Embed Size (px)
Citation preview
Obrada signala 1
2017-2018
10.10.2017.
Osobine
• Linearnost
– Furijeova transformacija
– Z transformacija
jj ebXeaXnbxnax 2121F
zbXzaXnbxnax 2121 Z
Osobine
• Pomeraj u vremenskom domenu (kašnjenje)
– Furijeova transformacija
– Z transformacija
jnj
eXennx 0
0F
jn
eXznnx 0
0Z
Osobine
• Inverzija u vremenu
– Furijeova transformacija
– Z transformacija
jeXnx *F
1 zXnxZ
Osobine
• Furijeova transformacija - pomeraj u frekvencijskom domenu (modulacija)
• Z transformacija – množenje eksponencijalnim nizom (modulacija)
nxeeXnjj 00
F
nxzz
zX n
0
0
Z
Osobine
• Furijeova transformacija - diferenciranje u frekvencijskom domenu
• Z transformacija – množenje sa n
nnxd
edXj
j
F
dz
zdXznnx Z
Z transformacija1
n
n
X z x n z
j
j j n
n
j
z e
X e x n e
X e X z
Veza z transformacije X(z) i
Furijeove transformacije X(ej)
Z transformacija - funkcija prenosasistema
0 1
1 0
0 0
N M
k k
k k
M N
k k
k k
M N
k k
k k
y n b x n k a y n k
y n a y n k b x n k
a y n k b x n k
0 0
0 0
0 1
1
M Nk k
k k
k k
N Nk k
k k
k k
M Mk k
k k
k k
Y z a z X z b z
b z b z
H z
a z a z
Z transformacija - funkcija prenosasistema
0
1
0
1
1
Nk
k N M
k
M M Nk
k
k
NN k
M k
k
MNM M k
k
k
b zz z
H zz z
a z
b zz
H zz
z a z
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imagin
ary
Part
MATLAB
• Funkcija roots
nule=roots(b);
polovi=roots(a);
• Funkcija zplane
figure,zplane(nule,polovi)
figure,zplane(b,a)
nule i polovi – vektori koloneb i a – vektori vrste
Primer 1
Nacrtati impulsni i frekvencijki odziv za moving average filtar dužine 4.
Primer 1 – rešenje
Primer 1 – grafici
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3
Real Part
Imagin
ary
Part
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Primer 1
3
0
1
4
1 1 1 11 2 3
4 4 4 4
1 1 1 11 1 2 3 4
4 4 4 4
1 11 4
4 4
1 14 1
4 4
k
y n x n k
y n x n x n x n x n
y n x n x n x n x n
y n x n y n x n
y n x n x n y n
Primer 1 - MATLAB
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3
Real Part
Imagin
ary
Part
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
416
Real Part
Imagin
ary
Part
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
!!! impz “vraća”kolonu!!!
Primer 2
• H(z) predstavljamo kao:
33
22
11
22
110
3
3
33
22
11
22
3
32
11
3
31
3
30
3
3
33
22
11
33
22
110
1
1
1
zazaza
zczcc
a
b
zazaza
zaa
bbza
a
bb
a
bb
a
b
zazaza
zbzbzbbzH
Primer 2 – 1. slučaj, tri različita realna korena
1
13
12
22
110
1
13
3
12
2
11
1
13
12
11
22
110
33
22
11
22
110
11
111
111
1
pzzpzp
zczcck
zp
k
zp
k
zp
k
zpzpzp
zczcc
zazaza
zczcc
Primer 2 – 1. slučaj, tri različita realna korena
z=p1;
k(1)=(c0+c1*z^(-1)+c2*z^(-2))/((1-p2*z^(-1))*(1-p3*z^(-1)));
z=p2;
k(2)=(c0+c1*z^(-1)+c2*z^(-2))/((1-p1*z^(-1))*(1-p3*z^(-1)));
z=p3;
k(3)=(c0+c1*z^(-1)+c2*z^(-2))/((1-p1*z^(-1))*(1-p2*z^(-1)));
Primer 2 – 1. slučaj, tri različita realna korena
31 1 2 2 3 3
3
n n nbh n n k p k p k p u n
a
Primer 2 – 2. slučaj, jedan dvostruki realan koren, jedan jednostruki realan koren
1
12
22
110
1
12
3
11
2
211
1
12
211
22
110
33
22
11
22
110
1
111
11
1
pzzp
zczcck
zp
k
zp
k
zp
k
zpzp
zczcc
zazaza
zczcc
