MECHANIKA PYNW - LABORATORIUM

Zakad Inynierii Procesowej 1

8. USTALONY WYPYW CIECZY

1. Wstp teoretyczny.

1.1. Rwnanie Bernoulliego dla pynu doskonaego.

Przepyw (wypyw) pynu odbywa si tylko w momencie zaistnienia rnicy cinie. Przepyw pynu, w zalenoci od liczby Reynoldsa, moe mie charakter laminarny (uwarstwiony), lub turbulentny. Przepyw moe by rwnie ustalony, gdy jego prdko jest tylko funkcj miejsca, oraz nieustalony, gdy prdko jest dodatkowo funkcj czasu. Dla przykadu, kiedy oprniany jest zbiornik mamy do czynienia z nieustalonym wypywem cieczy, poniewa poziom cieczy w zbiorniku obnia si, a co za tym idzie zmniejsza si rwnie wysoko supa cieczy, a tym samym prdko wypywu. Gdyby jednak, w trakcie wypywu, utrzymywa lustro cieczy na staym poziomie, wysoko supa cieczy byaby staa w czasie, wystpowaby wypyw ustalony ze sta prdkoci.

W celu wyznaczenia prdkoci wypywu cieczy, lub objtociowego natenia przepywu przez otwory w cianie lub dnie zbiornika wykorzystuje si rwnanie Bernoulliego. Zagadnienie to rozwizuje si w oparciu o teori przepywu jednowymiarowego pynu.

Rwnanie Bernoulliego jest jednym z podstawowych rwna mechaniki pynw, wyraajcym zmiany energii mechanicznej (przemian energii kinetycznej i potencjalnej) strumienia pynu. Rwnanie zachowania energii dla strugi cieczy idealnej wyprowadza si porwnujc energi pynu midzy dwoma przekrojami poprzeczni strugi, przy zaoeniu, e: przepywajcy pyn jest doskonay (nielepki =0, nieciliwy =const.), przepyw jest stacjonarny (ustalony), tzn. pochodna czstkowa dowolnego parametru

przepywu wzgldem czasu jest rwna zeru, przepyw odbywa si bez wymiany ciepa i masy,

do pynu nie jest dostarczana z zewntrz adna energia mechaniczna, przepyw ma miejsce w jednorodnym polu grawitacyjnym. Przy powyszych zaoeniach rwnanie Bernoulliego przyjmuje ogln posta:

.

2

2

constgzpv =++

(1)

Mnoc wszystkie czony rwnania (1) przez gsto pynu () otrzymujemy rwnanie bilansujce energi mechaniczn i prac si tarcia w odniesieniu do jednostki objtoci pynu:

MECHANIKA PYNW - LABORATORIUM

Zakad Inynierii Procesowej 2

.

2 02

constppppghpv hd ==++=++

(2)

Wszystkie czony powyszego rwnania maj wymiar [Pa]. Dzielc obie strony rwnania (2) przez czon g (ciar waciwy pynu) otrzymamy:

.

2 02

consthhgp

gv

==++

(3)

gdzie:

gv

2

2

wysoko prdkoci [m],

gp

wysoko cinienia [m],

h wysoko pooenia [m]. Zaleno wyraon rwnaniem Bernoulliego w postaci (3) mona opisa w nastpujcy

sposb: dla kadego punktu linii prdu (przekroju strugi) cieczy doskonaej, znajdujcej si w ruchu ustalonym pod dziaaniem wycznie siy cienia jako siy masowej, suma wysokoci pooenia, wysokoci cinienia i wysokoci prdkoci jest wartoci sta. Poniej przedstawiono graficzn posta rwnania Bernoulliego (rys. 1).

Rys. 1. Graficzna interpretacja rwnania Bernoulliego.

