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機械力学１ 2006年度
教授 保坂寛（新領域） ， 非常勤講師 鈴木規之（新日本製鉄）
ティーチングアシスタント（TA）新領域創成科学研究科環境学専攻修士１年（柏キャンパス環境棟２階264号室）
石井智裕 [email protected] 04-7136-4623江副亮介 [email protected] 04-7136-4623
1．機械振動学のための数学（保坂）線形代数，線形常微分方程式
2．力学の基礎（保坂）仮想仕事の原理，慣性能率，回転運動
3．１自由度系の振動（鈴木）自由振動，減衰振動，強制振動
4．２自由度系の振動（鈴木）自由振動，強制振動
5．ラプラス変換（保坂）ラプラス変換の導出，振動計算への応用，オープンループ制御
6．ラグランジュの方程式（保坂）直角座標の場合，極座標の場合，強制変位が働く場合
7．振動の応用（保坂，鈴木）生物，情報機器，自動車，建築構造物，おもちゃの力学
教科書：保坂寛「機械振動学」，東京大学出版会参考書：佐藤，岡部，岩田「機械振動学」，工業調査会
成績評価コミュニケーションカード（裏に意見を書くこと．疑問，提案など）演習発表レポート（発表日の授業終了時に教員に提出）中間試験（12/18），最終試験（３月上旬）
TA相談時間演習問題の解き方が分からない場合は，発表日前の水曜正午までに，TAにメールで質問内容を送ること．メールと電話で指導する．
柏の葉キャンパスつくばエクスプレス秋葉原 つくば
本章では，機械振動学の基本となる減衰がない１自由度系の自由振
動を扱う．最も単純なものは，ばねで支えられたおもりが直線振動する
場合である．やや複雑になるが，回転運動も同一の式に帰着すること
が出来る．また運動方程式は，力の釣合いとエネルギの保存から導出
できる．本章では，回転運動とエネルギ保存則に重点をおき，１自由度
系の自由振動を解説する．
2．１自由度系不減衰系の自由振動
図2.1 ばね質点系
mk
xkx
図2.2 重力が作用するばね質点系
m
k
y
g
kxxm −=&&
kymgym −−=&&
kmgyx += kxxm −=&&
2.1 力の釣合いによる運動方程式の導出と解の求め方
ばね力と慣性力の釣合い
変数変換
重力によるばねの縮み
x
02 =+ xx nω&& mkn /=ω
tx nωcos1 = tx nωsin2 =
tBtAx nn ωω sincos +=
ti nex ω=3ti nex ω−=4
tix nωcosh5 = tix nωsinh6 =
kxxm −=&&
２階微分方程式
基本解，斉次解
一般解
２回微分して元に戻る関数
指数関数
双曲線関数
運動方程式
1−=i
Xo，φoを任意定数とすれば，式(2.13)を一般解と見ることもできる．
( ) 00 xAx ==
( ) 00 vBx n == ω&
tv
txx nn
n ωω
ω sincos 00 +=
( )00 cos φ−= tωXx n
222
0200 BAvxX
n+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
ω⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
AB
xv
narctanarctan
0
00 ωφ
初期条件．時刻0における変位xoと速度vo
tBtAx nn ωω sincos +=一般解
tBtAx nnnn ωωωω cossin +−=&
ωn：固有角振動数，固有角周波数，固有振動数
0xA =n
vBω
0=
(2.13)
2
21 xmT &=
2
21 kxU =
( ) 0=+UTdtd
( ) 0=+ kxxmx &&&
0=x& 0=+ kxxm &&
2.2 エネルギ保存則による運動方程式の導出
図2.1
mk
xkx運動エネルギT
ひずみ（位置）エネルギU
TとUの和は時間的に不変
xxmdtdT
&&&=
xkxdtdU
&=
( )00 cos φ−= tXx nω
( ){ } 220
200
2max 2
1sin21
21
nnn mXtXmMAXxmMAXT ωωω =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= φ&
( ){ } 20
200
2max 2
1cos21
21 kXtXkMAXkxMAXU n =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= φω
20
220 2
121 kXmX n =ω
mk
n =2ω
エネルギ保存則を使った別の計算法
質点が正弦波状に振動すると仮定
振幅Xo，周波数ωn，位相φoは不明
→ 運動エネルギの最大値＝ポテンシャルエネルギの最大値
エネルギが保存
(2.21)に代入すれば一般解
(2.21)
エネルギ保存則を使った２つの解法を示したが，両者はだいぶ様子が異なっている．
後半の解法では，最終的に求まったのはωnだけである．これは，使った条件が
Tmax=Umaxという１つの式だったためである．ωnを式(2.21)に代入すれば一般解を得られるが，これは解を３角関数で仮定し，さらにωn，Xo，φoを未知数としたからであ
る．もし解を三角波で仮定したら，波形はもちろん，ωnも異なる値になってしまう．ま
たXoとφoを未知数としなければ，一般解にならない．一方前半の解法では，解の仮
定は一切用いずに運動方程式が得られた．T+U=一定という１つの条件しか用いていないにも関わらず，すべての情報が得られた．これは，T+U=一定が任意の時刻で成り立つとしているからである．任意の時刻だから実質的に無限個の条件を示してい
