09 Glava 6 Furijeova Transformacija

Glava 6

FURIJEOVA TRANSFORMACIJA

Po teoriji Furijeovih redova, svaki periodian signal moemo predstaviti zbirom beskonano mnogo ortogonalnih funkcija. Budui da predstava signala preko Furijeovog reda omoguava potpuno drugaiji uvid u karakteristike signala u odnosu na vremenski domen, prirodno se postavlja pitanje da li je mogue ideju razlaganja signala na njegove prostoperiodine komponente proiriti i na neperiodine signale. Posmatrajui neperiodian signal kao periodian signal sa beskonano velikim periodom, Furijeova transformacija proiruje ovakav koncept razlaganja signala i na neperiodine signale.

Prilikom sinteze periodinog signala na osnovu koeficijenata Furijeovog reda u zbiru uestvuje beskonano mnogo prostoperiodinih funkcija, ali je neophodno naglasiti da se njihove uestanosti meusobno razlikuju za konaan iznos i da je razlika susjednih uestanosti jednaka osnovnoj uestanosti signala. Prema tome, spektar periodinih signala se rauna za diskretne vrijednosti uestanosti. Proirujui ovaj koncept na neperiodine signale uvoenjem beskonano velikog perioda, osnovna uestanost signala postaje infinitezimala, a samim tim se i razlike izmeu susjednih uestanosti beskonano smanjuju, te spektar postaje kontinualna funkcija uestanosti.

GLAVA 6

140

6.1 Prelaz sa Furijeovog reda na Furijeovu transformaciju

Posmatrajmo neperiodian signal dat na Slici 6.1(a). Formirajmo periodino proirenje dijela ovog signala sa intervala 1 2t t t< < , sa periodom 0 2 1T t t= , kao na Slici 6.1(b), tako da vrijedi:

( ) ( ) 1 2,x t x t t t t < , 0 2 1T t t = , dobijamo Furijeov red u obliku:

( ) 0 00

2,jk tkk

x t C eT

=

= =

(6.6) sa koeficijentima:

( ) 000

1 ,jk tkT

C x t e dt kT

= . (6.7)

SSlikaa 6.1 (a)pe

) Kerio

Kontodi

tinuna

ualaa pr

an nroi

nepren

perinja.

iodiiann siignaal; (b)

Fu

i (c

rije

c) n

ova

njeg

a tra

gov

ans

a

form

1

mac

141

(a)

(b)

(c)

cija

GLLAVA

14

pepo

U koje osm

A 6

42

Uerioosta

ovonti

ilusno

modu

grodiaje

vominuustrvnoula

Sl

raninokon

m ualnrovaog ko

lika

ino prntin

0

liT

grane vanope

oefic

a 6.2

omronua

im C

anivarijo teriocije

2

m sliren

alna

kC =

nojablta

oda enat

Prope

luanje a va

0

liT

=

om le se sig

ta F

omjrio

aju sig

arija

im

slu idegnaFuri

jenda

kagnaabla

0

2

uai njiavala. ijeo

na kper

ada ala a

0T

xaju iho

va sA

ovo

koefriod

1tpo

, t

( )x t

koove sa kmp

og r

ficijdin

staje je

) je

oefivrikoe

plitueda

jenanog

je e:

0jk t

cijeijedeficudna se

atag pr

, nep

tdt =

entidnoijen

ni se sm

Furoi

2t peri

2d

=

i Fsti ntimspe

man

urijeiren

iod

2d

Furipos

ma kta

njuju

eovnja

idia

x

ijeostajFu

ar pu.

vog sign

i Tn s

( )x t

ovogu in

urijepos

rednala

0T sign

je

g rnfineovstaje

da pa.

nal,

j td

rednitevog e g

pri

o

dt .

da pezim

regu

pov

ovak0

posmalda i,

ve

ko d

staje. Npria

anj

fod

u Na i pvri

ju

rmi i

funSlic

promijed

irank

(6.

nkcci 6mjedno

no 0

.8)

ija 6.2 eni sti

Furijeova transformacija

143

Stoga umjesto koeficijenata Furijeovog reda kC ima smisla posmatrati proizvod 0kC T . Taj proizvod je u graninom sluaju jednak:

( )0

0limj t

kTC T x t e dt

= , (6.9) to vodi definiciji Furijeove transformacije (Fourier Transform FT) kontinualnih signala, koju primjenjujemo u analizi neperiodinih signala: ( ) ( ) j tX x t e dt

= . (6.10) Na osnovu (6.9) i (6.10) veza izmeu Furijeove transformacije i koeficijenata Furijeovog reda je data sa:

( )0

0lim kTX C T = , (6.11)

ili, na osnovu (6.8) i (6.10), sa:

( )0

lim2kTdC X

= . (6.12)

Periodian signal sa beskonano velikim periodom ( 0T ) se moe shvatiti kao neperiodian signal, pa vrijedi:

( ) ( ) ( ) ( )00 0

1lim lim2 2

jk t j t j tkT T k

dx t x t C e X e X e d

=

= = = = . (6.13)

Dobijeni izraz:

( ) ( )12

j tx t X e d

= (6.14) omoguava sintezu signala na osnovu poznate Furijeove transformacije i naziva se inverzna Furijeova transformacija.

Neophodno je naglasiti da, za razliku od izraza za sintezu periodinih signala, gdje se sumiraju elementarne kompleksne eksponencijalne funkcije ije su frekvencije umnoak osnovne frekvencije periodinog signala, u izrazu za sintezu neperiodinih signala uestanosti elementarnih kompleksnih eksponencijalnih funkcija koje grade signal pripadaju kontinuumu realnih brojeva, te kaemo da je spektar neperiodinih signala kontinualan.

GLAVA 6

144

Dakle, Furijeov transformacioni par je dat sa:

( ) ( ) j tX x t e dt

= , (6.15)

( ) ( )12

j tx t X e d

= . (6.16) esto koristimo sljedei nain oznaavanja za direktnu: ( ) ( ){ }X x t =F (6.17) i inverznu Furijeovu transformaciju:

( ) ( ){ }1x t X= F , (6.18) dok Furijeov transformacioni par oznaavamo sa: ( ) ( )x t X . (6.19) Vrlo esto domen definisanosti signala (vremenski domen) nazivamo originalni, a domen definisanosti Furijeove transformacije frekvencijski ili transformacioni domen.

Za egzistenciju Furijeove transformacije dovoljno je da signal:

1. bude apsolutno integrabilan:

( ) ( ) ( )j t j tx t e dt x t e dt x t dt

= < ; 2. ima konaan broj ekstremnih vrijednosti (minimuma i maksimuma) u

proizvoljno odabranom konanom intervalu; 3. ima konaan broj diskontinuiteta (prekida prvog reda) u proizvoljno

odbranom konanom intervalu. Ovi uslovi su ekvivalentni Dirihleovim uslovima kod Furijeovog reda.

Uslov apsolutne integrabilnosti je dovoljan za egzistenciju Furijeove transformacije veine fizikih signala. Meutim, uslov apsolutne integrabilnosti

nije i potreban uslov, jer postoje signali koji nisu apsolutno integrabilni, npr.