Z rysunku 1 wynika, e rozpatrywana linia prdu wzniesiona jest ponad pewien poziom porwnawczy oznaczony jako z. Jeeli nad kadym punktem bdziemy odkada w gr

pewn wysoko

gp

, to otrzymamy lini cinienia. Linia cinienia obrazuje sum

+ z

gp

, czyli przebieg wartoci energii potencjalnej. Odmierzajc od linii cinienia

MECHANIKA PYNW - LABORATORIUM

Zakad Inynierii Procesowej 3

warto wysokoci prdkoci

gv

2

2

otrzymamy lini energii. Jak wida sumaryczna energia

jest wartoci sta. 1.2. Wypyw ze zbiornika.

Z ustalonym wypywem cieczy mamy do czynienia, gdy swobodna powierzchnia (zwierciado) cieczy pozostaje na niezmienionej wysokoci z =(z1-z2)= const. (rys.2.)

Rys. 2. Ustalony wypyw cieczy przez may otwr w dnie zbiornika.

Oznaczajc przez A1

pole powierzchni zwierciada cieczy w zbiorniku, v1

prdko i p1

cinienie w przekroju pierwszym, natomiast A2, v

2, p

2, powierzchni otworu znajdujcego si

w dnie zbiornika, prdko wypywajcej cieczy oraz cinienie w przekroju wylotowym, rwnanie Bernoulliego bdzie miao posta:

22

22

11

21

22z

gp

gv

zg

pg

v++=++

. (4)

Gdy powierzchnia zwierciada cieczy A1

jest duo wiksza od powierzchni otworu A2

(A1

>> A2) zakada si, e mamy do czynienia z wypywem cieczy przez may otwr. Wynika z

tego, e prdko v1

jest bardzo maa w porwnaniu z prdkoci v2

, wic czon

gv

2

21 moe

by pominity. Ponadto cinienie w obu przekrojach nieznacznie si od siebie rni i mona przyj, e p

1 = p

2 = p

a (cinienie atmosferyczne). Liniowa prdko teoretyczna wynosi,

wic:

( )212 2 zzgvv t == . (5)

MECHANIKA PYNW - LABORATORIUM

Zakad Inynierii Procesowej 4

Powysze rwnanie to tzw. wzr Torricelliego. Wynika z niego, e teoretyczna prdko wypywu cieczy przez may otwr w cianie lub dnie zbiornika zaley tylko od gbokoci jego zanurzenia pod lustrem cieczy. W rzeczywistoci prdko wypywu jest mniejsza od wyznaczonej z rwnania (5). Wynika to z istnienia si masowych oraz si stycznych (lepkoci) wystpujcych w pynach rzeczywistych.

1.2.1. Wspczynnik strat prdkoci.

Wpyw lepkoci cieczy uwzgldniono wprowadzajc do rwnania (5) wspczynnik poprawkowy (strat prdkoci) , definiowany wzorem:

t

rz

v

v= ( )1 . (6)

Podstawiajc (5) do rwnania (6) otrzymujemy rwnanie na rzeczywist prdko liniow:

( )212 zzgvv trz == . (7) 1.2.2. Wspczynnik kontrakcji.

Obserwacje strugi cieczy wypywajcej przez otwr dowodz, e przekrj strugi w pewnej odlegoci od otworu jest mniejszy ni przekrj samego otworu. Zjawisko to nosi nazw kontrakcji strugi i wynika z faktu istnienia si masowych w pynie. Pyn znajdujcy si w zbiorniku dopywa do otworu z maymi prdkociami ze wszystkich kierunkw i zostaje przypieszony w jego okolicach. Elementy pynu pynce w pobliu cianek nie mog gwatownie zmieni zarwno moduu jak i kierunku wektora prdkoci. Pene przewenie strugi nastpuje dopiero w pewnej, niewielkiej odlegoci od paszczyzny otworu. Dopiero w tym miejscu ustala (wyrwnuje) si w caej strudze cinienie, w przyblieniu rwne cinieniu atmosferycznemu. Wektory prdkoci czstek pynu s w caym przekroju rwnolege.

Rys. 3. Strumie cieczy wypywajcej przez may otwr w cianie bocznej zbiornika.

