08_SCHALL

8/8/2019 08_SCHALL

http://slidepdf.com/reader/full/08schall 1/15

LV 143.020, 143.021 – ET, TM

PHYSIK

LV 138.029 – MB, VT, WI-MB

PHYSIK FÜR INGENIEURE

8. SCHALL

WS 2010/11

Vortragende:N. GURKER, J. CUSTERS

Skriptum:H. EBEL, N. GURKER, M. MANTLER, J. WERNISCH

Dieses Dokument unterliegt dem Urheberrechtsgesetz. Vervielfältigungen, Übersetzungen, Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Medien sind nicht erlaubt.

8/8/2019 08_SCHALL


8. SCHALL

8.1. Kenngrößen

Eine Schallwelle bewirkt in Gasen eine lokale Änderung des Druckes. p p pres stat Schall= + Gl.01a

pSchall ist der Momentanwert des Schalldruckes und pstat der Gasdruck ohne Schallwelle.

In Gasen breitet sich der Schall als Longitudinalwelle aus. Das bedeutet, daß differentiell klei-ne Gasvolumina um ihre Ruhelage schwingen und die Schwingungsrichtung parallel zur Aus-breitungsrichtung der Schallwelle liegt.

Zur Vereinfachung der weiteren Überlegungen möge sich die Schallwelle als ebene Welle inder x-Richtung ausbreiten.

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −⋅=

c

xt p p mSchall ω cos Gl.02a

pm ist der Scheitelwert der Schalldruckamplitude und c die Schallgeschwindigkeit. Die Bewe-

gungsgleichung der differentiell kleinen Gasvolumina lautet

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅=c

xt A ω ξ sin , Gl.03a

wobei A die Amplitude der Auslenkung aus der Ruhelage beschreibt. Die Geschwindigkeit u eines differentiell kleinen Gasvolumens wird durch Ableitung von Gl.03a nach t erhalten.

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −⋅=c

xt uu ω cos0 Gl.04a

u0 =ω A steht für den Maximalwert der Geschwindigkeit.

u0 wird als Schallschnelle bezeichnet.

pm kann auch durch u0 ausgedrückt werden.

p Zum = 0 Gl.05a

Z ist der Wellenwiderstand.

Er errechnet sich aus der Dichte ρ des Mediums und der zugehörigen Schallgeschwindigkeit c

zu Z= ρ c Gl.06a

Ein Vergleich der Schallgeschwindigkeiten (für Longitudinalwellen) in verschiedenen Stoffenzeigt, daß die Ausbreitung im Festkörper um bis zu eine Größenordnung rascher erfolgt.

Stoff H2 He N2 O2 CO2 Al Stahl Cu Sn Au Pbc(m/s) 1309 1007 349 326 266 5100 5100 3900 2600 2100 1300

Zum Vergleich des Wellenwiderstandes Z in Gasen und in Festkörpern sei für das Gas eineDichte von 1kg/m3 und für den Festkörper von 5000kg/m3 angenommen. Das Verhältnis der

Schallgeschwindigkeiten im Gas und im Festkörper betrage 1:5. Dann verhalten sich die Wel-lenwiderstände Z Gas: Z Festkörper wie 1:25000.

98

8/8/2019 08_SCHALL


Schall

Der Wellenwiderstand eines Festkörpers ist wesentlich höher als jener eines Gases.

Zur Beurteilung von Schallereignissen müssen die Schalldrücke gemessen werden. Für jedeWelle gilt, daß das arithmetische Mittel über eine volle Periode gleich null ist. Das arithmeti-sche Mittel wird aus diesem Grunde durch den quadratischen Mittelwert oder Effektivwert

p Eff ersetzt.

∫ ⋅=T

Schall Eff d pT

p

0

2 ).(1

τ τ Gl.07a

Für eine harmonische Schwingung ist p Eff gleich pm 2 .