S

o

fr

2el

Mfufailu

Fra

Slik

Ddre

Frekv1

2X

lem

Modunkazniustr

FFuriazli

ka 6

Diraedit

Fiziven

(Xmen

dul kcijai sperov

Furijeokuj

6.3

akoti Fu

ki ncij

)ntarn

Fua pektavan

ijeove u s

P

va urij

gsku

d

nih

urijpa sar sje

ova tra

se s

rim

funjeov

gledu pr

sa

h fu

eovse nsignana

transfam

mjer

nkcva t

danred

adr

unk

ve naziala in ansform

mo u

r (a)

cija, tran

no, stav

ri i

kcija

traiva jer gra

sformau ko

) am

sinnsfo

ovu

info

a ob

ansfamuti

afirma

acijeona

mpl

nusorm

ovakon

orm

blik

formmplitie kog

acije dan

litu

ni imac

ako ntin

mac

ka

matudnna g pr

a va om

udno

i drcija,

dnua

ciju je

cijeni spfazrika

signsig

m br

og i

rugi, ka

defalno

o t n

e Xspekzneaza

nalagnalroju

i (b

i peao

finisog n

am

na k

(Xktar

posp

a nla ku iz

b) fa

erioto

sannep

mplit

koj

( )r sigomaekt

nijekojizolo

azn

odiem

na peri

tud

e s

) ognalaketra n

e jei z

ovan

nog

ni mo

Fuiodi

dam

se r

odrla, aelenep

edaadonih

spe

sigto

urijin

ma i

razl

reua aremeperi

an-jovoh sin

ekt

gnalkas

eovog

faz

lae

ujerguentaiodi

edaoljavngu

tra n

li, asnij

vasig

zam

e ko

amumearniinan vajuular

nep

ali ze v

trgnal

ma

ont

mpentih fih s

pru Dritet

Fu

peri

za kvidje

ranla. O

bes

tinu

litu(

funsign

esliDirita (

rije

iodi

kojeeti.

nsfoOn

sko

ualn

ude ( )nkcinala

ikavihle(pre

ova

in

e se

ormna u

onani s

ela=

ija. a.

vaneovekid

a tra

og

e ip

maciu lnosign

lemarg XNa

nje. ve udnih

ans

sig

pak

ija lano

o m

nal

ment(X

a Sli

Nusloh ta

form

1

gnal

mo

dovim

mno

(xtarn

)ici 6

Naimoveaak

mac

145

(a)

(b)

la.

oe

dajema

ogo

)t . nih je 6.3

me, , a ka)

cija

GLLAVA

14

su

vrinv

jer

jedsin

Pr

da

sig

T

A 6

46

u je

rijedver

r zb

Udinngu

rim

Oatu

gna

2=

edn

dnorzno

bog

x

prnstvular

mjer

Odrena

ala

120

.

Sli

ake

osti om

g ko

( 0t

rakvenoritet

6.1

edita Sl

crta

.

ika

e, j

u m Fu

onti

)

+

ktino te.

1:

ti klici

aju

6.4

er

izourije

inu

(x+

nimod

koe6.4

i k

4 P

na

oloveov

ualn

)0t +

m apdre

fici4. P

koe

Peri

vr

vanvom

nost

) =

=

pliken

ijenPos

efici

iod

rijed

nimm tr

ti ko

12

122

kacin,

nte sma

ijen

dian

dno

m tarans

2

om

1

X

ijamjer

Fuatra

nte

n si

ost

akasfo

12x

mple

(X

X

ma

f

urijeati

Fu

ign

int

amrm

( 0x teksn

)

(X

smfizi

eovta

urije

nal u

tegr

a. Macij

)0ne e

)

je

e

matrki

vog se

eov

u ob

rala

Mejom

x+

eks

0

0

t

j t

d

ramo

rede

vog

blik

a

eum u

( 0x t +pon

0

d

d

mo ostv

eda eav

red

ku p

(x

timta)+

nen

2 +

=

da varl

zava p

da

pov

( )t em, pkam,

ncij

12

2x

je ljivi

a popril

za

vor

je

prilima

aln

( 0

X

t

Fui

ovoliko

0T

ke

tdt

ikodis

ne fu

(

).

X

urijsign

orkuom

12

=

pra

t n

m sko

unk

)e

eovnali

u ppro

12

,

avou

ne u

rekontin

kcij

je

v tri

pravom

0T =

uga

utikonnui

e e

0t d+

rannem

voumjen

1=

aon

e nstriteta

j te

d

nsfomaj

ugane p

i

nih i

kon

ukca 0t

vr

=

ormju

aoniperi

0T =

imp

nacije0 se

rijed

maciiz

ih iod

2=

pul

an sig

e do

(

di d

(

ioniolo

impda d

, ak

sa.

br

gnaobij

(6.2

da je

(6.2

ni povan

puldato

ko

roj

ala ja:

20)

e:

21)

par ne

lsa og

je


147

Rjeenje: U Primjeru 5.3 smo odredili koeficijente Furijeovog reda datog signala:

0 0

2 sinc 2 , 0kAT TC k kT T

= (6.22)

00

2 TC AT

= . (6.23)

Poloaj nula u spektru signalaa 0 ,nk n ZT = se ne mijenja

poveavanjem perioda signala 0T . Razmak koeficijenata Furijeovog reda je 0

0

2T = . Sa porastom perioda 0T

taj razmak se smanjuje, to je ilustrovano na Slici 6.5. U graninom sluaju, kada 0T , razmak frekvencijskih komponenti postaje beskonano mali, to znai da frekvencijske komponente postaju kontinualna funkcija uestanosti.

Pri tome se vrijednosti koeficijenata Furijeovog reda smanjuju, i u navedenom graninom sluaju postaju infinitezimale. Meutim, proizvod

0kC T i Furijeova transformacija neperiodinog signala koji se dobije poveavanjem perioda do beskonanosti ( )

00lim kTX C T = imaju konane

vrijednosti. Najlake je to uoiti posmatrajui nulti koeficijent Furijeovog reda 0

0

2 TC AT

=

koji tei nuli pri beskonanom poveanju perioda, dok je vrijednost

Furijeove transformacije za nultu uestanost:

( )0 0

0 0 00

20 lim lim 2T T

ATX C T T ATT

= = = , (6.24)

konstantna pri poveanju perioda 0T .

GLLAVA

14

(a) (b (c)

Sl

A 6

48

)

b)

)

lika 6.55 UUti

(a)

icaj

) T

pro

2=

om1 ,20

mjen

0T

ne p

2=

peri12

;

ioda

(b)

a si

T

igna

2=

ala 1 ,20

na

0T

izg

1=

gled

i (

d am

(c)

mpl

T =

litud120

=

dno

,0T

og s

0T =

spe

2=

ektr

.

ra:

P

am

Rj

Dnk

Prim

Omp

Rjee

Datijegont

mjer

Odrplitu

enje:

i sigov tinu

r 6.2

rediudn

:

gnasp

ualn

2:

iti ni sp

Slik

al jeektna v

Slik

Fupek

ka

e gtar vari

ka

urijektar

6.6

granje ijab

6.7

eovsig

N

ningra

bla

F

vu gnal

Nep

ni sani .

Furi

tranla.

peri

sluni Sp

ijeo

nsf

iodi

aj slu

pekt

ova

form

ian

signuajtar

tra

mac

n si

nalaj spsig

ansf

ciju

igna

a spekgnal

form

u si

al u

a Sktra la p

mac

ign

u ob

Slikesa

prik

cija

ala

blik

e 6a Slkaza

a pr

da

ku p

6.4, likean j

ravo

ato

prav

ka 6.e n

oug

g n

vou

ada 5, p

na S

gaon

na

uga

0Tpri

Slici

nog

Fu

Sl

ono

ei 6.7

g im

rije

lici

og

.emu7.

mpu

ova

6.

imp

. Pru k

ulsa

a tra

6.

pul

rem0k

a.

ans

Na

sa.

ma 0 p

form

1

acrt

tomost

mac

149

tati

me, taje

cija

GLAVA 6

150

Raunajui na osnovu definicionog izraza za Furijeovu transformaciju dobijamo:

( ) ( ){ } ( )2

2sin2 2 sinc .

