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Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Graphes et Projets
1. Introduction
2. Modélisation
PERT 3. Optimisation simple
4. Compléments : PERT
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsApplications de la théorie des graphes
� Le problème de plus court chemin
� Le problème de transport
� Le problème du flot maximum
Introduction
PERT
� Le problème du flot maximum
� Le problème du voyageur de commerce
� Le problème d’ordonnancement
des tâches d’un projet
� ….
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsOrdonnancement des tâches d’un projet
Gestion de projets
La réalisation de l’objectif suppose l'exécution
préalable de multiples tâches soumises à de multiples contraintes.
Introduction
PERT
Ordonnancement
Il s'agit de trouver un ordre et un calendrier
d'activation de ces tâches tels que ces
contraintes soient satisfaites.
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Exemple
N° tâche Description Durée (en jours)
1 Exécution des terrassements 10
2 Mise en place de la grue 2
3 Fondations 5
4 Branchement électrique 3
Introduction
PERT
4 Branchement électrique 3
5 Installation de la fosse septique 6
Contraintes
� La grue ne peut fonctionner que si le branchement électrique est effectué.
� On a besoin de la grue pour les fondations.
� L'installation de la fosse septique et les fondations ne peuvent être exécutés que
si les travaux de terrassement sont terminés.
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Modèle potentiel-tâches
Un sommet du graphe correspond à une tâche.
On relie deux sommets: i et j par un arc,
si la tâche i doit précéder la tâche j .
Modélisation
PERT
i j
Chaque arc (i,j) est porteur d'un "poids"
correspondant à la durée de la tâche i .
10
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsExemple avec modèle potentiel-tâches
0 632
4
0 2
3
0
5
bcht élec.Modélisation
PERT
0 6
5
32
1
010
10
6
terrassements fosse
grue fondations
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Optimisation
0 632
4
0 2
3
0
5
bcht élec.
Combien de temps au minimumpour ce projet ?
Quand démarrer chaque tâche ?Optimisation
PERT
0 6
5
32
1
010
10
6
terrassements fosse
grue fondations
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Mise à niveau des sommets
1
0 632
4
0 2
3
0
5Optimisation
PERT
1
1 2
2
3
0 6
5
32
1
010
10
6
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Recherche du plus long chemin
En vert, les dates au plus tôt(As Soon As Possible)
0
0 10
1
0 632
4
0 2
3
0
5Optimisation
PERT
0
1
1 2
2
3
0 6
5
32
1
010
10
6
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Recherche du plus long chemin
En vert, les dates au plus tôt(As Soon As Possible)
0
0 10 16
1
0 632
4
0 2
3
0
5Optimisation
PERT
La durée minimale du projet est16 jours.
0 10
1
1 2
2
3
0 6
5
32
1
010
10
6
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsDétermination des dates au plus tard
0
0 10 16
1
0 632
4
0 2
3
0
5Optimisation
PERT
0 10
1
1 2
2
3
0 6
5
32
1
010
10
6
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsDétermination des dates au plus tard
On prend le plus long cheminen partant de la fin
9
8
1611
0
0 10 16
1
0 632
4
0 2
3
0
5Optimisation
PERT
En rouge, les dates au plus tard(As Late As Possible)
0 100 10
1
1 2
2
3
0 6
5
32
1
010
10
6
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsMarges et tâches critiques
8
9 1 09
8
1611
0
0 10 16
1
0 632
4
0 2
3
0
5Optimisation
PERT
000 100 10
1
1 2
2
3
0 6
5
32
1
010
10
6
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsChemin critique
8
9 1 09
8
1611
0
0 10 16
1
0 632
4
0 2
3
0
5Optimisation
PERT
1
000 100 10
1
1 2
2
3
0 6
5
32
010
10
6
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsDiagramme de Gantt
bcht élec.
fosse septique
Optimisation
PERT
0 temps2 4 6 8 10 12 14 16
terrassements
grue
fondations
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsEnrichissements du modèle de base
� Prise en compte du hasard
Méthode P.E.R.T.
PERT
� Prise en compte des coûts
Méthode C.P.M.
� Autres types de contraintes
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Méthode P.E.R.T.
� Program Evaluation and Research Task
� On considère que la durée d’une tâche est une variable
aléatoire.
� Pour chaque tâche t, on donne 3 durées
– p(t) = durée la plus probablePERT
– p(t) = durée la plus probable
– a(t) = estimation optimiste
– b(t) = estimation pessimiste
� Un modèle de loi couramment employé est la loi Beta
� l’espérance de la durée de t est (4p(t)+a(t)+b(t))/6
� L’écart-type est (b(t)-a(t))/6
PERT
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsExemple de méthode PERT
N° tâche Description p a b
1 Exécution des terrassements 10 8 18
2 Mise en place de la grue 2 1 3
3 Fondations 5 3 8
4 Branchement électrique 3 2 4
11 ; 1,67
2 ; 0,33
5,17 ; 0,83
3 ; 0,33
PERT
4 Branchement électrique 3 2 4
5 Installation de la fosse septique 6 5 7
� On calcule l’espérance et l’écart-type de
chaque durée.
3 ; 0,33
6 ; 0,33
� On porte ensuite ces durées espérées sur le
graphe.
PERT
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsDétermination de la durée espérée
4
0
2
3
0
0 11 17 PERT
0 6
5
32
1
0
0
2
11
11
5,17
6
0
0
11
11
17 PERT
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projetsDétermination de la durée espérée
Théorème central-limiteLa durée du projet suit approximativement
une loi normale de moyenne égale à la somme
des durées espérées des tâches critiques et de variance égale à la somme
des variances de ces tâches.4
2
30
0
0 11 17 PERT
0 6
5
32
1
02
0 11
11
5,17
6
3
0
0
11
11
17
NNNN (17, 1,7)
PERT
Introduction
Modélisation
Optimisation
Graphes
et projets Application probabiliste
P (D<20) ?
PERT
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
0,96PERT
