

a 6.14 O(fOdrefrek

eđivkve

vanenci

nje ijsk

Furki do

rijeom

eovemen)

e tr).

ranssforrmaacijje trrouugaoono

Fu

og i

rije

imp

ova

puls

a tra

sa

ansform

1

mac

171

cija

GLAVA 6

172

6.4.7 Konvolucija u frekvencijskom domenu

Osobina konvolucije u vremenskom domenu, koja se ponekad naziva i modulacioni teorem, kaže da konvoluciji Furijeovih transformacija signala u frekvencijskom domenu odgovara množenje signala u vremenskom domenu. Ako je ( ) ( )1 1x t X↔ Ω i ( ) ( )2 2x t X↔ Ω , tada je:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21

2x t x t X X

π⋅ ↔ Ω ∗ Ω . (6.78)

Dokaz: Potražimo inverznu Furijeovu transformaciju konvolucije Furijeovih

transformacija dva signala, koja je podijeljena sa 2π :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

11 2 1 2

2

1 2

1 1 12 2 2

1 .2

j t

j t

X X X X e d

X X d e d

π π π

π

∞− Ω

−∞

∞ ∞Ω

−∞ −∞

Ω ∗ Ω = Ω ∗ Ω Ω = = Ψ Ω − Ψ Ψ Ω

F

(6.79 )

Nakon zamjene redoslijeda integraljenja:

( ) ( ) ( ) ( )2

11 2 1 2

1 12 2

j tX X X X e d dπ π

∞ ∞− − Ω

−∞ −∞

Ω ∗ Ω = Ψ Ω − Ψ Ω Ψ

F , (6.80 )

i smjene varijabli Θ = Ω− Ψ :

( ) ( ) ( ) ( )2

11 2 1 2

1 12 2

j t j tX X X X e d e dπ π

∞ ∞− Θ Ψ

−∞ −∞

Ω ∗ Ω = Ψ Θ Θ Ψ

F , (6.81)

uz napomenu da integral u uglastim zagradama ne zavisi od Ψ , dobijamo sljedeće:

Furijeova transformacija

173

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 11 1 1

2 2 2j t j tX X X e d X e d

π π π

∞ ∞− Θ Ψ

−∞ −∞

Ω ∗ Ω = Θ Θ Ψ Ψ

F , (6.82)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 21

2X X x t x t

π− Ω ∗ Ω = ⋅

F . (6.83)

Primjer 6.8:

Odrediti Furijeovu transformaciju kosinusoide učestanosti 00

2TπΩ = ,

amplitudno modulisane sa trougaonim impulsom jedinične amplitude i trajanja

od T− do T . Vrijedi da je 0 4TT = .

Rješenje:

Označimo sa ( )1x t trougaoni impuls prikazan na Slici 6.15(a). Amplitudnom modulacijom kosinusoide sa trougaonim impulsom dobijamo:

( ) ( )1 0cosx t x t t= ⋅ Ω . (6.84) Na osnovu pravila konvolucije u frekvencijskom domenu dobijamo:

( ) ( ) { }

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 0

1 0 0

1 0 1 0

1 cos21

21 1 ,2 2

X X t

X

X X

π

πδ πδπ

Ω = Ω ∗ Ω =

= Ω ∗ Ω − Ω + Ω + Ω =

= Ω − Ω + Ω + Ω

F

(6.85)

gdje je ( ) ( )x t X↔ Ω , a ( ) ( ) 21 1 sinc 2Tx t X T Ω↔ Ω = . Postupak je ilustrovan na

Slici 6.15, a konačan analitički izraz dat sa:

( ) ( ) ( )0 02 2sinc sinc2 2 2 2

T TT TXΩ − Ω Ω + Ω

Ω = + . (6.86)

GLLAVA

17

(a) (b (c)

A 6

74

)

b)

)

Sllikaa 6.15 (ama) Tmod

Trouduli

ugaisan

aonna k

ni imkos

mpusinu

uls;usoi

(b)ida

) ko.

osinnusoidda i (c) ammpliituddnoo

Sliika 6.15 (d)(e)tra

) Fu Fu

ansf

urijurijeform

eoveovma

va tva tcija

trantrana am

nsfonsfompl

ormormlitud

macimacidno

ija tija ko m

trokos

mod

ugasinuduli

aonusosan

nogide

ne k

ime i (fkosi

Fu

mpulf) Finu

rije

lsa;Furiusoi

ova

; ijeode.

a tra

ova

ans

form

1

mac

175

(d)

(e)

(f)

cija

GLAVA 6

176

6.4.8 Deriviranje u vremenskom domenu

Ako postoji transformacioni par ( ) ( )x t X↔ Ω , tada je:

( ) ( )dx t j Xdt

↔ Ω Ω . (6.87)

Ako u vremenskom domenu deriviramo signal, to će u frekvencijskom domenu, zbog množenja sa jΩ , dovesti do naglašavanja visokofrekvencijskih komponenti signala.

Dokaz:

Izrazimo signal ( )x t preko inverzne Furijeove transformacije, pa potražimo njegov izvod:

( ) ( )1 12 2

j t j tdx d X e d j X e ddt dt π π

∞ ∞Ω Ω

−∞ −∞

= Ω Ω = Ω Ω Ω

. (6.88)

Dobijeni izraz je inverzna Furijeova transformacija od ( )j XΩ Ω , te je:

( ) ( )dx t j Xdt

↔ Ω Ω . (6.89)

Ponavljajući postupak n puta, dobijamo da je:

( ) ( ) ( )n

nn

d x tj X

dt↔ Ω Ω . (6.90)

Primjer 6.9:

Odrediti Furijeovu transformaciju jedinične odskočne funkcije.