Tj t j t

TT j T j T

j t

T

X x t x t e dt Ae dt

A A e eej j

TAT AT TT

= = = =

= = =

= =

F (6.25)

Nule spektra signala se nalaze na uestanostima:

,k k ZT = . (6.26)

6.2 Furijeova transformacija kompleksnih signala

U praksi se najee radi sa realnim signalima, iako se ponekad ukazuje potreba za formiranjem kompleksnih signala u vremenu, njihovom analizom i obradom. Prilikom definisanja Furijeove transformacije nismo postavljali uslove da signal u vremenu bude realan. Stoga isti definicioni izraz za Furijeovu transformaciju moemo primijeniti i na kompleksne signale. Dakle, Furijeova transformacija kompleksnog signala:

( ) ( ) ( )r ix t x t jx t= + (6.27) je data sa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos sinr i r iX X jX x t jx t t j t dt

= + = + . (6.28) Relani i imaginarni dijelovi Furijeove transformacije su:


151

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos sinr r iX x t t x t t dt

= + , (6.29) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin cosi r iX x t t x t t dt

= + . (6.30) Ako je realni dio signala u vremenu parna, a imaginarni neparna funkcija, imaginarni dio Furijeove transformacije e biti jednak nuli, jer je proizvod parne i neparne funkcije neparna funkcija, a integral neparne funkcije od do je jednak nuli. Slino, ako je realni dio signala u vremenu neparna, a imaginarni parna funkcija, realni dio Furijeove transformacije e biti jednak nuli.

Iz relacija (6.28-30) lako se izvode specijalni oblici Furijeovog integrala koji uspostavljaju vezu izmeu realnih i imaginarnih dijelova Furijeove transformacije sa parnim i neparnim dijelovima signala u vremenu i obrnuto. Mi emo se zadrati na tim vezama razmatrajui samo realne vremenske signale neto kasnije.

Kada radimo analizu kompleksnih signala u vremenskom domenu, onda je potrebno razmotriti i spektar konjugovano kompleksnih signala. Konjugovana Furijeova transformacija je data sa:

( ) ( )* * j tX x t e dt

= . (6.31) Ako potraimo reflektovanu konjugovanu Furijeovu transformaciju:

( ) ( )* * j tX x t e dt

= , (6.32) vidimo da ona zapravo predstavlja Furijeovu transformaciju konjugovano kompleksnog signala:

( ){ } ( )* * j tx t x t e dt

= F , (6.33) pa zakljuujemo da je: ( ) ( )* *x t X . (6.34)

GLAVA 6

152

6.3 Furijeova transformacija realnih signala

U ovom poglavlju emo razmotriti osnovne osobine spektara realnih signala. Napiimo definicioni izraz za Furijeovu transformaciju pod pretpostavkom da je signal u vremenu realan:

( ) ( ) j tX x t e dt

= . (6.35) Tada vrijedi:

( ) ( )* j tX x t e dt

= , (6.36)

( ) ( ) j tX x t e dt

= . (6.37) Iz jednakosti (6.36) i (6.37) jasno slijedi da je:

( ) ( )*X X = . (6.38) Budui da je: ( ) ( )*X X = , (6.39) ( ) ( )*arg argX X = , (6.40) zakljuujemo da je amplitudni spektar realnog signala parna, a fazni spektar neparna funkcija uestanosti: ( ) ( )X X = , (6.41) ( ) ( )arg argX X = . (6.42)

Sada emo lako izvesti zakljuke za realni i imaginarni dio Furijeove transformacije realnih signala. Oznaimo fazni spektar signala sa

( ) ( )arg X = . Zbog parnosti amplitudnog i neparnosti faznog spektra, realni dio Furijeove transformacije realnih signala:


153

( ){ } ( ) ( )Re cosX X = (6.43) je parna funkcija, dok je imaginarni dio Furijeove transformacije realnih signala:

( ){ } ( ) ( )Im sinX X = (6.44) neparna funkcija uestanosti.

Pokazaemo sada da je Furijeova transformacija parnih realnih signala realna, dok je Furijeova transformacija neparnih realnih signala isto imaginarna.

Svaki signal moe da se razloi na njegov parni ( ){ }x t i neparni ( ){ }x t dio (vidjeti 2.3):

( ) ( ){ } ( ){ }x t x t x t= + . (6.45) Posmatrajmo sada Furijeove transformacije parnog i neparnog dijela signala:

( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )cos sin r iX x t x t t j t dt X jX

= + = + .(6.46) Furijeova transformacija parnog dijela signala:

( ){ } ( ) ( ){ } ( )

( ){ } ( )cos sin

cos ,

x t t dt j x t t dt

x t t dt

=

=

(6.47)

je realna:

( ) ( ){ } ( )0

2 cosrX x t t dt

= , (6.48) jer je integral neparne funkcije ( ){ } ( )sinx t t jednak nuli. Za Furijeovu transformacija neparnog dijela signala na slian nain se dobije da je isto imaginarna:

GLAVA 6

154

( ){ } ( ) ( ){ } ( )

( ){ } ( )cos sin

sin ,

x t t dt j x t t dt

j x t t dt

=

=

(6.49)

( ) ( ){ } ( )0

2 siniX x t t dt

= . (6.50)

6.4 Osobine Furijeove transformacije

Analiza signala u frekvencijskom domenu se pojednostavljuje ukoliko poznajemo osobine Furijeove transformacije. U odjeljcima koji slijede dokazaemo i dati primjere korienja osnovnih osobina Furijeove transformacije. Zbog iroke primjenljivosti u rjeavanju konkretnih problema, ove osobine se esto nazivaju pravila Furijeove transformacije.

6.4.1 Simetrija

Ukoliko signal u vremenu funkcionalnog oblika ( )x t (npr. pravougaoni impuls) ima spektar funkcionalnog oblika ( )X (u posmatranom primjeru to je sinc funkcija), onda spektar signala koji u vremenu ima funkcionalni oblik

( )X t (sinc funkcija u posmatranom primjeru) poprima oblik reflektovanog originalnog signala (pravougaonog impulsa u posmatranom primjeru) pomnoenog sa 2 . Dakle, ako postoji transformacioni par ( ) ( )x t X , tada je:

( ) ( )2X t x . (6.51)


155

Dokaz:

Kako je Furijeova transformacija data sa ( ) ( ) j tX x t e dt

= , onda jednostavnom zamjenom varijabli t i dobijamo:

( ) ( ) jtX t x e d

= . (6.52) Potraimo inverznu Furijeovu transformaciju od ( )2 x :

( ){ } ( ) ( )-1 12 22

j t j tx x e d x e d

= = F , (6.53) Poredei (6.52) i (6.53) dobijamo: ( ){ } ( )-1 2 x X t =F . (6.54)

Primjer 6.3:

Odrediti i nacrtati Furijeove transformacije Dirakovog impulsa ( ) ( )x t t= i konstante ( ) 1x t = .

Rjeenje: Polazei od definicionog izraza za Furijeovu transformaciju i koristei

svojstvo odabiranja Dirakove funkcije dobijamo Furijeovu transformaciju Dirakovog impulsa:

( ){ } ( ) ( ) ( )0 1j t jt t e dt t e dt t dt

= = = = F . (6.55) Dirakova funkcija je realna i parna, pa je njen spektar paran i realan.

Furijeovu transformaciju konstante ( ) 1x t = pronai emo koristei osobinu simetrije Furijeove transformacije:

GLLAVA

15

(a) (b (c) (d

A 6

56

)

b)

)

d)

Sliika 6.88 (((a) D(c) k

Dirkon

rakonsta

ovaanta

a fua i

unkc(d)

cijanje

a i (ena

(b) na Fu

njenurije

na eov

Furva t

rijeran

eovansfo

a trorm

ransmaci

sforija.

rmaacijja;


157

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2t x t = = . (6.56) Na Slici 6.8 prikazani su spektri Dirakovog impulsa i konstante.

Primjeujemo da se u spektru konstante pojavljuje beskonano velika vrijednost u vidu Dirakove funkcije. Bez uvoenja Dirakove funkcije ne bismo bili u mogunosti da odredimo spektar konstante, jer konstanta nije apsolutno integrabilan signal i direktno raunanje njene Furijeove transformacije preko definicionog izraza nije mogue. Takoe zakljuujemo da je spektar konstante paran i realan.