Um den Zusammenhang zwischen pm und u0 gemäß Gln.05a und 06a zu erhalten, kann ent-

sprechend Abb.01a der auf das differentiell kleine Volumenelement dV =Q·dx wirkende resul-tierende Druck dpres errechnet werden. Die resultierende Kraft dF =dpres·Q hat eine

Beschleunigung du / dt des Volumenelementes dV mit der Masse dm=dV · ρ zur Folge.

t

udxQQdx

x

pres

∂

∂ ρ

∂

∂ ⋅⋅⋅=⋅⋅−

Der Weg, der zu dieser Gleichung führt, möge nachvollzogen werden und das Ergebnis mitden Gl.5a und 6a verglichen werden:

Abb.01a

............. das ist der resultierende Schalldruck( ) p p dp dpSchall Schall Schall Schall− + = −

............................................ das ist die resultierende KraftQdpdF Schall ⋅−=−

dt

dudmdF ⋅=− .................................................... Kraft ist Masse mal Beschleunigung

dxQdm ⋅⋅= ρ ..................................................... ρ ist die GasdichteSetzt man für dF und dm ein, so erhält man

dt

dudxQQdx

dx

dpSchall ⋅⋅⋅=⋅⋅− ρ

Da in Gl.01a psta. konstant ist, kanndp

dx

dp

dx

Schall res= gesetzt werden. p und u sind Funktionen

von x und t , daher sind die Ableitungendp

dx

p

x

u

t

res resund durch unddu

dt

∂

∂

∂

∂ zu ersetzen. Das Er-

gebnis lautet 0uc

pm ⋅= ρ

99

8/8/2019 08_SCHALL


8.2. Schallintensität

Schall bedeutet Schwingung von Masse.

Nimmt man an der Stelle x ein Volumselement dV =Q·dx mit der Masse dm=dV · ρ an, so be-trägt dessen kinetische Energie . Aus den Gln.04a, 05a, 06a und 07a erhält

man die maximale kinetische Energie dE max.

2 / 2udmdE kin ⋅=

Z

p

cdV

udV dE

Eff 22

0max

1

2⋅⋅=

⋅=

ρ Gl.08a

Im Abschnitt "Schwingungen" wurde die Schwingung als ein Fluten der Energie von einerEnergieform in eine andere behandelt. Im Volumen dV flutet die Energie von kinetischer inpotentielle Energie ( hinsichtlich des lokalen Über- bzw Unterdruckes ).

Aus dieser Sicht beschreibt dE max die gesamte im Volumen dV enthaltene Schallenergie

dE Schall . Eine Umrechnung mit den bereits behandelten charakteristischen Schallgrößen er-

gibt für die Schallenergiedichte ε Schall

ε SchallSchall Eff dE

dV c

p

Z = = ⋅

12

. Gl.09a

Da die Intensität gleich dem Produkt aus Energiedichte und Schallgeschwindigkeit ist, er-rechnet sich die Schallintensität I Schall zu

2

20

2u Z

Z

p I

Eff Schall

⋅== Gl.10a

8.3. Schallwellenübergang an einer Grenzfläche

Die Grenzfläche trennt die beiden Medien 1 und 2. Die Schallwelle möge senkrecht auf dieebene Trennfläche auftreffen. Es ist aus der Erfahrung anzunehmen, daß ein Teil der Welle ander Grenzfläche in das Medium 1 reflektiert wird, während ein Teil in das Medium 2 eintritt.Das Verhältnis der beiden zueinander wird durch die Wellenwiderstände der Medien be-stimmt.

Zur Bestimmung der beiden Anteile benötigt man die Stetigkeitsbedingung an der Grenzflä-che und den Satz von der Erhaltung der Energie.

Stetigkeitsbedingung

Gemäß Abb.02a sind an der Grenzfläche die Amplituden der hinlaufenden, der reflektiertenund der in das Medium 2 eintretenden Welle gleich ξ 1 , ξ 1’ und ξ 2 . Im Medium 1 beträgt dieresultierende Amplitude ξ 1 +ξ 1’. Die Schwingungsamplitude der Grenzfläche ist gleich dieserresultierenden Amplitude. Die Stetigkeitsbedingung besagt, daß die Amplitude ξ 2 mit der re-sultierenden Amplitude identisch sein muß. Wird ξ in der in Gl.03a gegebenen Form be-schrieben und der Ausdruck mit ω multipliziert, so errechnet sich mit ω .A=u0 die

Stetigkeitsbedingung zuu u u0 1 0 1 0 2, ,' ,+ = Gl.11a

100

8/8/2019 08_SCHALL


Schall

Abb.02a

Energieerhaltungssatz

Die Intensität der hinlaufenden Welle spaltet sich in die der reflektierten und die der hin-durchgehenden Welle auf. Beschreibt man die Schallintensitäten gemäß Gl.10a durch Z undu0, so führt diese Überlegung zu

Gl.12a22,02

21,01

21,01 ' u Z u Z u Z ⋅+⋅=⋅

Die beiden Gleichungen 11a und 12a ermöglichen es, die beiden unbekannten Schallschnellenu’0,1 und u0,2 der in das Medium 1 reflektierten und der in das Medium 2 eintretenden Teile

der Schallwelle zu berechnen.

