1 5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II 2.º BACHILLERATO Coordenadas en el espacio (x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de

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5 Ecuaciones de rectas y planos Matemáticas II

2.º BACHILLERATOCoordenadas en el espacio

Un punto O y una base B = {i ,

j ,

k } de los vectores libres del

espacio constituyen un sistema de referencia en el espacio.

Se escribe S = {O;i ,

j ,

k }.

En lo que sigue, por comodidad, trabajaremos en la base ortonormal.

[OP] = x .

i + y .

j + z .

k

(x, y, z) son las coordenadas de P respecto delsistema de referencia S.

Vector de posición de P

Origen de coordenadas

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2.º BACHILLERATOEjes coordenados. Planos coordenados

• Los tres vectores de la base B determinan con el origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ.

• Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia.

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2.º BACHILLERATOCoordenadas de un vector libre

PQ =

OQ –

OP

[PQ] =

OQ –

OP = (b – a, b' – a' , b" – a")

Los puntos P y Q determinan el vector fijo PQ

OP +

PQ =

OQ

Las coordenadas de un vector libre u = [

PQ] respecto de la base B = {

i ,

j ,

k }

se obtienen restando las coordenadas del punto P de las correspondientes de Q en

el sistema de referencia S = {O;i ,

j ,

k }.

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2.º BACHILLERATOCoordenadas del punto medio de un segmento

m =

a +

AM =

a +

12

AB =

= a +

12 (

b –

a ) =

12 (

a +

b )

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2.º BACHILLERATODeterminación de una recta. Ecuación vectorial

Una recta viene determinada por un puntoy una dirección. La dirección está

marcada por un vector libre u llamado

vector director .

Un punto X está en la recta si y sólo si PX

y u son proporcionales: [

PX] = t .

u

Si p es el vector de posición de P,

x es

el vector de posición de X, quedará:x –

p = t .

u es decir:

x =

p + t .

u

La expresión x =

p + t .

u con t R es la ecuación vectorial de la recta que

pasa por P y tal que u es un vector director de la misma.

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2.º BACHILLERATODeterminación de una recta. Ecuaciones paramétricas

La recta que pasa por P de vector directorv (v1, v2, v3) se puede poner así:

(x, y, z) = (xo, yo, zo) + t (v1, v2, v3) Al igualar coordenadas obtenemos:

Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene

por vector director v (v1, v2, v3) son

x = xo + t.v1

y = yo + t.v2

z = zo + t.v3

x = xo + t.v1

y = yo + t.v2

z = zo + t.v3

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2.º BACHILLERATOEcuaciones de la recta en forma continua

Las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que

tiene por vector director v (v1, v2, v3) son:

x – xo

v1 =

y – yo

v2 =

z – zo

v3

Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene

por vector director v (v1, v2, v3) son

x = xo + t.v1

y = yo + t.v2

z = zo + t.v3

Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de larecta que no dependen de ningún parámetro.

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2.º BACHILLERATOEcuaciones de los ejes en forma vectorial, paramétrica y continua

Vectorial Paramétrica Continua

Eje OXx = t

i

x = t

y = 0z = 0

x1 =

y0 =

z0

Eje OYx = t

j

x = 0

y = tz = 0

x0 =

y1 =

z0

Eje OZx = t

k

x = 0

y = 0z = t

x0 =

y0 =

z1

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2.º BACHILLERATOEcuación de la recta que pasa por dos puntos

La recta r queda determinada por la siguiente

determinación lineal: r(A, AB) ó r(B, AB) (a1, a2, a3)

(b1, b2, b3)

Por tanto la ecuación de la recta será:(x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1–a1, b2–a2, b3–a3 )

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2.º BACHILLERATOEcuación vectorial del plano

Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes. Se dice que (A, v, w ) es una determinación lineal del plano

X está en si y solo si AX es

combinación lineal de v y w. Por tanto

existirán dos números reales s y t tales

que:

AX = s v + t w

Por tanto x – a = s v + t w

Y de aquí se obtiene la ecuación vectorial del plano:

x = a + s v + t w, con s R y t R

Se observa además que X rango (AX, v, w) = 2 det (AX, v, w) = 0

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2.º BACHILLERATOEcuaciones paramétricas y general del plano

Partiendo de la ecuación vectorial del plano:(x, y, z) = (x1, y1, x1) + t (a, b, c) + s (a', b', c')

obtenemos las ecuaciones paramétricas:

Sabemos además que X está en el plano si y sólo si det(AX,

v ,

w) = 0. Es decir:

x – x1 y – y1 z – z1 a b c a' b' c'

= 0

El desarrollo de este determinante conduce a la ecuación general del plano:

Ax + By + Cz + D = 0

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2.º BACHILLERATOEcuaciones de los planos cartesianos

Vectorial Paramétrica Implícia

Plano OXY x = t

i + s

j

x = t

y = sz = 0

z = 0

Plano OXZ x = t

i + s

k

x = t

y = 0z = s

y = 0

Plano OYZ x = t

j + s

k

x = 0

y = tz = s

x = 0

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2.º BACHILLERATOEcuación normal del plano

Un punto X(x, y, z) está en el plano si y

sólo si n es perpendicular a

MX Por tanto:

n .