6.4.2 Linearnost

Ako postoje transformacioni parovi ( ) ( )1 1x t X i ( ) ( )2 2x t X , tada je Furijeova transformacija linearne kombinacije signala jednaka na isti nain formiranoj linearnoj kombinaciji njihovih Furijeovih transformacija:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 , ,ax t bx t aX bX a b+ + . (6.57)

Dokaz: Budui da je integral linearni operator, direktno slijedi:

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2 .

j t

j t j t

ax t bx t ax t bx t e

a x t e b x t e aX bX

+ = + =

= + = +

F

(6.58 )

GLAVA 6

158

6.4.3 Pomak u vremenskom domenu

Ako je ( ) ( )x t X , tada pomjeranje signala u vremenu za 0t vremenskih jedinica ima za posljedicu mnoenje spektra kompleksnom eksponencijalnom funkcijom 0j te :

( ) ( )00 j tx t t e X . (6.59)

Dokaz: Na osnovu definicionog izraza, Furijeovu transformaciju signala

pomjerenog u vremenu dobijamo u obliku:

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )

0

0

0 0

0 0

.

j tj t j

t t

j t j tj t

x t t x t t e dt x e e d

e x t e dt e X

=

= = =

= =

F

(6.60 )

Budui da je 0 1j te = , zakljuujemo da se amplitudni spektar signala ne mijenja prilikom pomjeranja signala u vremenu:

( ) ( ) ( )0 0j t j te X e X X = = . (6.61)

Primjer 6.4:

Odrediti i nacrtati spektar pomjerenog Dirakovog impulsa ( )0t t .

Rjeenje: Znajui da je ( ) 1t , koristei pravilo pomaka u vremenskom domenu

direktno dobijamo:

( ) 00 1 j tt t e . (6.62) Amplitudni i fazni spektar pomjerenog Dirakovog impulsa dati su na Slici 6.9.

Pfa

P

n

Primazn

Prim

Oacr

mjenog

mjer

Odrrtati

Sl

ujespe

r 6.5

redii nj

lika

emoektr

5:

iti ego

a 6.9

o dra,

Furov a

9

da jedok

rijeamp

(a) (c

e zk je

eovuplit

Poc) fa

boge am

u ttudn

mjeazn

g pmpl

tranni s

ereni sp

pomlitu

nsfospek

ni Dpek

makdni

ormkta

Dirktar.

a ui sp

maciar.

rako.

u vrpekt

iju

ov i

remtar

sig

imp

menost

gna

puls

skotao

ala

s, (b

om isti

(x

b) n

doi.

)t =

njeg

ome

=

gov

enu

(t

Fu

v am

do

5T

rije

mpl

olo

)T +

ova

litud

o do

(+

a tra

dni

o p

(t

ans

i i

prom

7T

form

1

mje

)T ,

mac

159

(a)

(b)

(c)

ene

te

cija

GLLAVA

16

Rj

do

F

Za (a) (b

A 6

60

jeenK

ome

{F

Buada

)

b)

nje: Kori

enu

(t

uduani

steu, d

5T

ui sign

i dobi

)T +

danal

osoijam

(+

a sei n

S

obinmo:

(t

e ranjeg

Slika

nu :

7T

adi gov

a 6

lin

)}T

o am

.10

near

2

=

=

F

reampli

(a(b

rno

{2 je

F

alnoitud

a) Db) n

osti,

(6T

t

om dni

Dvanjih

, a

5jT

t

e

sigspe

a pohov

za

)5

2

T

T +

gnalekta

omv am

atim

)}2e+

+

lu ar p

mjerempli

m o

jT

+F

njeprik

enaitud

oso

{2

=

F

egovkaza

a Ddni

obin

(2 j

t

e

v aani

Diraksp

nu

6

7

j T

ampsu

kovekt

po

)}co

T

plituna

va itar.

ma

}os

e

T

=

udnSli

mp

aka

5

.

je

T

ni sci 6

puls

u

5T

spek6.10

sa i

vr

e+

ktar0.

em

7j Te

r je

mens

T

(6

e p

sko

6.6

para

om

3)

an.


161

6.4.4 Pomak u frekvencijskom domenu

Ako je ( ) ( )x t X , mnoenje signala u vremenu sa kompleksnom eksponencijalnom funkcijom 0j te ima za posljedicu pomjeranje spektra po frekvencijskoj osi za 0 :

( ) ( )0 0j tx t e X . (6.64)

Dokaz: Potraimo Furijeovu transformaciju od ( ) 0j tx t e :

( ){ } ( ) ( ) ( )00 0 j tj t j t j tx t e x t e e dt x e d

= = F . (6.65) Isti rezultat emo dobiti ako u definicionom izrazu za Furijeovu transformaciju zamijenimo sa 0 , to znai da je:

( ){ } ( )0 0j tx t e X = F . (6.66)

Primjer 6.6:

Odrediti i nacrtati Furijeovu transformaciju signala ( ) 0cosx t t= .

Rjeenje: Od ranije znamo da je ( )1 2 . Koristei osobinu linearnosti i osobinu

pomaka u frekvencijskom domenu dobijamo:

{ } { } { } ( ) ( )0 00 0 01 1cos 2 2j t j tt e e = + = + + F F F . (6.67) Kosinusoida i njena Furijeova transformacija prikazane su na Slici 6.11.

GLLAVA

16

6.

Prdo

(x

A 6

62

.4.5

roiovo( )t

5

irivodi

Slik

S

vanjdo

(X

ka 6

Ska

je ilsu

( )

6.1

alir

li suuav) , o

1

an

uavanond

(a)

nje

avannja oa vr

Ko

nje odnrije

x

osin

(jenosedi:

(at

nus

ednno

)

oid

ompr

1a

da i

m rijroi

1 Xa

(b)

jejriva

Xa

) nj

ju sanja

,a

ena

skala si

, a

a Fu

liraign

urij

anjeala

.

eov

e) siu

va t

igndru

tran

ala ugo

nsfo

u jm

orm

jeddom

mac

nommen

cija.

m dnu.

dom. A

(

(

(

menAko

(6.6

(a)

(b)

nu je

68)


163

Dokaz: Na osnovu definicionog izraza za Furijeovu transformaciju imamo:

( ){ } ( ) ( )1 a pjj t aaat p

x at x at e dt x p e dpa

= = F . (6.69) Za 0a < :

( ){ } ( ) ( )

( )

1 1

1 1

j t j ta a

j ta

x at x t e dt x t e dta a

x t e dt Xa a a

= = =

= =

F

, (6.70)

dok je za 0a > :

( ){ } ( )1 1j tax at x t e dt Xa a a

= = F . (6.71)

Ilustracija osobine skaliranja data je na Slici 6.12.

GLLAVA

16

Sl

A 6

64

likaa 6.12 (a(na) Snast

kaltav

liranvak

nje na

sa slje

fakede

ktoroj

romstrm mrani

manici)

njim; m odd jeedann, vvremmennskki doommen

Sllika

a 6.12 (nfrnastrekv

tavaven

ak)ncij

: (bski

b) skdo

kaliome

iranen (

nje (nas

sa stav

fakvak

ktork na

roma slj

m medemanjeo

jimj st

odtran

Fu

d jednici)

rije

dan);

ova

n,

a traansform

1

mac

165

cija

GLLAVA

16

Sli

A 6

66

ika 6.112 (ndo

astaome

avaen (

ak): (na

(c)astav

) skvak

kalirk na

ranja slj

je sjed

sa faeo

faktoj st

torotran

omnici

vei);

imm odd jeedann, vvremmennskki

Sllika

a 6.12 (ndonastom

tavamen.

ak).

: (dd) skkaliirannje sa ffakktorromm veeimm ood j

Fu

eda

rije

an,

ova

fre

a tra

kve

ans

enc

form

1

cijsk

mac

167

ki

cija

GLAVA 6

168

6.4.6 Konvolucija u vremenskom domenu

Podsjetimo se da je u obradi signala konvolucija:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2x t x t x x t d

= (6.72 ) jedna od osnovnih operacija jer omoguava pronalaenje odziva na proizvoljnu pobudu sistema sa poznatim impulsnim odzivom.