Rješenje: Između funkcije znaka:

Furijeova transformacija

177

( )1, 0

sgn 0, 01, 0

tt t

t

−

(6.91)

i Hevisajdove funkcije:

( )

0, 01 , 021, 0

h

t

u t t

t

(6.92)

postoji sljedeća veza:

( ) ( )1 1sgn2 2h

t u t= − . (6.93)

Prvi izvod funkcije ( )1 sgn2

t jednak je prvom izvodu funkcije ( )hu t :

( ) ( ) ( ) ( )1 1sgn2 2

hh

du td dt u t tdt dt dt

δ = − = = . (6.94)

Znajući da Dirakova funkcija kao transformacioni par ima konstantu vrijednosti jedan, dobijamo Furijeovu transformaciju izvoda funkcije znaka i Furijeovu transformaciju izvoda funkcije ( )hu t :

( )1 sgn 12

hdud tdt dt

= = F F . (6.95)

Koristeći osobinu deriviranja u vremenskom domenu dobijamo:

( ) ( ){ }1 sgn 12 h

j t j u t Ω = Ω = F F . (6.96)

Da bismo dobili Furijeove transformacije funkcije znaka i funkcije ( )hu t , trebamo prethodnu jednakost podijeliti sa jΩ . Kako Ω poprima vrijednosti od − ∞ do ∞ , spektar signala koji se dobije dijeljenjem sa jΩ važeći je za sve učestanosti osim za 0Ω = .

GLAVA 6

178

Vrijednost spektra za 0Ω = nosi informaciju o jednosmjernoj komponenti sadržanoj u signalu. Za funkciju znaka vrijednost Furijeove transformacije za

0Ω = je jednaka nuli:

( ){ } ( )0

0

00

sgn sgn 1 1 0j tt t e dt dt dt∞ ∞

−

Ω=−∞ −∞

= = − ⋅ + ⋅ = F , (6.97)

što znači da u funkciji znaka nije sadržana jednosmjerna komponenta, dok funkcija ( )hu t ima jednosmjernu komponentu jer njena Furijeova transformacija u nuli ima beskonačnu vrijednost:

( ){ } ( )0

0

00 0 0

1 1 12

j th hu t u t e dt dt dt dt

+

− + +

∞ ∞ ∞−

Ω=−∞

= = ⋅ + ⋅ = ⋅ → ∞ F . (6.98)

Koristeći vezu:

( ) ( )1 1sgn2 2h

u t t= + , (6.99)

dobijamo Furijeovu transformaciju funkcije ( )hu t :

( ){ } ( ) ( )1 1 1sgn2 2h

u t tj

πδ = + = + Ω Ω F F . (6.100)

Vrijednost jediničnog odskočnog signala:

( ) 0, 01, 0

tu t

t, (6.101)

u nuli nije definisana. Ovaj signal može da se od funkcije ( )hu t razlikuje samo u 0t = . Ta razlika ne utiče na vrijednost Furijeovog integrala, te je Furijeova transformacija jediničnog odskočnog signala ( )u t jednaka Furijeovoj transformaciji Hevisajdove funkcije ( )hu t :

( ) ( )1u tj

πδ↔ + ΩΩ

. (6.102)

Furijeova transformacija

179

Napomenimo da se prilikom određivanja inverzne Furijeove transformacije

iz ( )1j

πδ+ ΩΩ

na osnovu (6.20) uvijek rekonstruiše Hevisajdova funkcija

( )hu t .

6.4.9 Deriviranje u frekvencijskom domenu

Deriviranju u frekvencijskom domenu odgovara množenje sa nezavisnom varijablom t u vremenskom domenu. Ako postoji transformacioni par

( ) ( )x t X↔ Ω , tada je:

( ) ( )dXtx t jd

Ω↔

Ω. (6.103)

Dokaz: Deriviranjem izraza za Furijeovu transformaciju po Ω :

( ) ( )j t dx t e dt Xd

∞− Ω

−∞

= ΩΩ (6.104)

dobijamo:

( ) ( )j t dXj tx t e dtd

∞− Ω

−∞

Ω− =

Ω , (6.105)

te je:

( ) ( )dXtx t jd

Ω↔

Ω. (6.106)

Deriviranjem n puta dobijamo transformacioni par:

( ) ( )n

n nn

d Xt x t j

dΩ

↔Ω

. (6.107)

GLAVA 6

180

6.4.10 Integraljenje u vremenskom domenu

Integraljenju u vremenskom domenu odgovara dijeljenje u frekvencijskom domenu sa nezavisnom varijablom Ω , zbog čega dolazi do naglašavanja niskofrekvencijskih komponenti signala. Ukoliko originalni signal ima jednosmjernu komponentu, u spektru integraljenog signala pojavljuje se Dirakov impuls jačine udara ( )0Xπ . Ako postoji transformacioni par ( ) ( )x t X↔ Ω , tada vrijedi da je:

( ) ( ) ( ) ( )1 0t

x d X Xj

τ τ π δ−∞

↔ Ω + ΩΩ . (6.108)

Dokaz:

Znamo da je Furijeova transformacija Hevisajdove funkcije ( )1j

πδ+ ΩΩ

.

Konvolucija proizvoljnog signala ( )x t i Hevisajdove funkcije ( )u t je data sa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

x t u t x u t d x dτ τ τ τ τ∞

−∞ −∞

∗ = − = . (6.109)

Furijeova transformacija prethodnog izraza, uz korišćenje osobine konvolucije u vremenskom domenu, daje:

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

0 .

t

x d x t u t Xj

XX

j

τ τ πδ

π δ

−∞

= ∗ = Ω ⋅ + Ω = Ω Ω

= + ΩΩ

F F (6.110)

Furijeova transformacija

181

6.4.11 Integraljenje u frekvencijskom domenu

Ako postoji transformacioni par ( ) ( )x t X↔ Ω , onda vrijedi da je:

( ) ( ) ( ) ( )1 0x t x t X djt

π δ∞

Ω

+ ↔ Ψ Ψ . (6.111)

Dokaz: Na osnovu pravila simetrije i poznatog transformacionog para:

( ) ( )1u tj

πδ↔ + ΩΩ

(6.112 )

dobijamo:

( ) ( )1 2t ujt

πδ π+ ↔ −Ω . (6.113)

Inverzna Furijeova transformacija konvolucije proizvoljnog signala ( )X Ω i reflektovane Hevisajdove funkcije ( )u −Ω u frekvencijskom domenu, jednaka je umnošku njihovih pojedinačnih inverznih Furijeovih transformacija i faktora 2π :

