SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES · Porque se determinan dos rectas y que se cortan en el punto de coordenadas (2; 1) 3 x y = 3 2 x + y = 7 Este sistema formado por las ecuaciones

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“No hay cosa más hermosa que la verdad; pero a la vez es el arma más poderosa del hombre”

LECCIÓN Nº SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Observa las dos ecuaciones siguientes: MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS 1) Método gráfico de resolución de sistemas.

Los sistemas de ecuaciones, por el número de sus soluciones, pueden ser compatibles o incompatibles.

Ejemplo 1 Encuentra el conjunto solución del sistema de dos ecuaciones:

13242

yxyx

Solución: TABULANDO x – 2y = 4 2x + 3y = 1

Este sistema tiene una única solución que es: x = 2; y = 1 Porque se determinan dos rectas y que se cortan en el punto de coordenadas (2; 1)

3=yx37=y+x2

Este sistema formado por las ecuaciones I y II se llama sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables. En este caso las variables son x e y. Un par ordenado de números reales es solución de un sistema de ecuaciones, si al sustituir las variables por dichos números, los dos miembros de cada ecuación tienen el mismo valor.

x - 1 0 1 2 y

x - 1 0 1 2 y

321 xy

2

4x=y

13

)2(21

...333,03

)1(21

...333,03

)0(21

132(-1)-1

y

y

y

y

1=2

42=y

5,1=2

41=y

2=2

40=y

5,2=2

41=y



Entonces: Cuando tiene una única solución el sistema es compatible determinado.

Ejemplo 2 Encuentra el conjunto solución del sistema de dos ecuaciones:

4222yx

yx

Solución: TABULANDO x – y = 2 2x 2y = 4

Entonces: Cuando tiene infinitas soluciones el sistema es Compatible indeterminado

Ejemplo 3 Encuentra el conjunto solución del sistema de dos ecuaciones: Solución: TABULANDO x +y = 4 – 2x – 2y = 0

El sistema que no tiene ninguna solución se le llama sistema incompatible

X .... 0 1 2 y

X .... 0 1 2 y

2x=y2

4x2=y

0=4)2(2

=y

1=2

4)1(2=y

2=2

=y

2

4-2(0)

0=22=y1=21=y2=20=y

{ 0224

yx

yx

x .... 0 1 2 y

x .... 0 1 2 y

x4=y x=y

2=24=y3=14=y4=04=y

2=y1=y

0=y



2) Métodos analíticos de resolución de sistemas. A) Método de reducción: En este método se hacen iguales los coeficientes y con signos distintos

de una de las incógnitas del sistema. ( I )

( II ) Vamos a igualar los coeficientes de una de las variables en ambas ecuaciones. Escogemos y por tener signos diferentes. Multiplicamos por 2 la ecuación ( II ). Obtenemos: Como los coeficientes de y que hemos igualado tienen signos distintos, se suman estas ecuaciones porque con ello se elimina la y:

13x = – 26 2=1326

=x

Reemplazamos x = – 2 en la ecuación ( I ) o en ( II ), para hallar el valor de y, por ejemplo en ( I ), se tiene: 5(– 2 ) + 6y = 20 –10 + 6y = 20

6y = 30 5=6

30=y y = 5

Por lo tanto, C.S.(x; y) = {(– 2; 5)}

B) Método de sustitución: Consiste en despejar una de las variables en una ecuación del sistema y sustituir su valor en la otra con la finalidad de encontrar la nueva ecuación con una sola variable.

( I ) ( II ) Despejamos x en la primera ecuación y obtenemos.

3x + 2y = 8 3

y28=x

Sustituimos el valor de x en la segunda ecuación

4x – 3y = 5 5=y3)3

y28(4

Multiplicamos por tres la ecuación para eliminar el denominador. 4(8 – 2y) – (3).3y = 3.5 32 – 8y – 9y = 15

23=y3x420=y6+x5{

{ 46=y6x820=y6+x5

46=y6x820=y6+x5

“Sigue practicando, tu esfuerzo será compensado con el éxito,” ja, ja, ja, ...