Konvoluciji signala u vremenskom domenu odgovara mnoenje u frekvencijskom domenu. Ako je ( ) ( )1 1x t X i ( ) ( )2 2x t X , tada vrijedi da je:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2x t x t X X . (6.73)

Dokaz: Potraimo Furijeovu transformaciju konvolucije dva signala:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2j t j tx t x t x t x t e dt x x t d e dt

= = F . (6.74) Nakon zamjene redoslijeda integraljenja:

( ) ( ){ } ( ) ( )1 2 1 2 j tx t x t x x t e dt d

= F (6.75 )

i smjene varijabli t = :

( ) ( ){ } ( ) ( )1 2 1 2 j jx t x t x x e d e d

= F , (6.76)

uz napomenu da integral u uglastim zagradama ne zavisi od , dobijamo:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 1j jx t x t x e d x e d X X

= = F . (6.77)

P

imtr

Rj

pp2re2vrimtrdlin

o

Prim

Pmpurou

RjeeP

rikarav

2ATezu2T , remmpuransobinea

blik

mjer

Polaulsagao

enje:Postaza

vougsinT

ultujij

menulsasfoije arno

ku

r 6.7

azea i ono

: tupan gaoncje ta je

nskoa krmsignosti

AT

7:

i oko

og im

pak je

onoT

troue Fom

koji acijnal i i

sinT

od orismp

odn

og iT . Kuga

Furim do

je ju t

4xsk

2nc

postepuls

drena impKonaoniijeoom

natra( )4 t

kalir

2T

ozni osa s

ivSli

pulsnvoim

ova menu

astaim) , aranT .

natoosoa Sl

vanjici sa aolucimtra

u, jao ko, na za

nja

og obinlike

S

ja 6.

ampcija

mpulansfjednkonneoatimko

izranu e 6.

Slik

Fu.14.plit

a ovlsomformnaknvoophm sna

azako13,

ka 6

urije. Ptudvakm maka oluchodnskalno

a zaonvo, am

.13

eovPrve A

kva

(3xcija4Acijono lirato d

a Folu

mpli

3 T

e tvo A i

dv

( )ta, d

2 2Tom

ga ti s

dobi

Furiucijeitud

Tro

transe

i trva

amdobi2 sindoje ua faije

ijeoe, ode

uga

nsfoe orajanpra

mpliijen

2ncobiliumfakt

tra

ovuodrA

aon

formodrnja avoitud

na kT

i tranj

toroaen

u trredii tr

ni im

macredi

odougadekorT . Krougiti p

om na

ransiti raja

mpu

cije i Fd aon2A

risteKakgaopo 2, Fu

sforFunja

uls.

trFurT

na i2A T

ei ko oni amte

urije

rmaurijea od

.

rougrijeodoimp i osobisim

mplitse eov

Fu

acijeovd T

gaoova Tpultrajobismo

mputudpri

va

rije

ju vu T d

onoa T k

sa janinu o o

uls di 2imjtra

ova

pratrando

og tran

koja(1x

ja oko

od iju

2ATenonsf

a tra

avonsfoT .

imnsfoa je ( )t od onvtrou FT puom form

ans

ugaform

pulform

jedi 2

oluuga

Furiutaos

mac

form

1

aonmac

lsa macdna

(2x2Tucijeaonijeoa daobicija

mac

169

nog ciju

je ciju aka ( )tdo e u nog ovu a se ina

a u

cija

GLLAVA

17

A 6

70

Sllikaa 6.114 O(vOdre

vremeivme

vannsk

nje Fki d

Furdom

rijeomen

oven).

e traanssforrmaacije trrouugaoonoog immppulssa

Sllika

a 6.14 O(fOdrefrek

eivkve

vanenci

nje ijsk

Furki do

rijeom

eovemen)

e tr).

ranssforrmaacijje trrouugaoono

Fu

og i

rije

imp

ova

puls

a tra

sa

ansform

1

mac

171

cija

GLAVA 6

172

6.4.7 Konvolucija u frekvencijskom domenu

Osobina konvolucije u vremenskom domenu, koja se ponekad naziva i modulacioni teorem, kae da konvoluciji Furijeovih transformacija signala u frekvencijskom domenu odgovara mnoenje signala u vremenskom domenu. Ako je ( ) ( )1 1x t X i ( ) ( )2 2x t X , tada je: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 212x t x t X X . (6.78)

Dokaz: Potraimo inverznu Furijeovu transformaciju konvolucije Furijeovih

transformacija dva signala, koja je podijeljena sa 2 :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

11 2 1 2

2

1 2

1 1 12 2 2

1 .2

j t

j t

X X X X e d

X X d e d

= =

=

F

(6.79 )

Nakon zamjene redoslijeda integraljenja:

( ) ( ) ( ) ( )2

11 2 1 2

1 12 2

j tX X X X e d d

= F , (6.80 ) i smjene varijabli = :

( ) ( ) ( ) ( )2

11 2 1 2

1 12 2

j t j tX X X X e d e d

= F , (6.81) uz napomenu da integral u uglastim zagradama ne zavisi od , dobijamo sljedee:


173

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 11 1 12 2 2j t j tX X X e d X e d

= F , (6.82)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 212 X X x t x t

= F . (6.83)

Primjer 6.8:

Odrediti Furijeovu transformaciju kosinusoide uestanosti 00

2T = ,

amplitudno modulisane sa trougaonim impulsom jedinine amplitude i trajanja od T do T . Vrijedi da je 0 4

TT = .

Rjeenje:

Oznaimo sa ( )1x t trougaoni impuls prikazan na Slici 6.15(a). Amplitudnom modulacijom kosinusoide sa trougaonim impulsom dobijamo:

( ) ( )1 0cosx t x t t= . (6.84) Na osnovu pravila konvolucije u frekvencijskom domenu dobijamo:

( ) ( ) { }( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 0

1 0 0

1 0 1 0

1 cos21

21 1 ,2 2

X X t

X

X X

= =

= + + = = + +

F

(6.85)

gdje je ( ) ( )x t X , a ( ) ( ) 21 1 sinc 2Tx t X T = . Postupak je ilustrovan na

Slici 6.15, a konaan analitiki izraz dat sa:

( ) ( ) ( )0 02 2sinc sinc2 2 2 2

T TT TX +

= + . (6.86)

GLLAVA

17

(a) (b (c)

A 6

74

)

b)

)

Sllikaa 6.15 (ama) Tmod

Trouduli

ugaisan

aonna k

ni imkos

mpusinu

uls;usoi

(b)ida

) ko.

osinnusoidda i (c) ammpliituddnoo

Sliika 6.15 (d)(e)tra

) Fu Fu

ansf

urijurijeform

eoveovma

va tva tcija

trantrana am

nsfonsfompl

ormormlitud

macimacidno

ija tija ko m

trokos

mod

ugasinuduli

aonusosan

nogide

ne k

ime i (fkosi

Fu

mpulf) Finu

rije

lsa;Furiusoi

ova

; ijeode.

a tra

ova

ans

form

1

mac

175

(d)

(e)

(f)

cija

GLAVA 6

176

6.4.8 Deriviranje u vremenskom domenu

Ako postoji transformacioni par ( ) ( )x t X , tada je: ( ) ( )dx t j X

dt . (6.87)

Ako u vremenskom domenu deriviramo signal, to e u frekvencijskom domenu, zbog mnoenja sa j , dovesti do naglaavanja visokofrekvencijskih komponenti signala.