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 02

x tX u x t t x t

jt jtπ πδ π δ

π− Ω ∗ −Ω = ⋅ + = +

F . (6.114)

S druge strane, konvolucioni integral proizvoljnog signala ( )X Ω i reflektovane Hevisajdove funkcije ( )u −Ω u frekvencijskom domenu, zbog antikauzalnosti reflektovane Hevisajdove funkcije, različit je od nule samo u granicama od Ω do ∞ :

( ) ( ) ( )X u X d∞

Ω

Ω ∗ −Ω = Ψ Ψ . (6.115)

GLAVA 6

182

Na osnovu dvije posljednje relacije zaključujemo da je:

( ) ( ) ( ) ( )1 0x tX d x tjt

π δ∞

−

Ω

Ψ Ψ = + F . (6.116)

U Tabeli 6.1 je dat zbirni prikaz osobina Furijeove transformacije.

6.5 Furijeova transformacija periodičnih signala

Do sada smo za predstavu periodičnih signala preko elementarnih kompleksnih eksponencijalnih (prostoperiodičnih) komponenti koristili razvoj signala u Furijeov red. Osnovna karakteristika spektra periodičnih signala koja ga razlikuje od spektra neperiodičnih signala je njegova diskretnost, odnosno konačne razlike frekvencija spektralnih komponenti. Analizirajući osobine Furijeove transformacije primijetili smo da se u spektru konstante, sinusne i kosinusne funkcije pojavljuju Dirakovi impulsi. Sada ćemo razmatranje uopštiti i pokazati da se Furijeova transformacija može koristiti i za spektralnu analizu periodičnih signala. U tu svrhu prvo ćemo prikazati periodičan signal preko Furijeovog reda, a zatim pronaći Furijeovu transformaciju tog signala. Kompleksni oblik Furijeovog reda je oblika:

( ) 0jk tkk

x t C e∞

Ω

=−∞

= (6.117 )

sa koeficijentima:

( ) 000

1 jk tk

T

C x t e dtT

− Ω= . (6.118)

Furijeova transformacija

183

Tabela 6.1. Osobine Furijeove transformacije.

Osobina ( )x t ( )X Ω

Simetrija ( )X t ( )2 xπ −Ω

Linearnost ( ) ( )1 2 , , .ax t bx t a b+ ∀ ∈ ( ) ( )1 2aX bXΩ + Ω

Pomak u vremenskom domenu ( )0x t t− ( )

0j te X− Ω Ω

Pomak u frekvencijskom domenu ( )

0j tx t e Ω⋅ ( )0X Ω − Ω

Skaliranje ( ) ,x at a ∈ 1 Xa aΩ

Konvolucija u vremenskom domenu ( ) ( )1 2x t x t∗ ( ) ( )1 2X XΩ ⋅ Ω

Konvolucija u frekvencijskom domenu ( ) ( )1 2x t x t⋅ ( ) ( )1 2

12X X

πΩ ∗ Ω

Deriviranje u vremenskom domenu

( )dx tdt

( )j XΩ Ω

Deriviranje u frekvencijskom domenu ( )tx t

( )dXjd

ΩΩ

Integraljenje u vremenskom domenu ( )

t

x dτ τ−∞ ( ) ( ) ( )

1 0X Xj

π δΩ + ΩΩ

Integraljenje u frekvencijskom domenu ( ) ( ) ( )

1 0x t x tjt

π δ+ ( )X d∞

Ω

Ψ Ψ

GLAVA 6

184

Furijeovom transformacijom signala ( )x t dobijamo:

( ){ } { } ( )0 0 02jk t jk tk k kk k k

x t C e C e C kπδ∞ ∞ ∞

Ω Ω

=−∞ =−∞ =−∞

= = = ⋅ Ω − Ω F F F .(6.119)

Furijeova transformacija periodičnog signala je niz Dirakovih impulsa na učestanostima 0kΩ za koje se inače računa Furijeov red tog signala. Za ostale učestanosti taj spektar je jednak nuli, te kažemo da ima diskretnu prirodu. Svaki Dirakov impuls ( )02 kπδ Ω− Ω u poslednjem izrazu zapravo je Furijeova transformacija jedne kompleksne prostoperiodične komponente 0jk te Ω , dobijen na osnovu osobine pomaka u frekvencijskom domenu.

Dakle, pri traženju Furijeove transformacije periodičnog signala, neophodno je pronaći koeficijente Furijeovog reda tog signala. Tada je:

( ){ } ( )02kk

x t C kπδ∞

=−∞

= ⋅ Ω − ΩF . (6.120)

Određivanje koeficijenata Furijeovog reda pri traženju Furijeove transformacije periodičnih signala se može izbjeći. Naime, svaki periodičan signal ( )x t perioda 0T možemo posmatrati kao rezultat konvolucije neperiodičnog signala ( )x t koji je na osnovnom periodu jednak periodičnom signalu:

( ) ( )0 0, ,

2 20,

T Tx t tx t

inače

∈ − =

, (6.121)

sa povorkom Dirakovih impulsa:

( ) ( )0k

t t kTδ δ∞

=−∞

= − . (6.122)

Dakle,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0* *k k

x t x t t x t t kT x t kTδ δ∞ ∞

=−∞ =−∞

= = − = − . (6.123)

Furijeova transformacija

185

Koristeći osobinu konvolucije u vremenskom domenu, Furijeova transformacija periodičnog signala jednaka je proizvodu Furijeove transformacije signala ( )x t i Furijeove transformacije povorke Dirakovih impulsa ( )tδ :

( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }*x t x t t X tδ δ= = Ω ⋅ F F F . (6.124) Prvo ćemo odrediti koeficijente Furijeovog reda i pronaći Furijeovu transformaciju povorke Dirakovih impulsa:

( ) ( )0 0

0 0

0 0

2 2

0 0 02 2

1 1 1T T

jk t jk tk

T T

C t e dt t e dtT T T

δ δ− Ω − Ω

− −

= = = , (6.125)

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )

0 00

0 0

22

.

kk k

k

t C k kT

k

πδ πδ δ

δ δ

∞ ∞

=−∞ =−∞

∞

=−∞

= ⋅ Ω − Ω = Ω − Ω =

= Ω Ω − Ω = Ω

F

(6.126)

Furijeova transformacija povorke Dirakovih impulsa prikazana je na Slici 6.16.

