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1-1
Capítulo dosDescripción de los datos: distribuciones de frecuencias y representaciones gráficas
OBJETIVOSAl terminar este capítulo podrá:
UNOOrganizar los datos en una distribución de frecuencias.
DOS Presentar una distribución de frecuencias en un histograma, un polígono de frecuencias y un polígono de frecuencias acumuladas.
TRESDesarrollar una representación de tallo y hoja.
CUATROPresentar datos mediante técnicas de graficación como gráficas de líneas, de barras y circulares.
Distribución de frecuenciasDistribución de frecuencias
Distribución de frecuencias:Distribución de frecuencias: agrupamiento de datos en categorías agrupamiento de datos en categorías que muestran el número de que muestran el número de observaciones en cada categoría observaciones en cada categoría mutuamente excluyente.mutuamente excluyente.
2-2
Distribución de frecuenciasDistribución de frecuencias Pasos para organizar los datos en una Pasos para organizar los datos en una
distribución de frecuenciasdistribución de frecuencias 1.1. Establezca grupos conocidos como clases.Establezca grupos conocidos como clases. La práctica común es permitir que el limite La práctica común es permitir que el limite
inferior de la primera clase sea un poco menor inferior de la primera clase sea un poco menor que el valor más pequeño en el grupo de que el valor más pequeño en el grupo de datos, y que el limite superior de la clase datos, y que el limite superior de la clase mayor sea algo mayor que el valor más mayor sea algo mayor que el valor más grande. grande.
Esto quiere decir que no es necesario que el Esto quiere decir que no es necesario que el limite inferior de la primera clase sea igual al limite inferior de la primera clase sea igual al valor más pequeño. valor más pequeño.
Las clases son mutuamente excluyentes, lo Las clases son mutuamente excluyentes, lo cual significa que una observación especifica cual significa que una observación especifica solamente puede entrar en una sola categoría. solamente puede entrar en una sola categoría.
2-3
Fórmula Para hallar el Número de Fórmula Para hallar el Número de clases. clases.
2k n
2. Halle el tamaño del Intervalo de Clases.
Su Fórmula es la siguiente:
Valor Mayor - Valor Menor
Ki
Distribución de frecuenciaDistribución de frecuencia
3. Distribuya en clases los datos 3. Distribuya en clases los datos observados.observados.
Cada clase incluye el limite inferior Cada clase incluye el limite inferior pero no el limite superior.pero no el limite superior.
En consecuencia, no se puede En consecuencia, no se puede sobrepasar, es decir un dato especifico sobrepasar, es decir un dato especifico solamente aparecerá en una clase. solamente aparecerá en una clase.
2-4
Distribución de frecuenciasDistribución de frecuencias
4. Cuente el número de artículos de cada clase.4. Cuente el número de artículos de cada clase.
El número de observaciones en cada una se El número de observaciones en cada una se llama llama frecuencias de clasefrecuencias de clase..
Suele ser útil expresar los datos en millares, o Suele ser útil expresar los datos en millares, o en algunas otras unidades convenientes, más en algunas otras unidades convenientes, más que con las cifras reales.que con las cifras reales.
Admitimos que el colocar información sobre Admitimos que el colocar información sobre precios de venta en una distribución de precios de venta en una distribución de frecuencia da como resultado la pérdida de frecuencia da como resultado la pérdida de alguna información detallada.alguna información detallada.
Las ventajas de considerar los datos en una Las ventajas de considerar los datos en una forma más comprensible contrarrestan con forma más comprensible contrarrestan con mucho esta desventaja. mucho esta desventaja.
2-5
Distribución de frecuenciasDistribución de frecuencias 5. 5. Su juicio profesional puede determinar el número Su juicio profesional puede determinar el número
de clases. de clases. Demasiadas clases o muy pocas no podrían dar a conocer la Demasiadas clases o muy pocas no podrían dar a conocer la
forma básica del conjunto de datos forma básica del conjunto de datos Por regla general, es mejor no utilizar menos de 5 ni más de Por regla general, es mejor no utilizar menos de 5 ni más de
15 clases en la elaboración de una distribución de 15 clases en la elaboración de una distribución de frecuencias.frecuencias.
6. 6. Evite la superposición de limites de clase Evite la superposición de limites de clase establecidos. establecidos.
Las clases establecidas de esta manera no son mutuamente Las clases establecidas de esta manera no son mutuamente excluyentes, lo que infringe la definición de distribución de excluyentes, lo que infringe la definición de distribución de frecuencias.frecuencias.
Con la superposición de clases no estaría claro dónde Con la superposición de clases no estaría claro dónde clasificar un valor.clasificar un valor.