るのである．一方後半の計算では，Tmax=Umaxはピークの一瞬での条件，周期現象だ
から実質的に１つの時刻での条件にすぎない．なお，複雑な系では，エネルギを時間
の関数として表すのが難しいが，最大変位は推定できることがあり，そのような場合
には後者の方法が有効である．代表的なものにレイリー法と呼ばれる計算法がある．
図C2.1 リンク機構G
yθ
xF
a
xFyG δδ =
θsin5ax = θcos2ay =
θθθ
θθδδ tan
52
cos5sin2
−=−
====aa
ddx
ddy
dxdy
xy
GF
コラム2：仮想仕事の原理を使ったリンクの釣合い
θθ sincos)2/( Aaaf =部材1，点P回り部材2，点Q回り θθθθ sincos)2/(sincos)2/( CaafAaaf +−=+
θθθθ sincos)2/(sincos)2/( WaafCaaf +−=+部材3，点R回り
CAB +=CWD +=
部材2，力の釣合い部材3，力の釣合い
f/2
Wf/2
f/2
f/2
A
A
B
C
D
点P点Q
点R 部材１
部材２
部材３
力の釣合いによる解法
θ&&ra =
dmrdN θ&&2=
∑ ∑= =
==n
i
n
iiii dmrdNN
1 1
2θ&&
θθ &&&& IdmrdNNVV
=== ∫∫ 2
∫= VdmrI 2
2mrI =
dmN
V
r
図2.5 広がりのある物体
回転中心
図2.3 回転する質点
dNr
θ
a
dm回転中心
図2.4 多数の質点
2r1r
3r
1dm
2dm3dm
N O
トルク＝（慣性力）×（腕の長さ）
慣性能率慣性モーメント
dmradm θ&&==慣性力
集中質量
∑=
=n
iii dmr
1
2θ&&
回転運動の基礎式（2.3.1慣性能率）
図2.6 円板の慣性能率
Rθd
rdr
dm
ρ厚さ
密度
h
drrdhdm ⋅⋅= θρ
( )∫∫ ==VV
drhrdrdmrI θρ22
πρθρπ
24
42
00
3 ⋅⋅=⋅⋅= ∫∫Rhddrrh
R
221
21 2
224 RmRhRhR ⋅=⋅== πρπρ
Rが大きいほど（薄くて広いほど）Iは大きい．
円板の慣性能率
2mrI =集中質量の慣性能率
r回転中心 m
表2.1 さまざまな形状に対する回転半径 ( )2κmI =
y
細い棒
薄い円板
直方体
円柱
球
2xκ
2yκ
1212
κは，すべての質量を集中させた場合の中心からの距離
κxはx軸，κyはy軸に回転軸を取る場合
yxz III +=
0≈z
( ) dmydmzyIVVx ∫∫ ≈+= 222
( ) dmxdmxzIVVy ∫∫ ≈+= 222
( ) yxVz IIdmyxI +≈+= ∫ 22
薄い板の慣性能率
G
x
y
z
図2.7 薄い剛体の慣性能率
yxz III +=
dmrIV∫=
2
22 zyr +=
d
G
zz’
y
x図2.8
2mdII zz +=′
[ ]dmydxI Vz ∫ +−=′22)(
重心以外の慣性能率＝重心の慣性能率＋md2
( )∫ += V dmyx 22
∫+ V dmd 2
∫− V xdmd2
zI←
md 2←
0←
重心を通らない軸回りの慣性能率
NI =θ&&
ωθ =&
NdtdL
=
dmN
V
r
図2.5 広がりのある物体
回転中心
∫= VdmrI 2
2mrI =
慣性能率慣性モーメント
集中質量
角運動量ωθ IIL == &
θ 角度 角速度
角運動量の法則
Iが時間の関数でも成り立つ３次元運動でも成り立つ．L,ω，Nはベクトル
コラム3 ３次元運動における角運動量の法則
vrL ×= mNL=
dtd
mr
vL
O
z
yx
図C3.1 3次元空間の角運動量
θ
v sinθ
f
N
慣性能率が変化しても成り立つ
NIdtdL
== θ&&
θ&IL =
２次元の場合
慣性能率一定の場合
NdtdL
=
角運動量
frN ×=トルク
θ&rv =
dmrvdmdT 222
21
21 θ&=⋅=
∑ ∑= =
==n
i
n
iiii dmrdTT
1 1
22
21θ&
2.3.2 回転の運動エネルギ
dmNVr
図2.11 広がりのある物体
v
図2.9 回転する質点
rθ dm
回転中心
idmiv
図2.10 多数の質点irO
222
21
21 θθ && IdmrdTT
VV=== ∫∫
∫= VdmrI 2
慣性能率
図2.12 回転と並進がある円板
ωrθ
θω cosr
θω sinr
ωθ =&θ
dm
Gv
yv
xvr
θω sinrvv Gx −=
θω cosrvy =
( )dmvvdT yx22
21
+=
∫= VdTT
∫=VG dmV 2
21
I2
21ω←
円板の運動エネルギ
∫+Vdmr 22
21ω
∫−VG dmrV θω sin
mVG2
21
←
0←22
21
21 ωImVT G +=
( )∫ −+=V GG dmrVrV θωω sin2
21 222
θsinrθ
r
図C4.1 平面上を渦巻状に移動する質点
rm
v
(a) 糸が柱に巻きつく場合
r
v
m
(b) 糸を下から引く場合
コラム4 エネルギ保存則と角運動量保存則の応用
エネルギー保存constrvconstmv
===
ω2/2
rmω ,v
角運動量保存（トルクが加わらない）
慣性能率
r mω ,v
ωIL = 0== NdtdL2mrI =
constmrI == ωω 2
r r
ω
constr =ω2角運動量保存エネルギー保存
constr =ω
ω
( )armvT 2=トルク
rmv2
av
遠心力
図C4.2 円と渦巻きからなる経路
円渦巻き
constmrvL == θsin
θ
constrv =円上