Primjenjujući osobinu odabiranja Dirakove funkcije u frekvencijskom domenu:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0X k X k kδ δΩ Ω− Ω = Ω Ω− Ω (6.127) iz (6.133) i (6.135) dobijamo Furijeovu transformaciju periodičnog signala:

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0k k

x t X k X k kδ δ∞ ∞

=−∞ =−∞

= Ω ⋅ Ω Ω − Ω = Ω Ω Ω − Ω F . (6.128)

GLLAVA

18

(a) (b

Pr

6.

A 6

86

)

b)

Sl

rim

O17,

lika

mjer

Odrepri

6.1

6.1

editi če

16

10:

ti Femu

(a)F

Furiu je

) SiFuri

jeoe 0T

ignaijeo

vu 4=

Slik

al uova

tra4T

ka 6

u obtra

ansf.

6.17

bliknsf

form

7

ku pform

mac

Pov

povmac

ciju

vor

vorkcija

u po

rka

ke Da.

ovo

tro

Dir

orke

oug

rako

e tr

gaon

ovih

oug

nih

h im

gao

im

mpu

onih

mpul

ulsa

h im

lsa.

a i

mpu

(b)

ulsa

nje

a da

ego

atih

va

h naa Sli

ici

Furijeova transformacija

187

Rješenje: Postupak određivanja Furijeove transformacije povorke trougaonih

impulsa prikazan je na Slici 6.18. Prvo izdvajamo jedan period periodičnog signala ( )x t i formiramo signal ( )x t . Furijeova transformacija neperiodičnog signala ( )x t je ( ) 2sinc

2TX AT ΩΩ = . Periodičan signal ( )x t u vremenskom

domenu možemo dobiti konvolucijom signala ( )x t i povorke Dirakovih impulsa ( )tδ , čemu u domenu Furijeove transformacije odgovara množenje, tako da je:

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( )

( )

20

0

20

2sinc2

sinc .2 4

s

k

k

X x t x t t

TAT kT

A k k

δ

π δ

π π δ

∞

=−∞

∞

=−∞

Ω = = ∗ =

Ω= ⋅ Ω − Ω =

= Ω − Ω

F F

(6.129)

GLLAVA

18

(a) (b (c)

Sli

A 6

88

)

b)

)

ika 6.118 O(vD

drevrem

Dirak

eđivmenkov

vannskvih

je Fki do

im

Furompul

rijeomen)

lsa

ove): (ai (c

e traa) jec) p

ansedaovo

foran trork

rmarou

ka tr

acijeugaorou

e pooni

ugao

ovoi imonih

orkempu

h im

e truls; mp

rou(b) uls

gaopoa.

onihovor

h imrka

mpua

ulsa

a

Sllika

a 6.18 O(ftrDtr

Odrefrekrou

Dirarou

eđivkveugaoakougao

vanenciono

ovihonih

nje ijskog ih imh im

Furki doimp

mpumpu

rijeompulsulsaulsa

eovemen)

sa; a i (fa.

e tr): (d(e) f) F

ransd) FFur

Furi

sforFuririjeijeo

rmaijeo

eovaova

acijova a trtra

je ptra

ransansf

povansfsforform

vorkformrmama

Fur

ke tmaacijcija

rijeo

troucijaja pa po

ova

ugaa jepovovo

a tra

onidno

vorkorke

ansf

ih imog ke e

form

mp

mac

1

puls

cija

189

(d)

(e)

(f)

sa

GLAVA 6

190

6.6 Parsevalova teorema za kontinualne neperiodične signale

Posmatrajmo neperiodične signale koji imaju konačnu energiju datu sa:

( ) 2xW x t dt∞

−∞

= . (6.130)

Koristeći izraz za sintezu signala:

( ) ( )12

j tx t X e dπ

∞Ω

−∞

= Ω Ω (6.131)

i njegov konjugovano kompleksni oblik:

( ) ( )* *12

j tx t X e dπ

∞− Ω

−∞

= Ω Ω , (6.132)

pokazaćemo da energiju signala možemo računati i u transformacionom domenu:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

* *

*

2*

12

12

1 1 .2 2

j tx

j t

W x t x t dt x t X e d dt

X x t e dt d

X X d X d

π

π

π π

∞ ∞ ∞− Ω

−∞ −∞ −∞

∞ ∞− Ω

−∞ −∞

∞ ∞

−∞ −∞

= = Ω Ω =

= Ω Ω =

= Ω Ω Ω = Ω Ω

(6.133)

Parsevalova teorema za neperiodične kontinualne signale:

( ) ( )2 212x

W x t dt X dπ

∞ ∞

−∞ −∞

= = Ω Ω (6.134)

nam kaže da energiju signala možemo računati i u frekvencijskom domenu. Funkcija ( ) 2X Ω se u literaturi naziva spektralna gustina energije, gustina energetskog spektra ili kratko energetski spektar signala. Primjer grafičke predstave energetskog spektra dat je na Slici 6.19.

sp

k

P

št

en

Di i

Zpek

Eore

Pri t

to j

X

Zner

Dakiz n

Za ktar

Eneelac

F

tom

e la

*X

Zaklrget

kle, njih

rear pa

rgecijom

{F

me s

ako

(Ω

ljučtsko

auth ni

S

alnearna

etskm s

(x t

smo

o po

) =

=

čujeog s

tokoje m

Slik

e sia fu

ki ssign

)t ⊗

o ko

okaz

x∞

−∞

F

emospe

oremog

ka 6

ignaunk

speknala

(x⊗

oris

zati

(

{

*x t

xF

o dektr

elacguć

6.19

ale kcija

ktara. P

( )}t

stili

i:

)