Distribución de frecuenciasDistribución de frecuencias
7. 7. Trate de evitar tener clases abiertas.Trate de evitar tener clases abiertas. Este tipo de clases ocasiona problemas al Este tipo de clases ocasiona problemas al
hacer gráficas, y al determinar ciertas hacer gráficas, y al determinar ciertas medidas de tendencia central y de dispersión.medidas de tendencia central y de dispersión.
Elaboración de una Elaboración de una distribución de frecuenciasdistribución de frecuencias
p reg u n ta q u ese d esea
resp on d er
reco lecc ió nd e d a tos
(d a tos o rig in a les )
d is trib u c ió nd e frecu en c ias
org an izac ió nd e d a tos
p resen tac ió nd e d a tos(g rá fica )
ob ten c ió nd e
con c lu s ion es
2-6
Distribución de frecuenciasDistribución de frecuencias Marca de clase (punto medio):Marca de clase (punto medio): punto punto
que divide a la clase en dos partes que divide a la clase en dos partes iguales. Es el promedio entre los límites iguales. Es el promedio entre los límites superior e inferior de la clase.superior e inferior de la clase.
Intervalo de clase:Intervalo de clase: para una para una distribución de frecuencias que tiene distribución de frecuencias que tiene clases del mismo tamaño, el intervalo clases del mismo tamaño, el intervalo de clase se obtiene restando el límite de clase se obtiene restando el límite inferior de una clase del límite inferior inferior de una clase del límite inferior de la siguiente.de la siguiente.
2-7
EJEMPLO 1EJEMPLO 1
Dr. Tillman es el director de la escuela de Dr. Tillman es el director de la escuela de administración y desea determinar cuánto administración y desea determinar cuánto estudian los alumnos en ella. Selecciona estudian los alumnos en ella. Selecciona una muestra aleatoria de 30 estudiantes y una muestra aleatoria de 30 estudiantes y determina el número de horas por semana determina el número de horas por semana que estudia cada uno: 15.0, 23.7, 19.7, que estudia cada uno: 15.0, 23.7, 19.7, 15.4, 18.3, 23.0, 14.2, 20.8, 13.5, 20.7, 15.4, 18.3, 23.0, 14.2, 20.8, 13.5, 20.7, 17.4, 18.6, 12.9, 20.3, 13.7, 21.4, 18.3, 17.4, 18.6, 12.9, 20.3, 13.7, 21.4, 18.3, 29.8, 17.1, 18.9, 10.3, 26.1, 15.7, 14.0, 29.8, 17.1, 18.9, 10.3, 26.1, 15.7, 14.0, 17.8, 33.8, 23.2, 12.9, 27.1, 16.6.17.8, 33.8, 23.2, 12.9, 27.1, 16.6.
Organice los datos en una distribución de Organice los datos en una distribución de frecuenciasfrecuencias..
2-14
EJEMPLO 1 EJEMPLO 1 continuacióncontinuación
Horas de estudio Frecuencia, f 8-12 1 13-17 12 18-22 10 23-27 5 28-32 1 33-37 1
2-15
Considere las clases 8-12 y 13-17. Las marcas de clase son 10 y 15. El intervalo de clase es 5 (13 - 8).
Distribución de frecuencias Distribución de frecuencias relativasrelativas
Distribución de frecuencia relativasDistribución de frecuencia relativasPuede resultar conveniente convertir las Puede resultar conveniente convertir las frecuencias de clase a frecuencias de clase a frecuencias de clase frecuencias de clase relativas relativas para mostrar el porcentaje del para mostrar el porcentaje del número total de observaciones en cada número total de observaciones en cada clase.clase.
Para convertir una distribución de Para convertir una distribución de frecuencias a una distribución de frecuencias a una distribución de frecuencias relativas, cada frecuencia de frecuencias relativas, cada frecuencia de clase se divide entre el número total de clase se divide entre el número total de observaciones.observaciones.
2-18
Distribución de frecuencia Distribución de frecuencia relativarelativa
La frecuencia relativa de una clase se obtiene La frecuencia relativa de una clase se obtiene dividiendo la frecuencia de clase entre la dividiendo la frecuencia de clase entre la frecuencia total.frecuencia total.
2-19
Frecuencia,f
Frecuenciarelativa
8-12 1 1/30=.0333
13-17 12 12/30=.400
18-22 10 10/30=.333
23-27 5 5/30=.1667
28-32 1 1/30=.0333
33-37 1 1/30=.0333
TOTAL 30 30/30=1
T
Horas
Distribución de Frecuencias Distribución de Frecuencias AcumuladaAcumulada
Una Una Distribución de Frecuencias Distribución de Frecuencias AcumuladaAcumulada (ojiva)(ojiva) se usa para se usa para determinar cuántos o qué determinar cuántos o qué proporción de los valores de los proporción de los valores de los datos es menor o mayor que cierto datos es menor o mayor que cierto valor.valor.
