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力学力学力学力学力学力学力学力学III GAIII GA
工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習 X5X5
解析力学解析力学解析力学解析力学解析力学解析力学解析力学解析力学 5X5X
１３週目
立命館大学 機械システム系 ２００８年度 後期
今週今週今週今週のののの内容内容内容内容今週今週今週今週のののの内容内容内容内容
•拘束条件
•ラグランジュの未定乗数法
•拘束がある場合の運動方程式
拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件
幾何学的・力学的拘束を
関数 で表したもの
レジュメ p.49
0=f
拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件
幾何学的・力学的拘束を
関数 で表したもの
三平方の定理
拘束条件 （位置）
例
レジュメ p.49
m (x,y)
(xr,yr)
( ) ( )222
rr yyxxr −+−=
( ) ( ) 0),(22 =−−+−= ryyxxyxf rr
0=f
位置位置位置位置・・・・速度速度速度速度・・・・加速度加速度加速度加速度のののの拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件位置位置位置位置・・・・速度速度速度速度・・・・加速度加速度加速度加速度のののの拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件
位置の拘束条件
速度の拘束条件
加速度の拘束条件
例
m (x,y)
(xr,yr)
( ) ( ) 0),(22 =−−+−= ryyxxyxf rr
( ) ( )( ) ( )
0),(22=
−+−
−+−=
rr
rr
yyxx
yyyxxxyxf
&&&
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ){ }( ) ( )
0),(3
22
2
22
22
=−+−
−+−+
−+−
+−++−=
rr
rr
rr
rr
yyxx
yyyxxx
yyxx
yyyyxxxxyxf
&&&&&&&&&&
演習演習演習演習：：：：演習演習演習演習：：：： 拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件
下図の並進関節を持つ機構の
位置・速度・加速度の拘束条件を導出せよ
q1
q2
x
lkabe
π4 [rad]
解答解答解答解答：：：：解答解答解答解答：：：： 拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件拘束条件
q1
q2
x
lkabe
π4 [rad]
4sin2
πkabelxy +−=
手先座標(x,y)の関係
=
1
2
q
q
y
x
拘束条件0
4sin2),( 2121 =−+=
πkabelqqqqf
関節座標と手先座標
0),( 2121 =+= qqqqf &&&
0),( 2121 =+= qqqqf &&&&&&
ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法
拘束条件がある場合の
関数の極値を求める方法
各辺の長さが a,b，
周囲の長さが l (定数) の長方形の
面積が最大となる条件を求めよ
例
g(a,b) = ab 2(a+b) = l
最大化したい関数 拘束条件
a
b
ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法によるによるによるによるによるによるによるによる極値極値極値極値のののの条件条件条件条件のののの導出導出導出導出極値極値極値極値のののの条件条件条件条件のののの導出導出導出導出
g(x) f(x) = 0最大化したい関数 拘束条件
極値の条件
λλλλ:ラグランジュの
未定乗数( ) 0=⋅+
∂∂
fλxg
g(a,b) = ab最大化したい関数 拘束条件
極値の条件
( ) 02),( =−+= lbabaf
( )
( ) 0
0
=+∂∂
=+∂∂
fgb
fga
λ
λ
λ:ラグランジュの
未定乗数
ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法によるによるによるによるによるによるによるによる極値極値極値極値のののの条件条件条件条件のののの導出導出導出導出極値極値極値極値のののの条件条件条件条件のののの導出導出導出導出 （（（（長方形長方形長方形長方形のののの例例例例））））（（（（長方形長方形長方形長方形のののの例例例例））））
a
b
g(a,b) = ab最大化したい関数 拘束条件
極値の条件
( ) 02),( =−+= lbabaf
( )
( ) 0
0
=+∂∂
=+∂∂
fgb
fga
λ
λ
( ) 02
02
02
=−+
=+
=+
∴
lba
a
b
λλ
λ:ラグランジュの
未定乗数
ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法によるによるによるによるによるによるによるによる極値極値極値極値のののの条件条件条件条件のののの導出導出導出導出極値極値極値極値のののの条件条件条件条件のののの導出導出導出導出 （（（（長方形長方形長方形長方形のののの例例例例））））（（（（長方形長方形長方形長方形のののの例例例例））））
a
b
g(a,b) = ab最大化したい関数 拘束条件
極値の条件
( ) 02),( =−+= lbabaf
( )
( ) 0
0
=+∂∂
=+∂∂
fgb
fga
λ
λ
( ) 02
02
02
=−+
=+
=+
∴
lba
a
b
λλ
λ:ラグランジュの
未定乗数
ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法によるによるによるによるによるによるによるによる極値極値極値極値のののの条件条件条件条件のののの導出導出導出導出極値極値極値極値のののの条件条件条件条件のののの導出導出導出導出 （（（（長方形長方形長方形長方形のののの例例例例））））（（（（長方形長方形長方形長方形のののの例例例例））））
a
b
4,4
,8
lb
la
l==−=∴λ
g(a,b) = a2+b2極値を求めたい関数 拘束条件
0),( =−+= lbabaf
演習演習演習演習：：：：演習演習演習演習：：：： ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法によるによるによるによるによるによるによるによる
極値極値極値極値のののの条件条件条件条件のののの導出導出導出導出極値極値極値極値のののの条件条件条件条件のののの導出導出導出導出
a
b
b=-a+l
l
a2+b2
g(a,b) = a2+b2極値を求めたい関数 拘束条件
極値の条件