(*

t e

−

da jra si

ija će r

9 E

vra.

r siPotr

X

=

=

F

i da

)}

j t d

t

Ω

−

e Fign

i enreko

Ene

rijed

ignraži

{(*X

F

a je:

}.t

dt→

Furiala:

F

nergons

erg

di

nala mo

{( )

*x

Ω

:

*x

τ→−

ijeo:

{RFgetstru

gets

X

jeo Fu

()t

X

−

( t−

= −

ova

xxR

skiuisat

ki s

(−Ω

prurij

)(t ∗

Ω

)t ↔

x−∞

∞

−

tra

( )tspeti o

spek

) 2Ω

rekoeov

().x t

X↔

(*x

ans

} =ekt

origi

kta

2

=

o Fvu t

)}t =

(*X

τ−

for

X

ar sgina

r pr

(X

Furtran

=F

)Ω

)e−

rma

(Ωsignalni

rav

( )Ω

rijeonsfo

{F

,

j dτΩ

acija

) 2 .nalasig

voug

) 2 ,

oveorm

(*x

dτ

a au

.

a nognal

gao

št

e trmac

( )t−

∞

−∞

=

uto

osel.

ono

to z

ransciju

)} ⋅

*x∞

∞

oko

ist

Fur

og im

zna

sfoaut

F

( t−

rela

tu in

rijeo

mp

ači

rmtok

({xF

)t e

acij

nfo

ova

puls

da

macijkore

( )}t

j te− Ω

e je

orm

a tra

a.

je

je pelac

} =

t dt

edn

maci

ansf

e en

povcije:

=

nak

iju o

form

nerg

vez:

(6

(6

(6

a g

(6

o si

mac

1

get

an

6.13

6.13

6.13

gust

6.13

igna

cija

191

tski

sa

35)

36)

37)

tini

38)

alu

GLAVA 6

192

6.7 Odmjeravanje signala

Ako se radi digitalna obrada kontinualnih signala, signalu je potrebno pridružiti niz brojeva koji odgovaraju njegovim vrijednostima u odabranim trenucima vremena. Taj postupak, koji nazivamo analogno/digitalna konverzija ili kratko digitalizacija, se sastoji od dva koraka. Prvo se vrši odmjeravanje signala tako što se uzimaju uzorci signala u odabranim vremenskim trenucima. Zatim se vrijednosti tako dobijenih odmjeraka signala kvantuju i dodjeljuje im se brojna vrijednost iz konačnog skupa brojeva. U ovom poglavlju ćemo se baviti uticajem odmjeravanja na spektralne karakteristike signala.

Odmjeravanje signala ćemo matematički modelirati množenjem signala sa povorkom Dirakovih impulsa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sk k

x t x t t x t t k t x k t t k tδ δ δ∞ ∞

=−∞ =−∞

= ⋅ = − Δ = Δ − Δ . (6.139)

Signal koji nastaje procesom odmjeravanja, nazvaćemo odmjereni signal. Potrebno je naglasiti da je odmjereni signal kontinualna funkcija, jer su njegove vrijednosti poznate u svakom trenutku vremena. Odmjereni signal je zapravo povorka Dirakovih impulsa u trenucima odabiranja t k t= Δ , čije su jačine udara jednake vrijednostima signala u tim vremenskim trenucima. Za ostale vrijednosti vremenske nezavisne varijable odmjereni signal jednak je nuli.

Furijeova transformacija odmjerenog signala je:

( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }12sx t x t t x t tδ δπ= ⋅ = ∗ F F F F , (6.140)

( ){ } ( ) ( )12s s sk

x t X kδπ

∞

=−∞

= Ω ∗ Ω Ω − ΩF , (6.141)

( ){ } ( ) ( )1 2,s s s sk

x t X X kt t

π∞

=−∞

= Ω = Ω − Ω Ω =Δ Δ

F . (6.142)

Primjećujemo da se spektar odmjerenog signala periodično ponavlja sa periodom koji je jednak učestanosti odmjeravanja:

2s tπΩ =

Δ. (6.143)

Furijeova transformacija

193

Osnovni cilj prilikom odmjeravanja signala je da se sačuva što više informacija sadržanih u signalu, kako bi se na osnovu odmjeraka mogao što bolje rekonstruisati originalni kontinualni signal. Na osnovu teorije razvoja signala preko ortogonalnih funkcija znamo da je za idealnu rekonstrukciju signala računanjem inverzne transformacije neophodno poznavanje svih spektralnih komponenti signala, dok je za aproksimaciju signala moguće koristiti uži frekvencijski opseg, pri čemu se dodavanjem visokofrekvencijskih komponenti smanjuje srednjekvadratna greška pri rekonstrukciji signala.

Kao posljedica odmjeravanja signala, u frekvencijskom domenu dolazi do periodičnog ponavljanja spektra kontinualnog signala. Pri tome se može desiti da se frekvencijske komponente iz jednog perioda signala preklope sa frekvencijskim komponentama iz drugih perioda. Tu pojavu nazivamo preklapanje spektra (aliasing). Preklapanje spektra se može izbjeći ako je spektar kontinualnog signala ograničen. U praktičnim primjenama često radimo sa signalima za koje možemo smatrati da imaju ograničen spektar. Vidjećemo da je pod tim uslovom moguće iz spektra odmjerenog signala izdvojiti spektar kontinualnog signala, te inverznom Furijeovom transformacijom rekonstruisati originalni kontinualni signal.

Pretpostavimo da je spektar signala ograničen, tj. da se u spektru signala ne pojavljuju frekvencijske komponente učestanosti većih od gΩ . Na Slici 6.20 su prikazana tri karakteristična slučaja koja ilustruju šta se dešava sa spektrom odmjerenog realnog signala (čiji je spektar paran) prilikom promjene učestanosti odmjeravanja. U prvom slučaju učestanost odmjeravanja je bar dva puta veća od gornje granične učestanosti gΩ kontinualnog signala, dok je u

drugom slučaju jednaka 2 gΩ . U ova dva slučaja ne dolazi do preklapanja u spektru odmjerenog signala. Do preklapanja u spektru odmjerenog signala dolazi kada je učestanost odmjeravanja manja od 2 gΩ . Sa Slike 6.20 je jasno vidljivo da je idealna rekonstrukcija spektra kontinualnog signala, a samim tim i rekonstrukcija originalnog kontinualnog signala bez gubitaka, moguća ako je učestanost odmjeravanja dovoljno velika, tj. u slučajevima kada je 2s gΩ ≥ Ω .