1,021

12,01,0

21

211,0

2u ' u

Z Z

Z u

Z Z

Z Z u ⋅

+⋅

=⋅+−

= Gl.13a

Ist der Wellenwiderstand Z 2 größer als Z 1 , so erhält die in das Medium 1 reflektierte Welleein negatives Vorzeichen der Schallschnelle. Die Vorzeichenumkehr besagt, daß bei einerReflexion am "dichteren" Medium 2 ( Z 2 > Z 1 ) die reflektierte Welle einen Phasensprung vonπ erfährt.Die in das Medium 2 gelangende Schallintensität

( )1,2

21

212,

4SchallSchall I

Z Z

Z Z I ⋅

+

⋅⋅= Gl.14a

ist nur dann mit der auf die Grenzfläche auftreffenden Schallintensität I Schall,1 identisch, wenn

die Schallwellenwiderstände der beiden Medien gleich groß sind.

Generalisiert man diese Aussage, so besagt sie, daß nur dann ein reflexionsfreier Wellenüber-gang von einem Medium in ein anderes möglich ist, wenn die Wellenwiderstände derselbenidentisch sind.

Ist hingegen Z 1 » Z 2 , bzw umgekehrt Z 2 » Z 1, so wird die Schallwelle in erster Linie in dasMedium 1 reflektiert, wobei für Z 2 » Z 1 , also bei der Reflexion am dichteren Medium, diereflektierte Welle noch zusätzlich eine Phasenumkehr erfährt.

101

8/8/2019 08_SCHALL


8.4. Möglichkeiten zur Verminderung der Schallintensität

a) Eine Vergrößerung des Abstandes von der Schallquelle, da bei der Kugelwelle dieSchallintensität umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes von der Schallquelle

abnimmt.b) Die Anbringung von Trennwänden, wo als Folge großer Unterschiede in den Wellenwi-derständen ein Teil der Welle in den Raum der Schallquelle reflektiert wird.

c) Die Absorption der Schallwelle in den verschiedenen Medien zwischen der Schall-

quelle und dem Beobachter.

8.5. Schallabsorption

Eine ebene Schallwelle durchsetzt in einem absorbierenden Medium eine Strecke dx und er-fährt dabei einen Intensitätsverlust -dI

x. Das negative Vorzeichen besagt, daß die Intensität

abnimmt. Die Abnahme der Schallintensität ist direkt proportional zur Intensität I x vor dem

Wegstück dx und zur Weglänge dx. Unter Verwendung des Proportionalitätsfaktors β lautetdie mathematische Formulierung dieser Aussage

dx I dI x x ⋅⋅=− β Gl.15a

Trennt man die Variablen, indem dI x / I x auf die linke Seite und - β .dx auf die rechte Seite der

Gleichung gebracht wird und integriert, so folgtln I x const x = − + β Gl.16a

Mit der Dicke D des Absorbers und const errechnet sich aus der in den Absorber eintretendenIntensität I 0 und die den Absorber verlassende Intensität I .

Gl.17a De I I β −⋅= 0

Der Proportionalitätsfaktor β ist der Absorptionskoeffizient des absorbierenden Mediums.

8.6. DOPPLER-Effekt bei Schall

Die folgenden Ausführungen befassen sich mit dem DOPPLER-Effekt bei Schallwellen( f ...Beobachter, f ’...Quelle). Man unterscheidet bei Schallwellen zwischen:

1. Bewegte Quelle Q, ruhender Beobachter B

Im Falle a) eilt die Quelle der nach B emittierten Welle nach und verkürzt so die Wellenlängeλ ’ um u·T’.Im Falle b) entfernt sich die Quelle von B und zieht die Wellenlänge λ ’um u.T’ auseinander.