Dokaz:

Izrazimo signal ( )x t preko inverzne Furijeove transformacije, pa potraimo njegov izvod:

( ) ( )1 12 2

j t j tdx d X e d j X e ddt dt

= = . (6.88)

Dobijeni izraz je inverzna Furijeova transformacija od ( )j X , te je:

( ) ( )dx t j Xdt

. (6.89)

Ponavljajui postupak n puta, dobijamo da je:

( ) ( ) ( )n

nn

d x tj X

dt . (6.90)

Primjer 6.9:

Odrediti Furijeovu transformaciju jedinine odskone funkcije.

Rjeenje: Izmeu funkcije znaka:


177

( )1, 0

sgn 0, 01, 0

tt t

t

(6.91)

i Hevisajdove funkcije:

( )0, 01 , 021, 0

h

t

u t t

t

(6.92)

postoji sljedea veza:

( ) ( )1 1sgn2 2h

t u t= . (6.93)

Prvi izvod funkcije ( )1 sgn2

t jednak je prvom izvodu funkcije ( )hu t :

( ) ( ) ( ) ( )1 1sgn2 2

hh

du td dt u t tdt dt dt

= = = . (6.94)

Znajui da Dirakova funkcija kao transformacioni par ima konstantu vrijednosti jedan, dobijamo Furijeovu transformaciju izvoda funkcije znaka i Furijeovu transformaciju izvoda funkcije ( )hu t :

( )1 sgn 12

hdud tdt dt

= = F F . (6.95)

Koristei osobinu deriviranja u vremenskom domenu dobijamo:

( ) ( ){ }1 sgn 12 h

j t j u t = = F F . (6.96)

Da bismo dobili Furijeove transformacije funkcije znaka i funkcije ( )hu t , trebamo prethodnu jednakost podijeliti sa j . Kako poprima vrijednosti od do , spektar signala koji se dobije dijeljenjem sa j vaei je za sve uestanosti osim za 0 = .

GLAVA 6

178

Vrijednost spektra za 0 = nosi informaciju o jednosmjernoj komponenti sadranoj u signalu. Za funkciju znaka vrijednost Furijeove transformacije za

0 = je jednaka nuli:

( ){ } ( ) 000

0

sgn sgn 1 1 0j tt t e dt dt dt

=

= = + = F , (6.97) to znai da u funkciji znaka nije sadrana jednosmjerna komponenta, dok funkcija ( )hu t ima jednosmjernu komponentu jer njena Furijeova transformacija u nuli ima beskonanu vrijednost:

( ){ } ( )0

0

00 0 0

1 1 12

j th hu t u t e dt dt dt dt

+

+ +

=

= = + = F . (6.98) Koristei vezu:

( ) ( )1 1sgn2 2h

u t t= + , (6.99)

dobijamo Furijeovu transformaciju funkcije ( )hu t :

( ){ } ( ) ( )1 1 1sgn2 2h

u t tj

= + = + F F . (6.100)

Vrijednost jedininog odskonog signala:

( ) 0, 01, 0

tu t

t , (6.101)

u nuli nije definisana. Ovaj signal moe da se od funkcije ( )hu t razlikuje samo u 0t = . Ta razlika ne utie na vrijednost Furijeovog integrala, te je Furijeova transformacija jedininog odskonog signala ( )u t jednaka Furijeovoj transformaciji Hevisajdove funkcije ( )hu t :

( ) ( )1u tj

+

. (6.102)


179

Napomenimo da se prilikom odreivanja inverzne Furijeove transformacije iz ( )1

j+

na osnovu (6.20) uvijek rekonstruie Hevisajdova funkcija

( )hu t .

6.4.9 Deriviranje u frekvencijskom domenu

Deriviranju u frekvencijskom domenu odgovara mnoenje sa nezavisnom varijablom t u vremenskom domenu. Ako postoji transformacioni par

( ) ( )x t X , tada je: ( ) ( )dXtx t j

d

. (6.103)

Dokaz: Deriviranjem izraza za Furijeovu transformaciju po :

( ) ( )j t dx t e dt Xd

= (6.104)

dobijamo:

( ) ( )j t dXj tx t e dtd

=

, (6.105) te je:

( ) ( )dXtx t jd

. (6.106)

Deriviranjem n puta dobijamo transformacioni par:

( ) ( )n

n nn

d Xt x t j

d

. (6.107)

GLAVA 6

180

6.4.10 Integraljenje u vremenskom domenu

Integraljenju u vremenskom domenu odgovara dijeljenje u frekvencijskom domenu sa nezavisnom varijablom , zbog ega dolazi do naglaavanja niskofrekvencijskih komponenti signala. Ukoliko originalni signal ima jednosmjernu komponentu, u spektru integraljenog signala pojavljuje se Dirakov impuls jaine udara ( )0X . Ako postoji transformacioni par ( ) ( )x t X , tada vrijedi da je: ( ) ( ) ( ) ( )1 0

t

x d X Xj

+ . (6.108)

Dokaz:

Znamo da je Furijeova transformacija Hevisajdove funkcije ( )1j

+

.

Konvolucija proizvoljnog signala ( )x t i Hevisajdove funkcije ( )u t je data sa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

x t u t x u t d x d

= = . (6.109) Furijeova transformacija prethodnog izraza, uz korienje osobine

konvolucije u vremenskom domenu, daje:

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

0 .

t

x d x t u t Xj

XX

j

= = + =

= +

F F (6.110)


181

6.4.11 Integraljenje u frekvencijskom domenu

Ako postoji transformacioni par ( ) ( )x t X , onda vrijedi da je: ( ) ( ) ( ) ( )1 0x t x t X d

jt

+ . (6.111)

Dokaz: Na osnovu pravila simetrije i poznatog transformacionog para:

( ) ( )1u tj

+

(6.112 )

dobijamo:

( ) ( )1 2t ujt

+ . (6.113)

Inverzna Furijeova transformacija konvolucije proizvoljnog signala ( )X i reflektovane Hevisajdove funkcije ( )u u frekvencijskom domenu, jednaka je umnoku njihovih pojedinanih inverznih Furijeovih transformacija i faktora 2 :

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 02

x tX u x t t x t

jt jt

= + = + F . (6.114)

S druge strane, konvolucioni integral proizvoljnog signala ( )X i reflektovane Hevisajdove funkcije ( )u u frekvencijskom domenu, zbog antikauzalnosti reflektovane Hevisajdove funkcije, razliit je od nule samo u granicama od do :

( ) ( ) ( )X u X d

= . (6.115)

GLAVA 6

182

Na osnovu dvije posljednje relacije zakljuujemo da je:

( ) ( ) ( ) ( )1 0x tX d x tjt

= + F . (6.116)

U Tabeli 6.1 je dat zbirni prikaz osobina Furijeove transformacije.

6.5 Furijeova transformacija periodinih signala Do sada smo za predstavu periodinih signala preko elementarnih kompleksnih eksponencijalnih (prostoperiodinih) komponenti koristili razvoj signala u Furijeov red. Osnovna karakteristika spektra periodinih signala koja ga razlikuje od spektra neperiodinih signala je njegova diskretnost, odnosno konane razlike frekvencija spektralnih komponenti. Analizirajui osobine Furijeove transformacije primijetili smo da se u spektru konstante, sinusne i kosinusne funkcije pojavljuju Dirakovi impulsi. Sada emo razmatranje uoptiti i pokazati da se Furijeova transformacija moe koristiti i za spektralnu analizu periodinih signala. U tu svrhu prvo emo prikazati periodian signal preko Furijeovog reda, a zatim pronai Furijeovu transformaciju tog signala. Kompleksni oblik Furijeovog reda je oblika:

( ) 0jk tkk

x t C e

=

= (6.117 ) sa koeficijentima:

( ) 000

1 jk tk

T

C x t e dtT

= . (6.118)


183

Tabela 6.1. Osobine Furijeove transformacije.