Ovaj uslov naziva se Nikvistov kriterij, a učestanost 2sΩ se naziva Nikvistova

učestanost.

GLLAVA

19

(a) (b (c)

Sli

A 6

94

)

b)

)

ika 6.220 O

im

str

dm

mpu

ran

mjer

ulsa

nici)

ava

a i (c

);

anje

c) o

e sig

odm

gna

mjer

ala:

ren

(a)

ni si

ko

igna

onti

al,

inua

1tΔ

alni2=Ω

i sig

1

2

s

πΩ

gna

(n

al; (

nast

(b) p

tava

pov

ak n

vor

na s

rka

slje

Dir

edeć

rak

ćoj

kovi

ih

Sllika

a 6.20 (ntro

nastransdm

tavasfo

mjer

ak)rm

reno

: (dacijog s

d) amja psign

mppovnala

plituvorka, Ω

udnke D

1sΩ

ni spDir

2>

pekrako2 gΩ

ktarovihg (n

r sigh imnast

gnamputava

ala xulsaak n

(x ta i (na

Fur

)t ; ((f) aslje

rijeo

(e) ampedeć

ova

Furplitćoj

a tra

rijetudnstr

ansf

eovani srani

form

a speici);

mac

1

kta;

cija

195

(d)

(e)

(f)

ar

GLLAVA

19

(g) (h

Sli

A 6

96

g)

h)

ika 6.220 (n

tΔ

asta

3t =

ava

2π=Ω

ak):

3s

π

(g)

(na

) od

asta

dmj

avak

jere

k n

eni

na sl

sig

ljed

gnal

dećo

l, Δ

oj s

2tΔ =

stra

2=Ω

anic2

2

s

πΩ

ci);

i (hh) oodmmjeerenni siignnal,

(i (j

Sl

i)

)

lika

a 6.20 (n

(

nast

(j) a

tava

amp

ak)

plitu

: (i)

udn

) am

ni sp

mpl

pek

litu

ktar

dni

r od

i sp

dmj

pekt

jere

tar

eno

odm

og s

mje

sign

eren

nala

nog

a, Ω

Fur

g sig

3sΩ

rijeo

gna2<

ova

ala, 2 gΩ

a tra

sΩ

.

ansf

2s =

form

2= Ω

mac

1

gΩ

cija

197

i

GLAVA 6

198

6.8 Rekonstrukcija signala iz njegovih odmjeraka

Pretpostavimo da je prilikom odmjeravanja signala poštovan Nikvistov kriterij. Pokazaćemo da je pod tim uslovom moguća idealna rekonstrukcija signala. Prvo ćemo izdvojiti spektar kontinualnog signala iz spektra odmjerenog signala množenjem spektra odmjerenog signala sa tzv. prozorskom funkcijom ( )P Ω , koja je data na Slici 6.21(a).

Transformacioni par u vremenskom domenu ovoj prozorskoj funkciji ( )P Ω je sinc funkcija:

( ) 2sinc ,2s

sp t t tπΩ= Ω =

Δ, (6.144)

prikazana na Slici 6.21(b), što se lako odredi koristeći osobinu simetrije Furijeove transformacije.

Množenju spektra odmjerenog signala sa prozorskom funkcijom u frekvencijskom domenu:

( ) ( ) ( )sX X PΩ = Ω ⋅ Ω , (6.145)

odgovara konvolucija odmjerenog signala sa funkcijom ( )p t u vremenskom domenu:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

sinc2

sinc .2

s

s

k

s

k

x t x t p t

x k t t k t t

x k t t k t

δ∞

=−∞

∞

=−∞

= ∗ =

Ω = Δ − Δ ∗ =

Ω= Δ − Δ

(6.146)

Dakle, rekonstrukcija signala u vremenskom domenu se može posmatrati kao suma beskonačno mnogo sinc funkcija oblika (6.144), koje djeluju u trenucima k tΔ i čije su amplitude pomnožene sa vrijednostima signala u tačkama odabiranja, pogledati Sliku 6.22. Funkcija ( )p t data sa (6.144) omogućava rekonstrukciju kontinualnog signala iz njegovih odmjeraka bez greške, te se naziva idealna interpolaciona funkcija.

Sl

vrokopnfu

lika

Prijedmomnemristekaunk

a 6.

Primedno

mjerm semogtizaauzkcije

21

mjetost

rakae vrguć

anjealne p

(ainv

timrek

a sigrši ćavaem ošćom

a) Pntervrem

mo dkongnareka rinfću

moću

Prozrpomen

da jnstrala dkonrekoformoveu k

zorolacnsko

je iruisdo

nstruonsmace fu

kojih

rskacionom

ideasanotogukc

strucijaunkh se

a funa f

m do

alnaog g i ucija,ukcia o kcije re

unkcfunkome

a insignu to, sviju od

e, ueko

cijakcijenu

nternalom ve dsig

dmju p

onst

a u ja ku.

rpoa utredo

gnaljercpraktrui

frekkao

laciu neenut

bela ucimksi iše p

kvenje

ionekotkuskou rea sse

prib

encien F

na fm t

u, veonaealnsign

prbliž

ijskFur

funktreneć i

ačnonomnalarimjžan

komrijeo

kcijnuti naostim va. Zjenob

m doov

ja ntku akoi, pvremZbojuju

blik

omtran

nekne n p

poglme

og pu ksig

Fur

menunsf

kauzuti

posmleda

enu,pro

kauzgnal

rijeo

u i form

zalniču maati , tj

oblezalnla.

