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Distribuciones discretas de probabilidad
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Capítulo 6Distribuciones discretas de probabilidad Objetivos: Al terminar este capítulo podrá:
1. Definir los términos distribución de probabilidad y variable aleatoria.
2. Distinguir entre una distribución de probabilidad discreta y una distribución de probabilidad continua.
3. Calcular la media, la varianza y la desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta.
4. Describir las características de la distribución de probabilidad binomial y calcular las probabilidades utilizando esa distribución.
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Capítulo 6 (Continuación)
5. Definir las características de la distribución hipergeométrica y calcular probabilidades con aplicación de tal distribución.
6. Describir las características de la distribución de Poisson y calcular las probabilidades empleando esta distribución.
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Variable aleatoria
Una variable aleatoria es un valor numérico determinado por el resultado de un experimento.
Una distribución de probabilidad es la lista de todos los resultados posibles de un experimento y la correspondiente probabilidad.
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Tipos de distribuciones de probabilidad
Una distribución de probabilidad discreta puede asumir sólo valores claramente separados.
Una distribución de probabilidad continua puede asumir un número infinito de valores dentro de un rango determinado.
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Tipos de distribuciones de probabilidad
Ejemplos de una distribución discreta son: El número de estudiantes en una clase. El número de niños en una familia. El número de autos entrando en un autolavado por
hora. El número de clientes que llegan a una estética cada
hora.
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Tipos de distribuciones de probabilidad
Ejemplos de una distribución de probabilidad continua: La distancia que recorre cada estudiante para llegar a
su clase. El tiempo que le toma a un ejecutivo llegar a su
trabajo. El tiempo invertido en una llamada telefónica. La estatura de los alumnos de un grupo en clase.
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Características de una distribución discreta
Las principales características de una distribución de probabilidad discreta son: La suma de las probabilidades es 1.00 La probabilidad de un resultado particular es un
número mayor o igual a cero y menor o igual a uno. Los resultados son mutuamente excluyentes.
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Ejemplo 1
Considere un experimento aleatorio en el cual una moneda es lanzada tres veces. Sea x el número de caras. Sea H la que representa el resultado cara y T el resultado cruz.
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Ejemplo 1 (Continuación)
Los posibles resultados para este experimento serán:
TTT, TTH, THT, THH,
HTT, HTH, HHT, HHH. Entonces los valores posibles para x (número de
caras) son 0, 1, 2, 3.
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Ejemplo 1 (Continuación)
El resultado cero caras ocurre una vez. El resultado una cara ocurre tres veces. El resultado dos caras ocurre tres veces. El resultado tres caras ocurre una vez. De la definición de variable aleatoria, x está
definida en este experimento como la variable aleatoria.
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La media de una distribución discreta de probabilidad
La media:Registra la ubicación central de los datos.Es el valor promedio a largo plazo de la
variable aleatoria.También se le conoce como su valor
esperado, E(x), en una distribución de probabilidad.
Es un promedio ponderado.
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La media de una distribución discreta de probabilidad
La media es calculada con la fórmula:
)]([ xxP Donde µ representa la media, y P(x) es la
probabilidad de que x asuma algún valor.
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La varianza de una distribución de probabilidad discreta
La varianza mide el tamaño de la dispersión de una distribución.
La varianza de una distribución discreta es representada por la letra griega 2 (sigma cuadrada).
La desviación estándar es la raíz cuadrada de 2 .
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La varianza de una distribución de probabilidad discreta
La varianza de una distribución de probabilidad discreta es calculada con la siguiente fórmula:
)]()[( 22 xPx
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Ejemplo 2
David Ramírez, dueño de un negocio de servicios de pintura, estudió sus registros de las últimas 20 semanas y reporta el siguiente número de casas pintadas por semana:
# de casas
pintadas
semanas
10 5
11 6
12 7
13 2
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Ejemplo 2 (Continuación)
Distribución de probabilidad:
Número de casas pintadas, x
Probabilidad, P(x)
10 .25
11 .30
12 .35
13 .10
TOTAL 1.00
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Ejemplo 2 (Continuación)
Calcule el número medio de casas pintadas por semana:
3.11
)10)(.13()35)(.12()30)(.11()25)(.10(
)]([)(
xxPxE
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Ejemplo 2 (Continuación)
Calcule la varianza del número de casas pintadas por semana:
91.0
2890.01715.00270.04225.0
)10(.)3.1113(...)25(.)3.1110(
)]()[(22
22
xPx
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Distribución de probabilidad binomial
La distribución binomial tiene las siguientes características: El resultado de cada ensayo de un experimento se
clasifica en una de dos categorías mutuamente excluyentes, a saber: éxito o fracaso.
La variable aleatoria cuenta el número de éxitos en una cantidad fija de ensayos.
