Resolución de Circuitos ifá iTrifásicos

IntroducciónEn la actualidad la mayoría (o todos) los SistemasEléctricos de Potencia (S E P) Generación de EnergíaEléctricos de Potencia (S.E.P) Generación de Energía,Transmisión, Distribución y Consumos son trifásicos.¿Por qué?¿Por qué?Esta modalidad presenta ventajas Técnico-Económicas (v/s monofásicas)

1) Habíamos visto que para un sistema monofásico de C.A. laexpresión para la potencia instantánea

)2cos()cos()( βαωϕ +++= tIVIVtpefefefef

Es pulsantepulsante y depende del tiempo y oscila alrededor delvalor medio de la potencia con una frecuencia igual al doblede la frecuencia ω

Demostraremos que en un sistema trifásico (balanceado) lapotencia instantánea eses constanteconstante e igual a la potencia

dimedia.

Φ== 3)cos(3)( PIVtp efef ϕ

2) Los circuitos trifásicos requieren menor sección de losconductores que para circuitos monofásicos ⇒ que el peso totalconductores que para circuitos monofásicos ⇒ que el peso totaldel sistema 3Φ es menor que el del sistema 1Φ

En efecto, considerando, igual potencia transmitida, igual tensión de fase y factor de potenciatensión de fase y factor de potencia

cos3)(

ϕefef IVPoequilibradTrifásico

=ϕcosefef IVPMonofásico=

)cos9

(33 22

2'2'

1 ϕ

ϕ

efef

efef

VPRIRpérdidas ==ϕ

2

22 )cos

(22ef

ef

efef

VPRRIpérdidas ==

é d dl d

ϕ22

2

cos2

efVRPpérdidas =

VPR

VPR

pérdidasigualando

efef)

cos9(3)

cos(2 22

2'

22

2=

ϕϕ

RRRR

ff

66 '' =⇒=

Por otro lado para la misma resistividad y longitud dela líneala línea

'' 6

6 SSSL

SL

=⇒=ρρ

S: Sección Transversal del conductor del sistema

6SS

monofásicoS’: Sección Transversal del conductor del sistemat ifá itrifásico

Es posible demostrar que el peso total de los conductores delsistema trifásico es aproximadamente la cuarta parte del pesosistema trifásico es aproximadamente la cuarta parte del pesototal de los conductores del sistema monofásico ⇒ menorescostos montaje (construcción) y mantenimiento (Estructurasmenos voluminosas mas espaciadas menos cobre etc)menos voluminosas, mas espaciadas , menos cobre , etc)

3) Para una misma potencia, un generador o motor trifásico es) p , gmas pequeño (menor costo) que su correspondientemonofásico. Respecto del rendimiento 1Φ(65%), 3Φ(85%).

Definición de Fuente 3Φ Equilibrada

Una fuente que puede ser representada por 3f ó fáfuentes de tensión monofásicas conectadasformando una estrella o un triángulo como enl fla figura:

Constituye una fuente trifásica Equilibrada siempreque se den las relaciones siguientes:que se den las relaciones siguientes:

)1 321 ==Δ== cbannn VVVenVVVYen

00)2...

3.

2.

1.

=++Δ=++ cbannn VVVenVVVYen

Para que la suma de las tensiones sea nula debecumplirse que las 3 tensiones tengan el mismocumplirse que las 3 tensiones tengan el mismomodulo(magnitud) y diferencias de fase de 120ºexactamente.exactamente.

Si elegimos “arbitrariamente” para la conexión “Υ” elfasor V como referencia podemos tener dosfasor V1 como referencia, podemos tener dossituaciones

en que: º01 ⟨=⋅

VV

º1202

⟨⟨

⟨−=⋅

⋅VV

º240º1203 ⟨−=⟨= VVV

)sec( −−⇒+Δ cbaen

º0

)sec(

' ⟨=

⇒+Δ

⋅VV

cbaen

a

º120

''

' ⟨−=⋅

⋅VV b

a

º240º120 '' ⟨−=⟨= VVV c

La otra posibilidad:

en que º01 ⟨=⋅

VV

º1202 ⟨=⋅

⋅VV

º240º1203 ⟨=⟨−= VVV

Secuencia de fase: Es el orden en que las 3 tensiones alcanzan sus máximos.