2-25
Presentación gráfica de una Presentación gráfica de una distribución de frecuenciasdistribución de frecuencias
Las tres formas de gráficas más usadas son Las tres formas de gráficas más usadas son histogramas, histogramas, polígonos de frecuenciapolígonos de frecuencia y y distribuciones de frecuencias distribuciones de frecuencias acumuladasacumuladas (ogiva). (ogiva).
Histograma:Histograma: gráfica donde las clases se marcan en el eje gráfica donde las clases se marcan en el eje horizontal y las frecuencias de clase en el eje vertical. Las horizontal y las frecuencias de clase en el eje vertical. Las frecuencias de clase se representan por las alturas de las barras y frecuencias de clase se representan por las alturas de las barras y éstas se trazan adyacentes entre sí.éstas se trazan adyacentes entre sí.
De manera que un histograma describe una distribución de De manera que un histograma describe una distribución de frecuencias utilizando una serie de rectángulos adyacentes, en frecuencias utilizando una serie de rectángulos adyacentes, en donde la altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia donde la altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia que la clase representa.que la clase representa.
2-23
Histograma para las horas Histograma para las horas de estudiode estudio
0
2
4
6
8
10
12
14
10 15 20 25 30 35
Horas de estudio
Fre
cuen
cia
2-26
Horas de estudio a la semana por un grupo de estudiantes
Un Un polígono de frecuenciaspolígono de frecuencias consiste en segmentos de línea que consiste en segmentos de línea que conectan los puntos formados por el punto medio de la clase y conectan los puntos formados por el punto medio de la clase y la frecuencia de clase.la frecuencia de clase.
El punto medio de cada clase está marcado en el eje X, y las El punto medio de cada clase está marcado en el eje X, y las frecuencias de cada clase en el eje Y. frecuencias de cada clase en el eje Y.
Recuerde que el punto medio de clase es el valor que se Recuerde que el punto medio de clase es el valor que se encuentra al centro de una clase y representa los valores en encuentra al centro de una clase y representa los valores en esa.esa.
La frecuencia de clase es el número de observaciones en una La frecuencia de clase es el número de observaciones en una clase especifica.clase especifica.
Los puntos se unen en orden.Los puntos se unen en orden. Para completar el polígono de frecuencias, se agregan puntos Para completar el polígono de frecuencias, se agregan puntos
medios al eje X para medios al eje X para “anclar”“anclar” el poligono de frecuencias . el poligono de frecuencias . Estos dos valores, se obtienen al restar el intervalo de clase al Estos dos valores, se obtienen al restar el intervalo de clase al
punto medio mas bajo, y al sumar el intervalo de clase al punto punto medio mas bajo, y al sumar el intervalo de clase al punto medio mas alto en la distribución de frecuencias. medio mas alto en la distribución de frecuencias.
2-24
Polígono de frecuencias Polígono de frecuencias para las horas de estudiopara las horas de estudio
2-27
0
2
4
6
8
10
12
14
10 15 20 25 30 35
Horas de estudio
Fre
cuen
cia
Gráfico de Frecuencia Acumulada (OGIVA)Gráfico de Frecuencia Acumulada (OGIVA) Para graficar una distribución de Para graficar una distribución de
frecuencias acumuladas, localice el limite frecuencias acumuladas, localice el limite superior de la clase en el eje X y las superior de la clase en el eje X y las frecuencias acumuladas a lo largo del eje Y.frecuencias acumuladas a lo largo del eje Y.
Para proporcionar información adicional, Para proporcionar información adicional, puede graduarse el eje vertical a la puede graduarse el eje vertical a la izquierda en unidades, y el eje vertical a la izquierda en unidades, y el eje vertical a la derecha en porcentajes.derecha en porcentajes.
Distribución de frecuencias Distribución de frecuencias acumuladas menor que acumuladas menor que
para las horas de estudiopara las horas de estudio
0
5
10
15
20
25
30
35
10 15 20 25 30 35
Horas de estudio
Fre
cuen
cia
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Gráfica de barrasGráfica de barras
Una Una Gráfica de barrasGráfica de barras se puede usar se puede usar para describir cualquier nivel de para describir cualquier nivel de medición (nominal, ordinal, de medición (nominal, ordinal, de intervalo o de razón).intervalo o de razón).