MECHANIKA PYNW - LABORATORIUM

Zakad Inynierii Procesowej 5

Stosunek powierzchni przekroju strugi Fs

do powierzchni otworu F0 (A2) nazywa si

wspczynnikiem kontrakcji (przewania) strugi:

0FFS

= . (8)

Warto wspczynnika kontrakcji zaley od uksztatowania krawdzi otworu, zaokrglenia jego brzegw oraz chropowatoci. Zjawisko kontrakcji uwidacznia si najbardziej dla otworw ostrokrawdziowych. Dla otworu okrgego o delikatnie zaokrglonych krawdziach i maej chropowatoci warto wspczynnika kontrakcji moe osign jedno.

Rys. 4. Warto liczby kontrakcji w zalenoci od uksztatowania krawdzi otworu.

Zwenie strugi jest zjawiskiem niepodanym, gdy jest czynnikiem prowadzcym do zmniejszenia natenia przepywu przez otwr. Dlatego aby wyeliminowa zjawisko kontrakcji stosuje si rnego rodzaju przystawki, formujce przekrj strugi na pewnym odcinku przed wylotem. Przystawki s krcami bdcymi przedueniem otworu zbiornika lub stanowicymi zakoczenie kanau. Przystawki maj na celu nadanie kierunku wypywajcemu strumieniowi oraz zwikszenie iloci wypywajcego pynu.

1.2.3. Wspczynnik wypywu.

Wspczynnik przepywu (wypywu) obejmuje oba wyej wymienione zjawiska. Jeeli przejmiemy, e rzeczywiste objtociowe natenie przepywu wynosi:

rzSrz vFV =

, (9)

podstawiajc rwnania (7) oraz (8) otrzymamy:

ttrzsrz VvFvFV

=== 0 , (10)

MECHANIKA PYNW - LABORATORIUM

Zakad Inynierii Procesowej 6

gdzie tV

to teoretyczne objtociowe natenie wypywu:

220 vAvFV tt ==

. (11)

Przeksztacajc rwnanie (10) otrzymujemy zaleno okrelajc wspczynnik wypywu:

=

t

rz

V

V , (12)

= , (13) gdzie to wspczynnik przepywu (wypywu).

W przypadku wypywu cieczy przez otwr ostrokrawdziowy, warto = 0,61-0,63. Wida std, e bez jego uwzgldnienia przy obliczeniu objtociowego natenia przepywu mona popeni bd rzdu 40 %. Poniej przedstawiono zaleno parametrw , , od liczby Reynoldsa.

Rys. 5. Wykres zalenoci , , =f(Re).

2. Stanowisko pomiarowe.

Stanowisko pomiarowe stanowi zbiornik przelewowy umieszczony na stojaku. Zbiornik zbudowany jest z szeciu komr, z czego komora pierwsza oraz ostatnia s zbiornikami regulujcymi, a zbiorniki od 2 do 5, pomiarowymi. Przelewy zapewniaj stay poziom cieczy.

MECHANIKA PYNW - LABORATORIUM

Zakad Inynierii Procesowej 7

Poniej przedstawiono schemat stanowiska pomiarowego.

Rys. 6. Schemat stanowiska pomiarowego.

W dnie zbiornika znajduj si otwory o nastpujcych rednicach:

Komora I Pomiarowa

d1 = 1 [mm] d2 = 2 [mm] d3 = 3 [mm]

Komora II Pomiarowa

Komora III Pomiarowa

Komora IV Pomiarowa

Komora V Pomiarowa

Komora VI Odpywowa Otwr odpywowy d = 25,4 [mm]

3. Przebieg wiczenia.

3.1. Wypeni zbiornik wod, tak, aby komory 1 5 zostay zupenie zalane i woda przelewaa si do komory odpywowej.

3.2. Ustali minimalny przepyw wody. 3.3. Usun zalepk i chwil odczeka do ustalenia si wypywu. 3.4. Dokona pomiaru objtociowego natenia wypywu, mierzc (stoperem) czas

napenienia cylindra miarowego o pojemnoci 500 [cm3]. 3.5. Zaoy zalepk. 3.6. Wykona po 3 pomiary dla kadego otworu w komorach pomiarowych.