En efecto para una secuencia de fases 1-2-3(secuencia positiva) se tiene(secuencia positiva) se tiene

º120)º120cos()(

º0cos)(

2

1

=−=

==

tenmáximosutienetVtv

tenmáximosutienetVtv

ωω

ωω

º240)º240cos()(

120)120cos()(

3

2

=−= tenmáximosutienetVtv

tenmáximosutienetVtv

ωω

ωω

En un gráfico:

Observación

inicialfasorVSea º5030⟨=⋅

{ }}rotacionaloperador

tjjtj eeettv ωωω º50)º50( 3030)º50cos(30)( ⇒ℜ=+= +{ } j

principalfasor

jj eeettv ω 321)( 3030)50cos(30)( ⇒ℜ=+=

Equivalente entre fuente 3Φ (Υ Δ)Equivalente entre fuente 3Φ (Υ-Δ)equilibrado

Tensiones de Línea y de Fasef fCada una de las 3 fuentes 1Φ empleadas para formar

una fuente 3Φ se llama generador de fase.

La tensión asociada con cada generador defase se denomina “tensión de fase” de lafase se denomina “tensión de fase” de lafuente trifásica.La tensión entre dos de los tres terminales deLa tensión entre dos de los tres terminales delínea se llama “tensión entre línea” osimplemente “tensión de línea”simplemente tensión de línea .Ambas fuentes son equivalentes si lastensiones entre cada pareja de terminalestensiones entre cada pareja de terminalescorresponden exactamente a las que se dan acontinuación:continuación:

Luego:

21''⋅⋅⋅

−= VVV ba aba VV⋅⋅

=''

32''⋅⋅⋅

−= VVV cb bcb VV⋅⋅

=''

13''⋅⋅⋅

−= VVV ac cac VV⋅⋅

=''

Supongamos en lo que sigue sec(+) y veamos larelación que existe entre ambas fuentesrelación que existe entre ambas fuentes.

{ } º30333311º1201º01120º0º120

º0

)(

1

⟨⎟⎞

⎜⎛⎪

⎬⎫⎪

⎨⎧

⎟⎞

⎜⎛

⟨⟨⟨⟨⎪⎪⎪

⎨

⎧

⟨

⟨=⋅⋅⋅

⋅

VjVjVVVVVVVV

VV

R li d l i áli i bti t

{ } º3032222

1º1201º01120º0

º120

º120)sec( ''

3

2 ⟨=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨ ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

−−=⟨−−⟨=⟨−−⟨==

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎨

⟨=

⟨−=+⋅

VjVjVVVVVV

VV

VV aba

Realizando el mismo análisis se obtiene entonces

º30333'' ⟨=⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

+==⋅⋅

VjVVV aba

( ) º9033

22

''

⎞⎛

⟨−=−==

⟨⎟⎠

⎜⎝

⋅⋅VjVVV

j

bcb

aba

º150323

23

'' ⟨=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−==

⋅⋅VjVVV cac

En una gráfica

VV a º30'⎪⎧

⟨=⋅

VV

VV

VV

VV

b

a

3'

º150'

º90'

30

)sec( =⇒

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨

⟨

⟨−=

⟨

+⋅

⋅

VV a º150'⎪⎪⎩

⟨=

Suponiendo ahora como referencia Va’b’ (rotando elsistema anterior)sistema anterior)

º03'' ⟨==⋅⋅

VVV b ⎪⎧

⟨−=⋅

301 VV

1203

03

''

''

⇒⟨−==

⟨==⋅⋅

VVV

VVV

bcb

aba

⎪

⎪⎪⎪

⎨ ⟨−=

⟨⋅

1502 VV

º1203'' ⟨+==⋅⋅

VVV cac⎪⎪⎪

⎩⟨+=

⋅903 VV

⎩

De las relaciones anteriores se puedeconcluir que la amplitud de la tensiónde línea es √3 veces la tensión de fasede línea es √3 veces la tensión de fase

VV 3 fLL VV 3=

Resolución de Circuitos 3Φ Equilibrados

Definiciones:Carga Equilibrada : Tres impedancias igualesconectadas en estrella o delta forman una cargatrifásica equilibradatrifásica equilibrada.