Osobina ( )x t ( )X Simetrija ( )X t ( )2 x Linearnost ( ) ( )1 2 , , .ax t bx t a b+ ( ) ( )1 2aX bX + Pomak u vremenskom domenu ( )0x t t ( )0

j te X

Pomak u frekvencijskom domenu ( ) 0

j tx t e ( )0X

Skaliranje ( ) ,x at a 1 Xa a

Konvolucija u vremenskom domenu ( ) ( )1 2x t x t ( ) ( )1 2X X

Konvolucija u frekvencijskom domenu ( ) ( )1 2x t x t ( ) ( )1 2

12X X

Deriviranje u vremenskom domenu

( )dx tdt

( )j X

Deriviranje u frekvencijskom domenu ( )tx t

( )dXjd

Integraljenje u vremenskom domenu ( )

t

x d

( ) ( ) ( )1 0X Xj + Integraljenje u frekvencijskom domenu ( ) ( ) ( )

1 0x t x tjt

+ ( )X d

GLAVA 6

184

Furijeovom transformacijom signala ( )x t dobijamo:

( ){ } { } ( )0 0 02jk t jk tk k kk k k

x t C e C e C k

= = =

= = = F F F .(6.119)

Furijeova transformacija periodinog signala je niz Dirakovih impulsa na uestanostima 0k za koje se inae rauna Furijeov red tog signala. Za ostale uestanosti taj spektar je jednak nuli, te kaemo da ima diskretnu prirodu. Svaki Dirakov impuls ( )02 k u poslednjem izrazu zapravo je Furijeova transformacija jedne kompleksne prostoperiodine komponente 0jk te , dobijen na osnovu osobine pomaka u frekvencijskom domenu.

Dakle, pri traenju Furijeove transformacije periodinog signala, neophodno je pronai koeficijente Furijeovog reda tog signala. Tada je: ( ){ } ( )02k

kx t C k

=

= F . (6.120) Odreivanje koeficijenata Furijeovog reda pri traenju Furijeove

transformacije periodinih signala se moe izbjei. Naime, svaki periodian signal ( )x t perioda 0T moemo posmatrati kao rezultat konvolucije neperiodinog signala ( )x t koji je na osnovnom periodu jednak periodinom signalu:

( ) ( )0 0, ,

2 20,

T Tx t tx t

inae

=

, (6.121)

sa povorkom Dirakovih impulsa:

( ) ( )0k

t t kT

=

= . (6.122) Dakle,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0* *k k

x t x t t x t t kT x t kT

= =

= = = . (6.123)


185

Koristei osobinu konvolucije u vremenskom domenu, Furijeova transformacija periodinog signala jednaka je proizvodu Furijeove transformacije signala ( )x t i Furijeove transformacije povorke Dirakovih impulsa ( )t : ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }*x t x t t X t = = F F F . (6.124) Prvo emo odrediti koeficijente Furijeovog reda i pronai Furijeovu transformaciju povorke Dirakovih impulsa:

( ) ( )0 0

0 0

0 0

2 2

0 0 02 2

1 1 1T T

jk t jk tk

T T

C t e dt t e dtT T T

= = = , (6.125)

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )0 0

0

0 0

22

.

kk k

k

t C k kT

k

= =

=

= = =

= =

F

(6.126)

Furijeova transformacija povorke Dirakovih impulsa prikazana je na Slici 6.16.

Primjenjujui osobinu odabiranja Dirakove funkcije u frekvencijskom domenu: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0X k X k k = (6.127) iz (6.133) i (6.135) dobijamo Furijeovu transformaciju periodinog signala: ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0

k kx t X k X k k

= =

= = F . (6.128)

GLLAVA

18

(a) (b

Pr

6.

A 6

86

)

b)

Sl

rim

O17,

lika

mjer

Odrepri

6.1

6.1

editi e

16

10:

ti Femu

(a)F

Furiu je

) SiFuri

jeoe 0T

ignaijeo

vu 4=

Slik

al uova

tra4T

ka 6

u obtra

ansf.

6.17

bliknsf

form

7

ku pform

mac

Pov

povmac

ciju

vor

vorkcija

u po

rka

ke Da.

ovo

tro

Dir

orke

oug

rako

e tr

gaon

ovih

oug

nih

h im

gao

im

mpu

onih

mpul

ulsa

h im

lsa.

a i

mpu

(b)

ulsa

nje

a da

ego

atih

va

h naa Sli

ici


187

Rjeenje: Postupak odreivanja Furijeove transformacije povorke trougaonih

impulsa prikazan je na Slici 6.18. Prvo izdvajamo jedan period periodinog signala ( )x t i formiramo signal ( )x t . Furijeova transformacija neperiodinog signala ( )x t je ( ) 2sinc

2TX AT = . Periodian signal ( )x t u vremenskom

domenu moemo dobiti konvolucijom signala ( )x t i povorke Dirakovih impulsa ( )t , emu u domenu Furijeove transformacije odgovara mnoenje, tako da je:

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( )

( )

20

0

20

2sinc2

sinc .2 4

s

k

k

X x t x t t

TAT kT

A k k

=

=

= = =

= =

=

F F

(6.129)

GLLAVA

18

(a) (b (c)

Sli

A 6

88

)

b)

)

ika 6.118 O(vD

drevrem

Dirak

eivmenkov

vannskvih

je Fki do

im

Furompul

rijeomen)

lsa

ove): (ai (c

e traa) jec) p

ansedaovo

foran trork

rmarou

ka tr

acijeugaorou

e pooni

ugao

ovoi imonih

orkempu

h im

e truls; mp

rou(b) uls

gaopoa.

onihovor

h imrka

mpua

ulsa

a

Sllika

a 6.18 O(ftrDtr

Odrefrekrou

Dirarou

eivkveugaoakougao

vanenciono

ovihonih

nje ijskog ih imh im

Furki doimp

mpumpu

rijeompulsulsaulsa

eovemen)

sa; a i (fa.

e tr): (d(e) f) F

ransd) FFur

Furi

sforFuririjeijeo

rmaijeo

eovaova

acijova a trtra

je ptra

ransansf

povansfsforform

vorkformrmama

Fur

ke tmaacijcija

rijeo

troucijaja pa po

ova

ugaa jepovovo

a tra

onidno

vorkorke

ansf

ih imog ke e

form

mp

mac

1

puls

cija

189

(d)

(e)

(f)

sa

GLAVA 6

190

6.6 Parsevalova teorema za kontinualne neperiodine signale

Posmatrajmo neperiodine signale koji imaju konanu energiju datu sa: ( ) 2xW x t dt

= . (6.130) Koristei izraz za sintezu signala:

( ) ( )12

j tx t X e d

= (6.131) i njegov konjugovano kompleksni oblik:

( ) ( )* *12

j tx t X e d

= , (6.132) pokazaemo da energiju signala moemo raunati i u transformacionom domenu:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

* *

*

2*

12

12

1 1 .2 2

j tx

j t

W x t x t dt x t X e d dt

X x t e dt d

X X d X d

= = =

= = = =

(6.133)

Parsevalova teorema za neperiodine kontinualne signale: ( ) ( )2 21

2xW x t dt X d

= = (6.134) nam kae da energiju signala moemo raunati i u frekvencijskom domenu. Funkcija ( ) 2X se u literaturi naziva spektralna gustina energije, gustina energetskog spektra ili kratko energetski spektar signala. Primjer grafike predstave energetskog spektra dat je na Slici 6.19.

sp

k

P

t

en

Di i

Zpek

Eore

Pri t

to j

X

Zner

Dakiz n

Za ktar

Eneelac

F

tom

e la

*X

Zaklrget

kle, njih

rear pa

rgecijom

{F

me s

ako

(

ljutsko

auth ni

S

alnearna

etskm s

(x t

smo

o po

) ==

ujeog s

tokoje m

Slik

e sia fu

ki ssign

)t

o ko

okaz

x

F

emospe

oremog

ka 6

ignaunk

speknala

(x

oris

zati

({*x t

xF

o dektr

elacgu

6.19

ale kcija

ktara. P

( )}t

stili

i:

)(*t e

da jra si

ija e r

9 E

vra.

r siPotr

X

=

=

F

i da

)}j t d

t

e Fign

i enreko

Ene

rijed

ignrai

{(*X

F

a je:

}.t

dt

Furiala:

F

nergons

erg

di

nala mo

{( )

*x

:

*x

ijeo:

{RFgetstru

gets

X

jeo Fu

()t

X

( t

=

ova

xxR

skiuisat

ki s

(

prurij

)(t

)t

x

tra

( )tspeti o

spek

) 2

rekoeov

().x t

X

(*x

ans

} =ekt

origi

kta

2=

o Fvu t

)}t =

(*X

for

X

ar sgina

r pr

(X

Furtran

=F

)

)e

rma

(signalni

rav

( )

rijeonsfo

{F

,

j d

acija

) 2 .nalasig

voug

) 2 ,

oveorm

(*x

d

a au

.

a nognal

gao

t

e trmac

( )t

=

uto

osel.

ono

to z

ransciju

)}

*x

oko

ist

Fur

og im

zna

sfoaut

F

( t

rela

tu in

rijeo

mp

ai

rmtok

({xF

)t e

acij

nfo

ova

puls

da

macijkore

( )}t

j te

e je

orm

a tra

a.

je

je pelac

} =

t dt

edn

maci

ansf

e en

povcije:

=

nak

iju o

form

nerg

vez:

(6

(6

(6

a g

(6

o si

mac

1

get

an

6.13

6.13

6.13

gust

6.13

igna

cija

191

tski

sa

35)

36)

37)

tini

38)

alu

GLAVA 6

192

6.7 Odmjeravanje signala

Ako se radi digitalna obrada kontinualnih signala, signalu je potrebno pridruiti niz brojeva koji odgovaraju njegovim vrijednostima u odabranim trenucima vremena. Taj postupak, koji nazivamo analogno/digitalna konverzija ili kratko digitalizacija, se sastoji od dva koraka. Prvo se vri odmjeravanje signala tako to se uzimaju uzorci signala u odabranim vremenskim trenucima. Zatim se vrijednosti tako dobijenih odmjeraka signala kvantuju i dodjeljuje im se brojna vrijednost iz konanog skupa brojeva. U ovom poglavlju emo se baviti uticajem odmjeravanja na spektralne karakteristike signala.

Odmjeravanje signala emo matematiki modelirati mnoenjem signala sa povorkom Dirakovih impulsa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sk k

x t x t t x t t k t x k t t k t

= =

= = = . (6.139) Signal koji nastaje procesom odmjeravanja, nazvaemo odmjereni signal.

Potrebno je naglasiti da je odmjereni signal kontinualna funkcija, jer su njegove vrijednosti poznate u svakom trenutku vremena. Odmjereni signal je zapravo povorka Dirakovih impulsa u trenucima odabiranja t k t= , ije su jaine udara jednake vrijednostima signala u tim vremenskim trenucima. Za ostale vrijednosti vremenske nezavisne varijable odmjereni signal jednak je nuli.

Furijeova transformacija odmjerenog signala je:

( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }12sx t x t t x t t = = F F F F , (6.140) ( ){ } ( ) ( )1

2s s skx t X k

=

= F , (6.141)

( ){ } ( ) ( )1 2,s s s sk

x t X X kt t

=

= = = F . (6.142)

Primjeujemo da se spektar odmjerenog signala periodino ponavlja sa periodom koji je jednak uestanosti odmjeravanja:

2s t =

. (6.143)


193

Osnovni cilj prilikom odmjeravanja signala je da se sauva to vie informacija sadranih u signalu, kako bi se na osnovu odmjeraka mogao to bolje rekonstruisati originalni kontinualni signal. Na osnovu teorije razvoja signala preko ortogonalnih funkcija znamo da je za idealnu rekonstrukciju signala raunanjem inverzne transformacije neophodno poznavanje svih spektralnih komponenti signala, dok je za aproksimaciju signala mogue koristiti ui frekvencijski opseg, pri emu se dodavanjem visokofrekvencijskih komponenti smanjuje srednjekvadratna greka pri rekonstrukciji signala.

Kao posljedica odmjeravanja signala, u frekvencijskom domenu dolazi do periodinog ponavljanja spektra kontinualnog signala. Pri tome se moe desiti da se frekvencijske komponente iz jednog perioda signala preklope sa frekvencijskim komponentama iz drugih perioda. Tu pojavu nazivamo preklapanje spektra (aliasing). Preklapanje spektra se moe izbjei ako je spektar kontinualnog signala ogranien. U praktinim primjenama esto radimo sa signalima za koje moemo smatrati da imaju ogranien spektar. Vidjeemo da je pod tim uslovom mogue iz spektra odmjerenog signala izdvojiti spektar kontinualnog signala, te inverznom Furijeovom transformacijom rekonstruisati originalni kontinualni signal.

Pretpostavimo da je spektar signala ogranien, tj. da se u spektru signala ne pojavljuju frekvencijske komponente uestanosti veih od g . Na Slici 6.20 su prikazana tri karakteristina sluaja koja ilustruju ta se deava sa spektrom odmjerenog realnog signala (iji je spektar paran) prilikom promjene uestanosti odmjeravanja. U prvom sluaju uestanost odmjeravanja je bar dva puta vea od gornje granine uestanosti g kontinualnog signala, dok je u drugom sluaju jednaka 2 g . U ova dva sluaja ne dolazi do preklapanja u spektru odmjerenog signala. Do preklapanja u spektru odmjerenog signala dolazi kada je uestanost odmjeravanja manja od 2 g . Sa Slike 6.20 je jasno vidljivo da je idealna rekonstrukcija spektra kontinualnog signala, a samim tim i rekonstrukcija originalnog kontinualnog signala bez gubitaka, mogua ako je uestanost odmjeravanja dovoljno velika, tj. u sluajevima kada je 2s g . Ovaj uslov naziva se Nikvistov kriterij, a uestanost

2s se naziva Nikvistova

uestanost.

GLLAVA

19

(a) (b (c)

Sli

A 6

94

)

b)

)

ika 6.220 O

im

str

dm

mpu

ran

mjer

ulsa

nici)

ava

a i (c

);

anje

c) o

e sig

odm

gna

mjer

ala:

ren

(a)

ni si

ko

igna

onti

al,

inua

1t

alni2

=

i sig

1

2

s

gna

(n

al; (

nast

(b) p

tava

pov

ak n

vor

na s

rka

slje

Dir

ederak

oj kovi

ih

Sllika

a 6.20 (ntro

nastransdm

tavasfo

mjer

ak)rm

reno

: (dacijog s

d) amja psign

mppovnala

plituvorka,

udnke D

1s

ni spDir

2>

pekrako2 g

ktarovihg (n

r sigh imnast

gnamputava

ala xulsaak n

(x ta i (na

Fur

)t ; ((f) aslje

rijeo

(e) ampede

ova

Furplitoj

a tra

rijetudnstr

ansf

eovani srani

form

a speici);

mac

1

kta;

cija

195

(d)

(e)

(f)

ar

GLLAVA

19

(g) (h

Sli

A 6

96

g)

h)

ika 6.220 (n

t

asta

3t =

ava

2=

ak):

3s

(g)

(na

) od

asta

dmj

avak

jere

k n

eni

na sl

sig

ljed

gnal

deo

l,

oj s

2t =

stra

2=

anic2

2

s

ci);

i (hh) oodmmjeerenni siignnal,

(i (j

Sl

i)

)

lika

a 6.20 (n

(

nast

(j) a

tava

amp

ak)

plitu

: (i)

udn

) am

ni sp

mpl

pek

litu

ktar

dni

r od

i sp

dmj

pekt

jere

tar

eno

odm

og s

mje

sign

eren

nala

nog

a,

Fur

g sig

3s

rijeo

gna2

Documents

09 Glava 6 Furijeova Transformacija