MECHANIKA PYNW - LABORATORIUM

Zakad Inynierii Procesowej 8

3.7. Zmierzy wysoko supa cieczy w poszczeglnych komorach. 3.8. Do celw obliczeniowych zmierzy temperatur wody w zbiorniku.

4. Opracowanie wynikw.

4.1. Korzystajc z rwnania (5) wyznaczy teoretyczn prdko liniow wypywu (vt). 4.2. Korzystajc z rwnania (11) obliczy teoretyczne objtociowe natenie

wypywu ( tV

). 4.3. Na podstawie dokonanych pomiarw wyznaczy rednie rzeczywiste objtociowe

natenie wypywu:

.r

rzt

VV =

, (14)

gdzie: V objto cylindra uytego w czasie pomiarw [m3], tr. redni czas napenienia cylindra [s].

4.4. Wyznaczy rzeczywist prdko liniow wypywu:

2AV

vrz

rz

= . (15)

4.5. Wyznaczy liczb Reynoldsa:

=

dvrzRe , (16)

gdzie: d rednica otworu pomiarowego [m], gsto [kg/m3], lepko [ ]sPa wody w temperaturze pomiaru. Lepko i gsto wody wyznaczy z zalenoci:

dla T = 0 40 [oC] ][kg/m )2,67(57,503)283()4(1000 3

2

+

+=

TTT , (17)

dla T = 25 100 [oC] ][kg/m )67(7,466)273()4(1000 3

2

+

+=

TTT , (18)

2)0(

)( 000221,00337,01 TTT ++=

, (19)

gdzie: T temperatura [C], (0) lepko wody w T=0 [C] ((0)=0,00179 ]sPa[ ). 4.6. Korzystajc z rwnania (12) wyznaczy wspczynnik wypywu (). 4.7. Wykreli wykres = f(Re) dla obu rednic otworw (2 wykresy w 1 ukadzie).

MECHANIKA PYNW - LABORATORIUM

Zakad Inynierii Procesowej 9

4.8. Sformuowa wioski. Tab. 1 Tabela pomiarowa (wzr).

Nr komory d [m] Nr pom. h [m] t [s] tr.. [s] T [C] II 0,0014 1

II 0,0014 2

II 0,0014 3

II

0,003 1

II 0,003 2

II 0,003 3

... ... ... ... ... ... ...

5. Wykaz stosowanych oznacze.

Symbol: Opis: Wymiar:

V objtociowe natenie przepywu [m

3/s]

A, F powierzchnia otworu [m2] d rednica otworu [m] g przypieszenie grawitacyjne [m/s2]

h, z

wysoko [m] p cinienie [Pa] pd cinienie dynamiczne [Pa] ph cinienie hydrostatyczne [Pa] t czas wypywu [s] T temperatura [C] v prdko liniowa [m/s] wspczynnik wypywu [-] c lepko dynamiczna s][Pa wspczynnik oporu przepywu [-] wspczynnik kontrakcji [-] gsto [kg/m3] wspczynnik strat prdkoci [-]

6. Literatura uzupeniajca.

Mechanika pynw z hydraulik, Grybo R., Wyd. VIII, Politechnika lska, Skrypty

uczelniane Nr 1610, Gliwice 1990 r.

Mechanika pynw w inynierii rodowiska, Orzechowski Z., Prywer J., Zarzycki R. WNT, Warszawa 2001 r.

Procesy mechaniczne w inynierii chemicznej, Koch R., Noworyta A., wyd. III, WNT, Warszawa 1998 r.

MECHANIKA PYNW - LABORATORIUM

Zakad Inynierii Procesowej 10

Tab. 2 Tabela obliczeniowa (wzr).

Nr komory d [m] twyp. [s] h [m] vt [m/s] tV

[m3/s] rzV [m3/s] vrz [m/s] Re [-] [-]

II 0,0014

0,003

III 0,0014

0,003

IV 0,0014

0,003

V 0,0014

0,003