ova

(b) mac

na. sam

atranSli. isemane

a tra

idecion

Zbmonogku stova uinte

ansf

ealnni p

bogo vrg tr6.2

vremuzroerp

form

na par

g torijedenu22(fmenokopola

mac

1

u

oga dnoutkaf). Tno

ovanacio

cija

199

(a)

(b)

na osti a u To sa

nih one

GLLAVA

20

(a) (b (c)

Sli

A 6

00

)

b)

)

ika 6.222 Idsigsigstr

dealgnagnaran

na ala; ala dnici)

rek(b)dob);

kon pr

bije

nstrurozon k

ukcorskkao

cija ka fpro

sigfunoizv

gnalnkcivod

la: (ija id X

(a) i (c)

(sX

am) am

)Ω

mplitmpl i P

tudlitu

(P Ω

dni sudni

)Ω

spei sp(na

ektapektasta

ar otar avak

odmkok n

mjerntin

na sl

renonualjed

og alnodećo

og oj

Sllika

a 6.22 (n(fsuim

nastf) reu tampu

tavaekoankulsa

ak)onstkim a si

: (dtruilingna

d) oisan

nijamala

odmni kma

(sx

mjerkonnac( )t

renintinucrta sa

i sigualnaneide

gnani s koealn

al; (esignonvnom

e) inalolu

m in

ideanac

ucijenter

alnacrtae porpo

a inan dojed

olac

Fur

nterdebdinion

rijeo

rpolbelonačnnom

ova

laciom nih m fu

a tra

ionliniDi

unk

ansf

a fuijomirakkcijo

form

unkm, dkoviom

mac

2

kcijadokih .

cija

201

(d)

(e)

(f)

a i k

GLAVA 6

202

6.9 Gibsov fenomen

Prilikom rekonstrukcije signala množenje u frekvencijskom domenu uniformnom prozorskom funkcijom ( )P Ω , koja je različita od nule i jednaka jedinici samo za 0Ω ≤Ω , garantuje idealnu rekonstrukciju signala čija je gornja granična učestanost manja ili jednaka od 0Ω . Ako bi širina prozorske funkcije bila manja, došlo bi do odsijecanja dijela spektra signala na učestanostima većim od 0Ω . U slučaju signala sa diskontinuitetima, čiji spektar nije ograničen i prekriva cijeli frekvencijski opseg od − ∞ do ∞ beskonačno, odsijecanje visokofrekvencijskih komponenti je neminovno sve dok je širina prozorske funkcije konačna. Rekonstrukcija signala bez visokofrekvencijskih komponenti rezultuje aproksimativnim oblicima signala. Srednjekvadratna greška koja se čini pri rekonstrukciji signala se smanjuje sa povećanjem širine prozorske funkcije i teži ka nuli kada širina prozorske funkcije teži ka beskonačnosti. Međutim, pri rekonstrukciji signala koji sadrže diskontinuitete, iako srednjekvadratna greška postaje jako mala pri velikim širinama prozora, rekonstruisani signal se po svom obliku značajno razlikuje od originalnog signala i u njemu se pojavljuju karakteristični preskoci i oscilacije nazvani Gibsov fenomen (Josiah Willard Gibbs, 1839 –1903).

Ilustrovaćemo Gibsov fenomen na primjeru rekonstrukcije Hevisajdove funkcije iz njenog spektra. U svrhu rekonstrukcije, pomnožimo spektar Hevisajdove funkcije ( )U Ω sa prozorskom funkcijom ( )P Ω širine 0Ω :

( ) ( ) ( ) ( ) 0,ˆ0,

UU U P

inače Ω Ω ≤ Ω

Ω = Ω ⋅ Ω =

. (6.147)

Inverznom Furijeovom transformacijom dobijamo:

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1 1 1ˆû t U U P u t P− − −= Ω = Ω ⋅ Ω = ∗ ΩF F F . (6.148) Inverzna Furijeova transformacija prozorske funkcije dobije se koristeći pravilo simetrije:

( ) ( ){ }1 0 0sincp t P tπ− Ω= Ω = ΩF , (6.149)

Furijeova transformacija

203

tako da je rekonstruisana Hevisajdova funkcija jednaka:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 00 0 0ˆ sinc sinc sinct

u t u t t u t d dτ τ τ τ τπ π π

∞

−∞ −∞

Ω Ω Ω= ∗ Ω = − Ω = Ω .(6.150)

Numeričkom integracijom se može pokazati da maksimalna vrijednost ovog

integrala nastupa za 0

t π=Ω

. Do ovog zaključka se može doći i posmatrajući

grafičko rješavanje konvolucije Hevisajdove i sinc funkcije ilustrovano na Slici 6.23. Vidljivo je da se najveća površina ispod proizvoda ove dvije funkcije

dobije kada se prednja ivica reflektovane Hevisajdove funkcije nađe u 0

t π=Ω

,

što je prikazano punom linijom na Slici 6.23(b).

Maksimalna vrijednost ( )û t je za 9% veća od vrijednosti Hevisajdove funkcije i ne zavisi od širine prozorske funkcije 0Ω . Sa povećanjem širine prozorske funkcije u frekvencijskom domenu smanjuje se širina glavnog luka i razmak između nula sinc funkcije u vremenskom domenu, ali istovremeno, shodno osobini skaliranja Furijeove transformacije, proporcionalno raste njena amplituda. Zbog toga pri povećanju širine prozorske funkcije frekvencija oscilacija u rekonstruisanom signalu raste, povećava se strmina u okolini tačke gdje originalni signal ima prekid i preskok se pomjera prema tački prekida postajući sve uži, ali vrijednost maksimuma rekonstruisanog signala, koji odgovara površini ispod proizvoda Hevisajdove i sinc funkcije u trenutku

0

t π=Ω

ostaje 1,09. I pored toga što pri povećanju frekvencijskog opsega na

osnovu kog se vrši rekonstrukcija signala preskok ostaje iste visine, period oscilacija u rekonstruisanom signalu postaje sve kraći, tako da se srednjekvadratna greška sve više smanjuje. Za ilustraciju navedenog, na slikama 6.24 i 6.25 prikazan je Gibsov fenomen koji se javlja pri rekonstrukciji pravougaonog impulsa. Širina prozorske funkcije na Slici 6.25 je dva puta veća od širine prozorske funkcije na Slici 6.24, tako da se na ovim slikama može pratiti uticaj širine prozorske funkcije na oblik oscilacija koje se javljaju u rekonstruisanom signalu.