Primer 2 – 2. slučaj, jedan dvostruki realan koren, jedan jednostruki realan koren
12
3
11
2
12
11
110
12
3
11
2
12
211
22
121110
12
3
11
2
12
211
121
22
110
12
3
11
2
211
1
12
211
22
110
33
22
11
22
110
1111
1111
1111
1
11111
1
zp
k
zp
k
zpzp
zqq
zp
k
zp
k
zpzp
zczpkckc
zp
k
zp
k
zpzp
zpkzczcc
zp
k
zp
k
zp
k
zpzp
zczcc
zazaza
zczcc
Primer 2 – 2. slučaj, jedan dvostruki realan koren, jedan jednostruki realan koren
z=p1;
k(1)=(c0+c1*z^(-1)+c2*z^(-2))/(1-p2*z^(-1));
[Q,R]=deconv([c0-k(1) c1+k(1)*p2 c2],[1 -p1]);
q0=Q(1);
q1=Q(2);
z=p1;
k(2)=(q0+q1*z^(-1))/(1-p2*z^(-1));
z=p2;
k(3)=(q0+q1*z^(-1))/(1-p1*z^(-1));
Primer 2 – 2. slučaj, jedan dvostruki realan koren, jedan jednostruki realan koren
12
3
11
2
211
11
111
1
12
3
11
2
211
11
11
1
12
3
11
2
211
1
1111
111
1
111
zp
k
zp
k
zp
zpk
zp
k
zp
k
zp
k
zp
zpzpk
zp
k
zp
k
zp
k
Primer 2 – 2. slučaj, jedan dvostruki realan koren, jedan jednostruki realan koren
31 2 1 1 1 3 2
3
n n nbh n n k k p k np k p u n
a
Primer 2 – 3. slučaj, jedan par kompleksnih korena, jedan jednostruki realan koren
22
110
11
132
2211
221
132
11
1
22111
22
110
33
22
11
22
110
1cos21
cos211
cos211
1
zczcc
zpzkkzzk
zz
zkk
zp
k
zzzp
zczcc
zazaza
zczcc
p
p
p
Primer 2 – 3. slučaj, jedan par kompleksnih korena, jedan jednostruki realan koren
3
2
1
2
1
0
12
1
0
1cos2
011
k
k
k
c
c
c
p
pMS p
KC
CKMS
MS=[1 1 0;-2*ro*cos(wp) -p1 1;ro^2 0 -p1];
C=[c0;c1;c2];
k=MS^(-1)*C;
Primer 2 – 3. slučaj, jedan par kompleksnih korena, jedan jednostruki realan koren
221
132
221
132
221
132
221
1
2
221
111
2
3
2
221
132
cos21
sin
sin
cos
cos21
cos
cos21
cos
cos21
cos1
cos21
coscos1
cos21
zz
zkk
zz
zkk
zz
zkk
zz
zk
zz
zzzk
k
k
zz
zkk
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
pp
p
Primer 2 – 3. slučaj, jedan par kompleksnih korena, jedan jednostruki realan koren
3
3
2 3
1 1 2
coscos sin
sin
pn n n
p p
p
bh n n
a
k kk p k n n u n
Primer 2 – 4. slučaj, jedan trostruki realan koren
1
1
3
21
1
2
31
1
1
31
1
2
2
1
10
3
3
2
2
1
1
2
2
1
10
111
1
1
zp
k
zp
k
zp
k
zp
zczcc
zazaza
zczcc
2
1 1 1 2
1 2 1 3 1 0 1 2
1 2 3 0
2 1 3 1 1
2
3 1 3
1 1
2
k k p z k p z c c z c z
k k k c
k p k p c
k p c
Primer 2 – 4. slučaj, jedan trostruki realan koren
1 1
2
1
0 1
1 2
2 3
1 1 1
0 2
0 0
MS p p
p
c k
c k
c k
MS K C
C K
MS=[1 1 1;0 -p1 -2*p1;0 0 p1^2];
C=[c0;c1;c2];
k=MS^(-1)*C;
n=(0:length(h)-1)';
imp_od=zeros(size(n));
imp_od=k(3)*p1.^n;
imp_od=imp_od+k(2)*(n+1).*p1.^n;
imp_od=imp_od+k(1)*(n+1).*(n+2)/2.*p1.^n;
imp_od(1)=imp_od(1)+b(4)/a(4);
Primer 2 – 4. slučaj, jedan trostruki realan koren
2
1
1 1
1 1
n
H z H z
h n h n h n
h n p u n
1 1 1
0
1 1 1 1 1
0 0
1 1
, 0, 0
1 , 0
1
k
n nk n k n n
k k
n
h n h k h n k n k n
h n p p p n p n
h n n p u n
Primer 2 – 4. slučaj, jedan trostruki realan koren
3
3 1 2 1
3 2 1
1 1
2 11
n
n
H z H z H z H z
h n h n h n
h n p u n
h n n p u n
3 2 1
0
1
3 1 1 1 1 1
0 0 1
3 1
, 0, 0
1 21 1 , 0
2
1 2
2
k
n n nk n k n n n
k k l
n
h n h k h n k n k n
n nh n k p p k p p l p n
n nh n p u n
Primer 2 – 4. slučaj, jedan par kompleksnih korena, jedan jednostruki realan koren
3
3
1 2 3 1
1 21
2
n
bh n n
a
n nk k n k p u n