0),( =−+= lbabaf
( )
( ) 0
0
=+∂∂
=+∂∂
fgb
fga
λ
λ
0
02
02
=−+
=+
=+
∴
lba
b
a
λλ
λ:ラグランジュの
未定乗数
解答解答解答解答：：：：解答解答解答解答：：：： ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法によるによるによるによるによるによるによるによる
極値極値極値極値のののの条件条件条件条件のののの導出導出導出導出極値極値極値極値のののの条件条件条件条件のののの導出導出導出導出
ll
bl
a −=== λ,2
,2
a
b
b=-a+l
l
a2+b2
f(x) = 0
ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法によるによるによるによるラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法によるによるによるによる拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合のののの運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式のののの導出導出導出導出拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合のののの運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式のののの導出導出導出導出
レジュメ p. 50
L = K – U極値を求めたい関数 位置の拘束条件
極値をとる条件 （運動方程式）
0d
d=
∂
′∂−
∂
′∂xx
LL
t &
fλ ⋅+=′ LL
ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法によるによるによるによるラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法によるによるによるによる拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合のののの運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式のののの例例例例拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合のののの運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式のののの例例例例
レジュメ p. 50
ラグランジアン
運動方程式
0d
d=
∂
′∂−
∂
LL
t &fLL λ+=′
q1
q2
x
lkabe
π4 [rad]
m1
m2
( ) 2
22
2
1212
1
2
1qmqmmL && ++= 0
4sin2),( 2121 =−+=
πkabelqqqqf
( ) ( )0
d
d
22
121
22
121 =
−
−+=
−
+
λλ
λλ
qm
qmm
qm
qmm
t &&
&&
&
&
位置の拘束条件
？
演習演習演習演習演習演習演習演習: : 拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合のののの運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合のののの運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式
ラグランジアン
？
運動方程式
qMq &&TL
2
1=
0d
d=
∂
′∂−
∂
LL
t &fLL λ+=′
l2
l1
q1
q2
f
x
ykabe
位置の拘束条件
解答解答解答解答解答解答解答解答: : 拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合のののの運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合のののの運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式
0d
d=
∂
′∂−
∂
LL
t &fLL λ+=′
l2
l1
q1
q2
f
x
ykabe
運動方程式0),( 21 =−= kabeyyqqf
)sin(sin 21211 qqlqly ++=
位置の拘束条件
解答解答解答解答解答解答解答解答: : 拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合のののの運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合のののの運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式
0d
d=
∂
′∂−
∂
LL
t &fLL λ+=′
λ
∂∂∂∂
−+∴
2
1
q
y
q
y
hqM &&
l2
l1
q1
q2
f
x
ykabe
運動方程式0),( 21 =−= kabelyqqf
)sin(sin 21211 qqlqly ++=
位置の拘束条件
解答解答解答解答解答解答解答解答: : 拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合のののの運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合のののの運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式
0d
d=
∂
′∂−
∂
LL
t &fLL λ+=′
λ
∂∂∂∂
−+∴
2
1
q
y
q
y
hqM &&
l2
l1
q1
q2
f
x
ykabe
運動方程式0),( 21 =−= kabelyqqf
)sin(sin 21211 qqlqly ++=
+
++=
)cos(
)cos(cos
212
21211
qql
qqlqlT
yJ
位置の拘束条件
解答解答解答解答解答解答解答解答: : 拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合のののの運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合のののの運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式
0d
d=
∂
′∂−
∂
LL
t &fLL λ+=′
0
2
1
=−+=
∂∂∂∂
−+∴
λ
λ
T
q
y
q
y
yJhqM
hqM
&&
&&
+
++=
)cos(
)cos(cos
212
21211
qql
qqlqlT
yJ
l2
l1
q1
q2
f
x
ykabe
運動方程式0),( 21 =−= kabelyqqf
)sin(sin 21211 qqlqly ++=
位置の拘束条件