La probabilidad de un éxito permanece igual en todos los ensayos. Lo mismo sucede con la probabilidad de un fracaso.
Los ensayos son independientes.
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Distribución de probabilidad binomial
Para construir una distribución binomial, sea:C es una combinación.n es el número de ensayos.x es el número de éxitos. es la probabilidad de éxito en cada
ensayo.
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Distribución de probabilidad binomial
La fórmula para la distribución de probabilidad binomial es:
xnxxnCxP )1()(
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Ejemplo 3
El departamento del trabajo de Alabama registra que el 20% de la fuerza de trabajo en Mobile está desempleada. Para una muestra de 14 trabajadores, calcule las siguientes probabilidades: Exactamente 3 están desempleados. Al menos 3 están desempleados. Al menos 1 está desempleado.
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Ejemplo 3 (Continuación)
La probabilidad de exactamente 3:
La probabilidad de al menos 3:2501.
)0859)(.0080)(.364(
)20.1()20(.)3( 113314
CP
551.000....172.250.
)80(.)20(....)80(.)20(.)3( 0141414
113314
CCxP
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Ejemplo 3 (Continuación)
La probabilidad de al menos 1:
956.044.1
)20.1()20(.1
)0(1)1(140
014
C
PxP
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Media y varianza de la distribución binomial
La media se calcula así:
La varianza se calcula así:
n
2 1 n ( )
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Ejemplo 4
Del ejemplo 3, retomamos que = .2 y n = 14. Por lo tanto, la media es: µ = n = 14(.2) = 2.8 La varianza es: σ2 = n(1 –) = 14(.2)(.8) = 2.24
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Población finita
Una población finita es una población que consiste en un número fijo de individuos conocidos, objetos o medidas, por ejemplo:El número de estudiantes en esta clase.El número de carros en el estacionamiento.El número de casas construidas en el
fraccionamiento Arboledas.
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Distribución Hipergeométrica
La distribución hipergeométrica tiene las siguientes características:Hay sólo dos resultados posibles.La probabilidad de un éxito no es la misma en
cada ensayo.Ésta resulta de contar el número de éxitos en
un número fijo de ensayos.
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Distribución hipergeométrica
La fórmula para encontrar una probabilidad utilizando la distribución hipergeométrica es:
Donde N es el tamaño de la población, S es el número de éxitos en la población, x es el número de éxitos en una muestra de n observaciones.
P xC C
CS x N S n x
N n
( )( )( )
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Distribución hipergeométrica
Utilice la distribución hipergeométrica para encontrar la probabilidad de un número específico de éxitos o resultados si:La muestra es seleccionada de una población
finita sin reemplazo.El tamaño de la muestra n es mayor que el
5% del tamaño de la población N.
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Ejemplo 5
La fábrica de juguetes Andy, tiene 50 empleados en el departamento de ensamble. De éstos, 40 pertenecen a un sindicato y 10 no. Se van a elegir cinco empleados aleatoriamente, para que integren un comité que hablará con el gerente acerca de la hora de inicio de los distintos turnos. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los cinco elegidos pertenezcan al sindicato?
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Ejemplo 5 (Continuación)
N es 50, el número de empleados.S es 40, el número de empleados del sindicato.x es 4, el número de empleados del sindicato que
fueron seleccionados.n es 5, el número de empleados elegidos.
P(4) = 40C4(50-40C5-4/50C5 = (91390)(10)/2118760
= 0.431
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Distribución de probabilidad de Poisson
La distribución de probabilidad de Poisson describe la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo determinado.
Esta distribución también es una forma límite de la distribución binomial, cuando la probabilidad de éxito es muy pequeña y n es grande.
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Distribución de probabilidad de Poisson
La distribución de Poisson puede describirse matemáticamente utilizando la siguiente fórmula:
Donde µ es la media del número de ocurrencias (éxitos) en un intervalo específico.
e es la constante 2.71828 (base del sistema logarítmico neperiano).
x es el número de éxitos. P(x) es la probabilidad que se va a calcular para un valor dado
de x.
P xe
x
x u
( )!
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Distribución de probabilidad de Poisson
La media del número de éxitos µ puede determinarse en una situación binomial así: n donde n es el número de ensayos y es la probabilidad de éxito.
La varianza de una distribución Poisson es también n(1 – ).
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Ejemplo 6
La Sra. Bonilla está encargada de los préstamos en el banco del centro de Peralvillo. Con base en sus años de experiencia, estima que la probabilidad de que un solicitante no sea capaz de pagar su préstamo, es 0.025. El mes pasado realizó 40 préstamos. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 préstamos no sean pagados a tiempo?µ = n = 40(.025) = 1P(3) = 13e-1/3! = 0.0613