102

8/8/2019 08_SCHALL


Schall

Ruhe1 Schwingungin T’ Sek.

a) Annäherung Gl.18aλ +u·T’=λ ’

''

1

f

c

f u

f

c=⋅+

f f

u

c

=−

'

1

b) Entfernung Gl.19aλ− u·T’=λ ’

''

1

f

c

f u

f

c=⋅−

f f

u

c

=+

'

1

Für u = c gilt: Abb.03a

a)

b)

f → ∞

f f

='

2

2. Ruhende Quelle Q, bewegter Beobachter B

Im Falle a) empfängt der Beobachter in der Zeit T’ eine volle Schwingung zuzüglich u·T’ / λ ’.Im Falle b) empfängt der Beobachter in der Zeit T’ eine um u·T’ / λ ’ verminderte Schwingung.

103

8/8/2019 08_SCHALL


Ruhe1 Schwingungin T’ Sekunden

a) Annäherung Gl.20a

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ⋅+

'

'1

λ

T u

Schwingungen in T’ Sekunden

''

'1

T

T u

f λ

⋅+

=

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +⋅=c

u f f 1'

b) Entfernung Gl.21a

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅−

'

'1

λ

T u

Schwingungen in T’ Sekunden

' T

'

' T u

f λ

⋅−

=1

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅=c

u f f 1'

Abb.04a Für u = c gilt: a) f f ′⋅= 2

b) f = 0

8.7. Subjektive Schallwahrnehmung

Die in der Praxis vorkommenden und vom Ohr wahrnehmbaren Schalldrücke überstreichenetwa 8 Zehnerpotenzen und die entsprechenden Intensitäten 16 Zehnerpotenzen. Daraus kanngeschlossen werden, daß das menschliche Hörvermögen einen großen Dynamikbereich auf-weist. Aus diesem Grunde ist es naheliegend, die Meßgrößen effektiver Schalldruck, Schallei-stung und Schallintensität als Pegel anzugeben.

Unter einem Pegel versteht man ein logarithmiertes Größenverhältnis, wobei im Zähler die

Meßgröße und im Nenner die Bezugsgröße aufscheint. Die Angabe erfolgt grundsätzlich indB (Dezibel). So lautet der Ausdruck für den Schalldruckpegel

104

8/8/2019 08_SCHALL


Schall

20

2

log·10 p

p L p = Gl.22a

mit p für den Effektivwert p Eff der Meßgröße und p0 für den Effektivwert der Bezugsgröße

p0 ,Eff =20μPa. Der Effektivwert der Bezugsgröße ist gleich dem Schwellwert bei einer Fre-quenz von 1kHz.

Abb.05a veranschaulicht die Hörempfindlichkeit des menschlichen Ohrs in Abhängigkeit vonder Frequenz. Die größte Hörempfindlichkeit besteht im Frequenzbereich von 500 bis 5000Hz mit einem schwachen Maximum bei 1kHz. Außerhalb dieses Bereiches fällt sie ab. Geräu-sche von Maschinen haben sehr unterschiedliche Frequenzzusammensetzungen. Wenn alsoGeräusche hinsichtlich ihrer Auswirkung auf den Menschen beurteilt werden sollen, muß auf die Hörempfindlichkeit Rücksicht genommen werden. Bekannt sind zwei Beurteilungsverfah-ren:

a) Beurteilung nach dem Lautstärkepegel L N (phon).b) Beurteilung nach einem bewerteten Schalldruckpegel L pA (dB(A) oder dBA).

Die Verfahren a. und b. unterscheiden sich durch die Art der Summation der Geräuschanteileeinzelner Frequenzbereiche.

Abb.05a

105

8/8/2019 08_SCHALL


Der Lautstärkepegel eines Schalls beträgt n phon, wenn von normalhörenden Beobachtern derSchall als gleich laut beurteilt wird wie ein reiner Ton der Frequenz 1 kHz, der als ebene fort-schreitende Schallwelle genau von vorne auf den Beobachter trifft und dessen Schalldruckpe-gel n dB beträgt.

Der Lautstärkepegel gestattet zunächst nur die Feststellung, daß zwei Töne oder Geräuscheals gleich laut empfunden werden. Er sagt nichts darüber aus, wie stark der Unterschied zwi-schen zwei verschieden lauten Tönen empfunden wird.