{ 5=y3x48=y2+x3



Transponemos términos y reducimos los semejantes: – 8y – 9y = 15 – 32 – 17y = – 17 y = 1 Reemplazamos y en ( I ) por el valor obtenido para hallar el valor de x:

3x + 2y = 8 3x + 2(1) = 8 3x = 8 – 2 3x = 6 x = 2

Por lo tanto, C.S.(x; y) = {(2; 1)}

C) Método de igualación: Este método consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones e igualar las expresiones que resultan, logrando una ecuación de una sola variable. Analiza cómo resolvemos el sistema por este método: ( I )

( II )

Despejamos x en ambas ecuaciones: 3

y28=x ( I )

4y3+5

=x ( II )

Igualamos ambas expresiones correspondientes a x:

4

y3+5=

3y28

Multiplicamos por el m.c.m. de (3 y 4) =12 y hallamos los productos: 4(8 – 2y) = 3(5 + 3y) 32 – 8y = 15 + 9y

Transponemos términos y reducimos los semejantes: – 8y – 9y = 15 – 32 – 17y = – 17 y = 1

Reemplazamos y = 1 en cualquiera de las ecuaciones, para hallar el valor de x. 3x + 2y = 8 3x + 2(1) = 8 3x + 2 = 8 3x = 8 – 2 3x = 6 x = 2

Por lo tanto, C.S.(x; y) = {(2; 1)} SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

MÉTODOS DE DETERMINANTES. REGLA DE CRAMER

Ejemplo 1 Encuentra el conjunto solución del sistema de dos ecuaciones por el método de determinantes

13242

yxyx

1º Se halla el determinante del sistema d(s):

534823

yxyx



743)2)(2()3).(1(3221

)(

sd

2º Se halla el determinante que corresponde a la variable x:

14212)1).(2()3).(4(3124

)(

xd

3º Se halla el determinante que corresponde a la variable y :

781)2)(4()1).(1(12

41)(

yd

4º El valor de la variable “x” se halla dividiendo el determinante que corresponde a la variable “x” entre el determinante del sistema:

X = )()(sdxd X=

714 X = 2

5º El valor de la variable “y” se halla dividiendo el determinante que corresponde a la variable “y” entre el determinante del sistema.

Y = )()(sdyd y =

77 X = – 1

RESPUESTA: El conjunto solución del sistema es: C.S. = {- 1; 2} RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN:

1)

937276

yxyx

18614276

yxyx

15x = 45

31545

x

Reemplazando x = 3 en ( I ):

4624

32762763

y

yy

Respuesta:

4

3

y

x

2)

6085223

yxyx

3)

42753

yxyx

4)

1389547

yxyx



5)

0437169

yxyx

6)

27512871115

yxyx

7)

30138291114

yxyx

8)

410124297

yxyx

9)

7104554

yxyx

10)

2443175

yxyx

11)

11516132532

yxyx

12)

1334

956yxyx

13)

861157

yxyx

14)

345614119

yxyx

15)

45236310

yxyx

16)

476114143

yxyx



17)

215132911

yxyx

18)

9478

1631311yxyx

19)

481311479

yxyx

20)

31111211518

yxyx

21)

191214201412

yxyx

22)

43022

yxyx

23)

84319

yxyx

24)

2368194015

yxyx

25)

43532

yxyx

26)

42753

yxyx

27)

643452

yxyx

28)

101724

141136yxyx



29)

1684258

yxyx

30)

162

232yxyx

31)

729218

yxyx

32)

393

935yx

yx

RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:

33)

937276

yxyx

SOLUCIÓN: Despejando x ( I ):

yx 627

Sustituir en (II): 936277 y)y(

445

180189945

9342189

y

yyy

Reemplazando y = 4 en ( I ):

32427

2746

xx

)(x

Respuesta:

4

3

y

x

34)

6085223

yxyx

35)

42753

yxyx

36)

1389547

yxyx

37)

0437169

yxyx

38)

27512871115

yxyx



39)

30138291114

yxyx

40)

410124297

yxyx

41)

7104554

yxyx

42)

2443175

yxyx

43)

11516132532

yxyx

44)

1334

956yxyx

45)

861157

yxyx

46)

345614119

yxyx

47)

45236310

yxyx

48)

476114143

yxyx

49)

215132911

yxyx

50)

9478

1631311yxyx



51)

481311479

yxyx

52)

31111211518

yxyx

53)

191214201412

yxyx

54)

43022

yxyx

55)

84319

yxyx

56)

2368194015

yxyx

57)

43532

yxyx

58)