MX = 0

n . (

x –

m ) = 0

que es la ecuación normal del plano.

Sea M un punto cualquiera del plano , y sea (A, B, C) un vector normal al plano.

Desarrollando la expresión anterior obtenemos:

(A, B, C) . (x – x1 , y – y1 , z – z1 ) = 0A( x – x1 ) + B(z – z1 ) + C(z – z1 ) = 0

o bienA x + B y + C z + D = 0

donde A, B, y C son las componentes del vector normal al plano

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2.º BACHILLERATOEcuación del plano que pasa por tres puntos

La determinación lineal de dicho plano será:

Por lo tanto su ecuación se obtendrá desarrollando el siguiente determinante:

Sean A, B y C tres puntos no alineados. Por tanto los vectores AB y AC no son paralelos.

(A, AB,

AC)

det(AX,

AB,

AC)

(a, b, c)

(a", b", c")(a

', b', c

')X(x, y, z)

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2.º BACHILLERATOPosiciones relativas de dos planos

Sean : ax + by + cz + d = 0 y ': a'x + b'y + c'z + d' = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema incompatible Sistema compatible

indeterminado de rango 1

rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = 1; rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 1

a a'

b b' ó

a a'

c c' ó

b b'

c c'

a a' =

b b' =

c c'

d d'

a a' =

b b' =

c c' =

d d'

1 2 3

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2.º BACHILLERATOPosiciones relativas de tres planos (I)

Sean : ax + by + cz + d = 0 y ': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y ": a"x + b"y + c"z + d" = 0 . Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

Los tres planos tienenun punto en común

Sistema compatibleDeterminado

de rango 3

rango(A) = rango(B) = 3

Los tres planos tienenuna recta en común

Los tres planos tienenuna recta en común

Sistema compatibleindeterminado

de rango 2


de rango 2

rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 2

Triedro Tres planos distintosDos planos coincidentes

y un tercero secante a ellos

1 2a

2b

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2.º BACHILLERATOPosiciones relativas de tres planos (II)

Los tres planos tieneninfinitos puntos

en común


de rango 1


Los tres planos no tienenpuntos en común


Sistema incompatible Sistema incompatible

rango(A) = 2; rango(B) = 3 rango(A) = 2; rango(B) = 3

Tres planos coincidentes PrismaDos planos paralelos

y un tercero secante a ellos

3 4b

Sean : ax + by + cz + d = 0 y ': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y ": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

4a

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2.º BACHILLERATOPosiciones relativas de tres planos (III)


Sistema incompatible

rango(A) = 1; rango(B) = 2



rango(A) = 1; rango(B) = 2

Tres planos paralelosDos planos coincidentes

y un tercero paralelo a ellos

5a

Sean : ax + by + cz + d = 0 y ': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y ": a"x + b"y + c"z + d" = 0.Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones delsistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

5b

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2.º BACHILLERATOEcuación de la recta como intersección de planos

Sean : ax + by + cz + d = 0 y ': a'x + b'y + c'z + d' = 0 dos planos no paralelos. Los puntos de la recta intersección son aquellos que verifican simultáneamente las ecuaciones de ambos planos. Por ello la ecuación de la recta r será:

r: ax + by + cz + d = 0a'x + b'y + c'z + d' = 0

Para obtener las ecuaciones paramétricas de la recta es suficiente obtener la solución general del sistema indeterminado que forman las ecuaciones generales de los dos planos.

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2.º BACHILLERATOPosiciones relativas de una recta y un plano

Sean : ax + by + cz + d = 0 y y la recta r dada como intersección de ': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y ":a"x + b"y + c"z + d" = 0 . Estudiar las posiciones relativas de recta y plano equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las tres ecuaciones anteriores.

Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

Sistema compatible determinado

Sistema compatibleindeterminado de rango 2 Sistema incompatible

rango(A) = rango (B) = 3 rango(A) = 2; rango (B) = 2 rango(A) = 2; rango (B) = 3

Recta y planosecantes

Recta contenidaen el plano

Recta y planoparalelos

1 2 3

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2.º BACHILLERATOPosiciones relativas de dos rectas (I)

Sea r dada como intersección de los planos a1x + a2y + a3z + a4 = 0 y b1x + b2y + b3z + b4 = 0. Sea la recta s dada como intersección de c1x + c2y + c3z + c4 = 0 y d1x + d2y + d3z + d4 = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

Las dos rectas tienenun punto en común

Sistema compatibledeterminado


Las rectas tienen todossus puntos comunes

Sistema compatibleindeterminado de rango 2


1

Rectas secantes Rectas coincidentes

2

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2.º BACHILLERATOPosiciones relativas de dos rectas (II)

Sea r dada como intersección de los planos a1x + a2y + a3z + a4 = 0 y b1x + b2y + b3z + b4 = 0. Sea la recta s dada como intersección de c1x + c2y + c3z + c4 = 0 y d1x + d2y + d3z + d4 = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.

Las rectas no tienenpuntos en común


rango(A) = 2; rango(B) = 3 rango(A) = 3; rango(B) = 4

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Rectas paralelas Rectas que se cruzan


Las rectas no tienenpuntos en común

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