Terminales de Línea: Son los terminales de la carga (a’,b’,c’)Corrientes de Línea: Son las corrientes que circulan por losCorrientes de Línea: Son las corrientes que circulan por losterminales de línea (Ia’,Ib’, Ic’)Impedancia de fase: Se le llama así a cada una de lasimpedancias de la carga (Z o Z’)Corriente de fase: Son las corrientes que circulan por cadaimpedancia de faseimpedancia de faseTensiones de fase: Son las tensiones en cada impedancia defaseCircuito Equilibrado: Si una carga equilibrada esta alimentadapor una fuente trifásica equilibrada el conjunto recibe el nombrede “Circuito trifásico Equilibrado”q

Circuitos con Carga en Conexión ΥCircuitos con Carga en Conexión ΥEquilibrada

Supongamos sec(+)

º120º120º0 321 ⟨=⟨−=⟨=⋅⋅⋅

VVVVVV

n y n’ eléctricamente son el mismo punto, dicho deotra manera están al mismo potencial V 0 Enotra manera están al mismo potencial, Vnn’=0. Enefecto utilizando el Teorema de Millman:

∑n

1=

∑

∑=

Y

VYV n

k

kkrpk

pr

''''

1

++++

=

∑=

YYYVYVYVYV

Y

cncnbnbnanannn

kpk

0)(1

'

'''

=++

=

++

VVVZV

YYY

cnbnan

cnbnan

013'

Z

V nn

Conclusión: En un circuito 3Φ equilibrado laó ftensión entre el punto neutro de la fuente y

el punto neutro de la carga es cero.Como la tensión entre los puntos n y n’ essiempre cero no circulará corriente entreestos puntos si se conectan a través de unaimpedancia o se cortocircuitan. Si suponemosque la impedancia de la carga es:

⟨⋅

ZZ ϕ⟨= ZZ

El cálculo de las corrientes será directo, esto es: ⋅⋅⋅

ϕϕϕ −⟨==−⟨−==⟨−== ⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅º120º120 3

'2

'1

'ZV

Z

VIZV

Z

VIZV

Z

VI cba

Observe que es suficiente conocer una corriente, las demás se desfasan en 120º (conocida naturalmente la secuencia de fase)la secuencia de fase)

⋅⋅⋅⋅⋅⋅º1201º1201 '''''' ⟨=⟨−== acabaa IIIIII

Observando las relaciones, estos nos dan 3 circuitosequivalentes monofásicos (por ser equilibrado) El que sóloequivalentes monofásicos (por ser equilibrado). El que, sólopara no perder configuración, podemos dibujar:

Si el circuito es equilibrado se puede trabajar con lo que sedenomina su “Equivalente por fase”. (Observe que si la fuente3Φ de tensión esta en conexión Δ esta se transforma a una3Φ de tensión esta en conexión Δ, esta se transforma a unafuente de tensión 3Φ en estrella.

Circuito Equilibrado con Carga en Δ

Sea el circuito

⟨==⟨−==⟨==⋅⋅⋅⋅⋅⋅

º120 º120 º0 VVVVVVVVV cacbcbaba

Las corrientes de fase (aplicando Ley de Ohm)

ϕ⟨=⋅

'' ZZ

º'

'

º'

''

'120 120 −⟨==−⟨−==⟨−== ⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅ ca

cabc

bcab

abZV

Z

VIZV

Z

VIZV

Z

VI ϕϕϕ

ºº.

120 120 :entoncesescribir puede se ⟨=⟨−=⋅⋅⋅

abcaabbc IIII

ZZZ

Las corrientes de línea:

[ ]

[ ] º15031º1201

º303º12011

⟨⟨

⟨−=⟨−=−=⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅ababcaaba

IIIII

IIIII

[ ]

[ ] º903º1201º1201

º15031º1201

⟨=⟨−⟨−=−=

⟨−=−⟨−=−=⋅⋅⋅⋅⋅

ababbccac

abababbcb

IIIII

IIIII

Observe que si la fuente estuviera en Υ se transforma a unafuente Δ equivalente o bien se transforma la carga en Δ a una

[ ] 90312011201 ⟨⟨⟨ ababbccac IIIII

fuente Δ equivalente o bien se transforma la carga en Δ a unacarga en Υ equivalente, lo que permite obtener fácilmente lascorrientes de línea. Recuerde que