EJEMPLO 3:EJEMPLO 3: construya una gráfica de construya una gráfica de barras para el número de personas barras para el número de personas desempleadas por cada 100 000 desempleadas por cada 100 000 habitantes de ciertas ciudades en habitantes de ciertas ciudades en 1995.1995.
2-29
EJEMPLO 3 EJEMPLO 3 continuacióncontinuación
Ciudad Número de desempleadospor 100 000 habitantes
Atlanta, GA 7300Boston, MA 5400Chicago, IL 6700
Los Angeles, CA 8900New York, NY 8200
Washington, D.C. 8900
2-30
Gráfica de barras para los Gráfica de barras para los datos de desempleadosdatos de desempleados
7300
5400
6700
89008200
8900
0
2000
4000
6000
8000
10000
1 2 3 4 5 6
Ciudades
# d
esem
ple
ado
s/10
0 00
0
AtlantaBostonChicagoLos AngelesNew YorkWashington
2-31
Gráfica de barrasGráfica de barras Observe que hay un espacio entre las Observe que hay un espacio entre las
barras que representan los diversos barras que representan los diversos grupos . Esta es una de las formas en las grupos . Esta es una de las formas en las que difieren un histograma y una gráfica que difieren un histograma y una gráfica de barras.de barras.
No hay espacio entre las barras de un No hay espacio entre las barras de un histograma porque los son de intervalo o histograma porque los son de intervalo o de nivel de razón, pero este no es el caso de nivel de razón, pero este no es el caso de los datos en una gráfica de barras.de los datos en una gráfica de barras.
Gráfica circularGráfica circular Una Una Gráfica circularGráfica circular es en especial útil es en especial útil
para desplegar una distribución de para desplegar una distribución de frecuencias relativas. Se divide un círculo frecuencias relativas. Se divide un círculo de manera proporcional a la frecuencia de manera proporcional a la frecuencia relativa y las rebanadas representan los relativa y las rebanadas representan los diferentes grupos.diferentes grupos.
El primer paso es registrar los porcentajes.El primer paso es registrar los porcentajes.
EJEMPLO 4EJEMPLO 4:: se pidió a una muestra de 200 se pidió a una muestra de 200 corredores que indicaran su tipo favorito corredores que indicaran su tipo favorito de zapatos para correr.de zapatos para correr.
2-32
EJEMPLO 4 EJEMPLO 4 continuacióncontinuación
Dibuje una gráfica circular basada en la Dibuje una gráfica circular basada en la siguiente información.siguiente información.
Tipo de zapato # de corredores
Nike 92
Adidas 49
Reebok 37
Asics 13
Otros 9
2-33
Gráfica circular para tipos Gráfica circular para tipos de zapatosde zapatos
Nike
Adidas
ReebokAsics
Otros
Nike
Adidas
ReebokAsics
Otros
2-35
Representaciones de tallo y hoja:Representaciones de tallo y hoja: técnica técnica estadística para representar un conjunto estadística para representar un conjunto de datos. Cada valor numérico se divide de datos. Cada valor numérico se divide en dos partes: los dígitos principales son en dos partes: los dígitos principales son el tallo y el dígito siguiente es la hoja.el tallo y el dígito siguiente es la hoja.
NotaNota:: una ventaja de la representación una ventaja de la representación de tallo y hoja comparado con la de tallo y hoja comparado con la distribución de frecuencias es que no se distribución de frecuencias es que no se pierde la identidad de cada observación.pierde la identidad de cada observación.
2-20
EJEMPLO 2EJEMPLO 2 Colin logró las siguientes calificaciones Colin logró las siguientes calificaciones
en el doceavo examen de contabilidad en el doceavo examen de contabilidad del semestre: 86, 79, 92, 84, 69, 88, del semestre: 86, 79, 92, 84, 69, 88, 91, 83, 96, 78, 82, 85. Construya una 91, 83, 96, 78, 82, 85. Construya una representación de tallo y hoja para los representación de tallo y hoja para los datos. datos. tallo hoja
6 9
7 8 9
8 2 3 4 5 6 8
9 1 2 6
2-22
Representaciones de tallo y Representaciones de tallo y hojahoja
La principal ventaja al organizar los La principal ventaja al organizar los datos en una distribución de frecuencias datos en una distribución de frecuencias es que se consigue un cuadro visual es que se consigue un cuadro visual rápido de la forma de la distribución sin rápido de la forma de la distribución sin hacer cálculos adicionales.hacer cálculos adicionales.
Una representación de tallo y hoja Una representación de tallo y hoja realmente es un histograma con mas realmente es un histograma con mas información; es decir, valores de datos información; es decir, valores de datos en vez de grupos. en vez de grupos.
2-21