Aus der Erkenntnis, daß im Bereich von 40 bis 100 phon ein Ton als doppelt so laut empfun-den wird wie ein Vergleichston, wenn die Differenz der Lautstärkepegel 10 phon beträgt,wird eine Lautheitsskala abgeleitet. In dieser ordnet man einem Lautstärkepegel von 40 phonwillkürlich die Lautheit 1 sone zu.

Abb.06a zeigt den Zusammenhang zwischen der Lautheit N und dem Lautstärkepegel L N .

Abb.06a

Für den Bereich von 40 bis 100 phon wird der Zusammenhang zwischen der Lautheit N unddem Lautstärkepegel L N durch die folgende Gleichung beschrieben:

( )40·1,0

2−

=N L

N Gl.23a

106

8/8/2019 08_SCHALL


Schall

Die Bestimmung der Lautstärke ist mit einem relativ hohen Aufwand verbunden, der für dienormale Meßpraxis nicht tragbar ist. Lautstärke und Lautheit müssen auch nicht unbedingt einMaß für die Schädlichkeit, Lästigkeit oder Störwirkung eines Schalles sein. In der Lärmbe-kämpfung wird daher mit frequenzbewerteten Schalldruckpegeln gerechnet. Die bekanntestederartige Größe ist der A-bewertete Schalldruckpegel L pA . Die A-Bewertungskurve definiert

ein Frequenzfilter, das ähnlich dem menschlichen Hörempfinden die Pegel bei tiefen ( < 500Hz ) und hohen ( > 5000 Hz ) Frequenzen unterdrückt. Die Abb.07a veranschaulicht die A-Bewertungskurve.

Abb.07a

Derartige Schallpegelmesser haben den in Abb.08a gezeigten prinzipiellen Aufbau.

Abb.08a

1 Mikrophon mit kugelförmiger Richtcharakteristik2 Verstärker3 Bewertungsnetzwerke: Verlauf innerhalb vorgegebener zulässiger Abweichungen4 Gleichrichtung zur Erfassung des Effektivwerts

5 Anzeige: Dynamische Eigenschaften entsprechend Sollwerten,Unsicherheit der Anzeige < 0.2 dB.

107

8/8/2019 08_SCHALL


Beispiele

a01 Eine punktförmige Schallquelle sendet eine Schallwelle aus, die sich kugelförmig in denRaum ausbreitet. Die Leistung der Schallquelle ist P=100W und die Schallfrequenz ν =1kHz.Zunächst sei der Zahlenwert von Z für Luft abgeschätzt. Welche Werte von I Schall, ε Schall, p Eff ,

pm, u0 und A werden im Abstand r=5m von der Schallquelle gemessen?

a02 Wie hängen die Begriffe Reflexion am festen und am losen Ende, Reflexion am dichteren undam dünneren Medium mit dem Schallwellenwiderstand Z , oder ganz allgemein, mit dem Wel-lenwiderstand zusammen? Elektromagnetische Wellen breiten sich im leeren Raum aus. Wiegroß ist der Wellenwiderstand des leeren Raumes?

a03

Die vom Beobachter gemessene Frequenz ν unterscheidet sich bei Schallwellen und identi-scher Relativgeschwindigkeit u in Abhängigkeit von den Fällen 1 und 2. Diese Unterschei-dung entfällt bei elektromagnetischen Wellen. Warum?Was ist die Schallmauer und wie kann sie durch eine Reihe von Wellenbildern einer bewegtenSchallquelle veranschaulicht werdenUnter Verwendung dieser Darstellung möge auch der MACH-Kegel dargestellt und das denÖffnungswinkel charakterisierende Verhältnis von u / c bestimmt werden.

a04 Vergleicht man die Frequenzänderungen Δ f = f − f’ der Fälle 1 und 2 bei Schall mit jener beielektromagnetischen Wellen für u«c, so läßt sich eine für alle drei Fälle gültige Näherungangeben. Wie lautet diese?Es sei der Geschwindigkeitsbereich von u so gewählt, daß die Näherung anwendbar ist. EinFahrzeug bewegt sich mit u auf die Schallquelle zu. Welche Frequenz f 1 wird von einem amFahrzeug befestigten Frequenzmeßgerät ausgegeben?Ein Teil der Welle wird vom Fahrzeug zur Quelle reflektiert und dort empfangen. WelcheFrequenz f 2 wird dort beobachtet? Das Fahrzeug möge sich nunmehr unter einem Winkel α zur Verbindungslinie zwischen Quelle und Fahrzeug bewegen.Welche Frequenzen f 1 und f 2 werden dann gefunden?