42753

yxyx

59)

643452

yxyx

60)

101724

141136yxyx

61)

1684258

yxyx

62)

162

232yxyx



63)

729218

yxyx

64)

393

935yx

yx

RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN:

65)

937276

yxyx

SOLUCIÓN: Despejando x ( I ):

yx 627

Despejando x en (II):

739 yx

Igualando(I) y (II):

739627 yy

445

1801899342

3942189

y

yyyy

Reemplazando: 34627 )(x

Respuesta:

4

3

y

x

66)

6085223

yxyx

67)

42753

yxyx

68)

1389547

yxyx

69)

0437169

yxyx

70)

27512871115

yxyx

71)

30138291114

yxyx



72)

410124297

yxyx

73)

7104554

yxyx

74)

2443175

yxyx

75)

11516132532

yxyx

76)

1334

956yxyx

77)

861157

yxyx

78)

345614119

yxyx

79)

45236310

yxyx

80)

476114143

yxyx

81)

215132911

yxyx

82)

9478

1631311yxyx

83)

481311479

yxyx



84)

31111211518

yxyx

85)

191214201412

yxyx

86)

43022

yxyx

87)

84319

yxyx

88)

2368194015

yxyx

89)

43532

yxyx

90)

42753

yxyx

91)

643452

yxyx

92)

101724

141136yxyx

93)

1684258

yxyx

94)

162

232yxyx

95)

729218

yxyx



96)

393

935yx

yx

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

MÉTODOS DE DETERMINANTES. REGLA DE CRAMER

Ejemplo 1 Encuentra el conjunto solución del sistema de dos ecuaciones por el método de determinantes

13242

yxyx

1º Se halla el determinante del sistema d(s):

743)2)(2()3).(1(3221

)(

sd

2º Se halla el determinante que corresponde a la variable x:

14212)1).(2()3).(4(3124

)(

xd

3º Se halla el determinante que corresponde a la variable y :

781)2)(4()1).(1(12

41)(

yd

4º El valor de la variable “x” se halla dividiendo el determinante que corresponde a la variable “x” entre el determinante del sistema:

X = )()(sdxd X=

714 X = 2

5º El valor de la variable “y” se halla dividiendo el determinante que corresponde a la variable “y” entre el determinante del sistema.

Y = )()(sdyd y =

77 X = – 1

RESPUESTA: El conjunto solución del sistema es: C.S. = {- 1; 2}



JUGANDO CON LOS SISTEMAS RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMA POR EL MÉTODO DE CRAMER 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

30138291114

yxyx

410124297

yxyx

7798843

yxyx

7104554yx

yx

2443175

yxyx

11516132532

yxyx

1334

956yxyx

861157

yxyx

345614119

yxyx

45236310

yxyx

476114143

yxyx

215132911

yxyx

9478

1631311yxyx



rkzhygxqfzeydxpczbyax

14) 15)

Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas forman un sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones de primer grado con tres variables (incógnitas) puede ser resuelto por los siguientes métodos:

a) Por Reducción b) Por sustitución c) Por igualación d) Por determinantes o por el método de Cramer

Observa cómo resolvemos el sistema:

266142

42

zyxzyxzyx

SOLUCIÓN: 1) Determinante del sistema

141428)4624()12124(642

621

166142121

)(

sd

481311479

yxyx

31111211518

yxyx



2) Determinante de la variable x

281414)2248()6416(642

214

162141124

)(

xd

3) Determinante de la variable y

21021)826()4241(214

621

126112141

)(

yd

4) Determinante de la variable z

148268)8696()48128(642

621

266142421

)(

zd

5) El valor de x: 21428

)()(

sdxdx

6) El valor de y: 23

1421

)()(

sdydy

7) El valor de z: 11414

)()(

sdzdz

Por lo tanto, el conjunto solución del sistema es:

1;

23;2S

JUGANDO CON LOS SISTEMA DE TRES VARIABLES Resolver los siguientes sistemas por el método de Cramer:

1)

026

zyxzyxzyx

2)

11317362925

zyxzyxzyx



3)

64

623

zyxzxyx

4)

185251332322

zyxzyxzyx

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SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES · Porque se determinan dos rectas y que se cortan en el punto de coordenadas (2; 1) 3 x y = 3 2 x + y = 7 Este sistema formado por las ecuaciones