GLLAVA

20

(a) (b (c) Sli

A 6

04

)

b)

)

ika 6.223 Re(a)(bko

eko) p

b) ponv

onst( )p tom

volu

truk- in

mjerucije

kcijnveranje i

ja Herzne re(c)

Hevna Feflekon

visaFurektonvo

ajdorijeoovaoluc

ove ovaane cija

funa traHe

a H

nkcansevisevi

cije for

sajdsajd

iz ormadovdov

ogracijave fuve f

rania prunkfunk

ičenrozkcijkcij

nogzorse pje s

g spske

pri osa p

pektfun

odr(p t

tra nkceđiv) .

sigcije;van

gnal; nju

la:

Furijeova transformacija

205

6.10 Hilbertova transformacija

Za kauzalni signal moguće je uspostaviti vezu između realnog i imaginarnog dijela njegove Furijeove transformacije. Da bismo to pokazali, pođimo od činjenice da svaki kauzalan signal, koji je jednak nuli za 0t < , možemo zapisati na sljedeći način:

( ) ( ) ( )x t x t u t= ⋅ . (6.151) Množenju dva signala u vremenskom domenu odgovara konvolucija

njihovih Furijeovih transformacija u frekvencijskom domenu, pa dobijamo:

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )12

X x t x t u t X Uπ

Ω = = ⋅ = Ω ∗ ΩF F , (6.152)

gdje je ( ) ( ){ }X x tΩ =F i ( ) ( ){ }U u tΩ =F . Sada je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 12

1 1 1 1 1 1 .2 2 2 2

X R jI R jIj

R I j I R

πδπ

δ δπ π

Ω = Ω + Ω = Ω + Ω ∗ Ω + = Ω

= Ω ∗ Ω + Ω ∗ + Ω ∗ Ω − Ω ∗ Ω Ω

(6.153)

Na osnovu (4.31) znamo da je konvolucija signala sa Dirakovim impulsom pomjerenim u tačku 0t jednaka tom signalu pomjerenom u tačku 0t . Zbog toga su konvolucije sa Dirakovim impulsima u (6.153) jednake:

( ) ( ) ( )R RδΩ ∗ Ω = Ω , (6.154)

( ) ( ) ( )I IδΩ ∗ Ω = Ω . (6.155) Tako dobijamo da je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 12 2 2 2

R jI R I j I Rπ π

Ω + Ω = Ω + Ω ∗ + Ω − Ω ∗ Ω Ω . (6.156)

GLLAVA

20

(a) (b (c)

A 6

06

)

b)

)

Slikka 66.244 Gibsp2Ωpro

bsoekt

01Ω ozo

ov ftar oi (c

orsk

fenoorigc) pke f

omginaproifun

menalnoizvo

nkci

(freog od ije.

ekvsignam

vennal

mplit

cijsa; (tud

ski d(b) pdno

domprog sp

menozopek

n): rskktra

(a) ka fua sig

amunkgna

mplikcijala i

ituda šii

dni irinne

Sliika 6.224 Gi(efup

ibsoe) punk

(1p t

ov (1p t

kcije) .

fen)t -

e šir

nominvrine

menverze 2

n (vzna

01Ω

vremFu

1 i (

menurije(f) k

nskieovkon

i dova trnvo

omeran

oluc

en)nsfocija

Fur

: (dormori

rijeo

d) omaciigin

ova

origija pnaln

a tra

ginapronog

ansf

alni ozorg sig

form

sigrskegnal

mac

2

gnale la s

cija

207

(d)

(e)

(f)

l;

sa

GLLAVA

20

(a) (b (c)

A 6

08

)

b)

)

Slikka 66.255 Gibsp2Ωpro

bsoekt

02Ωozo

ov ftar o

4=orsk

fenoorig

04Ωke f

omgina01 i fun

menalno(c)

nkci

(freog pro

ije.

ekvsignoizv

vennalvod

cijsa; (d am

ski d(b) pmp

dompro

plitu

menozoudn

n): rsk

nog

(a) ka fu

spe

amunkektr

mplikcijra s

ituda šisign

dni irinnala

ne a i

Sliika 6.225 Gi(efusig

ibsoe) punkgna

ov (2p t

kcijeala s

fen)t -

e širsa

nominv

rine

2p

menverze 2( )t

n (vzna

02Ω

.

vrema Fu2 =

menurij4Ω

nskieov01Ω i

i dova ti (f)

ometran) ko

en)nsfoonv

Fur

: (dormvolu

rijeo

d) omaciucij

ova

origcija a o

a tra

ginapro

origi

ansf

alni ozoinal

form

sigorsklno

mac

2

gnalke og

cija

209

(d)

(e)

(f)

l;

GLAVA 6

210

Razdvajajući realne i imaginarne dijelove (6.155), zaključujemo da realni i imaginarni dio Furijeove transformacije kauzalne funkcije možemo izraziti na sljedeći način:

( ) ( ) ( )1 1 1 IR I dπ π

∞

−∞

ΨΩ = Ω ∗ = Ψ

Ω Ω − Ψ , (6.157)

( ) ( ) ( )1 1 1 RI R dπ π

∞

−∞

ΨΩ = − Ω ∗ = − Ψ

Ω Ω − Ψ . (6.158)

Dvije prethodne relacije uspostavljaju vezu između realnog i imaginarnog dijela Furijeove transformacije kauzalnog signala, te kažemo da realni i imaginarni dio Furijeove transformacije kauzalnog signala obrazuju Hilbertov transformacioni par dat sa (6.157) i (6.158). To znači da je za rekonstrukciju kauzalnog signala dovoljno poznavati samo realni ili imaginarni dio njene Furijeove transformacije, jer se pomoću Hilbertove transformacije rekonstruiše nepoznati imaginarni, odnosno realni dio Furijeove transformacije.