a05

Von einem Flugzeug wird eine elektromagnetische Welle zum Boden gesendet, von dort re-flektiert und im Flugzeug empfangen. Das Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit u paral-lel zur Erdoberfläche und das gerichtete Wellenbündel schließt mit der Flugrichtung einenWinkel α ein. Die empfangene Frequenz sei f . Wie lautet der Zusammenhang zwischen

und u und wieviele gerichtete Bündel sind für eine DOPPLER-Navigation er-

forderlich?

Δ f f f = − ′

a06 Eine Schallquelle emittiert eine Schallwelle, deren Frequenz 10 kHz beträgt und die am Orteeines Beobachters zu einem A-bewerteten Schalldruckpegel von 70 dB(A) Anlaß gibt.Gesucht sind der Schalldruckpegel, der Lautstärkepegel, die Schallintensität und die Lautheit.

Welche Werte werden für die genannten Größen gefunden, wenn die Leistung der Schallquel-le verdoppelt wird?

108

8/8/2019 08_SCHALL


Schall

Lösungen zu den Beispielen

a01 Z = ρ ·c. Für Luft kann eine Dichte von ρ = 1,225 kg·m-3 und eine Schallgeschwindigkeit von

330 m·s-1

angenommen werden. Daher ist Z ≅ 400 kg·m-2

·s-1

. Die Oberfläche O einer Kugelmit einem Radius r von 5 m beträgt

2

22

m·W318,0

m15,314··4

−==

==

O

P I

r O

Schall

π

Es gilt weiter (Gl.09a. 10a)

34 m·J10·646,9 −−==c

I SchallSchallε

und (Gl.10a)

Pa28,11· == Schall Eff I Z p .

Unter Verwendung der Gl.07a folgt pm unter der Annahme einer sinusförmigen Schallwelle

Pa59,15·2 == Eff m p p

u0 errechnet sich Gl.05a zu

120 s·m10987.3 −−⋅==

Z

pu m

und schließlich A zu

m10·346,6 60 −==ω

u A

Das in der Abb.B_01a gezeigte differentiell kleine Gasvolumen schwingt somit mit einem

Scheitelwert von rund 6μm um seine Ruhelage.

a02 Reflexion am dichteren Medium bedeutet einen Übergang der Welle von einem Medium 1mit geringerem Wellenwiderstand in ein Medium 2 mit höherem. Bei der Reflexion am festenEnde ist der Wellenwiderstand des Mediums 2 wesentlich größer als der des Mediums 1.Analog ist die Reflexion am dünneren Medium bzw. am losen Ende zu beschreiben. Der Wel-lenwiderstand Z 0 des leeren Raumes errechnet sich aus der elektrischen Feldkonstante ε 0 undder magnetischen Feldkonstante μ 0 in der nachstehend angegebenen Form

Z 0

0

0

376 7= =μ

ε , Ω

Soll von einer Antenne eine elektromagnetische Welle in den leeren Raum abgestrahlt wer-den, so müssen die Wellenwiderstände der Zuleitung und der Antenne auf Z 0 abgestimmtwerden. Andernfalls kann nicht die volle Sendeleistung abgestrahlt werden, da ein Teil derHochfrequenzenergie beim Übergang Antenne - leerer Raum zum Sender reflektiert wird.

a03 Die Ausbreitung der Schallwellen ist an ein Medium, also z.B. Luft, gebunden. Wie die Aus-führungen zur speziellen Relativitätstheorie zeigen werden, ist dies bei den elektromagneti-schen Wellen nicht der Fall. Das bedeutet, daß bei den Schallwellen zu unterscheiden ist, ob

sich die Quelle oder der Beobachter gegenüber dem Medium bewegen, während es bei denelektromagnetischen Wellen nur auf die Relativbewegung der Quelle gegenüber dem Beob-