1Δ= ZZY 3

1

Magnitudes de Línea y de Fase

Sean:

)( magnitudlineadetensionVVVV bb⋅⋅⋅

)(

)(

magnitudlineadecorrienteIIII

magnitudlineadetensionVVVV

cbaL

cabcabL

⋅⋅⋅===

===

)( magnitudfasedetensionVVVV cnbnanf

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅===

)( magnitudfasedecorrienteIcIII cababf ===

Caso Υ fL II =

Caso Δ fL VV =

Caso Υ Relación entre la tensión de línea y la tensión de fase,considerando secuencia positiva, y suponiendo conocidas lascorrientes de línea:corrientes de línea:

º120º120º0 ⟨=⟨−=⟨=⋅⋅⋅

IfIIfIIfI cba

Si suponemos adicionalmente que la fuente esta en Υ:

VVV⋅⋅⋅

bnanab VVV −=

entonces: baab IZIZV

⎞⎛

−=⋅⋅⋅⋅⋅

( )

baab IIZV ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

( )

fab

fab

IZV

IZV

º303

1201º01

⟨=

⟨−−⟨=⋅⋅

}

f

V

fabL VIZVV

f

33 ===⋅⋅

ff

VV 3= fL VV 3=

Caso Δ Relación entre la corriente de línea y la corriente defase considerando secuencia positiva y suponiendo conocidasfase, considerando secuencia positiva, y suponiendo conocidaslas tensiones de fase: º120º120º0 ⟨=⟨−=⟨=

⋅⋅⋅VVVVVV cabcab

⋅⋅

⋅

⋅⋅⋅−= III caaba

⋅⋅

⋅−=

'' Z

V

Z

VI caaba

( )⋅

⋅

⋅⟨−⟨= º1201º01VI a

'Z

reemplazando:

}

º303⟨

⋅

⋅fI

VII 303'

⟨−==⋅

aL

Z

II

fL II 3= f

Circuitos DesequilibradosCircuitos Desequilibrados (Fuente Equilibrada)

Carga en Δ desequilibrada

caaba III⋅⋅⋅

−=

abbcb III⋅⋅⋅

−=

bccac III⋅⋅⋅

−=

caca

bcbc

abab

VIVIVI ⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

===cabcab ZZZ

⋅⋅⋅

Carga en Δ abierta

Carga en Υ desequilibradaCarga en Υ con Neutro encadenado

cnc

bnb

ana

VIVIVI ⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

⋅

⋅⋅

=== '''

Aplicando la Ley de corrientes de Kirchhoff en eld ’

cba ZZZ

nudo n’.

S i d id l f t tincba IIII

⋅⋅⋅⋅=++

Suponiendo conocida la fuente se tiene que:

nnan VVV '1'⋅⋅⋅

−=

nnbn VVV '2'

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅−=

nncn VVV '3' −=

Debemos entonces determinar el valor de Vn’n.Aplicando Teorema de MillmanAplicando Teorema de Millman

1

n

pk krk

Y VV =

∑1

1

kpr n

pkk

VY

=

=

=

∑' ' ' '

'' ' ' '

0

n a an n b bn n c cn n n nnn n

n a n b n c n n

Y V Y V Y V Y VVY Y Y Y+ + +

=+ + +

}0

1 2 31 1 1 1

0nn

a b c n

V V V VZ Z Z ZV

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + +

≠' 01 1 1 1a b c n

n n

a b c n

V

Z Z Z Z⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ≠+ + +

Carga en Υ con Neutro sólido (Z=0)

ncba IIII⋅⋅⋅⋅

=++

cbaVIVIVI⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅=== 321

c

c

b

b

a

a

ZZZ⋅⋅⋅

Carga en Υ con Neutro flotante

0=++⋅⋅⋅cba III

nnan VVV '1'

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅−=

0321' ≠

++= ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ cba

nnVYVYVYV nncn

nnbn

VVV

VVV

'3'

'2'

⋅⋅⋅−=

−=

++⋅⋅⋅

cba YYYnncn 3

b VVV⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅ '''

c

cnc

b

bnb

a

ana

Z

VIZ

VIZ

VI ⋅⋅⋅ === '''