109

8/8/2019 08_SCHALL


achter - bzw. umgekehrt - ankommt. Wenn sich eine Schallquelle im Medium bewegt - z.B.ein Flugzeug in Luft - so eilt es in der Flugrichtung seiner eigenen Schallwelle nach. Die bis-herigen Betrachtungen zur Energiedichte in einer Schallwelle und zum DOPPLER-Effektzeigen, daß für einen ruhenden Beobachter die Energiedichte und die Frequenz vor dem Flug-zeug vergleichsweise höher sind. Wird die Geschwindigkeit gegen die Schallgeschwindigkeit

hin erhöht, so nehmen die Frequenz und die Energiedichte sehr hohe Werte an - Schallmauer.Wird die Geschwindigkeit weiter gesteigert, so fliegt das Flugzeug seinem eigenen Schalldavon.Wie aus der Abb.B_01a zu ersehen ist, wird die Schallwelle beim Überschallflug durch einenKegel eingehüllt - den MACH-Kegel. Der halbe Kegelwinkel α läßt sich durch

sinα =c

u

ausdrücken, wobei c für die Schallgeschwindigkeit und u für die Geschwindigkeit des Flug-zeugs stehen.

Abb.B_01a

a04

Steht f ’ für die Frequenz des Senders und f für die vom Beobachter gemessene, dann lautetder gesuchte Ausdruck im Falle einer gegenseitigen Annäherung von Quelle und Beobachter

'· f c

u f =Δ

Die Frequenz f 1 beträgt

f f c

u f f Δ+≅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +≅ '1·'1

und f 2

f f c

u f

c

u f f Δ+≅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +≅⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +≅ ·2'·21·'1·12

bzw.

110

8/8/2019 08_SCHALL


Schall

α

α

cos··2'

cos·'

2

1

f f f

f f f

Δ+≅

Δ+≅

a05 Die im Flugzeug gemessene Empfangsfrequenz f beträgt

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=c

u f f ·cos·21·' α

und der durch Δ f = f - f’ definierte Frequenzunterschied ist hier

'·cos·2 f c

u f α =Δ .

Würde sich das Flugzeug ausschließlich in einem geradlinigen Horizontalflug bewegen, sokönnte mit einem einzigen gerichteten elektromagnetischen Strahlenbündel die DOPPLER-Navigation bewerkstelligt werden. Um im allgemeinen Fall die drei möglichen Koordinaten-richtungen x, y und z meßtechnisch erfassen zu können, sind insgesamt drei derartiger Strah-lenbündel erforderlich, die unterschiedliche Winkel zur Flugrichtung einschließen müssenund nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen dürfen. Aus den mit jedem dieser DOPPLER-Systeme gemessenen Frequenzunterschieden Δ f 1, Δ f 2 und Δ f 3 können durch Lösung eines li-nearen Gleichungssystems die gesuchten Geschwindigkeitskomponenten u x, u y und u z be-

rechnet werden. Wird der Ort beim Abflug mit x=y=z=0 definiert, so kann durch Integration

der Ort, bezogen auf den definierten Nullpunkt, laufend angegeben werden.∫ dt u·r

a06 Aus der Abb.07a ist ersichtlich, daß bei 10kHz der A- bewertete Schalldruckpegel L pA etwa

3dB kleiner ist als der Schalldruckpegel L p ( L p ≅ 73 dB). Nach der Abb.05a entspricht einem

Schalldruckpegel von 73 dB eine Schallintensität von I = 2·10-5W·m-2 und bei 10 kHz einLautstärkepegel L N von etwas weniger als 70 phon. Berechnet man daraus die Lautheit, so

wird N =8 sone gefunden.Die Schallintensität ist direkt proportional zur Leistung der Schallquelle und proportional zumQuadrat des Schalldruckes. Das heißt, daß sich bei einer Verdopplung der Leistung derSchallquelle der Lautstärkepegel von

20

2

log·10 p

p L p =

auf

20

2

.2log·10' p

p L p =

erhöht, wobei der Zuwachs 10·log2 = 3 dB beträgt. Mit diesem Ergebnis lauten die gesuchtenGrößen:

L pA = 73 dB(A), L p = 76 dB, I = 4·10-5 W·m-2 , L N = 73 phon, N = 9,85 sone.

111

Documents

08_SCHALL